Erinevad viisid Pythagorase teoreemi tõestamiseks. Pythagorase teoreem: taust, tõendid, praktilise rakenduse näited

Pythagorase teoreemi animeeritud tõestus on üks põhiline Eukleidilise geomeetria teoreemid, mis määravad seose täisnurkse kolmnurga külgede vahel. Arvatakse, et selle tõestas kreeka matemaatik Pythagoras, kelle järgi see on nime saanud (on ka teisi versioone, eriti alternatiivne arvamus, et see teoreem on üldine vaade sõnastas Pythagorase matemaatik Hippasus).
Teoreem ütleb:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne jalgadele ehitatud ruutude pindalade summaga.

Tähistab kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused nagu a ja b, saame järgmise valemi:

Seega kehtestab Pythagorase teoreem seose, mis võimaldab teil määrata täisnurkse kolmnurga külje, teades ülejäänud kahe pikkusi. Pythagorase teoreem on koosinusteoreemi erijuhtum, mis määrab suvalise kolmnurga külgede vahelise seose.
Tõestatakse ka vastupidine väide (mida nimetatakse ka Pythagorase pöördteoreemiks):

Mis tahes kolme positiivse arvu a, b ja c korral, nii et a ? +b? = c ?, on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ning hüpotenuus c.

Visuaalsed tõendid kolmnurga (3, 4, 5) kohta Chu Peist 500-200 eKr. Teoreemi ajalugu võib jagada neljaks osaks: teadmised Pythagorase arvude kohta, teadmised täisnurkse kolmnurga külgede suhte kohta, teadmised suhte kohta külgnevad nurgad ja teoreemi tõestus.
Megaliitstruktuurid umbes 2500 eKr Egiptuses ja Põhja-Euroopas sisaldavad täisnurkseid kolmnurki täisarvude külgedega. Barthel Leendert van der Waerden oletas, et neil päevil leiti Pythagorase arvud algebraliselt.
Kirjutatud aastatel 2000–1876 eKr papüürus Egiptuse Keskriigist Berliin 6619 sisaldab ülesannet, mille lahenduseks on Pythagorase arvud.
Hammurapi Suure valitsusajal Vibüloonia tahvel Plimpton 322, aastatel 1790–1750 eKr kirjutatud, sisaldab palju Pythagorase arvudega tihedalt seotud kirjeid.
Budhayana suutrates, mis on erinevate versioonide järgi dateeritud kaheksandasse või teisesse sajandisse eKr. Indias sisaldab algebraliselt tuletatud Pythagorase numbreid, Pythagorase teoreemi sõnastust ja võrdhaarse täisnurkse kolmnurga geomeetrilist tõestust.
Apastamba suutrad (umbes 600 eKr) sisaldavad Pythagorase teoreemi arvulist tõestust pindalaarvutuste abil. Van der Waerden usub, et see põhines oma eelkäijate traditsioonidel. Albert Burko sõnul on see teoreemi algne tõestus ja ta viitab sellele, et Pythagoras külastas Arakoni ja kopeeris selle.
Pythagoras, kelle eluaastateks on tavaliselt märgitud 569 – 475 eKr. kasutab algebralised meetodid Pythagorase arvude arvutamine, vastavalt Proklovi kommentaaridele Eukleidese kohta. Proklos elas aga aastatel 410–485 pKr. Thomas Giese sõnul ei viita teoreemi autorlusele viis sajandit pärast Pythagorast. Kui aga autorid, nagu Plutarchos või Cicero, omistavad teoreemi Pythagorasele, teevad nad seda nii, nagu oleks autorsus laialt teada ja kindel.
Umbes 400 eKr Proklose järgi andis Platon meetodi Pythagorase arvude arvutamiseks, ühendades algebra ja geomeetria. Umbes 300 eKr, aastal Algused Eukleides, meil on vanim aksiomaatiline tõend, mis on säilinud tänapäevani.
Kirjutatud millalgi vahemikus 500 eKr. ja 200 eKr, Hiina matemaatiline raamat "Chu Pei" (? ? ? ?) annab visuaalse tõestuse Pythagorase teoreemile, mida Hiinas nimetatakse gugu teoreemiks (????), külgedega kolmnurga (3) kohta. , 4, 5). Hani dünastia valitsemisajal, alates 202 eKr. enne aastat 220 pKr Pythagorase arvud esinevad raamatus "Matemaatikakunsti üheksa osa" koos täisnurksete kolmnurkade mainimisega.
Teoreemi kasutamine on esmakordselt dokumenteeritud Hiinas, kus seda tuntakse gugu teoreemina (????) ja Indias, kus seda tuntakse Baskari teoreemina.
Paljud arutlevad selle üle, kas Pythagorase teoreem avastati üks kord või korduvalt. Boyer (1991) usub, et Shulba Sutras leiduvad teadmised võivad olla Mesopotaamia päritolu.
Algebraline tõestus
Neljast täisnurksest kolmnurgast moodustatakse ruudud. Pythagorase teoreemile on teada üle saja tõestuse. Siin põhinevad tõendid kujundi pindala olemasolu teoreemil:

Asetage neli identset täisnurkset kolmnurka, nagu joonisel näidatud.
Nelinurk külgedega c on ruut, sest kahe summa teravad nurgad, Ja arenenud nurk on .
Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on "a + b", ja teiselt poolt nelja kolmnurga pindalade ja sisemise ruudu summaga. .

