Interneti-kalkulaator. Kahe lineaarvõrrandi süsteemi lahendamine kahes muutujas

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas halduslikke, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Võrrandisüsteeme on majandustööstuses laialdaselt kasutatud matemaatiline modelleerimine erinevaid protsesse. Näiteks tootmise juhtimise ja planeerimise, logistikamarsruutide (transpordiprobleem) või seadmete paigutuse probleemide lahendamisel.

Võrrandisüsteeme ei kasutata mitte ainult matemaatikas, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias populatsiooni suuruse leidmise ülesannete lahendamisel.

Süsteem lineaarvõrrandid nimeta kaks või enam mitme muutujaga võrrandit, millele on vaja leida ühine lahendus. Selline arvujada, mille puhul kõik võrrandid muutuvad tõelisteks võrdusteks või tõestavad, et jada ei eksisteeri.

Lineaarvõrrand

Võrrandeid kujul ax+by=c nimetatakse lineaarseteks. Tähised x, y on tundmatud, mille väärtus tuleb leida, b, a on muutujate koefitsiendid, c võrrandi vaba liige.
Võrrandi lahendamine joonistades näeb välja sirge, mille kõik punktid on polünoomi lahendid.

Lineaarvõrrandisüsteemide tüübid

Lihtsaimateks näideteks peetakse kahe muutujaga X ja Y lineaarvõrrandisüsteeme.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, kus F1,2 on funktsioonid ja (x, y) on funktsiooni muutujad.

Lahenda võrrandisüsteem - see tähendab väärtuste (x, y) leidmist, mille juures süsteem muutub tõeliseks võrdsuseks, või tuvastamist, et x ja y sobivaid väärtusi ei eksisteeri.

Väärtuste paari (x, y), mis on kirjutatud punkti koordinaatidena, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks.

Kui süsteemidel on üks ühine lahendus või lahendus puudub, nimetatakse neid ekvivalentseteks.

Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on süsteemid, mille parempoolne külg on võrdne nulliga. Kui võrdusmärgi järel oleval parempoolsel osal on väärtus või seda väljendatakse funktsiooniga, on selline süsteem heterogeenne.

Muutujate arv võib olla palju suurem kui kaks, siis tuleks rääkida kolme või enama muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi näitest.

Süsteemidega silmitsi seistes eeldavad koolilapsed, et võrrandite arv peab tingimata kattuma tundmatute arvuga, kuid see pole nii. Võrrandite arv süsteemis ei sõltu muutujatest, neid võib olla nii palju kui soovitakse.

Lihtsad ja keerulised meetodid võrrandisüsteemide lahendamiseks

Üldist analüütilist meetodit selliste süsteemide lahendamiseks ei ole, kõik meetodid põhinevad numbrilistel lahendustel. Kooli matemaatikakursus kirjeldab üksikasjalikult selliseid meetodeid nagu permutatsioon, algebraline liitmine, asendamine, samuti graafilised ja maatriksmeetodid, lahendamine Gaussi meetodil.

Lahendusmeetodite õpetamisel on põhiülesanne õpetada süsteemi õigesti analüüsima ja iga näite jaoks optimaalse lahendusalgoritmi leidmiseks. Peaasi ei ole iga meetodi reeglite ja toimingute süsteemi meeldejätmine, vaid konkreetse meetodi kasutamise põhimõtete mõistmine.

Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine 7. klassi üldhariduse õppekavas on üsna lihtne ja väga detailselt lahti seletatud. Igas matemaatikaõpikus pööratakse sellele jaotisele piisavalt tähelepanu. Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamist Gaussi ja Crameri meetodil õpitakse põhjalikumalt kõrghariduse esimestel aastatel.

