Loeng: Matemaatiline modelleerimine. Matemaatiliste mudelite esitamise vorm ja põhimõtted

Sovetovi ja Jakovlevi õpiku järgi: "mudel (lat. moodul - mõõt) on originaalobjekti asendusobjekt, mis tagab originaali mõningate omaduste uurimise." (lk 6) „Modelleerimiseks nimetatakse ühe objekti asendamist teisega, et saada teavet algse objekti kõige olulisemate omaduste kohta, kasutades mudelobjekti. (lk 6) „Matemaatilise modelleerimisega mõistame antud reaalobjektile vastavuse leidmise protsessi teatud matemaatilise objektiga, mida nimetatakse matemaatiliseks mudeliks, ning selle mudeli uurimist, mis võimaldab saada reaalse objekti omadusi. vaadeldav objekt. Vaade matemaatiline mudel sõltub nii reaalse objekti olemusest kui ka objekti uurimise ülesannetest ning selle probleemi lahendamise nõutavast usaldusväärsusest ja täpsusest.

Lõpuks matemaatilise mudeli kõige täpsem määratlus: "Ideed väljendav võrrand».

Mudelite klassifikatsioon

Mudelite formaalne klassifikatsioon

Mudelite formaalne klassifikatsioon põhineb kasutatavate matemaatiliste tööriistade klassifikatsioonil. Sageli konstrueeritakse dihhotoomiatena. Näiteks üks populaarsemaid dihhotoomiate komplekte:

ja nii edasi. Iga konstrueeritud mudel on lineaarne või mittelineaarne, deterministlik või stohhastiline, ... Loomulikult on võimalikud ka segatüübid: kontsentreeritud ühes suhtes (parameetrite poolest), hajutatud teises jne.

Klassifikatsioon objekti esitusviisi järgi

Koos formaalse klassifikatsiooniga erinevad mudelid objekti esitusviisi poolest:

Struktuursed või funktsionaalsed mudelid

Struktuursed mudelid esindama objekti kui süsteemi, millel on oma struktuur ja toimimismehhanism. Funktsionaalsed mudelid ei kasuta selliseid esitusi ja peegeldab ainult objekti väliselt tajutavat käitumist (toimimist). Nende äärmuslikus väljenduses nimetatakse neid ka "musta kasti" mudeliteks. Võimalikud on ka kombineeritud mudelid, mida mõnikord nimetatakse " hall kast».

Sisu- ja vormimudelid

Peaaegu kõik matemaatilise modelleerimise protsessi kirjeldavad autorid viitavad sellele, et kõigepealt eriline täiuslik disain, sisu mudel. Siin puudub väljakujunenud terminoloogia ja teised autorid nimetavad seda ideaalobjektiks kontseptuaalne mudel , spekulatiivne mudel või eelmudel. Sel juhul nimetatakse lõplikku matemaatilist konstruktsiooni formaalne mudel või lihtsalt etteantud tähendusliku mudeli (eelmudeli) formaliseerimise tulemusena saadud matemaatiline mudel. Mõtestatud mudeli konstrueerimisel saab kasutada valmis idealiseerimiste kogumit, nagu mehaanikas, kus ideaalsed vedrud, jäigad kehad, ideaalsed pendlid, elastsed kandjad jne annavad valmis konstruktsioonielemendid mõtestatud modelleerimiseks. Kuid teadmiste valdkondades, kus puuduvad täielikult lõpetatud formaliseeritud teooriad (füüsika, bioloogia, majanduse, sotsioloogia, psühholoogia ja enamiku teiste valdkondade tipptasemel), muutub tähenduslike mudelite loomine oluliselt keerulisemaks.

Mudelite sisuline klassifikatsioon

Ühtegi teaduslikku hüpoteesi ei saa lõplikult tõestada. Richard Feynman sõnastas selle väga selgelt:

"Meil on alati võimalus teooria ümber lükata, kuid pange tähele, et me ei saa kunagi tõestada, et see on õige. Oletame, et olete esitanud eduka hüpoteesi, arvutanud, kuhu see viib, ja leidnud, et kõik selle tagajärjed on eksperimentaalselt kinnitatud. Kas see tähendab, et teie teooria on õige? Ei, see tähendab lihtsalt seda, et te ei suutnud seda ümber lükata."

Kui ehitatakse esimest tüüpi mudel, tähendab see, et see võetakse ajutiselt tõena ja saab keskenduda muudele probleemidele. Kuid see ei saa olla uurimistöö punkt, vaid ainult ajutine paus: esimest tüüpi mudeli staatus saab olla ainult ajutine.

Tüüp 2: Fenomenoloogiline mudel (käitume nagu…)

Fenomenoloogiline mudel sisaldab nähtuse kirjeldamise mehhanismi. See mehhanism ei ole aga piisavalt veenev, seda ei saa piisavalt kinnitada olemasolevate andmetega või ei sobi hästi olemasolevate teooriate ja objekti kohta kogunenud teadmistega. Seetõttu on fenomenoloogilistel mudelitel ajutiste lahenduste staatus. Arvatakse, et vastus on veel teadmata ja “tõeliste mehhanismide” otsimist tuleb jätkata. Peierls sisaldab teise tüübina näiteks elementaarosakeste kalorimudelit ja kvargimudelit.

Mudeli roll uurimistöös võib aja jooksul muutuda ning võib juhtuda, et uued andmed ja teooriad kinnitavad fenomenoloogilisi mudeleid ning need tõusevad hüpoteesi staatusesse. Samuti võivad uued teadmised järk-järgult sattuda vastuollu esimest tüüpi mudelite-hüpoteesidega ja neid saab teisendada. Seega liigub kvargimudel järk-järgult hüpoteeside kategooriasse; atomism füüsikas tekkis ajutise lahendusena, kuid ajaloo käiguga sai sellest esimene tüüp. Kuid eetrimudelid on jõudnud tüübist 1 tüübini 2 ja on nüüd väljaspool teadust.

Lihtsustamise idee on mudelite ehitamisel väga populaarne. Kuid lihtsustamist on erineval kujul. Peierls tuvastab modelleerimisel kolme tüüpi lihtsustusi.

Tüüp 3: Lähendamine (me peame midagi väga suureks või väga väikeseks)

Kui on võimalik koostada võrrandeid, mis uuritavat süsteemi kirjeldavad, ei tähenda see, et need on lahendatavad kasvõi arvuti abiga. Levinud tehnika on sel juhul lähenduste kasutamine (3. tüüpi mudelid). Nende hulgas lineaarsed reaktsioonimudelid. Võrrandid asendatakse lineaarsetega. Tavaline näide on Ohmi seadus.

Siin tuleb tüüp 8, mis on bioloogiliste süsteemide matemaatilistes mudelites laialt levinud.

Tüüp 8: Funktsioonide tutvustus (peamine on näidata võimaluse sisemist järjepidevust)

Need on ka mõtteeksperimendid kujuteldavate üksustega, mis seda demonstreerivad oletatav nähtus kooskõlas põhiprintsiibid ja sisemiselt järjekindel. See on peamine erinevus 7. tüüpi mudelitest, mis paljastavad varjatud vastuolud.

Üks kuulsamaid katseid on Lobatševski geomeetria (Lobatševski nimetas seda kujuteldavaks geomeetriaks). Teiseks näiteks on keemiliste ja bioloogiliste vibratsioonide, autolainete jne formaalselt kineetiliste mudelite masstootmine. Einsteini-Podolsky-Roseni paradoks loodi 7. tüüpi mudelina, et demonstreerida kvantmehaanika ebajärjekindlust. Täiesti planeerimata kujul muutus see lõpuks 8. tüüpi mudeliks – teabe kvantteleportatsiooni võimaluse demonstreerimiseks.

Näide

Mõelge mehaanilisele süsteemile, mis koosneb vedrust, mis on kinnitatud ühes otsas, ja massist, mis on kinnitatud vedru vaba otsa külge. Eeldame, et koormus saab liikuda ainult vedrutelje suunas (näiteks liikumine toimub piki varda). Ehitame selle süsteemi matemaatilise mudeli. Kirjeldame süsteemi olekut kauguse järgi koormuse keskpunktist selle tasakaaluasendisse. Kirjeldame vedru ja koormuse vastasmõju Hooke'i seadus() ja seejärel kasutage Newtoni teist seadust, et väljendada seda diferentsiaalvõrrandi kujul:

kus tähendab teist tuletist aja suhtes: .

Saadud võrrand kirjeldab vaadeldava füüsilise süsteemi matemaatilist mudelit. Seda mudelit nimetatakse "harmooniliseks ostsillaatoriks".

Formaalse klassifikatsiooni järgi on see mudel lineaarne, deterministlik, dünaamiline, kontsentreeritud, pidev. Selle ehitamise käigus tegime palju eeldusi (välisjõudude puudumise, hõõrdumise puudumise, kõrvalekallete väiksuse jne kohta), mis tegelikkuses ei pruugi täituda.

Reaalsuse suhtes on see enamasti 4. tüüpi mudel lihtsustamine(„selguse huvides jätame mõned üksikasjad välja”), kuna mõned olulised universaalsed tunnused (näiteks hajumine) on välja jäetud. Teatud ligikaudselt (näiteks kui koormuse kõrvalekalle tasakaalust on väike, väikese hõõrdumisega, mitte liiga kaua aega ja teatud muudel tingimustel) kirjeldab selline mudel päris mehaanilist süsteemi päris hästi, kuna kõrvalejäetud tegurid on ebaoluline mõju selle käitumisele. Mudelit saab siiski täpsustada, võttes arvesse mõnda neist teguritest. See toob kaasa uue mudeli, millel on laiem (kuigi jällegi piiratud) rakendusala.

Mudeli täpsustamisel võib aga selle matemaatilise uurimistöö keerukus oluliselt suureneda ja muuta mudeli praktiliselt kasutuks. Sageli võimaldab lihtsam mudel reaalset süsteemi paremini ja sügavamalt uurida kui keerulisem (ja formaalselt "õigem").

Kui rakendada harmoonilise ostsillaatori mudelit füüsikast kaugel olevate objektide puhul, võib selle sisuline staatus olla erinev. Näiteks kui seda mudelit bioloogilistele populatsioonidele rakendada, tuleks see suure tõenäosusega klassifitseerida 6. tüüpi analoogia("võtame arvesse ainult mõningaid funktsioone").

Kõvad ja pehmed mudelid

Harmooniline ostsillaator on nn kõva mudeli näide. See saadakse reaalse füüsilise süsteemi tugeva idealiseerimise tulemusena. Selle kohaldatavuse küsimuse lahendamiseks on vaja mõista, kui olulised on need tegurid, mille oleme tähelepanuta jätnud. Teisisõnu on vaja uurida "pehmet" mudelit, mis saadakse "kõva" väikese häirimisega. Selle võib anda näiteks järgmise võrrandiga:

Siin on mõni funktsioon, mis võib võtta arvesse hõõrdejõudu või vedru jäikuse koefitsiendi sõltuvust selle venitusastmest - mõni väike parameeter. Meid ei huvita hetkel funktsiooni selgesõnaline vorm. Kui tõestame, et pehme mudeli käitumine ei erine põhimõtteliselt kõva mudeli käitumisest (olenemata eksplitsiitsetest häirivate tegurite tüübist, kui need on piisavalt väikesed), taandub probleem kõva mudeli uurimisele. Vastasel juhul nõuab jäiga mudeli uurimisel saadud tulemuste rakendamine täiendavaid uuringuid. Näiteks harmoonilise ostsillaatori võrrandi lahenduseks on funktsioonid kujul , st konstantse amplituudiga võnkumised. Kas sellest järeldub, et tõeline ostsillaator võngub lõputult konstantse amplituudiga? Ei, sest arvestades suvaliselt väikese hõõrdumisega süsteemi (reaalses süsteemis alati olemas), saame summutatud võnkumisi. Süsteemi käitumine on kvalitatiivselt muutunud.

Kui süsteem säilitab oma kvalitatiivse käitumise väikeste häirete korral, siis öeldakse, et see on struktuurselt stabiilne. Harmooniline ostsillaator on struktuurselt ebastabiilse (mittekareda) süsteemi näide. Seda mudelit saab aga kasutada protsesside uurimiseks piiratud aja jooksul.

Mudelite mitmekülgsus

Kõige olulisematel matemaatilistel mudelitel on tavaliselt oluline omadus mitmekülgsus: Põhimõtteliselt erinevaid reaalseid nähtusi saab kirjeldada sama matemaatilise mudeliga. Näiteks harmooniline ostsillaator ei kirjelda mitte ainult vedru koormuse käitumist, vaid ka muid võnkeprotsesse, sageli täiesti erineva iseloomuga: pendli väikseid võnkumisi, vedeliku taseme kõikumisi A-kujulises anumas. või voolutugevuse muutus võnkeahelas. Seega üht matemaatilist mudelit uurides uurime kohe tervet klassi selle poolt kirjeldatud nähtusi. Just see seaduste isomorfism, mida väljendavad matemaatilised mudelid erinevates segmentides teaduslikud teadmised, inspiratsiooniks Ludwig von Bertalanffyle üldise süsteemiteooria loomiseks.

