Kuidas arvutada algebraline võrrand.

Polünoomi faktoriseerimine. 1. osa

Faktoriseerimine- see on universaalne tehnika, mis aitab lahendada keerulised võrrandid ja ebavõrdsused. Esimene mõte, mis peaks pähe tulema, kui lahendatakse võrrandeid ja võrratusi, mille paremal küljel on null, on proovida vasakut poolt faktoreerida.

Loetleme peamised polünoomi faktorite arvutamise viisid:

• jättes ühisteguri sulgudest välja
• lühendatud korrutusvalemeid kasutades
• ruuttrinoomi faktoriseerimise valemit kasutades
• rühmitamise meetod
• polünoomi jagamine binoomiga
• määramatute koefitsientide meetod

Selles artiklis käsitleme üksikasjalikult kolme esimest meetodit; ülejäänuid käsitleme järgmistes artiklites.

1. Ühise teguri väljavõtmine sulgudest.

Ühise teguri sulgudest välja võtmiseks peate selle esmalt leidma. Ühine kordaja võrdne kõigi koefitsientide suurima ühisjagajaga.

Kirja osaühistegur on võrdne igas liikmes sisalduvate väikseima astendajaga avaldiste korrutisega.

Ühise kordaja määramise skeem näeb välja järgmine:

Tähelepanu!
Sulgudes olev terminite arv võrdub terminite arvuga algses avaldises. Kui üks terminitest ühtib ühisteguriga, siis selle ühisteguriga jagades saame ühe.

Näide 1.

Polünoomi kordamine:

Võtame ühisteguri sulgudest välja. Selleks leiame selle esmalt üles.

1. Leia suurim ühine jagaja polünoomi kõik koefitsiendid, s.o. numbrid 20, 35 ja 15. See võrdub 5-ga.

2. Teeme kindlaks, et muutuja sisaldub kõigis liikmetes ja selle väikseim eksponent on võrdne 2-ga. Muutuja sisaldub kõigis liikmetes ja väikseim tema astendajatest on 3.

Muutuja sisaldub ainult teises liikmes, seega ei ole see osa ühistegurist.

Nii et kogutegur on

3. Me võtame kordaja sulgudest välja, kasutades ülaltoodud diagrammi:

Näide 2. Lahendage võrrand:

Lahendus. Faktoriseerime võrrandi vasaku külje. Võtame teguri sulgudest välja:

Nii et saame võrrandi

Võrdleme iga teguri nulliga:

Saame - esimese võrrandi juur.

Juured:

Vastus: -1, 2, 4

2. Faktoriseerimine lühendatud korrutamisvalemite abil.

Kui tegurite arv polünoomis, mida me kordame, on väiksem või võrdne kolmega, siis proovime rakendada lühendatud korrutusvalemeid.

1. Kui polünoom onkahe termini erinevus, siis proovime kandideerida ruudu erinevuse valem:

või kuubikute erinevuse valem:

Siin on kirjad ja tähistavad arvu või algebralist avaldist.

2. Kui polünoom on kahe liikme summa, siis võib-olla saab seda faktoreerida kasutades kuubikute summa valemid:

3. Kui polünoom koosneb kolmest liikmest, siis proovime rakendada ruutsumma valem:

või ruudu vahe valem:

Või proovime faktoriseerida ruuttrinoomi faktoriseerimise valem:

Siin on juured ruutvõrrand

Näide 3.Faktoreeri väljendust:

Lahendus. Meie ees on kahe termini summa. Proovime rakendada kuubikute summa valemit. Selleks peate esmalt esitama iga termini mõne avaldise kuubikuna ja seejärel rakendama kuubikute summa valemit:

Näide 4. Faktoreeri väljendust:

Otsus. Siin on kahe avaldise ruutude erinevus. Esimene avaldis: , teine ​​avaldis:

Kasutame ruutude erinevuse valemit:

Avame sulud ja lisame sarnased terminid, saame:

Polünoomide faktoring on identiteedi teisendus, mille tulemusena polünoom muundatakse mitme faktori korrutiseks – polünoomideks või monomideks.