Süsteemide lahendamine asendusmeetodil

Asendusmeetodi tegevused on suunatud ühe muutuja väärtuse väljendamisele teise järgi. Avaldis asendatakse ülejäänud võrrandiga, seejärel taandatakse see ühe muutujaga vormiks. Toimingut korratakse olenevalt tundmatute arvust süsteemis

Anname 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemi näitele lahenduse asendusmeetodil:

Nagu näitest näha, väljendati muutujat x läbi F(X) = 7 + Y. Saadud avaldis, mis asendati süsteemi 2. võrrandiga X asemel, aitas saada 2. võrrandis ühe muutuja Y . Selle näite lahendamine on lihtne ja võimaldab teil saada Y väärtuse. Viimane samm See on saadud väärtuste kontroll.

Lineaarvõrrandisüsteemi näidet ei ole alati võimalik asendamise teel lahendada. Võrrandid võivad olla keerulised ja muutuja väljendamine teise tundmatu kujul on edasiste arvutuste jaoks liiga tülikas. Kui süsteemis on rohkem kui 3 tundmatut, pole ka asendamise teel lahendamine asjakohane.

Lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemi näite lahendus:

Lahendus algebralise liitmise abil

Süsteemidele liitmismeetodil lahendusi otsides liidetakse võrrandid termini haaval ja korrutatakse erinevate arvudega. Matemaatiliste tehete lõppeesmärk on võrrand ühes muutujas.

Selle meetodi rakendamine nõuab harjutamist ja jälgimist. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodiga, kui muutujaid on 3 või enam, ei ole lihtne. Algebralist liitmist on mugav kasutada, kui võrrandid sisaldavad murd- ja kümnendkohti.

Lahenduse algoritm:

1. Korrutage võrrandi mõlemad pooled teatud arvuga. Aritmeetilise tehte tulemusena peaks muutuja üks koefitsient olema võrdne 1-ga.
2. Lisage saadud avaldis termini haaval ja leidke üks tundmatutest.
3. Ülejäänud muutuja leidmiseks asendage saadud väärtus süsteemi 2. võrrandiga.

Lahendusmeetod uue muutuja sisseviimisega

Uue muutuja saab kasutusele võtta, kui süsteem nõuab lahenduse leidmist mitte rohkem kui kahele võrrandile, samuti ei tohiks tundmatute arv olla suurem kui kaks.

Meetodit kasutatakse ühe võrrandi lihtsustamiseks uue muutuja sisseviimisega. Uus võrrand lahendatakse sisestatud tundmatu jaoks ja saadud väärtust kasutatakse algse muutuja määramiseks.

Näites on näha, et uue muutuja t sisseviimisega oli võimalik süsteemi 1. võrrand taandada standardseks ruuttrinoomiks. Polünoomi saate lahendada diskriminandi leidmisega.

Diskriminandi väärtus on vaja leida tuntud valemi abil: D = b2 - 4*a*c, kus D on soovitav diskriminant, b, a, c polünoomi tegurid. IN toodud näide a=1, b=16, c=39, seega D=100. Kui diskriminant on suurem kui null, siis on kaks lahendit: t = -b±√D / 2*a, kui diskriminant vähem kui null, siis on ainult üks lahendus: x= -b / 2*a.

Saadud süsteemide lahendus leitakse liitmismeetodi abil.

Visuaalne meetod süsteemide lahendamiseks

Sobib 3 võrrandisüsteemi jaoks. Meetod seisneb iga süsteemis sisalduva võrrandi graafikute koostamises koordinaatteljel. Süsteemi üldlahenduseks saab kõverate lõikepunktide koordinaadid.

Graafilisel meetodil on mitmeid nüansse. Vaatame mitmeid näiteid lineaarvõrrandisüsteemide visuaalsest lahendamisest.

Nagu näitest näha, konstrueeriti iga rea ​​jaoks kaks punkti, muutuja x väärtused valiti meelevaldselt: 0 ja 3. x väärtuste põhjal leiti y väärtused: 3 ja 0. Punktid koordinaatidega (0, 3) ja (3, 0) märgiti graafikule ja ühendati joonega.

Teise võrrandi jaoks tuleb samme korrata. Sirgete lõikepunkt on süsteemi lahendus.

