Täisnurkse kolmnurga lahendamine piki perimeetrit. Kolmnurga ümbermõõdu leidmine mitmel viisil

Ümbermõõt on hulknurga kõigi külgede summa. Tavalistes hulknurkades muudab perimeetri leidmise lihtsamaks külgede vaheline rangelt määratletud suhe. Juhend 1 Suvalisel joonisel, mis on piiratud katkendjoone erinevate segmentidega, ...

Kell täisnurkne kolmnurk Seal on kaks jalga ja hüpotenuus. Nende tähendused on omavahel seotud. See tähendab, et teades kahte neist parameetritest, saate arvutada kolmanda. Juhend 1 Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, y ...

Ruutkolmnurka nimetatakse täpsemalt täisnurkseks kolmnurgaks. Selle külgede ja nurkade vaheline suhe geomeetriline kujund neid käsitletakse üksikasjalikult trigonomeetria matemaatilises distsipliinis. Teil on vaja - paberitükki; - pastakat; - ...

Kolmnurga ümbermõõt on selle külgede pikkuste summa. Kolmnurga ümbermõõdu leidmine on sageli vajalik nii alggeomeetria ülesannete kui ka raskemate ülesannete puhul. Nende lahendamisel leitakse puuduvad väärtused muudest andmetest. Põhilised sõltuvused...

Jalg on täisnurkse kolmnurga külg, mis külgneb täisnurgaga. Selle leiate Pythagorase teoreemi või täisnurkse kolmnurga trigonomeetriliste suhete abil. Selleks peate teadma selle kolmnurga teisi külgi või nurki. ...

Probleemid külgede pikkuse leidmisel on geomeetria käigus ühed levinumad. Nende lahendamise algoritm sõltub algandmetest, vaadeldava joonise omadustest. Teil on vaja - märkmikku; - joonlauda; - pliiatsit; - pastakat; - ...

Pindala ja ümbermõõt on mis tahes geomeetriliste kujundite peamised numbrilised omadused. Nende suuruste leidmine on lihtsustatud tänu üldtunnustatud valemitele, mille järgi saab minimaalse või täieliku puudumisega ka läbi arvutada ...

Kolmnurga, nagu iga teise tasase geomeetrilise kujundi, ümbermõõt on seda piiravate segmentide pikkuste summa. Seetõttu peate perimeetri pikkuse arvutamiseks teadma selle külgede pikkusi. Kuid tänu sellele, et külgede pikkused on geomeetrilistes ...

Kolmnurk on lihtne hulknurk, millel on kolm tippu ja kolm külge. Ühe täisnurgaga kolmnurka nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks. Täisnurksete kolmnurkade puhul kehtivad kõik kolmnurkade valemid. üldine vaade. Kuid…

Kolmnurka loetakse täisnurkseks, kui selle üks nurk on täisnurk. Kolmnurga vastaskülg täisnurk, nimetatakse hüpotenuusiks ja ülejäänud kaks külge on jalad. Täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste leidmiseks...

Üldjuhul ei piisa kolmnurga ühe külje pikkuse ja ühe nurga teadmisest teise külje pikkuse määramiseks. Need andmed võivad olla piisavad täisnurkse kolmnurga ja ka võrdhaarse kolmnurga külgede määramiseks. AT…

Mis tahes geomeetrilise kujundi, sealhulgas kolmnurga ümbermõõt on võrdne selle kujundi piiride kogupikkusega. Seda tähistatakse suure ladina tähega P ja see on hõlpsasti leitav, liites antud joonise kõigi külgede pikkused. 1. juhis, et leida...

