Kui maatriksi determinant on null, siis selle pöördväärtust ei eksisteeri. Maatriksi determinant

1.1. Süsteemid kahest lineaarvõrrandid ja teist järku determinandid

Vaatleme kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi:

Koefitsiendid tundmatutega Ja on kaks indeksit: esimene tähistab võrrandi numbrit, teine ​​– muutuja numbrit.

Crameri reegel: Süsteemi lahendus leitakse abideterminantide jagamisel süsteemi põhideterminandiga

,

Märkus 1. Crameri reegli kasutamine on võimalik, kui süsteemi determinant ei ole võrdne nulliga.

Märkus 2. Crameri valemid on üldistatud kõrgema järgu süsteemideks.

Näide 1. Lahendage süsteem:
.

Lahendus.

;
;

;

Eksam:

Järeldus: Süsteem on õigesti lahendatud:
.

1.2. Kolme lineaarvõrrandi ja kolmandat järku determinantide süsteemid

Vaatleme kolmest lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga:

Nimetatakse determinanti, mis koosneb tundmatute koefitsientidest süsteemi determinant või peamine determinant:

.

Kui
siis on süsteemil ainulaadne lahendus, mis määratakse Crameri valemitega:

kus on määrajad
– nimetatakse abistavateks ja saadakse determinandist asendades selle esimese, teise või kolmanda veeru süsteemi vabade liikmete veeruga.

Näide 2. Lahendage süsteem
.

Moodustame peamised ja abideterminandid:

Jääb üle kaaluda kolmandat järku determinantide arvutamise reegleid. Neid on kolm: veergude lisamise reegel, Sarruse reegel, lagunemise reegel.

a) Reegel kahe esimese veeru lisamiseks põhideterminandile:

Arvutamine viiakse läbi järgmisel viisil: põhidiagonaali ja sellega paralleele elementide korrutised lähevad koos oma märgiga, vastasmärgiga võtavad nad sekundaarse diagonaali elementide korrutised ja piki sellega paralleele.

b) Sarruse reegel:

Võtke nende märgiga põhidiagonaali ja sellega paralleele elementide korrutised ning puuduv kolmas element võetakse vastasnurk. Vastandmärgiga võtke sekundaarse diagonaali elementide korrutised ja piki sellega paralleele võetakse vastasnurgast kolmas element.

c) Rea või veeru elementide järgi jaotamise reegel:

Kui
, Siis.

Algebraline komplement on madalamat järku determinant, mis saadakse vastava rea ​​ja veeru läbikriipsutamisel ning märgi arvestamisel
, Kus - rea number, - veeru number.

Näiteks,

,
,
jne.

Seda reeglit kasutades arvutame abideterminandid Ja , laiendades neid vastavalt esimese rea elementidele.

Pärast kõigi determinantide arvutamist leiame muutujad Crameri reegli abil:

Eksam:

Järeldus: süsteem on õigesti lahendatud: .

Determinantide põhiomadused

Tuleb meeles pidada, et määraja on number, leitud teatud reeglite järgi. Selle arvutamist saab lihtsustada, kui kasutada põhiomadusi, mis kehtivad mis tahes järjestuse determinantide jaoks.

Vara 1. Determinandi väärtus ei muutu, kui kõik selle read asendatakse arvuliselt vastavate veergudega ja vastupidi.

Ridade asendamist veergudega nimetatakse transponeerimiseks. Sellest omadusest järeldub, et iga väide, mis on tõene determinandi ridade puhul, kehtib ka selle veergude puhul.

Vara 2. Kui determinandis on kaks rida (veeru) vahetatud, muutub determinandi märk vastupidiseks.

Vara 3. Kui determinandi mis tahes rea kõik elemendid on võrdsed 0-ga, siis on determinant 0-ga.

Vara 4. Kui determinandi stringi elemendid korrutada (jagada) mingi arvuga , siis determinandi väärtus suureneb (väheneb) aastal üks kord.

Kui rea elementidel on ühine tegur, siis saab selle determinandi märgist välja võtta.

Vara 5. Kui determinandil on kaks identset või võrdelist rida, on selline determinant võrdne 0-ga.

Vara 6. Kui determinandi mis tahes rea elemendid on kahe liikme summa, siis on determinant võrdne kahe determinandi summaga.

Vara 7. Determinandi väärtus ei muutu, kui rea elemendid liidetakse teise rea elementidele ja korrutatakse sama arvuga.

Selles determinandis liideti esmalt kolmas rida teisele reale, korrutati 2-ga, seejärel lahutati teine ​​kolmandast veerust, misjärel liideti teine ​​rida esimesele ja kolmandale, mille tulemusena saime palju nullid ja lihtsustas arvutust.

Elementaarne teisendusi determinanti nimetatakse selle lihtsustamiseks määratud omaduste kasutamise kaudu.

Näide 1. Arvuta determinant

Otsene arvutamine ühe ülalkirjeldatud reegli järgi toob kaasa tülikad arvutused. Seetõttu on soovitatav kasutada järgmisi omadusi:

a) realt 1 lahutage teine, korrutatuna 2-ga;

b) reast II lahutage kolmas, korrutatuna 3-ga.