Mida on vaja tõestada.
Kolmnurkade sarnasuse järgi
Sarnaste kolmnurkade kasutamine. Lase ABC on täisnurkne kolmnurk, milles nurk C sirge, nagu pildil näidatud. Joonistame punktist kõrguse c, ja helistada H ristumispunkt küljega AB. Moodustatud kolmnurk ACH nagu kolmnurk abc, kuna need on mõlemad ristkülikukujulised (kõrguse määratluse järgi) ja neil on ühine nurk A, ilmselt on kolmas nurk ka nendes kolmnurkades sama. Samamoodi mirkuyuyuchy, kolmnurk CBH sarnane ka kolmnurgaga ABC. Kolmnurkade sarnasusest: Kui

Seda saab kirjutada kui

Kui lisame need kaks võrdsust, saame

HB + c korda AH = c korda (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Teisisõnu, Pythagorase teoreem:

Eukleidese tõestus
Eukleidese tõestus eukleidilistes "printsiipides", Pythagorase teoreem, mis on tõestatud rööpküliku meetodil. Lase A, B, C täisnurkse kolmnurga tipud, täisnurgaga A. Kujutage punktist risti A hüpotenuusi vastasküljele hüpotenuusile ehitatud ruudus. Joon jagab ruudu kaheks ristkülikuks, millest igaühe pindala on sama, mis jalgadele ehitatud ruutudel. peamine idee tõestuseks on see, et ülemised ruudud muudetakse sama ala rööpkülikuteks ja siis tulevad tagasi ja muutuvad alumises ruudus ristkülikuteks ja uuesti sama alaga.

Joonistame segmendid CF ja AD, saame kolmnurgad BCF ja BDA.
nurgad TAKSO ja KOTTI- sirge; punktid C, A ja G on kollineaarsed. Samamoodi B, A ja H.
nurgad CBD ja FBA- mõlemad on sirged, siis nurk ABD võrdne nurgaga fbc, kuna mõlemad on täisnurga ja nurga summa ABC.
Kolmnurk ABD ja FBC tase kahel küljel ja nendevaheline nurk.
Sest täpid A, K ja L– kollineaarne, ristküliku BDLK pindala on võrdne kolmnurga kahe pindalaga ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Samamoodi saame CKLE = ACIH = AC 2
Ühel pool ala CBDE võrdne ristkülikute pindalade summaga BDLK ja CKLE, teisest küljest ruudu pindala BC2, või AB 2 + AC 2 = eKr 2.

Diferentsiaalide kasutamine
Diferentsiaalide kasutamine. Pythagorase teoreemini saab jõuda uurides, kuidas külje juurdekasv mõjutab hüpotenuusi pikkust, nagu on näidatud parempoolsel joonisel, ja rakendades väikest arvutust.
Külje kasvu tulemusena a, sarnastest kolmnurkadest lõpmata väikeste sammude jaoks

Integreerimise saame

Kui a a= 0 siis c = b, nii et "konstant" on b 2. Siis

Nagu näha, on ruudud tingitud juurdekasvu ja külgede vahekorrast, samas kui summa on külgede juurdekasvu sõltumatu panuse tulemus, mis ei ilmne geomeetrilistest tõenditest. Nendes võrrandites da ja dc on vastavalt külgede lõpmatult väikesed sammud a ja c. Aga nende asemel me kasutame? a ja? c, siis on suhte piir, kui need kipuvad nulli da / alalisvool, tuletis ja on samuti võrdne c / a, kolmnurkade külgede pikkuste suhe, mille tulemusena saame diferentsiaalvõrrandi.
Ortogonaalse vektorite süsteemi korral toimub võrdsus, mida nimetatakse ka Pythagorase teoreemiks:

Kui - Need on vektori projektsioonid koordinaattelgedele, siis see valem langeb kokku eukleidilise kaugusega ja tähendab, et vektori pikkus on võrdne juurega ruutsumma selle komponentide ruudud.
Selle võrdsuse analoogi lõpmatu vektorite süsteemi korral nimetatakse Parsevali võrduseks.

Pythagorase teoreem- üks eukleidilise geomeetria põhiteoreeme, mis loob seose

täisnurkse kolmnurga külgede vahele.

Arvatakse, et selle tõestas Kreeka matemaatik Pythagoras, kelle järgi see ka oma nime sai.

Pythagorase teoreemi geomeetriline sõnastus.

Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:

Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala võrdne ruutude pindalade summaga,

ehitatud kateetritele.

Pythagorase teoreemi algebraline sõnastus.

Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi pikkuse ruut on võrdne summaga jalgade pikkuse ruudud.

See tähendab, et tähistab läbiva kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a ja b:

Mõlemad koostised Pythagorase teoreemid on samaväärsed, kuid teine ​​sõnastus on elementaarsem, aga mitte

nõuab pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida ilma piirkonnast midagi teadmata ja

mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.

Pythagorase pöördteoreem.

Kui kolmnurga ühe külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, siis

kolmnurk on ristkülikukujuline.

Või teisisõnu:

Mis tahes positiivsete arvude kolmiku korral a, b ja c, selline, et

on täisnurkne kolmnurk jalgadega a ja b ja hüpotenuus c.

Pythagorase teoreem võrdhaarse kolmnurga kohta.

Pythagorase teoreem võrdkülgse kolmnurga jaoks.

Pythagorase teoreemi tõestused.

Hetkel on teaduskirjanduses kirja pandud 367 selle teoreemi tõestust. Ilmselt teoreem

Pythagoras on ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Selline mitmekesisus

saab seletada ainult teoreemi fundamentaalse tähtsusega geomeetria jaoks.

Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Neist kuulsaimad:

tõestus pindala meetod, aksiomaatiline ja eksootilised tõendid(näiteks,

kasutades diferentsiaalvõrrandid).

1. Pythagorase teoreemi tõestus sarnaste kolmnurkade järgi.

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on konstrueeritud tõestustest kõige lihtsam

otse aksioomidest. Eelkõige ei kasuta see figuuri pindala mõistet.

Lase ABC on täisnurkne kolmnurk C. Joonistame kõrguse C ja tähistada

selle vundament läbi H.

Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga AB C kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC.

Märkuse sisseviimisega:

saame:

,

mis sobib -

Olles voltinud a 2 ja b 2, saame:

või , mida tuli tõestada.

2. Pythagorase teoreemi tõestamine pindalameetodil.

Vaatamata näilisele lihtsusele ei ole järgmised tõestused sugugi nii lihtsad. Kõik nemad

kasutada ala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

• Tõestus võrdustäiendamise kaudu.

Korraldage neli võrdset ristkülikukujulist

kolmnurk, nagu pildil näidatud

paremal.

Nelinurk külgedega c- ruut,

kuna kahe teravnurga summa on 90° ja

arendatud nurk on 180°.

