Piiratud nelinurga vastasnurkade summa on võrdne. Hulknurk

Vikipeediast, vabast entsüklopeediast

Eukleidese geomeetrias sissekirjutatud nelinurk on nelinurk, mille kõik tipud asuvad samal ringil. Seda ringi nimetatakse piiritletud ring nelinurk ja öeldakse, et tipud asuvad samal ringil. Selle ringi keskpunkti ja selle raadiust nimetatakse vastavalt Keskus ja raadius piiritletud ring. Muud selle nelinurga tingimused: nelinurk asub samal ringil, viimase nelinurga küljed on ringi akordid. Tavaliselt eeldatakse, et kumer nelinurk on kumer nelinurk. Allpool toodud valemid ja omadused kehtivad kumeral juhul.
Nad ütlevad, et kui nelinurga ümber saab piirata ringi, siis nelinurk on sellesse ringi sisse kirjutatud, ja vastupidi.

Üldised kriteeriumid nelinurga kandmiseks

Umbes kumer nelinurk $\pi$ radiaan), see tähendab:

\nurk A+\nurk C = \nurk B + \nurk D = 180^\ring

või joonise tähistuses:

$\alpha + \gamma = \beta + \delta = \pi = 180^(\circ).$

Võimalik on kirjeldada ringjoont ümber suvalise nelinurga, mille neli risti poolitajat (või selle külgede mediatrit ehk risti nende keskpunkte läbivate külgedega) ristuvad ühes punktis.
Ringi on võimalik piirata mis tahes nelinurga ümber, millel on üks välisnurk antud sisemine nurk, täpselt võrdne teise vastassuunalise sisenurgaga antud sisenurk. Tegelikult on see tingimus nelinurga kahe vastaskülje antiparallelsuse seisund. Joonisel fig. allpool on näidatud rohelise viisnurga välimised ja külgnevad sisemised nurgad.

\displaystyle AX\cdot XC = BX\cdot XD.

ristmik X võib olla ringi sees või väline. Esimesel juhul saame sissekirjutatud nelinurga on ABCD, ja viimasel juhul saame sissekirjutatud nelinurga ABDC. Ringi sees ületades ütleb võrrand, et nende lõikude pikkuste korrutis, milles punkt X jagab üks diagonaal on võrdne nende lõikude pikkuste korrutisega, milles punkt X jagab teise diagonaali. Seda tingimust nimetatakse "ristuvate akordide teoreemiks". Meie puhul on sissekirjutatud nelinurga diagonaalid ringjoone kõõlused.
Teine sobivuse kriteerium. Kumer nelinurk ABCD ring on sisse kirjutatud siis ja ainult siis

\tan(\frac(\alpha)(2))\tan(\frac(\gamma)(2))=\tan(\frac(\beta)(2))\tan(\frac(\delta)( 2))=1.

Konkreetsed kriteeriumid nelinurga kandmiseks

Sissekirjutatud lihtne (iselõikusteta) nelinurk on kumer. Ringjoont saab kumera nelinurga ümber piirata siis ja ainult siis, kui selle vastasnurkade summa on 180° ( $\pi$ radiaan). Võite kirjeldada ringi ümber:

mis tahes antiparallelogramm
mis tahes ristkülik ( erijuhtum ruut)
mis tahes võrdhaarne trapets
mis tahes nelinurk, millel on kaks vastasnurka täisnurkselt.

Omadused

Diagonaalidega valemid

ef=ac+bd

;

\frac(e)(f) = \frac(a\cdot d+b\cdot c)(a\cdot b+c\cdot d).

Lugeja külgnevate külgede paari viimases valemis a ja d, b ja c toetuvad nende otsad pikkuse diagonaalile e. Sarnane väide kehtib ka nimetaja kohta.

Diagonaalpikkuste valemid(tagajärjed ):

e = \sqrt(\frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))

f = \sqrt(\frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))

Nurkadega valemid

Külgede jadaga sissekirjutatud nelinurga jaoks a , b , c , d, poolperimeetriga lk ja nurk A poolte vahel a ja d, nurga trigonomeetrilised funktsioonid A on antud valemitega

$\cos A = \frac(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)(2(ad + bc)),$ $\sin A = \frac(2\sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\tan \frac(A)(2) = \sqrt(\frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Nurk θ diagonaalide vahel on :lk.26

$\tan \frac(\theta)(2) = \sqrt(\frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

Kui vastasküljed a ja c ristuvad nurga all φ , siis on see võrdne

\cos(\frac(\varphi)(2))=\sqrt(\frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),

kus lk on poolperimeeter. :lk.31

Nelinurga ümber piiratud ringi raadius

Paramešvara valem (Parameshvara)

Kui nelinurk järjestikuste külgedega a , b , c , d ja poolperimeeter lk ringjoon on sisse kirjutatud, siis on selle raadius Parameswari valem:p. 84

$R= \frac(1)(4) \sqrt(\frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Selle töötas välja India matemaatik Parameswar 15. sajandil (umbes 1380-1460)

Kumer nelinurk (vt joonist paremal), mis on moodustatud neljast andmest otse Mikel, on ringi sisse kirjutatud siis ja ainult siis, kui Miqueli punkt M nelinurga punkt asub sirgel, mis ühendab kahte kuuest sirgete lõikepunktist (need, mis ei ole nelinurga tipud). See tähendab, millal M lebab EF.

Kriteerium, et kahest kolmnurgast koosnev nelinurk on kirjutatud mingisse ringi

f^2 = \frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).

Viimane tingimus annab diagonaali avaldise f nelinurk, mis on kirjutatud ringisse läbi selle nelja külje pikkuse ( a, b, c, d). See valem järgneb kohe sisuliselt väljendavate valemite vasaku ja parema osa korrutamisel ja üksteisega võrdsustamisel Ptolemaiose esimene ja teine teoreem(vt eespool).

Kriteerium, et kolmnurgast sirgjoonega ära lõigatud nelinurk on kirjutatud mingisse ringi

Kolmnurga küljega antiparalleelne ja seda lõikuv sirgjoon lõikab sellest ära nelinurga, mille ümber saab alati ringjoont piirata.
Tagajärg. Antiparallelogrammi lähedal, mille kaks vastaskülge on antiparalleelsed, on alati võimalik kirjeldada ringi.

Ringi sisse kirjutatud nelinurga pindala

Brahmagupta valemi variandid

S=\sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),

kus p on nelinurga poolperimeeter.

S= \frac(1)(4) \sqrt(- \begin(vmatrix) a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmaatriks))

Muud ala valemid

S = \tfrac(1)(2)(ab+cd)\sin(B)

S = \tfrac(1)(2)(ac+bd)\sin(\teeta),

kus θ mis tahes diagonaalide vahelised nurgad. Tingimusel, et nurk A ei ole sirge, pindala võib väljendada ka kujul :lk.26

$S = \tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan(A).$ $\displaystyle S=2R^2\sin(A)\sin(B)\sin(\theta),$

kus R on piiritletud ringi raadius. Otsene tagajärg on meil ebavõrdsus

$S\le 2R^2,$

kus võrdsus on võimalik siis ja ainult siis, kui see nelinurk on ruut.

Brahmagupta nelinurgad

Brahmagupta nelinurk on nelinurk, mis on kantud ringi täisarvude külgede pikkuste, täisarvude diagonaalide ja täisarvu pindalaga. Kõik võimalikud külgedega Brahmagupta nelinurgad a , b , c , d, diagonaalidega e , f, pindalaga S, ja piiritletud ringi raadius R võib saada järgmiste ratsionaalseid parameetreid hõlmavate avaldiste nimetajate eemaldamisega t , u, ja v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Näited

Ringi sisse kirjutatud privaatsed nelinurgad on: ristkülik, ruut, võrdhaarne või võrdhaarne trapets, antiparallelogramm.

Nelinurgad, mis on sisse kirjutatud ristdiagonaalidega ringi (kirjastatud ortodiagonaalsed nelinurgad)

Ristliku diagonaaliga ringi sisse kirjutatud nelinurkade omadused

Piiratud ringi ja pindala raadius

Oletame, et risti asetsevate diagonaalidega ringi sisse kirjutatud nelinurga puhul jagab diagonaalide lõikepunkt ühe diagonaali pikkusteks segmentideks lk 1 ja lk 2 ja jagab teise diagonaali pikkusega segmentideks q 1 ja q 2. Siis (Esimene võrdsus on Archimedese väide 11 " Lemmade raamat)

$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

kus D- ringi läbimõõt. See on tõsi, kuna diagonaalid on ringi kõõluga risti. Nendest võrranditest järeldub, et piiritletud ringi raadius R saab vormis kirjutada

$R=\tfrac(1)(2)\sqrt(p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2)$

või kujundis nelinurga külgede järgi

$R=\tfrac(1)(2)\sqrt(a^2+c^2)=\tfrac(1)(2)\sqrt(b^2+d^2).$

Sellest tuleneb ka see

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

Sissekirjutatud ortodiagonaalsete nelinurkade puhul kehtib Brahmagupta teoreem:

Kui sisse kirjutatud nelinurgal on risti diagonaalid, mis lõikuvad punktis $M$ , siis kaks paari antimediatris punkti läbima $M$ .

Kommenteeri. Selles teoreemis antimediatris mõista segmenti $F.E.$ nelinurk parempoolsel joonisel (analoogiliselt kolmnurga küljega risti poolitaja (mediatrix) abil). See on ühe küljega risti ja läbib samaaegselt nelinurga vastaskülje keskpunkti.