Selle tulemusena saame:

Laiendame seda determinanti esimese veeru elementideks, mis sisaldavad ainult ühte nullist erinevat elementi.

.

Kõrgemate tellimuste süsteemid ja määrajad

süsteem lineaarvõrrandid Tundmatuid saab kirjutada järgmiselt:

Sel juhul on võimalik koostada ka põhi- ja abideterminandid ning määrata tundmatud Crameri reegli abil. Probleem on selles, et kõrgemat järku determinante saab arvutada ainult järgu langetades ja kolmandat järku determinantideks taandades. Seda saab teha otsese lagundamisega ridade või veergude elementideks, samuti kasutades esialgseid elementaarteisendusi ja edasist lagundamist.

Näide 4. Arvutage neljandat järku determinant

Lahendus leiame selle kahel viisil:

a) otsese laiendamisega esimese rea elementidele:

b) esialgsete teisenduste ja edasise lagunemise kaudu

Näide 5. Arvutage viiendat järku determinant, saades neljanda veeru abil nullid kolmandas reas

lahutage teisest veerust kolmas:

lahutage teisest realt kolmas:

Näide 6. Lahendage süsteem:

Lahendus. Koostame süsteemi determinandi ja determinantide omadusi kasutades arvutame selle:

(esimesest reast lahutame kolmanda ja seejärel saadud kolmanda järgu determinandist kolmandast veerust lahutame esimese, korrutatuna 2-ga). Determinant
, seetõttu on rakendatavad Crameri valemid.

Arvutame ülejäänud determinandid:

Neljas veerg korrutati 2-ga ja lahutati ülejäänud osast

Neljas veerg lahutati esimesest ja seejärel korrutati 2-ga teisest ja kolmandast veerust.

.

Siin teostasime samad teisendused nagu
.

.

Kui leiate esimene veerg korrutati 2-ga ja lahutati ülejäänud osast.

Crameri reegli kohaselt on meil:

Pärast leitud väärtuste asendamist võrranditesse oleme veendunud, et süsteemi lahendus on õige.

2. MAATRIKSID JA NENDE KASUTAMINE

LINEAARSÜSTEEMIDE LAHENDAMISES

Vastus: OMADUS 1. Determinandi väärtus ei muutu, kui kõik selle read asendatakse veergudega ja iga rida asendatakse sama numbriga veeruga, st.

OMADUS 2. Determinandi kahe veeru või kahe rea ümberkorraldamine võrdub selle korrutamisega -1-ga. Näiteks,

.Omadus 3. Kui determinandil on kaks identset veergu või kaks identset rida, siis on see võrdne nulliga OMADUS 4. Determinandi ühe veeru või ühe rea kõigi elementide korrutamine mis tahes arvuga k on samaväärne determinandi korrutamisega sellega number k. Näiteks,

OMADUS 5. Kui teatud veeru või mõne rea kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis determinant ise on võrdne nulliga. See vara on erijuhtum eelmine (kui k=0).OMADUS 6. Kui determinandi kahe veeru või kahe rea vastavad elemendid on võrdelised, siis on determinant võrdne nulliga OMADUS 7. Kui n-nda veeru või n-nda rea ​​iga element determinandist on kahe liikme summa, siis saab determinandi esitada kahe determinandi summana, millest ühe n-ndas veerus või vastavalt n-ndas reas on esimene mainitud terminist ja teisel on teine; ülejäänud kohtades olevad elemendid on kolme determinandi verstapostide puhul samad. Näiteks,

OMADUS 8. Kui mingi veeru (või mõne rea) elementidele liidame teise veeru (või mõne teise rea) vastavad elemendid, korrutatuna mis tahes ühisteguriga, siis determinandi väärtus ei muutu. Näiteks,

.

Determinantide edasised omadused on seotud algebralise komplemendi ja minoori mõistega. Mõne elemendi moll on determinant, mis saadakse antud elemendist rea ja veeru läbikriipsutamise teel, mille ristumiskohas see element asub.Determinandi mis tahes elemendi algebraline täiend on võrdne selle elemendi molliga, võttes selle märk, kui selle rea ja veeru arvude summa, mille ristumiskohas element asub, on paarisarv ja vastupidise märgiga, kui see arv on paaritu. Tähistame elemendi algebralist täiendit sama nime ja sama numbri suurtäht kui elementi ennast tähistav täht OMADUS 9. Determinant

on võrdne mis tahes veeru (või rea) elementide korrutistega nende algebraliste täiendite järgi.

Determinant. See on polünoom, mis kombineerib ruutmaatriksi elemente nii, et selle väärtus säilib transponeerimisel ja ridade või veergude lineaarsete kombinatsioonide korral ehk determinant iseloomustab maatriksi sisu. Eelkõige juhul, kui maatriksis on lineaarselt sõltuvad read või veerud, on determinant võrdne nulliga. Determinandil on põhiline roll lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel üldkujul, selle alusel tutvustatakse põhimõisteid. Üldjuhul on a. maatriksi saab defineerida mis tahes kommutatiivse ringi kohal, sel juhul on determinandiks sama ringi element Maatriksi A determinant on tähistatud järgmiselt: det(A), |A| või Δ(A).