Vaatamata sellele, et sõna "ümbermõõt" koos kreeka keel tõlgituna "ringiks", tähistavad need mitte ainult ringi, vaid ka mis tahes kumera geomeetrilise kujundi kõigi piiride kogupikkust. Üks neist tasapinnalistest kujunditest on…

Üks peamisi geomeetrilisi kujundeid on kolmnurk. See moodustub kolme lõigu lõikumisel. Need lõigud moodustavad joonise küljed ja nende lõikepunkte nimetatakse tippudeks. Iga geomeetriakursust õppiv üliõpilane peab suutma leida selle kujundi perimeetri. Omandatud oskus on paljudele kasulik täiskasvanueas, näiteks õpilasele, insenerile, ehitajale,

Olemas erinevatel viisidel leidke kolmnurga ümbermõõt. Vajaliku valemi valik sõltub saadaolevatest lähteandmetest. Selle väärtuse kirjutamiseks matemaatilises terminoloogias kasutatakse spetsiaalset tähistust - P. Mõelge, mis on perimeeter, peamised meetodid selle arvutamiseks erinevat tüüpi kolmnurksete kujundite jaoks.

kõige poolt lihtsal viisil leida kujundi ümbermõõt, kui kõik küljed on antud. Sel juhul kasutatakse järgmist valemit:

Täht "P" tähistab perimeetri enda väärtust. "a", "b" ja "c" on omakorda külgede pikkused.

Teades kolme koguse suurust, piisab, kui saada nende summa, mis on ümbermõõt.

Alternatiivne variant

Matemaatikaülesannetes on kõik etteantud pikkused harva teada. Sellistel juhtudel on soovitatav kasutada alternatiivne viis otsige soovitud väärtust. Kui tingimused määravad kahe sirge pikkuse ja nendevahelise nurga, tehakse arvutus kolmanda otsimise kaudu. Selle numbri leidmiseks peate saama Ruutjuur valemi järgi:

Perimeeter mõlemal küljel

Perimeetri arvutamiseks ei ole vaja teada kõiki geomeetrilise kujundi andmeid. Mõelge arvutusmeetoditele kahel küljel.

Võrdhaarne kolmnurk

Kolmnurka nimetatakse võrdhaarseks, kui selle vähemalt kaks külge on ühepikkused. Neid nimetatakse külgmiseks ja kolmandat külge nimetatakse aluseks. Võrdsed sirged moodustavad tipunurga. Võrdhaarse kolmnurga tunnuseks on ühe sümmeetriatelje olemasolu. Telg on vertikaalne joon, mis algab ülemisest nurgast ja lõpeb aluse keskel. Sümmeetriatelg sisaldab endas järgmisi mõisteid:

tipunurga poolitaja;
mediaan kuni alus;
kolmnurga kõrgus;
mediaan risti.

Võrdhaarse kolmnurkse kujundi ümbermõõdu määramiseks kasutage valemit.

Sel juhul peate teadma ainult kahte suurust: alust ja ühe külje pikkust. Tähis "2a" tähendab külje pikkuse korrutamist 2-ga. Saadud joonisele peate lisama aluse väärtuse - "b".

Erandjuhul, kui võrdhaarse kolmnurga aluse pikkus on võrdne selle külgjoonega, võib kasutada lihtsamat meetodit. Seda väljendatakse järgmises valemis:

Tulemuse saamiseks piisab, kui korrutada see arv kolmega. Seda valemit kasutatakse korrapärase kolmnurga ümbermõõdu leidmiseks.

Kasulik video: probleemid kolmnurga perimeetril

Kolmnurk ristkülikukujuline

Peamine erinevus täisnurkse kolmnurga ja selle kategooria muude geomeetriliste kujundite vahel on 90 ° nurga olemasolu. Selle põhjal määratakse figuuri tüüp. Enne täisnurkse kolmnurga ümbermõõdu leidmise määramist tasub märkida, et iga tasase geomeetrilise kujundi väärtus on kõigi külgede summa. Nii et sel juhul on kõige lihtsam viis tulemuse teada saamiseks kolme väärtuse liitmine.

Teaduslikus terminoloogias nimetatakse neid külgi, mis külgnevad täisnurgaga, "jalgadeks" ja 90-kraadise nurga vastand on hüpotenuus. Selle figuuri omadusi uuris Vana-Kreeka teadlane Pythagoras. Pythagorase teoreemi järgi hüpotenuusi ruut on võrdne summaga jalgade ruudud.

Selle teoreemi põhjal on tuletatud teine valem, mis selgitab, kuidas leida kolmnurga ümbermõõt, kui on antud kaks teadaolevat külge. Määratud jalgade pikkusega perimeetri saate arvutada järgmise meetodi abil.

