Näide matemaatilisest mudelist. Definitsioon, klassifikatsioon ja tunnused

Matemaatilised mudelid

Matemaatiline mudel - ligikaudne opimodelleeriva objekti tähendus, väljendatuna kasutadesmatemaatilisest sümboolikast.

Matemaatilised mudelid ilmusid koos matemaatikaga palju sajandeid tagasi. Arvutite tulek andis tohutu tõuke matemaatilise modelleerimise arengule. Arvutite kasutamine on võimaldanud analüüsida ja praktikas rakendada paljusid matemaatilisi mudeleid, mis varem polnud analüütiliseks uurimiseks kõlblikud. Realiseeritud arvutis matemaatiliselttaeva mudel helistas arvuti matemaatiline mudel, A sihipäraste arvutuste tegemine arvutimudeli abil helistas arvutuslik eksperiment.

Arvutimatemaatika teaduse etapidjaotus on näidatud joonisel. Esiteksetapp - modelleerimise eesmärkide määratlemine. Need eesmärgid võivad olla erinevad:

1. mudelit on vaja selleks, et mõista, kuidas konkreetne objekt töötab, mis on selle struktuur, põhiomadused, arengu- ja interaktsiooniseadus
   välismaailmaga (mõistmine);
2. mudelit on vaja selleks, et õppida, kuidas objekti (või protsessi) juhtida ja määrata parimad viisid etteantud eesmärkide ja kriteeriumidega juhtimine (juhtimine);
3. Mudel on vajalik selleks, et ennustada etteantud meetodite ja mõjuvormide rakendamise otseseid ja kaudseid tagajärgi objektile (prognoosimine).

Näide hoopis teisest piirkonnast: kahe rahulikult stabiilse arvukusega koos eksisteerinud ja ühise toiduvaruga isendiliigi populatsioonid hakkavad “äkki” oma arvukust järsult muutma. Ja siin võimaldab matemaatiline modelleerimine (teatud usaldusväärsusega) põhjuse kindlaks teha (või vähemalt teatud hüpoteesi ümber lükata).

Objekti haldamise kontseptsiooni väljatöötamine on modelleerimise teine ​​võimalik eesmärk. Millise lennuki lennurežiimi peaksin valima, et lend oleks ohutu ja majanduslikult tasuvam? Kuidas planeerida sadu ehitustöid suur objekt et see võimalikult kiiresti lõppeks lühiajaline? Paljud sellised probleemid tekivad süstemaatiliselt majandusteadlaste, disainerite ja teadlaste ees.

Lõpuks võib teatud mõjude tagajärgede ennustamine objektile olla nii suhteliselt lihtne asi lihtsates füüsilistes süsteemides kui ka äärmiselt keeruline – teostatavuse piiril – bioloogilistes, majanduslikes ja sotsiaalsetes süsteemides. Kui küsimusele õhukese varda soojusjaotuse režiimi muutumise kohta, mis on tingitud selle koostises olevast sulamist, on suhteliselt lihtne vastata, siis suure varda ehituse keskkonna- ja kliimatagajärgi on võrreldamatult keerulisem jälgida (ennustada). hüdroelektrijaam või maksuseadusandluse muudatuste sotsiaalsed tagajärjed. Võib-olla on ka siin matemaatilised modelleerimismeetodid tulevikus olulisemat abi.

Teine etapp: mudeli sisend- ja väljundparameetrite määramine; sisendparameetrite jaotus vastavalt nende muutuste väljundile mõju olulisuse astmele. Seda protsessi nimetatakse järjestamiseks või järgu järgi eraldamiseks (vt. "Vormistaminemine ja modelleerimine").

Kolmas etapp: matemaatilise mudeli konstrueerimine. Selles etapis toimub üleminek mudeli abstraktselt formuleeringult formuleeringule, millel on konkreetne matemaatiline esitus. Matemaatiline mudel on võrrandid, võrrandisüsteemid, võrratussüsteemid, diferentsiaalvõrrandid või selliste võrrandite süsteemid jne.

Neljas etapp: matemaatilise mudeli uurimise meetodi valimine. Kõige sagedamini kasutatakse siin numbrilisi meetodeid, mis sobivad hästi programmeerimiseks. Ühe ja sama probleemi lahendamiseks sobivad reeglina mitmed meetodid, mis erinevad täpsuse, stabiilsuse jms poolest. Alates õige valik meetod sõltub sageli kogu modelleerimisprotsessi edukusest.

Viies etapp: algoritmi väljatöötamine, arvutiprogrammi koostamine ja silumine on raskesti vormistatav protsess. Programmeerimiskeelte hulgas eelistavad paljud spetsialistid matemaatiliseks modelleerimiseks FORTRANI: nii traditsioonide kui ka kompilaatorite ületamatu efektiivsuse (arvutustööde jaoks) ja selles kirjutatud standardprogrammide tohutute, hoolikalt silutud ja optimeeritud teekide olemasolu tõttu. matemaatilised meetodid. Olenevalt ülesande iseloomust ja programmeerija kalduvustest on kasutusel ka sellised keeled nagu PASCAL, BASIC, C.

Kuues etapp: programmi testimine. Programmi tööd testitakse eelnevalt teadaoleva vastusega testülesande peal. See on alles testimisprotseduuri algus, mida on raske vormiliselt kõikehõlmavalt kirjeldada. Tavaliselt lõpeb testimine siis, kui kasutaja peab oma professionaalsete omaduste põhjal programmi õigeks.

Seitsmes etapp: tegelik arvutuslik eksperiment, mille käigus tehakse kindlaks, kas mudel vastab reaalsele objektile (protsessile). Mudel on reaalse protsessi jaoks piisavalt adekvaatne, kui arvutis saadud protsessi mõned karakteristikud kattuvad antud täpsusastmega katseliselt saadud karakteristikutega. Kui mudel ei vasta tegelikule protsessile, naaseme ühe eelmise etapi juurde.

Matemaatiliste mudelite klassifikatsioon

Matemaatiliste mudelite klassifitseerimisel võib lähtuda erinevaid põhimõtteid. Mudeleid saab liigitada teadusharude järgi (matemaatika mudelid füüsikas, bioloogias, sotsioloogias jne). Võib klassifitseerida kasutatava matemaatilise aparatuuri järgi (tavaliste diferentsiaalvõrrandite kasutamisel põhinevad mudelid, osadiferentsiaalvõrrandid, stohhastilised meetodid, diskreetsed algebralised teisendused jne.). Lõpuks, kui lähtuda modelleerimise üldistest probleemidest erinevates teadustes, olenemata matemaatilisest aparaadist, on kõige loomulikum järgmine klassifikatsioon:

• kirjeldavad (kirjeldavad) mudelid;
• optimeerimismudelid;
• mitme kriteeriumi mudelid;
• mängude mudelid.

Selgitame seda näidetega.

Kirjeldavad (kirjeldavad) mudelid. Näiteks Päikesesüsteemi tunginud komeedi liikumist modelleeritakse, et ennustada tema lennutrajektoori, kaugust, mille kaugusel see Maast möödub, jne. Sel juhul on modelleerimiseesmärgid oma olemuselt kirjeldavad, kuna ei saa kuidagi mõjutada komeedi liikumist ega selles midagi muuta.

Optimeerimismudelid kasutatakse protsesside kirjeldamiseks, mida saab mõjutada, püüdes saavutada etteantud eesmärki. Sel juhul sisaldab mudel ühte või mitut parameetrit, mida saab mõjutada. Näiteks aidas soojusrežiimi muutmisel saab seada eesmärgiks valida režiimi, millega saavutatakse maksimaalne teraviljaohutus, s.t. optimeerida salvestusprotsessi.

Mitmekriteeriumilised mudelid. Sageli on vaja protsessi optimeerida mitme parameetri järgi korraga ja eesmärgid võivad olla üsna vastuolulised. Teades näiteks toidu hindu ja inimese toiduvajadust, on vaja korraldada suurte inimgruppide (väes, laste suvelaagris jne) toitumine füsioloogiliselt õigesti ja samas nii soodsalt kui võimalik. Selge see, et need eesmärgid ei lange üldse kokku, s.t. Modelleerimisel kasutatakse mitmeid kriteeriume, mille vahel tuleb leida tasakaal.

Mängu mudelid võib olla seotud mitte ainult Arvutimängud, aga ka väga tõsistele asjadele. Näiteks enne lahingut peab komandör, kui vastasarmee kohta on puudulik teave, välja töötama plaani: millises järjekorras teatud üksused lahingusse tuua jne, võttes arvesse vastase võimalikku reaktsiooni. Kaasaegses matemaatikas on spetsiaalne haru - mänguteooria -, mis uurib mittetäieliku teabe tingimustes otsuste tegemise meetodeid.

Kooli informaatikakursusel saavad õpilased esmase arusaama arvuti matemaatilisest modelleerimisest põhikursus. Gümnaasiumis saab matemaatilist modelleerimist süvendatult õppida füüsika- ja matemaatikatundide üldhariduslikul kursusel, samuti erialase valikkursuse raames.

