Gaussi meetodi rakendamine. Gaussi meetod (tundmatute järjestikune välistamine)

Käesolevas artiklis käsitletakse meetodit süsteemide lahendamise viisina lineaarvõrrandid(SLAU). Meetod on analüütiline, st võimaldab kirjutada sisse lahendusalgoritmi üldine vaade ja seejärel asendage väärtused seal konkreetsetest näidetest. Erinevalt maatriksmeetodist või Crameri valemitest saab Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel töötada ka nendega, millel on lõpmatult palju lahendeid. Või pole neil seda üldse.

Mida Gauss tähendab

Kõigepealt peate kirjutama meie võrrandisüsteemi jaotisesse See näeb välja selline järgmisel viisil. Süsteem võetakse:

Koefitsiendid on kirjutatud tabeli kujul ja paremal eraldi veerus - vabaliikmed. Vabaliikmetega veerg on mugavuse huvides eraldatud Seda veergu sisaldavat maatriksit nimetatakse laiendatud.

Lisaks tuleb koefitsientidega põhimaatriks taandada ülemise kolmnurga kujuliseks. See on süsteemi Gaussi meetodil lahendamise põhipunkt. Lihtsamalt öeldes peaks maatriks pärast teatud manipuleerimisi välja nägema selline, nii et selle vasakpoolses alumises osas on ainult nullid:

Seejärel, kui kirjutate uue maatriksi uuesti võrrandisüsteemina, märkate, et viimane rida sisaldab juba ühe juure väärtust, mis seejärel asendatakse ülaltoodud võrrandiga, leitakse teine ​​juur jne.

See lahenduse kirjeldus Gaussi meetodil kõige rohkem üldiselt. Ja mis juhtub, kui süsteemil pole äkki lahendust? Või on neid lõpmatult palju? Nendele ja paljudele teistele küsimustele vastamiseks on vaja eraldi käsitleda kõiki Gaussi meetodil lahenduses kasutatud elemente.

Maatriksid, nende omadused

Maatriksis pole varjatud tähendust. See on lihtsalt mugav viis hilisemate toimingute jaoks andmete salvestamiseks. Isegi koolilapsed ei peaks neid kartma.

Maatriks on alati ristkülikukujuline, kuna see on mugavam. Isegi Gaussi meetodi puhul, kus kõik taandub kolmnurkmaatriksi ehitamisele, ilmub kirjesse ristkülik, ainult nullidega kohas, kus numbreid pole. Nullid võib ära jätta, kuid need on kaudsed.

Maatriksil on suurus. Selle "laius" on ridade arv (m), selle "pikkus" on veergude arv (n). Siis tähistatakse maatriksi A suurust (tähistusena kasutatakse tavaliselt suuri ladina tähti) kui A m×n . Kui m = n, on see maatriks ruut ja m = n on selle järjekord. Vastavalt sellele võib maatriksi A mis tahes elementi tähistada selle rea ja veeru numbriga: a xy ; x - rea number, muudatused , y - veeru number, muudatused .

B ei ole lahenduse põhipunkt. Põhimõtteliselt saab kõiki tehteid teha otse võrrandite endaga, kuid märkimine osutub palju tülikamaks ja selles on palju lihtsam segadusse sattuda.

Determinant

Maatriksil on ka determinant. See on väga oluline omadus. Selle tähenduse väljaselgitamine pole seda väärt, võite lihtsalt näidata, kuidas see arvutatakse, ja seejärel öelda, millised maatriksi omadused see määrab. Lihtsaim viis determinandi leidmiseks on diagonaalide kaudu. Maatriksisse tõmmatakse kujuteldavad diagonaalid; korrutatakse igal neist asuvad elemendid ja seejärel lisatakse saadud korrutised: diagonaalid kaldega paremale - "pluss" märgiga, kaldega vasakule - "miinus" märgiga.

Äärmiselt oluline on märkida, et determinanti saab arvutada ainult ruutmaatriksi jaoks. Ristkülikukujulise maatriksi puhul saab teha järgmist: valida ridade arvust ja veergude arvust väikseim (olgu see k) ning seejärel märkida maatriksisse juhuslikult k veergu ja k rida. Valitud veergude ja ridade ristumiskohas asuvad elemendid moodustavad uue ruutmaatriksi. Kui sellise maatriksi determinandiks on nullist erinev arv, nimetatakse seda algse ristkülikukujulise maatriksi alusminooriks.

Enne võrrandisüsteemi Gaussi meetodil lahendamist ei tee paha determinandi arvutada. Kui see osutub nulliks, siis võime kohe öelda, et maatriksil on kas lõpmatu arv lahendeid või pole neid üldse. Sellisel kurval juhul peate minema kaugemale ja uurima maatriksi auastet.

Süsteemi klassifikatsioon

On olemas selline asi nagu maatriksi auaste. See on selle nullist erineva determinandi maksimaalne järjekord (alus-molli meeles pidades võib öelda, et maatriksi auaste on põhimolli järjekord).

Vastavalt sellele, kuidas asjad auastmega on, võib SLAE jagada järgmisteks osadeks:

• Ühine. Kellühendussüsteemide puhul ühtib põhimaatriksi (koosneb ainult koefitsientidest) järguga laiendatud maatriksi (vabade terminite veeruga). Sellistel süsteemidel on lahendus, kuid mitte tingimata üks, seetõttu jagatakse liitesüsteemid lisaks:
• - teatud- ainulaadse lahenduse olemasolu. Teatud süsteemides on maatriksi auaste ja tundmatute arv (või veergude arv, mis on sama asi) võrdsed;
• - määramata - lõpmatu hulga lahendustega. Selliste süsteemide maatriksite järjestus on väiksem kui tundmatute arv.
• Sobimatu. Kell selliste süsteemide puhul ei lange põhi- ja laiendatud maatriksite järjestused kokku. Ühildumatutel süsteemidel pole lahendust.

Gaussi meetod on hea selle poolest, et võimaldab saada kas ühemõttelise tõestuse süsteemi ebakõla kohta (ilma suurte maatriksite determinante arvutamata) või üldlahendust süsteemile, mille lahendamise käigus on lõpmatu arv lahendusi.

Elementaarsed teisendused

Enne otse süsteemi lahenduse juurde asumist on võimalik muuta see vähem tülikaks ja arvutuste jaoks mugavamaks. See saavutatakse elementaarsete teisenduste abil – nii, et nende rakendamine ei muuda lõplikku vastust kuidagi. Tuleb märkida, et mõned ülaltoodud elementaarteisendused kehtivad ainult maatriksite jaoks, mille allikaks oli täpselt SLAE. Siin on nende teisenduste loend:

1. Stringi permutatsioon. On ilmne, et kui me muudame süsteemikirje võrrandite järjekorda, siis see ei mõjuta lahendust kuidagi. Sellest tulenevalt on võimalik ka selle süsteemi maatriksis ridu vahetada, unustamata muidugi vabaliikmete veergu.
2. Stringi kõigi elementide korrutamine mõne teguriga. Väga kasulik! Seda saab kasutada lühendamiseks suured numbrid maatriksis või eemaldage nullid. Lahenduste komplekt, nagu tavaliselt, ei muutu ja edasisi toiminguid on mugavam teha. Peaasi, et koefitsient ei peaks olema null.
3. Kustutage proportsionaalsete koefitsientidega read. See tuleneb osaliselt eelmisest lõigust. Kui maatriksi kahel või enamal real on proportsionaalsed koefitsiendid, siis ühe rea korrutamisel / jagamisel proportsionaalsuse koefitsiendiga saadakse kaks (või jällegi rohkem) absoluutselt identset rida ja saate eemaldada täiendavad, jättes alles ainult üks.
4. Nullrea eemaldamine. Kui teisenduste käigus saadakse kuskil string, milles kõik elemendid, ka vabaliige, on nullid, siis võib sellist stringi nimetada nulliks ja maatriksist välja visata.
5. Lisades ühe rea elementidele teise rea elemendid (vastavates veergudes), korrutatuna teatud koefitsiendiga. Kõige ebaselgem ja kõige olulisem teisendus üldse. Sellel tasub põhjalikumalt peatuda.

Koefitsiendiga korrutatud stringi lisamine

Arusaadavuse hõlbustamiseks tasub see protsess samm-sammult lahti võtta. Maatriksist võetakse kaks rida:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Oletame, et peate liitma esimese teisega, korrutatuna koefitsiendiga "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Seejärel asendatakse maatriksis teine ​​rida uuega ja esimene jääb muutumatuks.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Tuleb märkida, et korrutustegurit saab valida nii, et kahe stringi liitmise tulemusena on üks uue stringi elementidest võrdne nulliga. Seetõttu on süsteemis võimalik saada võrrand, kus on üks tundmatu vähem. Ja kui saad kaks sellist võrrandit, siis saab operatsiooni uuesti teha ja saada võrrandi, mis sisaldab juba kahte tundmatut vähem. Ja kui me iga kord keerame nulli ühe koefitsiendi kõigi ridade jaoks, mis on madalamad kui algne, siis saame nagu sammud laskuda maatriksi kõige põhja ja saada võrrandi ühe tundmatuga. Seda nimetatakse süsteemi lahendamiseks Gaussi meetodil.

Üldiselt

Las olla süsteem. Sellel on m võrrandit ja n tundmatut juurt. Saate selle üles kirjutada järgmiselt:

Põhimaatriks koostatakse süsteemi koefitsientidest. Laiendatud maatriksile lisatakse vabade liikmete veerg ja eraldatakse need mugavuse huvides ribaga.

