Matemaatiline mudel. Mis on matemaatiline mudel

Arvuti on kindlalt meie ellu sisenenud ja sellist ala praktiliselt pole inimtegevus kus arvutit ei kasutata. Arvuteid kasutatakse nüüd laialdaselt uute masinate, uute masinate loomise ja uurimise protsessis tehnoloogilised protsessid ja otsida nende optimaalseid võimalusi; majandusprobleemide lahendamisel, tootmise planeerimise ja juhtimise erinevatel tasanditel probleemide lahendamisel. Suurte objektide loomine raketitööstuses, lennukiehituses, laevaehituses, aga ka tammide, sildade jms projekteerimises on üldjuhul võimatu ilma arvutite kasutamiseta.

Arvuti kasutamiseks rakendusülesannete lahendamisel tuleb ennekõike rakendusülesanne "tõlkida" formaalsesse matemaatilisse keelde, s.t. reaalse objekti, protsessi või süsteemi puhul selle matemaatiline mudel.

Sõna "mudel" pärineb ladinakeelsest sõnast modus (koopia, kujutis, kontuur). Modelleerimine on mõne objekti A asendamine teise objektiga B. Asendatud objekti A nimetatakse originaaliks või modelleerivaks objektiks ja asendusobjekti B mudeliks. Teisisõnu, mudel on algse objekti objekti asendus, mis võimaldab uurida originaali mõningaid omadusi.

Modelleerimise eesmärk on hankida, töödelda, esitada ja kasutada teavet objektide kohta, mis interakteeruvad üksteisega ja väliskeskkond; ja mudel toimib siin vahendina objekti omaduste ja käitumismustrite tundmiseks.

Matemaatika modelleerimine- see on vahend reaalse objekti, protsessi või süsteemi uurimiseks, asendades need matemaatilise mudeliga, mis on mugavam arvuti abil eksperimentaalseks uurimiseks.

Matemaatiline modelleerimine on reaalsete protsesside ja nähtuste matemaatiliste mudelite koostamise ja uurimise protsess. Kõik looduslikud ja sotsiaalteadused, kasutavad matemaatilist aparaati, tegelevad tegelikult matemaatilise modelleerimisega: nad asendavad reaalse objekti selle mudeliga ja uurivad seejärel viimast. Nagu iga simulatsiooni puhul, ei kirjelda matemaatiline mudel uuritavat nähtust täielikult ning küsimused sel viisil saadud tulemuste rakendatavuse kohta on väga sisukad. Matemaatiline mudel on tegelikkuse lihtsustatud kirjeldus, kasutades matemaatilisi mõisteid.

Matemaatiline mudel väljendab objekti või protsessi olulisi tunnuseid võrrandite ja muude matemaatiliste vahendite keeles. Rangelt võttes võlgneb matemaatika ise oma olemasolu sellele, mida ta püüab kajastada, s.t. modelleerida omas keeles ümbritseva maailma mustreid.

Kell matemaatiline modelleerimine objekti uurimine toimub matemaatika keeles formuleeritud mudeli abil, kasutades teatud matemaatilisi meetodeid.

Meie aja matemaatilise modelleerimise tee on palju põhjalikum kui loomulik modelleerimine. Tohutu tõuke matemaatilise modelleerimise arengule andis arvutite tulek, kuigi meetod ise sündis samaaegselt matemaatikaga tuhandeid aastaid tagasi.

Matemaatiline modelleerimine kui selline ei vaja alati arvutituge. Iga matemaatilise modelleerimisega professionaalselt tegelev spetsialist teeb mudeli analüütiliseks uurimiseks kõik endast oleneva. Analüütilised lahendused (s.t. need on esitatud valemitega, mis väljendavad uuringu tulemusi algandmete kaudu) on tavaliselt mugavamad ja informatiivsemad kui numbrilised. Analüütiliste meetodite võimalused keerukate matemaatiliste ülesannete lahendamiseks on aga väga piiratud ja reeglina on need meetodid palju keerulisemad kui numbrilised.

Matemaatiline mudel on reaalsete objektide, protsesside või süsteemide ligikaudne esitus, mis on väljendatud matemaatiliselt ja säilitab originaali olulised tunnused. Matemaatilised mudelid kvantitatiivsel kujul kirjeldavad loogiliste ja matemaatiliste konstruktsioonide abil objekti, protsessi või süsteemi põhiomadusi, selle parameetreid, sisemisi ja väliseid seoseid

Kõik mudelid võib jagada kahte klassi:

1. tõeline,
2. ideaalne.

Reaalsed mudelid võib omakorda jagada järgmisteks osadeks:

1. loomulik,
2. füüsiline,
3. matemaatilised.

Ideaalsed mudelid võib jagada järgmisteks osadeks:

1. visuaalne,
2. ikooniline,
3. matemaatilised.

Tõelised täismahus mudelid on reaalsed objektid, protsessid ja süsteemid, millel tehakse teaduslikke, tehnilisi ja tööstuslikke katseid.

Tõelised füüsilised mudelid on maketid, mannekeenid, reprodutseerivad füüsikalised omadused originaalid (kinemaatilised, dünaamilised, hüdraulilised, termilised, elektrilised, kerged mudelid).

Tõelised matemaatilised on analoog-, struktuur-, geomeetrilised, graafilised, digitaalsed ja küberneetilised mudelid.

Ideaalne visuaalsed mudelid- need on skeemid, kaardid, joonised, graafikud, graafikud, analoogid, struktuursed ja geomeetrilised mudelid.

Ideaalsed märgimudelid on sümbolid, tähestik, programmeerimiskeeled, järjestatud tähistus, topoloogiline tähistus, võrgu esitus.

Ideaalsed matemaatilised mudelid on analüütilised, funktsionaalsed, simulatsiooni-, kombineeritud mudelid.

Ülaltoodud klassifikatsioonis on mõnel mudelil topelttõlgendus (näiteks analoog). Kõik mudelid, välja arvatud täismahus mudelid, saab ühendada ühte vaimsete mudelite klassi, kuna need on inimese abstraktse mõtlemise produkt.

Mänguteooria elemendid

Üldjuhul on mängu lahendamine küllaltki keeruline ülesanne ning ülesande keerukus ja lahendamiseks vajalike arvutuste hulk suureneb järsult . Need raskused ei ole aga põhimõttelised ja on seotud vaid väga suure arvutustemahuga, mis võib paljudel juhtudel osutuda praktiliselt teostamatuks. Lahenduse leidmise meetodi fundamentaalne külg jääb kõigile üks ja see sama.

Illustreerime seda mängu näitel. Anname sellele geomeetrilise tõlgenduse – juba ruumilise. Meie kolm strateegiat, me kujutame kolme punktiga tasapinnal ; esimene asub lähtepunktis (joonis 1). teine ​​ja kolmas - telgedel Oh ja OU lähtepunktist 1 kaugusel.

Teljed I-I, II-II ja III-III tõmmatakse läbi punktide tasapinnaga risti . I-I teljel on II-II ja III-III teljele kantud strateegia väljamaksed - strateegiate väljamaksed. Iga vaenlase strateegia tähistatakse tasapinnaga, mis lõikab telgedel I-I, II-II ja III-III, lõigud, mis on võrdsed võimendusega

sobiva strateegia ja strateegiaga . Olles nii konstrueerinud kõik vaenlase strateegiad, saame kolmnurga kohal asuvate lennukite perekonna (joonis 2).