Perimeetri väljaselgitamiseks, omades teavet ühe jala suuruse ja hüpotenuusi kohta, peate määrama teise hüpotenuusi pikkuse. Sel eesmärgil kasutatakse järgmisi valemeid:

Samuti määratakse kirjeldatud tüüpi figuuri ümbermõõt ilma jalgade mõõtmete andmeteta.

Peate teadma hüpotenuusi pikkust ja sellega külgnevat nurka. Teades ühe jala pikkust, kui selle kõrval on nurk, arvutatakse joonise ümbermõõt valemiga:

Arvutamine kõrguse kaudu

Nende indikaatori kaudu saate arvutada selliste kategooriate ümbermõõtu nagu võrdhaarsed ja täisnurksed kolmnurgad keskmine joon. Nagu teate, poolitab kolmnurga kõrgus selle aluse. Seega moodustab see kaks ristkülikukujulist kujundit. Lisaks arvutatakse soovitud indikaator Pythagorase teoreemi abil. Valem näeb välja selline:

Kui teate aluse kõrgust ja poolt, saate seda meetodit kasutades soovitud arvu ilma ülejäänud joonise andmeid otsimata.

Kasulik video: kolmnurga ümbermõõdu leidmine

1) y \u003d 2x + 5 2) y \u003d 4 - 3x 3) y \u003d 8x - 2 4) y \u003d 5x 5) y \u003d 0,1x + 8 6) X \u003d \u003d x - 3, y = 2x + 3 y \u003d -3x + 1 y \u003d 4x - 2 a \u003d 5x + 2 y \u003d 3 y \u003d -x y \u003d -3 + 0, ) 1) 3) 1 4) 0 5) 1 6) 1 7) Lõpmatu hulk. kaarditestidega. Kaardi number 1. A10. Korreleerige valemitega antud funktsioonid nende graafikutega (joonis 1).

?

Täisnurkne kolmnurk on privaatne vaade suvaline kolmnurk. Nagu igal teisel kolmnurgal, on sellel kolm külge, kuid üks selle nurkadest peab olema 90 kraadi. Kui olete kindlaks teinud, et antud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk, võite alustada selle põhiväärtuste leidmist. Üks täisnurkse kolmnurga tunnuseid on selle ümbermõõt. Paljud geomeetria ülesanded on pühendatud täisnurkse kolmnurga ümbermõõdu leidmisele.

kus P on kolmnurga ümbermõõt;

A, b, c - kolmnurga küljed.

Pythagorase teoreemi põhjal sai võimalikuks täisnurkse kolmnurga ümbermõõt määrata selle kahe suvalise teadaoleva pikkusega külje järgi. Kui jalgade pikkused on teada, määratakse kolmnurga ümbermõõt, leides hüpotenuusi väärtuse valemi järgi:

Kui on teada ainult üks jalg ja hüpotenuusi pikkus, määratakse kolmnurga ümbermõõt, leides valemi abil puuduva jala väärtuse:

Kui täisnurkses kolmnurgas on ainult hüpotenuusi c pikkus ja üks külgnevatest teravad nurgadα, siis saab sel juhul kolmnurga ümbermõõdu määrata valemiga:

Juhul, kui ülesande tingimused määravad jala a pikkuse ja selle vastas oleva teravnurga α väärtuse, arvutatakse sel juhul täisnurkse kolmnurga ümbermõõt valemiga:

Kui jalg a on antud nurgaga β, mis sellega külgneb, saab kolmnurga ümbermõõtu arvutada avaldise põhjal:

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga ümbermõõt

P = a + b + c, kus näiteks

P = v(a2 + b2) + a + b või

P = v(c2 - b2) + b + c.

P = (1 + sin? + cos?)*s.

