Kuidas esitada ruutvõrrandit korrutisena. Ruutvõrrandid

Rohkem lihtsal viisil. Selleks võtke z sulgudest välja. Saad: z(az + b) = 0. Tegurid saab kirjutada: z=0 ja az + b = 0, kuna mõlema tulemuseks võib olla null. Tähistuses az + b = 0 nihutame teise teise märgiga paremale. Siit saame z1 = 0 ja z2 = -b/a. Need on originaali juured.

Kui seal on mittetäielik võrrand kujul az² + c = 0, sel juhul leitakse need lihtsalt vaba liikme ülekandmisel võrrandi paremale poolele. Muutke ka selle märki. Saate kirje az² \u003d -s. Väljendage z² = -c/a. Võtke juur ja kirjutage üles kaks lahendit – ruutjuure positiivne ja negatiivne väärtus.

Märge

Kui võrrandis on murdosakoefitsiendid, korrutage kogu võrrand vastava teguriga, et murdudest vabaneda.

Ruutvõrrandi lahendamise oskus on vajalik nii koolilastele kui ka õpilastele, mõnikord võib see aidata täiskasvanut igapäevaelus. On mitmeid konkreetseid otsustusmeetodeid.

Ruutvõrrandite lahendamine

Selleks, et otsustada antud võrrand, peate kasutama Vieta teoreemi või leidma diskrimineerija. Kõige tavalisem viis on diskrimineerija leidmine, kuna mõne a, b, c väärtuse puhul ei ole võimalik Vieta teoreemi kasutada.

Diskriminandi (D) leidmiseks tuleb kirjutada valem D=b^2 - 4*a*c. D väärtus võib olla suurem, väiksem või võrdne nulliga. Kui D on suurem kui või vähem kui null, siis on kaks juurt, kui D \u003d 0, siis jääb ainult üks juur, täpsemalt võib öelda, et D-l on sel juhul kaks samaväärset juurt. Asendage valemis teadaolevad koefitsiendid a, b, c ja arvutage väärtus.

Kui olete diskriminandi leidnud, kasutage x leidmiseks valemeid: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a kus sqrt on funktsioon, mis tähendab väljavõtet ruutjuur sellelt numbrilt. Pärast nende avaldiste arvutamist leiate oma võrrandi kaks juurt, mille järel võrrand loetakse lahendatuks.

Kui D on nullist väiksem, on sellel ikkagi juured. Koolis see jaotis praktiliselt ei uuritud. Üliõpilased peaksid teadma, et juure all on negatiivne arv. Sellest vabaneme, eraldades mõttelise osa, see tähendab, et -1 juure all on alati võrdne imaginaarse elemendiga "i", mis korrutatakse sama positiivse arvuga juurega. Näiteks kui D=sqrt(-20), saadakse pärast teisendust D=sqrt(20)*i. Pärast seda teisendust taandatakse võrrandi lahendus samale juurte leiule, nagu ülalpool kirjeldatud.

Vieta teoreem seisneb x(1) ja x(2) väärtuste valimises. Kasutatakse kahte identset võrrandit: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Veelgi enam, väga oluline punkt on märk koefitsiendi b ees, pidage meeles, et see märk on võrrandis olevale vastupidine. Esmapilgul tundub, et x(1) ja x(2) arvutamine on väga lihtne, kuid lahendamisel puutud kokku tõsiasjaga, et numbrid tuleb täpselt valida.

Ruutvõrrandite lahendamise elemendid

Ärge unustage ka mittetäielikke ruutvõrrandeid. Teil võib mõni termin puudu olla, kui jah, siis kõik selle koefitsiendid on lihtsalt võrdsed nulliga. Kui x^2 või x-i ees ei ole midagi, siis on koefitsiendid a ja b võrdsed 1-ga.

”, see tähendab esimese astme võrrandeid. Selles õppetükis uurime mis on ruutvõrrand ja kuidas seda lahendada.

Mis on ruutvõrrand

Tähtis!

Võrrandi aste määratakse tundmatu kõrgeima astme järgi.

Kui tundmatu suurim aste on "2", on teil ruutvõrrand.

Ruutvõrrandite näited

• 5x2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Tähtis! Ruutvõrrandi üldvorm näeb välja selline:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - esimene või vanem koefitsient;
• "b" - teine ​​koefitsient;
• "c" on vabaliige.

"a", "b" ja "c" leidmiseks peate oma võrrandit võrdlema ruutvõrrandi "ax 2 + bx + c \u003d 0" üldkujuga.

Harjutame ruutvõrrandites kordajate "a", "b" ja "c" määramist.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kuidas lahendada ruutvõrrandid

Erinevalt lineaarvõrranditest lahendamiseks ruutvõrrandid eriline juurte leidmise valem.

Pea meeles!

Ruutvõrrandi lahendamiseks on vaja:

• viige ruutvõrrand üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0". See tähendab, et paremale küljele peaks jääma ainult "0";
• kasutage juurte jaoks valemit:

Kasutame näidet, et välja selgitada, kuidas rakendada ruutvõrrandi juurte leidmiseks valemit. Lahendame ruutvõrrandi.

X 2 - 3x - 4 = 0

Võrrand "x 2 - 3x - 4 = 0" on juba taandatud üldkujule "ax 2 + bx + c = 0" ega vaja täiendavaid lihtsustusi. Selle lahendamiseks peame ainult taotlema valem ruutvõrrandi juurte leidmiseks.

Määratleme selle võrrandi koefitsiendid "a", "b" ja "c".

Tema abiga lahendatakse mis tahes ruutvõrrand.

Valemis "x 1; 2 \u003d" asendatakse sageli juuravaldis
"b 2 − 4ac" täheks "D" ja seda nimetatakse diskrimineerivaks. Diskriminandi mõistest on täpsemalt juttu tunnis „Mis on diskriminant“.

Vaatleme teist ruutvõrrandi näidet.

x 2 + 9 + x = 7x

Sellisel kujul on koefitsiente "a", "b" ja "c" üsna raske määrata. Toome kõigepealt võrrandi üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 – 6x + 9 = 0

Nüüd saate kasutada juurte valemit.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

On aegu, mil ruutvõrranditel pole juuri. Selline olukord tekib siis, kui juure all olevas valemis on negatiivne arv.

Jätkuks teemal "Võrrandite lahendamine" tutvustab selle artikli materjal ruutvõrrandeid.