• maatriksi esimene rida korrutatakse koefitsiendiga k = (-a 21 / a 11);
• liidetakse maatriksi esimene muudetud rida ja teine ​​rida;
• teise rea asemel sisestatakse maatriksisse eelmise lõigu liitmise tulemus;
• nüüd on uue teise rea esimene koefitsient a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nüüd tehakse sama teisenduste seeria, kaasatud on ainult esimene ja kolmas rida. Vastavalt sellele asendatakse algoritmi igas etapis element a 21 elemendiga 31 . Seejärel korratakse kõike 41, ... a m1 jaoks. Tulemuseks on maatriks, kus ridade esimene element on võrdne nulliga. Nüüd peame unustama rea ​​number ühe ja käivitama sama algoritmi alates teisest reast:

• koefitsient k \u003d (-a 32 / a 22);
• teine ​​muudetud rida lisatakse "praegusele" reale;
• liitmise tulemus asendatakse kolmandal, neljandal ja nii edasi real, kusjuures esimene ja teine ​​jäävad muutumatuks;
• maatriksi ridades on kaks esimest elementi juba võrdsed nulliga.

Algoritmi tuleb korrata seni, kuni ilmub koefitsient k = (-a m,m-1 /a mm). See tähendab, et algoritmi käitati viimati ainult madalama võrrandi jaoks. Nüüd näeb maatriks välja nagu kolmnurk või sellel on astmeline kuju. Alumine rida sisaldab võrdsust a mn × x n = b m . Koefitsient ja vabaliige on teada ning nende kaudu väljendub juur: x n = b m /a mn. Saadud juur asendatakse ülemisse ritta, et leida x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Ja nii edasi analoogia põhjal: igal järgmisel real on uus juur ja kui olete jõudnud süsteemi "ülaossa", võite leida palju lahendusi. See jääb ainukeseks.

Kui lahendusi pole

Kui ühes maatriksireas on kõik elemendid, välja arvatud vaba liige, võrdsed nulliga, siis sellele reale vastav võrrand näeb välja 0 = b. Sellel pole lahendust. Ja kuna selline võrrand on süsteemi sees, siis on kogu süsteemi lahenduste hulk tühi, see tähendab, et see on degenereerunud.

Kui lahendusi on lõpmatult palju

Võib selguda, et vähendatud kolmnurkmaatriksis pole ridu, millel on üks element - võrrandi koefitsient ja üks - vaba liige. On ainult stringe, mis ümberkirjutamisel näeksid välja nagu kahe või enama muutujaga võrrand. See tähendab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Sellisel juhul saab vastuse anda üldlahenduse vormis. Kuidas seda teha?

Kõik maatriksi muutujad on jagatud põhilisteks ja vabadeks. Põhilised - need on need, mis seisavad astmelise maatriksi ridade "serval". Ülejäänud on tasuta. Üldlahenduses kirjutatakse põhimuutujad vabade järgi.

Mugavuse huvides kirjutatakse maatriks kõigepealt tagasi võrrandisüsteemiks. Siis viimases, kus täpselt jäi ainult üks põhimuutuja, jääb see ühele poole ja kõik muu kandub teisele. Seda tehakse iga võrrandi jaoks ühe põhimuutujaga. Seejärel asendatakse ülejäänud võrrandites võimaluse korral põhimuutuja asemel selle jaoks saadud avaldis. Kui selle tulemusena ilmub taas avaldis, mis sisaldab ainult ühte põhimuutujat, siis väljendatakse seda sealt uuesti ja nii edasi, kuni iga põhimuutuja kirjutatakse vabade muutujatega avaldisena. See on SLAE üldine lahendus.

Võite leida ka süsteemi põhilahenduse - andke vabadele muutujatele mis tahes väärtused ja seejärel arvutage sellel konkreetsel juhul põhimuutujate väärtused. Erilahendusi on lõpmatult palju.

Lahendus konkreetsete näidetega

Siin on võrrandisüsteem.

Mugavuse huvides on parem selle maatriks kohe luua

Teatavasti jääb Gaussi meetodil lahendamisel esimesele reale vastav võrrand teisenduste lõpus muutumatuks. Seetõttu on tulusam, kui maatriksi ülemine vasakpoolne element on väikseim - siis pärast toiminguid ülejäänud ridade esimesed elemendid muutuvad nulliks. See tähendab, et koostatud maatriksis on kasulik esimese rea asemele panna teine.

teine ​​rida: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 = -24

kolmas rida: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 = -57

Nüüd, et mitte segadusse sattuda, on vaja üles kirjutada maatriks teisenduste vahetulemustega.

On ilmne, et sellist maatriksit saab mõne operatsiooni abil tajumiseks mugavamaks muuta. Näiteks saate eemaldada kõik "miinused" teiselt realt, korrutades iga elemendi "-1"-ga.

Samuti väärib märkimist, et kolmandas reas on kõik elemendid kolmekordsed. Seejärel saate stringi selle arvu võrra vähendada, korrutades iga elemendi "-1/3"-ga (miinus - samal ajal negatiivsete väärtuste eemaldamiseks).

Näeb palju kenam välja. Nüüd peame esimese rea rahule jätma ning töötama teise ja kolmandaga. Ülesanne on lisada teine ​​rida kolmandale reale, korrutatuna sellise koefitsiendiga, et element a 32 oleks võrdne nulliga.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 harilik murd ja alles siis, kui vastused on saadud, otsustage, kas ümardada ja tõlkida muusse kirjesse)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Maatriks kirjutatakse uuesti uute väärtustega.

Nagu näete, on saadud maatriksil juba astmeline vorm. Seetõttu pole süsteemi edasisi teisendusi Gaussi meetodil vaja. Siin saab kolmandalt realt eemaldada üldkoefitsiendi "-1/7".

Nüüd on kõik ilus. Asi on väike - kirjutage maatriks uuesti võrrandisüsteemi kujul ja arvutage juured

x + 2a + 4z = 12 (1)

7a + 11z = 24 (2)

Algoritmi, mille abil juured nüüd leitakse, nimetatakse Gaussi meetodis vastupidiseks liikumiseks. Võrrand (3) sisaldab z väärtust:

y = (24–11 × (61/9))/7 = –65/9

Ja esimene võrrand võimaldab teil leida x:

x = (12 - 4z - 2 a)/1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Meil on õigus nimetada sellist süsteemi ühenduskohaks ja isegi kindlaks, st ainulaadse lahendusega. Vastus on kirjutatud järgmisel kujul:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z = 61/9.

Näide ebamäärasest süsteemist

Teatud süsteemi Gaussi meetodil lahendamise varianti on analüüsitud, nüüd tuleb arvestada juhul, kui süsteem on määramatu ehk sellele võib leida lõpmatult palju lahendusi.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Juba süsteemi vorm on murettekitav, sest tundmatute arv on n = 5 ja süsteemi maatriksi auaste on juba täpselt väiksem kui see arv, kuna ridade arv on m = 4, see tähendab, ruutdeterminandi suurim järg on 4. See tähendab, et lahendeid on lõpmatult palju ja selle üldkuju on vaja otsida. Lineaarvõrrandite Gaussi meetod võimaldab seda teha.

Esiteks, nagu tavaliselt, koostatakse suurendatud maatriks.

Teine rida: koefitsient k = (-a 21 / a 11) = -3. Kolmandas reas on esimene element enne teisendusi, nii et te ei pea midagi puudutama, peate jätma selle nii, nagu see on. Neljas rida: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Korrutades esimese rea elemendid kordamööda iga koefitsiendiga ja lisades need soovitud ridadele, saame järgmise kujuga maatriksi:

Nagu näete, koosnevad teine, kolmas ja neljas rida elementidest, mis on üksteisega proportsionaalsed. Teine ja neljas on üldiselt samad, nii et ühe neist saab kohe eemaldada ja ülejäänud korrutada koefitsiendiga "-1" ja saada rea ​​number 3. Jällegi jätke üks kahest identsest reast.

Selgus selline maatriks. Süsteem pole veel üles kirjutatud, siin on vaja kindlaks määrata põhimuutujad - koefitsientide 11 \u003d 1 ja 22 \u003d 1 juures ning vabad - kõik ülejäänud.

Teises võrrandis on ainult üks põhimuutuja - x 2 . Seega saab seda väljendada sealt, kirjutades läbi muutujate x 3 , x 4 , x 5 , mis on vabad.

Asendame saadud avaldise esimese võrrandiga.

Selgus võrrand, milles ainus põhimuutuja on x 1. Teeme sellega sama, mis x 2-ga.

Kõik põhimuutujad, mida on kaks, on väljendatud kolme vabana, nüüd saab vastuse kirjutada üldkujul.

Samuti saate määrata ühe süsteemi konkreetsetest lahendustest. Sellistel juhtudel valitakse vabade muutujate väärtusteks reeglina nullid. Siis on vastus järgmine:

16, 23, 0, 0, 0.

Näide kokkusobimatust süsteemist

Ebajärjekindlate võrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil on kiireim. See lõpeb niipea, kui ühes etapis saadakse võrrand, millel pole lahendust. See tähendab, et kaob üsna pikk ja kõle juurte arvutamise etapp. Arvesse võetakse järgmist süsteemi:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Nagu tavaliselt, koostatakse maatriks:

Ja see on taandatud astmeliseks vormiks:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

Pärast esimest teisendust sisaldab kolmas rida vormi võrrandit

millel puudub lahendus. Seetõttu on süsteem ebajärjekindel ja vastus on tühi komplekt.

Meetodi eelised ja puudused

Kui valite, millise meetodi SLAE paberil pliiatsiga lahendada, tundub selles artiklis käsitletud meetod kõige atraktiivsem. Elementaarteisendustes on palju keerulisem segadusse sattuda, kui see juhtub, kui peate käsitsi otsima determinanti või mõnda keerulist pöördmaatriksit. Kui aga kasutate seda tüüpi andmetega töötamiseks programme, näiteks tabeleid, siis selgub, et sellised programmid sisaldavad juba algoritme maatriksite põhiparameetrite - determinant, minoorsed, pöördväärtused jne - arvutamiseks. Ja kui olete kindel, et masin arvutab need väärtused ise ja ei eksi, on otstarbekam kasutada maatriksmeetodit või Crameri valemeid, sest nende rakendamine algab ja lõpeb determinantide ja pöördmaatriksite arvutamisega.