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

Muud seotud uudised:

Pindala ja ümbermõõt on mis tahes geomeetriliste kujundite peamised numbrilised omadused. Nende suuruste leidmine on lihtsustatud tänu üldtunnustatud valemitele, mille järgi saab arvutada ka üht-teist täiendavate lähteandmete minimaalse või täieliku puudumisega. P&G paigutuse sponsor

Võrdkülgne kolmnurk koos ruuduga on ehk kõige lihtsam ja sümmeetrilisem kujund planimeetrias. Muidugi kõik seosed, mis kehtivad hariliku kolmnurga puhul, kehtivad ka võrdkülgse puhul. Tavalise kolmnurga puhul muutuvad aga kõik valemid palju lihtsamaks. Sulle

Kolmnurka loetakse täisnurkseks, kui selle üks nurk on täisnurk. Kolmnurga täisnurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks ja ülejäänud kahte külge on jalad. Täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste leidmiseks võite kasutada mitut meetodit. Sponsor

Kolmnurk on hulknurk, millel on kolm külge ja kolm nurka. Kuidas arvutada selle perimeetrit? Sponsoriks P&G artiklite paigutamine teemal "Kuidas leida kolmnurga ümbermõõt" Kuidas leida kolmnurga ümbermõõt, arvestades selle tippude koordinaate Kuidas leida kolmnurga pindala Kuidas leida kolmnurga pikkust ja ümbermõõtu laius

Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga pikim külg. See asub õige nurga vastas. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi leidmise viis sõltub teie sisendist. Sponsoriks on P&G artiklite paigutamine teemal "Kuidas leida kolmnurga hüpotenuus" Kuidas

Täisnurkset kolmnurka iseloomustavad teatud nurkade ja külgede suhted. Teades mõne neist väärtusi, saate arvutada teised. Selleks kasutatakse valemeid, mis omakorda põhinevad geomeetria aksioomidel ja teoreemidel. P&G paigutuse sponsoritega seotud artiklid Kuidas kindlaks teha

Näib, et see võib olla lihtsam kui kolmnurga pindala ja ümbermõõdu arvutamine - mõõdetakse küljed, pannakse numbrid valemisse - ja kõik. Kui arvate nii, siis olete unustanud, et nendel eesmärkidel pole mitte kahte lihtsat valemit, vaid palju muud - iga kolmnurga tüübi jaoks - oma. Sulle

Täisnurkse kolmnurga valemi ümbermõõt

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga ümbermõõt

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurkadest on 90 kraadi ja ülejäänud kaks on teravnurk. Sellise kolmnurga ümbermõõdu arvutamine sõltub selle kohta teadaolevate andmete hulgast.

Olenevalt juhtumist teadmised kolmnurga kahest kolmest küljest ja ka selle ühe teravnurga kohta.

Sponsoriks P&G artiklite paigutamine teemal "Kuidas leida täisnurkse kolmnurga ümbermõõt" Kuidas leida püramiidi pindala Kuidas leida perimeetrit, kui pindala on teada Kuidas leida võrdkülgse ümbermõõt kolmnurk

Meetod 1. Kui kolmnurga kõik kolm külge on teada, siis olenemata sellest, kas kolmnurk on täisnurkne või mitte, arvutatakse selle ümbermõõt järgmiselt:

P = a + b + c, kus näiteks

Meetod 2. Kui ristkülikul on teada ainult 2 külge, siis Pythagorase teoreemi abil saab selle kolmnurga ümbermõõdu arvutada valemiga:

P = v(a2 + b2) + a + b või

P = v(c2 - b2) + b + c.

Meetod 3. Olgu hüpotenuus c ja teravnurk? antud täisnurkses kolmnurgas, siis leiad perimeetri järgmiselt:

P = (1 + sin? + cos?)*s.

Meetod 4. On antud, et täisnurkses kolmnurgas on ühe jala pikkus võrdne a-ga ja selle vastas asub teravnurk?. Seejärel arvutatakse selle kolmnurga ümbermõõt vastavalt valemile:

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

Meetod 5. Andke teada jalg a ja sellega külgnev nurk ?, siis arvutatakse ümbermõõt järgmiselt:

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

Täisnurkne kolmnurk on lihtne, kuid matemaatika jaoks äärmiselt oluline näitaja. Teades selle omadusi ja võimet opereerida täisnurkse kolmnurga põhiparameetritega, saate hakkama nii kooli- kui ka tegelike ülesannetega.