Matemaatilise modelleerimise otse- ja pöördprobleemid

Matemaatilise modelleerimisega on seotud palju probleeme. Esiteks peate välja töötama modelleeritud objekti põhidiagrammi, reprodutseerima selle selle teaduse idealisatsioonide raames. Nii muutub rongivagun erinevatest materjalidest plaatide ja keerukamate kerede süsteemiks, iga materjal määratakse selle standardse mehaanilise idealisatsioonina (tihedus, elastsusmoodulid, standardsed tugevusomadused), mille järel koostatakse võrrandid ja mööda teed. mõned detailid jäetakse ebaolulistena kõrvale, tehakse arvutused, võrreldakse mõõtmistega, täpsustatakse mudelit jne. Matemaatilise modelleerimise tehnoloogiate arendamiseks on aga kasulik see protsess põhikomponentideks lahti võtta.

Traditsiooniliselt on matemaatiliste mudelitega seotud kaks peamist probleemide klassi: otsene ja pöördvõrdeline.

Otsene ülesanne: mudeli struktuur ja kõik selle parameetrid loetakse teadaolevaks, põhiülesanne on läbi viia mudeli uuring, et ammutada objekti kohta kasulikke teadmisi. Milline staatiline koormus kas sild jääb püsima? Kuidas see reageerib dünaamilisele koormusele (näiteks sõdurite kompanii marssile või erineva kiirusega rongi läbimisele), kuidas lennuk ületab helibarjääri, kas see kukub laperdamisest laiali - need on tüüpilised näited otsesest probleemist. Õige otsese probleemi püstitamine (õige küsimuse esitamine) nõuab erilisi oskusi. Kui õigeid küsimusi ei esitata, võib sild kokku kukkuda, isegi kui see ehitati hea mudel tema käitumise pärast. Nii varises 1879. aastal Suurbritannias kokku metallist sild üle Tay jõe, mille projekteerijad ehitasid silla mudeli, arvutasid sellel 20-kordse kasuliku koormuse ohutusteguri, kuid unustasid tuuled. nendes kohtades pidevalt puhub. Ja pooleteise aasta pärast kukkus see kokku.

Lihtsamal juhul (näiteks üks ostsillaatori võrrand) on otsene probleem väga lihtne ja taandub selle võrrandi eksplitsiitseks lahendiks.

Pöördprobleem: teada on palju võimalikke mudeleid, konkreetne mudel tuleb valida objekti lisaandmete põhjal. Enamasti on mudeli struktuur teada ja mõned tundmatud parameetrid tuleb määrata. Täiendav teave võib sisaldada täiendavaid empiirilisi andmeid või nõudeid objektile ( disaini probleem). Täiendavad andmed võivad saabuda olenemata pöördülesande lahendamise protsessist ( passiivne vaatlus) või olla lahenduse käigus spetsiaalselt kavandatud eksperimendi tulemus ( aktiivne jälgimine).

Üks esimesi näiteid pöördprobleemi meisterlikust lahendusest olemasolevate andmete täieliku kasutamisega oli I. Newtoni loodud meetod hõõrdejõudude rekonstrueerimiseks täheldatud summutatud võnkumiste põhjal.

Teine näide on matemaatiline statistika. Selle teaduse ülesandeks on välja töötada meetodid vaatlus- ja katseandmete salvestamiseks, kirjeldamiseks ja analüüsimiseks, et luua massiliste juhuslike nähtuste tõenäosusmudeleid. Need. võimalike mudelite hulk on piiratud tõenäosusmudelitega. Konkreetsete ülesannete puhul on mudelite komplekt piiratum.

Arvutisimulatsioonisüsteemid

Matemaatilise modelleerimise toetamiseks on välja töötatud arvutimatemaatika süsteemid, näiteks Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jt. Need võimaldavad luua nii lihtsate kui ka keerukate protsesside ja seadmete formaalseid ja plokkmudeleid ning hõlpsalt muuta mudeli parameetreid nende käigus. modelleerimine. Plokkide mudelid on kujutatud plokkidega (kõige sagedamini graafiliste), mille komplekti ja ühendamist täpsustab mudelskeem.

Täiendavad näited

Malthuse mudel

Kasvumäär on võrdeline praeguse rahvaarvuga. Seda kirjeldab diferentsiaalvõrrand

kus on teatud parameeter, mille määrab sündimuse ja suremuse erinevus. Selle võrrandi lahendus on eksponentsiaalne funktsioon. Kui sündimus ületab suremust (), suureneb rahvastiku arv määramatult ja väga kiiresti. On selge, et tegelikkuses ei saa see piiratud ressursside tõttu juhtuda. Teatud kriitilise populatsiooni suuruse saavutamisel lakkab mudel olemast adekvaatne, kuna see ei võta arvesse piiratud ressursse. Malthuse mudeli täiustus võib olla logistiline mudel, mida kirjeldab Verhulsti diferentsiaalvõrrand

kus on “tasakaalu” populatsiooni suurus, mille puhul sündimust kompenseerib täpselt suremus. Sellise mudeli populatsiooni suurus kaldub tasakaaluväärtusele ja see käitumine on struktuurselt stabiilne.

Kiskja-saakloomade süsteem

Oletame, et teatud piirkonnas elab kahte tüüpi loomi: küülikud (söövad taimi) ja rebased (söövad küülikuid). Olgu jäneste arv, rebaste arv. Kasutades Malthuse mudelit koos vajalike muudatustega, et võtta arvesse jäneste söömist rebaste poolt, jõuame järgmise süsteemini, mille nimi mudelid Kandikud - Volterra:

Sellel süsteemil on tasakaaluseisund, kui küülikute ja rebaste arv on konstantne. Sellest olekust kõrvalekaldumine toob kaasa jäneste ja rebaste arvukuse kõikumised, mis on sarnased harmoonilise ostsillaatori kõikumisega. Sarnaselt harmoonilise ostsillaatoriga ei ole see käitumine struktuurselt stabiilne: väike muudatus mudelis (näiteks võttes arvesse küülikutele vajalikke piiratud ressursse) võib viia käitumise kvalitatiivse muutuseni. Näiteks võib tasakaaluseisund muutuda stabiilseks ja arvude kõikumised hääbuvad. Võimalik on ka vastupidine olukord, kus iga väike kõrvalekaldumine tasakaaluasendist toob kaasa katastroofilised tagajärjed kuni ühe liigi täieliku väljasuremiseni. Volterra-Lotka mudel ei vasta küsimusele, milline neist stsenaariumitest realiseerub: siin on vaja täiendavaid uuringuid.

Märkmed

"Reaalsuse matemaatiline esitus" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Küberneetilise modelleerimise filosoofilistest küsimustest. M., Teadmised, 1964.
Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Süsteemide modelleerimine: Proc. ülikoolidele - 3. väljaanne, parandatud. ja täiendav - M.: Kõrgem. kool, 2001. - 343 lk. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mihhailov A. P. Matemaatika modelleerimine. Ideed. meetodid. Näited. - 2. väljaanne, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A.D., Matemaatiliste mudelite teooria elemendid. - 3. väljaanne, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 koos ISBN-ga 978-5-484-00953-4
Sevostjanov, A.G. Tehnoloogiliste protsesside modelleerimine: õpik / A.G. Sevostjanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Kerge- ja toiduainetööstus, 1984. - 344 lk.
Vikisõnastik: matemaatiline mudel
CliffsNotes.com. Maateaduse sõnastik. 20. september 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berliin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 lk. ISBN 3-540-35885-4
"Teooriat peetakse lineaarseks või mittelineaarseks sõltuvalt sellest, millist matemaatilist aparaati - lineaarset või mittelineaarset - ja milliseid lineaarseid või mittelineaarseid matemaatilisi mudeleid see kasutab. ...viimast eitamata. Kaasaegne füüsik, kui ta peaks uuesti looma sellise olulise olemi definitsiooni nagu mittelineaarsus, käituks tõenäoliselt teisiti ja eelistaks mittelineaarsust kui olulisemat ja levinumat kahest vastandist, määratleks lineaarsuse kui "mittelineaarsuse". mittelineaarsus." Danilov Yu.A., Loengud mittelineaarsest dünaamikast. Elementaarne tutvustus. Sari “Sünergeetika: minevikust tulevikku”. 2. väljaanne. - M.: URSS, 2006. - 208 lk. ISBN 5-484-00183-8
„Lõpliku arvu tavaliste diferentsiaalvõrranditega modelleeritud dünaamilisi süsteeme nimetatakse kontsentreeritud või punktsüsteemideks. Neid kirjeldatakse piiratud mõõtmelise faasiruumi abil ja neid iseloomustab piiratud arv vabadusastmeid. Sama süsteemi erinevates tingimustes võib pidada kontsentreerituks või hajutatuks. Jaotatud süsteemide matemaatilised mudelid on osadiferentsiaalvõrrandid, integraalvõrrandid või tavalised viitevõrrandid. Hajutatud süsteemi vabadusastmete arv on lõpmatu ja selle oleku määramiseks on vaja lõpmatu arvu andmeid. Aništšenko V.S., Dünaamilised süsteemid, Sorose haridusajakiri, 1997, nr 11, lk. 77-84.
«Sõltuvalt süsteemis S uuritavate protsesside olemusest võib kõik modelleerimise tüübid jagada deterministlikuks ja stohhastiliseks, staatiliseks ja dünaamiliseks, diskreetseks, pidevaks ja diskreet-pidevaks. Deterministlik modelleerimine peegeldab deterministlikke protsesse, st protsesse, mille puhul eeldatakse juhuslike mõjude puudumist; stohhastiline modelleerimine kujutab tõenäosuslikke protsesse ja sündmusi. ... Staatiline modelleerimine kirjeldab objekti käitumist igal ajahetkel ja dünaamiline modelleerimine peegeldab objekti käitumist aja jooksul. Diskreetset modelleerimist kasutatakse diskreetseks eeldatavate protsesside kirjeldamiseks, pidev modelleerimine võimaldab kajastada pidevaid protsesse süsteemides ning diskreet-pidevat modelleerimist kasutatakse juhtudel, kui tahetakse esile tuua nii diskreetsete kui ka pidevate protsesside olemasolu. ” Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Tavaliselt peegeldab matemaatiline mudel modelleeritava objekti struktuuri (seadet), selle objekti komponentide omadusi ja seoseid, mis on uurimiseesmärkidel olulised; sellist mudelit nimetatakse struktuurseks. Kui mudel peegeldab ainult seda, kuidas objekt funktsioneerib – näiteks kuidas see reageerib välismõjudele –, siis nimetatakse seda funktsionaalseks ehk piltlikult öeldes mustaks kastiks. Võimalikud on ka kombineeritud mudelid. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
"Ilmne, aga kõige tähtsam Esimene aste matemaatilise mudeli konstrueerimine või valimine on võimalikult selge pildi saamine modelleeritavast objektist ja selle tähendusliku mudeli viimistlemine mitteametlike arutelude põhjal. Selles etapis ei tohiks te aega ja vaeva säästa, sellest sõltub suuresti kogu uuringu edu. Rohkem kui korra on juhtunud, et matemaatilise ülesande lahendamisele kulunud märkimisväärne töö osutus ebatõhusaks või koguni raisku, kuna asja sellele poolele pole piisavalt tähelepanu pööratud. Myshkis A.D., Matemaatiliste mudelite teooria elemendid. - 3. väljaanne, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 koos ISBN-ga 978-5-484-00953-4, lk. 35.
« Süsteemi kontseptuaalse mudeli kirjeldus. Süsteemimudeli loomise selles alafaasis: a) kontseptuaalset mudelit M kirjeldatakse abstraktsete terminite ja mõistetega; b) mudeli kirjeldus antakse standardsete matemaatikaskeemide abil; c) hüpoteesid ja eeldused aktsepteeritakse lõpuks; d) reaalsete protsesside lähendamise protseduuri valik mudeli koostamisel on põhjendatud. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Süsteemide modelleerimine: Proc. ülikoolidele - 3. väljaanne, parandatud. ja täiendav - M.: Kõrgem. kool, 2001. - 343 lk. ISBN 5-06-003860-2, lk. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Rakendusmatemaatika: aine, loogika, lähenemiste tunnused. Näidetega mehaanikast: Õpik. - 3. väljaanne, rev. ja täiendav - M.: URSS, 2006. - 376 lk. ISBN 5-484-00163-3, 2. peatükk.

sisendmuutujate vektor, X = t,

Y - väljundmuutujate vektor, Y=t,

Z on välismõjude vektor, Z = t,

t - aja koordinaat.