Polünoomide faktoriseerimiseks on mitu võimalust.

Meetod 1. Ühise teguri väljavõtmine sulgudest.

See teisendus põhineb korrutamise jaotusseadusel: ac + bc = c(a + b). Teisenduse olemus on isoleerida kahe vaadeldava komponendi ühine tegur ja see sulgudest välja võtta.

Korrutame polünoomi 28x 3 – 35x 4.

Lahendus.

1. Leidke elementide 28x3 ja 35x4 ühine jagaja. 28 ja 35 puhul on see 7; x 3 ja x 4 – x 3 jaoks. Teisisõnu, meie ühine tegur on 7x3.

2. Esitame iga elementi tegurite korrutisena, millest üks
7 x 3: 28 x 3 – 35 x 4 = 7 x 3 ∙ 4 – 7 x 3 ∙ 5 x.

3. Võtame ühisteguri sulgudest välja
7 x 3: 28 x 3 – 35 x 4 = 7 x 3 ∙ 4 – 7 x 3 ∙ 5 x = 7 x 3 (4 – 5 x).

2. meetod. Lühendatud korrutamisvalemite kasutamine. Selle meetodi kasutamise "meisterlikkus" seisneb avaldises ühe lühendatud korrutusvalemi märkamises.

Korrigeerime polünoomi x 6 – 1.

Lahendus.

1. Sellele avaldisele saame rakendada ruutude erinevuse valemit. Selleks kujutlege x 6 kui (x 3) 2 ja 1 kui 1 2, s.o. 1. Väljend on järgmisel kujul:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Saadud avaldisele saame rakendada kuubikute summa ja erinevuse valemit:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Niisiis,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Meetod 3. Rühmitamine. Rühmitamise meetod seisneb polünoomi komponentide kombineerimises nii, et nendega oleks lihtne teha tehteid (ühisteguri liitmine, lahutamine, lahutamine).

Korrutame polünoomi x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Lahendus.

1. Rühmitame komponendid järgmiselt: 1. 2. ja 3. 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Saadud avaldises võtame sulgudest välja ühised tegurid: esimesel juhul x 2 ja teisel juhul 5.
(x 3 – 3 x 2) + (5 x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Võtame sulgudest välja ühisteguri x – 3 ja saame:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Niisiis,
x 3 – 3 x 2 + 5 x – 15 = (x 3 – 3 x 2) + (5 x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Kinnitame materjali.

Korrutage polünoom a 2 – 7ab + 12b 2 .

Lahendus.

1. Esitame monoomi 7ab summana 3ab + 4ab. Väljend on järgmisel kujul:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Avame sulgud ja saame:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Rühmitame polünoomi komponendid nii: 1. 2.-ga ja 3. 4.-ga. Saame:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Võtame tavalised tegurid sulgudest välja:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Võtame ühisteguri (a – 3b) sulgudest välja:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Niisiis,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Polünoom on avaldis, mis koosneb monomialide summast. Viimased on konstandi (arvu) ja avaldise juure (või juurte) korrutis k astmega. Sel juhul räägime k-astme polünoomist. Polünoomi laiendamine hõlmab avaldise teisendamist, milles terminid asendatakse teguritega. Vaatleme selle ümberkujundamise peamisi viise.

Polünoomi laiendamise meetod ühisteguri eraldamise teel

See meetod põhineb jaotusseaduse seadustel. Niisiis, mn + mk = m * (n + k).

• Näide: laiendada 7a 2 + 2uy ja 2m 3 – 12m 2 + 4lm.

7 a 2 + 2 u = y * (7 a + 2 u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m (m 2 – 6m + 2l).

Siiski ei pruugi igas polünoomis tingimata esinevat tegurit alati leida seda meetodit ei ole universaalne.

Polünoomi laiendamise meetod, mis põhineb lühendatud korrutusvalemitel

Lühendatud korrutusvalemid kehtivad mis tahes astme polünoomide puhul. IN üldine vaade Konversiooniavaldis näeb välja selline:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), kus k on naturaalarvud.