Rakendus

Kuna Gaussi lahendus on algoritm ja maatriks on tegelikult kahemõõtmeline massiiv, saab seda kasutada programmeerimisel. Aga kuna artikkel positsioneerib end juhendina "mannekeenidele", siis olgu öeldud, et kõige lihtsam koht meetodi paigutamiseks on tabelid, näiteks Excel. Jällegi käsitleb Excel iga maatriksi kujul tabelisse sisestatud SLAE-d kahemõõtmelise massiivina. Ja nendega tehte jaoks on palju toredaid käske: liitmine (lisada saab ainult ühesuurused maatriksid!), arvuga korrutamine, maatrikskorrutamine (ka teatud piirangutega), pöörd- ja transponeeritud maatriksite leidmine ja mis kõige tähtsam. , determinandi arvutamine. Kui see aeganõudev ülesanne asendada ühe käsuga, on maatriksi auaste määramine ja seega ka selle ühilduvuse või ebakõla kindlakstegemine palju kiirem.

Haridusasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

Juhised

teema "Gaussi meetod lineaarsete süsteemide lahendamiseks" uurimiseks

Võrrandid” arvestusteaduskonna korrespondentõppe õppevormi (NISPO) üliõpilaste poolt

Gorki, 2013

Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

Ekvivalentsed võrrandisüsteemid

Kaht lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse ekvivalentseteks, kui iga lahendus neist on teise lahendus. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise protsess seisneb selle järjestikuses teisendamises samaväärseks süsteemiks, kasutades nn. elementaarsed teisendused , mis on:

1) süsteemi mis tahes kahe võrrandi permutatsioon;

2) süsteemi mis tahes võrrandi mõlema osa korrutamine nullist erineva arvuga;

3) mis tahes võrrandile teise võrrandi lisamine, mis on korrutatud mis tahes arvuga;

4) nullidest koosneva võrrandi kustutamine, s.o. tüübi võrrandid.

Gaussi eliminatsioon

Mõelge süsteemile m lineaarvõrrandid n teadmata:

Gaussi meetodi ehk tundmatute järjestikuse välistamise meetodi olemus on järgmine.

Esiteks, elementaarteisenduste abil jäetakse tundmatu kõigist süsteemi võrranditest välja, välja arvatud esimene. Selliseid süsteemi teisendusi nimetatakse Gaussi eliminatsiooni etapp . Tundmatut kutsutakse lahendav muutuja ümberkujundamise esimesel etapil. Koefitsienti nimetatakse eraldusvõime tegur , nimetatakse esimest võrrandit võrrandi lahendamine , ja koefitsientide veerg juures luba veerg .

Kui sooritate ühe Gaussi eliminatsiooni etapi, peate kasutama järgmisi reegleid:

1) lahendusvõrrandi koefitsiendid ja vaba tähtaeg jäävad muutumatuks;

2) lahutuskoefitsiendist allpool asuva lahutusveeru koefitsiendid muutuvad nulliks;

3) kõik muud esimeses etapis olevad koefitsiendid ja vabad liikmed arvutatakse ristkülikureegli järgi:

, kus i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Sarnased teisendused teostame süsteemi teisel võrrandil. See toob kaasa süsteemi, kus tundmatu jäetakse kõigis võrrandites välja, välja arvatud kaks esimest. Selliste teisenduste tulemusena süsteemi iga võrrandi üle (Gaussi meetodi otsene kulg) taandatakse algne süsteem samaväärseks astmesüsteemiks, mis on ühte järgmistest tüüpidest.

Vastupidine Gaussi meetod

Astmesüsteem

on kolmnurkse kujuga ja kõik (i=1,2,…,n). Sellisel süsteemil on ainulaadne lahendus. Tundmatud määratakse alates viimasest võrrandist (Gaussi meetodi vastupidine).

Sammusüsteemil on vorm

kus , st. süsteemivõrrandite arv on väiksem või võrdne tundmatute arvuga. Sellel süsteemil pole lahendusi, kuna viimane võrrand ei kehti muutuja ühegi väärtuse puhul.

Astmelise vaate süsteem

on lõpmatu arv lahendusi. Viimasest võrrandist lähtudes väljendatakse tundmatut tundmatute kaudu . Siis asendatakse tundmatu asemel selle avaldis tundmatute kujul eelviimasesse võrrandisse . Jätkates Gaussi meetodi vastupidist kurssi, tundmatud saab väljendada tundmatute kaudu . Antud juhul tundmatu helistas tasuta ja võib võtta mis tahes väärtuse ja tundmatu põhilised.

Kell praktiline lahendus Süsteemide puhul on mugav kõiki teisendusi sooritada mitte võrrandisüsteemiga, vaid süsteemi laiendatud maatriksiga, mis koosneb tundmatute koefitsientidest ja vabade liikmete veerust.

Näide 1. Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Koostame süsteemi laiendatud maatriksi ja teostame elementaarsed teisendused:

.

Süsteemi laiendatud maatriksis on number 3 (see on esile tõstetud) eraldusvõime tegur, esimene rida on eraldusvõime rida ja esimene veerg on eraldusvõime veerg. Järgmisele maatriksile liikumisel lahutusrida ei muutu, kõik lahendava elemendi all oleva lahendava veeru elemendid asendatakse nullidega. Ja kõik teised maatriksi elemendid arvutatakse ümber nelinurkreegli järgi. Teise rea elemendi 4 asemel kirjutame , kirjutatakse see teise rea elemendi -3 asemel jne. Seega saadakse teine ​​maatriks. Selle maatriksi teises reas on lahutuselemendi number 18. Järgmise (kolmanda maatriksi) moodustamiseks jätame teise rea muutmata, kirjutame lahendava elemendi all olevasse veergu null ja arvutame ülejäänud kaks elementi ümber: numbri 1 asemel kirjutame , ja numbri 16 asemel kirjutame .

Selle tulemusena taandatakse algne süsteem samaväärseks süsteemiks

Kolmandast võrrandist leiame . Asendage see väärtus teise võrrandiga: y=3. Asendage leitud väärtused esimesse võrrandisse y ja z: , x=2.

Seega on selle võrrandisüsteemi lahendus x=2, y=3, .

Näide 2. Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Teeme elementaarsed teisendused süsteemi laiendatud maatriksil:

Teises maatriksis jagatakse iga kolmanda rea ​​element 2-ga.

Neljandas maatriksis jagati iga kolmanda ja neljanda rea ​​element 11-ga.

. Saadud maatriks vastab võrrandisüsteemile

Otsustades see süsteem, leia , , .

Näide 3. Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Kirjutame süsteemi liitmaatriksi ja sooritame elementaarsed teisendused:

.

Teises maatriksis jagati iga teise, kolmanda ja neljanda rea ​​element 7-ga.

Selle tulemusena võrrandisüsteem

võrdväärne originaaliga.

Kuna võrrandeid on kaks vähem kui tundmatuid, siis teisest võrrandist . Asendage esimeses võrrandis avaldis: , .

Seega valemid andke selle võrrandisüsteemi üldlahendus. Tundmatud ja tasuta ning võivad võtta mis tahes väärtuse.

Olgu näiteks Siis ja . Lahendus on üks süsteemi erilahendusi, mida on lugematu arv.

Küsimused teadmiste enesekontrolliks

1) Millised teisendused lineaarsed süsteemid nimetatakse elementaarseks?

2) Milliseid süsteemi teisendusi nimetatakse Gaussi eliminatsiooniastmeks?

3) Mis on lahutusmuutuja, lahutustegur, lahutusveerg?

4) Milliseid reegleid tuleks kasutada Gaussi eliminatsiooni ühe sammu sooritamisel?

Carl Friedrich Gauss, suurim matemaatik pikka aega kõhkles filosoofia ja matemaatika vahel. Võib-olla just selline mõttelaad võimaldas tal maailmateadusest nii märgatavalt "lahkuda". Eelkõige luues "Gaussi meetodi" ...

Peaaegu 4 aastat on selle saidi artiklid käsitlenud kooliharidus, peamiselt filosoofia poolelt, (väär)mõistmise printsiibid, juurutatud laste meeltesse. Aeg on tulemas täpsemate, näidete ja meetodite jaoks ... Usun, et see on lähenemine tuttavatele, segadustele ja oluline eluvaldkonnad annavad parimaid tulemusi.

Meie, inimesed, oleme nii korraldatud, et ükskõik kui palju sa räägid abstraktne mõtlemine, aga mõistmine alati juhtub näidete kaudu. Kui näiteid pole, siis põhimõtteid on võimatu tabada ... Kui võimatu on olla mäe otsas teisiti, kui läbides kogu selle nõlva jalamilt.

Sama kooliga: praegu elavad lood sellest ei piisa, me peame seda instinktiivselt paigaks, kus lapsi õpetatakse mõistma.

Näiteks Gaussi meetodi õpetamine...

Gaussi meetod kooli 5. klassis

Teen kohe broneeringu: Gaussi meetodil on näiteks lahendamisel palju laiem rakendus lineaarvõrrandisüsteemid. See, millest me räägime, toimub 5. klassis. seda alustada, olles aru saanud millest, on palju lihtsam mõista rohkem "täpsemaid valikuid". Selles artiklis me räägime Gaussi meetod (meetod) rea summa leidmisel

Siin on näide, mille mu noorim poeg tõi koolist, käies Moskva gümnaasiumi 5. klassis.