Ehitus matemaatiline mudel seisneb seoste kindlaksmääramises teatud protsesside ja nähtuste vahel, matemaatilise aparaadi loomises, mis võimaldab kvantitatiivselt ja kvalitatiivselt väljendada seost teatud protsesside ja nähtuste, spetsialistile huvipakkuvate füüsikaliste suuruste ning lõpptulemust mõjutavate tegurite vahel.

Tavaliselt on neid nii palju, et kogu nende komplekti on võimatu mudelisse tutvustada. Ehitamisel matemaatiline mudel Enne uuringut tekib ülesanne tuvastada ja jätta vaatlusest välja tegurid, mis lõpptulemust oluliselt ei mõjuta ( matemaatiline mudel sisaldab tavaliselt oluliselt väiksemat arvu tegureid kui tegelikkuses). Eksperimentaalsete andmete põhjal püstitatakse hüpoteesid lõpptulemust väljendavate suuruste ja sisseviidud tegurite vahelise seose kohta. matemaatiline mudel. Sellist seost väljendavad sageli diferentsiaalsüsteemid osadiferentsiaalvõrrandid(näiteks tahkete ainete, vedelike ja gaaside mehaanika probleemides, filtreerimise teooria, soojusjuhtivus, elektrostaatiliste ja elektrodünaamiliste väljade teooria).

Selle etapi lõppeesmärk on matemaatilise ülesande sõnastamine, mille lahendamine väljendab vajaliku täpsusega spetsialistile huvipakkuvaid tulemusi.

Esitluse vorm ja põhimõtted matemaatiline mudel oleneb paljudest teguritest.

Ehituspõhimõtete järgi matemaatilised mudelid jagatud:

analüütiline;
imitatsioon.

Analüütilistes mudelites on reaalsete objektide, protsesside või süsteemide toimimisprotsessid kirjutatud eksplitsiitse vormis. funktsionaalsed sõltuvused.

Analüütiline mudel jaguneb sõltuvalt matemaatilisest probleemist tüüpideks:

võrrandid (algebraline, transtsendentaalne, diferentsiaal, integraal),
lähendamise probleemid (interpoleerimine, ekstrapoleerimine, numbriline integreerimine Ja eristamist),
optimeerimisprobleemid,
stohhastilised probleemid.

Kuna aga modelleerimisobjekt muutub keerukamaks, muutub analüütilise mudeli koostamine lahendamatuks probleemiks. Siis on uurija sunnitud kasutama simulatsioon.

IN simulatsiooni modelleerimine objektide, protsesside või süsteemide toimimist kirjeldab algoritmide kogum. Algoritmid simuleerivad tegelikke elementaarseid nähtusi, mis moodustavad protsessi või süsteemi, säilitades neid loogiline struktuur ja esinemisjärjestus ajas. Simulatsiooni modelleerimine võimaldab hankida teavet lähteandmete kohta protsessi olekud või süsteemid teatud ajahetkedel, kuid objektide, protsesside või süsteemide käitumise ennustamine on siin keeruline. Võib öelda, et simulatsioonimudelid - need tehakse arvutis arvutuslikud katsed Koos matemaatilised mudelid, mis simuleerib reaalsete objektide, protsesside või süsteemide käitumist.

Olenevalt uuritavate reaalsete protsesside ja süsteemide olemusest matemaatilised mudelid võib olla:

deterministlik,
stohhastiline.

Deterministlikes mudelites eeldatakse, et juhuslikud mõjud puuduvad, mudeli elemendid (muutujad, matemaatilised seosed) on üsna täpselt paika pandud ning süsteemi käitumist saab täpselt määrata. Deterministlike mudelite koostamisel kasutatakse kõige sagedamini algebralisi võrrandeid, integraalvõrrandeid ja maatriksalgebrat.

Stohhastiline mudel võtab arvesse uuritavates objektides ja süsteemides toimuvate protsesside juhuslikkust, mida kirjeldavad tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika meetodid.

Sisendteabe tüübi alusel jagatakse mudelid järgmisteks osadeks:

pidev,
diskreetne.

Kui teave ja parameetrid on pidevad ning matemaatilised ühendused on stabiilsed, siis on mudel pidev. Ja vastupidi, kui teave ja parameetrid on diskreetsed ning ühendused on ebastabiilsed, siis matemaatiline mudel- diskreetne.

Sõltuvalt mudelite käitumisest aja jooksul jagatakse need järgmisteks osadeks:

staatiline,
dünaamiline.

Staatilised mudelid kirjeldavad objekti, protsessi või süsteemi käitumist mis tahes ajahetkel. Dünaamilised mudelid peegeldavad objekti, protsessi või süsteemi käitumist aja jooksul.

Vastavalt vastavusastmele vahel

Matemaatika modelleerimine

1. Mis on matemaatiline modelleerimine?

20. sajandi keskpaigast. erinevates valdkondades inimtegevus hakati laialdaselt kasutama matemaatilised meetodid ja arvuti. Tekkinud on uued distsipliinid nagu “matemaatiline ökonoomika”, “matemaatiline keemia”, “matemaatiline lingvistika” jne, mis uurivad asjakohaste objektide ja nähtuste matemaatilisi mudeleid, aga ka meetodeid nende mudelite uurimiseks.

Matemaatiline mudel on reaalse maailma mis tahes klassi nähtuste või objektide ligikaudne kirjeldus matemaatika keeles. Modelleerimise peamine eesmärk on uurida neid objekte ja ennustada tulevaste vaatluste tulemusi. Modelleerimine on aga ka meetod meid ümbritseva maailma mõistmiseks, mis võimaldab seda kontrollida.

Matemaatiline modelleerimine ja sellega seotud arvutikatse on asendamatud juhtudel, kui täismahus katse on ühel või teisel põhjusel võimatu või keeruline. Näiteks on võimatu luua ajaloos looduskatset, et kontrollida, “mis oleks juhtunud, kui...” Ühe või teise kosmoloogilise teooria õigsust on võimatu kontrollida. On võimalik, kuid ebatõenäoline, et see on mõistlik, katsetada haiguse, näiteks katku, levikut või korraldada tuumaplahvatus, et uurida selle tagajärgi. Seda kõike saab aga teha arvutis, luues esmalt uuritavatest nähtustest matemaatilised mudelid.

2. Matemaatilise modelleerimise põhietapid

1) Mudeliehitus. Selles etapis täpsustatakse mõnda "mittematemaatilist" objekti - loodusnähtust, kujundust, majandusplaani, tootmisprotsessi jne. Sel juhul on olukorra selge kirjeldamine reeglina keeruline. Esiteks selgitatakse välja nähtuse põhijooned ja nendevahelised seosed kvalitatiivsel tasandil. Seejärel formuleeritakse leitud kvalitatiivsed sõltuvused matemaatika keeles ehk ehitatakse matemaatiline mudel. See on modelleerimise kõige raskem etapp.

2) Matemaatilise ülesande lahendamine, milleni mudel viib. Selles etapis pööratakse palju tähelepanu algoritmide ja numbriliste meetodite väljatöötamisele ülesande lahendamiseks arvutis, mille abil on võimalik tulemus vajaliku täpsusega ja vastuvõetava aja jooksul leida.

3) Saadud tagajärgede tõlgendamine matemaatilisest mudelist. Matemaatika keeles mudelist tuletatud tagajärgi tõlgendatakse valdkonnas aktsepteeritud keeles.

4) Mudeli adekvaatsuse kontrollimine. Selles etapis tehakse kindlaks, kas katsetulemused ühtivad teatud täpsusega mudeli teoreetiliste tagajärgedega.

5) Mudeli muutmine. Selles etapis on mudel kas keeruline, et see oleks tegelikkusele adekvaatsem, või lihtsustatud, et saavutada praktiliselt vastuvõetav lahendus.

3. Mudelite klassifikatsioon

Mudeleid saab klassifitseerida erinevate kriteeriumide järgi. Näiteks võib mudelid vastavalt lahendatavate probleemide olemusele jagada funktsionaalseteks ja struktuurseteks. Esimesel juhul väljendatakse kõik nähtust või objekti iseloomustavad suurused kvantitatiivselt. Veelgi enam, mõnda neist peetakse sõltumatuteks muutujateks, teisi aga nende suuruste funktsioonideks. Matemaatiline mudel on tavaliselt erinevat tüüpi võrrandite süsteem (diferentsiaal-, algebraline jne), mis loovad kvantitatiivsed seosed vaadeldavate suuruste vahel. Teisel juhul iseloomustab mudel keeruka objekti struktuuri, mis koosneb üksikutest osadest, mille vahel on teatud seosed. Tavaliselt ei ole need ühendused kvantifitseeritavad. Selliste mudelite koostamiseks on mugav kasutada graafiteooriat. Graaf on matemaatiline objekt, mis kujutab tasapinnal või ruumis olevate punktide (tippude) kogumit, millest osa on ühendatud joontega (servadega).

Lähtudes lähteandmete ja tulemuste olemusest võib ennustusmudeleid jagada deterministlikeks ja tõenäosus-statistilisteks. Esimest tüüpi mudelid teevad kindlaid, ühemõttelisi ennustusi. Teist tüüpi mudelid põhinevad statistilisel teabel ja nende abil saadud ennustused on oma olemuselt tõenäosuslikud.

4. Näited matemaatiliste mudelite kohta

1) Mürsu liikumise ülesanded.

Mõelge järgmisele mehaanikaprobleemile.

Mürsk lasti Maalt välja alates algkiirus v 0 = 30 m/s selle pinna suhtes nurga a = 45° all; tuleb leida selle liikumise trajektoor ja kaugus S selle trajektoori algus- ja lõpp-punkti vahel.

Seejärel, nagu koolifüüsika kursusest teada, kirjeldatakse mürsu liikumist valemitega:

kus t on aeg, g = 10 m/s 2 on raskuskiirendus. Need valemid annavad probleemi matemaatilise mudeli. Väljendades esimesest võrrandist t kuni x ja asendades selle teisega, saame mürsu trajektoori võrrandi:

See kõver (parabool) lõikab x-telge kahes punktis: x 1 = 0 (trajektoori algus) ja (koht, kuhu mürsk kukkus). Asendades saadud v0 ja a väärtused saadud valemitesse, saame

vastus: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Pange tähele, et selle mudeli koostamisel kasutati mitmeid eeldusi: näiteks eeldatakse, et Maa on lame ning õhk ja Maa pöörlemine ei mõjuta mürsu liikumist.

2) Probleem väikseima pindalaga paagi kohta.

Tuleb leida suletud ringikujulise silindri kujuga plekkpaagi kõrgus h 0 ja raadius r 0 mahuga V = 30 m 3, mille pindala S on minimaalne (antud juhul väikseim). selle tootmiseks kasutatakse kogust tina).

Kirjutame h ja raadiusega r silindri ruumala ja pindala jaoks järgmised valemid:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Väljendades esimesest valemist h läbi r ja V ning asendades saadud avaldise teisega, saame:

Seega taandub probleem matemaatilisest vaatepunktist r väärtuse määramisele, mille juures funktsioon S(r) saavutab oma miinimumi. Leiame need r 0 väärtused, mille tuletis

läheb nulli: Saate kontrollida, et funktsiooni S(r) teine tuletis muudab märgi miinusest plussiks, kui argument r läbib punkti r 0 . Järelikult on punktis r0 funktsioonil S(r) miinimum. Vastav väärtus on h 0 = 2r 0 . Asendades antud väärtuse V avaldisesse r 0 ja h 0, saame soovitud raadiuse ja kõrgus

3) Transpordiprobleem.

Linnas on kaks jahuladu ja kaks pagariäri. Iga päev veetakse esimesest laost 50 tonni jahu, teisest tehastesse 70 tonni, esimesse 40 tonni, teise 80 tonni.

Tähistame tähisega a ij 1 tonni jahu transpordikulu i-ndast laost kuni j-nda taim(i, j = 1,2). Lase

a 11 = 1,2 rubla, a 12 = 1,6 rubla, a 21 = 0,8 hõõruda, a 22 = 1 hõõruda.

Kuidas peaks transporti planeerima, et selle maksumus oleks minimaalne?

Esitame ülesandele matemaatilise sõnastuse. Tähistagem x 1 ja x 2 jahu kogust, mis tuleb transportida esimesest laost esimesse ja teise tehasesse ning x 3 ja x 4 -ga - teisest laost vastavalt esimesse ja teise tehasesse. Seejärel:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Kogu transpordi kogumaksumus määratakse valemiga

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.