Kirjutage ülevaade artiklist "Ringi kirjutatud nelinurksed"

Märkmed

Bradley, Christopher J. (2007), Geomeetria algebra: ristkoordinaadid, pindalalised ja projektiivsed koordinaadid, Highperception, lk. 179, ISBN 1906338000, OCLC
. Sissekirjutatud nelinurgad.
Siddons, A. W. ja Hughes, R. T. (1929), Trigonomeetria, Cambridge University Press, lk. 202, OCLC
Durell, C.V. ja Robson, A. (2003), Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Foorum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
Johnson, Roger A., Täiustatud eukleidiline geomeetria, Dover Publ., 2007 (al. 1929).
Hoehn, Larry (märts 2000), "Tsüklilise nelinurga ringraadius", Matemaatika Teataja T. 84 (499): 69–70
.
Altshiller-Court, Nathan (2007), Kolledži geomeetria: Sissejuhatus kolmnurga ja ringi kaasaegsesse geomeetriasse(2. väljaanne), Courier Dover, ss. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
Honsberger, Ross (1995), . Episoodid üheksateistkümnenda ja kahekümnenda sajandi eukleidilises geomeetrias, vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
Weisstein, Eric W.(inglise keeles) Wolfram MathWorldi veebisaidil.
Bradley, Christopher (2011) ,
.
Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), . Geomeetria uuesti läbi vaadatud, Mathematical Association of America, lk. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
.
Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), . Matemaatikaolümpiaadi aarded, Springer, ss. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
.
Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Austraalia Matemaatika Seltsi bülletään T. 59 (2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
.
Johnson, Roger A., Täiustatud eukleidiline geomeetria, Dover Publ. koostöö, 2007
, Koos. 74.
.
.
.
Peter, Thomas (september 2003), "Nelinurga pindala maksimeerimine", Kolledži matemaatika ajakiri T. 34 (4): 315–6
Prasolov, Viktor, ,
Alsina, Claudi ja Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, lk. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Foorum Geometricorum 2 : 167–173.
Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), . Keerulised probleemid geomeetrias(2. väljaanne), Courier Dover, ss. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
.
.
.

Vaata ka

Külgede arvu järgi

õige

kolmnurgad

Nelinurgad

Vaata ka

Artikkel sisaldab lühikesi ("Harvard") viiteid väljaannetele, mida pole bibliograafilises jaotises loetletud või valesti kirjeldatud.
Mittetöötavate linkide loend: , , , , , , , , , , - No mis, mu kasakas? (Maria Dmitrievna nimetas Natašat kasakaks) - ütles ta käega paitades Natašat, kes lähenes tema käele kartmata ja rõõmsalt. - Ma tean, et jook on tüdruk, aga ma armastan seda.
Ta võttis oma tohutust võrust välja pirnikujulised jakhonkõrvarõngad ja kinkis need sünnipäevast säravale ja õhetavale Natašale, pöördus kohe temast eemale ja pöördus Pierre'i poole.
— Eh, eh! lahke! tule siia,” ütles ta pilkavalt vaikse ja peenikese häälega. - Tule nüüd, mu kallis...
Ja ta kääris käised ähvardavalt veelgi kõrgemale.
Pierre tuli üles, vaadates teda naiivselt läbi prillide.
"Tule, tule, kallis!" Rääkisin su isale tõtt üksi, kui ta juhtus olema, ja siis Jumal käsib sind.
Ta tegi pausi. Kõik vaikisid, ootasid, mis tulema hakkab, ja tundsid, et on ainult eessõna.
- Olgu, pole midagi öelda! hea poiss!... Isa lamab voodil ja lõbustab ennast, paneb veerandi hobuse seljas karule. Häbi, isa, häbi sulle! Parem minna sõtta.
Ta pöördus ära ja pakkus oma kätt krahvile, kes ei suutnud naerda.
- Noh, noh, laua juurde, ma joon teed, kas on aeg? ütles Marya Dmitrievna.
Krahv läks edasi koos Marya Dmitrievnaga; siis krahvinna, keda juhtis husaarpolkovnik, õige inimene, millega Nikolai pidi rügemendile järele jõudma. Anna Mikhailovna on koos kasutajaga Shinshin. Berg pakkus Verale kätt. Naeratav Julie Karagina läks koos Nikolaiga laua taha. Nende selja taga laiutasid üle saali teised paarid ja nende taga üksi, lapsed, juhendajad ja guvernantsid. Kelnerid segasid, toolid ragisesid, koorilaudades kõlas muusika ja külalised seadsid end sisse. Krahvi kodumuusika helid asendusid nugade ja kahvlite helidega, külaliste häältega, ettekandjate vaiksete sammudega.
Laua ühes otsas istus krahvinna eesotsas. Paremal on Marya Dmitrievna, vasakul Anna Mihhailovna ja teised külalised. Teises otsas istus krahv, vasakul husaarpolkovnik, paremal Shinshin ja teised meessoost külalised. Ühel pool pikka lauda vanemad noored: Bergi kõrval Vera, Borise kõrval Pierre; teisalt lapsed, juhendajad ja guvernantsid. Kristalli, pudelite ja puuviljavaaside tagant heitis krahv pilgu oma naisele ja tema kõrgele siniste lintidega mütsile ning kallas usinalt naabritele veini, iseennast unustamata. Ka krahvinna heitis ananasside tõttu, unustamata perenaise kohustusi, tähendusrikkaid pilke oma abikaasale, kelle kiilaspea ja nägu, nagu talle tundus, erinesid oma punetuse poolest järsult omast. hallid juuksed. Daamide otsas kostis korrapäraselt möllu; hääli kostis meessoost, eriti husaaripolkovnik, kes nii palju sõi ja jõi, punastas üha rohkem, et krahv seadis ta juba teistele külalistele eeskujuks. Leebe naeratusega Berg rääkis Verale sellest, et armastus pole tunne mitte maise, vaid taevalikuna. Boris kutsus oma uut sõpra Pierre'i külalisteks, kes lauas olid ja vahetasid pilke tema vastas istuva Natašaga. Pierre rääkis vähe, vaatas uusi nägusid ja sõi palju. Alustades kahest supist, mille hulgast ta valis välja a la tortue, [kilpkonna] ja kulebyaki ning kuni tedreni, ei jätnud ta ilma ühestki roast ega ühestki veinist, mille salvrätikusse mähitud pudelis ülemteener salapäraselt kinni torkas. naabri õla tagant välja, öeldes või "kuiv Madeira või Ungari või Reini vein. Ta asendas esimese neljast kristallklaasist krahvi monogrammiga, mis seisis iga aparaadi ees, ja jõi mõnuga, vaadates järjest meeldivamalt külalistele otsa. Tema vastas istunud Nataša vaatas Borisile otsa, samal ajal kui kolmeteistkümneaastased tüdrukud vaatavad poissi, kellega nad just esimest korda suudlesid ja kellesse nad on armunud. See sama tema pilk pöördus mõnikord Pierre'i poole ja selle naljaka, elava tüdruku pilgu all tahtis ta ise naerda, teadmata miks.
Nikolai istus Sonyast kaugel Julie Karagina kõrval ja rääkis talle jälle midagi sama tahtmatu naeratusega. Sonya naeratas suurejooneliselt, kuid ilmselt piinas teda armukadedus: ta muutus kahvatuks, siis punastas ja kuulas täie jõuga, mida Nikolai ja Julie üksteisele rääkisid. Guvernant vaatas rahutult ringi, justkui valmistaks end ette tagasilöögiks, kui keegi mõtleb lapsi solvata. Saksa juhendaja püüdis toitude, magustoitude ja veinide kategooriaid pähe õppida, et kõike üksikasjalikult kirjeldada oma perele Saksamaale saadetud kirjas, ning oli väga solvunud, et ülemteener, salvrätikusse mähitud pudel, ümbritses. tema. Sakslane kortsutas kulmu, püüdis näidata, et ta ei taha seda veini saada, kuid solvus, sest keegi ei tahtnud aru saada, et tal on veini vaja mitte janu kustutamiseks, mitte ahnusest, vaid kohusetundlikust uudishimust.