Arvuti matemaatilise modelleerimise õpetamise peamised vormid keskkoolis on loengud, labori- ja kontrolltunnid. Tavaliselt kulub iga uue mudeli loomiseks ja õppimiseks ettevalmistamiseks 3-4 õppetundi. Materjali esitamise käigus püstitatakse ülesanded, mis tuleb õpilastel edaspidi iseseisvalt lahendada. üldine ülevaade kirjeldatakse nende lahendamise viise. Sõnastatakse küsimused, millele tuleb ülesandeid täites vastused saada. Näidatud lisakirjandust, mis võimaldab hankida abiteavet ülesannete edukamaks täitmiseks.

Tundide korraldamise vorm uue materjali õppimisel on tavaliselt loeng. Pärast järgmise mudeli arutelu lõpetamist õpilased nende käsutuses on edasiseks tööks vajalik teoreetiline teave ja ülesannete kogum. Ülesande täitmiseks valmistudes valivad õpilased sobiva lahendusmeetodi ja testivad väljatöötatud programmi mõne tuntud privaatse lahenduse abil. Täiesti võimalike raskuste korral ülesannete täitmisel konsulteeritakse ja tehakse ettepanek neid osasid kirjandusallikates põhjalikumalt uurida.

Arvutimodelleerimise õpetamise praktilise osa jaoks on sobivaim projektmeetod. Ülesanne formuleeritakse õpilasele õppeprojekti vormis ja täidetakse mitme õppetunni jooksul, kusjuures põhi organisatsiooniline vorm samal ajal on arvuti laboritööd. Meetodi abil modelleerimise koolitus haridusprojektid saab rakendada erinevad tasemed. Esimene on projekti valmimise protsessi problemaatiline esitlus, mida juhib õpetaja. Teine on projekti elluviimine õpilaste poolt õpetaja juhendamisel. Kolmas - eneseteostus haridusuuringute projekti õpilased.

Töö tulemused tuleb esitada numbrilisel kujul, graafikute ja diagrammidena. Võimalusel esitatakse protsess arvutiekraanil dünaamiliselt. Arvutuste tegemisel ja tulemuste saamisel neid analüüsitakse, võrreldakse teooriast teadaolevate faktidega, kinnitatakse usaldusväärsus ja teostatakse sisukas tõlgendus, mis hiljem kajastub kirjalikus aruandes.

Kui tulemused õpilast ja õpetajat rahuldavad, siis töö loeb lõpetatud ja selle viimane etapp on aruande koostamine. Aruanne sisaldab lühidalt teoreetilist teavet uuritava teema kohta, ülesande matemaatilist sõnastust, lahendusalgoritmi ja selle põhjendust, arvutiprogrammi, programmi tulemusi, tulemuste analüüsi ja järeldusi ning kirjanduse loetelu.

Kui kõik aruanded on koostatud, esitavad õpilased oma lühisõnumid tehtud töö kohta, kaitsta oma projekti. See on tõhus vorm projekti läbiviija rühmalt klassile raporteerimiseks, mis sisaldab probleemi püstitamist, formaalse mudeli koostamist, mudeliga töötamise meetodite valimist, mudeli rakendamist arvutis, tööd valmis mudeliga, tõlgendamist. tulemusi ja ennustuste tegemist. Selle tulemusena saavad õpilased kaks hinnet: esimene - projekti väljatöötamise ja selle kaitsmise edukuse eest, teine ​​- programmi, selle algoritmi, liidese optimaalsuse jne eest. Hindeid saavad õpilased ka teooriaviktoriinide käigus.

Oluline küsimus on, milliseid vahendeid kasutada kooli informaatika kursusel matemaatilise modelleerimise jaoks? Mudelite arvutirakenduse saab läbi viia:

• tabelarvutusprotsessori kasutamine (tavaliselt MS Excel);
• luues programme traditsioonilistes programmeerimiskeeltes (Pascal, BASIC jne), aga ka nende kaasaegsetes versioonides (Delphi, Visual
  Basic for Application jne);
• spetsiaalsete rakenduspakettide kasutamine matemaatiliste ülesannete lahendamiseks (MathCAD jne).

Põhikooli astmes tundub eelistatavam esimene meetod. Kuid keskkoolis, kui programmeerimine on koos modelleerimisega, võtmeteema arvutiteadus, on soovitatav seda kasutada modelleerimisvahendina. Programmeerimisprotsessi käigus muutuvad matemaatiliste protseduuride üksikasjad õpilastele kättesaadavaks; Pealegi on nad lihtsalt sunnitud neid valdama ja see aitab kaasa ka matemaatilisele haridusele. Mis puudutab spetsiaalsete tarkvarapakettide kasutamist, siis see sobib informaatika erialakursusel täiendusena teistele tööriistadele.

Harjutus :

• Koostage põhimõistete diagramm.

Esimene tase

Matemaatilised mudelid OGE ja ühtse riigieksami jaoks (2019)

Matemaatilise mudeli kontseptsioon

Kujutage ette lennukit: tiivad, kere, saba, kõik see koos – tõeline tohutu, tohutu terve lennuk. Või saab teha lennukimudeli, väikese, aga täpselt nagu päriselus, samade tiibadega vms, aga kompaktse. Nii ka matemaatiline mudel. Tekib tekstiprobleem, tülikas, seda saab vaadata, lugeda, aga mitte päris täpselt aru saada ja veel enam pole selge, kuidas seda lahendada. Mis siis, kui teete suurest tekstülesandest väikese mudeli, matemaatilise mudeli? Mida tähendab matemaatika? See tähendab matemaatilise märgistamise reegleid ja seadusi kasutades teksti muutmist loogiliselt õigeks esituseks, kasutades numbreid ja aritmeetilisi märke. Niisiis, matemaatiline mudel kujutab endast matemaatilist keelt kasutades reaalset olukorda.

Alustame lihtsast: arv on suurem kui arv võrra. Peame selle üles kirjutama ilma sõnu kasutamata, vaid ainult matemaatika keelt. Kui on rohkem, siis selgub, et kui lahutada, siis jääb nende arvude sama vahe võrdseks. Need. või. Kas saate mõttest aru?

Nüüd on keerulisem, nüüd tuleb tekst, mida peaksite proovima matemaatilise mudeli kujul esitada, ärge lugege veel, kuidas ma seda teen, proovige ise! Seal on neli numbrit: , ja. Toode on tootest kaks korda suurem.

Mis juhtus?

Matemaatilise mudeli kujul näeb see välja järgmine:

Need. toode on seotud kahe ühega, kuid seda saab veelgi lihtsustada:

Olgu, siin oleme lihtsaid näiteid saate aru, ma arvan. Liigume edasi täisväärtuslike ülesannete juurde, milles need matemaatilised mudelid ka lahendamist vajavad! Siin on väljakutse.

Matemaatiline mudel praktikas

Probleem 1

Pärast vihma võib veetase kaevus tõusta. Poiss mõõdab väikeste kivikeste kaevu kukkumise aega ja arvutab kauguse veeni valemiga, kus on vahemaa meetrites ja kukkumise aeg sekundites. Enne vihma oli kivikeste langemisaeg s. Kui palju peab veetase pärast vihma tõusma, et mõõdetud aeg muutuks s-ks? Väljendage oma vastust meetrites.

Oh jumal! Mis valemid, milline kaev, mis toimub, mida teha? Kas ma lugesin su mõtteid? Lõdvestuge, seda tüüpi probleemide korral on veelgi kohutavamad tingimused, peamine on meeles pidada, et selles ülesandes huvitavad teid valemid ja muutujatevahelised seosed ning see, mida see kõik tähendab, pole enamikul juhtudel eriti oluline. Mida kasulikku siin näete? Ma näen seda isiklikult. Nende ülesannete lahendamise põhimõte on järgmine: võtad kõik teadaolevad kogused ja asendad need.AGA vahel pead mõtlema!

Järgides minu esimest nõuannet ja asendades võrrandiga kõik teadaolevad, saame:

Just mina asendasin teise aja ja leidsin kõrguse, mille kivi enne vihma lendas. Nüüd peame pärast vihma loendama ja vahe leidma!

Nüüd kuulake teist nõuannet ja mõelge sellele, küsimus täpsustab "kui palju peab veetase pärast vihma tõusma, et mõõdetud aeg muutuks s-ks." Peate kohe aru saama, et pärast vihma veetase tõuseb, mis tähendab, et aeg, mil kivi langeb veetasemele, on lühem ja siin omandab ehitud fraas "et mõõdetud aeg muutub" konkreetse tähenduse: langemine. aeg ei suurene, vaid väheneb näidatud sekundite võrra. See tähendab, et vihmajärgse viske korral tuleb algajast c lihtsalt lahutada c ja saame võrrandi kõrguse kohta, millega kivi pärast vihma lendab:

Ja lõpuks, selleks, et teada saada, kui palju peab veetase pärast vihma tõusma, et mõõdetud aeg muutuks s-ks, peate lihtsalt esimesest kukkumiskõrgusest lahutama teise!

Saame vastuse: meetri kohta.