Matemaatilisest vaatenurgast on ülesandeks leida neli arvu x 1, x 2, x 3 ja x 4, mis vastavad kõigile etteantud tingimustele ja annavad funktsiooni f miinimumi. Lahendame võrrandisüsteemi (1) xi jaoks (i = 1, 2, 3, 4), elimineerides tundmatud. Me saame sellest aru

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

ja x 4 ei saa üheselt määrata. Kuna x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), siis võrranditest (2) järeldub, et 30Ј x 4 Ј 70. Asendades avaldise x 1, x 2, x 3 valemis f, saame

f = 148 – 0,2 x 4.

On lihtne näha, et selle funktsiooni miinimum saavutatakse maksimaalse võimaliku väärtusega x 4, see tähendab, et x 4 = 70. Muude tundmatute vastavad väärtused määratakse valemitega (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktiivse lagunemise probleem.

Olgu N(0) radioaktiivse aine algne aatomite arv ja N(t) lagunemata aatomite arv ajahetkel t. Eksperimentaalselt on kindlaks tehtud, et nende aatomite arvu muutumise kiirus N"(t) on võrdeline N(t)-ga, st N"(t)=–l N(t), l >0 on antud aine radioaktiivsuse konstant. Matemaatilise analüüsi koolikursuses on näidatud, et selle diferentsiaalvõrrandi lahend on kujul N(t) = N(0)e –l t. Aega T, mille jooksul algsete aatomite arv on poole võrra vähenenud, nimetatakse poolestusajaks ja see on aine radioaktiivsuse oluline tunnus. T määramiseks peame sisestama valemi Siis Näiteks radooni puhul l = 2,084 · 10 –6 ja seega T = 3,15 päeva.

5) Reisiva müügimehe probleem.

Linnas A 1 elav reisiv müüja peab külastama linnu A 2 , A 3 ja A 4 , igas linnas täpselt üks kord, ning seejärel naasma A 1 . Teatavasti on kõik linnad paarikaupa ühendatud maanteedega ning linnade A i ja A j vaheliste teede b ij pikkused (i, j = 1, 2, 3, 4) on järgmised:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Tuleb määrata linnade külastamise järjekord, kus vastava tee pikkus on minimaalne.

Kujutagem iga linna punktina tasapinnal ja tähistame seda vastava sildiga Ai (i = 1, 2, 3, 4). Ühendame need punktid sirgjoontega: need tähistavad linnadevahelisi teid. Iga “tee” puhul märgime selle pikkuse kilomeetrites (joonis 2). Tulemuseks on graaf – matemaatiline objekt, mis koosneb teatud tasandi punktide hulgast (nimetatakse tippudeks) ja teatud neid punkte ühendavatest joontest (nimetatakse servadeks). Pealegi on see graafik märgistatud, kuna selle tippudele ja servadele on määratud mõned sildid - numbrid (servad) või sümbolid (tipud). Graafi tsükkel on tippude V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 jada nii, et tipud V 1 , ..., V k on erinevad ja mis tahes tippude paar V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) ja paar V 1, V k on ühendatud servaga. Seega on vaadeldav ülesanne leida graafil kõiki nelja tippu läbiv tsükkel, mille puhul on kõigi servade kaalude summa minimaalne. Otsime läbi kõik erinevad tsüklid, mis läbivad nelja tippu ja alustavad punktist A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Leiame nüüd nende tsüklite pikkused (km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Seega on kõige lühema pikkusega marsruut esimene.

Pange tähele, et kui graafis on n tippu ja kõik tipud on paarikaupa ühendatud servadega (sellist graafikut nimetatakse täielikuks), siis kõiki tippe läbivate tsüklite arv on Seega on meie puhul täpselt kolm tsüklit.

6) Ainete struktuuri ja omaduste vahelise seose leidmise probleem.

Vaatame mõnda keemilised ühendid, mida nimetatakse tavalisteks alkaanideks. Need koosnevad n süsinikuaatomist ja n + 2 vesinikuaatomist (n = 1, 2 ...), mis on omavahel ühendatud, nagu on näidatud joonisel 3, kui n = 3. Olgu nende ühendite keemistemperatuuride katselised väärtused teada:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Nende ühendite puhul on vaja leida ligikaudne seos keemistemperatuuri ja arvu n vahel. Oletame, et sellel sõltuvusel on vorm

y" a n+b,

Kus a, b - määratavad konstandid. Leidma a ja b asendame sellesse valemisse järjestikku n = 3, 4, 5, 6 ja vastavad keemispunktide väärtused. Meil on:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Parima väljaselgitamiseks a ja b neid on palju erinevaid meetodeid. Kasutame neist kõige lihtsamat. Väljendame b läbi a nendest võrranditest:

b » – 42–3 a, b" – 4 a, b » 28–5 a, b » 69–6 a.

Võtame nende väärtuste aritmeetilise keskmise soovitud b-ks, st paneme b » 16 – 4,5 a. Asendame selle b väärtuse algse võrrandisüsteemiga ja arvutame a, saame selle eest a järgmised väärtused: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Võtame vastavalt vajadusele a nende arvude keskmine väärtus ehk paneme a" 34. Seega on nõutaval võrrandil vorm

y » 34n – 139.

Kontrollime mudeli täpsust neljal algsel ühendil, mille keemispunktid arvutame saadud valemi abil:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Seega ei ületa nende ühendite selle omaduse arvutamise viga 5 °. Saadud võrrandi abil arvutame keemistemperatuuri ühendile, mille n = 7, mis ei sisaldu algses hulgas, mille puhul asendame selle võrrandiga n = 7: y р (7) = 99°. Tulemus oli üsna täpne: on teada, et keemistemperatuuri katseväärtus y e (7) = 98°.

7) Elektriahela töökindluse määramise probleem.

Siin vaatleme tõenäosusliku mudeli näidet. Esiteks esitame mõned andmed tõenäosusteooriast – matemaatilisest distsipliinist, mis uurib katsete korduval kordamisel täheldatud juhuslike nähtuste mustreid. Nimetagem juhuslikku sündmust A mõne katse võimalikuks tulemuseks. Sündmused A 1, ..., A k moodustavad tervikliku rühma, kui üks neist ilmneb tingimata katse tulemusena. Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui need ei saa toimuda üheaegselt ühes kogemuses. Laske sündmusel A esineda m korda katse n-kordse kordamise ajal. Sündmuse A sagedus on arv W = . Ilmselgelt ei saa W väärtust täpselt ennustada enne, kui on läbi viidud n katse seeria. Juhuslike sündmuste olemus on aga selline, et praktikas täheldatakse mõnikord järgmist efekti: katsete arvu suurenedes lakkab väärtus praktiliselt olemast juhuslik ja stabiliseerub mingi mittejuhusliku arvu P(A) ümber, mida nimetatakse tõenäosuseks sündmus A. Võimatu sündmuse puhul (mida katses kunagi ei esine) P(A)=0 ja usaldusväärse sündmuse puhul (mis esineb kogemuses alati) P(A)=1. Kui sündmused A 1 , ..., A k moodustavad tervikliku kokkusobimatute sündmuste rühma, siis P(A 1)+...+P(A k)=1.

Olgu katse näiteks täringu viskamises ja veeretatud punktide arvu jälgimises X. Seejärel saame tutvustada järgmisi juhuslikke sündmusi A i = (X = i), i = 1, ..., 6. moodustavad kokkusobimatute võrdselt tõenäoliste sündmuste täieliku rühma, seega P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Sündmuste A ja B summa on sündmus A + B, mis seisneb selles, et vähemalt üks neist leiab aset kogemuses. Sündmuste A ja B korrutis on sündmus AB, mis koosneb nende sündmuste samaaegsest toimumisest. Sõltumatute sündmuste A ja B puhul kehtivad järgmised valemid:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Vaatleme nüüd järgmist ülesanne. Oletame, et kolm elementi on järjestikku ühendatud elektriahelaga ja töötavad üksteisest sõltumatult. 1., 2. ja 3. elemendi rikete tõenäosused on vastavalt võrdsed P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Peame vooluahelat usaldusväärseks, kui tõenäosus, et vooluringis puudub, ei ole suurem kui 0,4. On vaja kindlaks teha, kas antud vooluahel on usaldusväärne.

Kuna elemendid on ühendatud järjestikku, siis vähemalt ühe elemendi rikke korral vooluringis ei teki (sündmus A). Olgu A i see sündmus, mis i-s element töötab (i = 1, 2, 3). Siis P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Ilmselgelt on A 1 A 2 A 3 sündmus, milles kõik kolm elementi töötavad samaaegselt ja

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0,612.

Siis P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, seega P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Kokkuvõtteks märgime, et toodud matemaatiliste mudelite näited (sh funktsionaalsed ja struktuursed, deterministlikud ja tõenäosuslikud) on oma olemuselt illustreerivad ega ammenda ilmselt loodus- ja humanitaarteadustes tekkivate matemaatiliste mudelite mitmekesisust.

LOENGU MÄRKUSED

Vastavalt kursile

"Masinate ja transpordisüsteemide matemaatiline modelleerimine"

Kursusel vaadeldakse matemaatilise modelleerimisega seotud küsimusi, matemaatiliste mudelite esitusvormi ja põhimõtet. Vaadeldakse numbrilisi meetodeid ühemõõtmeliste ülesannete lahendamiseks. mittelineaarsed süsteemid. Käsitletakse arvutimodelleerimise ja arvutusliku katse küsimusi. Arvestatakse teaduslike või tööstuslike katsete tulemusena saadud andmete töötlemise meetodeid; erinevate protsesside uurimine, objektide, protsesside ja süsteemide käitumismustrite tuvastamine. Vaadeldakse eksperimentaalsete andmete interpoleerimise ja lähendamise meetodeid. Käsitletakse arvutimodelleerimise ja mittelineaarsete ülesannete lahendamisega seotud küsimusi. dünaamilised süsteemid. Eelkõige käsitletakse esimest, teist ja kõrgemat järku tavaliste diferentsiaalvõrrandite arvulise integreerimise ja lahendamise meetodeid.

Loeng: Matemaatiline modelleerimine. Matemaatiliste mudelite esitamise vorm ja põhimõtted

Loengus käsitletakse matemaatilise modelleerimise üldküsimusi. Antakse matemaatiliste mudelite klassifikatsioon.

Arvuti on kindlalt meie ellu sisenenud ja praktiliselt pole inimtegevuse valdkonda, kus arvutit ei kasutataks. Arvuteid kasutatakse nüüd laialdaselt uute masinate, uute tehnoloogiliste protsesside loomisel ja uurimisel ning nende otsimisel. optimaalsed võimalused; majandusprobleemide lahendamisel, planeerimise ja tootmisjuhtimise probleemide lahendamisel erinevatel tasanditel. Suurte objektide loomine raketitööstuses, lennukite tootmises, laevaehituses, aga ka tammide, sildade jms projekteerimises on üldjuhul võimatu ilma arvutite kasutamiseta.

Arvuti kasutamiseks rakendusülesannete lahendamisel tuleb ennekõike rakendusülesanne “tõlkida” formaalsesse matemaatilisse keelde, s.o. reaalse objekti, protsessi või süsteemi jaoks tuleb ehitada selle matemaatiline mudel.

Sõna "mudel" pärineb ladinakeelsest sõnast modus (koopia, kujutis, kontuur). Modelleerimine on mõne objekti A asendamine teise objektiga B. Asendatud objekti A nimetatakse algseks ehk modelleerivaks objektiks ja asendusobjekti B mudeliks. Teisisõnu, mudel on originaalobjekti asendusobjekt, mis võimaldab uurida originaali mõningaid omadusi.

Modelleerimise eesmärk on hankida, töödelda, esitada ja kasutada teavet objektide kohta, mis interakteeruvad üksteisega ja väliskeskkond; ja mudel toimib siin vahendina objekti omaduste ja käitumismustrite mõistmiseks.

Modelleerimist kasutatakse laialdaselt erinevates inimtegevuse valdkondades, eriti disaini ja juhtimise valdkondades, kus kasutuselevõtuprotsessid on erilised. tõhusaid lahendusi saadud teabe põhjal.

Mudel ehitatakse alati kindla eesmärgiga, mis mõjutab seda, millised objektiivse nähtuse omadused on olulised ja millised mitte. Mudel on justkui objektiivse reaalsuse projektsioon teatud nurga alt. Mõnikord, sõltuvalt eesmärkidest, võite saada mitmeid objektiivse reaalsuse projektsioone, mis lähevad vastuollu. See on reeglina tüüpiline keerukate süsteemide jaoks, kus iga projektsioon valib ebaoluliste hulgast selle, mis on konkreetse eesmärgi jaoks hädavajalik.