Vaatleme kõike üksikasjalikult: ruutvõrrandi olemust ja tähistust, määrame kaasnevad terminid, analüüsime mittetäieliku ja mittetäieliku lahendamise skeemi. täielikud võrrandid, tutvume juurte ja diskriminandi valemiga, loome juurte ja koefitsientide vahel seoseid ning loomulikult anname praktiliste näidete visuaalse lahenduse.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ruutvõrrand, selle liigid

Ruutvõrrand on võrrand kirjutatud kujul a x 2 + b x + c = 0, kus x– muutuja, a , b ja c on mõned numbrid, samas a ei ole null.

Sageli nimetatakse ruutvõrrandit ka teise astme võrranditeks, kuna tegelikult on ruutvõrrand teise astme algebraline võrrand.

Toome antud definitsiooni illustreerimiseks näite: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 jne. on ruutvõrrandid.

2. definitsioon

Numbrid a , b ja c on ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c = 0, samas koefitsient a nimetatakse esimeseks ehk vanemaks või koefitsiendiks x 2, b - teiseks koefitsiendiks või koefitsiendiks at x, a c kutsuti vabaliikmeks.

Näiteks ruutvõrrandis 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 kõrgeim koefitsient on 6 , teine ​​koefitsient on − 2 , ja vaba termin on võrdne − 11 . Pöörame tähelepanu asjaolule, et kui koefitsiendid b ja/või c on siis negatiivsed lühivorm vormi kirjed 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, kuid mitte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Täpsustame ka seda aspekti: kui koefitsiendid a ja/või b võrdne 1 või − 1 , siis ei pruugi nad ruutvõrrandi kirjutamises selgesõnaliselt osaleda, mis on seletatav näidatud arvkordajate kirjutamise iseärasustega. Näiteks ruutvõrrandis y 2 – y + 7 = 0 vanemkoefitsient on 1 ja teine ​​koefitsient on − 1 .

Taandatud ja taandamata ruutvõrrandid

Vastavalt esimese koefitsiendi väärtusele jagatakse ruutvõrrandid taandatud ja taandamata.

3. määratlus

Vähendatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, kus juhtiv koefitsient on 1. Juhtkoefitsiendi muude väärtuste puhul on ruutvõrrand redutseerimata.

Siin on mõned näited: ruutvõrrandid x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 on taandatud, millest igaühe juhtkoefitsient on 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- taandamata ruutvõrrand, kus esimene koefitsient erineb 1 .

Iga taandamata ruutvõrrandi saab teisendada taandatud võrrandiks, jagades selle mõlemad osad esimese koefitsiendiga (ekvivalentne teisendus). Teisendatud võrrandil on samad juured kui antud taandamata võrrandil või puuduvad sellel üldse juured.

Kaalutlus juhtumiuuring võimaldab meil visuaalselt demonstreerida üleminekut taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide 1

Arvestades võrrandit 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Algne võrrand on vaja teisendada redutseeritud kujule.

Lahendus

Vastavalt ülaltoodud skeemile jagame mõlemad algvõrrandi osad juhtkoefitsiendiga 6 . Siis saame: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ja see on sama, mis: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ja edasi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Siit: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Seega saadakse võrrand, mis on ekvivalentne antud võrrandiga.

Vastus: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Pöördume ruutvõrrandi definitsiooni juurde. Selles täpsustasime seda a ≠ 0. Võrrandi jaoks on vajalik sarnane tingimus a x 2 + b x + c = 0 oli täpselt kandiline, sest a = 0 see muutub sisuliselt ümber lineaarvõrrand b x + c = 0.

Juhul, kui koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga (mis on võimalik nii eraldi kui ka koos), nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

4. määratlus

Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand a x 2 + b x + c \u003d 0, kus vähemalt üks koefitsientidest b ja c(või mõlemad) on null.

Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, milles kõik arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Arutleme, miks ruutvõrrandite tüüpidele on antud just sellised nimed.

Kui b = 0, saab ruutvõrrand kuju a x 2 + 0 x + c = 0, mis on sama, mis a x 2 + c = 0. Kell c = 0 ruutvõrrand on kirjutatud kujul a x 2 + b x + 0 = 0, mis on samaväärne a x 2 + b x = 0. Kell b = 0 ja c = 0 võrrand võtab kuju a x 2 = 0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat korraga. Tegelikult andis see asjaolu seda tüüpi võrranditele nime - mittetäielik.

Näiteks x 2 + 3 x + 4 = 0 ja −7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 on täielikud ruutvõrrandid; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Ülaltoodud määratlus võimaldab eristada järgmist tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid:

• a x 2 = 0, koefitsiendid vastavad sellisele võrrandile b = 0 ja c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0 jaoks;
• a x 2 + b x = 0, kui c = 0.

Vaatleme järjestikku igat tüüpi mittetäieliku ruutvõrrandi lahendust.

Võrrandi a x 2 \u003d 0 lahendus

Nagu eespool juba mainitud, vastab selline võrrand koefitsientidele b ja c, võrdne nulliga. Võrrand a x 2 = 0 saab teisendada samaväärseks võrrandiks x2 = 0, mille saame, kui jagame algse võrrandi mõlemad pooled arvuga a, ei ole võrdne nulliga. Ilmselge tõsiasi on see, et võrrandi juur x2 = 0 on null, sest 0 2 = 0 . Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav astme omadustega: mis tahes arvu korral p , ei ole võrdne nulliga, on ebavõrdsus tõsi p2 > 0, millest järeldub, et millal p ≠ 0 võrdsus p2 = 0 ei jõua kunagi kätte.

Definitsioon 5

Seega on mittetäieliku ruutvõrrandi jaoks a x 2 = 0 unikaalne juur x=0.

Näide 2

Näiteks lahendame mittetäieliku ruutvõrrandi − 3 x 2 = 0. See on võrdne võrrandiga x2 = 0, selle ainus juur on x=0, siis on esialgsel võrrandil üks juur - null.

Lahendus on kokku võetud järgmiselt:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Võrrandi a x 2 + c \u003d 0 lahendus

Järgmine on mittetäielike ruutvõrrandite lahendus, kus b \u003d 0, c ≠ 0, see tähendab vormi võrrandid a x 2 + c = 0. Teisendame selle võrrandi, kandes selle võrrandi ühelt poolelt teisele, muutes märgi vastupidiseks ja jagades võrrandi mõlemad pooled arvuga, mis ei ole võrdne nulliga:

• taluma c paremale poole, mis annab võrrandi a x 2 = − c;
• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, saame tulemuseks x = - c a .

Meie teisendused on vastavalt ekvivalentsed, ka saadud võrrand on samaväärne algse võrrandiga ja see asjaolu võimaldab teha järelduse võrrandi juurte kohta. Millest on väärtused a ja c oleneb avaldise väärtusest - c a: sellel võib olla miinusmärk (näiteks kui a = 1 ja c = 2, siis - c a = - 2 1 = - 2) või plussmärki (näiteks kui a = -2 ja c=6, siis - c a = - 6 - 2 = 3); see ei ole võrdne nulliga, sest c ≠ 0. Peatugem üksikasjalikumalt olukordadel, kui - c a< 0 и - c a > 0 .