Täisnurkse kolmnurga geomeetria

Geomeetriliselt on kolmnurk kolm punkti, mis ei asu ühel sirgel ja mis on omavahel ühendatud segmentidega. Täisnurkne kolmnurk on kujund, mille kaks külge moodustavad täisnurga. Neid külgi nimetatakse kolmnurga jalgadeks ja kolmandat, pikimat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Jalgade ja hüpotenuusi ruutude suhe kehtestab Pythagorase teoreemi - ühe Eukleidilise geomeetria põhiteoreemi.

Hüpotenuusi ja jalgade suhted panid aluse ka tervele matemaatika lõigule - trigonomeetriale. Algselt määratleti siinused ja koosinused täisnurkse kolmnurga nurkade funktsioonidena, kuid tänapäevane tähendus trigonomeetrilisi funktsioone laiendatakse kogu arvteljele. Tänapäeval kasutatakse trigonomeetriat paljudes inimtegevuse valdkondades: alates astronoomiast ja okeanograafiast kuni finantsturgude analüüsi ja arvutimängude arendamiseni.

Täisnurkne kolmnurk tegelikkuses

Täisnurkset kolmnurka ennast leidub tegelikkuses iga nurga juures, nii otseses kui ka ülekantud tähenduses. Täisnurksel kolmnurgal on tetraeedrite ja prismade tahud, mis tegelikkuses muutuvad masinaosadeks, keraamilised plaadid või katusekalded. Ruut on joonistustööriist, millega inimene esimest korda geomeetriatunnis kokku puutub, on täisnurkse kolmnurga kujuga ning mida kasutatakse projekteerimisel, ehitusel ja puutöös.

Kolmnurga ümbermõõt

Ümbermõõt on lameda geomeetrilise kujundi kõigi külgede pikkuste arvuline hinnang. N-nurga ümbermõõt leitakse n külje pikkuste summana. Täisnurkse kolmnurga ümbermõõdu määramiseks kasutatakse lihtsat valemit:

a ja b on jalad, c on hüpotenuus.

Kolmnurga ümbermõõt käsitsi arvutades peaksite mõõtma kõik kolm külge, tegema täiendavaid trigonomeetrilisi tehteid või tegema arvutusi Pythagorase teoreemi abil. Veebikalkulaatorit kasutades peate lihtsalt välja selgitama järgmised muutujapaarid:

kaks jalga;
jalg ja nurk;
hüpotenuus ja nurk.

Kooliprobleemides või praktikas antakse teile algandmed, nii et kalkulaator võimaldab teil leida perimeetri, teades erinevad paarid parameetrid. Lisaks arvutab tööriist automaatselt välja kõik muud täisnurkse kolmnurga atribuudid, see tähendab kõigi külgede pikkused ja kõigi nurkade väärtused. Vaatame paari näidet.

Näited elust

kooli ülesanne

Olgu kooliülesandes antud täisnurkne kolmnurk jala pikkusega 5 cm ja nurgaga 60 kraadi. On vaja leida geomeetrilise kujundi ümbermõõt. Veebikalkulaatoriga on kaasas joonis, millel on näidatud täisnurkse kolmnurga küljed ja nurgad. Näeme, et kui jalg a \u003d 5 cm, siis selle kaasatud nurk on nurk beeta. See on oluline punkt, sest kui kasutate arvutusteks alfanurka, on tulemus vale. Me juhime need andmed vormi ja saame vastuse kujul:

Lisaks perimeetrile endale määras meie programm ka vastasnurga väärtuse, samuti teise jala ja hüpotenuusi pikkuse.

Lillepeenra paigutus

Oletame, et soovite teha lillepeenra tara, mis on täisnurkse kolmnurga kujuline. Selleks peate teadma figuuri ümbermõõtu. Muidugi, tegelikkuses saate lihtsalt mõõta kõiki kolme külge, kuid ülesannet on lihtne lihtsustada ja mõõta ainult kahte jalga. Nende pikkus olgu 8 ja 15 meetrit. Me juhime need andmed kalkulaatori vormi ja saame vastuse:

Niisiis peate ostma materjale 40-meetrise aia korraldamiseks. Meie kalkulaator arvutas välja ka hüpotenuusi pikkuse – 17 meetrit. Numbrid 8, 15 ja 17 moodustavad Pythagorase kolmiku - täisarvud, mis vastavad Pythagorase teoreemi tingimustele.