Modelleerimise teooria on teadusharu, mis uurib võimalusi uurida originaalobjektide omadusi nende asendamisel teiste mudelobjektidega. Modelleerimise teooria põhineb sarnasuse teoorial. Modelleerimisel absoluutset sarnasust ei toimu ja püütakse vaid tagada, et mudel kajastaks piisavalt hästi uuritava objekti toimimise aspekti. Absoluutne sarnasus saab tekkida ainult siis, kui üks objekt asendatakse teise täpselt samasugusega.

Kõik mudelid võib jagada kahte klassi:

1. tõeline,

2. ideaalne.

Reaalsed mudelid võib omakorda jagada järgmisteks osadeks:

1. täismahus,

2. füüsiline,

3. matemaatiline.

Ideaalsed mudelid võib jagada järgmisteks osadeks:

1. visuaalne,

2. ikooniline,

3. matemaatiline.

Tõelised täismahus mudelid on reaalsed objektid, protsessid ja süsteemid, millel tehakse teaduslikke, tehnilisi ja tööstuslikke katseid.

Tõelised füüsilised mudelid on mudelid, mannekeenid, mis paljunevad füüsikalised omadused originaalid (kinemaatilised, dünaamilised, hüdraulilised, termilised, elektrilised, valgustusmudelid).

Tõelised matemaatilised on analoog-, struktuur-, geomeetrilised, graafilised, digitaalsed ja küberneetilised mudelid.

Ideaalne visuaalsed mudelid- need on diagrammid, kaardid, joonised, graafikud, graafikud, analoogid, struktuursed ja geomeetrilised mudelid.

Ideaalsed märgimudelid on sümbolid, tähestik, programmeerimiskeeled, järjestatud tähistus, topoloogiline tähistus, võrgu esitus.

Ideaalsed matemaatilised mudelid on analüütilised, funktsionaalsed, simulatsiooni- ja kombineeritud mudelid.

Ülaltoodud klassifikatsioonis on mõnel mudelil topelttõlgendus (näiteks analoog). Kõik mudelid, välja arvatud täismahus, saab ühendada ühte vaimsete mudelite klassi, sest need on inimese abstraktse mõtlemise produkt.

Peatugem ühel universaalsemal modelleerimisel - matemaatilisel, mis sobitab simuleeritud füüsikalise protsessi matemaatiliste seoste süsteemiga, mille lahendamine võimaldab saada vastuse küsimusele objekti käitumise kohta ilma mudelit loomata. füüsiline mudel, mis sageli osutub kalliks ja ebatõhusaks.

Matemaatiline modelleerimine on vahend reaalse objekti, protsessi või süsteemi uurimiseks, asendades need matemaatilise mudeliga, mis on mugavam arvuti abil eksperimentaalseks uurimiseks.

Matemaatiline mudel on reaalsete objektide, protsesside või süsteemide ligikaudne esitus, mis on väljendatud matemaatiliselt ja säilitades originaali olulised tunnused. Matemaatilised mudelid kvantitatiivsel kujul, kasutades loogilisi ja matemaatilisi konstruktsioone, kirjeldavad objekti, protsessi või süsteemi põhiomadusi, selle parameetreid, sisemisi ja väliseid seoseid.

Üldiselt kujutatakse reaalse objekti, protsessi või süsteemi matemaatilist mudelit funktsionaalsuste süsteemina

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

kus X on sisendmuutujate vektor, X= t,

Y - väljundmuutujate vektor, Y= t,

Z - välismõjude vektor, Z= t,

t - aja koordinaat.

Matemaatilise mudeli konstrueerimine seisneb teatud protsesside ja nähtuste vaheliste seoste väljaselgitamises, matemaatilise aparaadi loomises, mis võimaldab kvantitatiivselt ja kvalitatiivselt väljendada seost teatud protsesside ja nähtuste, spetsialistile huvipakkuvate füüsikaliste suuruste ning protsessi mõjutavate tegurite vahel. lõpptulemus.

Tavaliselt on neid nii palju, et kogu nende komplekti on võimatu mudelisse tutvustada. Matemaatilise mudeli koostamisel on uurimisülesandeks välja selgitada ja jätta vaatlusest välja tegurid, mis lõpptulemust oluliselt ei mõjuta (matemaatiline mudel sisaldab enamasti oluliselt väiksemat arvu tegureid kui tegelikkuses). Katseandmete põhjal püstitatakse hüpoteesid lõpptulemust väljendavate suuruste ja matemaatilisse mudelisse sisestatud tegurite vahelise seose kohta. Sellist seost väljendavad sageli osadiferentsiaalvõrrandi süsteemid (näiteks tahkete ainete, vedelike ja gaaside mehaanika probleemides, filtreerimise teoorias, soojusjuhtivuses, elektrostaatiliste ja elektrodünaamiliste väljade teoorias).

Selle etapi lõppeesmärk on matemaatilise ülesande sõnastamine, mille lahendamine väljendab vajaliku täpsusega spetsialistile huvipakkuvaid tulemusi.

Matemaatilise mudeli vorm ja esituspõhimõtted sõltuvad paljudest teguritest.

Konstruktsiooni põhimõtete alusel jagunevad matemaatilised mudelid:

1. analüütiline;

2. jäljendamine.

Analüütilistes mudelites on reaalsete objektide, protsesside või süsteemide toimimise protsessid kirjutatud selgesõnaliste funktsionaalsete sõltuvuste kujul.

Analüütiline mudel jaguneb sõltuvalt matemaatilisest probleemist tüüpideks:

1. võrrandid (algebraline, transtsendentaalne, diferentsiaal, integraal),

2. lähendusprobleemid (interpoleerimine, ekstrapoleerimine, numbriline integreerimine ja diferentseerimine),

3. optimeerimisprobleemid,

4. stohhastilised probleemid.

Kuna aga modelleerimisobjekt muutub keerukamaks, muutub analüütilise mudeli koostamine lahendamatuks probleemiks. Seejärel on uurija sunnitud kasutama simulatsioonimodelleerimist.

Simulatsioonimodelleerimisel kirjeldatakse objektide, protsesside või süsteemide toimimist algoritmide komplektiga. Algoritmid simuleerivad reaalseid elementaarnähtusi, mis moodustavad protsessi või süsteemi, säilitades samas nende loogilise struktuuri ja järjestuse aja jooksul. Simulatsioonimodelleerimine võimaldab lähteandmetest saada teavet protsessi või süsteemi olekute kohta teatud ajahetkedel, kuid objektide, protsesside või süsteemide käitumise ennustamine on siin keeruline. Võime öelda, et simulatsioonimudelid on arvutipõhised arvutuslikud katsed matemaatiliste mudelitega, mis jäljendavad reaalsete objektide, protsesside või süsteemide käitumist.

Sõltuvalt uuritavate reaalsete protsesside ja süsteemide olemusest võivad matemaatilised mudelid olla:

1. deterministlik,

2. stohhastiline.

Deterministlikes mudelites eeldatakse, et juhuslikud mõjud puuduvad, mudeli elemendid (muutujad, matemaatilised seosed) on üsna täpselt paika pandud ning süsteemi käitumist saab täpselt määrata. Deterministlike mudelite koostamisel kasutatakse neid kõige sagedamini algebralised võrrandid, integraalvõrrandid, maatriksalgebra.

Stohhastiline mudel võtab arvesse uuritavates objektides ja süsteemides toimuvate protsesside juhuslikkust, mida kirjeldatakse tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika meetoditega.

Sisendteabe tüübi alusel jagatakse mudelid järgmisteks osadeks:

1. pidev,

2. diskreetne.

Sõltuvalt mudelite käitumisest aja jooksul jagatakse need järgmisteks osadeks:

1. staatiline,

2. dünaamiline.

Staatilised mudelid kirjeldavad objekti, protsessi või süsteemi käitumist mis tahes ajahetkel. Dünaamilised mudelid peegeldavad objekti, protsessi või süsteemi käitumist aja jooksul.

Matemaatilise mudeli ja reaalse objekti, protsessi või süsteemi vastavuse astme alusel jagatakse matemaatilised mudelid järgmisteks osadeks:

1. isomorfne (kujult identne),

2. homomorfne (erineva kujuga).

Mudelit nimetatakse isomorfseks, kui selle ja reaalse objekti, protsessi või süsteemi vahel on täielik elementide kaupa vastavus. Homomorfne – kui vastavus on ainult objekti ja mudeli kõige olulisemate komponentide vahel.

Tulevikus eest lühike määratlus matemaatilise mudeli tüübi ülaltoodud klassifikatsioonis kasutame järgmist tähistust:

Esimene täht:

D - deterministlik,

C - stohhastiline.

Teine täht:

N – pidev,

D - diskreetne.

Kolmas täht:

A - analüütiline,

Ja - imitatsioon.

1. Puudub (täpsemalt ei arvestata) juhuslike protsesside mõju, s.o. deterministlik mudel (D).

2. Info ja parameetrid on pidevad, s.t. mudel - pidev (N),

3. Vändamehhanismi mudeli toimimist kirjeldatakse mittelineaarsete transtsendentaalsete võrrandite kujul, st. mudel – analüütiline (A)

2. Loeng: Matemaatiliste mudelite koostamise tunnused

Loengus kirjeldatakse matemaatilise mudeli koostamise protsessi. Protsessi verbaalne algoritm on antud.

Matemaatilised mudelid kvantitatiivsel kujul, kasutades loogilisi ja matemaatilisi konstruktsioone, kirjeldavad objekti, protsessi või süsteemi põhiomadusi, selle parameetreid, sisemisi ja väliseid seoseid.

Matemaatilise mudeli koostamiseks vajate:

1. analüüsige hoolikalt reaalset objekti või protsessi;

2. tuua esile selle olulisemad tunnused ja omadused;

3. defineerida muutujad, st. parameetrid, mille väärtused mõjutavad objekti põhiomadusi ja omadusi;

4. kirjeldada objekti, protsessi või süsteemi põhiomaduste sõltuvust muutujate väärtustest, kasutades loogilis-matemaatilisi seoseid (võrrandid, võrrandid, võrratused, loogilis-matemaatilisi konstruktsioone);

5. tuua esile objekti, protsessi või süsteemi sisemised seosed, kasutades piiranguid, võrrandeid, võrdusi, võrratusi, loogilisi ja matemaatilisi konstruktsioone;

6. tuvastada väliseid seoseid ja kirjeldada neid piirangute, võrrandite, võrratuste, võrratuste, loogiliste ja matemaatiliste konstruktsioonide abil.

Matemaatiline modelleerimine hõlmab lisaks objekti, protsessi või süsteemi uurimisele ja selle matemaatilise kirjelduse koostamisele ka:

1. objekti, protsessi või süsteemi käitumist modelleeriva algoritmi konstrueerimine;

2. mudeli ja objekti, protsessi või süsteemi adekvaatsuse kontrollimine arvutuslike ja täismahuliste katsete põhjal;

3. mudeli reguleerimine;

4. mudeli kasutamine.

Uuritavate protsesside ja süsteemide matemaatiline kirjeldus sõltub:

1. reaalse protsessi või süsteemi olemus ja on koostatud füüsika, keemia, mehaanika, termodünaamika, hüdrodünaamika, elektrotehnika, plastilisuse teooria, elastsuse teooria jne seaduste alusel.

2. reaalsete protsesside ja süsteemide uurimise ja uurimise nõutav usaldusväärsus ja täpsus.

Matemaatilise mudeli valimise etapis tehakse kindlaks: objekti, protsessi või süsteemi lineaarsus ja mittelineaarsus, dünaamilisus või staatilisus, statsionaarsus või mittestatsionaarsus, samuti uuritava objekti või protsessi determinismi aste. Matemaatilises modelleerimises abstraheeritakse teadlikult objektide, protsesside või süsteemide spetsiifilisest füüsilisest olemusest ja keskendutakse peamiselt neid protsesse kirjeldavate suuruste vaheliste kvantitatiivsete sõltuvuste uurimisele.

Matemaatiline mudel ei ole kunagi täiesti identne vaadeldava objekti, protsessi või süsteemiga. Lihtsustamise ja idealiseerimise põhjal on tegemist objekti ligikaudse kirjeldusega. Seetõttu on mudeli analüüsil saadud tulemused ligikaudsed. Nende täpsuse määrab mudeli ja objekti vaheline adekvaatsus (vastavus).

Matemaatilise mudeli koostamine algab tavaliselt vaadeldava objekti, protsessi või süsteemi kõige lihtsama, kõige toorasema matemaatilise mudeli konstrueerimisest ja analüüsist. Edaspidi vajadusel täpsustatakse mudelit ja muudetakse selle vastavus objektile terviklikumaks.