Juhul kui - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lk võrdus p 2 = - c a ei saa olla tõene.

Kõik on erinev, kui - c a > 0: pidage meeles ruutjuurt ja selgub, et võrrandi x 2 juur - c a on arv - c a, kuna - c a 2 \u003d - c a. On lihtne mõista, et arv - - c a - on ka võrrandi x 2 = - c a juur: tõepoolest, - - c a 2 = - c a .

Võrrandil pole muid juuri. Seda saame näidata vastupidise meetodi abil. Esmalt määrame ülalt leitud juurte tähiseks kui x 1 ja − x 1. Oletame, et võrrandil x 2 = - c a on ka juur x2, mis erineb juurtest x 1 ja − x 1. Me teame, et asendades võrrandi asemel x selle juurtest teisendame võrrandi õiglaseks arvuliseks võrduseks.

Sest x 1 ja − x 1 kirjutage: x 1 2 = - c a , ja jaoks x2- x 2 2 \u003d - c a. Arvuliste võrduste omaduste põhjal lahutame teisest liikmest ühe tõelise võrdsuse, mis annab meile: x 1 2 − x 2 2 = 0. Kasutage arvutehte omadusi, et kirjutada viimane võrdus ümber kui (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Teatavasti on kahe arvu korrutis null siis ja ainult siis, kui vähemalt üks arvudest on null. Öeldust järeldub, et x1 − x2 = 0 ja/või x1 + x2 = 0, mis on sama x2 = x1 ja/või x 2 = − x 1. Tekkis ilmne vastuolu, sest algul lepiti kokku, et võrrandi juur x2 erineb x 1 ja − x 1. Seega oleme tõestanud, et võrrandil pole muid juuri kui x = - c a ja x = - - c a .

Võtame kõik ülaltoodud argumendid kokku.

Definitsioon 6

Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + c = 0 on samaväärne võrrandiga x 2 = - c a , mis:

• ei ole juured - c a< 0 ;
• on kaks juurt x = - c a ja x = - - c a , kui - c a > 0 .

Toome näiteid võrrandite lahendamisest a x 2 + c = 0.

Näide 3

Antud ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 . Sellele on vaja lahendus leida.

Lahendus

Viime vaba liikme võrrandi paremale poolele, siis saab võrrand kuju 9 x 2 \u003d - 7.
Jagame saadud võrrandi mõlemad pooled arvuga 9 , jõuame x 2 = - 7 9 . Paremal pool näeme miinusmärgiga arvu, mis tähendab: antud võrrandil pole juuri. Siis algne mittetäielik ruutvõrrand 9 x 2 + 7 = 0 ei oma juuri.

Vastus: võrrand 9 x 2 + 7 = 0 pole juuri.

Näide 4

On vaja lahendada võrrand − x2 + 36 = 0.

Lahendus

Liigume 36 paremale poole: − x 2 = −36.
Jagame mõlemad osad − 1 , saame x2 = 36. Paremal pool on positiivne arv, millest saame selle järeldada x = 36 või x = -36.
Eraldame juure ja kirjutame lõpptulemuse: mittetäieliku ruutvõrrandi − x2 + 36 = 0 on kaks juurt x=6 või x = -6.

Vastus: x=6 või x = -6.

Võrrandi a x 2 +b x=0 lahendus

Analüüsime kolmandat tüüpi mittetäielikke ruutvõrrandeid, mil c = 0. Mittetäieliku ruutvõrrandi lahenduse leidmiseks a x 2 + b x = 0, kasutame faktoriseerimise meetodit. Faktoriseerime polünoomi, mis asub võrrandi vasakul küljel, võttes ühisteguri sulgudest välja x. See samm võimaldab teisendada esialgse mittetäieliku ruutvõrrandi selle ekvivalendiks x (a x + b) = 0. Ja see võrrand on omakorda võrdväärne võrrandite hulgaga x=0 ja a x + b = 0. Võrrand a x + b = 0 lineaarne ja selle juur: x = − b a.

Definitsioon 7

Seega mittetäielik ruutvõrrand a x 2 + b x = 0 on kaks juurt x=0 ja x = − b a.

Koondame materjali näitega.

Näide 5

Vaja on leida võrrandi 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 lahend.

Lahendus

Võtame välja x väljaspool sulgusid ja saada võrrand x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . See võrrand on samaväärne võrranditega x=0 ja 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Nüüd peaksite lahendama saadud lineaarvõrrandi: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Lühidalt kirjutame võrrandi lahendi järgmiselt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 või x = 3 3 7

Vastus: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahenduse leidmiseks on juurvalem:

Definitsioon 8

x = - b ± D 2 a, kus D = b 2 − 4 a c on ruutvõrrandi nn diskriminant.

X \u003d - b ± D 2 a kirjutamine tähendab sisuliselt seda, et x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Kasulik on mõista, kuidas näidatud valem tuletati ja kuidas seda rakendada.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Oletame, et seisame silmitsi ülesandega lahendada ruutvõrrand a x 2 + b x + c = 0. Teeme mitu samaväärset teisendust:

• jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga a, mis erineb nullist, saame redutseeritud ruutvõrrandi: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• välja valima täisruut saadud võrrandi vasakul küljel:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Pärast seda on võrrand järgmisel kujul: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• nüüd on võimalik kaks viimast liiget üle kanda paremale poole, muutes märgi vastupidiseks, mille järel saame: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• lõpuks teisendame viimase võrdsuse paremale küljele kirjutatud avaldise:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Seega oleme jõudnud võrrandini x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , mis on samaväärne algse võrrandiga a x 2 + b x + c = 0.

Selliste võrrandite lahendust käsitlesime eelmistes lõikudes (mittetäielike ruutvõrrandite lahendus). Juba saadud kogemus võimaldab teha järelduse võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurte kohta:

• b 2 jaoks - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 korral on võrrand kujul x + b 2 · a 2 = 0, siis x + b 2 · a = 0.

Siit on ilmne ainus juur x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 korral on õige: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 või x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , mis on sama mis x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 või x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, s.o. võrrandil on kaks juurt.