Järgmine näide nõuab graafilise lahenduse leidmist lineaarvõrrandisüsteemile: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.

Nagu näitest näha, pole süsteemil lahendust, kuna graafikud on paralleelsed ega ristu kogu pikkuses.

Näidete 2 ja 3 süsteemid on sarnased, kuid konstrueerimisel selgub, et nende lahendused on erinevad. Tuleb meeles pidada, et alati pole võimalik öelda, kas süsteemil on lahendus või mitte, alati on vaja koostada graaf.

Maatriks ja selle sordid

Lineaarvõrrandisüsteemi kokkuvõtlikuks kirjutamiseks kasutatakse maatrikseid. Maatriks on spetsiaalne numbritega täidetud tabel. n*m sisaldab n - rida ja m - veerge.

Maatriks on ruut, kui veergude ja ridade arv on võrdne. Maatriksvektor on ühest veerust koosnev maatriks, millel on lõpmatult võimalik arv ridu. Maatriksit, mille diagonaalis on ühed ja teised nullelemendid, nimetatakse identiteediks.

Pöördmaatriks on maatriks, mille korrutamisel algne maatriks muutub ühikmaatriksiks; selline maatriks eksisteerib ainult algse ruutmaatriksi jaoks.

Reeglid võrrandisüsteemi maatriksiks teisendamiseks

Võrrandisüsteemide puhul kirjutatakse võrrandite koefitsiendid ja vabaliikmed maatriksarvudena, üks võrrand on maatriksi üks rida.

Maatriksirida nimetatakse nullist erinevaks, kui vähemalt üks rea element ei ole null. Seega, kui mõnes võrrandis erineb muutujate arv, siis tuleb puuduva tundmatu asemele sisestada null.

Maatriksi veerud peavad rangelt vastama muutujatele. See tähendab, et muutuja x koefitsiendid saab kirjutada ainult ühte veergu, näiteks esimene, tundmatu y koefitsient - ainult teise.

Maatriksi korrutamisel korrutatakse kõik maatriksi elemendid järjestikku arvuga.

Pöördmaatriksi leidmise võimalused

Pöördmaatriksi leidmise valem on üsna lihtne: K -1 = 1 / |K|, kus K -1 - pöördmaatriks, ja |K| on maatriksi determinant. |K| ei tohi olla võrdne nulliga, siis on süsteemil lahendus.

Determinant on kaks korda kaks maatriksi jaoks hõlpsasti arvutatav; peate lihtsalt diagonaalelemendid üksteisega korrutama. Valiku „kolm korda kolm” jaoks on valem |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Võite kasutada valemit või meeles pidada, et igast reast ja veerust tuleb võtta üks element, et veergude ja elementide ridade arv töös ei korduks.

Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine maatriksmeetodil

Lahenduse leidmise maatriksmeetod võimaldab suure hulga muutujate ja võrranditega süsteemide lahendamisel vähendada tülikaid kirjeid.

Näites on a nm võrrandite koefitsiendid, maatriks on vektor, x n on muutujad ja b n on vabad liikmed.

Süsteemide lahendamine Gaussi meetodil

Kõrgemas matemaatikas uuritakse Gaussi meetodit koos Crameri meetodiga ning süsteemidele lahenduste leidmise protsessi nimetatakse Gauss-Crameri lahendusmeetodiks. Neid meetodeid kasutatakse suure hulga lineaarvõrranditega süsteemide muutujate leidmiseks.

Gaussi meetod on väga sarnane asendus- ja algebralise liitmise lahendustele, kuid on süstemaatilisem. Koolikursuses kasutatakse Gaussi meetodil lahendust 3 ja 4 võrrandisüsteemide puhul. Meetodi eesmärk on taandada süsteem ümberpööratud trapetsi kujule. Kõrval algebralised teisendused ja asendusi, leitakse ühe muutuja väärtus süsteemi ühest võrrandist. Teine võrrand on avaldis 2 tundmatuga, samas kui 3 ja 4 on vastavalt 3 ja 4 muutujaga.