Praktikas kõige sagedamini kasutatavad valemid on teise ja kolmanda järgu polünoomide jaoks:

u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),

u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).

• Näide: laiendada 25p 2 – 144b 2 ja 64m 3 – 8l 3.

25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b) (5p + 12b),

64 m 3 – 8 l 3 = (4 m) 3 – (2 l) 3 = (4 m – 2 l) ((4 m) 2 + 4 m * 2 l + (2 l) 2) = (4 m – 2 l) (16 m 2 + 8 ml + 4 l 2) ).

Polünoomi laiendamise meetod - avaldise terminite rühmitamine

Sellel meetodil on mõnes mõttes midagi ühist ühisteguri tuletamise tehnikaga, kuid sellel on mõningaid erinevusi. Eelkõige tuleks enne ühise teguri eraldamist monoomid rühmitada. Rühmitamisel lähtutakse kombinatsioon- ja kommutatiivseaduste reeglitest.

Kõik avaldises esitatud monomiaalid on jagatud rühmadesse, millest igaühes üldine tähendus nii, et teine ​​tegur on kõigis rühmades sama. Üldiselt võib seda lagunemismeetodit esitada avaldisena:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k) (l + s).

• Näide: laiali 14mn + 16ln – 49m – 56l.

14 min + 16 p - 49 m - 56 l = (14 min - 49 m) + (16 p - 56 l) = 7 m * (2n - 7) + 8 l * (2n - 7) = (7 m + 8 l) (2n - 7).

Polünoomi laiendamise meetod - täiusliku ruudu moodustamine

See meetod on polünoomi laiendamisel üks tõhusamaid. Algstaadiumis on vaja kindlaks määrata monoomid, mida saab vahe või summa ruuduks “kokku tõmmata”. Selleks kasutage ühte suhetest:

(p – b) 2 = p 2 – 2 pb + b 2,

• Näide: laiendage avaldist u 4 + 4u 2 – 1.

Valime selle monomialide hulgast moodustavad terminid täiuslik ruut: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

Lõpetage teisendus, kasutades lühendatud korrutamisreegleid: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).

See. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5) (u 2 + 2 + √5).

Faktoriseerimiseks on vaja avaldisi lihtsustada. See on vajalik selleks, et seda veelgi vähendada. Polünoomi laiendamine on mõttekas, kui selle aste ei ole madalam kui kaks. Esimese astmega polünoomi nimetatakse lineaarseks.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Artikkel hõlmab kõiki lagunemise mõisteid, teoreetiline alus ja polünoomi faktoriseerimise meetodid.

teooria

Kui mis tahes polünoom astmega n, mille vorm on P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, esitatakse korrutisena konstantse teguriga kõrgeima astmega a n ja n lineaarset tegurit (x - x i), i = 1, 2, ..., n, siis P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , kus x i, i = 1, 2, …, n on polünoomi juured.

Teoreem on mõeldud komplekstüüpi x i, i = 1, 2, …, n juurtele ja komplekskordajatele a k, k = 0, 1, 2, …, n. See on igasuguse lagunemise aluseks.

Kui koefitsiendid kujul a k, k = 0, 1, 2, …, n on reaalarvud, esinevad kompleksjuured konjugeeritud paarides. Näiteks juured x 1 ja x 2, mis on seotud polünoomiga kujul P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 loetakse komplekskonjugaadiks, siis on teised juured reaalsed, millest saame, et polünoom saab kuju P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, kus x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Kommenteeri

Polünoomi juuri saab korrata. Vaatleme algebra teoreemi tõestust, mis on Bezouti teoreemi tagajärg.

Algebra fundamentaalteoreem

Igal polünoomil astmega n on vähemalt üks juur.

Bezouti teoreem

Pärast polünoomi kujul P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + jagamist. . . + a 1 x + a 0 (x - s), siis saame jäägi, mis võrdub polünoomiga punktis s, siis saame

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , kus Q n - 1 (x) on polünoom astmega n - 1.