Võib järeldada, et võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurte olemasolu või puudumine (ja seega ka algne võrrand) sõltub avaldise b 2 - 4 a c märgist. 4 · paremale küljele kirjutatud 2. Ja selle väljendi märgi annab lugeja märk (nimetaja 4 ja 2 on alati positiivne), see tähendab väljendi märk b 2 − 4 a c. See väljend b 2 − 4 a c antakse nimi - ruutvõrrandi diskriminant ja täht D on määratletud selle tähisena. Siin saate kirja panna diskriminandi olemuse - selle väärtuse ja märgi järgi järeldavad nad, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui jah, siis mitu juurt - üks või kaks.

Tuleme tagasi võrrandi x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 juurde. Kirjutame selle ümber diskrimineeriva tähise abil: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Teeme järeldused kokku:

Definitsioon 9

• juures D< 0 võrrandil pole tegelikke juuri;
• juures D = 0 võrrandil on üks juur x = - b 2 · a ;
• juures D > 0 võrrandil on kaks juurt: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 või x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikaalide omaduste põhjal saab need juured kirjutada järgmiselt: x \u003d - b 2 a + D 2 a või - b 2 a - D 2 a. Ja kui avame moodulid ja taandame murrud ühise nimetajani, saame: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Niisiis, meie arutluse tulemuseks oli ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D arvutatakse valemiga D = b 2 − 4 a c.

Need valemid võimaldavad, kui diskriminant on suurem kui null, määrata mõlemad tegelikud juured. Kui diskriminant on null, annab mõlema valemi rakendamine ruutvõrrandi ainsa lahendusena sama juure. Juhul, kui diskriminant on negatiivne, proovides kasutada ruutjuure valemit, seisame silmitsi vajadusega eraldada negatiivse arvu ruutjuur, mis viib meid reaalarvudest kaugemale. Negatiivse diskriminandi korral ei ole ruutvõrrandil reaalseid juuri, kuid võimalik on keerukate konjugeeritud juurte paar, mis määratakse kindlaks samade juurvalemitega, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Ruutvõrrandit on võimalik lahendada kohe juurvalemi abil, kuid põhimõtteliselt tehakse seda siis, kui on vaja leida keerulisi juuri.

Enamikul juhtudel ei ole otsing mõeldud tavaliselt ruutvõrrandi keeruliste, vaid reaalsete juurte jaoks. Siis on optimaalne enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt määrata diskriminant ja veenduda, et see pole negatiivne (vastasel juhul järeldame, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja seejärel arvutada juurte väärtus.

Ülaltoodud arutluskäik võimaldab sõnastada ruutvõrrandi lahendamise algoritmi.

Definitsioon 10

Ruutvõrrandi lahendamiseks a x 2 + b x + c = 0, vajalik:

• valemi järgi D = b 2 − 4 a c leida diskrimineerija väärtus;
• kohas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• kui D = 0, leia võrrandi ainus juur valemiga x = - b 2 · a ;
• kui D > 0, määrake ruutvõrrandi kaks reaaljuurt valemiga x = - b ± D 2 · a.

Pange tähele, et kui diskriminant on null, võite kasutada valemit x = - b ± D 2 · a , see annab sama tulemuse kui valem x = - b 2 · a .

Kaaluge näiteid.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Toome näite lahenduse erinevad väärtused diskrimineeriv.

Näide 6

On vaja leida võrrandi juured x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi arvulised koefitsiendid: a \u003d 1, b \u003d 2 ja c = – 6. Edasi tegutseme algoritmi järgi, s.t. Alustame diskriminandi arvutamist, mille asemel asendame koefitsiendid a , b ja c diskrimineerivasse valemisse: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Seega saime D > 0, mis tähendab, et algsel võrrandil on kaks reaaljuurt.
Nende leidmiseks kasutame juurvalemit x \u003d - b ± D 2 · a ja asendades sobivad väärtused, saame: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Lihtsustame saadud avaldist, võttes teguri juuremärgist välja, millele järgneb murdosa vähendamine:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 või x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 või x = - 1 - 7

Vastus: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Näide 7

On vaja lahendada ruutvõrrand − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lahendus

Määratleme diskrimineerija: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Selle diskriminandi väärtusega on algsel võrrandil ainult üks juur, mis määratakse valemiga x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Vastus: x = 3, 5.

Näide 8

On vaja lahendada võrrand 5 a 2 + 6 a + 2 = 0

Lahendus

Selle võrrandi arvulised koefitsiendid on: a = 5 , b = 6 ja c = 2 . Diskriminandi leidmiseks kasutame neid väärtusi: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Arvutatud diskriminant on negatiivne, seega pole algsel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Juhul, kui ülesandeks on näidata keerulisi juuri, rakendame juurvalemit, tehes sellega toiminguid kompleksarvud:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 või x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i või x = - 3 5 - 1 5 i .

Vastus: pole tõelisi juuri; kompleksjuured on: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Kooli õppekavas ei ole standardina keeruliste juurte otsimise nõuet, mistõttu kui otsustamisel määratletakse diskrimineerija eitav, siis fikseeritakse kohe vastus, et päris juured puuduvad.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Juurvalem x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) võimaldab saada teise, kompaktsema valemi, mis võimaldab teil leida lahendusi ruutvõrranditele paariskoefitsiendiga x (või koefitsiendiga) kujul 2 a n, näiteks 2 3 või 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Näitame, kuidas see valem tuletatakse.

Oletame, et seisame silmitsi ülesandega leida lahendus ruutvõrrandile a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Toimime vastavalt algoritmile: määrame diskriminandi D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ja kasutame seejärel juurvalemit:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Olgu avaldis n 2 − a c tähistatud kui D 1 (mõnikord on see tähistatud D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem järgmiselt:

x \u003d - n ± D 1 a, kus D 1 \u003d n 2 - a c.

On lihtne näha, et D = 4 · D 1 või D 1 = D 4 . Teisisõnu, D 1 on neljandik diskriminandist. Ilmselgelt on D 1 märk sama, mis D, mis tähendab, et D 1 märk võib olla ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumise indikaator.

Definitsioon 11

Seega, et leida lahendus ruutvõrrandile teise koefitsiendiga 2 n, on vaja:

• leida D 1 = n 2 − a c ;
• kohas D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kui D 1 = 0, määrake võrrandi ainus juur valemiga x = - n a ;
• D 1 > 0 korral määrake kaks reaaljuurt valemiga x = - n ± D 1 a.

Näide 9

On vaja lahendada ruutvõrrand 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Lahendus

Antud võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2 · (− 3) . Seejärel kirjutame antud ruutvõrrandi ümber 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kus a = 5, n = −3 ja c = −32.

Arvutame diskriminandi neljanda osa: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Saadud väärtus on positiivne, mis tähendab, et võrrandil on kaks reaaljuurt. Määratleme need juurte vastava valemiga:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 või x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 või x = - 2

Arvutusi oleks võimalik teha ruutvõrrandi juurte tavavalemiga, kuid sel juhul oleks lahendus tülikam.