Järeldus

Ristkülikukujulisi kolmnurki kasutatakse igapäevaelus laialdaselt, nii et geomeetrilise kujundi pindala või ümbermõõdu määramine tuleb kindlasti kasuks kooliülesannete või igapäevaelu probleemide lahendamisel.

Iga kolmnurga ümbermõõt on joonist piirava joone pikkus. Selle arvutamiseks peate teadma selle hulknurga kõigi külgede summat.

Arvutamine küljepikkuste etteantud väärtustest

Kui nende väärtused on teada, pole seda raske teha. Tähistades neid parameetreid tähtedega m, n, k ja perimeetrit tähega P, saame arvutamise valemi: P = m + n + k. Ülesanne: Teadaolevalt on kolmnurga küljed 13,5 detsimeetrit, 12,1 detsimeetrit ja 4,2 detsimeetrit pikad. Uurige perimeetrit. Lahendame: Kui selle hulknurga küljed on a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, siis P = 29,8 dm. Vastus: P = 29,8 dm.

Kolmnurga ümbermõõt, millel on kaks võrdset külge

Sellist kolmnurka nimetatakse võrdhaarseks kolmnurgaks. Kui need võrdsed küljed mille pikkus on sentimeetrit ja kolmas külg on b sentimeetrit, siis on perimeetrit lihtne teada saada: P \u003d b + 2a. Ülesanne: kolmnurga kaks külge on 10 detsimeetrit, alus on 12 detsimeetrit. Leidke P. Lahendus: Olgu külje külg a = c = 10 dm, alus b = 12 dm. Külgede summa P \u003d 10 dm + 12 dm + 10 dm \u003d 32 dm. Vastus: P = 32 detsimeetrit.

Võrdkülgse kolmnurga ümbermõõt

Kui kolmnurga kõigil kolmel küljel on sama arv ühikuid, nimetatakse seda võrdkülgseks kolmnurgaks. Teine nimi on õige. Tavalise kolmnurga ümbermõõt leitakse järgmise valemi abil: P \u003d a + a + a \u003d 3 a. Ülesanne: Meil on võrdkülgne kolmnurkne maatükk. Üks külg on 6 meetrit. Leidke aia pikkus, mis võib seda ala ümbritseda. Lahendus: Kui selle hulknurga külg on a= 6m, siis aia pikkus on P = 3 6 = 18 (m). Vastus: P = 18 m.