Gaussi meetodi koolidemonstratsioon

Matemaatikaõpetaja kasutab interaktiivne tahvel (kaasaegsed meetodid koolitus) näitas lastele väikese Gaussi ettekannet "meetodi loomise" ajaloost.

Kooliõpetaja piitsutas väikest Carli (aegunud meetod, nüüd koolides ei kasutata), et ta on,

selle asemel, et lisada nende summa leidmiseks järjestikku numbreid 1–100 märganud et aritmeetilise progressiooni servadest võrdse vahekaugusega arvupaarid annavad kokku sama arvu. näiteks 100 ja 1, 99 ja 2. Olles selliste paaride arvu kokku lugenud, lahendas väike Gauss peaaegu hetkega õpetaja pakutud ülesande. Mille eest ta üllatunud avalikkuse ees hukati. Ülejäänute jaoks oli mõtlemine lugupidamatu.

Mida tegi väike Gauss arenenud numbritaju? Märkas mõni funktsioon konstantse sammuga arvurida (aritmeetiline progressioon). Ja täpselt see tegi temast hiljem suure teadlase, oskab märgata, omamine tunne, mõistmise instinkt.

See on matemaatika väärtus, mis areneb võime nähaüldiselt eriti - abstraktne mõtlemine. Seetõttu enamik lapsevanemaid ja tööandjaid peavad matemaatikat instinktiivselt oluliseks distsipliiniks ...

«Matemaatikat tuleks hiljem õpetada, et see meeled korda teeks.
M. V. Lomonosov".

Tulevaste geeniuste piitsutajate järgijad muutsid meetodi aga millekski vastupidiseks. Nagu mu juhendaja 35 aastat tagasi ütles: "Nad õppisid selle küsimuse ära." Või nagu mu noorim poeg eile Gaussi meetodi kohta ütles: "Võib-olla ei tasu sellest suurt teadust teha, ah?"

"Teadlaste" loovuse tagajärjed on nähtavad praeguse koolimatemaatika tasemes, selle õpetamise tasemes ja enamuse "teaduste kuninganna" mõistmises.

Jätkame siiski...

Gaussi meetodi selgitamise meetodid kooli 5. klassis

Moskva gümnaasiumi matemaatikaõpetaja, selgitades Gaussi meetodit Vilenkini viisil, tegi ülesande keeruliseks.

Mis siis, kui aritmeetilise progressiooni vahe (samm) ei ole mitte üks, vaid teine ​​arv? Näiteks 20.

Ülesanne, mille ta andis viiendale klassile:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Enne gümnaasiumimeetodiga tutvumist vaadakem veebi: kuidas kooliõpetajad - matemaatikaõpetajad seda teevad? ..

Gaussi meetod: seletus nr 1

Tuntud juhendaja oma YOUTUBE kanalil põhjendab järgmist:

"kirjutame numbrid 1 kuni 100 järgmiselt:

kõigepealt arvude jada 1-st 50-ni ja rangelt selle all veel üks arvude jada vahemikus 50-100, kuid vastupidises järjekorras"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Pange tähele: iga ülemise ja alumise rea numbripaari summa on sama ja võrdub 101-ga! Loendame paaride arvu, see on 50 ja korrutame ühe paari summa paaride arvuga! Voila: vastus on valmis!"

«Kui aru ei saanud, siis ära pahanda!» kordas õpetaja selgituse ajal kolm korda. "Selle meetodi saate 9. klassis läbi!"

Gaussi meetod: seletus nr 2

Teine, vähem tuntud juhendaja (vaatamiste arvu järgi otsustades) läheneb rohkem teaduslikult, pakkudes 5-punktilist lahendusalgoritmi, mis tuleb täita järjest.

Asjatundmatutele: 5 on üks Fibonacci numbritest, mida traditsiooniliselt peetakse maagiliseks. 5-astmeline meetod on alati teaduslikum kui näiteks 6-astmeline meetod. ... Ja see on vaevalt õnnetus, tõenäoliselt on autor Fibonacci teooria varjatud järgija

Antud aritmeetiline progressioon: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritm seeria arvude summa leidmiseks Gaussi meetodil:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Samal ajal peate meeles pidama pluss üks reegel : saadud jagatisele tuleb lisada üks: vastasel juhul saame tulemuse, mis on ühe võrra väiksem paaride tegelikust arvust: 42 + 1 = 43.

See on aritmeetilise progressiooni soovitud summa 4-st 256-ni erinevusega 6!

Gaussi meetod: selgitamine Moskva gümnaasiumi 5. klassis

Ja seeria summa leidmise probleemi lahendamiseks oli vaja seda teha järgmiselt:

20+40+60+ ... +460+480+500

Moskva gümnaasiumi 5. klassis Vilenkini õpik (minu poja järgi).

Pärast esitluse näitamist näitas matemaatikaõpetaja paari Gaussi näidet ja andis klassile ülesande leida arvude summa sammuga 20 jadast.

See nõudis järgmist:

Nagu näete, on see kompaktsem ja tõhus tehnika: arv 3 on samuti Fibonacci jada liige

Minu kommentaarid Gaussi meetodi kooliversiooni kohta

Suur matemaatik oleks kindlasti valinud filosoofia, kui oleks ette näinud, milleks tema järgijad tema "meetodi" muudavad. saksa keele õpetaja kes Karli varrastega piitsutas. Ta oleks näinud "õpetajate" sümboolikat ja dialektilist spiraali ja surematut rumalust. püüdes mõõta elava matemaatilise mõtte harmooniat arusaamatuse algebraga ....

Muide, kas sa tead. et meie haridussüsteemi juured on 18. ja 19. sajandi saksa koolkonnas?

Kuid Gauss valis matemaatika.

Mis on tema meetodi olemus?

AT lihtsustamine. AT vaatlus ja jäädvustamine lihtsad numbrimustrid. AT kuiva kooli aritmeetika muutmine huvitav ja põnev tegevus , aktiveerides soovi ajus jätkata ja mitte blokeerima kulukaid vaimseid tegevusi.

Kas ühe ülaltoodud "Gaussi meetodi modifikatsiooniga" on võimalik arvutada aritmeetilise progressiooni arvude summa? koheselt? "Algoritmide" järgi oleks väike Karl garanteerinud, et väldib peksmist, kasvatab vastumeelsust matemaatika vastu ja surub eos maha oma loomingulised impulsid.

Miks soovitas juhendaja viienda klassi õpilastel nii tungivalt "mitte karta meetodi vääritimõistmist", veendes neid, et nad lahendavad "sellised" probleemid juba 9. klassis? Psühholoogiliselt kirjaoskamatu tegevus. See oli hea mõte ära märkida: "Näeme juba 5. klassis saab lahendage probleeme, millest saate läbi alles 4 aasta pärast! Kui head kaaslased te olete!"

Gaussi meetodi kasutamiseks piisab klassi 3 tasemest kui tavalised lapsed juba oskavad 2-3 kohalisi numbreid liita, korrutada ja jagada. Probleemid tekivad täiskasvanud õpetajate suutmatusest, kes "ei sisene", kuidas seletada lihtsamaid asju tavalises inimkeeles, mitte ainult matemaatilises ... Nad ei suuda matemaatikat huvitada ja isegi "võimekaid" täielikult heidutada.

Või nagu mu poeg kommenteeris: "teha sellest suur teadus".

Gaussi meetod, minu selgitused

Mu naine ja mina selgitasime seda "meetodit" oma lapsele, tundub, isegi enne kooli ...

Lihtsus keerukuse asemel või küsimuste mäng – vastused

""Vaata, siin on numbrid 1 kuni 100. Mida sa näed?"

Asi pole selles, mida laps näeb. Trikk on panna ta välja nägema.

"Kuidas saate neid kokku panna?" Poeg tabas ära, et selliseid küsimusi ei küsita "niisama" ja tuleb vaadata küsimust "kuidagi teistmoodi, teisiti kui ta tavaliselt teeb"

Pole tähtis, kui laps näeb lahendust kohe, see on ebatõenäoline. On oluline, et ta lakkas kartmast vaadata või nagu ma ütlen: "teisaldas ülesande". See on mõistmise tee algus

"Kumb on lihtsam: lisada näiteks 5 ja 6 või 5 ja 95?" Juhtiv küsimus... Aga lõppude lõpuks taandub igasugune väljaõpe inimese "juhtimisele" "vastusele" - igal viisil, mis on talle vastuvõetav.

Selles etapis võib juba arvata, kuidas arvutustes "kokku hoida".

Kõik, mida oleme teinud, on vihje: "frontaalne, lineaarne" loendusmeetod pole ainus võimalik. Kui laps on selle kärpinud, leiutab ta hiljem palju selliseid meetodeid, sest see on huvitav!!! Ja kindlasti väldib ta matemaatika "vääramõistmist", ei tunne selle vastu vastikust. Ta sai võidu!

Kui a beebi avastas et sajani jõudvate arvupaaride liitmine on tühine ülesanne "aritmeetiline progressioon erinevusega 1"- lapse jaoks üsna kõle ja ebahuvitav asi - äkki andis talle elu . Kaosest tuli kord ja see on alati entusiastlik: sellised me oleme!

Kiire küsimus: miks peaks nad pärast lapse taipamist jälle kuivade algoritmide raamidesse ajama, mis sel juhul ka funktsionaalselt kasutud on?!

Milleks lolli ümber kirjutada järjenumbrid vihikusse: et ka võimekatel ei oleks ainsatki võimalust aru saada? Statistiliselt muidugi, aga massiharidus on keskendunud "statistikale" ...

Kuhu null kadus?

Ja ometi on 100-ni kokkuvõtvate arvude liitmine mõistusele palju vastuvõetavam kui 101 andmine ...