Selle perekonna jaoks on võimalik konstrueerida ka madalam väljamakse piir, nagu tegime juhtumil, ja leida sellel piiril punkt N maksimaalse kõrgusega tasapinnal . See kõrgus on mängu hind.

Optimaalse strateegia strateegiate sagedused määratakse koordinaatidega (x, y) punktid N, nimelt:

Sellist geomeetrilist konstruktsiooni, isegi korpuse jaoks, ei ole aga lihtne rakendada ja see nõuab palju aega ja kujutlusvõimet. Mängu üldjuhul kandub see aga üle -dimensioonilisse ruumi ja kaotab igasuguse selguse, kuigi geomeetrilise terminoloogia kasutamine võib mõnel juhul kasuks tulla. Mängude lahendamisel praktikas on mugavam kasutada mitte geomeetrilisi analoogiaid, vaid arvutuslikke analüütilisi meetodeid, seda enam, et need meetodid sobivad ainsana arvutites ülesannete lahendamiseks.

Kõik need meetodid on sisuliselt taandatud probleemi lahendamisele järjestikuste katsetuste abil, kuid katsete järjestuse järjestamine võimaldab koostada algoritmi, mis viib lahenduseni kõige ökonoomsemal viisil.

Siin peatume põgusalt ühel arvutusmeetodil mängude lahendamiseks - nn "lineaarse programmeerimise" meetodil.

Selleks anname esmalt üldise ülevaate mängule lahenduse leidmise probleemist . Las mäng antakse t mängija strateegiad AGA ja n mängija strateegiad AT ja väljamakse maatriks on antud

Mängu jaoks on vaja leida lahendus, st kaks optimaalset kombineeritud strateegiat mängijatele A ja B

kus (mõned numbrid ja võivad olla võrdsed nulliga).

Meie optimaalne strateegia S*A peaks andma meile väljamakse, mis ei ole väiksem kui , vaenlase mis tahes käitumise eest ja tasu, mis on võrdne tema optimaalse käitumise eest (strateegia S*B).Samamoodi strateegia S*B peab andma vaenlasele kahju, mis ei ole suurem kui , mis tahes meie käitumise korral ja võrdne meie optimaalse käitumise jaoks (strateegia S*A).

Mängu väärtus antud juhul on meile teadmata; eeldame, et see on võrdne mõne positiivse arvuga. Seda eeldades ei riku me arutluskäigu üldistust; selleks, et olla > 0, piisab ilmselgelt sellest, et kõik maatriksi elemendid on mittenegatiivsed. Seda saab alati saavutada, kui lisada elementidele piisavalt suur positiivne väärtus L, sel juhul tõuseb mängu maksumus L võrra ja lahendus ei muutu.

Valime oma optimaalse strateegia S*A. Siis on meie keskmine väljamakse vastase strateegia eest võrdne:

Meie optimaalne strateegia S*A omab omadust, mis annab vastase igasuguse käitumise korral kasu vähemalt ; seetõttu ei saa ükski arv olla väiksem kui . Meil on mitmeid tingimusi:

(1)

Jagage võrratused (1) positiivse väärtusega ja tähistage:

Siis saab tingimuse (1) kirjutada kujul

(2)

kus on mittenegatiivsed arvud. Sest kogused vastavad tingimusele

Tahame oma garanteeritud võidu võimalikult kõrgeks muuta; Ilmselgelt võtab sel juhul võrdsuse (3) parem pool minimaalse väärtuse.

Seega taandatakse mängule lahenduse leidmise probleem järgmiseks matemaatiliseks ülesandeks: defineerida mittenegatiivsed suurused tingimused (2), nii et nende summa

oli minimaalne.

Tavaliselt äärmuslike väärtuste (maksimum ja miinimum) leidmisega seotud probleemide lahendamisel funktsioon diferentseeritakse ja tuletised võrdsustatakse nulliga. Kuid selline tehnika on antud juhul kasutu, kuna funktsioon Ф, mis vaja minimeerida, on lineaarne ja selle tuletised kõigi argumentide suhtes on võrdsed ühega, st nad ei kao kuhugi. Järelikult saavutatakse funktsiooni maksimum kuskil argumentide muutumise piirkonna piiril, mille määrab argumentide ja tingimuste mittenegatiivsuse nõue (2). Ekstreemsete väärtuste leidmise meetod diferentseerimise abil ei sobi ka neil juhtudel, kui mängu lahendamiseks määratakse alumise (või ülemise) väljamakse piiri maksimum, nagu meie tegime. nt mängude lahendamisel tehti seda.Tõepoolest, alumine piir koosneb sirgete lõikudest ja maksimumi ei saavutata mitte kohas, kus tuletis võrdub nulliga (sellist punkti pole üldse), vaid intervalli piiril või sirgete lõikude lõikepunktis.

Selliste, praktikas üsna levinud ülesannete lahendamiseks on matemaatikas välja töötatud spetsiaalne aparaat. lineaarne programmeerimine.

Esitatakse lineaarse programmeerimise probleem järgmisel viisil.

Antud süsteem lineaarvõrrandid:

(4)

On vaja leida tingimusi (4) rahuldavate suuruste mittenegatiivsed väärtused ja samal ajal minimeerida antud suuruste homogeenne lineaarfunktsioon (lineaarne vorm):

On lihtne mõista, et ülaltoodud mänguteooria probleem on lineaarse programmeerimise probleemi erijuhtum

Esmapilgul võib tunduda, et tingimused (2) ei ole samaväärsed tingimustega (4), kuna võrdusmärkide asemel sisaldavad need ebavõrdsusmärke. Ebavõrdsusmärkidest on aga lihtne vabaneda, kui võtta kasutusele uued fiktiivsed mittenegatiivsed muutujad ja kirjutamistingimused (2) kujul:

(5)

Vorm Ф, mis tuleb minimeerida, on võrdne

Lineaarne programmeerimisseade võimaldab suhteliselt väikese arvu järjestikuste valimite abil väärtusi valida , nõuetele vastav. Suurema selguse huvides demonstreerime siin selle seadme kasutamist otse konkreetsete mängude lahendamise materjalil.

Y - väljundmuutujate vektor, Y = t,

Z - välismõjude vektor, Z = t,

t - aja koordinaat.

Hoone matemaatiline mudel seisneb teatud protsesside ja nähtuste vaheliste seoste kindlaksmääramises, matemaatilise aparaadi loomises, mis võimaldab kvantitatiivselt ja kvalitatiivselt väljendada seost teatud protsesside ja nähtuste, spetsialistile huvipakkuvate füüsikaliste suuruste ning lõpptulemust mõjutavate tegurite vahel.

Tavaliselt on neid nii palju, et kogu nende komplekti pole võimalik mudelisse tutvustada. Ehitamisel matemaatiline mudel enne uuringut tekib ülesanne tuvastada ja jätta vaatlusest välja tegurid, mis lõpptulemust oluliselt ei mõjuta ( matemaatiline mudel sisaldab tavaliselt palju väiksemat arvu tegureid kui tegelikkuses). Katseandmetele tuginedes püstitatakse hüpoteesid lõpptulemust väljendavate suuruste ja aruandesse sisse viidud tegurite vahelise seose kohta. matemaatiline mudel. Sellist suhet väljendavad sageli diferentsiaalsüsteemid osadiferentsiaalvõrrandid(näiteks tahke keha, vedeliku ja gaasi mehaanika ülesannetes, filtreerimise, soojusjuhtivuse teooria, elektrostaatiliste ja elektrodünaamiliste väljade teooria).