Kogu figuuri pindala on ühelt poolt

küljega ruudu pindala ( a+b) ja teisest küljest nelja kolmnurga pindalade summa ja

Q.E.D.

3. Pythagorase teoreemi tõestamine lõpmatuarvu meetodil.

​

Arvestades joonisel näidatud joonist ja

jälgides, kuidas pool muutuba, me saame

kirjuta lõpmatu jaoks järgmine seos

väike külgmised juurdekasvudKoos ja a(kasutades sarnasust

kolmnurgad):

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame:

Üldisem väljend hüpotenuusi muutmiseks mõlema jala juurdekasvu korral:

Integreerimine antud võrrand ja kasutades algtingimusi, saame:

Seega jõuame soovitud vastuseni:

Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus lineaarsuse tõttu

proportsionaalsus kolmnurga külgede ja juurdekasvu vahel, samas kui summa on seotud sõltumatuga

panused erinevate jalgade juurdekasvust.

Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei koge juurdekasvu

(antud juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks:

Pythagorase teoreem: jalgadele toetatud ruutude pindalade summa ( a ja b), võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga ( c).

Geomeetriline koostis:

Teoreem oli algselt sõnastatud järgmiselt:

Algebraline formuleering:

See tähendab, et tähistab läbiva kolmnurga hüpotenuusi pikkust c, ja jalgade pikkused läbi a ja b :

Teoreemi mõlemad sõnastused on samaväärsed, kuid teine ​​formuleering on elementaarsem, see ei nõua pindala mõistet. See tähendab, et teist väidet saab kontrollida pindala kohta midagi teadmata ja mõõtes ainult täisnurkse kolmnurga külgede pikkusi.

Pythagorase pöördteoreem:

Tõestus

Hetkel on teaduskirjanduses kirja pandud 367 selle teoreemi tõestust. Tõenäoliselt on Pythagorase teoreem ainus teoreem, millel on nii muljetavaldav hulk tõestusi. Sellist mitmekesisust saab seletada ainult teoreemi põhimõttelise tähtsusega geomeetria jaoks.

Mõistagi võib neid kõiki jagada väheseks arvuks klassideks. Tuntuimad neist: tõestused pindalameetodil, aksiomaatilised ja eksootilised tõestused (näiteks diferentsiaalvõrrandite abil).

Läbi sarnaste kolmnurkade

Järgmine algebralise formuleeringu tõestus on otse aksioomidest koostatud tõestustest lihtsaim. Eelkõige ei kasuta see figuuriala mõistet.

Lase ABC on täisnurkne kolmnurk C. Joonistame kõrguse C ja tähistage selle alust H. Kolmnurk ACH sarnane kolmnurgaga ABC kahes nurgas. Samamoodi kolmnurk CBH sarnased ABC. Tutvustame noodikirja

saame

Mis on samaväärne

Lisades saame

Piirkonna tõendid

Vaatamata näilisele lihtsusele ei ole järgmised tõestused sugugi nii lihtsad. Kõik need kasutavad ala omadusi, mille tõestamine on keerulisem kui Pythagorase teoreemi enda tõestamine.

Tõestus samaväärsuse kaudu

1. Järjesta neli võrdset täisnurkne kolmnurk nagu on näidatud joonisel 1.
2. Nelinurk külgedega c on ruut, sest kahe teravnurga summa on 90° ja sirge nurk on 180°.
3. Kogu joonise pindala on ühelt poolt võrdne ruudu pindalaga, mille külg on (a + b) ja teiselt poolt nelja kolmnurga ja kahe sisemise kolmnurga pindalade summaga. ruudud.

Q.E.D.

Tõendid samaväärsuse kaudu

Elegantne permutatsioonitõend

Ühe sellise tõestuse näide on näidatud parempoolsel joonisel, kus hüpotenuusile ehitatud ruut muudetakse permutatsiooni teel kaheks jalgadele ehitatud ruuduks.

Eukleidese tõestus

Joonis Eukleidese tõestuseks

Illustratsioon Eukleidese tõestuseks

Eukleidese tõestuse idee on järgmine: proovime tõestada, et pool hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast võrdub jalgadele ehitatud ruutude poolte pindalade summaga ja seejärel suur ja kaks väikest ruutu on võrdsed.

Mõelge vasakpoolsele joonisele. Ehitasime sellele täisnurkse kolmnurga külgedele ruudud ja joonistasime täisnurga C tipust täisnurga C tipust AB kiire, mis lõikab hüpotenuusile ehitatud ruudu ABIK kaheks ristkülikuks - BHJI ja HAKJ , vastavalt. Selgub, et nende ristkülikute pindalad on täpselt võrdsed vastavatele jalgadele ehitatud ruutude pindaladega.

Proovime tõestada, et ruudu DECA pindala on võrdne ristküliku pindalaga AHJK Selleks kasutame abivaatlust: antud kolmnurga pindala, mille kõrgus ja alus on sama kui antud. ristkülik on võrdne poolega antud ristküliku pindalast. See tuleneb sellest, et kolmnurga pindala on pool aluse ja kõrguse korrutisest. Sellest tähelepanekust järeldub, et kolmnurga ACK pindala on võrdne kolmnurga AHK pindalaga (pole näidatud), mis omakorda on võrdne poolega ristküliku AHJK pindalast.

Tõestame nüüd, et kolmnurga ACK pindala on samuti võrdne poolega DECA ruudu pindalast. Ainus asi, mida selleks teha tuleb, on tõestada kolmnurkade ACK ja BDA võrdsust (kuna kolmnurga BDA pindala on ülaltoodud omaduse võrra võrdne poole ruudu pindalaga). See võrdsus on ilmne, kolmnurgad on kahes küljes ja nendevahelises nurgas võrdsed. Nimelt - AB=AK,AD=AC - nurkade CAK ja BAD võrdsust on lihtne tõestada liikumismeetodiga: pöörame kolmnurka CAK 90° vastupäeva, siis on ilmne, et kahe vaadeldava kolmnurga vastavad küljed langevad kokku (tänu asjaolule, et nurga ruudu tipus on 90°).