Laua meestepoolses otsas muutus jutt aina elavamaks. Kolonel ütles, et sõja kuulutamise manifest oli juba Peterburis avaldatud ja eksemplar, mida ta ise nägi, on nüüd kulleriga ülemjuhataja kätte toimetatud.
- Ja miks on meil raske Bonaparte'iga võidelda? ütles Shinshin. - II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Ta on Austria ülbuse juba maha löönud. Ma kardan, et meie kord ei tuleks praegu.]
Kolonel oli jässakas, pikk ja sangviiniline sakslane, ilmselgelt kampaaniamees ja patrioot. Ta oli Shinshini sõnade peale solvunud.
"Ja siis oleme paks suverään," ütles ta, hääldades e asemel e ja b asemel b. "Siis, et keiser seda teaks. Ta ütles oma manifestis, et ei saa vaadata ükskõikselt Venemaad ähvardavatele ohtudele ja impeeriumi julgeolekule, väärikusele ja liitude pühadusele," ütles ta millegipärast eriti kaldu. sõna "ametiühingud", nagu oleks see kogu asja olemus.
Ja oma eksimatu ametliku mäluga kordas ta avasõnad manifest ... "ja soov, suverääni ainus ja hädavajalik eesmärk, milleks on rahu kehtestamine Euroopas kindlatel alustel - nad otsustasid nüüd viia osa sõjaväest välismaale ja teha uusi jõupingutusi selle kavatsuse saavutamiseks".
"Siin on põhjus, me oleme väärt suverään," lõpetas ta, jõi õpetlikult klaasi veini ja vaatas krahvile julgustuseks tagasi.
- Connaissez vous le proverbe: [Tead vanasõna:] "Yerema, Yerema, kui sa istuksid kodus, siis teritage oma võlli," ütles Shinshin võpatades ja naeratades. – Cela nous convient a merveille. [See on muide meie jaoks.] Miks Suvorov – ja ta oli lõhki, taldrikumood, [pea peal] ja kus on meie Suvorovid praegu? Je vous demande un peu, [ma palun teilt] – hüppab pidevalt vene keelest keelde prantsuse keel ta ütles.
"Me peame võitlema kuni järgmise päevani pärast veretilka," ütles kolonel vastu lauda koputades, "ja surema meie keisri eest, ja siis on kõik hästi." Ja võimalikult vähe vaielda (eriti tõmbas ta häält sõna „võimalik“ peale),“ lõpetas ta uuesti krahvi poole pöördudes. - Nii et me mõistame kohut vanade husaaride üle, see on kõik. Ja kuidas sa hindad, noormees ja noor husaar? lisas ta Nikolai poole pöördudes, kes, kuuldes, et jutt käib sõjast, lahkus vestluskaaslase juurest ja vaatas kõigi silmadega ning kuulas kõigi kõrvadega koloneli.
"Ma olen sinuga täiesti nõus," vastas Nikolai, loputades näost, pöörates taldrikut ja asetades klaase ümber nii kindla ja meeleheitliku pilguga, nagu oleks ta praegusel hetkel suures ohus, "olen veendunud, et venelased peavad sure või võida,“ ütles ta, tundes ise nagu ka teised pärast seda, et sõna oli juba öeldud, et see on praeguseks puhuks liiga entusiastlik ja pompoosne ning seetõttu kohmakas.
- C "est bien beau ce que vous venez de dire, [Imeline! see, mida sa ütlesid, on imeline]," ütles tema kõrval istunud Julie ohates. Sonya värises üleni ja punastas kõrvuni, kõrvade taga ja tema kaelale ja õlgadele, samal ajal kui Nikolai rääkis.Pierre kuulas koloneli kõnesid ja noogutas tunnustavalt pead.
"See on tore," ütles ta.
"Tõeline husaar, noormees," hüüdis kolonel ja lõi uuesti vastu lauda.
- Millest sa seal räägid? Järsku kostis üle laua Marya Dmitrievna bassihäält. Mille eest sa vastu lauda koputad? Ta pöördus husari poole: „Kellest sa vaimustuses oled? eks, sa arvad, et prantslased on sinu ees?
"Ma räägin tõtt," ütles husaar naeratades.
"Kõik on seotud sõjaga," hüüdis krahv üle laua. "Lõppude lõpuks tuleb mu poeg, Marya Dmitrievna, mu poeg tuleb.
- Ja mul on sõjaväes neli poega, kuid ma ei kurvasta. Kõik on Jumala tahe: sa sured pliidil lamades ja jumal halastab lahingus, ”kõlas Marya Dmitrievna paks hääl ilma igasuguse pingutuseta laua teisest otsast.
- See on tõsi.
Ja vestlus keskendus taas – daamid oma laua otsas, mehed oma.
"Aga sa ei küsi," ütles väike vend Natašale, "aga sa ei küsi!"
"Ma küsin," vastas Nataša.
Tema nägu lõi äkitselt särama, väljendades meeleheitlikku ja rõõmsat otsusekindlust. Ta tõusis pooleldi püsti, kutsudes enda vastas istunud Pierre'i pilguga kuulama ja pöördus ema poole:
- Ema! tema lapselik rinnahääl kõlas üle kogu laua.
- Mida sa tahad? küsis krahvinna ehmunult, kuid nähes tütre näost, et tegemist on vembuga, vehkis ta karmilt käega, tehes peaga ähvardava ja negatiivse žesti.
Vestlus jäi vaikseks.
- Ema! mis kook sellest saab? - Nataša hääl kõlas veelgi resoluutsemalt, murdumata.
Krahvinna tahtis kulmu kortsutada, aga ei saanud. Marya Dmitrievna raputas paksu sõrme.
"Kasakas," ütles ta ähvardavalt.
Enamik külalisi vaatas vanemaid, teadmata, kuidas seda triki võtta.
- Siin ma olen! ütles krahvinna.
- Ema! mis kook saab? Nataša hüüdis juba julgelt ja kapriisselt rõõmsalt, olles eelnevalt kindel, et tema trikk võetakse hästi vastu.
Sonya ja paks Petya peitsid naeru eest.
"Nii ma küsisin," sosistas Nataša oma väikesele vennale ja Pierre'ile, keda ta uuesti vaatas.
"Jäätis, aga nad ei anna sulle," ütles Marya Dmitrievna.
Nataša nägi, et karta pole midagi ja seetõttu ei kartnud ta ka Marya Dmitrievnat.
— Marya Dmitrievna? milline jäätis! Mulle ei maitse või.
- Porgand.
– Ei, mida? Marya Dmitrievna, milline? ta peaaegu karjus. - Ma tahan teada!
Marya Dmitrievna ja krahvinna naersid ning kõik külalised järgnesid. Kõik naersid mitte Marya Dmitrievna vastuse, vaid selle tüdruku mõistmatu julguse ja osavuse üle, kes teadis, kuidas ja julges Marya Dmitrievnaga sel viisil käituda.
Nataša jäi maha alles siis, kui talle öeldi, et ananassi tuleb. Enne jäätist pakuti šampanjat. Jälle hakkas mängima muusika, krahv suudles krahvinnat ja külalised, tõusid püsti, õnnitlesid krahvinnat, kõlistasid klaase üle laua krahvi, laste ja üksteisega. Jälle jooksid ettekandjad sisse, toolid ragisesid ja samas järjekorras, kuid punakamate nägudega, pöördusid külalised tagasi elutuppa ja krahvi töötuppa.