Bezouti teoreemi tagajärg

Kui polünoomi P n (x) juureks loetakse s, siis P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Sellest järeldusest piisab lahenduse kirjeldamiseks.

Ruuttrinoomi faktoring

Ruuttrinoomi kujul a x 2 + b x + c saab faktoriseerida lineaarseteks teguriteks. siis saame, et a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , kus x 1 ja x 2 on juured (komplekssed või reaalsed).

See näitab, et laienemine taandub hiljem ruutvõrrandi lahendamisele.

Näide 1

Koefitsiendi ruuttrinoom.

Lahendus

On vaja leida võrrandi 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 juured. Selleks tuleb valemi abil leida diskriminandi väärtus, siis saame D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Siit on see meil olemas

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Sellest saame, et 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Kontrollimiseks peate avama sulud. Siis saame vormi avaldise:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Pärast kontrollimist jõuame algse väljendini. See tähendab, et võime järeldada, et lagunemine viidi läbi õigesti.

Näide 2

Koefitsiendi ruuttrinoom kujul 3 x 2 - 7 x - 11 .

Lahendus

Leiame, et on vaja arvutada saadud ruutvõrrand kujul 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

Juurte leidmiseks peate määrama diskriminandi väärtuse. Me saame sellest aru

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Sellest saame, et 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Näide 3

Polünoomi kordamine 2 x 2 + 1.

Lahendus

Nüüd peame lahendama ruutvõrrandi 2 x 2 + 1 = 0 ja leidma selle juured. Me saame sellest aru

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

Neid juuri nimetatakse komplekskonjugaadiks, mis tähendab, et paisumist ennast saab kujutada kui 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Näide 4

Lagundada ruuttrinoom x 2 + 1 3 x + 1 .

Lahendus

Kõigepealt peate lahendama ruutvõrrandi kujul x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ja leidma selle juured.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

Olles saanud juured, kirjutame

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Kommenteeri

Kui diskrimineeriv väärtus on negatiivne, jäävad polünoomid teist järku polünoomideks. Sellest järeldub, et me ei laienda neid lineaarseteks teguriteks.

Meetodid kahest kõrgema astme polünoomi faktoriseerimiseks

Lagundamisel eeldatakse universaalset meetodit. Enamik juhtumeid põhinevad Bezouti teoreemi järelduval. Selleks peate valima juure väärtuse x 1 ja vähendama selle astet, jagades polünoomiga 1, jagades arvuga (x - x 1). Saadud polünoom peab leidma juure x 2 ja otsinguprotsess on tsükliline, kuni saavutame täieliku laienduse.

Kui juurt ei leita, kasutatakse muid faktoriseerimise meetodeid: rühmitamist, lisatermineid. See teema hõlmab suuremate astmete ja täisarvu koefitsientidega võrrandite lahendamist.

Ühise teguri väljavõtmine sulgudest

Vaatleme juhust, kui vaba liige on võrdne nulliga, siis saab polünoomi kujuks P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1 x .

On näha, et sellise polünoomi juur on võrdne x 1 = 0, siis saab polünoomi esitada avaldisena P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Seda meetodit peetakse ühise teguri sulgudest välja jätmiseks.

Näide 5

Kolmanda astme polünoomi koefitsient 4 x 3 + 8 x 2 - x.

Lahendus

Näeme, et x 1 = 0 on antud polünoomi juur, siis saame x kogu avaldise sulgudest eemaldada. Saame:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Liigume edasi ruudukujulise trinoomi 4 x 2 + 8 x - 1 juurte leidmisega. Leiame diskrimineerija ja juured:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Siis järgneb sellest

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Alustuseks võtame arvesse dekomponeerimismeetodit, mis sisaldab täisarvu koefitsiente kujul P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, kus kõrgeima astme koefitsient on 1.

Kui polünoomil on täisarvu juured, peetakse neid vaba liikme jagajateks.