Argument ruudu BCFG ja ristküliku BHJI pindalade võrdsuse kohta on täiesti analoogne.

Seega oleme tõestanud, et hüpotenuusile ehitatud ruudu pindala on jalgadele ehitatud ruutude pindalade summa. Selle tõestuse idee on veelgi illustreeritud ülaltoodud animatsiooniga.

Leonardo da Vinci tõend

Leonardo da Vinci tõend

Tõestuse põhielemendid on sümmeetria ja liikumine.

Mõelge joonisele, nagu on näha sümmeetriast, segmendist CI lahkab väljakut ABHJ kaheks identseks osaks (kuna kolmnurgad ABC ja JHI on ehituselt võrdsed). Kasutades 90 kraadi vastupäeva pööramist, näeme varjutatud kujundite võrdsust CAJI ja GDAB . Nüüd on selge, et meie poolt varjutatud kujundi pindala on võrdne jalgadele ehitatud ruutude poole pindala ja algse kolmnurga pindala summaga. Teisest küljest on see võrdne poolega hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalast, millele lisandub algse kolmnurga pindala. Viimane samm tõestus jääb lugeja hooleks.

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Järgnev diferentsiaalvõrrandeid kasutav tõestus on sageli omistatud kuulsale inglise matemaatikule Hardyle, kes elas 20. sajandi esimesel poolel.

Arvestades joonisel näidatud joonist ja jälgides külje muutust a, saame kirjutada järgmise seose lõpmatute külgmiste juurdekasvude jaoks Koos ja a(kasutades sarnaseid kolmnurki):

Tõestus lõpmatu väikese meetodiga

Kasutades muutujate eraldamise meetodit, leiame

Üldisem väljend hüpotenuusi muutmiseks mõlema jala juurdekasvu korral

Integreerides selle võrrandi ja kasutades algtingimusi, saame

Seega jõuame soovitud vastuseni

Nagu on lihtne näha, ilmneb lõplikus valemis ruutsõltuvus kolmnurga külgede ja sammude vahelise lineaarse proportsionaalsuse tõttu, samas kui summa on tingitud erinevate jalgade juurdekasvu sõltumatust panusest.

Lihtsama tõestuse saab, kui eeldame, et üks jalg ei koge juurdekasvu (antud juhul jalg b). Seejärel saame integratsioonikonstandi jaoks

Variatsioonid ja üldistused

• Kui ruutude asemel konstrueeritakse jalgadele muid sarnaseid kujundeid, on Pythagorase teoreemi järgmine üldistus tõene: Täisnurkses kolmnurgas võrdub jalgadele ehitatud sarnaste kujundite pindalade summa hüpotenuusile ehitatud kujundi pindalaga. Eriti:
  • Jalgadele ehitatud korrapäraste kolmnurkade pindalade summa on võrdne hüpotenuusile ehitatud korrapärase kolmnurga pindalaga.
  • Jalgadele ehitatud poolringide pindalade summa (nagu läbimõõdul) on võrdne hüpotenuusile ehitatud poolringi pindalaga. Seda näidet kasutatakse kahe ringikaarega piiratud ja hippokraatliku lunula nime kandvate kujundite omaduste tõestamiseks.

Lugu

Chu-pei 500–200 eKr. Vasakul on kiri: kõrguse ja aluse pikkuste ruutude summa on hüpotenuusi pikkuse ruut.

Vana-Hiina raamat Chu-pei räägib Pythagorase kolmnurk külgedega 3, 4 ja 5: samas raamatus on välja pakutud joonis, mis langeb kokku ühe Bashara hinduistliku geomeetria joonisega.

Kantor (suurim Saksa matemaatikaajaloolane) usub, et võrdsus 3 ² + 4 ² = 5² oli egiptlastele teada juba umbes 2300 eKr. e., kuningas Amenemhet I ajal (Berliini muuseumi papüüruse 6619 järgi). Cantori sõnul ehitasid harpedonaptid ehk "stringerid" täisnurki, kasutades täisnurkseid kolmnurki külgedega 3, 4 ja 5.

Nende ehitusmeetodit on väga lihtne reprodutseerida. Võtke 12 m pikkune köis ja siduge see 3 m kaugusel mööda värvilist riba selle külge. ühest otsast ja 4 meetri kaugusel teisest. 3–4 meetri pikkuste külgede vahele jääb täisnurk. Harpedonaptidele võib vastu vaielda, et nende ehitusviis muutub üleliigseks, kui kasutada näiteks kõigi puuseppade kasutatavat puidust väljakut. Tõepoolest, on teada Egiptuse joonised, millelt selline tööriist on leitud, näiteks puusepatöökoda kujutavad joonised.

Babüloonlaste seas on Pythagorase teoreemi kohta mõnevõrra rohkem teada. Ühes tekstis, mis pärineb Hammurapi ajast, s.o. aastast 2000 eKr. st on antud täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ligikaudne arvutus. Sellest võime järeldada, et Mesopotaamias suutsid nad vähemalt mõnel juhul teha arvutusi täisnurksete kolmnurkadega. Tuginedes ühelt poolt Egiptuse ja Babüloonia matemaatika teadmiste praegusele tasemele ning teiselt poolt Kreeka allikate kriitilisele uurimisele, järeldas Van der Waerden (Hollandi matemaatik) järgmise:

Kirjandus

Vene keeles

• Skopets Z. A. Geomeetrilised miniatuurid. M., 1990
• Jelena Sh. Pythagorase jälgedes. M., 1961
• Van der Waerden B.L.Äratusteadus. Matemaatika iidne Egiptus, Babüloonia ja Kreeka. M., 1959
• Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. M., 1982
• W. Litzman, "Pythagorase teoreem", M., 1960.
  • Suure hulga tõestustega sait Pythagorase teoreemi kohta, materjal on võetud V. Litzmani raamatust, suur number joonised esitatakse eraldi graafiliste failidena.
• Pythagorase teoreem ja Pythagorase kolmikute peatükk D. V. Anosovi raamatust “Pilk matemaatikasse ja midagi sellest”
• Pythagorase teoreemist ja selle tõestamise meetoditest G. Glaser, Venemaa Haridusakadeemia akadeemik, Moskva

Inglise keeles

• Pythagorase teoreem WolframMathWorldis
• Cut-The-Knot, Pythagorase teoreemi osa, umbes 70 tõestust ja ulatuslikku lisateavet (eng.)