Pärast süsteemi viimist kirjeldatud kujule taandatakse edasine lahendus teadaolevate muutujate järjestikusele asendamisele süsteemi võrrandites.

7. klassi kooliõpikutes kirjeldatakse Gaussi meetodi lahenduse näidet järgmiselt:

Nagu näitest näha, saadi etapis (3) kaks võrrandit: 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Mis tahes võrrandi lahendamine võimaldab teil välja selgitada ühe muutuja x n.

Tekstis mainitud teoreem 5 väidab, et kui süsteemi üks võrranditest asendada samaväärsega, on tulemuseks olev süsteem samaväärne ka algse võrrandiga.

Gaussi meetodit on keskkooliõpilastel raske mõista, kuid see on üks huvitavamaid viise matemaatika- ja füüsikaklassides edasijõudnute õppeprogrammides osalevate laste leidlikkuse arendamiseks.

Salvestamise hõlbustamiseks tehakse arvutused tavaliselt järgmiselt:

Võrrandite ja vabaliikmete koefitsiendid kirjutatakse maatriksi kujul, kus iga maatriksi rida vastab süsteemi ühele võrrandile. eraldab võrrandi vasaku külje paremast. Rooma numbrid näitavad võrrandite numbreid süsteemis.

Kõigepealt kirjutage üles maatriks, millega töötate, seejärel kõik toimingud, mida ühe reaga tehakse. Saadud maatriks kirjutatakse pärast märki "nool" ja vajalikke algebralisi toiminguid jätkatakse kuni tulemuse saavutamiseni.

Tulemuseks peaks olema maatriks, milles üks diagonaalidest on võrdne 1-ga ja kõik muud koefitsiendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et maatriks taandatakse ühikuvormiks. Me ei tohi unustada arvutuste tegemist võrrandi mõlemal poolel olevate numbritega.

See salvestusmeetod on vähem tülikas ja võimaldab teil mitte lasta end segada paljude tundmatute loetlemisest.

Mis tahes lahendusmeetodi tasuta kasutamine nõuab hoolt ja teatavat kogemust. Kõik meetodid ei ole rakendusliku iseloomuga. Mõned lahenduste leidmise meetodid on konkreetses inimtegevuse valdkonnas eelistatavamad, teised aga hariduslikel eesmärkidel.

Seda matemaatilist programmi kasutades saate asendusmeetodi ja liitmismeetodi abil lahendada kahe muutujaga lineaarvõrrandi süsteemi.

Programm mitte ainult ei anna probleemile vastust, vaid pakub ka üksikasjalikku lahendust koos lahendusetappide selgitustega kahel viisil: asendusmeetodil ja liitmismeetodil.

See programm võib olla kasulik keskkooliõpilastele keskkoolid ettevalmistamisel testid ja eksamid teadmiste kontrollimisel enne ühtset riigieksamit, et vanemad saaksid juhtida paljude matemaatika ja algebra ülesannete lahendamist. Või äkki on juhendaja palkamine või uute õpikute ostmine liiga kallis? Või soovite lihtsalt selle võimalikult kiiresti valmis saada? kodutöö matemaatikas või algebras? Sel juhul saate kasutada ka meie programme koos üksikasjalike lahendustega.

Nii saate ise läbi viia koolitusi ja/või nooremate vendade või õdede koolitust, samal ajal tõuseb haridustase probleemide lahendamise alal.

Võrrandite sisestamise reeglid

Muutujana võib toimida mis tahes ladina täht.
Näiteks: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) jne.

Võrrandite sisestamisel võite kasutada sulgusid. Sel juhul on võrrandid esmalt lihtsustatud. Võrrandid pärast lihtsustusi peavad olema lineaarsed, s.t. kujul ax+by+c=0 elementide järjekorra täpsusega.
Näiteks: 6x+1 = 5(x+y)+2

Võrrandites saate kasutada mitte ainult täisarve, vaid ka murdarvud kümnendkohtade ja tavaliste murdude kujul.