Nagu näete, pole midagi keerulist, peamine on see, et ärge muretsege liiga selle pärast, miks midagi nii arusaamatut ja mõnikord kompleksvõrrand oludes, millest see tuli ja mida kõik seal tähendab, võtke minu sõna, enamik neist võrranditest on võetud füüsikast ja seal on džungel hullem kui algebras. Mõnikord tundub mulle, et need probleemid mõeldi välja selleks, et hirmutada õpilast ühtsel riigieksamil hulgaliselt keerulised valemid ja terminid ning enamikul juhtudel ei nõua peaaegu mingeid teadmisi. Lugege lihtsalt tingimus hoolikalt läbi ja asendage valemis teadaolevad kogused!

Siin on veel üks probleem, mitte füüsikast, vaid maailmast majandusteooria, kuigi siin ei nõuta jällegi teadmisi muudest loodusteadustest peale matemaatika.

Probleem 2

Monopoolse ettevõtte toodete nõudluse mahu (ühikutes kuus) sõltuvus hinnast (tuhat rubla) saadakse valemiga

Ettevõtte kuu tulu (tuhandetes rublades) arvutatakse valemi abil. Määrake kõrgeim hind, mille igakuine tulu on vähemalt tuhat rubla. Esitage oma vastus tuhandetes rublades.

Arvake ära, mida ma nüüd teen? Jah, ma hakkan ühendama seda, mida me teame, aga jällegi, ma pean siiski veidi mõtlema. Lähme lõpust, peame leidma, kus. Niisiis, see on võrdne millegagi, me leiame, millega see veel võrdub, ja see on sellega võrdne, nii et me kirjutame selle üles. Nagu näete, ma ei muretse tegelikult kõigi nende suuruste tähenduse pärast, ma lihtsalt vaatan tingimustest, et näha, mis on millega võrdne, seda peate tegema. Tuleme tagasi probleemi juurde, teil on see juba olemas, kuid nagu mäletate ühest kahe muutujaga võrrandist, ei leia te kumbagi neist, mida peaksite tegema? Jah, meil on seisukorras veel kasutamata tükk. Nüüd on juba kaks võrrandit ja kaks muutujat, mis tähendab, et nüüd on mõlemad muutujad leitavad – suurepärane!

– kas saate sellise süsteemi lahendada?

Me lahendame asendamise teel; see on juba väljendatud, nii et asendame selle esimese võrrandiga ja lihtsustame seda.

Saame ruutvõrrandi: , lahendame, juured on sellised, . Ülesanne eeldab kõrgeima hinna leidmist, mille juures on täidetud kõik tingimused, millega süsteemi loomisel arvestasime. Oh, selgus, et see oli hind. Lahe, nii leidsime hinnad: ja. Kõrgeim hind, ütlete? Olgu, suurim neist, ilmselt kirjutame selle vastuseks. No kas see on raske? Ma arvan, et mitte ja sellesse pole vaja liiga palju süveneda!

Ja siin on mõni hirmuäratav füüsika või õigemini veel üks probleem:

Probleem 3

Tähtede efektiivse temperatuuri määramiseks kasutatakse Stefan-Boltzmanni seadust, mille kohaselt kus on tähe kiirgusvõimsus, on konstant, on tähe pindala ja on temperatuur. On teada, et teatud tähe pindala on võrdne ja selle kiirgusvõimsus on võrdne W-ga. Leidke selle tähe temperatuur Kelvini kraadides.

Kuidas on selge? Jah, tingimus ütleb, mis on millega võrdne. Varem soovitasin asendada kõik tundmatud korraga, kuid siin on parem kõigepealt väljendada otsitavat tundmatut. Vaadake, kui lihtne see on: seal on valem ja selles me teame ja (see on kreeka täht "sigma". Üldiselt füüsikud armastavad kreeka tähti, harjuge sellega). Ja temperatuur pole teada. Väljendame seda valemi kujul. Loodan, et teate, kuidas seda teha? Tavaliselt antakse 9. klassi riigieksami testi jaoks sellised ülesanded:

Nüüd jääb üle vaid paremal pool tähtede asemel numbrid asendada ja lihtsustada:

Siin on vastus: Kelvini kraadi! Ja kui kohutav ülesanne see oli!

Jätkame füüsikaprobleemide piinamist.

Probleem 4

Visatud palli kõrgus maapinnast muutub vastavalt seadusele, kus on kõrgus meetrites ja aeg sekundites, mis on möödunud viskehetkest. Mitu sekundit jääb pall vähemalt kolme meetri kõrgusele?

Need olid kõik võrrandid, kuid siin peame määrama, kui kaua pall oli vähemalt kolme meetri kõrgusel, mis tähendab kõrgusel. Mida me välja mõtleme? Ebavõrdsus, täpselt! Meil on funktsioon, mis kirjeldab, kuidas pall lendab, kuhu - see on täpselt sama kõrgus meetrites, vajame kõrgust. Tähendab

Ja nüüd lahendate lihtsalt ebavõrdsuse, peamine on mitte unustada ebavõrdsuse märki enam-vähem väiksemaks või võrdseks muuta, kui korrutate ebavõrdsuse mõlema poolega, et vabaneda ees olevast miinusest.

Need on juured, me konstrueerime ebavõrdsuse intervallid:

Meid huvitab intervall, kus on miinusmärk, kuna ebavõrdsus võtab seal negatiivsed väärtused, see on alates kuni mõlema (kaasa arvatud). Nüüd lülitame oma aju sisse ja mõtleme hoolikalt: ebavõrdsuse jaoks kasutasime võrrandit, mis kirjeldab palli lendu, see lendab kuidagi mööda parabooli, s.t. tõuseb õhku, jõuab haripunkti ja kukub, kuidas aru saada, kui kaua see vähemalt meetri kõrgusel püsib? Leidsime 2 pöördepunkti, st. hetk, mil ta tõuseb meetritest kõrgemale ja hetk, mil ta langedes jõuab sama märgini, väljenduvad need kaks punkti aja kujul, s.t. teame, mis lennu sekundil ta meile huvipakkuvasse tsooni sisenes (üle meetri) ja mis sekundil sealt lahkus (kukkus alla meetri märgi). Mitu sekundit ta selles tsoonis oli? On loogiline, et võtame tsoonist väljumise aja ja lahutame sellest sellesse tsooni sisenemise aja. Vastavalt: - ta oli nii kaua meetrite kohal asuvas tsoonis, see on vastus.

Teil vedas, et enamik selleteemalisi näiteid saab võtta füüsikaülesannete kategooriast, nii et püüdke veel üks, see on viimane, nii et pingutage, veel on natuke!

Probleem 5

Teatud seadme kütteelemendi jaoks saadi eksperimentaalselt temperatuuri sõltuvus tööajast:

Kus on aeg minutites,. On teada, et kui kütteelemendi temperatuur on kõrgem, võib seade halveneda, mistõttu tuleb see välja lülitada. Uuri välja, milline pikim aeg Pärast töö alustamist peate seadme välja lülitama. Väljendage oma vastust minutitega.

Tegutseme väljakujunenud skeemi järgi, kõigepealt paneme kirja kõik, mis antakse:

Nüüd võtame valemi ja võrdsustame selle temperatuuri väärtusega, milleni saab seadet võimalikult palju kuumutada, kuni see läbi põleb, see tähendab:

Nüüd asendame tähtede asemel numbrid, kus need on teada:

Nagu näete, kirjeldab seadme töötamise ajal temperatuuri ruutvõrrand, mis tähendab, et see on jaotunud mööda parabooli, st. Seade soojeneb teatud temperatuurini ja seejärel jahtub. Saime vastused ja seetõttu on kuumutamisminutitel ja -hetkel temperatuur võrdne kriitilisega, kuid minuti ja minuti vahel - see on isegi kõrgem kui piir!

See tähendab, et peate mõne minuti pärast seadme välja lülitama.

MATEMAATILISED MUDELID. LÜHIDALT PEAMISEST

Kõige sagedamini kasutatakse matemaatilisi mudeleid füüsikas: ilmselt tuli pähe õppida kümneid füüsikalisi valemeid. Ja valem on olukorra matemaatiline esitus.

OGE-s ja ühtsel riigieksamil on ülesanded täpselt sellel teemal. Ühtse riigieksami (profiil) puhul on selleks ülesanne number 11 (endine B12). OGE-s - ülesanne number 20.

Lahendusskeem on ilmne:

1) Tingimuse tekstist on vaja "isoleerida" kasulik teave - mida me füüsikaülesannetes kirjutame sõna "antud" alla. See kasulik informatsioon on:

• Valem
• Teadaolevad füüsikalised kogused.

See tähendab, et iga valemi täht peab olema seotud teatud numbriga.

2) Võtke kõik teadaolevad kogused ja asendage need valemis. Tundmatu kogus jääb kirja kujule. Nüüd tuleb lihtsalt võrrand lahendada (tavaliselt üsna lihtne) ja vastus ongi valmis.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Edukaks ühtse riigieksami sooritamine, eelarvega kolledžisse sissesaamiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees on palju avatumat rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud ülesanded - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja juurdepääs kõigile ülesannetele ja kõigile peidetud tekstid neid saab kohe avada.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega iga teema jaoks, igal keerukusastmel." Kindlasti piisab sellest, kui saad oma käed mistahes teemal probleemide lahendamisele.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator – terve koolitusprogramm. Vajadusel saad kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud KOGU saidi eksisteerimise perioodiks.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

1. loeng.