Vastus: x = 3 1 5 või x = - 2 .

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord on võimalik algse võrrandi vormi optimeerida, mis lihtsustab juurte arvutamise protsessi.

Näiteks ruutvõrrand 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 on lahendamiseks selgelt mugavam kui 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Sagedamini teostatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema osa korrutamise või jagamise teel teatud arvuga. Näiteks näitasime ülalpool võrrandi 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 lihtsustatud esitust, mis saadakse selle mõlema osa jagamisel 100-ga.

Selline teisendus on võimalik, kui ruutvõrrandi koefitsiendid ei ole vastastikku algarvud. Siis on tavaline jagada võrrandi mõlemad pooled suurimaga ühine jagaja selle koefitsientide absoluutväärtused.

Näitena kasutame ruutvõrrandit 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Määratleme selle kordajate absoluutväärtuste gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Jagame mõlemad algse ruutvõrrandi osad 6-ga ja saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Ruutvõrrandi mõlema poole korrutamisel kaotatakse tavaliselt murdosa koefitsiendid. Sel juhul korrutage selle koefitsientide nimetajate väikseima ühiskordsega. Näiteks kui ruutvõrrandi 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 iga osa korrutatakse LCM-iga (6, 3, 1) \u003d 6, siis kirjutatakse see rohkem lihtne vorm x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Lõpuks märgime, et peaaegu alati vabanege ruutvõrrandi esimese koefitsiendi miinusest, muutes võrrandi iga liikme märke, mis saavutatakse mõlema osa korrutamisel (või jagamisel) -1-ga. Näiteks ruutvõrrandist - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 saate minna selle lihtsustatud versioonile 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Seos juurte ja koefitsientide vahel

Juba tuntud ruutvõrrandite juurte valem x = - b ± D 2 · a väljendab võrrandi juuri selle arvuliste kordajate kaudu. Selle valemi põhjal on meil võimalus seada juurte ja koefitsientide vahel muid sõltuvusi.

Kõige kuulsamad ja rakendatavamad on Vieta teoreemi valemid:

x 1 + x 2 \u003d - b a ja x 2 \u003d c a.

Täpsemalt, antud ruutvõrrandi puhul on juurte summa teine ​​vastupidise märgiga koefitsient ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 abil on võimalik kohe kindlaks teha, et selle juurte summa on 7 3 ja juurte korrutis on 22 3.

Samuti võite leida ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks ruutvõrrandi juurte ruutude summat saab väljendada koefitsientide kaudu:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Jätkame teema uurimist võrrandite lahendus". Lineaarvõrranditega oleme juba tutvunud ja nüüd läheme nendega tutvuma ruutvõrrandid.

Kõigepealt analüüsime, mis on ruutvõrrand, kuidas see on sisse kirjutatud üldine vaade ja andke sellega seotud määratlused. Pärast seda analüüsime näidete abil üksikasjalikult, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Edasi liigume täisvõrrandite lahendamise juurde, saame juurte valemi, tutvume ruutvõrrandi diskriminandiga ja kaalume lahendusi tüüpnäidetele. Lõpuks jälgime seoseid juurte ja koefitsientide vahel.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on ruutvõrrand? Nende tüübid

Kõigepealt peate selgelt mõistma, mis on ruutvõrrand. Seetõttu on loogiline hakata ruutvõrranditest rääkima ruutvõrrandi definitsiooniga, aga ka sellega seotud definitsioonidest. Pärast seda võite kaaluda ruutvõrrandite põhitüüpe: taandatud ja taandamata, samuti täielikke ja mittetäielikke võrrandeid.

Ruutvõrrandite definitsioon ja näited

Definitsioon.

Ruutvõrrand on vormi võrrand a x 2 +b x+c=0, kus x on muutuja, a , b ja c on mõned arvud ning a erineb nullist.

Ütleme kohe, et ruutvõrrandeid nimetatakse sageli teise astme võrranditeks. Seda seetõttu, et ruutvõrrand on algebraline võrrand teine ​​aste.

Helistatud definitsioon võimaldab tuua näiteid ruutvõrranditest. Seega 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 jne. on ruutvõrrandid.

Definitsioon.

Numbrid a , b ja c nimetatakse ruutvõrrandi koefitsiendid a x 2 + b x + c \u003d 0 ja koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk kõrgemaks või koefitsiendiks x 2 juures, b on teine ​​koefitsient või koefitsient x juures ja c on vaba liige.

Näiteks võtame ruutvõrrandi kujul 5 x 2 −2 x−3=0, siin on juhtkoefitsient 5, teine ​​koefitsient −2 ja vaba liige −3. Pange tähele, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, nagu just toodud näites, kasutatakse ruutvõrrandi lühivormi kujul 5 x 2 −2 x−3=0, mitte 5 x 2 +(− 2)x+(−3)=0 .

Väärib märkimist, et kui koefitsiendid a ja/või b on võrdsed 1 või −1, siis neid ruutvõrrandi tähistuses tavaliselt otseselt ei esine, mis on tingitud selliste tähistuste iseärasustest. Näiteks ruutvõrrandis y 2 −y+3=0 on juhtiv koefitsient üks ja koefitsient punktis y on −1.

Taandatud ja taandamata ruutvõrrandid

Sõltuvalt juhtkoefitsiendi väärtusest eristatakse redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid. Anname vastavad definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand, mille juhtkoefitsient on 1 redutseeritud ruutvõrrand. Vastasel juhul on ruutvõrrand vähendamata.

Selle definitsiooni järgi ruutvõrrandid x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 jne. - vähendatud, igaühes neist on esimene koefitsient võrdne ühega. Ja 5 x 2 −x−1=0 jne. - redutseerimata ruutvõrrandid, nende juhtkoefitsiendid erinevad 1-st.

Mis tahes redutseerimata ruutvõrrandist, jagades selle mõlemad osad juhtkoefitsiendiga, saate minna taandatule. See toiming on samaväärne teisendus, see tähendab, et sel viisil saadud taandatud ruutvõrrandil on samad juured, mis algsel taandamata ruutvõrrandil või, nagu sellel, puuduvad juured.

Toome näite, kuidas toimub üleminek taandamata ruutvõrrandilt taandatud võrrandile.

Näide.

Võrrandist 3 x 2 +12 x−7=0 minge vastava taandatud ruutvõrrandi juurde.

Lahendus.

Meil piisab algvõrrandi mõlema osa jagamisest juhtkoefitsiendiga 3, see on nullist erinev, nii et saame selle toimingu sooritada. Meil on (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, mis on sama, mis (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 ja nii edasi (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , kust . Nii saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on samaväärne algse võrrandiga.