Kümnendmurdude sisestamise reeglid.
Täis- ja murdosad sisse kümnendkohad saab eraldada kas punkti või komaga.
Näiteks: 2,1n + 3,5m = 55

Harilike murdude sisestamise reeglid.
Murru lugeja, nimetaja ja täisarvuna saab toimida ainult täisarv.
Nimetaja ei saa olla negatiivne.
Numbrimurru sisestamisel eraldatakse lugeja nimetajast jagamismärgiga: /
Kogu osa eraldatakse murdosast ampersandi märgiga: &

Näited.
-1 ja 2/3 a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Avastati, et mõnda selle probleemi lahendamiseks vajalikku skripti ei laaditud ja programm ei pruugi töötada.
Teil võib olla AdBlock lubatud.
Sel juhul keelake see ja värskendage lehte.

Sest Inimesi, kes soovivad probleemi lahendada, on palju, teie taotlus on pandud järjekorda.
Mõne sekundi pärast kuvatakse allpool lahendus.
Palun oota sek...

Kui sa märkasid lahenduses viga, siis saate kirjutada sellest tagasiside vormi.
Ära unusta märkige, milline ülesanne otsustad mida sisestage väljadele.

Meie mängud, mõistatused, emulaatorid:

Natuke teooriat.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine. Asendusmeetod

Toimingute jada lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel asendusmeetodi abil:
1) väljendab süsteemi mõnest võrrandist üht muutujat teise võrrandi kaudu;
2) asendada saadud avaldis selle muutuja asemel süsteemi mõne teise võrrandiga;

$$ \left\( \begin(massiivi)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(massiivi) \right. $$

Avaldame y esimesest võrrandist lähtuvalt x-ga: y = 7-3x. Asendades avaldise 7-3x teise võrrandi y asemel, saame süsteemi:
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(massiivi) \right. $$

Lihtne on näidata, et esimesel ja teisel süsteemil on samad lahendused. Teises süsteemis sisaldab teine ​​võrrand ainult ühte muutujat. Lahendame selle võrrandi:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Paremnool -5x+14-6x=3 \Paremnool -11x=-11 \Paremnool x=1 $$

Asendades võrduses y=7-3x x asemel arvu 1, leiame y vastava väärtuse:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Paremnool y=4 $$

Paar (1;4) - süsteemi lahendus

Nimetatakse kahe muutuja võrrandisüsteeme, millel on samad lahendid samaväärne. Samaväärseteks peetakse ka süsteeme, millel pole lahendusi.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine liitmise teel

Vaatleme teist võimalust lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks - liitmismeetodit. Sel viisil süsteeme lahendades, aga ka asendamise teel lahendades, liigume sellest süsteemist teise, samaväärsesse süsteemi, milles üks võrranditest sisaldab ainult ühte muutujat.

Toimingute jada lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel liitmismeetodi abil:
1) korrutada süsteemi võrrandid liikme kaupa, valides tegurid nii, et ühe muutuja koefitsiendid muutuvad vastandarvudeks;
2) liita termini kaupa süsteemivõrrandite vasak ja parem pool;
3) lahendab saadud võrrandi ühe muutujaga;
4) leida teise muutuja vastav väärtus.

Näide. Lahendame võrrandisüsteemi:
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(massiivi) \right. $$

Selle süsteemi võrrandites on y koefitsiendid vastandarvud. Liites võrrandite vasaku ja parema külje termini haaval, saame võrrandi ühe muutujaga 3x=33. Asendame süsteemi ühe võrrandi, näiteks esimese võrrandiga 3x=33. Tutvume süsteemiga
$$ \left\( \begin(massiivi)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(massiivi) \right. $$

Võrrandist 3x=33 leiame, et x=11. Asendades selle x väärtuse võrrandisse \(x-3y=38\), saame võrrandi muutujaga y: \(11-3y=38\). Lahendame selle võrrandi:
\(-3y=27 \Paremnool y=-9 \)

Seega leidsime võrrandisüsteemi lahenduse liitmise teel: \(x=11; y=-9\) või \((11;-9)\)

Kasutades ära asjaolu, et süsteemi võrrandites on y koefitsiendid vastandarvud, taandasime selle lahendi samaväärse süsteemi lahendiks (summeerides algse süsteemi iga võrrandi mõlemad pooled), milles üks võrranditest sisaldab ainult ühte muutujat.