MODELLEERIMISE METOODILISED ALUSED

Süsteemi modelleerimise probleemi hetkeseis

Modelleerimise ja simulatsiooni kontseptsioonid

Modelleerimine võib käsitleda kui uuritava objekti (originaal) asendamist selle kokkuleppelise kujutise, kirjelduse või muu objektiga nn. mudel ning originaalilähedase käitumise pakkumine teatud eelduste ja vastuvõetavate vigade raames. Modelleerimine viiakse tavaliselt läbi eesmärgiga mõista originaali omadusi, uurides selle mudelit, mitte objekti ennast. Loomulikult on modelleerimine õigustatud, kui see on lihtsam kui originaali enda loomine või kui mingil põhjusel on parem originaali üldse mitte luua.

Under mudel all mõistetakse füüsilist või abstraktset objekti, mille omadused on teatud mõttes sarnased uuritava objekti omadustega.Sellisel juhul määrab mudelile esitatavad nõuded lahendatava probleemi ja olemasolevate vahenditega. Mudelite jaoks on mitmeid üldisi nõudeid:

2) täielikkus – saajale kogu vajaliku teabe edastamine

objekti kohta;

3) paindlikkus - võime kõiges reprodutseerida erinevaid olukordi

tingimuste ja parameetrite muutuste ulatus;

4) arenduse keerukus peab olema olemasoleva jaoks vastuvõetav

aega ja tarkvara.

Modelleerimine on protsess, mille käigus konstrueeritakse objektist mudel ja uuritakse selle omadusi mudelit uurides.

Seega hõlmab modelleerimine kahte peamist etappi:

1) mudeli väljatöötamine;

2) mudeli uurimine ja järelduste tegemine.

Samal ajal lahendatakse igas etapis erinevaid ülesandeid ja

olemuselt erinevad meetodid ja vahendid.

Praktikas kasutavad nad erinevaid meetodeid modelleerimine. Sõltuvalt teostusmeetodist võib kõik mudelid jagada kahte suurde klassi: füüsikalised ja matemaatilised.

Matemaatika modelleerimine Tavaliselt peetakse seda protsesside või nähtuste uurimise vahendiks nende matemaatilisi mudeleid kasutades.

Under füüsiline modelleerimine viitab objektide ja nähtuste uurimisele füüsikalistel mudelitel, kui uuritavat protsessi reprodutseeritakse selle füüsikalist olemust säilitades või kasutatakse mõnda muud uuritavaga sarnast füüsikalist nähtust. Kus füüsilised mudelid Reeglina eeldavad nad originaali nende füüsikaliste omaduste tegelikku teostust, mis on konkreetses olukorras olulised.Näiteks uue lennuki projekteerimisel luuakse makett, millel on samad aerodünaamilised omadused; Arhitektid koostavad arendust planeerides mudeli, mis kajastab selle elementide ruumilist paigutust. Sellega seoses nimetatakse ka füüsilist modelleerimist prototüüpimine.

Poolväärtusaja modelleerimine on uurimus juhitavatest süsteemidest modelleerimiskomplekside kohta koos tegelike seadmete kaasamisega mudelisse. Kinnisesse mudelisse kuuluvad koos reaalsete aparatuuriga mõjude ja häirete simulaatorid, väliskeskkonna matemaatikamudelid ja protsessid, mille jaoks pole piisavalt täpne matemaatiline kirjeldus. Reaalsete seadmete või reaalsete süsteemide kaasamine keerukate protsesside modelleerimise ahelasse võimaldab vähendada a priori ebakindlust ja uurida protsesse, mille jaoks puudub täpne matemaatiline kirjeldus. Kasutades poollooduslikku modelleerimist, tehakse uuringuid, võttes arvesse reaalsele seadmele omaseid väikeseid ajakonstante ja lineaarsust. Reaalset varustust kasutavate mudelite uurimisel kasutatakse kontseptsiooni dünaamiline simulatsioon, keeruliste süsteemide ja nähtuste uurimisel - evolutsiooniline, imitatsioon Ja küberneetiline modelleerimine.

Ilmselgelt saab modelleerimisest tegelikku kasu saada ainult siis, kui on täidetud kaks tingimust:

1) mudel annab omaduste õige (adekvaatse) kuva

originaal, uuritava operatsiooni seisukohalt oluline;

2) mudel võimaldab teil kõrvaldada ülaltoodud probleemid

reaalsete objektide uurimise läbiviimine.

2. Matemaatilise modelleerimise põhimõisted

Praktiliste ülesannete lahendamine matemaatiliste meetodite abil toimub järjepidevalt ülesande formuleerimise (matemaatilise mudeli väljatöötamise), saadud matemaatilise mudeli uurimise meetodi valimise ja saadud matemaatilise tulemuse analüüsimise teel. Ülesande matemaatiline sõnastus esitatakse tavaliselt geomeetriliste kujutiste, funktsioonide, võrrandisüsteemide jne kujul. Objekti (nähtuse) kirjeldust saab esitada pidevate või diskreetsete, deterministlike või stohhastiliste ja muude matemaatikavormide abil.

Matemaatilise modelleerimise teooria tagab ümbritseva maailma erinevate nähtuste esinemismustrite või süsteemide ja seadmete toimimise mustrite tuvastamise nende matemaatilise kirjeldamise ja modelleerimise abil ilma täismahus teste tegemata. Sel juhul kasutatakse matemaatika sätteid ja seadusi, mis kirjeldavad simuleeritud nähtusi, süsteeme või seadmeid nende idealiseerimise mingil tasemel.

Matemaatiline mudel (MM) on süsteemi (või operatsiooni) formaliseeritud kirjeldus mõnes abstraktses keeles, näiteks matemaatiliste seoste kogumi või algoritmdiagrammi kujul, s.o. st selline matemaatiline kirjeldus, mis võimaldab simuleerida süsteemide või seadmete tööd nende tegelikule käitumisele piisavalt lähedasel tasemel, mis on saadud süsteemide või seadmete täismahus testimise käigus.

Iga MM kirjeldab reaalset objekti, nähtust või protsessi teatud määral reaalsusele lähendades. MM-i tüüp sõltub nii reaalobjekti olemusest kui ka uuringu eesmärkidest.

Matemaatika modelleerimine sotsiaalsed, majanduslikud, bioloogilised ja füüsikalised nähtused, objektid, süsteemid ja erinevad seadmed on üks olulisemaid vahendeid looduse mõistmiseks ning väga erinevate süsteemide ja seadmete kujundamiseks. On teada näiteid modelleerimise efektiivsest kasutamisest tuumatehnoloogiate, lennundus- ja kosmosesüsteemide loomisel, atmosfääri- ja ookeaninähtuste, ilmastiku jms prognoosimisel.

Sellised tõsised modelleerimise valdkonnad nõuavad aga sageli superarvuteid ja suurte teadlaste rühmade aastatepikkust tööd, et koostada andmed modelleerimiseks ja selle silumiseks. Kuid sel juhul ei säästa keeruliste süsteemide ja seadmete matemaatiline modelleerimine mitte ainult raha uurimisele ja katsetamisele, vaid võib ka välistada keskkonnakatastroofe - näiteks võimaldab see loobuda tuuma- ja termotuumarelvade katsetamisest nende matemaatilise modelleerimise kasuks. või kosmosesüsteemide testimine enne nende tegelikke lende Seetõttu on matemaatiline modelleerimine lihtsamate ülesannete lahendamise tasemel, näiteks mehaanika, elektrotehnika, elektroonika, raadiotehnika ja paljude teiste teaduse ja tehnoloogia valdkonnast. saadaval kaasaegsetes arvutites. Ja üldistatud mudelite kasutamisel on võimalik simuleerida üsna keerulisi süsteeme, näiteks telekommunikatsioonisüsteeme ja -võrke, radarit või raadionavigatsioonisüsteeme.

Matemaatilise modelleerimise eesmärk on reaalsete protsesside (looduses või tehnoloogias) analüüs, kasutades matemaatilisi meetodeid. See omakorda eeldab uuritava MM-protsessi formaliseerimist Mudel võib olla matemaatiline avaldis, mis sisaldab muutujaid, mille käitumine on sarnane reaalse süsteemi käitumisega Mudel võib sisaldada juhuslikkuse elemente, mis arvestavad võimalike tõenäosustega. toimingud kahe või rohkem"mängijad", näiteks mänguteoorias; või see võib esindada operatsioonisüsteemi omavahel ühendatud osade tegelikke muutujaid.

Matemaatilise modelleerimise süsteemide omaduste uurimiseks võib jagada analüütiliseks, simulatsiooniks ja kombineeritud modelleerimiseks. MM-id omakorda jagunevad simulatsiooniks ja analüütiliseks.

Analüütiline modelleerimine

Sest analüütiline modelleerimine On iseloomulik, et süsteemi toimimise protsessid on kirja pandud teatud funktsionaalsete seoste kujul (algebralised, diferentsiaal-, integraalvõrrandid). Analüütilist mudelit saab uurida järgmiste meetodite abil:

1) analüütilised, kui nad püüavad saavutada üldisel kujul selgeid sõltuvusi süsteemide omadustest;

2) numbriline, kui võrranditele ei ole võimalik üldkujul lahendust leida ja need lahendatakse konkreetsete lähteandmete puhul;

3) kvalitatiivne, kui lahenduse puudumisel leitakse mõned selle omadused.