Võtame lihtsa näite. On vaja määrata töölaua pindala. Tavaliselt tehakse selleks selle pikkuse ja laiuse mõõtmine ning saadud arvude korrutamine. See elementaarne protseduur tähendab tegelikult järgmist: reaalne objekt (lauapind) asendatakse abstraktse matemaatilise mudeliga – ristkülikuga. Laua pinna pikkuse ja laiuse mõõtmisel saadud mõõtmed omistatakse ristkülikule ja sellise ristküliku pindalaks võetakse ligikaudu laua nõutav pindala.

Laua ristkülikukujuline mudel on aga kõige lihtsam ja tooresem mudel. Kui lähenete probleemile tõsisemalt, tuleb enne ristkülikumudeli kasutamist tabeli pindala määramiseks seda mudelit kontrollida. Kontrolli saab läbi viia järgmiselt: mõõta pikkused vastasküljed tabel, samuti selle diagonaalide pikkused ja võrrelda neid omavahel. Kui nõutava täpsusastmega on vastaskülgede pikkused ja diagonaalide pikkused paarikaupa võrdsed, siis võib tabeli pinda tõesti käsitleda ristkülikuna. Vastasel juhul tuleb ristkülikumudel tagasi lükata ja asendada nelinurkse mudeliga üldine vaade. Kõrgema täpsusnõude korral võib osutuda vajalikuks mudelit veelgi täpsustada, näiteks arvestada tabeli nurkade ümardamisega.

Selle lihtsa näite abil näidati, et matemaatilist mudelit ei määra uuritav objekt, protsess või süsteem üheselt. Sama tabeli jaoks võime kasutada kas ristküliku mudelit või üldise nelinurga keerukamat mudelit või ümarate nurkadega nelinurka. Ühe või teise mudeli valiku määrab täpsuse nõue. Suureneva täpsusega peab mudel olema keeruline, võttes arvesse uuritava objekti, protsessi või süsteemi uusi ja uusi omadusi.

Vaatleme teist näidet: vändamehhanismi liikumise uurimine (joonis 2.1).

Riis. 2.1.

Selle mehhanismi kinemaatiliseks analüüsiks on kõigepealt vaja koostada selle kinemaatiline mudel. Selle jaoks:

1. Asendame mehhanismi selle kinemaatilise diagrammiga, kus kõik lülid on asendatud jäikade ühendustega;

2. Selle diagrammi abil tuletame mehhanismi liikumisvõrrandi;

3. Viimaseid eristades saame kiiruste ja kiirenduse võrrandid, mis on 1. ja 2. järku diferentsiaalvõrrandid.

Kirjutame need võrrandid:

kus C 0 on liuguri C äärmine parem asend:

r – vända raadius AB;

l – kepsu pikkus BC;

– vända pöörlemisnurk;

Saadud transtsendentaalsed võrrandid esindavad lameda aksiaalse vändamehhanismi liikumise matemaatilist mudelit, mis põhineb järgmistel lihtsustavatel eeldustel:

1. meid ei huvitanud kehade mehhanismi kuuluvate masside ehituslikud vormid ja paigutus ning asendasime kõik mehhanismi kehad sirgete segmentidega. Tegelikult on kõik mehhanismi lülid massi ja üsna keeruka kujuga. Näiteks ühendusvarras on keeruline koost, mille kuju ja mõõtmed mõjutavad loomulikult mehhanismi liikumist;

2. vaadeldava mehhanismi liikumise matemaatilise mudeli koostamisel ei võtnud me arvesse ka mehhanismi kuuluvate kehade elastsust, s.o. kõiki linke peeti abstraktseteks absoluutselt jäikadeks kehadeks. Tegelikult on kõik mehhanismi kuuluvad kehad elastsed kehad. Kui mehhanism liigub, deformeeruvad need kuidagi ja neis võib tekkida isegi elastne vibratsioon. Kõik see mõjutab loomulikult ka mehhanismi liikumist;

3. me ei võtnud arvesse lülide tootmisviga, kinemaatiliste paaride A, B, C lünki jne.

Seega on oluline veel kord rõhutada, et mida kõrgemad on nõuded ülesande lahendamise tulemuste täpsusele, seda suurem on vajadus võtta matemaatilise mudeli koostamisel arvesse uuritava objekti, protsessi või süsteemi iseärasusi. Siiski on oluline siin õigel ajal peatuda, sest keeruline matemaatiline mudel võib muutuda keeruliseks lahendamiseks.

Mudelit on kõige lihtsam konstrueerida siis, kui objekti, protsessi või süsteemi käitumist ja omadusi määravad seadused on hästi teada ning nende rakendamisel on laialdased praktilised kogemused.

Rohkem raske olukord tekib siis, kui meie teadmised uuritava objekti, protsessi või süsteemi kohta on ebapiisavad. Sel juhul on matemaatilise mudeli koostamisel vaja teha täiendavaid eeldusi, mis on hüpoteeside olemuslikud, sellist mudelit nimetatakse hüpoteetiliseks. Sellise hüpoteetilise mudeli uurimise tulemusena tehtud järeldused on tinglikud. Järelduste kontrollimiseks on vaja võrrelda mudeli arvutis uurimise tulemusi täismahus katse tulemustega. Seega ei ole küsimus teatud matemaatilise mudeli rakendatavusest vaadeldava objekti, protsessi või süsteemi uurimisel matemaatiline küsimus ja seda ei saa lahendada matemaatiliste meetoditega.

Tõe põhikriteeriumiks on eksperiment, praktika selle sõna kõige laiemas tähenduses.

Matemaatilise mudeli koostamine rakendusülesannetes on üks keerulisemaid ja olulisemaid tööetappe. Kogemused näitavad, et paljudel juhtudel tähendab õige mudeli valimine probleemi lahendamist enam kui poole võrra. Selle etapi raskus seisneb selles, et see nõuab matemaatika ja eriteadmiste kombinatsiooni. Seetõttu on väga oluline, et matemaatikutel oleks rakendusülesannete lahendamisel objekti kohta eriteadmised ning nende partneritel spetsialistidel teatud matemaatiline kultuur, uurimiskogemus oma valdkonnas, teadmised arvutitest ja programmeerimisest.

Loeng 3. Arvutimodelleerimine ja arvutuslik eksperiment. Matemaatiliste mudelite lahendamine

Arvutimodelleerimine kui uus teadusliku uurimistöö meetod põhineb:

1. matemaatiliste mudelite koostamine uuritavate protsesside kirjeldamiseks;

2. kasutades uusimaid suure kiirusega (miljoneid toiminguid sekundis) arvuteid, mis on võimelised pidama inimesega dialoogi.

Arvutimodelleerimise olemus on järgmine: matemaatilise mudeli alusel viiakse arvuti abil läbi arvutuskatsete seeria, s.o. uuritakse objektide või protsesside omadusi, leitakse nende optimaalsed parameetrid ja töörežiimid ning täpsustatakse mudelit. Näiteks kui teil on võrrand, mis kirjeldab konkreetse protsessi kulgu, saate muuta selle koefitsiente, alg- ja piirtingimusi ning uurida, kuidas objekt käitub. Lisaks on võimalik ennustada objekti käitumist erinevates tingimustes.

Arvutuskatse võimaldab kalli täismahus katse asendada arvutiarvutustega. See võimaldab teil lühikese aja jooksul ja ilma oluliste materiaalsete kuludeta läbi viia uuringuid. suur number projekteeritud objekti või protsessi võimalused selle erinevateks töörežiimideks, mis vähendab oluliselt keerukate süsteemide arendusaega ja nende realiseerimist tootmises.

Arvutimodelleerimine ja arvutuslik eksperiment kui uus teadusliku uurimistöö meetod võimaldab täiustada matemaatiliste mudelite koostamisel kasutatavat matemaatilist aparaati ning võimaldab matemaatilisi meetodeid kasutades matemaatilisi mudeleid selgitada ja komplitseerida. Kõige lootustandvam arvutusliku eksperimendi läbiviimiseks on selle kasutamine meie aja suuremate teaduslike, tehniliste ja sotsiaal-majanduslike probleemide lahendamisel (tuumaelektrijaamade reaktorite projekteerimine, tammide ja hüdroelektrijaamade projekteerimine, magnetohüdrodünaamiliste energiamuundurite projekteerimine ning majanduse alal). - tasakaalustatud kava koostamine tööstuse, piirkonna, riigi jne jaoks).

Mõnes protsessis, kus looduskatse on ohtlik inimese elule ja tervisele, on arvutuslik eksperiment ainuvõimalik (termotuumasünteesi, kosmoseuuringud, keemia- ja muude tööstusharude projekteerimine ja uurimine).

Matemaatilise mudeli ja reaalse objekti, protsessi või süsteemi adekvaatsuse kontrollimiseks võrreldakse arvutiuuringute tulemusi prototüübi täismahus mudeli katse tulemustega. Katsetulemusi kasutatakse matemaatilise mudeli kohandamiseks või lahendatakse küsimus konstrueeritud matemaatilise mudeli rakendatavusest konkreetsete objektide, protsesside või süsteemide kavandamisel või uurimisel.

Kokkuvõtteks rõhutame veel kord, et arvutimodelleerimine ja arvutuslik eksperiment võimaldavad taandada “mittematemaatilise” objekti uurimise matemaatilise ülesande lahendamiseks. See avab võimaluse kasutada selle uurimiseks hästiarendatud matemaatilist aparaati koos võimsa arvutustehnoloogiaga. See on aluseks matemaatika ja arvutite kasutamisele, et mõista reaalse maailma seadusi ja neid praktikas kasutada.

Reaalsete objektide, protsesside või süsteemide käitumise kavandamise või uurimise probleemide korral on matemaatilised mudelid tavaliselt mittelineaarsed, kuna need peavad peegeldama neis toimuvaid tegelikke füüsilisi mittelineaarseid protsesse. Pealegi on nende protsesside parameetrid (muutujad) omavahel seotud füüsikaliste mittelineaarsete seadustega. Seetõttu kasutatakse reaalsete objektide, protsesside või süsteemide käitumise kavandamise või uurimise probleemide lahendamisel kõige sagedamini matemaatilisi mudeleid, nagu DNA.

Vastavalt 1. loengus antud klassifikatsioonile:

D – mudel on deterministlik, juhuslike protsesside mõju puudub (täpsemalt ei võeta arvesse).

N – pidev mudel, informatsioon ja parameetrid on pidevad.

A – analüütiline mudel, mudeli toimimist kirjeldatakse võrrandite kujul (lineaarne, mittelineaarne, võrrandisüsteemid, diferentsiaal- ja integraalvõrrandid).

Niisiis, oleme ehitanud vaadeldavast objektist, protsessist või süsteemist matemaatilise mudeli, s.t. esitas rakendatud probleemi matemaatilisena. Pärast seda algab rakendusülesande lahendamise teine etapp - sõnastatud matemaatilise ülesande lahendamise meetodi otsimine või väljatöötamine. Meetod peaks olema arvutis rakendamiseks mugav, esitage nõutav kvaliteet lahendusi.

Kõik matemaatiliste probleemide lahendamise meetodid võib jagada kahte rühma:

1. täpsed meetodid ülesannete lahendamiseks;

2. numbrilised meetodid ülesannete lahendamiseks.

Matemaatiliste ülesannete lahendamise täpsetes meetodites saab vastuse valemite kujul.

Näiteks juurte arvutamine ruutvõrrand:

või näiteks tuletisfunktsioonide arvutamine:

või kindla integraali arvutamine:

Arvude asendamine valemiga aga lõpliku kujul kümnendkohad, saame ikkagi tulemuse ligikaudsed väärtused.

Enamiku praktikas esinevate probleemide puhul on täpsed lahendusmeetodid kas teadmata või pakuvad väga tülikaid valemeid. Siiski pole need alati vajalikud. Rakendusülesannet saab lugeda praktiliselt lahendatuks, kui suudame selle vajaliku täpsusega lahendada.

Selliste ülesannete lahendamiseks on välja töötatud numbrilised meetodid, mille puhul keerukate matemaatiliste ülesannete lahendamine taandatakse suure hulga lihtsate aritmeetiliste tehtete järjestikusele täitmisele. Numbriliste meetodite otsene arendamine kuulub arvutusmatemaatika alla.

Numbrilise meetodi näiteks on ligikaudse integreerimise ristkülikute meetod, mis ei nõua integrandi antituletise arvutamist. Integraali asemel arvutatakse lõplik kvadratuursumma:

x 1 =a – integreerimise alumine piir;

x n+1 =b – integreerimise ülempiir;

n – lõikude arv, milleks integreerimisintervall (a,b) on jagatud;

– elementaarlõigu pikkus;

f(x i) – integrandi väärtus elementaarintegratsiooni segmentide otstes.

Mida suurem on segmentide arv n, milleks integreerimisintervall on jagatud, seda lähemal on ligikaudne lahendus tõelisele, s.t. seda täpsem on tulemus.