Bostoni lauad viidi laiali, peeti pidusid ja krahvi külalised majutati kahte elutuppa, diivanile ja raamatukogusse.
Lehvikuna kaarte laiali ajav krahv ei suutnud vaevu vastu panna pärastlõunase uinaku harjumusele ja naeris kõige üle. Krahvinna õhutatud noored kogunesid klavikordi ja harfi ümber. Julie oli kõigi soovil esimene, kes mängis harfil variatsioonidega pala ja hakkas koos teiste tüdrukutega musikaalsuse poolest tuntud Natašal ja Nikolail midagi laulma. Suureks adresseeritud Nataša oli selle üle ilmselt väga uhke, kuid samas häbelik.
- Mida me laulma hakkame? ta küsis.
"Võti," vastas Nikolai.
- Noh, kiirustame. Boris, tule siia, - ütles Nataša. - Kus Sonya on?
Ta vaatas ringi ja nägi, et sõbrannat toas pole, jooksis talle järele.
Joostes Sonya tuppa ega leidnud sealt oma sõpra, jooksis Nataša lasteaeda - ja Sonyat polnud seal. Nataša sai aru, et Sonya oli koridoris rinnal. Koridoris asuv rinnus oli Rostovite maja naissoost noore põlvkonna kurbuste koht. Tõepoolest, Sonya oma õhulises roosas kleidis, seda muserdades, heitis näoga alla määrdunud triibulise õe sulgvoodile, rinnale ja nuttis sõrmedega nägu kattes kibedasti, värisedes paljaste õlgadega. Nataša, elurõõmus, terve päeva kestnud nägu muutus järsku: tema silmad jäid seisma, siis tema lai kael värises, huulenurgad vajusid alla.
– Sonya! mis sa oled?… Mis, mis sul viga on? Woo woo!…
Ja Nataša, laiali ajades oma suurt suu ja muutudes täiesti inetuks, möirgas nagu laps, teadmata põhjust ja ainult sellepärast, et Sonya nuttis. Sonya tahtis pead tõsta, tahtis vastata, kuid ta ei suutnud ja peitis end veelgi enam. Nataša nuttis, istus sinisele sulgvoodile ja kallistas oma sõpra. Jõudu kogudes tõusis Sonya püsti, hakkas pisaraid pühkima ja jutustama.
- Nikolenka läheb nädala pärast, tema ... paber ... tuli välja ... ta ütles mulle ise ... Jah, ma ei nutaks ... (ta näitas paberit, mida ta käes hoidis: see oli Nikolai luule) Ma ei nutaks, aga sa ei saa... keegi ei saa aru... mis hing tal on.
Ja ta hakkas uuesti nutma, sest ta hing oli nii hea.
"See on teile hea ... ma ei kadesta ... ma armastan sind ja ka Borist," ütles ta pisut jõudu kogudes, "ta on armas ... teie jaoks pole takistusi. Ja Nikolai on mu nõbu... see on vajalik... metropoliit ise... ja see on võimatu. Ja siis, kui mu ema ... (Sonya pidas krahvinnat ja helistas emale), ütleb ta, et rikun Nikolai karjääri, mul pole südant, et olen tänamatu, aga õige ... jumala poolt ... ( ta lõi risti ette) Ma armastan teda ka nii väga ja teid kõiki, ainult Vera on üks ... Mille pärast? Mida ma temaga tegin? Olen teile nii tänulik, et ohverdaksin hea meelega kõik, kuid mul pole midagi ...
Sonya ei saanud enam rääkida ja peitis pea jälle käte ja sulevoodi vahele. Nataša hakkas rahunema, kuid tema näost oli näha, et ta mõistab sõbra leina tähtsust.
– Sonya! ütles ta äkki, justkui aimates oma nõo leina tegelikku põhjust. "Õige, kas Vera rääkis teiega pärast õhtusööki?" Jah?
- Jah, Nikolai ise kirjutas need luuletused ja mina kirjutasin teised maha; ta leidis need mu laualt ja ütles, et näitab neid emale ja ütles ka, et ma olen tänamatu, et ema ei luba tal kunagi minuga abielluda ja ta abiellub Juliega. Näete, kuidas ta terve päeva temaga on ... Nataša! Milleks?…
Ja jälle nuttis ta kibedasti. Nataša tõstis ta üles, kallistas teda ja hakkas läbi pisarate naeratades teda lohutama.
„Sonya, ära usalda teda, kallis, ära usalda. Kas mäletate, kuidas me kõik kolmekesi Nikolenkaga diivanitoas rääkisime; mäletad pärast õhtusööki? Lõppude lõpuks oleme otsustanud, kuidas see saab. Ma ei mäleta, kuidas, aga mäletan, kuidas kõik oli hästi ja kõik on võimalik. Siin on onu Shinshini vend abielus nõbu ja me oleme kolmandad nõod. Ja Boriss ütles, et see on väga võimalik. Tead, ma rääkisin talle kõik. Ja ta on nii tark ja nii hea," ütles Nataša ... "Sina, Sonya, ära nuta, mu kallis, kallis, Sonya. Ja ta suudles teda naerdes. - Usk on kurjast, jumal olgu temaga! Ja kõik saab korda ja ta ei räägi oma emale; Nikolenka ütleb ise ja ta isegi ei mõelnud Julie peale.
Ja ta suudles teda pähe. Sonya tõusis püsti ja kassipoeg ärkas, tema silmad särasid ja ta näis olevat valmis sabaga vehkima, oma pehmetele käppadele hüppama ja uuesti palliga mängima, nagu talle kohane.
- Sa arvad? eks? Jumala poolt? ütles ta kiiresti oma kleiti ja juukseid sirgendades.
- Õige, jumala poolt! - vastas Nataša, sirgudes oma sõbrale vikati all välja kukkunud jämedat juuksekarva.
Ja nad mõlemad naersid.
- Noh, lähme laulma "Key".
- Lähme.
- Ja teate, see paks Pierre, kes istus minu vastas, on nii naljakas! ütles Nataša äkki peatudes. - Mul on väga lõbus!
Ja Nataša jooksis mööda koridori.
Sonya, pintseldades kohevust ja peites luuletusi rinnus, väljaulatuvate rinnaluudega kaelani, kergete rõõmsate sammudega, õhetava näoga, jooksis Natašale järele mööda koridori diivanile. Külaliste soovil laulsid noored kvartetti "Võti", mis kõigile väga meeldis; siis laulis Nikolai õpitud laulu uuesti.
Mõnusal ööl kuuvalgel,
Kujutage ette, et olete õnnelik
Et maailmas on veel keegi
Kes sinust ka mõtleb!
Et ta ilusa käega,
Mööda kuldset harfi kõndides,
Oma kirgliku harmooniaga
Kutsub endasse, kutsub sind!
Teine päev, kaks ja paradiis tuleb ...
Aga ah! su sõber ei jää elama!
Ja ta ei jõudnud veel viimaseid sõnu lauldagi, kui saalis valmistusid noored tantsuks ja muusikud koorides jalgu plaksutasid ja köhisid.

Pierre istus elutoas, kus Shinshin nagu väliskülalisega alustas temaga Pierre'i jaoks igavat poliitilist vestlust, millega liitusid ka teised. Kui muusika hakkas käima, astus Nataša elutuppa ja minnes otse Pierre'i juurde, naerdes ja punastades ütles:
„Ema käskis mul sind tantsima kutsuda.
"Ma kardan arve segamini ajada," ütles Pierre, "aga kui sa tahad olla minu õpetaja ...
Ja ta andis oma paksu käe, langetades selle madalale kõhnale tüdrukule.
Sel ajal, kui paarid sättisid ja muusikud ehitasid, istus Pierre oma väikese daamiga maha. Nataša oli täiesti õnnelik; ta tantsis suurega, kes tuli välismaalt. Ta istus kõigi ees ja rääkis temaga nagu suure jutuga. Tal oli käes lehvik, mida üks noor daam andis tal hoida. Ja võttes kasutusele kõige ilmalikuma poosi (jumal teab, kus ja millal ta seda õppis), rääkis ta lehvikuga lehvitades ja läbi lehviku naeratades oma härrasmehega.
- Mis see on, mis see on? Vaata, vaata, - ütles vana krahvinna, astudes läbi saalist ja osutades Natašale.
Nataša punastas ja naeris.
- Noh, mis sa oled, ema? Mida sa otsid? Mis siin üllatavat?

Keset kolmandat ökosaasi hakkasid elutoa toolid, kus krahv ja Marya Dmitrievna mängisid, loksuma ning enamik austatud külalisi ja vanamehi sirutasid end pärast pikka istumist ning panid raha- ja rahakotid sisse. taskud, läksid saali ustest välja. Marya Dmitrievna kõndis ees koos krahviga, mõlemad rõõmsate nägudega. Mängulise viisakusega, justkui balletiviisiliselt, ulatas krahv oma ümara käe Marya Dmitrievnale. Ta ajas end sirgu ja ta nägu säras eriti vapralt kaval naeratus ning niipea, kui ökossaise viimane kuju oli tantsitud, plaksutas ta muusikutele käsi ja hüüdis esimese viiuli poole pöördudes kooridele:
- Semjon! Kas sa tead Danila Kuporit?
See oli krahvi lemmiktants, mida ta noorpõlves tantsis. (Danilo Kupor oli tegelikult üks Anglaise kuju.)
"Vaadake isa," hüüdis Nataša tervele saalile (unustades täielikult, et tantsib suurega), painutas lokkis pea põlvedele ja puhkes kogu saalis kõlavasse naeru.
Tõepoolest, kõik saalis vaatas naeratades rõõmsalt rõõmsat vanameest, kes temast pikema kõrgeaulise daami Marya Dmitrievna kõrval käed ümber ajas, neid õigel ajal raputades, õlad sirgu, väänas. jalgu, kergelt jalgu trampides ja järjest õitsevam naeratus ümaral näol valmistas publikut ette tulevaks. Niipea kui kostis Danila Kupori rõõmsaid, trotslikke hääli, mis sarnanesid rõõmsale kõristile, lõid kõik saali uksed ootamatult sisse ühelt poolt meessoost, teiselt poolt saabunud hoovide naiselikud naeratavad näod. välja rõõmsat härrasmeest vaatama.
- Isa on meie oma! Kotkas! ütles lapsehoidja valjult ühest uksest.
Krahv tantsis hästi ja oskas seda, aga tema daam ei osanud ega tahtnud hästi tantsida. Tema tohutu keha seisis otse temaga koos võimsad käed(ta ulatas võrku krahvinnale); tantsis ainult tema karm, kuid ilus nägu. See, mis väljendus kogu krahvi ümmarguses figuuris koos Marya Dmitrievnaga, väljendus ainult üha naeratavamas näos ja tõmblevas ninas. Kuid teisest küljest, kui üha enam hajuv krahv köitis publikut oma pehmete jalgade osavate trikkide ja kergete hüpete ootamatustega, siis Marya Dmitrievna oli vähimagi innuga liigutades oma õlgu või keerutades käsi. trampides, jättis teenete poolest sugugi vähem mulje, mida kõik hindasid tema korpulentsuse ja igavese karmusega. Tants läks aina elavamaks. Kolleegid ei suutnud minutikski endale tähelepanu tõmmata ega püüdnudki seda teha. Kõik olid krahv ja Marya Dmitrievna hõivatud. Nataša tõmbas kõigil kohalolijatel varrukad ja kleidid, kes juba tantsijatelt silmi ei võtnud, ning nõudsid, et nad papale otsa vaataksid. Tantsu vaheaegadel tõmbas krahv sügavalt hinge, lehvitas ja karjus pillimeestele, et nad kiiremini mängiksid. Kiiremini, kiiremini ja kiiremini, üha enam ja rohkem, rullus krahv lahti, nüüd kikivarvul, nüüd kontsadel, tormas ümber Marya Dmitrievna ja lõpuks, pöörates oma daami enda kohale, tegi viimase sammu, tõstes oma pehme jala üles. taga, naeratava näoga higistavat pead kõverdades ja ümaralt lehvitades parem käsi aplausi ja naeru möll, eriti Nataša. Mõlemad tantsijad peatusid, hingasid raskelt ja pühkides end kambrist taskurätikutega.
"Nii tantsiti meie ajal, ma chere," ütles krahv.
- Oh jah, Danila Kupor! “ ütles Marya Dmitrijevna, hingates tugevalt ja pidevalt välja ning käärides käised üles.