Analüütilisi mudeleid saab hankida ainult suhteliselt lihtsate süsteemide jaoks. Keeruliste süsteemide puhul tekivad sageli suured matemaatilised probleemid. Analüütilise meetodi rakendamiseks lähevad nad esialgse mudeli olulisele lihtsustamisele. Lihtsustatud mudelit kasutav uurimus aitab aga saada vaid soovituslikke tulemusi. Analüütilised mudelid kajastavad matemaatiliselt õigesti sisend- ja väljundmuutujate ning parameetrite vahelisi seoseid. Kuid nende struktuur ei peegelda objekti sisemist struktuuri.

Analüütilise modelleerimise käigus esitatakse selle tulemused analüütiliste avaldiste kujul. Näiteks ühendades R.C.- ahel konstantse pingeallikaga E(R, C Ja E- selle mudeli komponendid), saame luua pinge ajasõltuvuse analüütilise avaldise u(t) kondensaatoril C:

See lineaarne diferentsiaalvõrrand (DE) on selle lihtsa lineaarahela analüütiline mudel. Selle analüütiline lahendus algtingimustes u(0) = 0, mis tähendab tühjenenud kondensaatorit C modelleerimise alguses võimaldab teil leida soovitud sõltuvuse - valemi kujul:

u(t) = E(1− ntlk(- t/RC)). (2)

Kuid isegi selle kõige lihtsama näite puhul on DE (1) lahendamiseks või rakendamiseks vaja teha teatavaid jõupingutusi arvutimatemaatika süsteemid(SCM) sümboolsete arvutustega – arvutialgebrasüsteemid. Selle täiesti triviaalse juhtumi puhul lineaarse modelleerimise probleemi lahendamine R.C.-ahel annab üsna üldisel kujul analüütilise avaldise (2) - sobib vooluringi töö kirjeldamiseks mis tahes komponendi nimiväärtuste korral R, C Ja E ja kirjeldab kondensaatori eksponentsiaalset laengut C takisti kaudu R pideva pinge allikast E.

Muidugi osutub analüütiliste lahenduste leidmine analüütilise modelleerimise käigus ülimalt väärtuslikuks lihtsate lineaarahelate, süsteemide ja seadmete üldiste teoreetiliste mustrite tuvastamisel, kuid selle keerukus suureneb järsult, kui mudelile avalduvad mõjud muutuvad keerukamaks ning järjekord ja arv. olekuvõrrandid, mis kirjeldavad modelleeritud objekti suurenemist. Teist-kolmandat järku objekte modelleerides võib saada enam-vähem nähtavaid tulemusi, kuid kõrgema järgu korral muutuvad analüütilised väljendid liiga tülikaks, keeruliseks ja raskesti mõistetavaks. Näiteks sisaldab isegi lihtne elektrooniline võimendi sageli kümneid komponente. Kuid paljud kaasaegsed SCM-id, näiteks sümboolse matemaatika süsteemid Maple, Mathematica või keskkond MATLAB, suudavad lahendust suures osas automatiseerida keerulised ülesanded analüütiline modelleerimine.

Üks modelleerimise tüüp on numbriline modelleerimine, mis seisneb vajalike kvantitatiivsete andmete hankimises süsteemide või seadmete käitumise kohta mis tahes sobiva numbrilise meetodi, näiteks Euleri või Runge-Kutta meetodi abil. Praktikas osutub mittelineaarsete süsteemide ja seadmete modelleerimine numbriliste meetodite abil palju tõhusamaks kui üksikute privaatsete lineaarsete ahelate, süsteemide või seadmete analüütiline modelleerimine. Näiteks DE (1) või DE süsteemide lahendamiseks rohkem kui rasked juhtumid analüütilisel kujul lahendust ei saa, küll aga saab numbrilisi simulatsiooniandmeid kasutades saada üsna täielikud andmed simuleeritud süsteemide ja seadmete käitumise kohta ning koostada seda käitumist kirjeldavate sõltuvuste graafikud.

Simulatsiooni modelleerimine

Kell imitatsioon 10ja modelleerimisel kordab mudelit rakendav algoritm süsteemi toimimise protsessi aja jooksul. Protsessi moodustavad elementaarnähtused simuleeritakse, säilitades nende loogilise struktuuri ja sündmuste jada ajas.

Simulatsioonimudelite peamine eelis võrreldes analüütiliste mudelitega on võime lahendada keerukamaid probleeme.

Simulatsioonimudelite abil on lihtne arvesse võtta diskreetsete või pidevate elementide olemasolu, mittelineaarseid omadusi, juhuslikke mõjusid jne. Seetõttu kasutatakse seda meetodit laialdaselt keerukate süsteemide projekteerimisetapis. Peamiseks simulatsioonimodelleerimise vahendiks on arvuti, mis võimaldab süsteeme ja signaale digitaalselt modelleerida.

Sellega seoses defineerime fraasi " arvuti modelleerimine”, mida kirjanduses üha enam kasutatakse. Oletame, et arvuti modelleerimine on matemaatiline modelleerimine arvutitehnoloogia abil. Sellest lähtuvalt hõlmab arvutimodelleerimise tehnoloogia järgmiste toimingute tegemist:

1) modelleerimise eesmärgi määramine;

2) kontseptuaalse mudeli väljatöötamine;

3) mudeli vormistamine;

4) mudeli tarkvaraline juurutamine;

5) mudelkatsete planeerimine;

6) katseplaani elluviimine;

7) modelleerimistulemuste analüüs ja tõlgendamine.

Kell simulatsiooni modelleerimine kasutatav MM reprodutseerib uuritava süsteemi toimimise algoritmi (“loogikat”) aja jooksul süsteemi parameetrite ja väliskeskkonna erinevate väärtuste kombinatsioonide jaoks.

Lihtsaima analüütilise mudeli näide on sirgjoonelise ühtlase liikumise võrrand. Sellist protsessi simulatsioonimudeli abil uurides tuleks realiseerida aja jooksul läbitud tee muutuste jälgimine Ilmselgelt on mõnel juhul eelistatum analüütiline modelleerimine, mõnel juhul simulatsioon (või nende kombinatsioon). Eduka valiku tegemiseks peate vastama kahele küsimusele.

Mis on modelleerimise eesmärk?

Millisesse klassi saab modelleeritud nähtuse liigitada?

Mõlemale küsimusele saab vastused modelleerimise kahe esimese etapi jooksul.

Modelleeritavale objektile vastavad simulatsioonimudelid mitte ainult omadustelt, vaid ka struktuurilt. Sel juhul on mudelil saadud protsesside ja objektil toimuvate protsesside vahel ühemõtteline ja ilmne vastavus. Simulatsiooni puuduseks on see, et hea täpsuse saavutamiseks kulub probleemi lahendamiseks kaua aega.

Stohhastilise süsteemi toimimise simulatsioonimodelleerimise tulemused on juhuslike suuruste ehk protsesside realisatsioonid. Seetõttu on süsteemi karakteristikute leidmiseks vaja mitu kordamist ja sellele järgnevat andmetöötlust. Kõige sagedamini kasutatakse sel juhul simulatsiooni tüüpi - statistiline

modelleerimine(või Monte Carlo meetod), st. juhuslike tegurite, sündmuste, suuruste, protsesside, väljade taastootmine mudelites.

Statistilise modelleerimise tulemuste põhjal määratakse hallatava süsteemi toimimist ja tõhusust iseloomustavate üldiste ja spetsiifiliste tõenäosuslike kvaliteedikriteeriumide hinnangud. Statistilist modelleerimist kasutatakse laialdaselt teaduslike ja rakenduslike probleemide lahendamiseks erinevates teaduse ja tehnoloogia valdkondades. Statistilisi modelleerimismeetodeid kasutatakse laialdaselt keerukate dünaamiliste süsteemide uurimisel, hinnates nende toimimist ja efektiivsust.

Statistilise modelleerimise viimane etapp põhineb saadud tulemuste matemaatilisel töötlemisel. Siin kasutatakse matemaatilise statistika meetodeid (parameetriline ja mitteparameetriline hindamine, hüpoteeside testimine). Parameetrilise hinnangu näiteks on tulemuslikkuse mõõdiku valimi keskmine. Mitteparameetriliste meetodite hulgas on laialt levinud histogrammi meetod.

Vaadeldav skeem põhineb korduvatel süsteemi statistilistel testidel ja sõltumatute juhuslike suuruste statistika meetoditel, mis ei ole alati praktikas loomulik ja kulude osas optimaalne. Süsteemi testimise aega saab vähendada täpsemate hindamismeetodite kasutamisega. Nagu matemaatilisest statistikast on teada, on efektiivsetel hinnangutel antud valimi suuruse puhul suurim täpsus. Üldise meetodi selliste hinnangute saamiseks on optimaalne filtreerimine ja maksimaalse tõenäosuse meetod.Statistilise modelleerimise ülesannetes on juhuslike protsesside teostuste töötlemine vajalik mitte ainult väljundprotsesside analüüsimiseks.