"Kooli Gaussi meetod" nõuab täpselt seda: meeletult voltima võrdsel kaugusel arvupaari progresseerumise keskpunktist, ükskõik mis.

Aga kui sa vaatad?

Siiski on null inimkonna suurim leiutis, mis on rohkem kui 2000 aastat vana. Ja matemaatikaõpetajad ignoreerivad teda jätkuvalt.

Palju lihtsam on teisendada arvude jada, mis algab 1-st, jadaks, mis algab 0-st. Summa ju ei muutu? Peate lõpetama "õpikutes mõtlemise" ja hakkama otsima ... Ja näha, et paarid summaga 101 saab täielikult asendada paaridega, mille summa on 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kuidas kaotada "reegel pluss 1"?

Ausalt öeldes kuulsin sellisest reeglist esmakordselt sellelt YouTube'i juhendajalt ...

Mida ma ikkagi teen, kui mul on vaja määrata sarja liikmete arv?

Järjekorda vaadates:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

ja kui täiesti väsinud, siis lihtsamas reas:

1, 2, 3, 4, 5

ja ma mõtlen: kui lahutate 5-st ühe, saate 4, aga ma olen täiesti selge vaata 5 numbrit! Seetõttu peate ühe lisama! Arvutaju arenes välja Põhikool, soovitab: isegi kui seeria liikmeid on terve Google (10 kuni saja astmeni), jääb muster samaks.

Persse reeglid?..

Et siis paari-kolme aasta pärast täita kogu ruum otsaesise ja kukla vahel ja lõpetada mõtlemine? Kuidas oleks leiva ja või teenimisega? Liigume ju ühtlastes ridades digimajanduse ajastusse!

Veel Gaussi koolimeetodist: "miks sellest teadust teha? .."

Ega ma asjata postitasin ekraanipildi oma poja märkmikust...

"Mis seal tunnis oli?"

"Noh, ma lugesin kohe, tõstsin käe, aga ta ei küsinud. Seetõttu hakkasin sel ajal, kui teised lugesid, vene keeles DZ-d tegema, et mitte aega raisata. Siis, kui teised kirjutasid (?? ?), kutsus ta mind juhatusse. Ütlesin vastuse."

"Just nii, näita mulle, kuidas sa selle lahendasid," ütles õpetaja. Ma näitasin. Ta ütles: "Vale, peate arvestama nii, nagu ma näitasin!"

"Hea, et ma kahekesi ei pannud. Ja panin mind "otsustusprotsessi" omal moel vihikusse kirjutama. Milleks sellest suurt teadust teha? .."

Matemaatikaõpetaja peamine kuritegu

vaevalt pärast sel juhul Carl Gauss testis kõrge tunne austus kooli matemaatikaõpetaja vastu. Aga kui ta teaks, kuidas selle õpetaja järgijad moonutab meetodi olemust... oleks ta nördinud nördimusest ja võitnud Maailma Intellektuaalomandi Organisatsiooni WIPO kaudu keelu kasutada oma hea nimi kooliõpikutes!

Mida koolikäsitluse peamine viga? Või, nagu ma ütlen, koolimatemaatikaõpetajate kuritegu laste vastu?

Arusaamatuse algoritm

Millega tegelevad koolimetoodikud, kellest valdav enamus ei oska mõelda?

Loo meetodid ja algoritmid (vt.). seda kaitsereaktsioon, mis kaitseb õpetajaid kriitika eest ("Kõik tehakse vastavalt ...") ja lapsi mõistmise eest. Ja seega – soovist kritiseerida õpetajaid!(Teine tuletis bürokraatlikust "tarkusest", probleemi teaduslik lähenemine). Inimene, kes tähendusest aru ei saa, süüdistab pigem oma arusaamatust, mitte koolisüsteemi rumalust.

Mis toimub: vanemad süüdistavad lapsi ja õpetajad ... sama ka laste puhul, kes "ei saa matemaatikast aru! ..

Kas sa oled tark?

Mida väike Carl tegi?

Täiesti ebatavaliselt lähenes malliülesandele. See on Tema lähenemise kvintessents. seda põhiline, mida koolis õpetada tuleks, on mõelda mitte õpikutega, vaid oma peaga. Muidugi on olemas ka instrumentaalkomponent, mida saab kasutada ... otsides lihtsam ja tõhusad meetodid kontosid.

Gaussi meetod Vilenkini järgi

Koolis õpetatakse, et Gaussi meetod on selleks

mida, kui elementide arv reas on paaritu, nagu pojale määratud ülesandes? ..

"Nipp" seisneb antud juhul selles peaksite leidma seeria "lisa" numbri ja lisage see paaride summale. Meie näites on see arv 260.

Kuidas avastada? Kõikide numbripaaride ümberkirjutamine vihikusse!(Sellepärast panigi õpetaja lapsed seda rumalat tööd tegema, püüdes Gaussi meetodil "loovust" õpetada... Ja seepärast pole selline "meetod" praktiliselt rakendatav suurte andmeridade puhul, Ja seepärast pole see Gaussi meetod meetod).

Natuke loovust koolirutiini...

Poeg käitus teisiti.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Lihtne, eks?

Kuid praktikas muutub see veelgi lihtsamaks, mis võimaldab teil venekeelseks kaugseireks eraldada 2-3 minutit, ülejäänud "loendavad". Lisaks on selles säilinud metoodika sammude arv: 5, mis ei võimalda lähenemist kritiseerida ebateaduslikkuse pärast.

Ilmselgelt on see meetod meetodi stiilis lihtsam, kiirem ja mitmekülgsem. Kuid ... õpetaja mitte ainult ei kiitnud, vaid pani mind ka ümber kirjutama " õige tee"(Vaata ekraanipilti). See tähendab, et ta tegi meeleheitliku katse lämmatada loomingulist impulssi ja matemaatika mõistmise võimet eos! Ilmselt selleks, et hiljem juhendajaks saada ... Ta ründas valet .. .

Kõik, mida ma nii pikalt ja tüütult kirjeldanud olen, saab normaalsele lapsele maksimaalselt poole tunniga selgeks. Koos näidetega.

Ja et ta seda kunagi ei unustaks.

Ja saabki samm mõistmise poole...mitte ainult matemaatika.

Tunnistage: mitu korda olete oma elus Gaussi meetodit kasutades lisanud? Ja ma mitte kunagi!

Aga mõistmise instinkt, mis areneb (või kustub) õppimise käigus matemaatilised meetodid koolis ... Oh! .. See on tõesti asendamatu asi!

Eriti universaalse digitaliseerimise ajastul, kuhu partei ja valitsuse rangel juhtimisel vaikselt sisenesime.

Paar sõna õpetajate kaitseks...

On ebaõiglane ja vale panna kogu vastutus sellise õpetamisstiili eest ainult kooliõpetajatele. Süsteem on töökorras.

Mõnedõpetajad mõistavad toimuva absurdsust, aga mida teha? Haridusseadus, föderaalsed haridusstandardid, meetodid, tehnoloogilised kaardidõppetunnid... Kõik tuleks teha "vastavalt ja sellest lähtuvalt" ning kõik tuleks dokumenteerida. Astu kõrvale – seisis vallandamise järjekorras. Ärgem olgem silmakirjatsejad: Moskva õpetajate palk on väga hea... Kui vallandatakse, kuhu siis minna?..

Seetõttu see sait mitte hariduse kohta. Ta on umbes individuaalne haridus, ainult võimalik viis massist välja tulla Z põlvkond ...

Jätkame lineaarvõrrandisüsteemide kaalumist. See õppetund on sellel teemal kolmas. Kui teil on ebamäärane ettekujutus, mis on lineaarvõrrandisüsteem üldiselt, tunnete end nagu teekann, siis soovitan alustada järgmisel lehel põhitõdedest, õppetundi on kasulik uurida.

Gaussi meetod on lihtne! Miks? Kuulus saksa matemaatik Johann Carl Friedrich Gauss pälvis oma eluajal tunnustuse kui kõigi aegade suurimat matemaatikut, geeniust ja isegi hüüdnime "Matemaatika kuningas". Ja kõik geniaalne, nagu teate, on lihtne! Muide, raha sisse ei kuku mitte ainult imikud, vaid ka geeniused - Gaussi portree ilutses 10 Saksa margalisel arvel (enne euro kasutuselevõttu) ja Gauss naeratab sakslastele siiani salapäraselt tavalistelt postmarkidelt.

Gaussi meetod on selle poolest lihtne, et selle valdamiseks PIISAB VIIENDA KLASSI ÕPILASE TEADMISEST. Peab oskama liita ja korrutada! Pole juhus, et kooli matemaatika valikainete õpetajad kaaluvad sageli tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetodit. See on paradoksaalne, kuid Gaussi meetod tekitab õpilastele kõige suuremaid raskusi. Pole midagi üllatavat – see kõik puudutab metoodikat ja ma püüan ligipääsetaval kujul rääkida meetodi algoritmist.

Esiteks süstematiseerime veidi teadmisi lineaarvõrrandisüsteemide kohta. Lineaarvõrrandisüsteem võib:

1) omage ainulaadset lahendust. 2) teil on lõpmatult palju lahendusi. 3) Sul pole lahendusi (ole Sobimatu).

Gaussi meetod on kõige võimsam ja mitmekülgsem vahend lahenduse leidmiseks ükskõik milline lineaarvõrrandisüsteemid. Nagu me mäletame Crameri reegel ja maatriksmeetod ei sobi juhtudel, kui süsteemil on lõpmatult palju lahendusi või see on ebaühtlane. Tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod igatahes vii meid vastuseni! peal see õppetund käsitleme taas Gaussi meetodit juhtumi nr 1 puhul (ainuke lahendus süsteemile), artikkel on reserveeritud punktide nr 2-3 olukordade jaoks. Märgin, et meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul ühtemoodi.