Selle etapi lõppeesmärk on matemaatilise ülesande sõnastamine, mille lahendamine väljendab vajaliku täpsusega spetsialistile huvi pakkuvaid tulemusi.

Esitluse vorm ja põhimõtted matemaatiline mudel oleneb paljudest teguritest.

Ehituspõhimõtete järgi matemaatilised mudelid jagatud:

1. analüütiline;
2. imitatsioon.

Analüütilistes mudelites on reaalsete objektide, protsesside või süsteemide toimimisprotsessid kirjutatud eksplitsiitse vormis. funktsionaalsed sõltuvused.

Analüütiline mudel jaguneb sõltuvalt matemaatilisest probleemist tüüpideks:

1. võrrandid (algebraline, transtsendentaalne, diferentsiaal, integraal),
2. lähendamise probleemid (interpoleerimine, ekstrapoleerimine, numbriline integreerimine ja eristamist),
3. optimeerimisprobleemid,
4. stohhastilised probleemid.

Kuna aga modelleerimisobjekt muutub keerukamaks, muutub analüütilise mudeli koostamine lahendamatuks probleemiks. Siis on uurija sunnitud kasutama simulatsiooni modelleerimine.

AT simulatsiooni modelleerimine objektide, protsesside või süsteemide toimimist kirjeldab algoritmide kogum. Algoritmid jäljendavad tegelikke elementaarseid nähtusi, mis moodustavad protsessi või süsteemi, säilitades samal ajal oma loogiline struktuur ja ajas järjestamine. Simulatsioon võimaldab hankida teavet lähteandmete kohta protsessi olekud või süsteemid teatud ajahetkedel, kuid objektide, protsesside või süsteemide käitumise ennustamine on siin keeruline. Võib öelda, et simulatsioonimudelid- need on arvutipõhised arvutuslikud katsed Koos matemaatilised mudelid, imiteerides reaalsete objektide, protsesside või süsteemide käitumist.

Olenevalt uuritavate reaalsete protsesside ja süsteemide olemusest matemaatilised mudelid võib olla:

1. deterministlik,
2. stohhastiline.

Deterministlikes mudelites eeldatakse, et juhuslikud mõjud puuduvad, mudeli elemendid (muutujad, matemaatilised seosed) on üsna hästi välja kujunenud ning süsteemi käitumist saab täpselt määrata. Deterministlike mudelite koostamisel kasutatakse kõige sagedamini algebralisi võrrandeid, integraalvõrrandeid, maatriksalgebrat.

Stohhastiline mudel võtab arvesse uuritavates objektides ja süsteemides toimuvate protsesside juhuslikkust, mida kirjeldatakse tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika meetoditega.

Sisendteabe tüübi järgi jagunevad mudelid:

1. pidev,
2. diskreetne.

Kui teave ja parameetrid on pidevad ning matemaatilised seosed on stabiilsed, on mudel pidev. Ja vastupidi, kui teave ja parameetrid on diskreetsed ning ühendused on ebastabiilsed, siis matemaatiline mudel- diskreetne.

Vastavalt mudelite käitumisele ajas jagatakse need järgmisteks osadeks:

1. staatiline,
2. dünaamiline.

Staatilised mudelid kirjeldavad objekti, protsessi või süsteemi käitumist mis tahes ajahetkel. Dünaamilised mudelid peegeldavad objekti, protsessi või süsteemi käitumist aja jooksul.

Vastavalt vastavusastmele vahel

MATEMAATILINE MUDEL - konkreetsetes teaduslikes teadmistes uuritud nähtuse või protsessi esitus matemaatiliste mõistete keeles. Samas eeldatakse, et mudeli tegelike matemaatiliste karakteristikute uurimise teel saadakse hulk uuritava nähtuse omadusi. Ehitus M.m. enamasti tingib vajadus uuritavate nähtuste ja protsesside kvantitatiivse analüüsi järele, ilma milleta on omakorda võimatu teha eksperimentaalselt kontrollitavaid prognoose nende kulgemise kohta.

Matemaatilise modelleerimise protsess läbib reeglina järgmisi etappe. Esimeses etapis loodi tulevase M.m. põhiparameetrite vahelised seosed. See puudutab eelkõige kvalitatiivne analüüs uuritavaid nähtusi ja peamisi uurimisobjekte seostavate mustrite sõnastamist. Selle põhjal tehakse kvantitatiivset kirjeldamist võimaldavate objektide identifitseerimine. Etapp lõpeb hüpoteetilise mudeli ehk teisisõnu matemaatiliste mõistete keeles kvalitatiivsete ideede ülesehitamisega mudeli põhiobjektide vaheliste suhete kohta, mida saab kvantitatiivselt iseloomustada.

Teises etapis toimub tegelike matemaatiliste probleemide uurimine, milleni konstrueeritud hüpoteetiline mudel viib. Peamine selles etapis on mudeli matemaatilise analüüsi tulemusena saada empiiriliselt kontrollitavad teoreetilised tagajärjed (otseprobleemi lahendus). Samas pole harvad juhud, kui ehitamiseks ja uurimiseks M.m. sisse erinevaid valdkondi konkreetselt- teaduslikud teadmised kasutatakse sama matemaatilist aparaati (näiteks diferentsiaalvõrrandid) ja tekivad sama tüüpi matemaatilised probleemid, kuigi igal konkreetsel juhul väga mittetriviaalsed. Lisaks on selles etapis kiire kasutamine arvutiteadus(Arvuti), mis võimaldab saada ligikaudse lahenduse probleemidele, mis on sageli puhta matemaatika raames võimatud, varem kättesaamatu (ilma arvutit kasutamata) täpsusastmega.

Kolmandat etappi iseloomustavad tegevused konstrueeritud hüpoteetilise M.m. adekvaatsusastme tuvastamiseks. need nähtused ja protsessid, mille uurimiseks see oli mõeldud. Nimelt püüavad teadlased juhul, kui kõik mudeli parameetrid on täpsustatud, välja selgitada, kuidas on vaatluste täpsuse piires nende tulemused kooskõlas mudeli teoreetiliste tagajärgedega. Hälbed, mis ületavad vaatluste täpsust, viitavad mudeli ebapiisavusele. Siiski on sageli juhtumeid, kui mudeli ehitamisel jäävad mitmed selle parameetrid muutumatuks.

tähtajatu. Pöördülesanneteks nimetatakse ülesandeid, mille puhul mudeli parameetrilised karakteristikud on paika pandud nii, et teoreetilised tagajärjed on vaatluste täpsuse piires võrreldavad empiiriliste testide tulemustega.

Neljandas etapis, võttes arvesse konstrueeritud hüpoteetilise mudeli adekvaatsusastme tuvastamist ja uute eksperimentaalsete andmete tekkimist uuritavate nähtuste kohta, toimub mudeli hilisem analüüs ja modifitseerimine. Siin varieerub tehtud otsus rakendatud matemaatiliste vahendite tingimusteta tagasilükkamisest kuni konstrueeritud mudeli kasutuselevõtmiseni põhimõtteliselt uue teadusliku teooria konstrueerimise alusena.