Väga oluline on ka sisend juhuslike mõjude omaduste kontroll. Kontroll seisneb genereeritud protsesside jaotuste vastavuse kontrollimisele etteantud jaotustele. See probleem on sageli sõnastatud järgmiselt hüpoteesi testimise probleem.

Üldine trend keerukate juhitavate süsteemide arvutimodelleerimisel on soov lühendada modelleerimisaega, samuti viia läbi reaalajas uuringuid. Arvutusalgoritme on mugav esitada korduval kujul, võimaldades neid realiseerida jooksva teabe vastuvõtmise kiirusega.

SÜSTEEMLÄHENEMISE PÕHIMÕTTED MODELLEERIMISEL

Süsteemiteooria aluspõhimõtted

Süsteemiteooria aluspõhimõtted tekkisid dünaamiliste süsteemide ja nende funktsionaalsete elementide uurimisel. Süsteemi mõistetakse kui omavahel ühendatud elementide rühma, mis toimivad koos ettemääratud ülesande täitmiseks. Süsteemianalüüs võimaldab teil kõige rohkem kindlaks teha tõelisi viise antud ülesande täitmine, tagades püstitatud nõuete maksimaalse rahuldamise.

Süsteemiteooria aluseks olevaid elemente ei looda hüpoteeside kaudu, vaid avastatakse eksperimentaalselt. Süsteemi ülesehitamise alustamiseks on vaja tehnoloogiliste protsesside üldisi omadusi. Sama kehtib ka matemaatiliselt sõnastatud kriteeriumide loomise põhimõtete kohta, millele protsess või selle teoreetiline kirjeldus peab vastama. Modelleerimine on üks kõige enam olulised meetodid teaduslikud uuringud ja katsed.

Objektide mudelite koostamisel kasutatakse süsteemset lähenemist, mis on keerukate probleemide lahendamise metoodika, mis põhineb objekti käsitlemisel teatud keskkonnas toimivana süsteemina. Süstemaatiline lähenemine hõlmab objekti terviklikkuse paljastamist, selle sisemise struktuuri tuvastamist ja uurimist, samuti seoseid väliskeskkonnaga. Sel juhul esitletakse objekti osana reaalsest maailmast, mida isoleeritakse ja uuritakse seoses mudeli konstrueerimise probleemiga. Lisaks hõlmab süsteemne lähenemine järjepidevat üleminekut üldiselt spetsiifilisele, kui kaalutluse aluseks on disaini eesmärk ja objekti vaadeldakse seoses keskkonnaga.

Kompleksse objekti saab jagada alamsüsteemideks, mis on objekti osad, mis vastavad järgmistele nõuetele:

1) allsüsteem on objekti funktsionaalselt iseseisev osa. See on seotud teiste allsüsteemidega, vahetab nendega informatsiooni ja energiat;

2) iga alamsüsteemi jaoks saab määratleda funktsioone või omadusi, mis ei lange kokku kogu süsteemi omadustega;

3) iga alamsüsteemi saab edasi jagada elementide tasemele.

Sel juhul mõistetakse elemendi all madalama tasandi allsüsteemi, mille edasine jaotus on lahendatava probleemi seisukohalt sobimatu.

Seega võib süsteemi määratleda kui objekti esitust alamsüsteemide, elementide ja seoste kogumi kujul selle loomise, uurimise või täiustamise eesmärgil. Sel juhul nimetatakse süsteemi suurendatud esitust, sealhulgas peamisi alamsüsteeme ja nendevahelisi seoseid, makrostruktuuriks ning süsteemi sisestruktuuri üksikasjalikku avalikustamist kuni elementide tasemeni nimetatakse mikrostruktuuriks.

Koos süsteemiga on tavaliselt ka supersüsteem - kõrgema taseme süsteem, mis hõlmab kõnealust objekti ja mis tahes süsteemi funktsiooni saab määrata ainult supersüsteemi kaudu.

Esile tuleb tuua keskkonna mõiste kui välismaailma objektide kogum, mis oluliselt mõjutavad süsteemi efektiivsust, kuid ei ole osa süsteemist ja selle supersüsteemist.

Seoses mudelite ehitamise süsteemse käsitlusega kasutatakse infrastruktuuri mõistet, mis kirjeldab süsteemi suhet selle keskkonnaga (keskkonnaga), sel juhul objekti oluliste omaduste tuvastamine, kirjeldamine ja uurimine. konkreetse ülesande raames nimetatakse objekti kihistumist ja mis tahes objekti mudelit on selle stratifitseeritud kirjeldus.

Süsteemse lähenemise puhul on oluline määrata süsteemi struktuur, s.t. süsteemi elementide vaheliste seoste kogum, mis peegeldab nende vastasmõju. Selleks kaalume kõigepealt modelleerimise struktuurseid ja funktsionaalseid lähenemisviise.

Struktuurse lähenemisega selgub süsteemi valitud elementide koostis ja nendevahelised seosed. Elementide ja ühenduste kogum võimaldab hinnata süsteemi struktuuri. Struktuuri kõige üldisem kirjeldus on topoloogiline kirjeldus. See võimaldab graafikute abil määrata süsteemi komponendid ja nende ühendused. Vähem üldine on funktsionaalne kirjeldus, kui vaadeldakse üksikuid funktsioone, st süsteemi käitumise algoritme. Sel juhul rakendatakse funktsionaalset lähenemist, mis määratleb funktsioonid, mida süsteem täidab.

Süsteemipõhisest lähenemisest lähtudes saab välja pakkuda mudeli väljatöötamise järjekorra, kus eristatakse kahte peamist projekteerimisetappi: makrodisain ja mikrodisain.

Makrodisaini etapis koostatakse väliskeskkonna mudel, tehakse kindlaks ressursid ja piirangud, valitakse süsteemimudel ja kriteeriumid adekvaatsuse hindamiseks.

Mikrodisaini etapp sõltub suuresti valitud mudeli konkreetsest tüübist. Üldiselt hõlmab see teabe-, matemaatiliste, tehniliste ja tarkvaraliste modelleerimissüsteemide loomist. Selles etapis määratakse kindlaks loodud mudeli peamised tehnilised omadused, hinnatakse sellega töötamiseks kuluvat aega ja ressursside maksumust mudeli kindlaksmääratud kvaliteedi saavutamiseks.

Sõltumata mudeli tüübist tuleb selle koostamisel juhinduda mitmest süstemaatilise lähenemise põhimõtetest:

1) järjepidev edasiminek läbi mudeli loomise etappide;

2) teabe, ressursi, usaldusväärsuse ja muude tunnuste koordineerimine;

3) mudeliehituse erinevate tasandite õige seos;

4) mudeli kavandamise üksikute etappide terviklikkus.

Näide 1.5.1.

Las teatud majanduspiirkond toodab mitut (n) tüüpi tooteid eranditult ja ainult selle piirkonna elanikkonnale. Eeldatakse, et tehnoloogiline protsess on läbi töötatud ja uuritud elanikkonna nõudlust nende kaupade järele. Vajalik on määrata aastane tootetoodangu maht, võttes arvesse asjaolu, et see maht peab tagama nii lõpp- kui ka tööstustarbimise.

Loome selle ülesande matemaatilise mudeli. Vastavalt selle tingimustele on antud: toodete liigid, nõudlus nende järele ja tehnoloogiline protsess; peate leidma iga tootetüübi väljundmahu.

Tähistame teadaolevaid koguseid:

c i– elanikkonna nõudlus i toode ( i=1,...,n); a ij- kogus i toode, mis on vajalik j-nda toote ühiku tootmiseks antud tehnoloogia abil ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i - väljundi maht i-th toode ( i=1,...,n); totaalsus Koos =(c 1 ,..., c n ) nimetatakse nõudlusvektoriks, arvudeks a ij– tehnoloogilised koefitsiendid ja kogusumma X =(X 1 ,..., X n ) - vabanemise vektor.

Vastavalt probleemtingimustele vektor X jagatud kaheks osaks: lõpptarbimiseks (vektor Koos ) ja paljunemiseks (vektor x-s ). Arvutame selle vektori osa X mis läheb paljunemisele. Vastavalt meie tootmisnimetustele X j tarnitud j-nda toote kogus a ij · X j kogused i-s toode.

Siis summa a i1 · X 1 +...+ a sisse · X n näitab seda väärtust i-th toode, mida on vaja kogu väljalaske jaoks X =(X 1 ,..., X n ).

Seetõttu peab võrdsus olema täidetud:

Laiendades seda põhjendust igat tüüpi toodetele, jõuame soovitud mudelini:

Selle n lineaarvõrrandi süsteemi lahendamine jaoks X 1 ,...,X n ja leidke vajalik vabanemisvektor.

Selle mudeli kompaktsemal (vektor) kujul kirjutamiseks tutvustame järgmist tähistust:

Ruut (
) -maatriks A nimetatakse tehnoloogiamaatriksiks. Lihtne on kontrollida, kas meie mudel on nüüd kirjutatud järgmiselt: x-s=Ah või

(1.6)

Saime klassikalise mudeli " Sisend väljund “, mille autor on kuulus Ameerika majandusteadlane V. Leontjev.

Näide 1.5.2.