Näide 6

Lahutage avaldis f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Lahendus

Mõelgem, kas on olemas täielikud juured. On vaja üles kirjutada arvu jagajad - 18. Saame, et ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Sellest järeldub, et sellel polünoomil on täisarvu juured. Saate kontrollida Horneri skeemi abil. See on väga mugav ja võimaldab kiiresti saada polünoomi laienduskoefitsiente:

Sellest järeldub, et x = 2 ja x = - 3 on algse polünoomi juured, mida saab esitada vormi korrutisena:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Jätkame ruuttrinoomi kuju x 2 + 2 x + 3 laiendamisega.

Kuna diskriminant on negatiivne, tähendab see, et tegelikke juuri pole.

Vastus: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Kommenteeri

Horneri skeemi asemel on lubatud kasutada juurevalikut ja polünoomi polünoomiga jagamist. Liigume edasi polünoomi, mis sisaldab täisarvude koefitsiente kujul P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +, laienduse käsitlemise juurde. . . + a 1 x + a 0 , millest kõrgeim on võrdne ühega.

See juhtum esineb ratsionaalsete murdude puhul.

Näide 7

Faktoriseeri f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

Lahendus

Muutuja y = 2 x asendamine on vajalik, peaksite liikuma polünoomile, mille koefitsiendid on kõrgeimal astmel 1. Alustuseks peate avaldise korrutama 4-ga. Me saame sellest aru

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Kui saadud funktsioonil kujul g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 on täisarvulised juured, siis on nende asukoht vaba liikme jagajate hulgas. Kirje näeb välja selline:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Liigume nendes punktides funktsiooni g (y) arvutamise juurde, et tulemuseks saada null. Me saame sellest aru

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

Leiame, et y = - 5 on võrrandi juur, mille kuju on y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, mis tähendab, et x = y 2 = - 5 2 on algfunktsiooni juur.

Näide 8

On vaja jagada veeruga 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-ga.

Lahendus

Kirjutame selle üles ja saame:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Jagajate kontrollimine võtab palju aega, seetõttu on tulusam tegurida saadud ruuttrinomiaal kujul x 2 + 7 x + 3. Võrdstades nulliga leiame diskriminandi.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Sellest järeldub

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Kunstlikud tehnikad polünoomi faktoriseerimiseks

Ratsionaaljuured ei ole omased kõikidele polünoomidele. Selleks peate tegurite leidmiseks kasutama spetsiaalseid meetodeid. Kuid mitte kõiki polünoome ei saa laiendada ega esitada tootena.

Rühmitamise meetod

On juhtumeid, kus saab polünoomi tingimusi rühmitada, et leida ühine tegur ja panna see sulgudest välja.

Näide 9

Polünoomi kordamine x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Lahendus

Kuna koefitsiendid on täisarvud, võivad juured oletatavasti olla ka täisarvud. Kontrollimiseks võtke nendes punktides polünoomi väärtuse arvutamiseks väärtused 1, -1, 2 ja -2. Me saame sellest aru

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

See näitab, et juured puuduvad, on vaja kasutada teist laiendamis- ja lahendusmeetodit.

On vaja rühmitada:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Pärast algse polünoomi rühmitamist peate selle esitama kahe ruudukujulise trinoomi korrutisena. Selleks peame faktoriseerima. me saame sellest aru

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Kommenteeri

Rühmitamise lihtsus ei tähenda, et terminite valimine oleks piisavalt lihtne. Konkreetset lahendusmeetodit pole, seega on vaja kasutada spetsiaalseid teoreeme ja reegleid.

Näide 10

Polünoomi kordamine x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .

Lahendus

Antud polünoomil pole täisarvujuuri. Terminid tuleks rühmitada. Me saame sellest aru

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Pärast faktoriseerimist saame selle

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2-5 2

Lühendatud korrutusvalemite ja Newtoni binoomi kasutamine polünoomi faktoriseerimiseks

Välimus ei anna sageli alati selgeks, millist meetodit tuleks lagunemise ajal kasutada. Pärast teisenduste tegemist saate koostada joone, mis koosneb Pascali kolmnurgast, vastasel juhul nimetatakse neid Newtoni binoomteks.