Esimene M.m. ilmus antiikteaduses. Niisiis andis Kreeka matemaatik ja astronoom Eudoxus päikesesüsteemi modelleerimiseks igale planeedile neli sfääri, mille liikumise kombinatsioon moodustas jõehobu – planeedi vaadeldud liikumisega sarnase matemaatilise kõvera. Kuna see mudel aga ei suutnud seletada kõiki planeetide liikumises täheldatud anomaaliaid, asendati see hiljem Perge Apolloniuse epitsüklilise mudeliga. Hipparkhos kasutas oma õpingutes uusimat mudelit ja seejärel Ptolemaios, muutes seda. See mudel, nagu ka tema eelkäijad, põhines veendumusel, et planeedid teevad ühtlaseid ringliigutusi, mille kattumine selgitas ilmseid ebakorrapärasusi. Samas tuleb märkida, et Koperniku mudel oli põhimõtteliselt uus ainult kvalitatiivses mõttes (aga mitte M.M.-na). Ja ainult Kepler ehitas Tycho Brahe tähelepanekute põhjal uue M.m. Päikesesüsteem, mis tõestab, et planeedid ei liigu mitte ringikujulistel, vaid elliptilistel orbiitidel.

Praegu on kõige adekvaatsemad MM-id, mis on konstrueeritud mehaaniliste ja füüsikaliste nähtuste kirjeldamiseks. M.m. piisavuse kohta. väljaspool füüsikat võib mõne erandiga rääkida üsna ettevaatlikult. Sellegipoolest fikseerides hüpoteetilisuse ja sageli ka lihtsalt ebaadekvaatsuse M.m. erinevates teadmiste valdkondades ei tohiks alahinnata nende rolli teaduse arengus. Sageli on juhtumeid, kus isegi kaugeltki mitte adekvaatsed mudelid, mis olid suures osas organiseeritud ja edasist uurimist stimuleerinud, sisaldasid koos ekslike järeldustega neid tõeterasid, mis õigustasid täielikult nende mudelite väljatöötamiseks tehtud jõupingutusi.

Kirjandus:

Matemaatika modelleerimine. M., 1979;

Ruzavin G.I. Teaduslike teadmiste matematiseerimine. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferentsiaalvõrrandid ökoloogias: ajalooline ja metodoloogiline peegeldus // Loodusteaduste ja tehnoloogia ajaloo probleemid. 1997. nr 3.

Filosoofiliste terminite sõnastik. Teaduslik väljaanne professor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, lk. 310-311.

Sovetovi ja Jakovlevi õpiku järgi: "mudel (lat. moodul - mõõt) on algse objekti asendusobjekt, mis võimaldab uurida originaali mõningaid omadusi." (lk 6) "Modelleerimiseks nimetatakse ühe objekti asendamist teisega eesmärgiga saada mudelobjekti abil teavet algse objekti olulisemate omaduste kohta." (lk 6) „Matemaatilise modelleerimise all mõistame mingi matemaatilise objekti, mida nimetatakse matemaatiliseks mudeliks, antud reaalobjektile vastavuse loomise protsessi ja selle mudeli uurimist, mis võimaldab saada vaadeldava reaalobjekti tunnuseid. . Matemaatilise mudeli tüüp sõltub nii reaalse objekti olemusest kui ka objekti uurimise ülesannetest ning selle ülesande lahendamise nõutavast usaldusväärsusest ja täpsusest.

Lõpuks matemaatilise mudeli kõige täpsem määratlus: "Ideed väljendav võrrand."

Mudelite klassifikatsioon

Mudelite formaalne klassifikatsioon

Mudelite formaalne klassifikatsioon põhineb kasutatavate matemaatiliste tööriistade klassifikatsioonil. Sageli ehitatud dihhotoomiatena. Näiteks üks populaarsemaid dihhotoomiate komplekte on:

ja nii edasi. Iga konstrueeritud mudel on lineaarne või mittelineaarne, deterministlik või stohhastiline, ... Loomulikult on võimalikud ka segatüübid: kontsentreeritud ühes suhtes (parameetrite poolest), hajutatud mudelid teises jne.

Klassifikatsioon objekti esitusviisi järgi

Koos formaalse klassifikatsiooniga erinevad mudelid objekti esitusviisi poolest:

• Struktuursed või funktsionaalsed mudelid

Struktuurimudelid kujutavad objekti kui süsteemi, millel on oma seade ja toimiv mehhanism. Funktsionaalsed mudelid selliseid esitusi ei kasuta ja peegeldavad ainult objekti väliselt tajutavat käitumist (toimimist). Äärmuslikus väljenduses nimetatakse neid ka "mustade kastide" mudeliteks. Võimalikud on ka kombineeritud mudelitüübid, mida mõnikord nimetatakse "halli kasti" mudeliteks.

Sisu- ja vormimudelid

Peaaegu kõik matemaatilise modelleerimise protsessi kirjeldavad autorid viitavad sellele, et kõigepealt ehitatakse spetsiaalne mudel. täiuslik disain, sisu mudel. Siin puudub väljakujunenud terminoloogia ja teised autorid nimetavad seda ideaalobjektiks kontseptuaalne mudel , spekulatiivne mudel või eelmudel. Sel juhul nimetatakse lõplikku matemaatilist konstruktsiooni formaalne mudel või lihtsalt selle sisumudeli (eelmudeli) formaliseerimise tulemusena saadud matemaatiline mudel. Sisulise mudeli saab ehitada valmis idealiseeringute komplekti kasutades nagu mehaanikas, kus ideaalsed vedrud, jäigad kehad, ideaalsed pendlid, elastsed kandjad jne annavad valmis konstruktsioonielemendid mõtestatud modelleerimiseks. Kuid teadmiste valdkondades, kus puuduvad täielikult lõpetatud formaliseeritud teooriad (füüsika, bioloogia, majanduse, sotsioloogia, psühholoogia ja enamiku muude valdkondade tipptasemel), on tähenduslike mudelite loomine oluliselt keerulisem.

Mudelite sisukas klassifitseerimine

Ühtegi teaduslikku hüpoteesi ei saa lõplikult tõestada. Richard Feynman sõnastas selle väga selgelt:

"Meil on alati võimalus teooriat ümber lükata, kuid pange tähele, et me ei saa kunagi tõestada, et see on õige. Oletame, et esitate eduka hüpoteesi, arvutate, kuhu see viib, ja leiate, et kõik selle tagajärjed on eksperimentaalselt kinnitatud. Kas see tähendab, et teie teooria on õige? Ei, see tähendab lihtsalt, et te ei suutnud seda ümber lükata.

Kui ehitatakse esimest tüüpi mudel, tähendab see, et see tunnistatakse ajutiselt tõeseks ja saab keskenduda muudele probleemidele. Kuid see ei saa olla uurimistöö punkt, vaid ainult ajutine paus: esimest tüüpi mudeli staatus saab olla ainult ajutine.

Tüüp 2: Fenomenoloogiline mudel (käituda nagu…)

Fenomenoloogiline mudel sisaldab nähtuse kirjeldamise mehhanismi. See mehhanism ei ole aga piisavalt veenev, seda ei saa piisavalt kinnitada olemasolevate andmetega või ei ühti hästi olemasolevate teooriate ja objekti kohta kogunenud teadmistega. Seetõttu on fenomenoloogilistel mudelitel ajutiste lahenduste staatus. Arvatakse, et vastus on siiani teadmata ja tuleb jätkata "tõeliste mehhanismide" otsimist. Teisele tüübile viitab Peierls näiteks elementaarosakeste kalorimudelile ja kvargimudelile.