5. Singulaarmaatriks. Pöördmaatriks, selle omadused, arvutus, olemasoluteoreem.

Vastus: Ruutmaatriksit A ​​nimetatakse degenereerunud eriliseks (ainsuse) maatriksiks, kui selle determinant (Δ) on võrdne nulliga. Vastasel juhul peetakse maatriksit A ​​mitteainsuseks.

Vaatleme maatrikskorrutise pöördtehte määratlemise probleemi.

Laskma olema ruutmaatriks järjekorras. Maatriks, mis koos antud maatriksiga vastab järgmistele võrdsustele:

nimetatakse pöördvõrdeliseks. Maatriksit nimetatakse pööratavaks, kui sellel on pöördväärtus, vastasel juhul on see pöördumatu.

Definitsioonist järeldub, et kui pöördmaatriks on olemas, siis on see ruut samas suurusjärgus kui. Siiski ei ole igal ruutmaatriksil pöördväärtust. Kui maatriksi determinant on null, siis sellel pöördväärtust pole. Tegelikult, rakendades identsusmaatriksi maatriksite korrutise determinandi teoreemi, saame vastuolu

kuna identsusmaatriksi determinant on võrdne 1-ga. Selgub, et ruutmaatriksi nullist erinev determinant on pöördmaatriksi olemasolu ainus tingimus. Tuletame meelde, et ruutmaatriksit, mille determinant on võrdne nulliga, nimetatakse ainsuseks (ainsuseks), vastasel juhul nimetatakse seda mittedegeneratiivseks (mitteainsuseks).

Teoreem 4.1 pöördmaatriksi olemasolu ja kordumatuse kohta. Ruutmaatriksil, mille determinant on nullist erinev, on pöördmaatriks ja ainult üks:

kus on maatriksi elementide algebralistest täienditest koosneva maatriksi jaoks transponeeritud maatriks.

Maatriksit nimetatakse maatriksi suhtes adjointmaatriksiks.

Tegelikult on maatriks tingimustes olemas. Tuleb näidata, et see on pöördväärtus, s.o. vastab kahele tingimusele:

Tõestame esimest võrdsust. Märkuste 2.3 lõike 4 kohaselt järeldub determinandi omadustest, et . Sellepärast

mida oli vaja näidata. Teine võrdsus on tõestatud sarnaselt. Seetõttu on maatriksil tingimusel pöördväärtus

Tõestame pöördmaatriksi ainulaadsust vastuoluga. Oletame, et lisaks maatriksile on veel üks pöördmaatriks selline, et. Korrutades selle võrdsuse mõlemad pooled vasakult maatriksiga, saame . Seega, mis on eeldusega vastuolus. Seetõttu on pöördmaatriks ainulaadne.

Märkused 4.1

1. Definitsioonist järeldub, et maatriksid on kommuteeritavad.

2. Mitteainsuse diagonaalmaatriksi pöördväärtus on samuti diagonaalne:

3. Mitteainsuse alumise (ülemise) kolmnurkse maatriksi pöördväärtus on alumine (ülemine) kolmnurkne.

4. Elementaarmaatriksitel on pöördväärtused, mis on samuti elementaarmaatriksid (vt märkuste 1.11 lõige 1).

Pöördmaatriksi omadused

Maatriksi inversioonioperatsioonil on järgmised omadused:

kui võrdustes 1-4 toodud tehted on mõistlikud.

Tõestame omadust 2: kui sama järku mitteainsuse ruutmaatriksite korrutises on pöördmaatriks, siis.

Tõepoolest, maatriksite korrutise determinant ei ole võrdne nulliga, kuna

Seetõttu on pöördmaatriks olemas ja ainulaadne. Näitame definitsiooni järgi, et maatriks on maatriksi pöördväärtus. Tõesti:

Pöördmaatriksi ainulaadsus eeldab võrdsust. Teine omadus on tõestatud. Ülejäänud omadused on tõestatud sarnaselt.

Märkused 4.2

1. Kompleksmaatriksi puhul kehtib omadusega 3 sarnane võrdus:

Kus on maatrikskonjugatsiooni tehe.

2. Maatriksi inversiooni operatsioon võimaldab määrata maatriksi negatiivse täisarvu võimsuse. Mitteainsuse maatriksi ja mis tahes naturaalarvu jaoks määratleme .

6.lineaarvõrrandisüsteemid. Tundmatute vabade terminite koefitsiendid. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine. Lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvus. Lineaarne süsteem homogeensed võrrandid ja selle omadused.

Vastus: Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi, mis sisaldab m võrrandit ja n tundmatut, nimetatakse vormisüsteemiks

kus numbreid a ij nimetatakse süsteemikoefitsientideks, siis arve b i vabaliikmeteks. Tuleb leida arvud x n.

Sellist süsteemi on mugav kirjutada kompaktse maatriksi kujul

Siin on A süsteemikoefitsientide maatriks, mida nimetatakse põhimaatriksiks;

Tundmatute veeruvektor x j .