Näide 11

Polünoomi kordamine x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

Lahendus

Avaldis on vaja teisendada vormiks

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Sulgudes oleva summa kordajate jada tähistatakse avaldisega x + 1 4 .

See tähendab, et meil on x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Pärast ruutude erinevuse rakendamist saame

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Mõelge avaldisele, mis on teises sulgus. On selge, et seal ei ole rüütleid, seega peaksime uuesti rakendama ruutude erinevuse valemit. Saame vormi avaldise

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Näide 12

Faktoriseeri x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

Lahendus

Alustame väljendi teisendamist. Me saame sellest aru

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

On vaja rakendada kuubikute erinevuse lühendatud korrutamise valemit. Saame:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Meetod muutuja asendamiseks polünoomi faktoriseerimisel

Muutuja asendamisel astet vähendatakse ja polünoomi faktoristatakse.

Näide 13

Korda polünoom kujul x 6 + 5 x 3 + 6 .

Lahendus

Tingimuse järgi on selge, et on vaja teha asendus y = x 3. Saame:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Saadud ruutvõrrandi juured on y = - 2 ja y = - 3, siis

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

On vaja rakendada kuubikute summa lühendatud korrutamise valemit. Saame vormi avaldised:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

See tähendab, et saime soovitud lagunemise.

Eespool käsitletud juhtumid aitavad polünoomi erineval viisil arvesse võtta ja faktoriseerida.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Mõisteid "polünoomi" ja "polünoomi faktoriseerimine" kohtab algebras väga sageli, sest suurte arvutuste hõlpsaks tegemiseks peate neid teadma. mitmekohalised numbrid. Selles artiklis kirjeldatakse mitmeid lagunemismeetodeid. Neid kõiki on üsna lihtne kasutada, peate lihtsalt valima iga konkreetse juhtumi jaoks sobivaima.

Polünoomi mõiste

Polünoom on monomialide summa, st avaldised, mis sisaldavad ainult korrutamist.

Näiteks 2 * x * y on monoom, aga 2 * x * y + 25 on polünoom, mis koosneb 2 monoomist: 2 * x * y ja 25. Selliseid polünoome nimetatakse binoomideks.

Mõnikord tuleb mitme väärtusega näidete lahendamise mugavuse huvides avaldis teisendada, näiteks lagundada see teatud arvuks teguriteks, st arvudeks või avaldisteks, mille vahel korrutamistoiming sooritatakse. Polünoomi faktoriseerimiseks on mitmeid viise. Neid tasub kaaluda, alustades kõige primitiivsemast, mida kasutatakse algkoolis.

Rühmitamine (kirje üldkujul)

Polünoomi faktoriseerimise valem rühmitusmeetodi abil näeb üldiselt välja järgmine:

ac + bd + bc + reklaam = (ac + bc) + (reklaam + bd)

Monoomid on vaja rühmitada nii, et igal rühmal oleks ühine tegur. Esimeses sulus on see tegur c ja teises - d. Seda tuleb teha selleks, et see seejärel klambrist välja viia, lihtsustades sellega arvutusi.

Lagundamise algoritm konkreetse näite abil

Allpool on toodud lihtsaim näide polünoomi faktoriseerimisest rühmitusmeetodi abil:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Esimeses sulus peate võtma terminid teguriga a, mis on tavaline, ja teises - teguriga b. Valmis avaldises pöörake tähelepanu märkidele + ja -. Panime monomiaali ette märgi, mis oli alglauses. See tähendab, et peate töötama mitte avaldisega 25a, vaid avaldisega -25. Miinusmärk näib olevat “kleebitud” selle taga oleva avaldise külge ja seda arvestatakse alati arvutamisel.