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Neid, keda huvitab kooli õppekavas õpitava Pythagorase teoreemi ajalugu, huvitab ka selline tõsiasi nagu 1940. aastal ilmunud raamat, milles on kolmsada seitsekümmend tõestust sellele pealtnäha lihtsale teoreemile. Kuid see on paelunud paljude matemaatikute ja filosoofide meeli. erinevad ajastud. Guinnessi rekordite raamatus on see kirjas teoreemina, millel on maksimaalne arv tõestusi.

Pythagorase teoreemi ajalugu

Pythagorase nimega seostatud teoreem oli tuntud juba ammu enne suure filosoofi sündi. Nii võeti Egiptuses konstruktsioonide ehitamisel viis tuhat aastat tagasi arvesse täisnurkse kolmnurga külgede suhet. Babüloonia tekstides mainitakse sama täisnurkse kolmnurga külgede suhet 1200 aastat enne Pythagorase sündi.

Tekib küsimus, miks siis jutt ütleb – Pythagorase teoreemi tekkimine kuulub talle? Vastus saab olla ainult üks – ta tõestas kolmnurga külgede suhet. Ta tegi seda, mida sajandeid tagasi ei teinud need, kes kasutasid lihtsalt kogemuste põhjal loodud kuvasuhet ja hüpotenuusi.

Pythagorase elust

Tulevane suur teadlane, matemaatik, filosoof sündis Samose saarel aastal 570 eKr. Ajaloodokumendid on säilitanud andmeid Pythagorase isa kohta, kes oli nikerdaja vääriskivid aga ema kohta info puudub. Nad ütlesid sündinud poisi kohta, et see oli silmapaistev laps, kes näitas end koos lapsepõlves kirg muusika ja luule vastu. Ajaloolased omistavad Hermodamanti ja Syrose Pherekidese noorte Pythagorase õpetajatele. Esimene juhatas poisi muusade maailma ning teine, olles filosoof ja Itaalia filosoofiakoolkonna rajaja, suunas noormehe pilgu logosele.

Pythagoras läks 22-aastaselt (548 eKr) Naucratisesse, et uurida egiptlaste keelt ja religiooni. Edasi kulges tema tee Memphises, kus tänu preestritele, kes olid läbinud nende geniaalsed katsed, mõistis ta Egiptuse geomeetriat, mis võib-olla ajendas uudishimulikku noormeest Pythagorase teoreemi tõestama. Hiljem annab ajalugu teoreemile selle nime.

Vangistati Babüloonia kuninga poolt

Teel koju Hellasesse vangistab Pythagorase Babüloonia kuningas. Kuid vangistuses viibimine tuli algaja matemaatiku uudishimulikule meelele kasuks, tal oli palju õppida. Tõepoolest, neil aastatel oli matemaatika Babülonis rohkem arenenud kui Egiptuses. Ta õppis kaksteist aastat matemaatikat, geomeetriat ja maagiat. Ja võib-olla oli see Babüloonia geomeetria, mis oli seotud kolmnurga külgede suhte ja teoreemi avastamise ajaloo tõestamisega. Pythagorasel oli selleks piisavalt teadmisi ja aega. Kuid et see juhtus Babülonis, sellele pole dokumentaalset kinnitust ega ümberlükkamist.

Aastal 530 eKr Pythagoras põgeneb vangistusest kodumaale, kus ta elab poolorja staatuses türann Polycratese õukonnas. Pythagorasele selline elu ei sobi ja ta taandub Samose koobastesse ning läheb siis Lõuna-Itaaliasse, kus sel ajal asus Kreeka koloonia Croton.

Salajane kloostriordu

Selle koloonia baasil organiseeris Pythagoras salajase kloostriordu, mis oli ühtaegu nii usuliit kui ka teadusselts. Sellel seltsil oli oma põhikiri, mis rääkis erilise eluviisi järgimisest.

Pythagoras väitis, et Jumala mõistmiseks peab inimene tundma selliseid teadusi nagu algebra ja geomeetria, tundma astronoomiat ja mõistma muusikat. Uurimistöö taandus arvude ja filosoofia müstilise poole tundmisele. Tuleb märkida, et põhimõtted, mida Pythagoras sel ajal jutlustas, on tänapäeval jäljendamisel mõttekad.

Paljud Pythagorase jüngrite tehtud avastused omistati talle. Sellegipoolest on lühidalt öeldes selle filosoofi, mõtleja ja matemaatiku nimega otseselt seotud tolleaegsete iidsete ajaloolaste ja biograafide Pythagorase teoreemi loomise ajalugu.

Pythagorase õpetused

Võib-olla ajendas idee teoreemi seostamisest Pythagorase nimega ajaloolaste suure kreeklase väide, et kurikuulsas jalgade ja hüpotenuusiga kolmnurgas on kõik meie elu nähtused krüpteeritud. Ja see kolmnurk on kõigi esilekerkivate probleemide lahendamise "võti". Suur filosoof ütles, et peaks nägema kolmnurka, siis võime eeldada, et probleem on kahe kolmandiku võrra lahendatud.

Pythagoras rääkis oma õpetusest ainult oma õpilastele suuliselt, märkmeid tegemata, hoides seda saladuses. Kahjuks pole suurima filosoofi õpetused säilinud tänapäevani. Osa sellest on välja imbunud, aga kui palju on teatavaks saanud tõest ja kui palju valet, on võimatu öelda. Isegi Pythagorase teoreemi ajalooga pole kõik kindel. Matemaatikaajaloolased kahtlevad Pythagorase autorsuses, nende arvates kasutati teoreemi palju sajandeid enne tema sündi.

Pythagorase teoreem

See võib tunduda kummaline, kuid ajaloolised faktid Pythagorase enda teoreemi tõestust ei leidu – ei arhiivis ega ka muudes allikates. Kaasaegses versioonis arvatakse, et see ei kuulu kellelegi muule kui Eukleidsele endale.