Vastus:

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Ruutvõrrandi definitsioonis on tingimus a≠0. See tingimus on vajalik selleks, et võrrand a x 2 +b x+c=0 oleks täpselt ruudukujuline, kuna a=0 korral muutub see tegelikult lineaarvõrrandiks kujul b x+c=0 .

Mis puudutab koefitsiente b ja c, siis need võivad olla võrdsed nulliga nii eraldi kui ka koos. Nendel juhtudel nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand a x 2 +b x+c=0 mittetäielik, kui vähemalt üks koefitsientidest b , c on võrdne nulliga.

Omakorda

Definitsioon.

Täielik ruutvõrrand on võrrand, milles kõik koefitsiendid erinevad nullist.

Neid nimesid pole antud juhuslikult. See selgub järgmisest arutelust.

Kui koefitsient b on võrdne nulliga, on ruutvõrrand kujul a x 2 +0 x+c=0 ja see on võrdne võrrandiga a x 2 +c=0 . Kui c=0 , st ruutvõrrand on kujul a x 2 +b x+0=0 , siis saab selle ümber kirjutada kujule x 2 +b x=0 . Ja b=0 ja c=0 korral saame ruutvõrrandi a·x 2 =0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Sellest ka nende nimi – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Seega võrrandid x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 on täielike ruutvõrrandite näited ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Eelmise lõigu teabest järeldub, et on kolme tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid:

• a x 2 =0 , sellele vastavad koefitsiendid b=0 ja c=0;
• ax2 +c=0, kui b=0;
• ja a x2 +b x=0, kui c=0.

Analüüsime järjekorras, kuidas lahendatakse igat tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid.

a x 2 \u003d 0

Alustuseks lahendame mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, st võrranditega kujul a x 2 =0. Võrrand a·x 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0, mis saadakse originaalist, jagades selle mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Ilmselt on võrrandi x 2 \u003d 0 juur null, kuna 0 2 \u003d 0. Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav, tõepoolest, iga nullist erineva arvu p korral toimub ebavõrdsus p 2 >0, mis tähendab, et p≠0 korral ei saavutata võrdsust p 2 =0 kunagi.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a x 2 \u003d 0 üks juur x \u003d 0.

Näitena toome mittetäieliku ruutvõrrandi lahendi −4·x 2 =0. See on samaväärne võrrandiga x 2 \u003d 0, selle ainus juur on x \u003d 0, seetõttu on algsel võrrandil üks juurnull.

Lühilahenduse saab sel juhul väljastada järgmiselt:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 + c=0

Mõelge nüüd, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on võrdne nulliga ja c≠0, st võrrandid kujul a x 2 +c=0. Teame, et liikme ülekandmine võrrandi ühelt küljelt teisele vastupidise märgiga, samuti võrrandi mõlema poole jagamine nullist erineva arvuga, annab samaväärse võrrandi. Seetõttu saab mittetäieliku ruutvõrrandi a x 2 +c=0 ekvivalentsed teisendused läbi viia:

• liigutage c paremale, mis annab võrrandi a x 2 =-c,
• ja jagame selle mõlemad osad a-ga , saame .

Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta. Olenevalt a ja c väärtustest võib avaldise väärtus olla negatiivne (näiteks kui a=1 ja c=2 , siis ) või positiivne (näiteks kui a=−2 ja c=6 , siis ), ei ole see võrdne nulliga, sest tingimusel c≠0 . Eraldi analüüsime juhtumeid ja .

Kui , siis võrrandil pole juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv. Sellest järeldub, et kui , siis suvalise arvu p puhul ei saa võrdsus olla tõene.

Kui , siis võrrandi juurtega on olukord erinev. Sel juhul, kui meenutame umbes, siis ilmneb kohe võrrandi juur, see on arv, kuna. Lihtne on arvata, et arv on ka võrrandi juur, tõepoolest, . Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab näidata näiteks vastuoluga. Teeme seda.

Tähistame võrrandi just hääldatud juured x 1 ja −x 1 . Oletame, et võrrandil on teine ​​juur x 2, mis erineb näidatud juurtest x 1 ja −x 1 . On teada, et asendamine võrrandiga selle juurte x asemel muudab võrrandi tõeliseks arvuliseks võrdusmärgiks. x 1 ja −x 1 jaoks on meil , ja x 2 jaoks on meil . Arvuliste võrrandite omadused võimaldavad teostada tõeliste arvuliste võrrandite lahutamist liigendite kaupa, seega võrduse vastavate osade lahutamine annab x 1 2 − x 2 2 =0. Arvudega tehtavate omaduste omadused võimaldavad meil saadud võrrandit ümber kirjutada kujul (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Teame, et kahe arvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seetõttu tuleneb saadud võrratusest, et x 1 −x 2 =0 ja/või x 1 +x 2 =0 , mis on sama, x 2 =x 1 ja/või x 2 = −x 1 . Seega oleme jõudnud vastuoluni, kuna alguses ütlesime, et võrrandi x 2 juur erineb x 1 ja −x 1 -st. See tõestab, et võrrandil pole muid juuri kui ja .

Võtame selle lõigu teabe kokku. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on samaväärne võrrandiga , mis

• tal pole juuri, kui
• on kaks juurt ja kui .

Vaatleme näiteid mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul a·x 2 +c=0 .

Alustame ruutvõrrandiga 9 x 2 +7=0 . Pärast vaba liikme ülekandmist võrrandi paremale poolele saab see kujul 9·x 2 =−7. Jagades saadud võrrandi mõlemad pooled 9-ga, jõuame punktini . Kuna paremal pool saadakse negatiivne arv, pole sellel võrrandil juuri, seega pole algsel mittetäielikul ruutvõrrandil 9 x 2 +7=0 juuri.

Lahendame veel ühe mittetäieliku ruutvõrrandi −x 2 +9=0. Viime üheksa paremale küljele: -x 2 \u003d -9. Nüüd jagame mõlemad osad −1-ga, saame x 2 =9. Paremal pool on positiivne arv, millest järeldame, et või . Pärast lõpliku vastuse üleskirjutamist: mittetäielikul ruutvõrrandil −x 2 +9=0 on kaks juurt x=3 või x=−3.

a x 2 +b x=0

Jääb üle lahendada viimast tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid c=0 korral. Mittetäielikud ruutvõrrandid kujul a x 2 +b x=0 võimaldavad lahendada faktoriseerimise meetod. Ilmselgelt saame võrrandi vasakul küljel asudes, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühistegur x. See võimaldab meil liikuda algselt mittetäielikult ruutvõrrandilt ekvivalentsele võrrandile kujul x·(a·x+b)=0 . Ja see võrrand on ekvivalentne kahe võrrandi hulgaga x=0 ja a x+b=0 , millest viimane on lineaarne ja mille juur on x=-b/a .