Vabade terminite veeruvektor b i .

Maatriksite A*X korrutis on defineeritud, kuna maatriksis A on sama palju veerge kui maatriksis X ridu (n tükki).

Süsteemi laiendatud maatriks on süsteemi maatriks A, mida täiendab vabade terminite veerg

Süsteemi lahenduseks on n tundmatute x 1 =c 1, x 2 =c 2, ..., x n =c n väärtust, mille asendamisel muutuvad kõik süsteemi võrrandid tõelisteks võrdusteks. Veerumaatriksina saab kirjutada süsteemi mis tahes lahenduse

Võrrandisüsteemi nimetatakse järjekindlaks, kui sellel on vähemalt üks lahend, ja ebajärjekindlaks, kui sellel pole ühtegi lahendit.

Järjepidevat süsteemi nimetatakse määravaks, kui sellel on üks lahendus, ja määramatuks, kui sellel on rohkem kui üks lahendus. Viimasel juhul nimetatakse iga selle lahendust süsteemi konkreetseks lahenduseks. Kõikide konkreetsete lahenduste hulka nimetatakse üldlahenduseks.

Süsteemi lahendamine tähendab selle ühilduvuse või vastuolulisuse väljaselgitamist. Kui süsteem on järjepidev, leidke selle üldine lahendus.

Kahte süsteemi nimetatakse samaväärseks (ekvivalentseks), kui neil on sama üldlahendus. Teisisõnu, süsteemid on samaväärsed, kui nende iga lahendus on teise lahendus ja vastupidi.

Ekvivalentsed süsteemid saadakse eelkõige süsteemi elementaarteisendustega, eeldusel, et teisendusi sooritatakse ainult maatriksi ridadel.

Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga:

Homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 on süsteemi lahendus. Seda lahendust nimetatakse nulliks või triviaalseks.

4.2. Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine.

Kroneckeri-Capelli teoreem

Olgu antud suvaline n lineaarvõrrandi süsteem n tundmatuga

Põhjaliku vastuse küsimusele selle süsteemi ühilduvuse kohta annab Kroneckeri-Capelli teoreem.

Teoreem 4.1. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem on järjepidev siis ja ainult siis, kui süsteemi laiendatud maatriksi aste on võrdne põhimaatriksi astmega.

Aktsepteerigem seda ilma tõenditeta.

Samaaegse lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahenduste praktilise otsimise reeglid tulenevad järgmistest teoreemidest.

Teoreem 4.2. Kui liitsüsteemi aste on võrdne tundmatute arvuga, siis on süsteemil unikaalne lahendus.

Teoreem 4.3. Kui liitsüsteemi järk on väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendeid.

Suvalise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise reegel

1. Leidke süsteemi põhi- ja laiendatud maatriksite auastmed. Kui r(A)≠r(A), siis on süsteem ebajärjekindel.

2. Kui r(A)=r(A)=r, on süsteem järjekindel. Leidke ükskõik milline r-järgu alusmoll (meeldetuletus: molli, mille järjestus määrab maatriksi järgu, nimetatakse baasiks). Võtke r võrrandid, mille koefitsiendid moodustavad põhi-minoorse (ülejäänud võrrandid loobuda). Tundmatuid, mille koefitsiendid sisalduvad põhimollis, nimetatakse peamiseks ja jäetakse vasakule ning ülejäänud n-r tundmatuid nimetatakse vabadeks ja kantakse üle võrrandite paremale poolele.

3. Leia peamiste tundmatute avaldised vabade mõistes. Saadakse süsteemi üldine lahendus.

4. Andes vabadele tundmatutele suvalised väärtused, saame peamiste tundmatute vastavad väärtused. Nii saab algsele võrrandisüsteemile leida osalahendusi.

Näide 4.1.

4.3 Mittemandunud lineaarsüsteemide lahendus. Crameri valemid

Olgu antud n lineaarvõrrandist koosnev süsteem n tundmatuga

(4.1)

või maatriksi kujul A*X=B.

Sellise süsteemi põhimaatriks A on ruut. Selle maatriksi determinant

nimetatakse süsteemi determinandiks. Kui süsteemi determinant erineb nullist, siis nimetatakse süsteemi mittedegenereerunud.

Leiame sellele võrrandisüsteemile lahenduse  korral

Korrutades vasakul oleva võrrandi A*X=B mõlemad pooled maatriksiga A -1, saame

A -1 *A*X=A -1 *B Alates. A -1 *A=E ja E*X=X, siis

Süsteemile lahenduse leidmist valemi (4.1) abil nimetatakse süsteemi lahendamise maatriksmeetodiks.

Vormi kirjutame maatriksvõrdsuse (4.1).

Sellest järeldub

Kuid seal on determinandi lagunemine

esimese veeru elementide järgi. Determinant  saadakse determinandist, asendades koefitsientide esimese veeru näivate terminite veeruga. Niisiis,

Samamoodi:

kus 2 saadakse -st, asendades koefitsientide teise veeru näivate terminite veeruga:

nimetatakse Crameri valemiteks.