Sel ajal, kui Rostovite saalis tantsiti kuuendat anglaise't väsinud, häälest väljas olnud muusikute helide saatel ning väsinud kelnerid ja kokad valmistasid õhtusööki, toimus kuues löök krahv Bezukhimiga. Arstid teatasid, et paranemist pole loota; patsiendile anti kurtide ülestunnistus ja armulaud; tehti ettevalmistusi mahavõtmiseks ning maja oli täis sagimist ja ootusärevust, mis on sellistel hetkedel tavaline. Majast väljas, väravate taga, tunglesid matusepidajad, kes varjusid lähenevate vankrite eest ja ootasid rikkalikku tellimust krahvi matusteks. Moskva ülemjuhataja, kes saatis pidevalt adjutante krahvi positsiooni tundma õppima, tuli samal õhtul ise kuulsa Katariina aadliku krahv Bezukhimiga hüvasti jätma.
Suurepärane vastuvõturuum oli täis. Kõik tõusid lugupidavalt püsti, kui ülemjuhataja, kes oli umbes pool tundi patsiendiga kahekesi olnud, sealt lahkus, vastas kergelt kummardustele ja püüdis võimalikult kiiresti mööda minna arstide, vaimulike ja sugulaste silmist. tema. Nendel päevadel kõhnemaks ja kahvatumaks muutunud prints Vassili nägi ülemjuhataja ära ja kordas talle mitu korda vaikselt midagi.
Pärast ülemjuhataja ärasaatmist istus vürst Vassili üksi saalis toolil, viskas jalad kõrgele üle jalgade, toetas küünarnukiga põlvele ja sulges käega silmad. Olles mõnda aega niimoodi istunud, tõusis ta püsti ja ebatavaliselt kiirustavate sammudega, hirmunud silmadega ringi vaadates, läbis pikk koridor maja tagumisele poolele, vanemale printsessile.
Hämaras ruumis viibijad rääkisid omavahel ebaühtlaselt sosinal ja jäid iga kord vait ning vaatasid küsimist ja ootust täis silmadega tagasi uksele, mis viis sureva mehe kambrisse ja kiirgas. nõrk heli kui keegi sealt lahkus või sinna sisenes.
"Inimlik piir," ütles vaimulik vanahärra tema kõrvale istunud ja teda naiivselt kuulanud daamile, "piir on seatud, aga sellest üle ei saa."
– Ma arvan, et pole veel liiga hilja tühistada? - lisades vaimse tiitli, küsis daam, nagu poleks tal selles küsimuses mingit arvamust.

Videokursus "Saa A" sisaldab kõiki edukaks tegemiseks vajalikke teemasid eksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täielikult kõik profiili ülesanded 1-13 KASUTADA matemaatikas. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Eksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus väljakutseid pakkuvad ülesanded 2 osa eksamit.

Ringjoont nimetatakse nelinurka kantuks, kui nelinurga kõik küljed on ringjoone puutujad.

Selle ringi keskpunkt on nelinurga nurkade poolitajate lõikepunkt. Sel juhul on puutujapunktidesse tõmmatud raadiused risti nelinurga külgedega

Ringjoont nimetatakse nelinurga ümber piiratuks, kui see läbib kõik selle tipud.

Selle ringi keskpunkt on nelinurga külgedega risti olevate poolitajate lõikepunkt

Mitte iga nelinurka ei saa kirjutada ringiga ja mitte iga nelinurka ei saa ümbritseda ringiga.

INSPIREERITUD JA TELLITUD NELINURKIDE OMADUSED

TEOREEM Kumera sissekirjutatud nelinurga puhul on vastasnurkade summad üksteisega võrdsed ja 180°.

TEOREEM Ja vastupidi, kui nelinurga vastasnurkade summad on võrdsed, siis saab selle nelinurga ümber piirata ringjoone. Selle keskpunkt on külgede mediaalsete perpendikulaaride lõikepunkt.

TEOREEM Kui ringjoon on kirjutatud nelinurka, siis on selle vastaskülgede summad võrdsed.

TEOREEM Ja vastupidi, kui nelinurga vastaskülgede summad on võrdsed, siis saab sellesse kirjutada ringjoone. Selle keskpunkt on poolitajate lõikepunkt.

Tagajärjed: kõigist rööpkülikutest saab ringjoont piirata ainult ristküliku lähedal (eriti ruudu lähedal).

Kõigist rööpkülikutest saab ringiga kirjutada ainult rombi (eriti ruudu) (keskpunkt on diagonaalide lõikepunkt, raadius on võrdne poole kõrgusega).

Kui trapetsi lähedal on ringjoont võimalik piirata, siis on see võrdhaarne. Ringi saab piirata mis tahes võrdhaarse trapetsi ümber.

Kui ringjoon on kantud trapetsi, on selle raadius pool kõrgusest.

Ülesanded lahendustega

1. Leidke ristküliku diagonaal, mis on kirjutatud ringi, mille raadius on 5.

Ristküliku ümber piiritletud ringi keskpunkt on selle diagonaalide lõikepunkt. Seetõttu diagonaal AC võrdub 2 R. See on AC=10
Vastus: 10.

2. Trapetsi lähedal, mille põhjad on 6 cm ja 8 cm ning kõrgus on 7 cm, on ümbritsetud ring. Leidke selle ringi pindala.

Lase DC=6, AB=8. Kuna trapetsi lähedal on ringjoon, on see võrdhaarne.

Joonistame kaks kõrgust DM ja CN.Kuna trapets on võrdhaarne, siis AM = NB=

Siis AN=6+1=7

Kolmnurgast ANC Pythagorase teoreemi järgi leiame AC.

Kolmnurgast CBN Pythagorase teoreemi järgi leiame päike.

Trapetsi piiritletud ringjoon on ka kolmnurga piiratud ringjoon. DIA.

Leidke selle kolmnurga pindala kahel viisil, kasutades valemeid

Kus h- kõrgus ja - kolmnurga alus

Kus R on piiritletud ringi raadius.

Nendest avaldistest saame võrrandi . Kus

Ringi pindala saab olema

3. Nurgad ja nelinurk on seotud nagu . Leia nurk, kui antud nelinurga ümber saab ringjoont piirata. Esitage oma vastus kraadides

Tingimusest järeldub, et.Kuna nelinurga ümber saab kirjeldada ringjoont, siis

Saame võrrandi . Siis . Nelinurga kõigi nurkade summa on 360º. Siis

. kust me selle saame

4. Ümberringi ümbritsetud trapetsi küljed on 3 ja 5. Leidke trapetsi keskjoon.

Siis on mediaanjoon

5. Ümbermõõt ristkülikukujuline trapets ringjoone ümberpiiratud on 22, selle pikk külg on 7. Leia ringi raadius.

Trapetsis on sisse kirjutatud ringi raadius pool kõrgusest. Joonistame SC kõrguse.

Siis .

Kuna ringjoon on kantud trapetsi, on vastaskülgede pikkuste summad võrdsed. Siis

Siis perimeeter

Saame võrrandi

6. Võrdhaarse trapetsi alused on 8 ja 6. Piiratud ringi raadius on 5. Leidke trapetsi kõrgus.

Olgu O trapetsi ümber piiritletud ringi keskpunkt. Siis .

Joonistame läbi punkti O kõrguse KH

Siis , kus KO ja OH on võrdhaarsete kolmnurkade DOC ja AOB kõrgused ja samal ajal mediaanid. Siis

Pythagorase teoreemi järgi.

Sa vajad

- etteantud parameetritega nelinurk;
- kompass;
- joonlaud;
- kraadiklaas;
- kalkulaator;
- paber.

Juhend

Mõõtke kõik teile antud nelinurga nurgad. Leidke vastasnurkade summad. Kirjutage nelinurk ring võimalik ainult siis, kui vastasnurkade summad on 180°. Seega ehitada kirjeldatud ring alati ümber ruudu ja trapetsi.

joonistada ring raadiusega R. Määrake selle keskpunkt. Nagu , tähistatakse O-ga. Leidke ringil endal suvaline punkt ja nimetage seda mis tahes täheks. Oletame, et see on punkt A. Teie edasised toimingud sõltuvad sellest, kas nelinurk antakse teile. Ruudu diagonaalid on üksteisega risti ja on piiritletud ringi raadiused. Seetõttu konstrueerige kaks diameetrit, mille vaheline nurk on 90°. Nende ristumispunktid ringÜhendage need järjestikku sirgjoontega.

Ristküliku sobitamiseks peate teadma diagonaalide vahelist nurka või külgede mõõtmeid. Teisel juhul on nurk võimalik Pythagorase teoreemi, siinuste või koosinuste abil. Joonistage üks läbimõõtudest. Märkige see näiteks punktidega A ja C. Punktist O, mis on ühtlasi diagonaali keskpunkt, jätke diagonaalide vaheline nurk kõrvale. Joonistage teine läbimõõt läbi keskpunkti ja uue punkti. Samamoodi nagu ruudu puhul, ühenda diameetrite lõikepunktid järjestikku ring Yu.

Võrdhaarse trapetsi konstrueerimiseks leidke ringilt suvaline punkt. Ehitage sellest akord, mis on võrdne ülemise või alumise alusega. Leidke selle keskpunkt ja joonistage selle ja ringi keskpunktiga risti läbimõõt. Jäta kõrvale trapetsi kõrguse läbimõõdule. Joonistage risti läbi selle punkti mõlemas suunas, kuni see lõikub punktiga ring Yu. Ühendage otsad kokku.

Kasulikud nõuanded

AutoCADis sisse kirjutatud hulknurkade joonistamisel leidke esmalt peamenüüst rippmenüüst "Joonista" ja selles funktsioon "Polygon". Ruudu külgede arv määratakse kohe. Pärast selle ilmumist ekraanile minge funktsioonile "Sissekirjutatud/ümberpiiratud hulknurk". Soovitud hoone ilmub kohe ekraanile.