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a x 2 +b x=0 kaks juurt x=0 ja x=-b/a.

Materjali kinnistamiseks analüüsime konkreetse näite lahendust.

Näide.

Lahenda võrrand.

Lahendus.

Võtame x sulgudest välja, see annab võrrandi. See on võrdne kahe võrrandiga x=0 ja . Lahendame saadud lineaarvõrrandi: , ja jagame segaarvu arvuga harilik murd, leiame. Seetõttu on algvõrrandi juurteks x=0 ja .

Pärast vajaliku praktika saamist võib selliste võrrandite lahendid lühidalt kirjutada:

Vastus:

x=0 , .

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurvalem. Paneme kirja ruutvõrrandi juurte valem: , kus D=b 2 −4 a c- nn ruutvõrrandi diskriminant. Märkus tähendab sisuliselt seda.

Kasulik on teada, kuidas juurvalem saadi ja kuidas seda ruutvõrrandite juurte leidmisel rakendatakse. Tegeleme sellega.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Peame lahendama ruutvõrrandi a·x 2 +b·x+c=0 . Teeme mõned samaväärsed teisendused:

• Selle võrrandi mõlemad osad saame jagada nullist erineva arvuga a, mille tulemusena saame taandatud ruutvõrrandi.
• Nüüd vali täisruut selle vasakul küljel: . Pärast seda võtab võrrand kuju .
• Selles etapis on võimalik teostada kahe viimase termini ülekandmine paremale poole vastasmärgiga, meil on .
• Ja teisendame ka parempoolset avaldist: .

Selle tulemusena jõuame võrrandini , mis on ekvivalentne algse ruutvõrrandiga a·x 2 +b·x+c=0 .

Oleme eelmistes lõikudes analüüsimisel juba lahendanud vormilt sarnaseid võrrandeid. See võimaldab meil teha võrrandi juurte kohta järgmised järeldused:

• kui , siis võrrandil pole reaalseid lahendeid;
• kui , siis võrrandil on vorm , seega, , millest on nähtav selle ainus juur;
• kui , siis või , mis on sama kui või , see tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

Seega sõltub võrrandi juurte ja seega ka algse ruutvõrrandi olemasolu või puudumine parempoolse avaldise märgist. Selle avaldise märgi määrab omakorda lugeja märk, kuna nimetaja 4 a 2 on alati positiivne, see tähendab avaldise b 2 −4 a c märk. Seda avaldist b 2 −4 a c nimetatakse ruutvõrrandi diskriminant ja tähistatud tähega D. Siit on diskrimineerija olemus selge - selle väärtuse ja märgi järgi järeldatakse, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui on, siis milline on nende arv - üks või kaks.

Pöördume tagasi võrrandi juurde, kirjutame selle ümber, kasutades diskriminandi tähistust: . Ja me järeldame:

• kui D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• kui D=0, siis sellel võrrandil on üks juur;
• lõpuks, kui D>0, siis võrrandil on kaks juurt või , mille saab ümber kirjutada kujul või , ning pärast murdude laiendamist ja taandamist ühiseks nimetajaks saame .

Nii tuletasime ruutvõrrandi juurte valemid, need näevad välja sellised, kus diskriminant D arvutatakse valemiga D=b 2 −4 a c .

Nende abiga saate positiivse diskriminandi abil arvutada ruutvõrrandi mõlemad reaaljuured. Kui diskriminant on võrdne nulliga, annavad mõlemad valemid sama juurväärtuse, mis vastab ruutvõrrandi ainsale lahendile. Ja negatiivse diskriminandi korral, kui proovite kasutada ruutvõrrandi juurte valemit, seisame silmitsi ruutjuure eraldamisega negatiivsest arvust, mis viib meid kaugemale ja kooli õppekava. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, kuid sellel on paar kompleksne konjugaat juured, mida saab leida samade juurvalemite abil, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Praktikas saab ruutvõrrandi lahendamisel kohe kasutada juurvalemit, mille abil arvutada nende väärtused. Kuid see on rohkem keeruliste juurte leidmine.

Koolialgebra kursusel aga tavaliselt on me räägime mitte keeruliste, vaid ruutvõrrandi tegelike juurte kohta. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (vastasel juhul võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri) ja pärast seda. arvutage juurte väärtused.

Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutada ruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi a x 2 + b x + c \u003d 0 lahendamiseks vajate:

• kasutades diskriminandi valemit D=b 2 −4 a c arvuta selle väärtus;
• järeldada, et ruutvõrrandil pole reaalseid juuri, kui diskriminant on negatiivne;
• arvutage valemi abil võrrandi ainus juur, kui D=0 ;
• leida ruutvõrrandi kaks reaaljuurt juurvalemi abil, kui diskriminant on positiivne.

Siinkohal märgime ainult, et kui diskriminant on võrdne nulliga, võib kasutada ka valemit, see annab sama väärtuse kui .

Võite liikuda ruutvõrrandite lahendamise algoritmi rakendamise näidete juurde.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Vaatleme kolme ruutvõrrandi lahendusi positiivse, negatiivse ja null diskrimineeriv. Olles käsitlenud nende lahendust, on analoogia põhjal võimalik lahendada mis tahes muu ruutvõrrand. Alustame.

Näide.

Leidke võrrandi x 2 +2 x−6=0 juured.

Lahendus.

Sel juhul on ruutvõrrandi koefitsiendid järgmised: a=1 , b=2 ja c=−6 . Algoritmi järgi peate kõigepealt arvutama diskriminandi, selleks asendame näidatud a, b ja c diskriminandi valemiga, saame D=b 2 –4 a c=2 2 –4 1 (–6)=4+24=28. Kuna 28>0, see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, on ruutvõrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need juurte valemiga , saame , siin saame lihtsustada tehes saadud avaldisi juure märgi arvestamine millele järgneb murdosa vähendamine:

Vastus:

Liigume järgmise tüüpilise näite juurde.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lahendus.

Alustame diskrimineerija leidmisega: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Seetõttu on sellel ruutvõrrandil üks juur, mille leiame kui , see tähendab,

Vastus:

x = 3,5.

Jääb üle kaaluda ruutvõrrandite lahendamist negatiivse diskriminandiga.

Näide.

Lahendage võrrand 5 y 2 +6 y+2=0 .

Lahendus.