Mudeli roll uurimistöös võib ajas muutuda, võib juhtuda, et uued andmed ja teooriad kinnitavad fenomenoloogilisi mudeleid ning need tõusevad hüpoteesi staatusesse. Samuti võivad uued teadmised järk-järgult sattuda vastuollu esimest tüüpi mudelite-hüpoteesidega ja kanduda üle teisele. Seega liigub kvargimudel järk-järgult hüpoteeside kategooriasse; atomism füüsikas tekkis ajutise lahendusena, kuid ajaloo jooksul läks see üle esimesse tüüpi. Kuid eetrimudelid on läinud tüübist 1 tüübiks 2 ja nüüd on need teadusest väljaspool.

Lihtsustamise idee on mudelite ehitamisel väga populaarne. Kuid lihtsustamine on erinev. Peierls eristab modelleerimisel kolme tüüpi lihtsustusi.

Tüüp 3: Lähendamine (midagi peetakse väga suureks või väga väikeseks)

Kui uuritavat süsteemi kirjeldavaid võrrandeid on võimalik konstrueerida, ei tähenda see, et neid saaks lahendada kasvõi arvuti abil. Levinud tehnika on sel juhul lähenduste kasutamine (3. tüüpi mudelid). Nende hulgas lineaarsed reaktsioonimudelid. Võrrandid asendatakse lineaarsetega. Tavaline näide on Ohmi seadus.

Ja siin on tüüp 8, mida kasutatakse laialdaselt bioloogiliste süsteemide matemaatilistes mudelites.

Tüüp 8: Võimaluse demonstratsioon (peamine on näidata võimaluse sisemist järjepidevust)

Need on ka mõttekatsed kujuteldavate üksustega, mis näitavad seda oletatav nähtus põhiprintsiipidega kooskõlas ja sisemiselt kooskõlas. See on peamine erinevus 7. tüüpi mudelitest, mis paljastavad varjatud vastuolud.

Üks kuulsamaid neist katsetest on Lobatševski geomeetria (Lobatševski nimetas seda "kujuteldavaks geomeetriaks"). Teine näide on keemiliste ja bioloogiliste võnkumiste, autolainete jne formaalselt kineetiliste mudelite masstootmine. Einsteini-Podolsky-Roseni paradoks loodi 7. tüüpi mudelina, et demonstreerida kvantmehaanika ebajärjekindlust. Täiesti planeerimata kujul muutus see lõpuks 8. tüüpi mudeliks – teabe kvantteleportatsiooni võimaluse demonstreerimiseks.

Näide

Mõelge mehaanilisele süsteemile, mis koosneb ühes otsas kinnitatud vedrust ja massikoormusest m kinnitatud vedru vaba otsa külge. Eeldame, et koormus saab liikuda ainult vedrutelje suunas (näiteks liikumine toimub piki varda). Koostame selle süsteemi matemaatilise mudeli. Kirjeldame süsteemi olekut kauguse järgi x koormuse keskpunktist selle tasakaaluasendisse. Kirjeldame vedru ja koormuse vastasmõju Hooke'i seadus (F = − kx ), mille järel kasutame Newtoni teist seadust selle väljendamiseks diferentsiaalvõrrandi kujul:

kus tähendab teist tuletist x aja järgi: .

Saadud võrrand kirjeldab vaadeldava füüsilise süsteemi matemaatilist mudelit. Seda mustrit nimetatakse "harmooniliseks ostsillaatoriks".

Formaalse klassifikatsiooni järgi on see mudel lineaarne, deterministlik, dünaamiline, kontsentreeritud, pidev. Selle koostamise käigus tegime palju eeldusi (välisjõudude puudumise, hõõrdumise puudumise, kõrvalekallete väiksuse jms kohta), mis tegelikkuses ei pruugi täituda.

Reaalsuse suhtes on see enamasti 4. tüüpi mudel. lihtsustamine(„selguse huvides jätame mõned üksikasjad välja”), kuna mõned olulised universaalsed tunnused (näiteks hajumine) on välja jäetud. Mõnes lähenduses (näiteks kui koormuse kõrvalekalle tasakaalust on väike, vähese hõõrdumisega, mitte liiga pika aja jooksul ja teatud muudel tingimustel) kirjeldab selline mudel päris mehaanilist süsteemi päris hästi, kuna kõrvale jäetud tegurid avaldavad selle käitumisele tühist mõju. Mudelit saab siiski täpsustada, võttes arvesse mõnda neist teguritest. See toob kaasa uue mudeli, millel on laiem (kuigi jällegi piiratud) ulatus.

Kui aga mudelit täpsustada, võib selle matemaatilise uuringu keerukus oluliselt suureneda ja muuta mudeli praktiliselt kasutuks. Sageli võimaldab lihtsam mudel paremini ja sügavamalt uurida tegelikku süsteemi kui keerulisem (ja formaalselt "õigem").

Kui rakendame harmoonilise ostsillaatori mudelit objektidele, mis on füüsikast kaugel, võib selle tähenduslik olek olla erinev. Näiteks kui seda mudelit bioloogilistele populatsioonidele rakendada, tuleks see suure tõenäosusega omistada tüübile 6 analoogia("Võtkem arvesse ainult mõningaid funktsioone").

Kõvad ja pehmed mudelid

Harmooniline ostsillaator on näide niinimetatud "kõvast" mudelist. See saadakse reaalse füüsilise süsteemi tugeva idealiseerimise tulemusena. Selle kohaldatavuse probleemi lahendamiseks on vaja mõista, kui olulised on need tegurid, mille oleme tähelepanuta jätnud. Teisisõnu on vaja uurida "pehmet" mudelit, mis saadakse "kõva" väikese häirimisega. Selle võib anda näiteks järgmise võrrandiga:

Siin - mõni funktsioon, mis võib võtta arvesse hõõrdejõudu või vedru jäikusteguri sõltuvust selle venitusastmest - mõni väike parameeter. Funktsiooni selgesõnaline vorm f meid ei huvita hetkel. Kui tõestame, et pehme mudeli käitumine ei erine põhimõtteliselt kõva mudeli käitumisest (olenemata häirivate tegurite selgesõnalisest vormist, kui need on piisavalt väikesed), taandub probleem kõva mudeli uurimisele. Vastasel juhul nõuab jäiga mudeli uurimisel saadud tulemuste rakendamine täiendavaid uuringuid. Näiteks harmoonilise ostsillaatori võrrandi lahenduseks on funktsioonid kujul , st konstantse amplituudiga võnkumised. Kas sellest järeldub, et tõeline ostsillaator võngub lõputult konstantse amplituudiga? Ei, sest arvestades suvaliselt väikese hõõrdumisega süsteemi (reaalses süsteemis alati olemas), saame summutatud võnkumisi. Süsteemi käitumine on kvalitatiivselt muutunud.

Kui süsteem säilitab oma kvalitatiivse käitumise väikese häire korral, siis öeldakse, et see on struktuurselt stabiilne. Harmooniline ostsillaator on struktuurselt ebastabiilse (mittekareda) süsteemi näide. Seda mudelit saab aga kasutada protsesside uurimiseks piiratud ajavahemike jooksul.