Selles programmis trapetsi või ristküliku ehitamiseks leidke diagonaalide lõikepunkti koordinaadid. See on ka piiritletud ringi keskpunkt.

Trapets on lame nelinurkne kujund, mille kaks külge (põhjad) on paralleelsed ja ülejäänud kaks (küljed) ei tohi olla paralleelsed. Kui trapetsi kõik neli tippu asuvad samal ringil, siis öeldakse, et see nelinurk on sellesse sisse kirjutatud. Sellist figuuri pole keeruline ehitada.

Sa vajad

Paber, pliiats, ruut, kompassid.

Juhend

Kui trapetsi jaoks pole lisanõudeid, võib teil olla mis tahes pikkusega külgi. Seetõttu alustage ehitamist suvalisest, näiteks alumises vasakpoolses kvartalis. Määrake see tähega A - siin on üks sisse kirjutatud tippudest ring trapetsikujuline.

Joonistage horisontaaljoon, mis algab punktist A ja lõpeb ristmikul ring yu all paremal. Märkige see ristmik tähega B. Konstrueeritud segment AB on trapetsi alumine alus.

Joonistage mis tahes mugaval viisil segment alumise alusega paralleelselt, keskpunkti kohal. Näiteks kui teie käsutuses on, saate seda teha järgmiselt: kinnitage see AB alusele ja tõmmake risti abijoon. Seejärel kinnitage tööriist ringi keskpunkti kohal olevale juhtjoonele ja tõmmake selle mõlemale küljele perpendikulaarid, mis lõppevad ristmikuga ring Yu. Need kaks risti peavad asetsema ühel ja seejärel moodustavad need trapetsi ülemise aluse. Märkige selle aluse vasakpoolne äärmine punkt tähega D ja parem äärmine punkt tähega C.

Kui ruutu pole, kuid on kompass, siis on ülemise aluse ehitamine veelgi lihtsam. Pange suvaline punkt ringi ülemisse vasakpoolsesse veerandisse. Ainus tingimus on, et see ei tohiks asuda rangelt vertikaalselt punkti A kohal, vastasel juhul on konstrueeritud kujund ruut. Märkige punkt tähega D ja märkige kompassile punktide A ja D vaheline kaugus. Seejärel seadke kompass punkti B ja märkige ringi paremas ülaveerandis ootel olevale kaugusele vastav punkt. Tähistage see tähega C ja joonistage ülemine alus, ühendades punktid D ja C.

Joonistage trapetsi küljed, tõmmates joonelõike AD ja BC.

Seotud videod

Vastavalt definitsioonile, kirjeldatud ring peab läbima antud hulknurga kõiki nurgatippe. Pole üldse vahet, milline hulknurk see on - kolmnurk, ruut, ristkülik, trapets või midagi muud. Samuti pole vahet, kas tegemist on korrapärase või ebakorrapärase hulknurgaga. Tuleb vaid arvestada, et mille ümber on hulknurgad ring kirjeldada ei saa. saab alati kirjeldada ringümber kolmnurga. Mis puudutab nelinurki, ring saab kirjeldada ruudu või ristküliku või võrdhaarse trapetsi kohta.

Sa vajad

Antud hulknurk
Joonlaud
ruut
Pliiats
Kompass
Protraktor
Siinuste ja koosinuste tabelid
Matemaatilised mõisted ja valemid
Pythagorase teoreem
Siinuse teoreem
Koosinusteoreem
Kolmnurkade sarnasuse märgid

Juhend

Koostage antud parameetritega hulknurk ja kas selle ümber on võimalik piiritleda ring. Kui teile antakse nelinurk, arvutage selle vastasnurkade summa. Igaüks neist peaks olema 180 °.

Kirjeldama ring, peate arvutama selle raadiuse. Pidage meeles, kus erinevates hulknurkades asub ringi keskpunkt. Kolmnurgas on see antud kolmnurga kõigi kõrguste lõikepunktis. Ruudus ja ristkülikutes - diagonaalide lõikepunktis, trapetsi puhul - sümmeetriatelje lõikepunktis külgede keskpunkte ühendava joonega ja mis tahes muu kumera hulknurga korral - ristmiku ristumispunktis. poolitajad risti külgedega.

Arvutage Pythagorase teoreemi abil ümber ruudu ja ristküliku ümbritsetud ringi läbimõõt. See võrdub ristküliku külgede ruutude summa ruutjuurega. Ruudu puhul, mille kõik küljed on võrdsed, on diagonaal võrdne ruutjuurega külje kahekordsest ruudust. Raadiuse saamiseks jagage läbimõõt 2-ga.

Arvutage kolmnurga piiritletud ringi raadius. Kuna kolmnurga parameetrid on antud tingimustes, siis arvuta raadius valemiga R = a/(2 sinA), kus a on kolmnurga üks külgedest, ? on vastupidine nurk. Selle külje asemel võite võtta külje ja selle vastas oleva nurga.

Arvutage trapetsi ümber piiratud ringi raadius. R = a*d*c/4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) 2*(a+d+c) . Arvutage puuduvad väärtused. Kõrguse saab arvutada siinuse või koosinuse teoreemi abil, trapetsi külgede pikkused ja nurgad on antud tingimustes. Teades kõrgust ja võttes arvesse kolmnurkade sarnasusi, arvutage diagonaal. Pärast seda jääb üle raadius arvutada ülaltoodud valemi abil.

Seotud videod

Kasulikud nõuanded

Teise hulknurga ümber oleva ringi raadiuse arvutamiseks tehke rida täiendavaid konstruktsioone. Saa rohkem lihtsad kujundid, mille parameetreid teate.

Ülesanne on siseneda ring hulknurk võib täiskasvanu sageli segadusse ajada. Koolilaps peab oma otsust selgitama, nii et vanemad surfavad veebis lahendust otsides.

Juhend

joonistada ring. Asetage kompassi nõel ringi küljele, kuid ärge muutke raadiust. Joonistage kaks ristuvat kaare ring keerates kompassi paremale ja vasakule.

Liigutage kompassinõela ümber ringi punktini, kus kaar sellega lõikub. Pöörake kompassi uuesti ja tõmmake veel kaks kaare, ületades ringi piirjoone. Seda protseduuri korratakse kuni ristumiseni esimese punktiga.

joonistada ring. Joonistage läbimõõt läbi selle keskpunkti, jooned peaksid olema horisontaalsed. Ehitage risti läbi ringi keskpunkti, saage vertikaalne joon (näiteks NE).

Jagage raadius pooleks. Märkige see punkt läbimõõdu joonele (märgistage see A). Ehitada ring tsentreeritud punktis A ja raadiuses AC. Horisontaalse joonega ületamisel saad teise punkti (D näiteks). Selle tulemusena on segment CD viisnurga see külg, kuhu soovite sisestada.

Mööda ringi kontuuri asetage kõrvale poolringid, mille raadius on võrdne CD-ga. Seega originaal ring jagatakse viieks võrdseks osaks. Ühendage punktid joonega. Viisnurga kirjutamise probleem ring ka valmis.

Järgnevat kirjeldatakse sisestamisega ring ruut. Joonistage läbimõõduga joon. Võtke kraadiklaas. Asetage see läbimõõdu ja ringi külje ristumispunkti. Laiendage kompassi raadiuse pikkuseni.

Tõmmake ristmikule kaks kaarega ring yu, keerates kompassi ühes ja teises suunas. Liigutage kompassi jalg vastaspunkti ja tõmmake sama lahendusega veel kaks kaare. Ühendage punktid.

Läbimõõt ruut, jagage kahega ja võtke juur. Selle tulemusena saate väljaku külje, mis sobib hõlpsalt sisse ring. Avage kompass selle pikkusega. Pane tema nõel pähe ring ja tõmmake kaar, mis lõikab ringi ühte külge. Liigutage kompassi jalg saadud punkti. Joonista kaar uuesti.

Korrake protseduuri ja joonistage veel kaks punkti. Ühendage kõik neli punkti. See on lihtsam viis ruudu sobitamiseks ring.

Mõelge sisse sobitamise probleemile ring. joonistada ring. Võtke ringjoonel meelevaldselt punkt - see on kolmnurga tipp. Sellest punktist, hoides kompassi, tõmmake kaar ristmikule ring Yu. Sellest saab teine tipp. Ehitage sellest sarnaselt kolmas tipp. Ühendage punktid joonega. Lahendus leitud.

Seotud videod

Ruudu saab hõlpsasti ringiks sobitada joonistustööriistade abil. Kuid see ülesanne lahendatakse isegi nende täieliku puudumisel. On vaja meeles pidada ainult ruudu mõningaid omadusi.

Sa vajad

- kompass
- pliiats
-gon
- käärid

Juhend

Joonista ülesande juurde. Ilmselt on ringi läbimõõt sellesse sisse kirjutatud diagonaal. Tuletage meelde ruudu tuntud omadust: selle diagonaalid on üksteisega risti. Kasutage seda diagonaalide suhet antud ruudu koostamisel.

Joonistage ringi läbimõõt. Keskelt ruudu abil tõmmake teine läbimõõt esimese suhtes 90 kraadise nurga all. Ühendage risti läbimõõduga ristumispunktid ringiga ja saage sellesse ringi sisse kirjutatud ruut.