Seega on rakendusülesannetes nii täpsete lahendusmeetodite kasutamisel kui ka numbriliste lahendusmeetodite kasutamisel arvutustulemused ligikaudsed. Oluline on vaid tagada, et vead mahuksid nõutava täpsusega.

Arvulised meetodid matemaatikaülesannete lahendamiseks on tuntud juba pikka aega, isegi enne arvutite tulekut, kuid neid kasutati harva ja ainult suhteliselt lihtsatel juhtudel arvutuste äärmise keerukuse tõttu. Numbriliste meetodite laialdane kasutamine on saanud võimalikuks tänu arvutitele.

1. loeng.

MODELLEERIMISE METOODILISED ALUSED

Süsteemi modelleerimise probleemi hetkeseis

Modelleerimise ja simulatsiooni kontseptsioonid

Modelleerimine võib käsitleda kui uuritava objekti (originaal) asendamist selle kokkuleppelise kujutise, kirjelduse või muu objektiga nn. mudel ning originaalilähedase käitumise pakkumine teatud eelduste ja vastuvõetavate vigade raames. Modelleerimine viiakse tavaliselt läbi eesmärgiga mõista originaali omadusi, uurides selle mudelit, mitte objekti ennast. Loomulikult on modelleerimine õigustatud, kui see on lihtsam kui originaali enda loomine või kui mingil põhjusel on parem originaali üldse mitte luua.

Under mudel all mõistetakse füüsilist või abstraktset objekti, mille omadused on teatud mõttes sarnased uuritava objekti omadustega.Sellisel juhul määrab mudelile esitatavad nõuded lahendatava probleemi ja olemasolevate vahenditega. Mudelite jaoks on mitmeid üldisi nõudeid:

2) täielikkus – saajale kogu vajaliku teabe edastamine

objekti kohta;

3) paindlikkus - võime kõiges reprodutseerida erinevaid olukordi

tingimuste ja parameetrite muutuste ulatus;

4) arenduse keerukus peab olema olemasoleva jaoks vastuvõetav

aega ja tarkvara.

Modelleerimine on protsess, mille käigus konstrueeritakse objektist mudel ja uuritakse selle omadusi mudelit uurides.

Seega hõlmab modelleerimine kahte peamist etappi:

1) mudeli väljatöötamine;

2) mudeli uurimine ja järelduste tegemine.

Samal ajal lahendatakse igas etapis erinevaid ülesandeid ja

olemuselt erinevad meetodid ja vahendid.

Praktikas kasutatakse erinevaid modelleerimismeetodeid. Sõltuvalt teostusmeetodist võib kõik mudelid jagada kahte suurde klassi: füüsikalised ja matemaatilised.

Matemaatika modelleerimine Tavaliselt peetakse seda protsesside või nähtuste uurimise vahendiks nende matemaatilisi mudeleid kasutades.

Under füüsiline modelleerimine viitab objektide ja nähtuste uurimisele füüsikalistel mudelitel, kui uuritavat protsessi reprodutseeritakse selle füüsikalist olemust säilitades või kasutatakse mõnda muud uuritavaga sarnast füüsikalist nähtust. Kus füüsilised mudelid Reeglina eeldavad nad originaali nende füüsikaliste omaduste tegelikku teostust, mis on konkreetses olukorras olulised.Näiteks uue lennuki projekteerimisel luuakse makett, millel on samad aerodünaamilised omadused; Arhitektid koostavad arendust planeerides mudeli, mis kajastab selle elementide ruumilist paigutust. Sellega seoses nimetatakse ka füüsilist modelleerimist prototüüpimine.

Poolväärtusaja modelleerimine on uurimus juhitavatest süsteemidest modelleerimiskomplekside kohta koos tegelike seadmete kaasamisega mudelisse. Kinnisesse mudelisse kuuluvad koos reaalsete aparatuuriga mõjude ja häirete simulaatorid, väliskeskkonna matemaatikamudelid ja protsessid, mille jaoks pole piisavalt täpne matemaatiline kirjeldus. Reaalsete seadmete või reaalsete süsteemide kaasamine keerukate protsesside modelleerimise ahelasse võimaldab vähendada a priori ebakindlust ja uurida protsesse, mille jaoks puudub täpne matemaatiline kirjeldus. Kasutades poollooduslikku modelleerimist, tehakse uuringuid, võttes arvesse reaalsele seadmele omaseid väikeseid ajakonstante ja lineaarsust. Reaalset varustust kasutavate mudelite uurimisel kasutatakse kontseptsiooni dünaamiline simulatsioon, keeruliste süsteemide ja nähtuste uurimisel - evolutsiooniline, imitatsioon Ja küberneetiline modelleerimine.

Ilmselgelt saab modelleerimisest tegelikku kasu saada ainult siis, kui on täidetud kaks tingimust:

1) mudel annab omaduste õige (adekvaatse) kuva

originaal, uuritava operatsiooni seisukohalt oluline;

2) mudel võimaldab teil kõrvaldada ülaltoodud probleemid

reaalsete objektide uurimise läbiviimine.

2. Matemaatilise modelleerimise põhimõisted

Praktiliste ülesannete lahendamine matemaatiliste meetodite abil toimub järjepidevalt ülesande formuleerimise (matemaatilise mudeli väljatöötamise), saadud matemaatilise mudeli uurimise meetodi valimise ja saadud matemaatilise tulemuse analüüsimise teel. Ülesande matemaatiline sõnastus esitatakse tavaliselt geomeetriliste kujutiste, funktsioonide, võrrandisüsteemide jne kujul. Objekti (nähtuse) kirjeldust saab esitada pidevate või diskreetsete, deterministlike või stohhastiliste ja muude matemaatikavormide abil.

Matemaatilise modelleerimise teooria tagab ümbritseva maailma erinevate nähtuste esinemismustrite või süsteemide ja seadmete toimimise mustrite tuvastamise nende matemaatilise kirjeldamise ja modelleerimise abil ilma täismahus teste tegemata. Sel juhul kasutatakse matemaatika sätteid ja seadusi, mis kirjeldavad simuleeritud nähtusi, süsteeme või seadmeid nende idealiseerimise mingil tasemel.

Matemaatiline mudel (MM) on süsteemi (või operatsiooni) formaliseeritud kirjeldus mõnes abstraktses keeles, näiteks matemaatiliste seoste kogumi või algoritmdiagrammi kujul, s.o. st selline matemaatiline kirjeldus, mis võimaldab simuleerida süsteemide või seadmete tööd nende tegelikule käitumisele piisavalt lähedasel tasemel, mis on saadud süsteemide või seadmete täismahus testimise käigus.

Iga MM kirjeldab reaalset objekti, nähtust või protsessi teatud määral reaalsusele lähendades. MM-i tüüp sõltub nii reaalobjekti olemusest kui ka uuringu eesmärkidest.

Matemaatika modelleerimine sotsiaalsed, majanduslikud, bioloogilised ja füüsikalised nähtused, objektid, süsteemid ja erinevad seadmed on üks olulisemaid vahendeid looduse mõistmiseks ning väga erinevate süsteemide ja seadmete kujundamiseks. On teada näiteid modelleerimise efektiivsest kasutamisest tuumatehnoloogiate, lennundus- ja kosmosesüsteemide loomisel, atmosfääri- ja ookeaninähtuste, ilmastiku jms prognoosimisel.

Sellised tõsised modelleerimise valdkonnad nõuavad aga sageli superarvuteid ja suurte teadlaste rühmade aastatepikkust tööd, et koostada andmed modelleerimiseks ja selle silumiseks. Kuid sel juhul ei säästa keeruliste süsteemide ja seadmete matemaatiline modelleerimine mitte ainult raha uurimisele ja katsetamisele, vaid võib ka välistada keskkonnakatastroofe - näiteks võimaldab see loobuda tuuma- ja termotuumarelvade katsetamisest nende matemaatilise modelleerimise kasuks. või kosmosesüsteemide testimine enne nende tegelikke lende Seetõttu on matemaatiline modelleerimine lihtsamate ülesannete lahendamise tasemel, näiteks mehaanika, elektrotehnika, elektroonika, raadiotehnika ja paljude teiste teaduse ja tehnoloogia valdkonnast. saadaval tänapäevastes arvutites. Ja üldistatud mudelite kasutamisel on võimalik simuleerida üsna keerulisi süsteeme, näiteks telekommunikatsioonisüsteeme ja -võrke, radarit või raadionavigatsioonisüsteeme.

Matemaatilise modelleerimise eesmärk on reaalsete protsesside (looduses või tehnoloogias) analüüs, kasutades matemaatilisi meetodeid. See omakorda eeldab uuritava MM-protsessi formaliseerimist Mudel võib olla matemaatiline avaldis, mis sisaldab muutujaid, mille käitumine on sarnane reaalse süsteemi käitumisega Mudel võib sisaldada juhuslikkuse elemente, mis arvestavad võimalike tõenäosustega. toimingud kahe või rohkem"mängijad", näiteks mänguteoorias; või see võib esindada operatsioonisüsteemi omavahel ühendatud osade tegelikke muutujaid.

Matemaatilise modelleerimise süsteemide omaduste uurimiseks võib jagada analüütiliseks, simulatsiooniks ja kombineeritud modelleerimiseks. MM-id omakorda jagunevad simulatsiooniks ja analüütiliseks.

Analüütiline modelleerimine

Sest analüütiline modelleerimine On iseloomulik, et süsteemi toimimise protsessid on kirja pandud teatud funktsionaalsete seoste kujul (algebralised, diferentsiaal-, integraalvõrrandid). Analüütilist mudelit saab uurida järgmiste meetodite abil:

1) analüütilised, kui nad püüavad saavutada üldisel kujul selgeid sõltuvusi süsteemide omadustest;

2) numbriline, kui võrranditele ei ole võimalik üldkujul lahendust leida ja need lahendatakse konkreetsete lähteandmete puhul;

3) kvalitatiivne, kui lahenduse puudumisel leitakse mõned selle omadused.

Analüütilisi mudeleid saab hankida ainult suhteliselt lihtsate süsteemide jaoks. Keeruliste süsteemide puhul tekivad sageli suured matemaatilised probleemid. Analüütilise meetodi rakendamiseks lähevad nad esialgse mudeli olulisele lihtsustamisele. Lihtsustatud mudelit kasutav uurimus aitab aga saada vaid soovituslikke tulemusi. Analüütilised mudelid kajastavad matemaatiliselt õigesti sisend- ja väljundmuutujate ning parameetrite vahelisi seoseid. Kuid nende struktuur ei peegelda objekti sisemist struktuuri.

Analüütilise modelleerimise käigus esitatakse selle tulemused analüütiliste avaldiste kujul. Näiteks ühendades R.C.- ahel konstantse pingeallikaga E(R, C Ja E- selle mudeli komponendid), saame luua pinge ajasõltuvuse analüütilise avaldise u(t) kondensaatoril C:

See lineaarne diferentsiaalvõrrand (DE) on selle lihtsa lineaarahela analüütiline mudel. Selle analüütiline lahendus algtingimustes u(0) = 0, mis tähendab tühjenenud kondensaatorit C modelleerimise alguses võimaldab teil leida soovitud sõltuvuse - valemi kujul:

u(t) = E(1− ntlk(- t/RC)). (2)

Kuid isegi selle kõige lihtsama näite puhul on DE (1) lahendamiseks või rakendamiseks vaja teha teatavaid jõupingutusi arvutimatemaatika süsteemid(SCM) sümboolsete arvutustega – arvutialgebrasüsteemid. Selle täiesti triviaalse juhtumi puhul lineaarse modelleerimise probleemi lahendamine R.C.-ahel annab üsna üldisel kujul analüütilise avaldise (2) - sobib vooluringi töö kirjeldamiseks mis tahes komponendi nimiväärtuste korral R, C Ja E ja kirjeldab kondensaatori eksponentsiaalset laengut C takisti kaudu R pideva pinge allikast E.

Loomulikult osutub analüütiliste lahenduste leidmine analüütilise modelleerimise käigus ülimalt väärtuslikuks lihtsate lineaarahelate, süsteemide ja seadmete üldiste teoreetiliste mustrite tuvastamisel, kuid selle keerukus suureneb järsult, kui mudelile avalduvad mõjud muutuvad keerukamaks ning järjekord ja arv. olekuvõrrandid, mis kirjeldavad modelleeritud objekti suurenemist. Teist-kolmandat järku objekte modelleerides võib saada enam-vähem nähtavaid tulemusi, kuid kõrgema järgu puhul muutuvad analüütilised väljendid liiga tülikaks, keeruliseks ja raskesti mõistetavaks. Näiteks sisaldab isegi lihtne elektrooniline võimendi sageli kümneid komponente. Kuid paljud kaasaegsed SCM-id, näiteks sümboolse matemaatika süsteemid Maple, Mathematica või keskkond MATLAB, on võimelised suures osas automatiseerima keeruliste analüütiliste modelleerimisprobleemide lahendamist.