Mudelite universaalsus

Kõige olulisematel matemaatilistel mudelitel on tavaliselt oluline omadus universaalsus: põhimõtteliselt erinevaid reaalseid nähtusi saab kirjeldada sama matemaatilise mudeliga. Näiteks harmooniline ostsillaator ei kirjelda mitte ainult vedrule avalduva koormuse käitumist, vaid ka muid võnkeprotsesse, mis on sageli täiesti erineva iseloomuga: pendli väikesed võnked, vedeliku taseme kõikumised U-kujuline anum või voolutugevuse muutus võnkeahelas. Seega üht matemaatilist mudelit uurides uurime korraga tervet klassi selle poolt kirjeldatud nähtusi. Just see matemaatiliste mudelitega väljendatud seaduste isomorfism erinevates teaduslike teadmiste segmentides viis Ludwig von Bertalanffy "Üldise süsteemiteooria" loomiseni.

Matemaatilise modelleerimise otse- ja pöördprobleemid

Matemaatilise modelleerimisega on seotud palju probleeme. Esiteks on vaja välja mõelda modelleeritava objekti põhiskeem, reprodutseerida see selle teaduse idealisatsioonide raames. Niisiis muutub rongivagun plaatide ja keerukamate kerede süsteemiks erinevad materjalid, määratakse iga materjal selle standardse mehaanilise idealiseerimisena (tihedus, elastsusmoodulid, standardsed tugevuskarakteristikud), mille järel koostatakse võrrandid, mille käigus jäetakse mõned detailid ebaolulisteks, tehakse arvutused, võrreldakse mõõtmistega, täpsustatakse mudelit, ja nii edasi. Kuid matemaatilise modelleerimise tehnoloogiate arendamiseks on kasulik see protsess lahti võtta selle peamisteks koostisosadeks.

Traditsiooniliselt on matemaatiliste mudelitega seotud kaks peamist probleemide klassi: otsene ja pöördvõrdeline.

Otsene probleem: mudeli struktuur ja kõik selle parameetrid loetakse teadaolevaks, põhiülesanne on mudeli uurimine, et ammutada objekti kohta kasulikke teadmisi. Mida staatiline koormus kas sild peab vastu? Kuidas see reageerib dünaamilisele koormusele (näiteks sõdurite kompanii marssile või erineva kiirusega rongi läbimisele), kuidas lennuk ületab helibarjääri, kas see kukub laperdamisest laiali - need on tüüpilised näited otsesest ülesandest. Õige otsese probleemi püstitamine (õige küsimuse esitamine) nõuab erioskusi. Kui õigeid küsimusi ei esitata, võib sild kokku kukkuda ka siis, kui see ehitati. hea mudel tema käitumise eest. Nii varises 1879. aastal Inglismaal kokku üle Tey jõe metallist sild, mille projekteerijad ehitasid silla mudeli, arvutasid selle kasuliku koormuse 20-kordseks ohutusvaruks, kuid unustasid neis pidevalt puhuvad tuuled. kohad. Ja pooleteise aasta pärast kukkus see kokku.

Lihtsamal juhul (näiteks üks ostsillaatori võrrand) on otsene probleem väga lihtne ja taandub selle võrrandi eksplitsiitseks lahendiks.

Pöördprobleem: teada on palju võimalikke mudeleid, tuleb valida konkreetne mudel, lähtudes objekti kohta käivatest lisaandmetest. Enamasti on mudeli struktuur teada ja tuleb määrata mõned tundmatud parameetrid. Lisainformatsioon võib koosneda täiendavatest empiirilistest andmetest või objektile esitatavatest nõuetest ( projekteerimisülesanne). Täiendavad andmed võivad tulla olenemata pöördülesande lahendamise protsessist ( passiivne vaatlus) või olla lahenduse käigus spetsiaalselt kavandatud eksperimendi tulemus ( aktiivne jälgimine).

Üks esimesi näiteid pöördprobleemi virtuoosse lahenduse kohta olemasolevate andmete võimalikult täieliku kasutamisega oli I. Newtoni konstrueeritud meetod hõõrdejõudude rekonstrueerimiseks vaadeldavate summutatud võnkumiste põhjal.

Täiendavad näited

kus x s- "tasakaalu" populatsiooni suurus, mille puhul sündimust kompenseerib täpselt suremus. Sellise mudeli populatsiooni suurus kaldub tasakaaluväärtusele x s, ja see käitumine on struktuurselt stabiilne.

Sellel süsteemil on tasakaaluseisund, kus küülikute ja rebaste arv on konstantne. Sellest olekust kõrvalekaldumine toob kaasa jäneste ja rebaste arvu kõikumised, mis on sarnased harmoonilise ostsillaatori kõikumisega. Sarnaselt harmoonilise ostsillaatoriga ei ole see käitumine struktuurselt stabiilne: väike muudatus mudelis (näiteks võttes arvesse küülikutele vajalikke piiratud ressursse) võib viia käitumise kvalitatiivse muutuseni. Näiteks võib tasakaaluseisund muutuda stabiilseks ja rahvastiku kõikumised taanduvad. Võimalik on ka vastupidine olukord, kus iga väike kõrvalekaldumine tasakaaluasendist toob kaasa katastroofilised tagajärjed kuni ühe liigi täieliku väljasuremiseni. Küsimusele, milline neist stsenaariumitest realiseerub, Volterra-Lotka mudel vastust ei anna: siin on vaja täiendavaid uuringuid.