Niisiis, n-st lineaarsest võrrandist koosneval mitte-mandunud süsteemil, milles on n tundmatut, on ainulaadne lahendus, mille saab leida maatriksmeetodi (4.1) või Crameri valemite (4.2) abil.

Näide 4.3.

4.4 Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil

Üks universaalsemaid ja tõhusamaid meetodeid lineaarsete algebrasüsteemide lahendamiseks on Gaussi meetod, mis seisneb tundmatute järjestikuses elimineerimises.

Olgu võrrandisüsteem antud

Gaussi lahendusprotsess koosneb kahest etapist. Esimesel etapil (otsene löök) taandatakse süsteem astmeliseks (eriti kolmnurkseks).

Allolev süsteem on etapiviisiline

Koefitsiente aii nimetatakse süsteemi põhielementideks.

Teises etapis (tagurpidi) toimub järjestikune tundmatute määramine sellest astmelisest süsteemist.

Kirjeldame Gaussi meetodit üksikasjalikumalt.

Teisendame süsteemi (4.3), elimineerides tundmatu x1 kõigis võrrandites peale esimese (kasutades süsteemi elementaarteisendusi). Selleks korrutame esimese võrrandi mõlemad pooled ja liidame need liikme kaupa süsteemi teise võrrandiga. Seejärel korrutame esimese võrrandi mõlemad pooled ja liidame need süsteemi kolmandasse võrrandisse. Seda protsessi jätkates saame samaväärse süsteemi

Siin on koefitsientide ja parempoolsete külgede uued väärtused, mis saadakse pärast esimest sammu.

Samamoodi, arvestades põhielementi, jätame tundmatu x 2 välja kõigist süsteemi võrranditest, välja arvatud esimene ja teine ​​jne. Jätkame seda protsessi nii kaua kui võimalik.

Kui süsteemi (4.3) astmelisele kujule redutseerimisel ilmnevad null võrrandid, st võrrandid kujul 0 = 0, jäetakse need kõrvale. Kui ilmub vormi võrrand siis see näitab süsteemi kokkusobimatust.

Teine etapp (tagurpidi) on astmesüsteemi lahendamine. Astmelisel võrrandisüsteemil on üldiselt lõpmatu arv lahendeid, selle süsteemi viimases võrrandis väljendame esimest tundmatut x k ülejäänud tundmatute kaudu (x k+ 1,…,x n). Seejärel asendame väärtuse x k süsteemi eelviimase võrrandiga ja väljendame x k-1 kuni (x k+ 1,…,x n). , siis leidke x k-2 ,…,x 1. . Vaba tundmatute andmine (x k+ 1,…,x n). suvalised väärtused, saame süsteemile lõpmatu arvu lahendusi.

Märkused:

1. Kui astmesüsteem osutub kolmnurkseks, st k=n, siis on algsel süsteemil unikaalne lahendus. Viimasest võrrandist leiame x n eelviimasest võrrandist x n-1, siis süsteemist üles minnes leiame kõik ülejäänud tundmatud (x n-1,...,x 1).

2. Praktikas on mugavam töötada mitte süsteemiga (4.3), vaid selle laiendatud maatriksiga, sooritades selle ridadel kõik elementaarteisendused. On mugav, kui koefitsient a 11 on võrdne 1-ga (korraldage võrrandid ümber või jagage võrrandi mõlemad pooled 11 1-ga).

Näide 4.4.

Lahendus: elementaarteisenduste tulemusena süsteemi laiendatud maatriksil

algne süsteem vähendati astmeliseks:

Seetõttu on süsteemi üldlahend: x 2 =5x 4 -13x 3 -3;x 1 =5x 4 -8x 3 -1 Kui paneme näiteks x 3 =0,x 4 =0, siis saame leidke üks selle süsteemi konkreetsetest lahendustest x 1 =-1.x 2 =-3.x 3 =0.x 4 =0.

Näide 4.5.

Lahendage süsteem Gaussi meetodil:

Lahendus: Teostame elementaarteisendusi süsteemi laiendatud maatriksi ridadel:

Saadud maatriks vastab süsteemile

Tehes pöördliigutust, leiame x 3 =1, x 2 =1, x 1 =1.

4.5 Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemid

Olgu antud lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem

Ilmselgelt on homogeenne süsteem alati järjekindel, sellel on null (triviaalne) lahend x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.

Millistel tingimustel on homogeensel süsteemil nullist erinevad lahendid?

Teoreem 4.4. Selleks, et homogeensete võrrandite süsteemil oleks nullist erinevad lahendid, on vajalik ja piisav, et selle põhimaatriksi aste r oleks väiksem kui tundmatute arv n, st r

Vajadus.

Kuna auaste ei saa ületada maatriksi suurust, siis ilmselt r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

See tähendab, et peale triviaalsete lahenduste pole muid lahendusi. Seega, kui on olemas mittetriviaalne lahendus, siis r

Adekvaatsus:

Olgu r

Teoreem 4.5. Selleks, et homogeensel n lineaarvõrrandi süsteemil, milles on n tundmatut, oleks nullist erinevad lahendid, on vajalik ja piisav, et selle determinant  oleks võrdne nulliga, st =0.