Üks modelleerimise tüüp on numbriline modelleerimine, mis seisneb vajalike kvantitatiivsete andmete hankimises süsteemide või seadmete käitumise kohta mis tahes sobiva numbrilise meetodi, näiteks Euleri või Runge-Kutta meetodi abil. Praktikas osutub mittelineaarsete süsteemide ja seadmete modelleerimine numbriliste meetodite abil palju tõhusamaks kui üksikute privaatsete lineaarsete ahelate, süsteemide või seadmete analüütiline modelleerimine. Näiteks DE (1) või DE süsteemide lahendamiseks keerulisematel juhtudel ei saa analüütilisel kujul lahendust saada, kuid numbrilisi simulatsiooniandmeid kasutades saab üsna täielikke andmeid ka simuleeritud süsteemide ja seadmete käitumise kohta. seda käitumist kirjeldavate sõltuvuste graafikutena.

Simulatsiooni modelleerimine

Kell imitatsioon 10ja modelleerimisel kordab mudelit rakendav algoritm süsteemi toimimise protsessi aja jooksul. Protsessi moodustavad elementaarnähtused simuleeritakse, säilitades nende loogilise struktuuri ja sündmuste jada ajas.

Simulatsioonimudelite peamine eelis võrreldes analüütiliste mudelitega on võime lahendada keerukamaid probleeme.

Simulatsioonimudelite abil on lihtne arvesse võtta diskreetsete või pidevate elementide olemasolu, mittelineaarseid omadusi, juhuslikke mõjusid jne. Seetõttu kasutatakse seda meetodit laialdaselt keerukate süsteemide projekteerimisetapis. Peamiseks simulatsioonimodelleerimise vahendiks on arvuti, mis võimaldab süsteeme ja signaale digitaalselt modelleerida.

Sellega seoses defineerime fraasi " arvuti modelleerimine”, mida kirjanduses üha enam kasutatakse. Oletame, et arvuti modelleerimine on matemaatiline modelleerimine arvutitehnoloogia abil. Sellest lähtuvalt hõlmab arvutimodelleerimise tehnoloogia järgmiste toimingute tegemist:

1) modelleerimise eesmärgi määramine;

2) kontseptuaalse mudeli väljatöötamine;

3) mudeli vormistamine;

4) mudeli tarkvaraline juurutamine;

5) mudelkatsete planeerimine;

6) katseplaani elluviimine;

7) modelleerimistulemuste analüüs ja tõlgendamine.

Kell simulatsiooni modelleerimine kasutatav MM reprodutseerib uuritava süsteemi toimimise algoritmi (“loogikat”) aja jooksul süsteemi parameetrite ja väliskeskkonna erinevate väärtuste kombinatsioonide jaoks.

Lihtsaima analüütilise mudeli näide on sirgjoonelise ühtlase liikumise võrrand. Sellist protsessi simulatsioonimudeli abil uurides tuleks realiseerida aja jooksul läbitud tee muutuste jälgimine Ilmselgelt on mõnel juhul eelistatum analüütiline modelleerimine, mõnel juhul simulatsioon (või nende kombinatsioon). Eduka valiku tegemiseks peate vastama kahele küsimusele.

Mis on modelleerimise eesmärk?

Millisesse klassi saab modelleeritud nähtuse liigitada?

Mõlemale küsimusele saab vastused modelleerimise kahe esimese etapi jooksul.

Modelleeritavale objektile vastavad simulatsioonimudelid mitte ainult omadustelt, vaid ka struktuurilt. Sel juhul on mudelil saadud protsesside ja objektil toimuvate protsesside vahel ühemõtteline ja ilmne vastavus. Simulatsiooni puuduseks on see, et hea täpsuse saavutamiseks kulub probleemi lahendamiseks kaua aega.

Stohhastilise süsteemi toimimise simulatsioonimodelleerimise tulemused on juhuslike suuruste ehk protsesside realisatsioonid. Seetõttu on süsteemi karakteristikute leidmiseks vaja mitu kordamist ja sellele järgnevat andmetöötlust. Kõige sagedamini kasutatakse sel juhul simulatsiooni tüüpi - statistiline

modelleerimine(või Monte Carlo meetod), st. juhuslike tegurite, sündmuste, suuruste, protsesside, väljade taastootmine mudelites.

Statistilise modelleerimise tulemuste põhjal määratakse hallatava süsteemi toimimist ja tõhusust iseloomustavate üldiste ja spetsiifiliste tõenäosuslike kvaliteedikriteeriumide hinnangud. Statistilist modelleerimist kasutatakse laialdaselt teaduslike ja rakenduslike probleemide lahendamiseks erinevates teaduse ja tehnoloogia valdkondades. Statistilisi modelleerimismeetodeid kasutatakse laialdaselt keerukate dünaamiliste süsteemide uurimisel, hinnates nende toimimist ja efektiivsust.

Statistilise modelleerimise viimane etapp põhineb saadud tulemuste matemaatilisel töötlemisel. Siin kasutatakse matemaatilise statistika meetodeid (parameetriline ja mitteparameetriline hindamine, hüpoteeside testimine). Parameetrilise hinnangu näiteks on tulemuslikkuse mõõdiku valimi keskmine. Mitteparameetriliste meetodite hulgas on laialt levinud histogrammi meetod.

Vaadeldav skeem põhineb korduvatel süsteemi statistilistel testidel ja sõltumatute juhuslike suuruste statistika meetoditel, mis ei ole alati praktikas loomulik ja kulude osas optimaalne. Süsteemi testimise aega saab vähendada täpsemate hindamismeetodite kasutamisega. Nagu matemaatilisest statistikast on teada, on efektiivsetel hinnangutel antud valimi suuruse puhul suurim täpsus. Üldise meetodi selliste hinnangute saamiseks on optimaalne filtreerimine ja maksimaalse tõenäosuse meetod.Statistilise modelleerimise ülesannetes on juhuslike protsesside teostuste töötlemine vajalik mitte ainult väljundprotsesside analüüsimiseks.

Väga oluline on ka sisend juhuslike mõjude omaduste kontroll. Kontroll seisneb genereeritud protsesside jaotuste vastavuse kontrollimisele etteantud jaotustele. See probleem on sageli sõnastatud järgmiselt hüpoteesi testimise probleem.

Üldine trend keerukate juhitavate süsteemide arvutimodelleerimisel on soov lühendada modelleerimisaega, samuti viia läbi reaalajas uuringuid. Arvutusalgoritme on mugav esitada korduval kujul, võimaldades neid realiseerida jooksva teabe vastuvõtmise kiirusega.

SÜSTEEMLÄHENEMISE PÕHIMÕTTED MODELLEERIMISEL

Süsteemiteooria aluspõhimõtted

Süsteemiteooria aluspõhimõtted tekkisid dünaamiliste süsteemide ja nende funktsionaalsete elementide uurimisel. Süsteemi mõistetakse kui omavahel ühendatud elementide rühma, mis toimivad koos ettemääratud ülesande täitmiseks. Süsteemide analüüs võimaldab välja selgitada kõige realistlikumad viisid antud ülesande täitmiseks, tagades püstitatud nõuete maksimaalse rahuldamise.

Süsteemiteooria aluseks olevaid elemente ei looda hüpoteeside kaudu, vaid avastatakse eksperimentaalselt. Süsteemi ülesehitamise alustamiseks on vaja tehnoloogiliste protsesside üldisi omadusi. Sama kehtib ka matemaatiliselt sõnastatud kriteeriumide loomise põhimõtete kohta, millele protsess või selle teoreetiline kirjeldus peab vastama. Modelleerimine on üks kõige enam olulised meetodid teaduslikud uuringud ja katsed.

Objektide mudelite koostamisel kasutatakse süsteemset lähenemist, mis on keerukate probleemide lahendamise metoodika, mis põhineb objekti käsitlemisel teatud keskkonnas toimivana süsteemina. Süstemaatiline lähenemine hõlmab objekti terviklikkuse paljastamist, selle sisemise struktuuri tuvastamist ja uurimist, samuti seoseid väliskeskkonnaga. Sel juhul esitletakse objekti osana reaalsest maailmast, mida isoleeritakse ja uuritakse seoses mudeli konstrueerimise probleemiga. Lisaks hõlmab süsteemne lähenemine järjepidevat üleminekut üldiselt spetsiifilisele, kui kaalutluse aluseks on disaini eesmärk ja objekti vaadeldakse seoses keskkonnaga.

Kompleksse objekti saab jagada alamsüsteemideks, mis on objekti osad, mis vastavad järgmistele nõuetele:

1) allsüsteem on objekti funktsionaalselt iseseisev osa. See on seotud teiste allsüsteemidega, vahetab nendega informatsiooni ja energiat;

2) iga alamsüsteemi jaoks saab määratleda funktsioone või omadusi, mis ei lange kokku kogu süsteemi omadustega;

3) iga alamsüsteemi saab edasi jagada elementide tasemele.

Sel juhul mõistetakse elemendi all madalama tasandi allsüsteemi, mille edasine jaotus on lahendatava probleemi seisukohalt sobimatu.

Seega võib süsteemi määratleda kui objekti esitust alamsüsteemide, elementide ja seoste kogumi kujul selle loomise, uurimise või täiustamise eesmärgil. Sel juhul nimetatakse süsteemi suurendatud esitust, sealhulgas peamisi alamsüsteeme ja nendevahelisi seoseid, makrostruktuuriks ning süsteemi sisestruktuuri üksikasjalikku avalikustamist kuni elementide tasemeni nimetatakse mikrostruktuuriks.

Koos süsteemiga on tavaliselt ka supersüsteem - kõrgema taseme süsteem, mis hõlmab kõnealust objekti ja mis tahes süsteemi funktsiooni saab määrata ainult supersüsteemi kaudu.

Esile tuleb tuua keskkonna mõiste kui välismaailma objektide kogum, mis oluliselt mõjutavad süsteemi efektiivsust, kuid ei ole osa süsteemist ja selle supersüsteemist.

Seoses mudelite ehitamise süsteemse käsitlusega kasutatakse infrastruktuuri mõistet, mis kirjeldab süsteemi suhet selle keskkonnaga (keskkonnaga), sel juhul objekti oluliste omaduste tuvastamine, kirjeldamine ja uurimine. konkreetse ülesande raames nimetatakse objekti kihistumist ja mis tahes objekti mudelit on selle stratifitseeritud kirjeldus.

Süsteemse lähenemise puhul on oluline määrata süsteemi struktuur, s.t. süsteemi elementide vaheliste seoste kogum, mis peegeldab nende vastasmõju. Selleks kaalume kõigepealt modelleerimise struktuurseid ja funktsionaalseid lähenemisviise.

Struktuurse lähenemisega selgub süsteemi valitud elementide koostis ja nendevahelised seosed. Elementide ja ühenduste kogum võimaldab hinnata süsteemi struktuuri. Struktuuri kõige üldisem kirjeldus on topoloogiline kirjeldus. See võimaldab graafikute abil määrata süsteemi komponendid ja nende ühendused. Vähem üldine on funktsionaalne kirjeldus, kui vaadeldakse üksikuid funktsioone, st süsteemi käitumise algoritme. Sel juhul rakendatakse funktsionaalset lähenemist, mis määratleb funktsioonid, mida süsteem täidab.

Süsteemipõhisest lähenemisest lähtudes saab välja pakkuda mudeli väljatöötamise järjekorra, kus eristatakse kahte peamist projekteerimisetappi: makrodisain ja mikrodisain.

Makrodisaini etapis koostatakse väliskeskkonna mudel, tehakse kindlaks ressursid ja piirangud, valitakse süsteemimudel ja kriteeriumid adekvaatsuse hindamiseks.

Mikrodisaini etapp sõltub suuresti valitud mudeli konkreetsest tüübist. Üldiselt hõlmab see teabe-, matemaatiliste, tehniliste ja tarkvaraliste modelleerimissüsteemide loomist. Selles etapis määratakse kindlaks loodud mudeli peamised tehnilised omadused, hinnatakse sellega töötamiseks kuluvat aega ja ressursside maksumust mudeli kindlaksmääratud kvaliteedi saavutamiseks.

Sõltumata mudeli tüübist tuleb selle koostamisel juhinduda mitmest süstemaatilise lähenemise põhimõtetest:

1) järjepidev edasiminek läbi mudeli loomise etappide;

2) teabe, ressursi, usaldusväärsuse ja muude tunnuste koordineerimine;

3) mudeliehituse erinevate tasandite õige seos;

4) mudeli kavandamise üksikute etappide terviklikkus.