Kui teie ainus joonistustööriist on kompass, joonistage ring. Märkige ringile suvaline punkt ja tõmmake selle läbimõõt sirge serva abil. Nüüd peate kasutama kompassi, et jagada pool ringist läbimõõdu otste vahel kaheks võrdseks osaks. Läbimõõdu ja ringi ristumispunktidest tehke kaks sälku, hoides kompassi lahendust muutmata. Joonistage teine läbimõõt läbi nende serifide ristumispunkti ja ringi keskpunkti. Ilmselgelt on see esimesega risti.

Kui teil pole joonistustööriistu, saate lõigata antud ringiga piiratud ringi. Voldi väljalõigatud kujund täpselt pooleks. Proovige toimingut uuesti. Murdejoone otsad on vaja kombineerida, siis sobivad kõverad lõigud ilma täiendava pingutuseta. Parandage lisamise read. Nüüd laiendage ringi. Murdejooned on selgelt nähtavad. Painutage ringi segmendid voltimisjoonte ja ringiga ristumispunktide vahel ja lõigake need segmendid. Lõikejooned on soovitud ruudu küljed. Asetage väljalõigatud ruut antud ringile, joondades selle keskpunkti ringi murdejoonte lõikepunktiga. Ruudu tipud asuvad ringil, mida oli vaja teha.

Ringjoont nimetatakse hulknurgale kantuks, kui see asub täielikult selles hulknurgas. Kirjeldatud joonise igal küljel on ringiga ühine punkt.

Kirjeldatud nelinurkade näideteks on deltalihased, mille hulka kuuluvad rombid, mis omakorda hõlmavad ruute. Deltoidid on täpselt need piiritletud nelinurgad, mis on samuti ortodiagonaalsed. Kui nelinurk on piiritletud ja sissekirjutatud nelinurk, nimetatakse seda kahekeskne.

Omadused

Kirjeldatud nelinurgas ristuvad neli poolitajat ringi keskpunktis. Ja vastupidi, kumer nelinurk, mille ühes punktis lõikuvad neli poolitajat, tuleb piiritleda ja poolitajate lõikepunkt on sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Kui vastasküljed kumeras nelinurgas ABCD(mis ei ole trapets) ristuvad punktides E ja F, siis puutuvad nad ringiga siis ja ainult siis

B E + B F = D E + D F (\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF) A E − E C = A F − F C . (\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.)

Teine võrdsus on peaaegu sama, mis võrdsus sisse Urquharti teoreem. Erinevus on ainult märkides – Urquharti teoreemis summad ja siin erinevused (vt joonist paremal).

Teine vajalik ja piisav tingimus on kumer nelinurk ABCD kirjeldatakse siis ja ainult siis, kui sissekirjutatud kolmnurgad ABC ja ADC ringid puudutavad üksteist.

Kirjeldus diagonaaliga moodustatud nurkades BD nelinurga külgedega ABCD, kuulub Iosifescule. Ta tõestas 1954. aastal, et kumeral nelinurgal on siseringjoon siis ja ainult siis

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . (\displaystyle \tan (\frac (\angle ABD)(2))\cdot \tan (\frac (\angle BDC)(2))=\tan (\frac (\angle ADB)(2))\cdot \tan (\frac (\angle DBC)(2)).) R a R c = R b R d (\displaystyle R_(a)R_(c)=R_(b)R_(d)),

kus R a , R b , R c , R d on külgi väliselt puutuvate ringide raadiused a, b, c, d vastavalt ja külgnevate külgede jätkud mõlemal küljel.

Diagonaalidest moodustatud nelja kolmnurga kohta on teada veel mõned kirjeldused.

Spetsiaalsed lõiked

Kaheksa puutuja segmendid piiritletud nelinurgast on lõigud tippude ja külgede puutepunktide vahel. Igal tipul on kaks võrdset puutuja segmenti.

Puutepunktid moodustavad sissekirjutatud nelinurga.

Ruut

Mittetrigonomeetrilised valemid

K = 1 2 p 2 q 2 − (a c − b d) 2 (\displaystyle K=(\tfrac (1) (2))(\sqrt (p^(2)q^(2)-(ac-bd) ^(2)))),

pindala andmine diagonaalide järgi lk, q ja peod a, b, c, d puutuja nelinurk.

Piirkonda saab esitada ka puutujate segmentidena (vt eespool). Kui need on tähistatud e, f, g, h, siis puutuja nelinurga pindala on

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . (\displaystyle K=(\sqrt ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))).)

Lisaks saab puutuja nelinurga pindala väljendada külgede kaudu a, b, c, d ja puutujate segmentide vastavad pikkused e, f, g, h

K = a b c d − (e g − f h) 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd-(eg-fh)^(2))).)

Kuna nt = fh siis ja ainult siis, kui see on ka sisse kirjutatud, saame, et maksimaalne pindala a b c d (\displaystyle (\sqrt(abcd))) saab saavutada ainult nelinurkadel, mis on korraga nii piiritletud kui ka sisse kirjutatud.

Trigonomeetrilised valemid

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (A+C)(2))=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (B+D)(2)).)

Külgede antud korrutise korral on pindala maksimaalne, kui nelinurk on samuti sisse kirjutatud. Sel juhul K = a b c d (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))), kuna vastasnurgad täiendavad üksteist. Seda saab tõestada ka muul viisil, kasutades matemaatilist analüüsi.

Teine valem piiritletud nelinurga pindala jaoks ABCD, kasutades kahte vastasnurka

K = (O A ⋅ O C + O B ⋅ O D) sin ⁡ A + C 2 (\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin (\frac (A+C)(2) )),

kus O on sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Tegelikult saab pindala väljendada ainult kahe külgneva külje ja kahe vastasnurga kaudu.

K = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=ab\sin (\frac (B) (2))\csc (\frac (D) (2))\sin (\frac (B+D) (2)).) K = 1 2 | (a c − b d) tan⁡ θ | , (\displaystyle K=(\tfrac (1) (2))|(ac-bd)\tan (\theta )|,)

kus θ nurk (mis tahes) diagonaalide vahel. Valem ei kehti deltalihaste puhul, kuna antud juhul θ on 90° ja puutuja pole määratletud.

ebavõrdsused

Nagu ülalpool mainitud, külgedega puutuja hulknurga pindala a, b, c, d rahuldab ebavõrdsust

K ≤ a b c d (\displaystyle K\leq (\sqrt (abcd)))

ja võrdsus saavutatakse siis ja ainult siis, kui nelinurk on kahekeskne.

T. A. Ivanova (1976) järgi poolperimeeter s piiritletud nelinurk rahuldab ebavõrdsust

s ≥ 4r (\displaystyle s\geq 4r),

kus r on sisse kirjutatud ringi raadius. Ebavõrdsus muutub võrdsuseks siis ja ainult siis, kui nelinurk on ruut. See tähendab, et piirkonna jaoks K = rs, ebavõrdsus

K ≥ 4 r 2 (\displaystyle K\geq 4r^(2))

võrdsusele üleminekuga siis ja ainult siis, kui nelinurk on ruut.

Nelinurga osade omadused

Neli sirge lõiku sisse kirjutatud ringi keskpunkti ja puutepunktide vahel jagavad nelinurga neljaks ristkülikukujuline deltalihas.

Kui sirgjoon jagab piiritletud nelinurga kaheks võrdse pindala ja võrdse perimeetriga hulknurgaks, siis see joon läbib tsentri.

Sisse kirjutatud ringi raadius

Külgedega sissekirjutatud nelinurga sissekirjutatud ringi raadius a, b, c, d antud valemiga

r = K s = K a + c = K b + d (\displaystyle r=(\frac (K)(s))=(\frac (K)(a+c))=(\frac (K)( b+d))),

kus K on nelinurga pindala ja s- poolperimeeter. Antud poolperimeetriga piiritletud nelinurkade puhul on sissekirjutatud ringi raadius maksimaalne, kui nelinurk on samuti sisse kirjutatud.

Puutujalõikude osas sissekirjutatud ringi raadius.

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . (\displaystyle \displaystyle r=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)(e+f+g+h))).)

Sissekirjutatud ringi raadiust saab väljendada ka kaugusena tsentrist O piiritletud nelinurga tippudele ABCD. Kui a u = AO, v=BO, x=CO ja y=DO, siis

r = 2 (σ − u v x) (σ − v x y) (σ − x y u) (σ − y u v) u v x y (u v + x y) (u x + v y) (u y + v x) (\displaystyle r=2(\sqrt (\) frac ((\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv))(uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx))))),

kus σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (\displaystyle \sigma =(\tfrac (1) (2))(uvx+vxy+xyu+yuv)) .

Nurkade valemid

Kui a e, f, g ja h puutuja lõigud tippudest A, B, C ja D vastavalt ringi puutepunktidele nelinurga poolt ABCD, siis saab nelinurga nurgad arvutada valemitega

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (e + f) (e + g) (e + h) , (\displaystyle \sin (\frac (A) (2))=(\sqrt (\frac) (efg+fgh+ghe+hef)((e+f)(e+g)(e+h)))),) sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (f + e) (f + g) (f + h) , (\displaystyle \sin (\frac (B) (2))=(\sqrt () \frac (efg+fgh+ghe+hef)((f+e)(f+g)(f+h)))),) sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (g + e) (g + f) (g + h) , (\displaystyle \sin (\frac (C) (2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((g+e)(g+f)(g+h)))),) sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) (h + f) (h + g) . (\displaystyle \sin (\frac (D)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((h+e)(h+f)(h+g)))) .)