Kolmnurk, mille nurk on 90°

Seda nimetatakse ristkülikukujuliseks. Täisnurga olemasolu võimaldab definitsiooni abil leida tundmatuid külgi trigonomeetrilised funktsioonid ja Pythagorase teoreem. Pikimat külge nimetatakse hüpotenuusiks ja tähistatakse c. On veel kaks külge, a ja b. Pythagorase teoreemi järgides saame c 2 = a 2 + b 2 . Jalad a \u003d √ (c 2 - b 2) ja b \u003d √ (c 2 - a 2). Teades kahe jala a ja b pikkust, arvutame hüpotenuusi. Seejärel leiame need väärtused liites joonise külgede summa. Ülesanne: täisnurkse kolmnurga jalgade pikkus on 8,3 sentimeetrit ja 6,2 sentimeetrit. Kolmnurga ümbermõõt tuleb välja arvutada. Lahendame: Tähistame jalad a = 8,3 cm, b = 6,2 cm Pythagorase teoreemi järgi hüpotenuus c = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 ( = ) cm). P = 24,9 (cm). Või P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) \u003d 24,9 (cm). Vastus: P = 24,9 cm. Juurte väärtused võeti kümnendiku täpsusega. Kui teame hüpotenuusi ja jala väärtusi, saame P väärtuse, arvutades P \u003d √ (c 2 - b 2) + b + c. Ülesanne 2: Segment maatükk, lamades 90-kraadise nurga all, 12 km, üks jalg - 8 km. Kui kaua kulub kogu ala ümbersõitmiseks, kui liigute kiirusega 4 kilomeetrit tunnis? Lahendus: kui suurim lõik on 12 km, väiksem on b = 8 km, siis on kogu tee pikkus P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Leidke aeg, jagades vahemaa kiirusega. 28,9:4 = 7,225 (h). Vastus: ringi saad 7,3 tunniga.Võtame ruutjuure väärtuse ja vastuse kümnendiku täpsusega. On võimalik leida täisnurkse kolmnurga külgede summa, mis on antud ühe külje ja ühe teravnurga väärtusest. Teades jala b pikkust ja vastasnurga β väärtust, leiame tundmatu külje a = b/ tg β. Leidke hüpotenuus c = a: sinα. Sellise kujundi ümbermõõt leitakse saadud väärtuste liitmisel. P = a + a/ sinα + a/ tg α või P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α). Ülesanne: Ristkülikukujulises Δ ABC täisnurgaga C on jala BC pikkus 10 m, nurk A on 29 kraadi. Peame leidma külgede summa Δ ABC. Lahendus: märkige kuulus jalg BC \u003d a \u003d 10 m, selle vastas asuv nurk, ∟А \u003d α \u003d 30 °, siis jalg AC \u003d b \u003d 10: 0,58 \u003d 10: 0,58 \u003d), 17 \u003d \u003d. u003d 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 \u003d 47,2 (m). Või P \u003d 10 (1 + 1,72 + 2) \u003d 47,2 m. Meil on: P \u003d 47,2 m. Võtame trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse sajandikute täpsusega, ümardame külgede pikkuse väärtuse ja ümbermõõt kümnendikuni. Võttes jala α väärtuse ja kaasatud nurga β, saame teada, millega võrdub teine jalg: b = a tg β. Hüpotenuus on sel juhul võrdne jalaga, mis on jagatud nurga β koosinusega. Ümbermõõt leiame valemiga P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β) a. Ülesanne: 90-kraadise nurgaga kolmnurga jalg on 18 cm, kaasatud nurk on 40 kraadi. Leidke P. Lahendus: Tähistage tuntud jalga BC = 18 cm, ∟β = 40°. Siis tundmatu jalg AC = b = 18 0,83 = 14,9 (cm), hüpotenuus AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Joonise külgede summa on P = 56,3 (cm). Või P \u003d (1 + 1,3 + 0,83) * 18 \u003d 56,3 cm. Vastus: P \u003d 56,3 cm. Kui hüpotenuusi c pikkus ja mõni nurk α on teada, on jalad võrdsed korrutisega hüpotenuus esimese jaoks - siinuse ja teise jaoks - selle nurga koosinuse järgi. Selle joonise ümbermõõt on P = (sin α + 1+ cos α)*c. Ülesanne: täisnurkse kolmnurga AB hüpotenuus = 9,1 sentimeetrit ja nurk on 50 kraadi. Leia antud joonise külgede summa. Lahendus: Tähista hüpotenuus: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, siis ühe jala BC pikkus on a = 9,1 0,77 = 7 (cm), jala AC = b = 9 ,1 0,64 = 5,8 (cm). Seega on selle hulknurga ümbermõõt P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Või P = 9,1 (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Vastus: P = 21,9 sentimeetrit.

Suvaline kolmnurk, mille üks külg on teadmata

Kui meil on kahe külje a ja c väärtused ning nende külgede vaheline nurk γ, leiame kolmanda koosinusteoreemiga: b 2 \u003d c 2 + a 2 - 2 ac cos β, kus β on nurk, mis asub külgede a ja c vahel. Siis leiame perimeetri. Ülesanne: Δ ABC-l on lõik AB pikkusega 15 dm, lõik AC, mille pikkus on 30,5 dm. Nende külgede vahelise nurga väärtus on 35 kraadi. Arvutage külgede summa Δ ABC. Lahendus: Koosinusteoreemi abil arvutame välja kolmanda külje pikkuse. eKr 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 \u003d 404,95. eKr = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm). Meil on: P = 65,6 dm.