Järgmises etapis tuleb sulgudest välja võtta kordaja, mis on tavaline. Just selleks rühmitus ongi. Sulgudest väljapoole panemine tähendab, et sulgu ette kirjutatakse (korrutamismärk välja jättes) kõik need tegurid, mis korduvad täpselt kõigis sulgudes olevates terminites. Kui sulgudes pole mitte 2, vaid 3 või enam terminit, peab ühistegur sisalduma neist igaühes, vastasel juhul ei saa seda sulust välja võtta.

Meie puhul on sulgudes ainult 2 terminit. Üldine kordaja on kohe näha. Esimeses sulus on see a, teises b. Siin peate pöörama tähelepanu digitaalsetele koefitsientidele. Esimeses sulus on mõlemad koefitsiendid (10 ja 25) 5-kordsed. See tähendab, et sulust saab välja võtta mitte ainult a, vaid ka 5a. Sulgude ette kirjutage 5a ja seejärel jagage kõik sulgudes olevad terminid väljavõetud ühisteguriga ning kirjutage ka jagatis sulgudesse, unustamata + ja - märke. Tehke sama ka teise suuga, võtke välja 7b, samuti 7 kordne 14 ja 35.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Saime 2 terminit: 5a (2c - 5) ja 7b (2c - 5). Igaüks neist sisaldab ühist tegurit (kogu sulgudes olev avaldis on siin sama, mis tähendab, et see on ühine tegur): 2c - 5. Samuti tuleb see sulust välja võtta, see tähendab, et terminid 5a ja 7b jäävad alles teises sulus:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Seega on täielik väljend:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Seega polünoom 10ac + 14bc - 25a - 35b laguneb 2 teguriks: (2c - 5) ja (5a + 7b). Nende vahel oleva korrutusmärgi võib kirjutamisel ära jätta

Mõnikord on seda tüüpi väljendeid: 5a 2 + 50a 3, siin saate sulgudest välja panna mitte ainult a või 5a, vaid isegi 5a 2. Peaksite alati püüdma sulgudest välja jätta suurima ühise teguri. Meie puhul, kui jagame iga termini ühise teguriga, saame:

5a 2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(mitme astme jagatise arvutamisel võrdselt Alus säilib ja astendaja lahutatakse). Seega jääb sulgudesse ühik (mingil juhul ei unusta seda kirjutada, kui võtate ühe termini sulust välja) ja jagamise jagatis: 10a. Selgub, et:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Ruuduvalemid

Arvutamise hõlbustamiseks tuletati mitu valemit. Neid nimetatakse lühendatud korrutusvalemiteks ja neid kasutatakse üsna sageli. Need valemid aitavad faktoreid sisaldavaid polünome. See on teine tõhus viis faktoriseerimine. Nii et siin nad on:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - valem, mida nimetatakse "summa ruuduks", kuna ruuduks lagundamise tulemusena võetakse sulgudes olevate arvude summa, see tähendab, et selle summa väärtus korrutatakse iseendaga 2 korda ja see on kordaja.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - erinevuse ruudu valem, see on sarnane eelmisele. Tulemuseks on sulgudes olev erinevus, mis sisaldub ruudu astmes.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- see on ruutude erinevuse valem, kuna algselt koosneb polünoom 2 arvude või avaldiste ruudust, mille vahel tehakse lahutamine. Võib-olla kasutatakse seda kolmest mainitud kõige sagedamini.

Ruutvalemite abil arvutamise näited

Nende arvutused on üsna lihtsad. Näiteks:

1. 25x 2 + 20xy + 4 a 2 - kasutage valemit "summa ruut".
2. 25x2 on 5x ruut. 20xy on 2*(5x*2y) topeltkorrutis ja 4y 2 on 2y ruut.
3. Seega 25x 2 + 20xy + 4a 2 = (5x + 2a) 2 = (5x + 2a)(5x + 2a). See polünoom jagatakse kaheks teguriks (tegurid on samad, seega kirjutatakse see ruutvõimsusega avaldisena).