Tuleme õppetunnist tagasi kõige lihtsama süsteemi juurde Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi? ja lahendage see Gaussi meetodil.

Esimene samm on kirjutada laiendatud maatrikssüsteem: . Millise põhimõtte järgi koefitsiente registreeritakse, seda näevad vist kõik. Maatriksi sees olev vertikaalne joon ei oma matemaatilist tähendust – see on lihtsalt läbikriipsutamine disaini hõlbustamiseks.

Viide : Soovitan meeles pidada tingimustele Lineaaralgebra. Süsteemi maatriks on maatriks, mis koosneb ainult tundmatute koefitsientidest, selles näites on süsteemi maatriks: . Laiendatud süsteemimaatriks on sama süsteemi maatriks pluss vabade liikmete veerg, antud juhul: . Mis tahes maatriksit võib lühiduse huvides nimetada lihtsalt maatriksiks.

Pärast süsteemi laiendatud maatriksi kirjutamist on vaja sellega teha mõned toimingud, mida nimetatakse ka elementaarsed teisendused.

Seal on järgmised elementaarsed teisendused:

1) Stringid maatriksid saab ümber paigutama kohad. Näiteks vaadeldavas maatriksis saate esimese ja teise rea ohutult ümber korraldada:

2) Kui maatriks sisaldab (või näis) proportsionaalset (nagu erijuhtum on samad) stringid, siis järgneb see kustutada maatriksist kõik need read peale ühe. Mõelge näiteks maatriksile . Selles maatriksis on kolm viimast rida proportsionaalsed, nii et piisab, kui jätta neist ainult üks: .

3) Kui teisenduste käigus tekkis maatriksisse null rida, siis sellest ka järeldub kustutada. Ma muidugi ei tõmba, nulljoon on joon, milles ainult nullid.

4) Maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes numbri jaoks nullist erinev. Vaatleme näiteks maatriksit . Siin on soovitatav esimene rida jagada -3-ga ja teine ​​​​rida korrutada 2-ga: . See toiming on väga kasulik, kuna see lihtsustab maatriksi edasisi teisendusi.

5) See transformatsioon tekitab kõige rohkem raskusi, kuid tegelikult pole ka midagi keerulist. Maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist. Mõelge meie maatriksile alates juhtumiuuring: . Esiteks kirjeldan ümberkujundamist väga üksikasjalikult. Korrutage esimene rida -2-ga: ja teisele reale lisame esimese rea korrutatuna -2-ga: . Nüüd saab esimese rea "tagasi" jagada -2-ga: . Nagu näete, rida, mis on LISATUD LI – pole muutunud. On alati rida muudetakse, MILLELE LISATUD TÜ.

Praktikas nad muidugi nii detailselt ei maali, vaid kirjutavad lühemalt: Veel kord: teisele reale lisati esimene rida korrutatuna -2-ga. Rida korrutatakse tavaliselt suuliselt või mustandil, samal ajal kui arvutuste mõttekäik on umbes selline:

"Kirjutan maatriksi ümber ja kirjutan esimese rea ümber: »

Esimene veerg kõigepealt. Allpool pean saama nulli. Seetõttu korrutan ülaltoodud ühiku -2:-ga ja lisan esimese teise reale: 2 + (-2) = 0. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

"Nüüd teine ​​veerg. Üle -1 korda -2: . Esimese lisan teisele reale: 1 + 2 = 3. Kirjutan tulemuse teisele reale: »

"Ja kolmas veerg. Üle -5 korda -2: . Teisele reale lisan esimese rea: -7 + 10 = 3. Tulemuse kirjutan teisele reale: »

Palun mõelge see näide hoolega läbi ja saage aru järjestikuse arvutuse algoritmist, kui sellest aru saate, siis on Gaussi meetod praktiliselt "taskus". Kuid loomulikult me ​​töötame selle ümberkujundamise kallal endiselt.

Elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust ei muuda

! TÄHELEPANU: kaalutletud manipulatsioonid ei saa kasutada, kui sulle pakutakse ülesannet, kus maatriksid antakse "iseenesest". Näiteks "klassikaline" maatriksid mitte mingil juhul ei tohi maatriksite sees midagi ümber korraldada! Tuleme tagasi oma süsteemi juurde. Ta on praktiliselt tükkideks murtud.

Kirjutame süsteemi liitmaatriksi ja taandame elementaarteisenduste abil selle väärtuseks astmeline vaade:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Ja veel: miks me korrutame esimese rea -2-ga? Selleks, et saada allosas null, mis tähendab teises reas ühest muutujast vabanemist.

(2) Jagage teine ​​rida 3-ga.

Elementaarteisenduste eesmärk – teisendage maatriks astmeliseks vormiks: . Ülesande kujundamisel joonistavad nad lihtsa pliiatsiga otse välja “redeli” ja ringlevad ka “astmetel” asuvad numbrid. Mõiste "astmeline vaade" ise ei ole täiesti teoreetiline, teadus- ja õppekirjanduses nimetatakse seda sageli nn. trapetsikujuline vaade või kolmnurkne vaade.

Elementaarsete teisenduste tulemusena oleme saanud samaväärne algne võrrandisüsteem:

Nüüd tuleb süsteem "lahti keerata" vastupidises suunas - alt üles, seda protsessi nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Alumises võrrandis on meil juba valmis tulemus: .

Mõelge süsteemi esimesele võrrandile ja asendage sellega juba teadaolev "y" väärtus:

Vaatleme kõige tavalisemat olukorda, kus kolme tundmatuga kolme lineaarvõrrandi süsteemi lahendamiseks on vaja Gaussi meetodit.

Näide 1

Lahendage võrrandisüsteem Gaussi meetodi abil:

Kirjutame süsteemi liitmaatriksi:

Nüüd joonistan kohe tulemuse, milleni lahenduse käigus jõuame: Ja kordan, meie eesmärk on viia maatriks astmelisele kujule, kasutades elementaarseid teisendusi. Kust alustada tegutsemist?

Kõigepealt vaadake ülemist vasakpoolset numbrit: Peaks peaaegu alati siin olema üksus. Üldjuhul sobivad ka -1 (ja vahel ka teised numbrid), aga kuidagi on traditsiooniliselt juhtunud, et sinna pannakse tavaliselt ühik. Kuidas üksust organiseerida? Vaatame esimest veergu - meil on valmis üksus! Esimene teisendus: vahetage esimene ja kolmas rida:

Nüüd jääb esimene rida muutumatuks kuni lahenduse lõpuni. Nüüd hästi.

Üleval vasakul asuv üksus on organiseeritud. Nüüd peate nendes kohtades saama nullid:

Nullid saadakse lihtsalt "raske" teisenduse abil. Esiteks tegeleme teise reaga (2, -1, 3, 13). Mida tuleb teha, et esikohale null saada? Vaja teisele reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -2-ga. Vaimselt või mustandi põhjal korrutame esimese rea -2-ga: (-2, -4, 2, -18). Ja me teostame järjekindlalt (taas vaimselt või mustandi alusel) lisamist, teisele reale lisame esimese rea, mis on juba korrutatud -2-ga:

Tulemus kirjutatakse teisele reale:

Samamoodi käsitleme kolmandat rida (3, 2, -5, -1). Esimesel positsioonil nulli saamiseks peate kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Vaimselt või mustandi põhjal korrutame esimese rea -3-ga: (-3, -6, 3, -27). Ja kolmandale reale lisame esimese rea korrutatuna -3-ga:

Tulemus kirjutatakse kolmandale reale:

Praktikas tehakse need toimingud tavaliselt suuliselt ja pannakse kirja ühes etapis:

Pole vaja kõike korraga ja samal ajal lugeda. Arvutuste järjekord ja tulemuste "sisestamine". järjekindel ja tavaliselt nii: kõigepealt kirjutame esimese rea ümber ja pahvime end vaikselt - JÄÄKSELT ja HOOLIKALT:
Ja arvutuste enda mõttelist kulgu olen juba eespool käsitlenud.

Selles näites on seda lihtne teha, jagame teise rea -5-ga (kuna kõik seal olevad arvud jaguvad 5-ga ilma jäägita). Samal ajal jagame kolmanda rea ​​-2-ga, sest mida väiksem arv, seda lihtsam on lahendus:

Elementaarsete teisenduste viimases etapis tuleb siin saada veel üks null:

Selle jaoks kolmandale reale lisame teise rea, korrutatuna -2-ga:
Proovige seda toimingut ise sõeluda - korrutage teine ​​rida mõtteliselt -2-ga ja viige läbi liitmine.

Viimane toiming on tulemuse soeng, jagage kolmas rida 3-ga.

Elementaarteisenduste tulemusena saadi ekvivalentne algne lineaarvõrrandisüsteem: Lahe.

Nüüd tuleb mängu Gaussi meetodi vastupidine kulg. Võrrandid "kerivad lahti" alt üles.

Kolmandas võrrandis on meil juba valmis tulemus:

Vaatame teist võrrandit: . "z" tähendus on juba teada, seega:

Ja lõpuks esimene võrrand: . "Y" ja "Z" on teada, asi on väike:

Vastus:

Nagu korduvalt märgitud, on iga võrrandisüsteemi puhul võimalik ja vajalik leitud lahendust kontrollida, õnneks pole see keeruline ja kiire.

Näide 2

See on näide ise lahendamiseks, viimistlusnäidis ja vastus õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et teie tegevussuund ei pruugi kattuda minu tegevusega, ja see on Gaussi meetodi tunnusjoon. Aga vastused peavad olema samad!

Näide 3

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Seal peaks meil üksus olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole üldse kedagi, nii et ridade ümberpaigutamise abil ei saa midagi lahendada. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Ma tegin seda: (1) Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine ​​rida ei muutunud.