Kui süsteemis on nullist erinevad lahendid, siis =0. Sest 0 juures on süsteemil ainult üks nulllahendus. Kui =0, siis on süsteemi põhimaatriksi auaste r väiksem kui tundmatute arv, s.t. r

Näide 4.6.

Lahendage süsteem

Kui paneme x 3 =0, saame ühe kindla lahenduse: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Pannes x 3 =1, saame teise konkreetse lahendi: x 1 =2, x 2 =3, x 3 =1 jne.

M lineaarvõrrandi süsteem n tundmatuga nimetatakse vormisüsteemiks

Kus a ij Ja b i (i=1,…,m; b=1,…,n) on mõned teadaolevad numbrid ja x 1,…,x n- teadmata. Koefitsientide määramisel a ij esimene indeks i tähistab võrrandi numbrit ja teist j– tundmatute arv, mille juures see koefitsient on.

Kirjutame tundmatute koefitsiendid maatriksi kujul , mida me kutsume süsteemi maatriks.

Võrrandite paremal küljel olevad numbrid on b 1,…,b m kutsutakse tasuta liikmed.

Totaalsus n numbrid c 1,…,c n helistas otsus antud süsteemist, kui süsteemi iga võrrand muutub pärast arvude asendamist võrduseks c 1,…,c n vastavate tundmatute asemel x 1,…,x n.

Meie ülesandeks jääb süsteemile lahenduste leidmine. Sel juhul võib tekkida kolm olukorda:

Nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi, millel on vähemalt üks lahend liigend. Vastasel juhul, st. kui süsteemil pole lahendusi, siis kutsutakse seda mitteliigeste.

Vaatleme võimalusi süsteemile lahenduste leidmiseks.

MAATRIKS-MEETOD LINEAARSÜSTEEMIDE LAHENDAMISEKS

Maatriksid võimaldavad lühidalt kirja panna lineaarvõrrandisüsteemi. Olgu antud 3 võrrandi süsteem kolme tundmatuga:

Mõelge süsteemimaatriksile ja maatriksite veerud tundmatutest ja vabadest terminitest

Otsime töö üles

need. korrutise tulemusena saame selle süsteemi võrrandite vasakpoolsed küljed. Seejärel saab selle süsteemi maatriksvõrdsuse definitsiooni kasutades kirjutada kujule

või lühem A∙X = B.

Siin on maatriksid A Ja B on teada ja maatriks X teadmata. See on vajalik üles leida, sest... selle elemendid on selle süsteemi lahendus. Seda võrrandit nimetatakse maatriksvõrrand.

Olgu maatriksi determinant erinev nullist | A| ≠ 0. Seejärel lahendatakse maatriksvõrrand järgmiselt. Korrutage vasakpoolse võrrandi mõlemad pooled maatriksiga A-1, maatriksi pöördväärtus A: . Kuna A -1 A = E Ja E∙X = X, siis leiame maatriksvõrrandi lahendi kujul X = A -1 B .

Pange tähele, et kuna pöördmaatriksit saab leida ainult ruutmaatriksite jaoks, saab maatriksmeetodiga lahendada ainult need süsteemid, milles võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga. Süsteemi maatrikssalvestus on aga võimalik ka juhul, kui võrrandite arv ei võrdu tundmatute arvuga, siis maatriks A ei saa olema ruudukujuline ja seetõttu on vormis võimatu süsteemile lahendust leida X = A -1 B.

Näited. Lahendage võrrandisüsteeme.

CRAMERI REEGEL

Vaatleme kolmest lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga:

Süsteemi maatriksile vastav kolmandat järku determinant, s.o. koosneb tundmatute koefitsientidest,

helistas süsteemi määraja.

Koostame veel kolm determinanti järgmiselt: asendame järjestikku 1, 2 ja 3 veergu determinandis D vabade liikmete veeruga

Siis saame tõestada järgmise tulemuse.

Teoreem (Crameri reegel). Kui süsteemi determinant Δ ≠ 0, siis on vaadeldaval süsteemil üks ja ainult üks lahend ning

Tõestus. Niisiis, vaatleme kolmest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga. Korrutame süsteemi 1. võrrandi algebralise täiendiga A 11 element a 11, 2. võrrand – sees A 21 ja 3. – sisse A 31:

Lisame need võrrandid:

Vaatame selle võrrandi kõiki sulgusid ja paremat külge. Determinandi laienemise teoreemi järgi 1. veeru elementides

Samamoodi võib näidata, et ja .

Lõpuks on seda lihtne märgata

Seega saame võrdsuse: .

Seega,.

Võrdsed ja tuletatakse sarnaselt, millest järeldub teoreemi väide.

Seega märgime, et kui süsteemi determinant Δ ≠ 0, siis on süsteemil unikaalne lahendus ja vastupidi. Kui süsteemi determinant on võrdne nulliga, siis süsteemil on kas lõpmatu arv lahendeid või puuduvad lahendid, s.t. Sobimatu.