Toimingud, mis kasutavad ruudu erinevuse valemit, viiakse läbi sarnaselt nendele. Ülejäänud valem on ruutude erinevus. Selle valemi näiteid on väga lihtne määratleda ja teiste väljendite hulgast leida. Näiteks:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Kuna 25a 2 = (5a) 2 ja 400 = 20 2
• 36x 2 - 25 a 2 = (6x - 5 a) (6x + 5 a). Kuna 36x 2 = (6x) 2 ja 25x 2 = (5x 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Kuna 169b 2 = (13b) 2

On oluline, et iga termin oleks mõne avaldise ruut. Seejärel tuleb see polünoom faktoriseerida, kasutades ruutude erinevuse valemit. Selleks ei ole vaja, et teine ​​aste oleks numbrist kõrgem. On polünoomid, mis sisaldavad suured kraadid, kuid nende valemite jaoks siiski sobivad.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Selles näites saab 8 esitada kui (a 4) 2, st teatud avaldise ruutu. 25 on 5 2 ja 10a on 4 - see on terminite 2 * a 4 * 5 topeltkorrutis. See tähendab, et selle avaldise saab vaatamata suurte eksponentide kraadide olemasolule jaotada kaheks teguriks, et nendega hiljem töötada.

Kuubiku valemid

Kuubikuid sisaldavate polünoomide faktoriseerimiseks on olemas samad valemid. Need on veidi keerulisemad kui ruutudega:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- seda valemit nimetatakse kuubikute summaks, kuna selle algkujul on polünoom kahe kuubi sisse pandud avaldise või arvu summa.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) - kuubikute erinevuseks on märgitud eelmisega identne valem.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - summa kuup, arvutuste tulemusel on arvude või avaldiste summa sulgudes ja korrutatakse iseendaga 3 korda, see tähendab, et see asub kuubis
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - eelmisega analoogia põhjal koostatud valemit, mis muudab ainult mõningaid matemaatiliste tehtete märke (pluss ja miinus), nimetatakse "erinevuskuubiks".

Viimaseid kahte valemit polünoomi faktoriseerimiseks praktiliselt ei kasutata, kuna need on keerulised ja on piisavalt haruldane leida polünome, mis vastavad täielikult sellele struktuurile, et neid saaks nende valemite abil faktoriseerida. Kuid te peate neid siiski teadma, kuna neid on vaja tegutsemisel vastupidine suund- sulgude avamisel.

Näited kuubiku valemite kohta

Vaatame näidet: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Siin on võetud üsna lihtsad arvud, nii et näete kohe, et 64a 3 on (4a) 3 ja 8b 3 on (2b) 3. Seega laiendatakse see polünoom kuubikute valemi erinevuse järgi 2 teguriks. Kuubikute summa valemit kasutavad toimingud viiakse läbi analoogia põhjal.

Oluline on mõista, et kõiki polünoome ei saa vähemalt ühel viisil laiendada. Kuid on avaldisi, mis sisaldavad suuremaid võimsusi kui ruut või kuup, kuid neid saab laiendada ka lühendatud korrutusvormideks. Näiteks: x 12 + 125 a 3 =(x 4) 3 +(5 a) 3 =(x 4 +5 a)*((x 4) 2 − x 4 *5 a+(5 a) 2)=(x 4 + 5 a) (x 8 − 5x 4 a + 25 a 2).

See näide sisaldab sama palju kui 12. kraadi. Kuid isegi seda saab faktoreerida, kasutades kuubikute summa valemit. Selleks peate kujutlema x 12 kui (x 4) 3, see tähendab mõne avaldise kuubikuna. Nüüd peate selle asemel valemis asendama selle. Noh, avaldis 125a 3 on kuubik 5a. Järgmisena peate valemi abil toote koostama ja arvutused tegema.

Algul või kahtluse korral saate alati kontrollida pöördkorrutise abil. Peate lihtsalt avama saadud avaldises sulud ja sooritama toiminguid sarnaste terminitega. See meetod kehtib kõigi loetletud redutseerimismeetodite puhul: nii ühise teguri ja grupeerimisega töötamisel kui ka kuubikute ja ruutastmete valemitega töötamisel.