Kahe tundmatuga mittelineaarsed võrrandid

Definitsioon 1. Olgu A mõni arvupaaride komplekt (x; y) . Nad ütlevad, et hulk A on antud numbriline funktsioon z kahest muutujast x ja y , kui on määratud reegel, mille abil seostatakse iga arvupaar hulgast A teatud arvuga.

Kahe muutuja x ja y arvfunktsiooni z määramine on sageli tähistama Niisiis:

Kus f (x , y) – mis tahes funktsioon peale funktsiooni

f (x , y) = kirves+by+c ,

kus a, b, c on antud numbrid.

3. määratlus. Võrrandi (2) lahendamine helista paarile numbrile ( x; y), mille valem (2) on tõeline võrdsus.

Näide 1. Lahenda võrrand

Kuna suvalise arvu ruut on mittenegatiivne, siis valemist (4) järeldub, et tundmatud x ja y rahuldavad võrrandisüsteemi

mille lahenduseks on arvupaar (6; 3).

Vastus: (6; 3)

Näide 2. Lahenda võrrand

Seetõttu on võrrandi (6) lahendus lõpmatu arv arvupaare lahke

(1 + y ; y) ,

kus y on suvaline arv.

lineaarne

4. definitsioon. Võrrandisüsteemi lahendamine

helista paarile numbrile ( x; y), kui need asendatakse selle süsteemi igas võrrandis, saadakse õige võrdsus.

Kahest võrrandist koosnevatel süsteemidel, millest üks on lineaarne, on vorm

g(x , y)

Näide 4. Lahenda võrrandisüsteem

Lahendus. Avaldame tundmatu y süsteemi (7) esimesest võrrandist läbi tundmatu x ja asendame saadud avaldise süsteemi teise võrrandiga:

Võrrandi lahendamine

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Seega

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Kahe võrrandi süsteemid, millest üks on homogeenne

Kahest võrrandist koosnevatel süsteemidel, millest üks on homogeenne, on vorm

kus a, b, c on antud numbrid ja g(x , y) – kahe muutuja x ja y funktsioon.

Näide 6. Lahenda võrrandisüsteem

Lahendus. Lahendame homogeense võrrandi

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

käsitledes seda ruutvõrrandina tundmatu x suhtes:

.

Juhul kui x = - 5y, süsteemi (11) teisest võrrandist saame võrrandi

5y 2 = - 20 ,

millel pole juuri.

Juhul kui

süsteemi (11) teisest võrrandist saame võrrandi

,

mille juurteks on arvud y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Leides igale väärtusele y vastava väärtuse x, saame süsteemile kaks lahendust: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Vastus: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Näiteid teist tüüpi võrrandisüsteemide lahendamisest

Näide 8. Lahendage võrrandisüsteem (MIPT)

Lahendus. Toome sisse uued tundmatud u ja v, mida väljendatakse x ja y kaudu valemite järgi:

Süsteemi (12) ümberkirjutamiseks uute tundmatute järgi väljendame esmalt tundmatud x ja y u ja v kaudu. Süsteemist (13) järeldub, et

Lahendame lineaarsüsteemi (14), eemaldades selle süsteemi teisest võrrandist muutuja x. Sel eesmärgil teostame süsteemis (14) järgmised teisendused:

• Jätame süsteemi esimese võrrandi muutmata;
• teisest võrrandist lahutame esimese võrrandi ja asendame süsteemi teise võrrandi saadud erinevusega.