On tõendeid ühe suurima matemaatikaajaloolase Moritz Cantori kohta, kes avastas Berliini muuseumis hoiul oleva papüüruse, mille egiptlased kirjutasid umbes 2300 eKr. e. võrdsus, mis on järgmine: 3² + 4² = 5².

Lühidalt Pythagorase teoreemi ajaloost

Eukleidilise "Alguste" teoreemi sõnastus tõlkes kõlab samamoodi nagu tänapäevases tõlgenduses. Tema lugemises pole midagi uut: vastaskülje ruut täisnurk, on võrdne täisnurgaga külgnevate külgede ruutude summaga. Seda, et India ja Hiina iidsed tsivilisatsioonid kasutasid teoreemi, kinnitab traktaat Zhou Bi Suan Jin. See sisaldab teavet Egiptuse kolmnurga kohta, mis kirjeldab kuvasuhet 3:4:5.

Mitte vähem huvitav on veel üks Hiina matemaatiline raamat "Chu-pei", kus on mainitud ka Pythagorase kolmnurka koos selgituse ja joonistega, mis langevad kokku Bashhara hinduistliku geomeetria joonistega. Kolmnurga enda kohta öeldakse raamatus, et kui täisnurga saab lahutada selle komponentideks, siis võrdub külgede otste ühendav joon viiega, kui alus on kolm ja kõrgus on neli.

India traktaat "Sulva Sutra", mis pärineb umbes 7.-5. sajandist eKr. e., räägib täisnurga ehitamisest Egiptuse kolmnurga abil.

Teoreemi tõestus

Keskajal pidasid õpilased teoreemi tõestamist liiga keeruliseks. Nõrgad õpilased õppisid teoreemid pähe, mõistmata tõestuse tähendust. Sellega seoses said nad hüüdnime "eeslid", sest Pythagorase teoreem oli nende jaoks ületamatu takistus nagu eesli jaoks sild. Keskajal mõtlesid õpilased selle teoreemi teemal välja mängulise salmi.

Pythagorase teoreemi lihtsaimaks tõestamiseks peaksite lihtsalt mõõtma selle külgi, kasutamata tõestuses pindala mõistet. Täisnurga vastaskülje pikkus on c ning sellega külgnevad a ja b, mille tulemusena saame võrrandi: a 2 + b 2 \u003d c 2. Seda väidet, nagu eespool mainitud, kontrollitakse täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste mõõtmisega.

Kui alustame teoreemi tõestamist kolmnurga külgedele ehitatud ristkülikute pindalaga, saame määrata kogu joonise pindala. See võrdub küljega (a + b) ruudu pindalaga ja teisest küljest nelja kolmnurga ja sisemise ruudu pindalade summaga.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c2;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2 , mida tuli tõestada.

Pythagorase teoreemi praktiline tähendus seisneb selles, et selle abil saab leida lõikude pikkusi ilma neid mõõtmata. Konstruktsioonide ehitamisel arvutatakse kaugused, tugede ja talade paigutus, määratakse raskuskeskmed. Rakendatakse Pythagorase teoreemi ja kõiges kaasaegsed tehnoloogiad. Nad ei unustanud 3D-6D mõõtmetes filmide loomisel teoreemi, kus lisaks tavapärasele 3 väärtusele võetakse arvesse kõrgust, pikkust, laiust, aega, lõhna ja maitset. Kuidas on maitsed ja lõhnad teoreemiga seotud, küsite? Kõik on väga lihtne – filmi näitamisel tuleb välja arvutada, kuhu ja milliseid lõhnu ja maitseid auditooriumis suunata.

See on alles algus. Uudishimulikke meeli ootavad piiritud võimalused uute tehnoloogiate avastamiseks ja loomiseks.

Ühes asjas võite olla sada protsenti kindel, et kui küsida, mis on hüpotenuusi ruut, vastab iga täiskasvanu julgelt: "Jalgade ruutude summa." See teoreem on kindlalt iga haritud inimese teadvuses, kuid piisab, kui paluda kellelgi see tõestada, ja siis võivad tekkida raskused. Nii et meenutagem ja mõelgem erinevatel viisidel Pythagorase teoreemi tõestus.

Lühiülevaade eluloost

Pythagorase teoreem on tuttav peaaegu kõigile, kuid millegipärast pole selle koostaja elulugu nii populaarne. Teeme selle korda. Seetõttu peate enne Pythagorase teoreemi erinevate tõestamisviiside uurimist põgusalt tutvuma tema isiksusega.

Pythagoras - filosoof, matemaatik, mõtleja, kes on pärit tänapäevast, on tema elulugu väga raske eristada legendidest, mis on selle suurmehe mälestuseks välja töötatud. Kuid nagu tema järgijate kirjutistest järeldub, sündis Samose saarel Pythagoras Samose saarel. Tema isa oli tavaline kiviraidur, ema aga pärines aadlisuguvõsast.

Legendi järgi ennustas Pythagorase sündi Pythia-nimeline naine, kelle auks poisile nimi pandi. Tema ennustuse kohaselt pidi sündinud poiss tooma inimkonnale palju kasu ja head. Mida ta tegelikult ka tegi.

Teoreemi sünd

Nooruses kolis Pythagoras Egiptusesse, et kohtuda sealsete kuulsate Egiptuse tarkadega. Pärast nendega kohtumist lubati ta õppima, kus ta õppis ära kõik Egiptuse filosoofia, matemaatika ja meditsiini suured saavutused.

Tõenäoliselt sai Pythagoras püramiidide majesteetlikkusest ja ilust inspiratsiooni Egiptuses ning lõi oma suurepärase teooria. See võib lugejaid šokeerida, kuid kaasaegsed ajaloolased usuvad, et Pythagoras ei tõestanud oma teooriat. Kuid ta andis oma teadmised edasi ainult oma järgijatele, kes tegid hiljem kõik vajalikud matemaatilised arvutused.