Näited. Lahenda võrrandisüsteem

GAUSS MEETOD

Eelnevalt käsitletud meetoditega saab lahendada ainult neid süsteeme, milles võrrandite arv ühtib tundmatute arvuga ning süsteemi determinant peab olema erinev nullist. Gaussi meetod on universaalsem ja sobib suvalise arvu võrranditega süsteemidele. See seisneb tundmatute järjekindlas eemaldamises süsteemi võrranditest.

Vaatleme uuesti kolmest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga:

.

Jätame esimese võrrandi muutmata ning 2. ja 3. võrrandist jätame välja terminid, mis sisaldavad x 1. Selleks jagage teine ​​võrrand arvuga A 21 ja korrutage -ga A 11 ja seejärel lisage see 1. võrrandisse. Samamoodi jagame kolmanda võrrandi arvuga A 31 ja korrutage -ga A 11 ja seejärel lisage see esimesega. Selle tulemusel on algne süsteem järgmine:

Nüüd eemaldame viimasest võrrandist termini, mis sisaldab x 2. Selleks jagage kolmas võrrand, korrutage ja lisage teisega. Siis saame võrrandisüsteemi:

Siit, viimasest võrrandist on seda lihtne leida x 3, siis 2. võrrandist x 2 ja lõpuks, alates 1. x 1.

Gaussi meetodi kasutamisel saab võrrandeid vajadusel vahetada.

Sageli piirduvad nad uue võrrandisüsteemi kirjutamise asemel süsteemi laiendatud maatriksi väljakirjutamisega:

ja seejärel viia see elementaarteisenduste abil kolmnurk- või diagonaalkujule.

TO elementaarsed teisendused maatriksid sisaldavad järgmisi teisendusi:

1. ridade või veergude ümberkorraldamine;
2. stringi korrutamine nullist erineva arvuga;
3. teiste ridade lisamine ühele reale.

Näited: Lahendage võrrandisüsteeme Gaussi meetodil.

Seega on süsteemil lõpmatu arv lahendusi.

Võrdne rea või veeru elementide korrutiste summaga nende algebraliste täiendite järgi, s.o. , kus i 0 on fikseeritud.
Avaldist (*) nimetatakse determinandi D laiendamiseks rea numbriga i 0 elementideks.

Teenuse eesmärk. See teenus on loodud maatriksi määraja leidmiseks võrgus, kusjuures kogu lahendusprotsess on salvestatud Wordi vormingus. Lisaks luuakse Excelis lahendusmall.

Juhised. Valige maatriksi mõõde ja klõpsake nuppu Edasi.

Algoritm determinandi leidmiseks

1. Maatriksite puhul, mille suurusjärk n=2, arvutatakse determinant järgmise valemi abil: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Maatriksite puhul, mille suurusjärk on n=3, arvutatakse determinant algebraliste liitmiste abil või Sarruse meetod.
3. Maatriks, mille mõõde on suurem kui kolm, jagatakse algebralisteks komplementideks, mille jaoks arvutatakse nende determinandid (minorid). Näiteks, 4. järku maatriksdeterminant leitud ridadeks või veergudeks laiendamise kaudu (vt näidet).

Determinantide arvutamise meetodid

1. determinandi arvutamine järjekorra vähendamise meetodil
2. determinandi arvutamine Gaussi meetodil (maatriksi taandamisega kolmnurkseks).

Determinantide rakenduslik kasutamine

Määrame (2,1) jaoks minoorse: selleks kustutame maatriksist teise rea ja esimese veeru.

Leiame determinandi, kasutades ridade kaupa laiendamist (esimese rea järgi):
Minor (1,1): kriipsutage maatriksist maha esimene rida ja esimene veerg.

2.Kui │A│=0, siis maatriks A on singulaarne ja pöördmaatriksit A ​​-1 ei eksisteeri.

Kui maatriksi A determinant ei ole võrdne nulliga, siis on pöördmaatriks olemas.

3. Leidke A T, mis on transponeeritud A-ks.

4. Leidke transponeeritud maatriksi elementide algebralised täiendid ja koostage nendest adjointmaatriks. 5. Arvutame pöördmaatriksi valemi abil: 6. Kontrollime pöördmaatriksi arvutuse õigsust, lähtudes selle definitsioonist A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· Maatriksis, mille suurus on m x n, saame suvaliste ridade ja veergude kustutamisel valida k-ndat järku ruudukujulised alammaatriksid, kus k≤min(m; n). Selliste alammaatriksite determinante nimetatakse maatriksi A k-ndat järku minoorideks.

· Maatriksi auaste A on selle maatriksi nullist erineva alaastme kõrgeim järk.

· Maatriksi A astet tähistatakse astmega A või r(A).

· Definitsioonist järeldub:

· 1) m x n suuruse maatriksi aste ei ületa selle mõõtmetest väiksemat, s.o. r(A) ≤ min (m; n).

· 2) r(A)=0 siis ja ainult siis, kui maatriksi kõik elemendid on võrdsed nulliga, s.t. A=0.

· 3) N-ndat järku ruutmaatriksi puhul r(A) = n siis ja ainult siis, kui maatriks A on mitteainsuses.