Naftarafineerimistehases on kahte sorti õli: klass A summas 10 ühikut, hinne IN- 15 ühikut. Õli rafineerimisel saadakse kaks materjali: bensiin (tähistame B) ja kütteõli ( M). Töötlemistehnoloogia protsessis on kolm võimalust:

I: 1 ühik A+ 2 ühikut IN annab 3 ühikut. B+ 2 ühikut M

II: 2 ühikut. A+ 1 ühik IN annab 1 ühiku. B+ 5 ühikut M

III: 2 ühikut A+ 2 ühikut IN annab 1 ühiku. B+ 2 ühikut M

Bensiini ühiku hind on 10 dollarit, kütteõlil 1 dollar.

Olemasoleva õlikoguse töötlemiseks on vaja kindlaks määrata kõige soodsam tehnoloogiliste protsesside kombinatsioon.

Enne modelleerimist selgitame järgmisi punkte. Probleemi tingimustest järeldub, et tehase tehnoloogilise protsessi "kasumlikkust" tuleks mõista valmistoodete (bensiin ja kütteõli) müügist maksimaalse tulu saamise tähenduses. Sellega seoses on selge, et tehase „valiku(tegemise)otsus” seisneb selle kindlaksmääramises, millist tehnoloogiat ja mitu korda rakendada. Ilmselgelt on selliseid võimalikke variante päris palju.

Tähistame tundmatud kogused:

X i- kasutusmaht i tehnoloogiline protsess (i=1,2,3). Muud mudeli parameetrid (naftavarud, bensiini ja kütteõli hind) teatud.

Nüüd taandub üks konkreetne taimeotsus ühe vektori valimisele X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , mille puhul tehase tulu on võrdne (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Siin on 32 dollarit esimese tehnoloogilise protsessi ühest rakendusest saadud tulu (10 dollarit 3 ühikut. B+ 1 dollar · 2 ühikut. M= 32 dollarit). Teise ja kolmanda tehnoloogilise protsessi koefitsiendid 15 ja 12 on sarnase tähendusega. Naftavarude arvestamine toob kaasa järgmised tingimused:

vahelduseks A:

vahelduseks IN:,

kus esimeses ebavõrdsuse koefitsiendis 1, 2, 2 on A-klassi õli kulunormid tehnoloogiliste protsesside ühekordseks kasutamiseks I,II,III vastavalt. Teise ebavõrdsuse koefitsientidel on B-klassi õli puhul sarnane tähendus.

Matemaatilisel mudelil tervikuna on vorm:

Leidke selline vektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) maksimeerida

f(x) =32х 1 +15x 2 +12x 3

järgmistel tingimustel:

Selle kirje lühendatud vorm on järgmine:

piirangute all

(1.7)

Saime nn lineaarse programmeerimise probleemi.

Mudel (1.7.) on näide deterministlikku tüüpi (hästi määratletud elementidega) optimeerimismudelist.

Näide 1.5.3.

Investor peab kindlaks määrama parima aktsiate, võlakirjade ja muude väärtpaberite kombinatsiooni, mida teatud summa eest osta, et saada teatud kasumit minimaalse riskiga. Kasum väärtpaberisse investeeritud dollari kohta j- tüüp, mida iseloomustavad kaks näitajat: oodatav kasum ja tegelik kasum. Investori jaoks on soovitav, et eeldatav kasum investeeringu dollari kohta ei oleks madalam kui kogu väärtpaberikomplekti etteantud väärtus b.

Pange tähele, et selle probleemi korrektseks modelleerimiseks nõuab matemaatik teatud põhiteadmised väärtpaberite portfelli teooria valdkonnas.

Tähistame ülesande teadaolevaid parameetreid:

n– väärtpaberiliikide arv; A j– tegelik kasum (juhuslik arv) j-ndat liiki väärtpaberilt; – eeldatav kasum j- tagatise liik.

Tähistame tundmatuid koguseid :

y j - seda tüüpi väärtpaberite ostmiseks eraldatud vahendid j.

Meie tähistust kasutades on kogu investeeritud summa väljendatud kujul . Mudeli lihtsustamiseks võtame kasutusele uued kogused

.

Seega X i- see on osa kõigist seda tüüpi väärtpaberite soetamiseks eraldatud vahenditest j.

Selge see

Probleemi tingimustest on selge, et investori eesmärk on saavutada teatud kasumitase minimaalse riskiga. Sisuliselt on risk tegeliku kasumi kõrvalekaldumise mõõt eeldatust. Seetõttu saab seda identifitseerida i ja j tüüpi väärtpaberite kasumi kovariatsiooniga. Siin on M matemaatilise ootuse tähis.

Algülesande matemaatilisel mudelil on vorm:

piirangute all

,
,
,
. (1.8)

Väärtpaberiportfelli struktuuri optimeerimiseks oleme omandanud tuntud Markowitzi mudeli.

Mudel (1.8.) on näide stohhastilist tüüpi optimeerimismudelist (juhuslikkuse elementidega).

Näide 1.5.4.

Kaubandusorganisatsiooni alusel on üht miinimumsortimendi toodet n tüüpi. Poodi tuleb tuua ainult ühte tüüpi antud toodet. Peate valima toote tüübi, mida on sobiv poodi tuua. Kui toote tüüp j on nõutud, saab pood selle müügist kasumit R j, kui see pole nõutud - kahjum q j .

Enne modelleerimist käsitleme mõnda põhipunkti. Selles probleemis on otsustaja (DM) kauplus. Tulemus (maksimaalne kasum) ei sõltu aga mitte ainult tema otsusest, vaid ka sellest, kas imporditud toote järele on nõudlus, st kas elanikkond seda ostab (eeldatakse, et pood mingil põhjusel ei tee seda on võimalus uurida elanikkonna nõudlust ). Seetõttu võib elanikkonda pidada teiseks otsustajaks, kes valib tootetüübi vastavalt oma eelistustele. Elanikkonna halvim "otsus" poe osas on: "importkaubad ei ole nõutud." Seega peab pood kõigi võimalike olukordade arvesse võtmiseks pidama elanikkonda oma "vaenlaseks" (tinglikult), püüdes vastupidist eesmärki - minimeerida poe kasumit.

Seega on meil otsustusprobleem kahe osalejaga, kes taotlevad vastandlikke eesmärke. Täpsustame, et pood valib müügiks ühe kaubaliigi (otsustusvõimalusi on n) ja elanikkond valib ühe kaubaliigist, mille järele on kõige suurem nõudlus ( n lahendusvariandid).

Matemaatilise mudeli koostamiseks joonistame tabeli, millega n read ja n veerud (kokku n 2 lahtrid) ja nõustuge, et read vastavad poe valikule ja veerud üldkogumi valikule. Siis rakk (i, j) vastab olukorrale, kui pood valib i toote tüüp ( i-th rida) ja elanikkond valib j toote tüüp ( j- veerg). Igasse lahtrisse paneme kirja vastava olukorra numbrilise hinnangu (kasum või kahjum) kaupluse seisukohalt:

Numbrid q i kirjutatud miinusega, et kajastada poe kahjumit; igas olukorras on elanikkonna "kasum" (tinglikult) võrdne poe "kasumiga", võetuna vastupidise märgiga.

Selle mudeli lühendatud vorm on:

(1.9)

Saime nn maatriksmängu. Mudel (1.9.) on näide mängu otsustusmudelitest.

Selles artiklis pakume matemaatiliste mudelite näiteid. Lisaks pöörame tähelepanu mudelite loomise etappidele ja analüüsime mõningaid matemaatilise modelleerimisega seotud probleeme.

Teine küsimus, mis meil on, on majandusteaduse matemaatilised mudelid, mille näiteid käsitleme definitsiooniga veidi hiljem. Teeme ettepaneku alustada vestlust "mudeli" mõistega, kaaluda lühidalt nende klassifikatsiooni ja liikuda edasi meie põhiküsimuste juurde.

Mõiste "mudel"

Me kuuleme sageli sõna "mudel". Mis see on? Sellel terminil on palju määratlusi, siin on neist vaid kolm:

• konkreetne objekt, mis on loodud teabe vastuvõtmiseks ja salvestamiseks, mis peegeldab selle objekti originaali mõningaid omadusi või omadusi jne (seda konkreetset objekti saab väljendada erinevad kujud: vaimne, kirjeldus märkide abil ja nii edasi);
• Mudel tähendab ka mõne väljapanekut konkreetne olukord, elu või juhtimine;
• mudel võib olla objekti vähendatud koopia (need luuakse üksikasjalikumaks uurimiseks ja analüüsiks, kuna mudel peegeldab struktuuri ja seoseid).

Kõige varem öeldu põhjal võime teha väikese järelduse: mudel võimaldab teil üksikasjalikult uurida keeruline süsteem või objekt.

Kõiki mudeleid saab klassifitseerida mitmete omaduste järgi:

• kasutusala järgi (hariduslik, eksperimentaalne, teaduslik ja tehniline, mäng, simulatsioon);
• dünaamika järgi (staatiline ja dünaamiline);
• teadmiste harude kaupa (füüsikalised, keemilised, geograafilised, ajaloolised, sotsioloogilised, majanduslikud, matemaatilised);
• esitlusviisi järgi (materiaalne ja informatiivne).