Märkmed

1. "Reaalsuse matemaatiline esitus" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Küberneetilise modelleerimise filosoofilistest küsimustest. M., Teadmised, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Süsteemide modelleerimine: Proc. ülikoolidele - 3. väljaanne, parandatud. ja täiendav - M.: Kõrgem. kool, 2001. - 343 lk. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihhailov A. P. Matemaatika modelleerimine. Ideed. meetodid. Näited. . - 2. väljaanne, Rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Matemaatiliste mudelite teooria elemendid. - 3. väljaanne, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 koos ISBN-ga 978-5-484-00953-4
6. Vikisõnastik: matemaatilised mudelid
7. Cliffs Notes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berliin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 lk. ISBN 3-540-35885-4
9. „Teooriat peetakse lineaarseks või mittelineaarseks, olenevalt sellest, millist – lineaarset või mittelineaarset – matemaatilist aparaati, milliseid – lineaarseid või mittelineaarseid – matemaatilisi mudeleid see kasutab. ... viimast eitamata. Kaasaegne füüsik, kui ta juhtuks ümber defineerima nii olulise olemi nagu mittelineaarsus, käituks tõenäoliselt teisiti ja eelistaks mittelineaarsust kui olulisemat ja ühisemat kahest vastandist, määratleks lineaarsuse kui "mittelineaarsus". lineaarsus". Danilov Yu.A., Loengud mittelineaarsest dünaamikast. Elementaarne tutvustus. Sünergia: minevikust tulevikusarjani. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 lk. ISBN 5-484-00183-8
10. « Dünaamilised süsteemid, mis on modelleeritud piiratud arvu tavaliste diferentsiaalvõrranditega, nimetatakse liit- või punktsüsteemideks. Neid kirjeldatakse piiratud mõõtmelise faasiruumi abil ja neid iseloomustab piiratud arv vabadusastmeid. Ühte ja sama süsteemi erinevates tingimustes võib pidada kas kontsentreeritud või hajusateks. Jaotatud süsteemide matemaatilised mudelid on osadiferentsiaalvõrrandid, integraalvõrrandid või tavalised viitevõrrandid. Hajutatud süsteemi vabadusastmete arv on lõpmatu ja selle oleku määramiseks on vaja lõpmatu arvu andmeid. Aništšenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, nr 11, lk. 77-84.
11. «Sõltuvalt uuritavate protsesside olemusest süsteemis S võib kõik modelleerimise tüübid jagada deterministlikuks ja stohhastiliseks, staatiliseks ja dünaamiliseks, diskreetseks, pidevaks ja diskreet-pidevaks. Deterministlik modelleerimine kuvab deterministlikke protsesse, st protsesse, mille puhul eeldatakse juhuslike mõjude puudumist; Stohhastiline modelleerimine kuvab tõenäosuslikke protsesse ja sündmusi. … Staatilist modelleerimist kasutatakse objekti käitumise kirjeldamiseks igal ajahetkel, samas kui dünaamiline modelleerimine peegeldab objekti käitumist aja jooksul. Diskreetse modelleerimise ülesandeks on kirjeldada protsesse, mida eeldatakse diskreetseteks, vastavalt pidev modelleerimine võimaldab kajastada pidevaid protsesse süsteemides ning diskreet-pidevat modelleerimist kasutatakse juhtudel, kui soovitakse esile tõsta nii diskreetsete kui ka pidevate protsesside olemasolu. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Süsteemide modelleerimine: Proc. ülikoolidele - 3. väljaanne, parandatud. ja täiendav - M.: Kõrgem. kool, 2001. - 343 lk. ISBN 5-06-003860-2
12. Tavaliselt kajastab matemaatiline mudel modelleeritava objekti struktuuri (paigutust), selle objekti komponentide omadusi ja omavahelisi seoseid, mis on uuringu eesmärkidel olulised; sellist mudelit nimetatakse struktuurseks. Kui mudel peegeldab ainult seda, kuidas objekt funktsioneerib – näiteks kuidas see reageerib välismõjudele –, siis nimetatakse seda funktsionaalseks ehk piltlikult öeldes mustaks kastiks. Võimalikud on ka kombineeritud mudelid. Myshkis A.D., Matemaatiliste mudelite teooria elemendid. - 3. väljaanne, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 koos ISBN-ga 978-5-484-00953-4
13. "Ilmne, kuid oluline Esimene aste matemaatilise mudeli ehitamine või valimine on modelleeritavast objektist võimalikult selge ettekujutuse saamine ja selle sisumudeli selgitamine mitteametlike arutelude põhjal. Selles etapis ei tohiks säästa aega ja vaeva, sellest sõltub suuresti kogu uuringu edu. Rohkem kui üks kord juhtus, et matemaatilise ülesande lahendamisele kulunud märkimisväärne töö osutus ebaefektiivseks või koguni raisku, kuna asja sellele poolele ei pööratud piisavalt tähelepanu. Myshkis A.D., Matemaatiliste mudelite teooria elemendid. - 3. väljaanne, Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 koos ISBN-ga 978-5-484-00953-4, lk. 35.
14. « Süsteemi kontseptuaalse mudeli kirjeldus. Süsteemimudeli loomise selles alamfaasis: a) kontseptuaalset mudelit M kirjeldatakse abstraktsete terminite ja mõistetega; b) mudeli kirjeldus antakse tüüpiliste matemaatiliste skeemide abil; c) hüpoteesid ja eeldused aktsepteeritakse lõpuks; d) on põhjendatud reaalsete protsesside lähendamise protseduuri valik mudeli koostamisel. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Süsteemide modelleerimine: Proc. ülikoolidele - 3. väljaanne, parandatud. ja täiendav - M.: Kõrgem. kool, 2001. - 343 lk. ISBN 5-06-003860-2, lk. 93.

Teie tähelepanu juhitud artiklis pakume näiteid matemaatiliste mudelite kohta. Lisaks pöörame tähelepanu mudelite loomise etappidele ja analüüsime mõningaid matemaatilise modelleerimisega seotud probleeme.

Teine meie teema on majandusteaduse matemaatilised mudelid, mille näiteid käsitleme definitsioonina veidi hiljem. Teeme ettepaneku alustada vestlust "mudeli" mõistega, kaaluda lühidalt nende klassifikatsiooni ja liikuda edasi meie põhiküsimuste juurde.

Mõiste "mudel"

Sageli kuuleme sõna "mudel". Mis see on? Sellel terminil on palju määratlusi, siin on neist vaid kolm:

• konkreetne objekt, mis on loodud teabe vastuvõtmiseks ja säilitamiseks, peegeldades selle objekti originaali mõningaid omadusi või omadusi jne (seda konkreetset objekti saab väljendada erinevates vormides: mentaalne, märkide abil kirjeldus jne);
• mudel tähendab ka mis tahes konkreetse olukorra, elu või juhtimise kuvamist;
• Mudelina võib kasutada objekti väikest koopiat (need luuakse üksikasjalikumaks uurimiseks ja analüüsiks, kuna mudel peegeldab struktuuri ja seoseid).

Kõige varem öeldu põhjal võime teha väikese järelduse: mudel võimaldab üksikasjalikult uurida keerulist süsteemi või objekti.

Kõiki mudeleid saab liigitada mitmete omaduste järgi:

• kasutusala järgi (hariduslik, eksperimentaalne, teaduslik ja tehniline, mängimine, simulatsioon);
• dünaamika järgi (staatiline ja dünaamiline);
• teadmiste harude kaupa (füüsikalised, keemilised, geograafilised, ajaloolised, sotsioloogilised, majanduslikud, matemaatilised);
• vastavalt esitlusviisile (materiaalne ja informatiivne).

Infomudelid jagunevad omakorda märgilisteks ja verbaalseteks. Ja ikooniline – nii arvutis kui ka mitte arvutis. Liigume nüüd matemaatilise mudeli näidete üksikasjaliku käsitlemise juurde.

Matemaatiline mudel

Nagu võite arvata, peegeldab matemaatiline mudel objekti või nähtuse mõningaid omadusi spetsiaalsete matemaatilisi sümboleid kasutades. Matemaatika on vajalik selleks, et modelleerida maailma seadusi omas keeles.

Matemaatilise modelleerimise meetod tekkis üsna kaua aega tagasi, tuhandeid aastaid tagasi koos selle teaduse tulekuga. Küll aga tõuke arenguks seda meetodit modelleerimisel tekkisid arvutid (elektroonilised arvutid).

Liigume nüüd klassifikatsiooni juurde. Seda saab läbi viia ka teatud märkide järgi. Need on esitatud allolevas tabelis.

Teeme ettepaneku peatuda ja viimast klassifikatsiooni lähemalt vaadata, nagu see peegeldab üldised mustrid modelleerimine ja loodud mudelite eesmärk.

Kirjeldavad mudelid

Selles peatükis teeme ettepaneku peatuda üksikasjalikumalt kirjeldavatel matemaatilistel mudelitel. Et kõik oleks väga selge, tuuakse näide.

Alustuseks võib seda vaadet nimetada kirjeldavaks. See on tingitud sellest, et me teeme lihtsalt arvutusi ja prognoose, kuid me ei saa kuidagi mõjutada sündmuse tulemust.

Kirjeldava matemaatilise mudeli ilmekas näide on meie päikesesüsteemi avarustesse tunginud komeedi lennutrajektoori, kiiruse, kauguse arvutamine Maast. See mudel on kirjeldav, kuna kõik saadud tulemused võivad meid hoiatada ainult mingi ohu eest. Kahjuks ei saa me sündmuse tulemust mõjutada. Saadud arvutuste põhjal on aga võimalik võtta mis tahes meetmeid elu säilitamiseks Maal.