Olgu kuidas on, tänapäeval pole selle teoreemi tõestamiseks teada mitte üht tehnikat, vaid mitut korraga. Täna võime vaid oletada, kuidas täpselt iidsed kreeklased oma arvutused tegid, seega vaatleme siin erinevaid Pythagorase teoreemi tõestamise viise.

Pythagorase teoreem

Enne arvutuste alustamist peate välja mõtlema, millist teooriat tõestada. Pythagorase teoreem kõlab järgmiselt: "Kolmnurgas, mille üks nurkadest on 90 o, võrdub jalgade ruutude summa hüpotenuusi ruuduga."

Kokku on Pythagorase teoreemi tõestamiseks 15 erinevat viisi. See on üsna suur arv, nii et pöörame tähelepanu kõige populaarsematele neist.

Meetod üks

Kõigepealt määratleme, mis meil on. Need andmed kehtivad ka muude Pythagorase teoreemi tõestamise viiside puhul, nii et peaksite kohe meeles pidama kõiki saadaolevaid tähistusi.

Oletame, et on antud täisnurkne kolmnurk, mille jalad a, b ja hüpotenuus on võrdsed c-ga. Esimene tõestusmeetod põhineb sellel, et täisnurksest kolmnurgast tuleb tõmmata ruut.

Selleks peate joonestama jala pikkusega lõigu a ja vastupidi. Seega peaks välja tulema ruudu kaks võrdset külge. Jääb vaid tõmmata kaks paralleelset joont ja ruut on valmis.

Saadud joonise sees peate joonistama teise küljega ruudu võrdne hüpotenuusiga algne kolmnurk. Selleks peate tippudest ac ja sv joonistama kaks paralleelset lõiku, mis on võrdsed c-ga. Seega saame ruudu kolm külge, millest üks on algse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus. Jääb vaid joonistada neljas segment.

Saadud joonise põhjal võime järeldada, et välimise ruudu pindala on (a + b) 2. Kui vaatate joonise sisse, näete, et lisaks sisemisele ruudule on sellel neli täisnurkset kolmnurka. Iga pindala on 0,5 keskm.

Seetõttu on pindala: 4 * 0,5 av + s 2 \u003d 2 av + s 2

Seega (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Ja seetõttu 2 \u003d a 2 + in 2

Teoreem on tõestatud.

Teine meetod: sarnased kolmnurgad

See Pythagorase teoreemi tõestuse valem tuletati geomeetria lõigu väite põhjal sarnaste kolmnurkade kohta. See ütleb, et täisnurkse kolmnurga jalg on keskmine, mis on võrdeline selle hüpotenuusi ja hüpotenuusi segmendiga, mis väljub 90 o nurga tipust.

Algandmed jäävad samaks, nii et alustame kohe tõestusega. Joonistame lõigu CD risti küljega AB. Ülaltoodud väite põhjal on kolmnurkade jalad võrdsed:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Et vastata küsimusele, kuidas tõestada Pythagorase teoreemi, tuleb tõestuseks panna mõlemad võrratused ruutudeks.

AC 2 \u003d AB * HELL ja SV 2 \u003d AB * DV

Nüüd peame lisama saadud ebavõrdsused.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), kus AD + DV \u003d AB

Selgub, et:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Ning seetõttu:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Pythagorase teoreemi tõestamine ja selle erinevad lahendusviisid nõuavad selle probleemi mitmekülgset lähenemist. See valik on aga üks lihtsamaid.

Teine arvutusmeetod

Pythagorase teoreemi erinevate tõestamisviiside kirjeldus ei pruugi midagi öelda, kuni hakkate iseseisvalt harjutama. Paljud meetodid hõlmavad mitte ainult matemaatilisi arvutusi, vaid ka uute kujundite koostamist algsest kolmnurgast.

Sel juhul on vaja lennuki jalast täita veel üks täisnurkne kolmnurk VSD. Seega on nüüd kaks kolmnurka ühise jalaga BC.

Teades, et sarnaste kujundite pindaladel on nende sarnaste lineaarsete mõõtmete ruutude suhe, siis:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2 kuni 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2 kuni 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Kuna see valik 8. klassi Pythagorase teoreemi erinevatest tõestamismeetoditest ei sobi, võite kasutada järgmist tehnikat.

Lihtsaim viis Pythagorase teoreemi tõestamiseks. Arvustused

Ajaloolased usuvad, et seda meetodit kasutati esmakordselt teoreemi tõestamiseks Vana-Kreeka. See on kõige lihtsam, kuna see ei nõua absoluutselt mingeid arvutusi. Kui joonistate pildi õigesti, on selgelt nähtav tõend väite kohta, et 2 + b 2 \u003d c 2.

Tingimused seda meetodit erineb veidi eelmisest. Teoreemi tõestamiseks oletame, et täisnurkne kolmnurk ABC on võrdhaarne.

Võtame hüpotenuusi AC ruudu küljeks ja joonistame selle kolm külge. Lisaks on vaja saadud ruudule tõmmata kaks diagonaaljoont. Nii et selle sees saate neli võrdkülgset kolmnurka.

Jalgade AB ja CB külge tuleb samuti joonistada ruut ja tõmmata igasse neist üks diagonaaljoon. Esimese joone tõmbame tipust A, teise - C.

Nüüd peate saadud pilti hoolikalt vaatama. Kuna hüpotenuusil AC on neli kolmnurka, mis on võrdsed algse kolmnurgaga, ja jalgadel kaks, näitab see selle teoreemi õigsust.

Muide, tänu sellele Pythagorase teoreemi tõestamise meetodile on kuulus lause: "Pythagorase püksid on igas suunas võrdsed."

Tõestus J. Garfieldi poolt

James Garfield on Ameerika Ühendriikide 20. president. Lisaks sellele, et ta jättis oma jälje ajalukku USA valitsejana, oli ta ka andekas iseõppija.

Oma karjääri alguses oli ta rahvakoolis tavaline õpetaja, kuid peagi sai temast ühe kõrgema direktor õppeasutused. Enesearendamise soov ja võimaldas tal pakkuda uut Pythagorase teoreemi tõestuse teooriat. Teoreem ja selle lahenduse näide on järgmised.