· Üldjuhul on maatriksi järgu määramine kõigi alaealiste loendamise teel üsna töömahukas. Selle ülesande hõlbustamiseks kasutatakse elementaarseid teisendusi, mis säilitavad maatriksi auastme:

· 1) Nullrea (veeru) kõrvalejätmine.

· 2) Maatriksi rea (veeru) kõigi elementide korrutamine arvuga, mis ei ole võrdne nulliga.

· 3) Maatriksi ridade (veergude) järjekorra muutmine.

· 4) Ühe rea (veeru) igale elemendile teise rea (veeru) vastavate elementide lisamine, korrutatuna suvalise arvuga.

· 5) Maatriksi transpositsioon.

· Teoreem. Maatriksi auaste ei muutu.

№31

— Olgu süsteemi (1) võrrandite arv võrdne muutujate arvuga, s.t. m = n. Siis on süsteemi maatriks ruut ja selle determinanti Δ=│A│ nimetatakse süsteemi determinandiks.

— Oletame, et │A│ ei ole võrdne nulliga, siis on olemas pöördmaatriks A -1.

— Korrutades vasakul mõlemal pool maatriksi võrdsust pöördmaatriksiga A -1 saame:

— A -1 (AX) = A -1 V.

Pöördmaatriksmeetodit kasutava võrrandisüsteemi lahenduseks on veerumaatriks:

X = A -1 V.

(A -1 A)X =EX =X

— Crameri teoreem. Olgu Δ süsteemi A maatriksi determinant ja Δ j maatriksi determinant, mis saadakse maatriksist, asendades j-nda veeru vabade liikmete veeruga. Kui Δ ei ole võrdne nulliga, on süsteemil ainulaadne lahendus, mis on määratletud Crameri valemitega:

kus j=1..n.

№33

—
Gaussi meetod - muutujate järjestikuse kõrvaldamise meetod - seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem astmelise või kolmnurkse kujuga samaväärseks süsteemiks.

— Mõelge maatriksile:

— seda maatriksit nimetatakse süsteemi (1) laiendatud maatriksiks, kuna lisaks süsteemi A maatriksile sisaldab see lisaks vabade terminite veergu.

№26

— N-mõõtmeline vektor on n reaalarvu järjestatud kogum, mis on kirjutatud kujul X = (x 1, x 2,...x n), kus x i on vektori X i-s komponent.

— Kaks n-mõõtmelist vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende vastavad komponendid on võrdsed, s.t. X=Y, kui x i =y i, i=1…n.

Reaalkomponentidega vektorite kogumit, milles on määratletud ülaltoodud omadusi rahuldavad vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise operatsioonid, nimetatakse vektorruumiks.

— Vektorruumi R nimetatakse n-mõõtmeliseks, kui selles on n lineaarselt sõltumatut vektorit ja kõik n+1 vektorid on juba sõltuvad. Arvu n nimetatakse vektorruumi R mõõtmeks ja seda tähistatakse dim(R)-ga.

№29

Lineaarsed operaatorid

— Definitsioon. Kui on antud seadus (reegel), mille kohaselt on iga ruumi vektor x seotud ühe ruumivektoriga y

siis öeldakse: et on antud operaator (teisendus, kaardistamine) A(x), mis toimib kohast kuni ja

kirjuta y=A(x).

— Operaatorit nimetatakse lineaarseks, kui mis tahes vektori x ja y korral ruumis

ja mis tahes arv λ kehtivad järgmised seosed:

№37

— Olgu A hulk, mis koosneb lõplikust arvust elementidest a 1 , a 2 , a 3 …a n . Rühmad saab moodustada komplekti A erinevatest elementidest. Kui igas rühmas on sama arv elemente m (m-st n), siis öeldakse, et nad moodustavad n-st elemendist koosnevaid ühendeid, millest igaühes on m. Ühendusi on kolme tüüpi: paigutused, kombinatsioonid ja permutatsioonid.

— ühendused, millest igaüks sisaldab hulga A kõiki n elementi ja mis seetõttu erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest, nimetatakse n elemendi permutatsioonideks. Selliste permutatsioonide arv on tähistatud sümboliga Pn.

№35

Tõenäosuse klassikaline definitsioon põhineb sündmuste võrdse tõenäosuse kontseptsioonil.

Sündmuste võrdne võimalus tähendab, et pole põhjust üht neist teistele eelistada.

Mõelge katsele, mille tulemuseks võib olla sündmus A. Iga tulemust, mille puhul sündmus A toimub, nimetatakse sündmuse A jaoks soodsaks.

Sündmuse A tõenäosus (tähistatakse P(A)) on sündmusele A soodsate tulemuste arvu suhe (tähistatakse k-ga) katse kõigi tulemuste arvu - N, s.o. P(A)= k/N.

— Klassikalisest tõenäosuse määratlusest tulenevad järgmised omadused:

— Iga sündmuse tõenäosus jääb nulli ja ühe vahele.

— Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.

— Võimatu sündmuse tõenäosus on null

№39, 40

— Liitumise teoreem. Kui A ja B ei ühildu, siis P(A + B) = P(A) + P(B)