Optimeerimismudelid

Nüüd räägime veidi majanduslikest ja matemaatilistest mudelitest, mille näideteks võivad olla erinevad olukorrad. Sel juhul me räägime mudelite kohta, mis aitavad teatud tingimustel õige vastuse leida. Neil peavad olema teatud parameetrid. Et see oleks väga selge, vaadake näidet põllumajanduslikust osast.

Meil on ait, aga vili rikneb väga kiiresti. Sel juhul peame valima õige temperatuuri režiim ja optimeerida salvestusprotsessi.

Seega saame defineerida mõiste "optimeerimismudel". Matemaatilises mõttes on see võrrandisüsteem (nii lineaarne kui ka mitte), mille lahendamine aitab leida optimaalse lahenduse konkreetses majandusolukorras. Oleme käsitlenud näidet matemaatilisest mudelist (optimiseerimine), kuid lisaksin veel ühe asja: see tüüp kuulub äärmuslike probleemide klassi, need aitavad kirjeldada majandussüsteemi toimimist.

Märgime veel ühte nüanssi: mudelid võivad kanda erinev iseloom(vt allolevat tabelit).

Mitme kriteeriumi mudelid

Nüüd kutsume teid veidi rääkima multiobjektiivse optimeerimise matemaatilisest mudelist. Enne seda tõime näite matemaatilisest mudelist protsessi optimeerimiseks ükskõik millise kriteeriumi järgi, aga mis siis, kui neid on palju?

Ilmekas näide mitmekriteeriumilisest ülesandest on suurte inimrühmade õige, tervisliku ja samal ajal säästliku toitumise korraldamine. Selliseid ülesandeid tuleb sageli ette sõjaväes, koolisööklates, suvelaagrites, haiglates ja nii edasi.

Millised kriteeriumid on meile antud ülesande täitmisel?

1. Toit peaks olema tervislik.
2. Toidukulud peaksid olema minimaalsed.

Nagu näete, ei lange need eesmärgid üldse kokku. See tähendab, et probleemi lahendamisel tuleb otsida optimaalset lahendust, tasakaalu kahe kriteeriumi vahel.

Mängu mudelid

Mängumudelitest rääkides on vaja mõista mõistet "mänguteooria". Lihtsamalt öeldes peegeldavad need mudelid tõeliste konfliktide matemaatilisi mudeleid. Tasub vaid mõista, et erinevalt tõelisest konfliktist on mängu matemaatilisel mudelil oma kindlad reeglid.

Nüüd annan minimaalselt teavet mänguteooriast, mis aitab teil mõista, mis on mängumudel. Ja nii on mudelis tingimata peod (kaks või enam), mida tavaliselt nimetatakse mängijateks.

Kõigil mudelitel on teatud omadused.

Mängumudel võib olla paaris või mitu. Kui meil on kaks subjekti, siis on konflikt paaris, kui rohkem - mitu. Eristada saab ka antagonistlikku mängu, seda nimetatakse ka nullsummamänguks. See on mudel, milles ühe osaleja kasu on võrdne teise kaotusega.

simulatsioonimudelid

AT see jaotis pöörame tähelepanu simulatsiooni matemaatilistele mudelitele. Ülesannete näited on järgmised:

• mikroorganismide arvukuse dünaamika mudel;
• molekulaarse liikumise mudel jne.

Sel juhul räägime mudelitest, mis on võimalikult lähedased reaalsetele protsessidele. Kõrval suures plaanis, jäljendavad nad mis tahes ilminguid looduses. Esimesel juhul saame näiteks modelleerida sipelgate arvukuse dünaamikat ühes koloonias. Sel juhul saate jälgida iga inimese saatust. Sel juhul kasutatakse matemaatilist kirjeldust harva, sagedamini on kirjalikud tingimused:

• viie päeva pärast muneb emane mune;
• kahekümne päeva pärast sipelgas sureb jne.

Seega kasutatakse neid suure süsteemi kirjeldamiseks. Matemaatiline järeldus on saadud statistiliste andmete töötlemine.

Nõuded

On väga oluline teada, mida seda liiki mudelitel on teatud nõuded, mille hulgas on need, mis on toodud allolevas tabelis.

Modelleerimise etapid

Kokku on matemaatilises modelleerimises tavaks eristada nelja etappi.

1. Mudeli osi siduvate seaduste formuleerimine.
2. Matemaatiliste probleemide uurimine.
3. Praktiliste ja teoreetiliste tulemuste kokkulangevuse väljaselgitamine.
4. Mudeli analüüs ja moderniseerimine.

Majanduslik ja matemaatiline mudel

Selles jaotises tõstame probleemi lühidalt esile. Ülesannete näited võivad olla järgmised:

• lihatoodete tootmise tootmisprogrammi kujundamine, pakkumine maksimaalne kasum tootmine;
• organisatsiooni kasumi maksimeerimine, arvutades välja optimaalse tootatavate laudade ja toolide arvu mööblivabrik, ja nii edasi.

Majanduslik-matemaatiline mudel näitab majanduslikku abstraktsiooni, mida väljendatakse matemaatiliste terminite ja märkide abil.

Arvuti matemaatiline mudel

Arvuti matemaatilise mudeli näited on järgmised:

• hüdraulilised ülesanded, kasutades vooskeemi, diagramme, tabeleid ja nii edasi;
• tahke mehaanika probleemid ja nii edasi.

Arvutimudel on objekti või süsteemi kujutis, mis on esitatud järgmiselt:

• lauad;
• plokkskeemid;
• diagrammid;
• graafika ja nii edasi.

Samas peegeldab see mudel süsteemi ülesehitust ja omavahelisi seoseid.

Majandusliku ja matemaatilise mudeli loomine

Oleme juba rääkinud sellest, mis on majanduslik-matemaatiline mudel. Praegu kaalutakse probleemi lahendamise näidet. Peame analüüsima tootmisprogrammi, et tuvastada reserv kasumi suurendamiseks koos sortimendi nihkega.

Me ei käsitle probleemi täielikult, vaid loome ainult majandusliku ja matemaatilise mudeli. Meie ülesande kriteeriumiks on kasumi maksimeerimine. Siis on funktsioonil vorm: Л=р1*х1+р2*х2… kaldub maksimumini. Selles mudelis on p kasum ühiku kohta, x on toodetud ühikute arv. Edasi on konstrueeritud mudeli põhjal vaja teha arvutused ja teha kokkuvõte.

Näide lihtsa matemaatilise mudeli ehitamisest

Ülesanne. Kalur naasis järgmise saagiga:

• 8 kala - põhjamere elanikud;
• 20% saagist - lõunamere elanikud;
• kohalikust jõest ei leitud ainsatki kala.

Mitu kala ta poest ostis?

Niisiis, selle probleemi matemaatilise mudeli koostamise näide on järgmine. Me määrame kokku kala x Tingimust järgides on lõunapoolsetel laiuskraadidel elavate kalade arv 0,2x. Nüüd ühendame kogu olemasoleva teabe ja saame ülesande matemaatilise mudeli: x=0,2x+8. Lahendame võrrandi ja saame vastuse põhiküsimusele: ta ostis poest 10 kala.