Kõigepealt peate paberile joonistama kaks täisnurkset kolmnurka, nii et ühe jalg oleks teise jätk. Nende kolmnurkade tipud tuleb ühendada, et saada trapets.

Nagu teate, on trapetsi pindala võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega.

S=a+b/2 * (a+b)

Kui vaadelda saadud trapetsi kolmest kolmnurgast koosneva joonisena, võib selle pindala leida järgmiselt:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Nüüd peame kaks algset väljendit võrdsustama

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Pythagorase teoreemi ja selle tõestamise kohta saab kirjutada rohkem kui ühe õpiku köite. Kuid kas sellel on mõtet, kui neid teadmisi ei saa ellu rakendada?

Pythagorase teoreemi praktiline rakendamine

Kahjuks tänapäevases kooliprogrammid See teoreem on mõeldud kasutamiseks ainult geomeetrilised probleemid. Lõpetajad lahkuvad peagi kooliseinte vahelt, teadmata, kuidas nad saavad oma teadmisi ja oskusi praktikas rakendada.

Tegelikult kasutage Pythagorase teoreemi Igapäevane elu igaüks saab. Ja mitte ainult sees ametialane tegevus aga ka tavalistes majapidamistöödes. Vaatleme mitmeid juhtumeid, mil Pythagorase teoreem ja selle tõestamise meetodid võivad olla äärmiselt vajalikud.

Teoreemi ja astronoomia seos

Näib, kuidas saab paberil ühendada tähti ja kolmnurki. Tegelikult on astronoomia teadusvaldkond, milles Pythagorase teoreemi kasutatakse laialdaselt.

Mõelge näiteks valguskiire liikumisele ruumis. Teame, et valgus liigub mõlemas suunas sama kiirusega. Nimetame trajektoori AB, mida mööda valguskiir liigub l. Ja pool ajast, mis kulub valguse jõudmiseks punktist A punkti B, helistame t. Ja kiire kiirus - c. Selgub, et: c*t=l

Kui vaadata seda sama kiirt teiselt tasapinnalt, näiteks kosmosevoodrilt, mis liigub kiirusega v, siis sellise kehade vaatlemise korral nende kiirus muutub. Sel juhul liiguvad isegi statsionaarsed elemendid kiirusega v vastassuunas.

Oletame, et koomiline lainer sõidab paremale. Seejärel liiguvad punktid A ja B, mille vahel kiir tormab, vasakule. Veelgi enam, kui kiir liigub punktist A punkti B, on punktil A aega liikuda ja vastavalt sellele jõuab valgus juba uude punkti C. Et leida pool kaugusest, mille punkt A on nihkunud, peate korrutama voodri kiirus poole kiire liikumisajast (t ").

Ja selleks, et teada saada, kui kaugele valguskiir selle aja jooksul liikuda võib, tuleb määrata pool uue pöögi teest ja saada järgmine avaldis:

Kui kujutame ette, et valguse punktid C ja B ning ka ruumivooder on võrdhaarse kolmnurga tipud, siis punktist A vooderduseni kulgev lõik jagab selle kaheks täisnurkseks kolmnurgaks. Seetõttu saate tänu Pythagorase teoreemile leida vahemaa, mille valguskiir võiks läbida.

See näide pole muidugi kõige edukam, sest ainult vähestel võib olla õnn seda praktikas proovida. Seetõttu kaalume selle teoreemi igapäevasemaid rakendusi.

Mobiilse signaali edastusulatus

Tänapäeva elu ei kujuta enam ette ilma nutitelefonide olemasoluta. Aga kui palju oleks neist kasu, kui nad ei saaks abonente läbi ühendada mobiilside?!

Mobiilside kvaliteet sõltub otseselt mobiilsideoperaatori antenni asukoha kõrgusest. Selleks, et arvutada, kui kaugel mobiiltelefonitornist saab telefon signaali vastu võtta, saate rakendada Pythagorase teoreemi.

Oletame, et peate leidma seisva torni ligikaudse kõrguse, et see saaks signaali levitada 200 kilomeetri raadiuses.

AB (torni kõrgus) = x;

BC (signaali edastamise raadius) = 200 km;

OS (raadius gloobus) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Rakendades Pythagorase teoreemi, saame teada, et torni minimaalne kõrgus peaks olema 2,3 kilomeetrit.

Pythagorase teoreem igapäevaelus

Kummalisel kombel võib Pythagorase teoreem olla kasulik isegi igapäevastes asjades, näiteks kapi kõrguse määramisel. Esmapilgul pole vaja selliseid keerulisi arvutusi kasutada, sest saate lihtsalt mõõta mõõdulindiga. Kuid paljud on üllatunud, miks monteerimisprotsessi käigus tekivad teatud probleemid, kui kõik mõõtmised tehti enam kui täpselt.

Fakt on see, et riidekapp on kokku pandud horisontaalasendis ja alles siis tõuseb ja paigaldatakse vastu seina. Seetõttu peab kapi külgsein konstruktsiooni tõstmise ajal vabalt läbima nii ruumi kõrguselt kui ka diagonaalselt.

Oletame, et seal on 800 mm sügavusega riidekapp. Kaugus põrandast laeni - 2600 mm. Kogenud mööblimeister ütleb, et kapi kõrgus peaks olema 126 mm väiksem kui ruumi kõrgus. Aga miks just 126 mm? Vaatame näidet.

Kapi ideaalsete mõõtmetega kontrollime Pythagorase teoreemi toimimist:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - kõik läheneb.

Oletame, et kapi kõrgus ei ole 2474 mm, vaid 2505 mm. Seejärel:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Seetõttu ei sobi see kapp sisse paigaldamiseks see tuba. Kuna vertikaalasendisse tõstmisel võib selle keha kahjustada.

Võib-olla, olles kaalunud erinevate teadlaste erinevaid viise Pythagorase teoreemi tõestamiseks, võime järeldada, et see on enam kui tõsi. Nüüd saate saadud teavet oma igapäevaelus kasutada ja olla täiesti kindel, et kõik arvutused pole mitte ainult kasulikud, vaid ka õiged.