Siin on ruutvõrrandi koefitsiendid: a=5 , b=6 ja c=2 . Asendades need väärtused diskrimineeriva valemiga, saame D=b 2 –4 a c=6 2 –4 5 2=36–40=–4. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole sellel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Kui teil on vaja määrata keerulisi juuri, siis kasutame ruutvõrrandi juurte jaoks tuntud valemit ja teostame tehted kompleksarvudega:

Vastus:

pärisjuuri pole, kompleksjuured on: .

Veel kord märgime, et kui ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis kool tavaliselt kirjutab kohe vastuse, milles nad näitavad, et tegelikud juured puuduvad ja nad ei leia keerulisi juuri.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Ruutvõrrandi juurte valem , kus D=b 2 −4 a c võimaldab saada kompaktsema valemi, mis võimaldab lahendada ruutvõrrandid paariskoefitsiendiga punktis x (või lihtsalt koefitsiendiga, mis näeb välja nagu 2 n näiteks või 14 ln5=2 7 ln5). Toome ta välja.

Oletame, et peame lahendama ruutvõrrandi kujul a x 2 +2 n x + c=0 . Leiame selle juured meile teadaoleva valemi abil. Selleks arvutame diskriminandi D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), ja seejärel kasutame juurvalemit:

Tähistage avaldist n 2 −a c kui D 1 (mõnikord tähistatakse seda D "). Siis saab vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem teise koefitsiendiga 2 n kuju , kus D 1 =n 2 −a c .

On lihtne näha, et D=4·D 1 või D 1 =D/4 . Teisisõnu, D 1 on diskriminandi neljas osa. On selge, et D 1 märk on sama, mis D märk. See tähendab, et märk D 1 näitab ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumist.

Seega on teise koefitsiendiga 2 n ruutvõrrandi lahendamiseks vaja

• Arvutage D 1 =n 2 −a·c ;
• Kui D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Kui D 1 =0, siis arvutage valemi abil võrrandi ainus juur;
• Kui D 1 >0, siis leia valemi abil kaks reaaljuurt.

Mõelge näite lahendusele selles lõigus saadud juurvalemi abil.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand 5 x 2 −6 x−32=0 .

Lahendus.

Selle võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2·(−3) . See tähendab, et saate algse ruutvõrrandi ümber kirjutada kujul 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, siin a=5 , n=−3 ja c=−32 ning arvutada välja ruutvõrrandi neljanda osa. diskrimineeriv: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Kuna selle väärtus on positiivne, on võrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need vastava juurvalemi abil:

Pange tähele, et ruutvõrrandi juurte jaoks oli võimalik kasutada tavalist valemit, kuid sel juhul tuleks teha rohkem arvutustööd.

Vastus:

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord, enne ruutvõrrandi juurte arvutamise alustamist valemite abil, ei tee paha esitada küsimus: "Kas selle võrrandi vormi on võimalik lihtsustada"? Nõustuge, et arvutustes on ruutvõrrandi 11 x 2 −4 x −6=0 lahendamine lihtsam kui 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Tavaliselt saavutatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine selle mõlema poole korrutamise või jagamise teel mõne arvuga. Näiteks eelmises lõigus õnnestus meil saavutada võrrandi 1100 x 2 −400 x −600=0 lihtsustamine, jagades mõlemad pooled 100-ga.

Sarnane teisendus viiakse läbi ruutvõrranditega, mille koefitsiendid ei ole . Sel juhul jagatakse mõlemad võrrandi osad tavaliselt selle koefitsientide absoluutväärtustega. Näiteks võtame ruutvõrrandi 12 x 2 −42 x+48=0. selle koefitsientide absoluutväärtused: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Jagades mõlemad algse ruutvõrrandi osad 6-ga, saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 −7 x+8=0 .

Ja ruutvõrrandi mõlema osa korrutamine tehakse tavaliselt murdosakordajate vabanemiseks. Sel juhul korrutatakse selle koefitsientide nimetajatega. Näiteks kui ruutvõrrandi mõlemad osad on korrutatud väärtusega LCM(6, 3, 1)=6 , siis saab see lihtsamal kujul x 2 +4 x−18=0 .

Selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et peaaegu alati vabanege ruutvõrrandi juhtiva koefitsiendi miinusest, muutes kõigi liikmete märke, mis vastab mõlema osa korrutamisele (või jagamisele) -1-ga. Näiteks tavaliselt läheb ruutvõrrandist −2·x 2 −3·x+7=0 lahenduseni 2·x 2 +3·x−7=0 .

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vaheline seos

Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri selle kordajate kaudu. Juurte valemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.

Tuntumad ja rakendatavad valemid Vieta teoreemist vormi ja . Eelkõige on antud ruutvõrrandi puhul juurte summa võrdne teise koefitsiendiga, millel on vastupidine märk, ja juurte korrutis on vaba liige. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 −7 x+22=0 kujul saame kohe öelda, et selle juurte summa on 7/3 ja juurte korrutis on 22/3.

Kasutades juba kirjutatud valemeid, saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks saab ruutvõrrandi juurte ruutude summat väljendada selle kordajate kaudu: .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa Õpilase õpik õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Ruuttrinoomi faktoriseerimine. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktoriseerimise näited.

Põhivalemid

Mõelge ruutvõrrandile:
(1) .
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmise valemiga:
; .
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.

Lisaks eeldame, et need on reaalarvud.
Kaaluge ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
; .
Siis on ruudukujulise trinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on null, siis ruutvõrrandil (1) on kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoreerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on imaginaarne ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
; .
Siis

.

Graafiline tõlgendus

Kui ehitada funktsiooni graafik
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Kui , lõikub graafik abstsisstelljega (teljega) kahes punktis.
Kui , puudutab graafik ühes punktis x-telge.
Kui , graafik ei ristu x-teljega.

Allpool on selliste graafikute näited.

Kasulikud ruutvõrrandiga seotud valemid

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):




,
kus
; .

Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
Sellest on näha, et võrrand

esines kl
ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.

Näited ruutvõrrandi juurte määramisest

Näide 1

(1.1) .

Lahendus

.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.

Siit saame ruudukujulise trinoomi lagunemise teguriteks:

.

Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 ristub kahes punktis x-teljega.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ristub x-teljega kahes punktis:
ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.

Vastus

;
;
.

Näide 2

Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1) .

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.

Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.

Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna see juur arvutatakse kaks korda:
,
siis nimetatakse sellist juurt mitmekordseks. See tähendab, et nad arvavad, et on kaks võrdset juurt:
.

Vastus

;
.

Näide 3

Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1) .

Lahendus

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1) .
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.

Võite leida keerukaid juuri:
;
;
.

Siis


.

Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ületa abstsissi (telge). Seetõttu pole tõelisi juuri.

Vastus

Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.