Suvalise kolmnurga külgede summa, mille kahe külje pikkus on teadmata

Kui teame ainult ühe lõigu pikkust ja kahe nurga väärtust, saame siinuse teoreemi abil teada kahe tundmatu külje pikkuse: "kolmnurgas on küljed alati võrdelised siinuste väärtustega vastasnurgad". Kus b = (a * sin β) / sin a. Samamoodi c = (a sin γ): sin a. Ümbermõõt on sel juhul P \u003d a + (a sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a. Ülesanne: Meil on Δ ABC. Selles on külje BC pikkus 8,5 mm, nurga C väärtus 47 ° ja nurk B 35 kraadi. Leia antud joonise külgede summa. Lahendus: Tähistage küljepikkused BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α = 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - (47° + 35). °) = 180° - 82° = 98°. Siinusteoreemist saadud suhtarvudest leiame jalad AC = b = (8,5 0,57): 0,73= 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Seega on selle hulknurga külgede summa P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Vastus: P = 23,5 mm. Juhul, kui on ainult ühe segmendi pikkus ja kahe külgneva nurga väärtused, arvutame esmalt vastasnurga tuntud pool. Kõik selle joonise nurgad on kokku 180 kraadi. Seetõttu ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Siis leiame siinusteoreemi abil tundmatud lõigud. Ülesanne: Meil on Δ ABC. Selle segment BC on 10 cm. Nurk B on 48 kraadi, nurk C on 56 kraadi. Leidke külgede summa Δ ABC. Lahendus: Esmalt leidke nurga A väärtus vastasküljel BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Nüüd arvutame siinuse teoreemiga külje pikkuse AC \u003d 10 0,74: 0,97 \u003d 7,6 (cm). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. Kolmnurga ümbermõõt P \u003d 10 + 8,6 + 7,6 \u003d 26,2 (cm). Tulemus: P = 26,2 cm.

Kolmnurga ümbermõõdu arvutamine sellesse kantud ringi raadiuse abil

Mõnikord pole probleemi seisundist teada kumbki pool. Kuid seal on kolmnurga pindala ja sellesse kirjutatud ringi raadius. Need suurused on omavahel seotud: S = r p. Teades kolmnurga pindala, raadiuse r väärtust, leiame poolperimeetri p. Leiame p = S: r. Ülesanne: Krundi pindala on 24 m 2, raadius r on 3 m. Leidke puude arv, mis tuleb istutada ühtlaselt piki seda krunti ümbritsevat joont, kui kahe meetri vaheline kaugus peaks olema 2 meetrit naaberlikud. Lahendus: leiame selle joonise külgede summa järgmiselt: P \u003d 2 24: 3 \u003d 16 (m). Siis jagame kahega. 16:2= 8. Kokku: 8 puud.

Kolmnurga külgede summa ristkoordinaatides

Tipudel Δ ABC on koordinaadid: A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C(x 3; y 3). Leidke mõlema külje ruudud AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; BC 2 \u003d (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 \u003d (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Perimeetri leidmiseks liitke lihtsalt kõik segmendid. Ülesanne: Tippude Δ ABC koordinaadid: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Leidke selle joonise külgede summa. Lahendus: pannes perimeetri valemisse vastavate koordinaatide väärtused, saame P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Meil on: P = 16,6. Kui kujund ei asu tasapinnal, vaid ruumis, siis on igal tipul kolm koordinaati. Seetõttu on külgede summa valemis veel üks liige.

vektormeetod

Kui kujund on antud tipukoordinaatidega, saab ümbermõõtu arvutada vektormeetodil. Vektor on sirglõik, millel on suund. Selle moodulit (pikkust) tähistatakse sümboliga ǀᾱǀ. Punktide vaheline kaugus on vastava vektori pikkus ehk vektori moodul. Mõelge tasapinnal asuvale kolmnurgale. Kui tippudel on koordinaadid A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3), siis leiame iga külje pikkuse valemitega: ǀAMǀ = √ ( (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) 2 + ( 1 - 3) 2). Kolmnurga ümbermõõt saame vektorite pikkused liites. Samamoodi leidke kolmnurga külgede summa ruumis.