Infomudelid jagunevad omakorda sümboolseks ja verbaalseks. Ja sümboolsed – arvuti- ja mittearvutiteks. Liigume nüüd matemaatilise mudeli näidete üksikasjaliku käsitlemise juurde.

Matemaatiline mudel

Nagu võite arvata, peegeldab matemaatiline mudel objekti või nähtuse mis tahes omadusi, kasutades spetsiaalseid matemaatilisi sümboleid. Matemaatika on vajalik selleks, et modelleerida ümbritseva maailma mustreid oma spetsiifilises keeles.

Matemaatilise modelleerimise meetod tekkis üsna kaua aega tagasi, tuhandeid aastaid tagasi koos selle teaduse tulekuga. Küll aga tõuke arenguks seda meetodit modelleerimine tõi kaasa arvutite (elektrooniliste arvutite) ilmumise.

Liigume nüüd klassifikatsiooni juurde. Seda saab läbi viia ka teatud märkide järgi. Need on esitatud allolevas tabelis.

Teeme ettepaneku peatuda ja vaadata lähemalt viimast klassifikatsiooni, nagu see peegeldab üldised mustrid modelleerimine ja loodud mudelite eesmärgid.

Kirjeldavad mudelid

Selles peatükis teeme ettepaneku peatuda üksikasjalikumalt kirjeldavatel matemaatilistel mudelitel. Et kõik oleks väga selge, tuuakse näide.

Alustame sellest, et seda tüüpi võib nimetada kirjeldavaks. See on tingitud sellest, et me teeme lihtsalt arvutusi ja prognoose, kuid ei saa kuidagi mõjutada sündmuse tulemust.

Kirjeldava matemaatilise mudeli ilmekas näide on meie avarustesse tunginud komeedi lennutrajektoori, kiiruse ja kauguse arvutamine Maast. Päikesesüsteem. See mudel on kirjeldav, kuna kõik saadud tulemused võivad meid ainult hoiatada mis tahes ohu eest. Kahjuks ei saa me sündmuse tulemust mõjutada. Saadud arvutuste põhjal on aga võimalik võtta mis tahes meetmeid elu säilitamiseks Maal.

Optimeerimismudelid

Nüüd räägime veidi majanduslikest ja matemaatilistest mudelitest, mille näited võivad olla erinevad hetkeolukorrad. Sel juhul me räägime mudelite kohta, mis aitavad teatud tingimustel õige vastuse leida. Neil on kindlasti mõned parameetrid. Et see oleks täiesti selge, vaatame näidet põllumajandussektorist.

Meil on ait, aga vili rikneb väga kiiresti. Sel juhul peame valima õige temperatuuri režiim ja optimeerida salvestusprotsessi.

Seega saame määratleda "optimeerimismudeli" mõiste. Matemaatilises mõttes on see võrrandisüsteem (nii lineaarne kui ka mitte), mille lahendamine aitab leida optimaalse lahenduse konkreetses majandusolukorras. Vaatasime matemaatilise mudeli (optimeerimise) näidet, kuid lisan: see tüüp kuulub äärmuslike probleemide klassi, need aitavad kirjeldada majandussüsteemi toimimist.

Märgime veel ühte nüanssi: mudelid võivad kanda erinev iseloom(vt allolevat tabelit).

Mitmekriteeriumilised mudelid

Nüüd kutsume teid veidi rääkima mitme kriteeriumi optimeerimise matemaatilisest mudelist. Enne seda tõime näite matemaatilisest mudelist protsessi optimeerimiseks ühe kriteeriumi järgi, aga mis siis, kui neid on palju?

Ilmekas näide mitme kriteeriumiga ülesandest on õige, tervisliku ja samal ajal säästliku toitumise korraldamine suurtele inimrühmadele. Selliseid ülesandeid kohtab sageli sõjaväes, koolisööklates, suvelaagrid, haiglad ja nii edasi.

Millised kriteeriumid on meile antud ülesande täitmisel?

1. Toitumine peaks olema tervislik.
2. Toidukulud peaksid olema minimaalsed.

Nagu näete, ei lange need eesmärgid üldse kokku. See tähendab, et probleemi lahendamisel on vaja otsida optimaalset lahendust, tasakaalu kahe kriteeriumi vahel.

Mängu mudelid

Mängumudelitest rääkides on vaja mõista “mänguteooria” mõistet. Lihtsamalt öeldes peegeldavad need mudelid tõeliste konfliktide matemaatilisi mudeleid. Peate lihtsalt mõistma, et erinevalt tõelisest konfliktist on mängu matemaatilisel mudelil oma kindlad reeglid.

Nüüd pakume minimaalset teavet mänguteooriast, mis aitab teil mõista, mis on mängumudel. Ja nii, mudel sisaldab tingimata pidusid (kaks või enam), mida tavaliselt nimetatakse mängijateks.

Kõigil mudelitel on teatud omadused.

Mängumudel võib olla paaris või mitu. Kui meil on kaks subjekti, on konflikt paaris, kui neid on rohkem, on see mitu. Eristada saab ka antagonistlikku mängu, seda nimetatakse ka nullsummamänguks. See on mudel, milles ühe osaleja kasu on võrdne teise kaotusega.

Simulatsioonimudelid

IN see jaotis pöörame tähelepanu simulatsiooni matemaatilistele mudelitele. Ülesannete näited on järgmised:

• mikroorganismide populatsiooni dünaamika mudel;
• molekulaarse liikumise mudel jne.

Sel juhul räägime mudelitest, mis on võimalikult lähedased reaalsetele protsessidele. Kõrval suures plaanis, jäljendavad nad mingit ilmingut looduses. Esimesel juhul saame näiteks simuleerida sipelgate arvu dünaamikat ühes koloonias. Samal ajal saate jälgida iga üksiku inimese saatust. Sel juhul kasutatakse matemaatilist kirjeldust harva, sagedamini esinevad kirjalikud tingimused:

• viie päeva pärast muneb emane mune;
• kahekümne päeva pärast sipelgas sureb jne.

Seega kasutatakse neid suure süsteemi kirjeldamiseks. Matemaatiline järeldus on saadud statistiliste andmete töötlemine.

Nõuded

Väga oluline on teada, mida teha seda liiki mudelitel on teatud nõuded, sealhulgas need, mis on näidatud allolevas tabelis.

Modelleerimise etapid

Kokku jaguneb matemaatiline modelleerimine tavaliselt neljaks etapiks.

1. Mudeli osi ühendavate seaduste sõnastamine.
2. Matemaatiliste probleemide uurimine.
3. Praktiliste ja teoreetiliste tulemuste kokkulangevuse määramine.
4. Mudeli analüüs ja moderniseerimine.

Majanduslik ja matemaatiline mudel

Selles jaotises tõstame probleemi lühidalt esile. Ülesannete näited on järgmised:

• lihatoodete tootmise tootmisprogrammi kujundamine, tagamine maksimaalne kasum tootmine;
• organisatsiooni kasumi maksimeerimine, arvutades välja optimaalse laudade ja toolide koguse mööblivabrik, ja nii edasi.

Majanduslik-matemaatiline mudel kuvab majanduslikku abstraktsiooni, mida väljendatakse matemaatiliste terminite ja sümbolite abil.

Arvuti matemaatiline mudel

Arvuti matemaatilise mudeli näited on järgmised:

• hüdraulilised probleemid vooskeemide, diagrammide, tabelite jms abil;
• tahke mehaanika probleemid ja nii edasi.

Arvutimudel on objekti või süsteemi kujutis, mis on esitatud järgmisel kujul:

• lauad;
• plokkskeemid;
• diagrammid;
• graafika ja nii edasi.

Lisaks peegeldab see mudel süsteemi struktuuri ja omavahelisi seoseid.

Majandusliku ja matemaatilise mudeli konstrueerimine

Oleme juba rääkinud sellest, mis on majanduslik-matemaatiline mudel. Praegu kaalutakse probleemi lahendamise näidet. Peame analüüsima tootmisprogrammi, et tuvastada reserv kasumi suurendamiseks sortimendi nihkega.

Me ei käsitle probleemi täielikult, vaid loome ainult majandusliku ja matemaatilise mudeli. Meie ülesande kriteeriumiks on kasumi maksimeerimine. Siis on funktsioon kujul: А=р1*х1+р2*х2..., kaldudes maksimumini. Selles mudelis on p kasum ühiku kohta ja x on toodetud ühikute arv. Järgmiseks on konstrueeritud mudeli põhjal vaja teha arvutused ja teha kokkuvõte.

Näide lihtsa matemaatilise mudeli ehitamisest

Ülesanne. Kalur naasis järgmise saagiga:

• 8 kala - põhjamere elanikud;
• 20% saagist moodustavad lõunamere elanikud;
• Kohalikust jõest ei leitud ainsatki kala.

Mitu kala ta poest ostis?

Niisiis näeb selle probleemi matemaatilise mudeli koostamise näide välja selline järgmisel viisil. Me määrame kokku kala x. Tingimust järgides on lõunapoolsetel laiuskraadidel elavate kalade arv 0,2x. Nüüd ühendame kogu olemasoleva teabe ja saame ülesande matemaatilise mudeli: x=0,2x+8. Lahendame võrrandi ja saame vastuse põhiküsimusele: ta ostis poest 10 kala.