Selle tulemusena muudetakse süsteem (14) samaväärseks süsteemiks

millest leiame

Kasutades valemeid (13) ja (15), kirjutame vormile ümber algse süsteemi (12).

Süsteemi (16) esimene võrrand on lineaarne, seega saame sellest tundmatu u väljendada tundmatu v kaudu ja asendada selle avaldise süsteemi teise võrrandiga.

2. videoõpetus:Võrrandisüsteemide lahendamine

Loeng: Kõige lihtsamad võrrandisüsteemid kahe tundmatuga

Võrrandid kahe tundmatuga

Selles teemas vaatleme võrrandeid, mis sisaldavad kahte tundmatut. Sageli on seda tüüpi võrrandite lahendamiseks vaja nii palju võrrandeid, kui on tundmatuid.

Kahe tundmatuga võrranditel on järgmine kuju:

a, b, c, d- need on muutujatena kõrvuti olevad numbrid (x, y).

Lahendage süsteemi võrrand- see tähendab muutujate väärtuse leidmist, mis viivad mõlemad võrrandid õigesse võrdsusse.

Igal võrrandil võib olla mitu vastust, kuid võrrandisüsteemi vastuseks on numbripaar, mis sobib mõlema võrrandiga.

Võrrandisüsteemi lahendust saab tõlgendada analüütiliselt, millest mõnda käsitleme hiljem, ja graafiliselt.

Graafiline meetod võrrandisüsteemi lahendamiseks

Iga etteantud võrrandi jaoks saate tasapinnale koostada oma graafiku – selleks võib olla mis tahes funktsiooni tuntud graafik. Võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikute ristumispunkt. Sellel punktil on oma koordinaat, mis vastab ordinaat ja abstsiss, mis on lahendus.

Graafikult saab leida mitut tüüpi lahendusi:

1. Lahendusi palju. Näiteks kui üks võrrand esindaks trigonomeetriline funktsioon, ja teine ​​on sirge, näiteks paralleelne OX-teljega, siis see sirge lõikub teise funktsiooni graafikuga paljudes punktides teatud perioodilisusega.

2. Üks lahendus. Sel juhul ristuvad funktsioonide graafikud ühes punktis. Tavaliselt täheldatakse seda pilti, kui võrrandite graafikud on sirged.

3. Kaks lahendust. See tähendab, et võrrandite graafikud ristuvad kahes punktis. Seda täheldatakse tavaliselt siis, kui ühe funktsiooni graafik on parabool.

4. Lahendusi pole. Mõned funktsioonigraafikud ei pruugi üldse ristuda, sel juhul pole süsteemil lahendusi.

Analüütilise lahenduse põhimeetodid

Graafiku abil lahendamine ei ole alati mugav, kuna funktsioonide lõikepunkt võib olla koordinaatide alguspunktist üsna kaugel või on sellel murdosa koordinaadid. Süsteemile lahenduse kõige täpsemaks leidmiseks on parem kasutada analüütilisi lahendusmeetodeid.

1. Asendamine

Süsteemi lahendamiseks asendusmeetodi abil tuleb väljendada ühes võrrandis üks tundmatutest ja asendada see teise võrrandiga.

x = (c – poolt) / a

d (c – poolt) / a + ey = f

Pärast seda asendust on ühel võrrandil üks tundmatu, mille järel võrrand lahendatakse teadaoleval viisil. Kui üks muutujatest leitakse, asendatakse selle väärtus esimese võrrandiga ja seega leitakse teine ​​muutuja.

2. Võrrandite liitmise või lahutamise meetod

See meetod võimaldab teil vabaneda ühest tundmatust. Kujutagem ette, et soovite muutujast "x" lahti saada. To seda meetodit toimus, peate korrutama esimese võrrandi järguliselt d-ga ja teise võrrandi a-ga. Pärast seda saate muutuja "x" jaoks samad koefitsiendid. Kui lahutate ühe võrrandi teisest, saate vabaneda ühest tundmatust. Lisaks viiakse võrrand läbi tuntud meetoditega.