Nüüd üleval vasakul "miinus üks", mis sobib meile suurepäraselt. Kes soovib saada +1, saab teha täiendava liigutuse: korrutage esimene rida -1-ga (muutke selle märki).

(2) Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.

(3) Esimene rida korrutati -1-ga, põhimõtteliselt on see ilu jaoks. Ka kolmanda rea ​​märk muudeti ja viidi teisele kohale, seega oli meil teisel “sammul” soovitud üksus.

(4) 2-ga korrutatud teine ​​rida lisati kolmandale reale.

(5) Kolmas rida jagati 3-ga.

Halb märk, mis näitab arvutusviga (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui me saame midagi sellist, nagu allpool, ja vastavalt , siis võib suure tõenäosusega väita, et elementaarteisenduste käigus tehti viga.

Laestame vastupidise liikumise, näidete kujundamisel ei kirjutata sageli süsteemi ennast ümber ja võrrandid on “otse antud maatriksist võetud”. Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Jah, siin on kingitus:

Vastus: .

Näide 4

Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, see on mõnevõrra keerulisem. Pole hullu, kui keegi segadusse läheb. Täislahendus ja kujundusnäidis tunni lõpus. Teie lahendus võib minu omast erineda.

Viimases osas käsitleme mõnda Gaussi algoritmi omadust. Esimene omadus on see, et mõnikord puuduvad süsteemi võrrandites mõned muutujad, näiteks: Kuidas õigesti kirjutada süsteemi liitmaatriksit? Sellest hetkest rääkisin juba tunnis. Crameri reegel. Maatriksmeetod. Süsteemi laiendatud maatriksis paneme puuduvate muutujate asemele nullid: Muide, see on üsna lihtne näide, kuna esimeses veerus on juba üks null ja elementaarseid teisendusi tuleb teha vähem.

Teine omadus on see. Kõigis vaadeldavates näidetes panime “astmetele” kas –1 või +1. Kas võib olla muid numbreid? Mõnel juhul saavad nad. Mõelge süsteemile: .

Siin üleval vasakpoolsel "astmel" on meil kaksik. Kuid märkame tõsiasja, et kõik esimeses veerus olevad numbrid jaguvad 2-ga ilma jäägita - ja veel kahe ja kuuega. Ja meile sobib üleval vasakus olev deuce! Esimeses etapis peate tegema järgmised teisendused: lisage teisele reale esimene rida korrutatuna -1-ga; kolmandale reale lisage esimene rida, mis on korrutatud -3-ga. Seega saame esimeses veerus soovitud nullid.

Või veel üks hüpoteetiline näide: . Siin sobib meile ka teise “restangu” kolmik, kuna 12 (koht, kus peame nulli saama) jagub 3-ga ilma jäägita. On vaja läbi viia järgmine teisendus: kolmandale reale lisage teine ​​rida, korrutatuna -4-ga, mille tulemusena saadakse vajalik null.

Gaussi meetod on universaalne, kuid sellel on üks eripära. Saate julgelt õppida lahendama süsteeme teiste meetoditega (Crameri meetod, maatriksmeetod) sõna otseses mõttes esimesest korrast - seal on väga jäik algoritm. Kuid selleks, et tunda end Gaussi meetodis enesekindlalt, peaksite "käe täitma" ja lahendama vähemalt 5-10 kümmet süsteemi. Seetõttu võib alguses esineda segadust, arvutusvigu ning selles pole midagi ebatavalist ega traagilist.

Vihmane sügisilm akna taga .... Seega kõigile keerulisem näide iseseisvaks lahenduseks:

Näide 5

Lahendage Gaussi meetodil neljast lineaarsest võrrandist koosnev süsteem nelja tundmatuga.

Selline ülesanne praktikas pole nii haruldane. Arvan, et isegi teekann, kes on seda lehte põhjalikult uurinud, mõistab sellise süsteemi lahendamise algoritmi intuitiivselt. Põhimõtteliselt sama – lihtsalt rohkem tegevust.

Tunnis käsitletakse juhtumeid, kui süsteemil pole lahendusi (ebajärjekindlaid) või on lahendusi lõpmatult palju. Ühildumatud süsteemid ja ühise lahendusega süsteemid. Seal saate parandada Gaussi meetodi vaadeldud algoritmi.

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2: Lahendus : Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule.
Teostatud elementaarsed teisendused: (1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. Tähelepanu! Siin võib olla kiusatus lahutada esimene kolmandast reast, ma ei soovita kindlasti lahutada - eksimise oht suureneb oluliselt. Me lihtsalt foldime! (2) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Teine ja kolmas rida on vahetatud. Märge et "sammudel" oleme rahul mitte ainult ühega, vaid ka -1-ga, mis on veelgi mugavam. (3) Lisage kolmandale reale teine ​​rida, korrutatuna 5-ga. (4) Teise rea märk muudeti (korrutatud -1-ga). Kolmas rida jagati 14-ga.

Tagurpidi liikumine:

Vastus : .

Näide 4: Lahendus : Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi ja toome selle elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid: (1) Esimesele reale lisati teine ​​rida. Seega on soovitud üksus korraldatud vasakpoolses ülanurgas. (2) Esimene rida, mis on korrutatud 7-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 6-ga, lisati kolmandale reale.

Teise "sammuga" on kõik hullem , on selle "kandidaadid" numbrid 17 ja 23 ning vajame kas ühte või -1. Teisendused (3) ja (4) on suunatud soovitud ühiku saamiseks (3) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga. (4) Teisele reale lisati kolmas rida, mis on korrutatud -3-ga. Teisel sammul vajalik asi kätte saadud . (5) Kolmandale reale lisati teine, korrutatuna 6-ga. (6) Teine rida korrutati -1-ga, kolmas rida jagati -83-ga.

Tagurpidi liikumine:

Vastus :

Näide 5: Lahendus : Kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Teostatud konversioonid: (1) Esimene ja teine ​​rida on vahetatud. (2) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati neljandale reale, korrutatuna -3-ga. (3) Kolmandale reale lisati teine ​​rida, mis on korrutatud 4-ga. Neljandale reale lisati teine ​​rida, mis on korrutatud -1-ga. (4) Teise rea märk on muudetud. Neljas rida jagati 3-ga ja asetati kolmanda rea ​​asemele. (5) Kolmas rida lisati neljandale reale, korrutatuna -5-ga.

Tagurpidi liikumine:

Vastus :

Alates 16.-18. sajandi algusest hakkasid matemaatikud intensiivselt uurima funktsioone, tänu millele on meie elus nii mõndagi muutunud. Ilma nende teadmisteta poleks arvutitehnoloogiat lihtsalt olemas. Lahenduste jaoks väljakutseid pakkuvad ülesanded, loodi lineaarvõrrandeid ja -funktsioone erinevaid mõisteid, teoreeme ja lahendusmeetodeid. Üks selliseid universaalseid ja ratsionaalseid meetodeid ja tehnikaid lineaarvõrrandite ja nende süsteemide lahendamiseks oli Gaussi meetod. Maatriksid, nende auaste, determinant – kõike saab arvutada ilma keerulisi tehteid kasutamata.

Mis on SLAU

Matemaatikas on mõiste SLAE - lineaarne süsteem algebralised võrrandid. Mida ta esindab? See on m võrrandite kogum nõutava n tundmatuga, mida tavaliselt tähistatakse kui x, y, z või x 1 , x 2 ... x n või muid sümboleid. Selle süsteemi lahendamine Gaussi meetodil tähendab kõigi tundmatute leidmist. Kui süsteemis on sama arv tundmatuid ja võrrandeid, siis nimetatakse seda n-ndat järku süsteemiks.

Kõige populaarsemad meetodid SLAE lahendamiseks

AT õppeasutused keskhariduses õpitakse erinevaid tehnikaid selliste süsteemide lahendamiseks. Enamasti on need lihtsad võrrandid, mis koosnevad kahest tundmatust, seega mis tahes olemasolev meetod neile vastuste leidmine ei võta kaua aega. See võib olla nagu asendusmeetod, kui ühest võrrandist tuletatakse teine ​​võrrand ja asendatakse see algse võrrandiga. Või termini haaval lahutamine ja liitmine. Kuid Gaussi meetodit peetakse kõige lihtsamaks ja universaalsemaks. See võimaldab lahendada võrrandeid mis tahes arvu tundmatutega. Miks peetakse seda tehnikat ratsionaalseks? Kõik on lihtne. Maatriksmeetod on hea, kuna see ei nõua tarbetute märkide tundmatute kujul ümberkirjutamist mitu korda, piisab, kui teha koefitsientidega aritmeetilisi tehteid - ja saate usaldusväärse tulemuse.

Kus SLAE-sid praktikas kasutatakse?

SLAE lahenduseks on funktsioonide graafikute sirgete lõikepunktid. Meie kõrgtehnoloogilisel arvutiajastul peavad mängude ja muude programmide arendamisega tihedalt seotud inimesed teadma, kuidas selliseid süsteeme lahendada, mida need kujutavad ja kuidas saadud tulemuse õigsust kontrollida. Kõige sagedamini töötavad programmeerijad välja spetsiaalsed lineaaralgebrakalkulaatorid, see hõlmab lineaarsete võrrandite süsteemi. Gaussi meetod võimaldab teil arvutada kõik olemasolevaid lahendusi. Kasutatakse ka muid lihtsustatud valemeid ja tehnikaid.

SLAE ühilduvuskriteerium

Sellist süsteemi saab lahendada ainult siis, kui see on ühilduv. Selguse huvides esitame SLAE kujul Ax=b. Sellel on lahendus, kui rang(A) võrdub rang(A,b). Sel juhul on (A,b) laiendatud vormimaatriks, mille saab maatriksist A vabade terminitega ümber kirjutades. Selgub, et lineaarvõrrandite lahendamine Gaussi meetodi abil on üsna lihtne.

Võib-olla pole mõni märge täiesti selge, seetõttu on vaja kõike näite abil käsitleda. Oletame, et on olemas süsteem: x+y=1; 2x-3a = 6. See koosneb ainult kahest võrrandist, milles on 2 tundmatut. Süsteemil on lahendus ainult siis, kui selle maatriksi aste on võrdne suurendatud maatriksi astmega. Mis on auaste? See on süsteemi sõltumatute ridade arv. Meie puhul on maatriksi järjestus 2. Maatriks A koosneb tundmatute lähedal asuvatest koefitsientidest ja laiendatud maatriksisse mahuvad ka "=" märgi taga olevad koefitsiendid.

Miks saab SLAE-d esitada maatriksi kujul

Tõestatud Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi ühilduvuskriteeriumi alusel saab lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esitada maatrikskujul. Kasutades Gaussi kaskaadi meetodit, saate lahendada maatriksi ja saada kogu süsteemi jaoks ainsa usaldusväärse vastuse. Kui tavalise maatriksi auaste on võrdne selle laiendatud maatriksi auastmega, kuid väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteemil lõpmatu arv vastuseid.

Maatriksiteisendused

Enne maatriksite lahendamise juurde asumist on vaja teada, milliseid toiminguid saab nende elementidega teha. On mitmeid elementaarseid teisendusi:

• Süsteemi maatrikskujule ümber kirjutades ja selle lahendamist teostades on võimalik kõik seeria elemendid korrutada sama koefitsiendiga.
• Maatriksi teisendamiseks kanooniliseks vormiks saab vahetada kaks paralleelset rida. Kanooniline vorm tähendab, et kõik maatriksi elemendid, mis asuvad piki põhidiagonaali, muutuvad ühtedeks ja ülejäänud nullideks.
• Maatriksi paralleelsete ridade vastavaid elemente saab üksteisele liita.

Jordani-Gaussi meetod

Lineaarsete homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite süsteemide Gaussi meetodil lahendamise põhiolemus on tundmatute järkjärguline kõrvaldamine. Oletame, et meil on kahe võrrandi süsteem, milles on kaks tundmatut. Nende leidmiseks peate kontrollima süsteemi ühilduvust. Gaussi võrrand lahendatakse väga lihtsalt. Iga tundmatu lähedal asuvad koefitsiendid tuleb maatrikskujul välja kirjutada. Süsteemi lahendamiseks tuleb välja kirjutada liitmaatriks. Kui ühes võrrandis on väiksem arv tundmatuid, siis tuleb puuduva elemendi asemele panna "0". Maatriksile rakendatakse kõiki teadaolevaid teisendusmeetodeid: korrutamist, arvuga jagamist, ridade vastavate elementide üksteisele liitmist ja muud. Selgub, et igas reas on vaja jätta üks muutuja väärtusega "1", ülejäänud tuleks vähendada nullini. Täpsema arusaamise jaoks on vaja käsitleda Gaussi meetodit näidetega.

Lihtne näide 2x2 süsteemi lahendamisest

Alustuseks võtame lihtsa algebralise võrrandisüsteemi, milles on 2 tundmatut.

Kirjutame selle ümber liitmaatriksisse.

Selle lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks on vaja ainult kahte tehtet. Peame viima maatriksi kanoonilisele kujule, nii et piki põhidiagonaali oleks ühikuid. Niisiis, tõlkides maatriksvormilt tagasi süsteemi, saame võrrandid: 1x+0y=b1 ja 0x+1y=b2, kus b1 ja b2 on lahendamise käigus saadud vastused.

1. Esimene samm liitmaatriksi lahendamisel on järgmine: esimene rida tuleb korrutada -7-ga ja lisada vastavad elemendid vastavalt teisele reale, et vabaneda teises võrrandis ühest tundmatust.
2. Kuna võrrandite lahendamine Gaussi meetodil eeldab maatriksi viimist kanoonilisele kujule, siis on vaja teha samad toimingud esimese võrrandiga ja eemaldada teine ​​muutuja. Selleks lahutame esimesest teise rea ja saame vajaliku vastuse - SLAE lahenduse. Või, nagu joonisel näidatud, korrutame teise rea koefitsiendiga -1 ja lisame teise rea elemendid esimesele reale. See on sama.

Nagu näete, on meie süsteem lahendatud Jordani-Gaussi meetodil. Kirjutame selle ümber nõutud kujul: x=-5, y=7.

Näide SLAE 3x3 lahendamisest

Oletame, et meil on keerulisem lineaarvõrrandisüsteem. Gaussi meetod võimaldab välja arvutada vastuse ka kõige segasema näiva süsteemi puhul. Seetõttu võite arvutusmetoodikasse süvenemiseks liikuda edasi keeruline näide kolme tundmatuga.

Nagu eelmises näites, kirjutame süsteemi ümber laiendatud maatriksi kujul ja hakkame seda kanoonilisele kujule viima.

Selle süsteemi lahendamiseks peate tegema palju rohkem toiminguid kui eelmises näites.

1. Kõigepealt peate esimesse veergu tegema ühe elemendi ja ülejäänud nullid. Selleks korrutage esimene võrrand -1-ga ja lisage sellele teine ​​võrrand. Oluline on meeles pidada, et kirjutame esimese rea ümber selle algsel kujul ja teise - juba muudetud kujul.
2. Järgmisena eemaldame kolmandast võrrandist sama esimese tundmatu. Selleks korrutame esimese rea elemendid -2-ga ja lisame need kolmandale reale. Nüüd kirjutatakse esimene ja teine ​​rida ümber nende algsel kujul ja kolmas - juba muudatustega. Nagu tulemusest näha, saime esimese maatriksi põhidiagonaali algusesse ja ülejäänud on nullid. Veel mõned toimingud ja Gaussi meetodi võrrandisüsteem on usaldusväärselt lahendatud.
3. Nüüd peate tegema toiminguid ridade teiste elementidega. Kolmanda ja neljanda sammu saab ühendada üheks. Diagonaali negatiivsetest vabanemiseks peame teise ja kolmanda rea ​​jagama -1-ga. Kolmanda rea ​​oleme juba viinud vajalikule vormile.
4. Järgmisena kanoniseerime teise rea. Selleks korrutame kolmanda rea ​​elemendid -3-ga ja lisame need maatriksi teisele reale. Tulemusest on näha, et ka teine ​​rida taandatakse meile vajalikule kujule. Jääb teha veel paar toimingut ja eemaldada esimesest reast tundmatute koefitsiendid.
5. Rea teisest elemendist 0 saamiseks tuleb kolmas rida korrutada -3-ga ja lisada see esimesele reale.
6. Järgmine otsustav samm on teise rea vajalike elementide lisamine esimesse ritta. Nii saame maatriksi kanoonilise vormi ja vastavalt ka vastuse.

Nagu näete, on võrrandite lahendamine Gaussi meetodil üsna lihtne.

Näide 4x4 võrrandisüsteemi lahendamisest

Natuke veel keerulised süsteemid võrrandeid saab Gaussi meetodil lahendada abil arvutiprogrammid. Olemasolevatesse tühjadesse lahtritesse on vaja juhtida tundmatute koefitsiendid ja programm arvutab samm-sammult vajaliku tulemuse, kirjeldades iga toimingut üksikasjalikult.

Kirjeldatud allpool samm-sammult juhis lahendused sellele näitele.

Esimeses etapis sisestatakse tühjadesse lahtritesse vabad koefitsiendid ja tundmatute arvud. Seega saame sama suurendatud maatriksi, mille kirjutame käsitsi.

Ja laiendatud maatriksi kanoonilisele vormile viimiseks tehakse kõik vajalikud aritmeetilised toimingud. Tuleb mõista, et võrrandisüsteemi vastus ei ole alati täisarvud. Mõnikord võib lahendus olla murdarvudest.

Lahenduse õigsuse kontrollimine

Jordan-Gaussi meetod näeb ette tulemuse õigsuse kontrollimise. Selleks, et teada saada, kas koefitsiendid on õigesti arvutatud, peate lihtsalt asendama tulemuse algse võrrandisüsteemiga. Võrrandi vasak pool peab ühtima parema poolega, mis on võrdusmärgi taga. Kui vastused ei ühti, siis peate süsteemi ümber arvutama või proovima rakendada mõnda teist teile teadaolevat SLAE lahendamise meetodit, näiteks asendamist või termini kaupa lahutamist ja liitmist. Lõppude lõpuks on matemaatika teadus, millel on tohutult palju erinevaid tehnikaid lahendusi. Kuid pidage meeles: tulemus peaks olema alati sama, olenemata sellest, millist lahendusmeetodit kasutasite.

Gaussi meetod: levinumad vead SLAE lahendamisel

Lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamisel esineb kõige sagedamini vigu, näiteks koefitsientide ebaõige ülekandmine maatriksvormile. On süsteeme, kus ühes võrrandis puuduvad mõned tundmatud, siis võivad need andmed laiendatud maatriksisse ülekandmisel kaduda. Selle tulemusena ei pruugi selle süsteemi lahendamisel tulemus vastata tegelikule.

Teine peamine viga võib olla lõpptulemuse vale väljakirjutamine. Tuleb selgelt mõista, et esimene koefitsient vastab esimesele süsteemist tundmatule, teine ​​- teisele ja nii edasi.

Gaussi meetod kirjeldab üksikasjalikult lineaarvõrrandite lahendamist. Tänu temale on lihtne teha vajalikke toiminguid ja leida õige tulemus. Lisaks sellele universaalne ravim mis tahes keerukusega võrranditele usaldusväärse vastuse otsimiseks. Võib-olla just seetõttu kasutatakse seda SLAE lahendamisel nii sageli.