Nurk akordide vahel KM ja LN antud valemiga (vt joonist)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) . (\displaystyle \sin (\varphi )=(\sqrt (\frac ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))((e+f)(f+g)(g+ h )(h+e)))).)

Diagonaalid

Kui a e, f, g ja h on puutujate segmendid alates A, B, C ja D nelinurga poolt sisse kirjutatud ringi puutepunktidesse ABCD, siis diagonaalide pikkused p=AC ja q = BD võrdne

p = e + g f + h ((e + g) (f + h) + 4 f h) , (\displaystyle \displaystyle p=(\sqrt ((\frac (e+g)(f+h))(\ Suur ()(e+g)(f+h)+4fh(\Big)))),) q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g) . (\displaystyle \displaystyle q=(\sqrt ((\frac (f+h)(e+g))(\Big ()(e+g)(f+h)+4eg(\Big)))). )

Puutepunkti akordid

Kui a e, f, g ja h on lõigud tippudest puutujapunktidesse, siis vastandlike puutujapunktide akordide pikkused on

k = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle k=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+f)(g+h)(e+g)(f+h)))),) l = 2 (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle l=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+h)(f+g)(e+g)(f+h)))),)

kus on akord kühendab küljed pikkustega a = e + f ja c = g + h, ja akord lühendab küljed pikkusega b = f + g ja d = h + e. Akordide suhte ruut rahuldab seost

k 2 l 2 \u003d b d a c. (\displaystyle (\frac (k^(2))(l^(2)))=(\frac (bd)(ac)).)

Kaks akordi

Akord külgede vahel AB ja CD piiritletud nelinurgas ABCD pikem kui külgedevaheline akord eKr ja DA siis ja ainult siis, kui külgedevaheline mediaanjoon AB ja CD lühem kui külgede vaheline mediaanjoon eKr ja DA .

Kui piiritletud nelinurk ABCD on kokkupuutepunkte M peal AB ja N peal CD ja akord MNületab diagonaali BD punktis P, siis puutujate segmentide suhe B M D N (\displaystyle (\tfrac (BM)(DN))) on võrdne suhtega B P D P (\displaystyle (\tfrac (BP)(DP))) diagonaalsed segmendid BD.

kollineaarsed punktid

Kui a M1 ja M2 on diagonaalide keskpunktid AC ja BD vastavalt piiritletud nelinurgas ABCD O, ja vastaskülgede paarid lõikuvad punktides E ja F ja M3- segmendi keskel EF, siis punktid M3, M1, O, ja M2 asetsevad ühel sirgel Neid punkte ühendavat sirget nimetatakse nelinurga Newtoni jooneks.

E ja F, ja puutepunktidest moodustatud nelinurga vastaskülgede pikendused lõikuvad punktides T ja S, siis neli punkti E, F, T ja S lebama samal real

AB, eKr, CD, DA punktides M, K, N ja L vastavalt ja kui T M, T K, T N, T L on nende punktide isotoomiliselt konjugeeritud punktid (st. AT M = BM jne), siis Nageli punkt defineeritud kui joonte ristumiskoht T N T M ja T K T L. Mõlemad sirged jagavad nelinurga ümbermõõdu kaheks võrdseks osaks. Veelgi olulisem on aga Nageli punkt K, "piirkonna tsentroid" G ja sisse kirjutatud ringi keskpunkt O asetsevad samal sirgel ja QG = 2MINNA. Seda rida nimetatakse sirge Nagel piiritletud nelinurk.

Piiratud nelinurgas ABCD sisse kirjutatud ringi keskpunktiga O P, lase HM, H K, H N, H L on kolmnurkade ortotsentrid AOB, BOC, COD ja DOA vastavalt. Siis punktid P, HM, H K, H N ja H L lebama samal real.

Võistlevad ja risti asetsevad jooned

Nelinurga kaks diagonaali ja kaks vastandlikke kokkupuutepunkte ühendavat kõõlu (sissekirjutatud nelinurga vastandtipud) on külgnevad (st ristuvad ühes punktis). Selle näitamiseks võib kasutada Brianchoni teoreemi erijuhtu, mis väidab, et kuusnurgal, mille kõik küljed puutuvad kokku koonuselõikega, on kolm diagonaali, mis lõikuvad ühes punktis. Kirjeldatud nelinurgast on lihtne saada kahe 180° nurgaga kuusnurk, lisades kaks uut tippu vastandlikesse puutujapunktidesse. Saadud kuusnurga kõik kuus külge puutuvad siseringjoonega, nii et selle diagonaalid lõikuvad ühes punktis. Kuid kuusnurga kaks diagonaali langevad kokku nelinurga diagonaalidega ja kolmas diagonaal läbib vastupidiseid kokkupuutepunkte. Korrates sama põhjendust kahe ülejäänud puutepunkti kohta, saame soovitud tulemuse.

Kui sisse kirjutatud ringjoon puutub külgedega AB, eKr, CD ja DA punktides M, K, N, L vastavalt siis sirgjooned MK, LN ja AC konkurentsivõimeline.

Kui piiritletud nelinurga vastaskülgede pikendused lõikuvad punktides E ja F, ja diagonaalid ristuvad punktis P, siis sirgjoon EF jätkuga risti OP, kus O on sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Sissekirjutatud ringi omadused

Piiratud nelinurga kahe vastaskülje suhet saab väljendada kauguste kaudu sissekirjutatud ringi keskpunktist O asjaomastele osapooltele

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . (\displaystyle (\frac (AB)(CD))=(\frac (OA\cdot OB)(OC\cdot OD)),\quad \quad (\frac (BC)(DA))=(\frac ( OB\cdot OC)(OD\cdot OA)).

Piiratud nelinurga kahe külgneva külje korrutis ABCD sisse kirjutatud ringi keskpunktiga O rahuldab suhet

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . (\displaystyle AB\cdot BC=OB^(2)+(\frac (OA\cdot OB\cdot OC)(OD)).)

Kui a O- nelinurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt ABCD, siis

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . (\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD=(\sqrt (AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).)

Sissekirjutatud ringi keskpunkt O langeb kokku nelinurga "tsentroidi tippudega" siis ja ainult siis

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . (\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.)

Kui a M1 ja M2 on diagonaalide keskpunktid AC ja BD vastavalt siis

O M 1 O M 2 = O A ⋅ O C O B ⋅ O D = e + g f + h , (\displaystyle (\frac (OM_(1)))(OM_(2)))=(\frac (OA\cdot OC)(OB\cdot OD))=(\frac (e+g)(f+h)),)

kus e, f, g ja h- tippude puutujate segmendid A, B, C ja D vastavalt. Kombineerides esimese võrdsuse viimasega, saame, et piiritletud nelinurga "tippude keskpunkt" langeb kokku kirjutatud ringi keskpunktiga siis ja ainult siis, kui sissekirjutatud ringi keskpunkt asub diagonaalide keskpunktide vahel.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4. (\displaystyle (\frac (1)(r_(1)))+(\frac (1)(r_(3)))=(\frac (1)(r_(2)))+(\frac (1) )(r_(4))).)

Seda omadust tõestas Weinstein viis aastat varem. Tema probleemi lahendamisel andsid sarnase vara Vassiljev ja Senderov. Kui läbi h M , h K , h N ja h L tähistab samade kolmnurkade kõrgusi (langetatud diagonaalide ristumiskohast P), siis on nelinurk piiratud siis ja ainult siis

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L . (\displaystyle (\frac (1)(h_(M)))+(\frac (1)(h_(N)))=(\frac (1)(h_(K)))+(\frac (1) )(h_(L))).)

Teine sarnane omadus kehtib välisringide raadiuste kohta r M , r K , r N ja r L sama nelja kolmnurga jaoks (neli välisringjoont puutuvad nelinurga kummagi külje ja diagonaalide pikendustega). Nelinurk on piiritletud siis ja ainult siis

1 r M + 1 r N = 1 r K + 1 r L . (\displaystyle (\frac (1)(r_(M)))+(\frac (1)(r_(N)))=(\frac (1)(r_(K)))+(\frac (1) )(r_(L))).)

Kui a R M , R K , R N ja R L - kolmnurkade ümbermõõdu raadiused APB, BPC, CPD ja DPA vastavalt siis kolmnurk ABCD kirjeldatakse siis ja ainult siis

R M + R N = R K + R L . (\displaystyle R_(M)+R_(N)=R_(K)+R_(L).)

1996. aastal näib Weinstein olevat esimene, kes tõestas veel ühte tähelepanuväärset piiratud nelinurkade omadust, mis hiljem ilmus mitmetes ajakirjades ja veebisaitidel. Omadus väidab, et kui kumer nelinurk on jagatud diagonaalidega neljaks mittekattuvateks kolmnurkadeks, asuvad nende kolmnurkade siseringi keskpunktid samal ringil siis ja ainult siis, kui nelinurk on piiritletud. Tegelikult moodustavad sisse kirjutatud ringide keskpunktid ortodiagonaalse sissekirjutatud nelja nurga. Siin saab sissekirjutatud ringid asendada eksringidega (puutuja nelinurga diagonaalide külgede ja jätkudega). Siis on kumer nelinurk ümbritsetud siis ja ainult siis, kui ringjoonte keskpunktid on sissekirjutatud nelinurga tipud.

Kumer nelinurk ABCD kus diagonaalid ristuvad punktis P, on piiritletud siis ja ainult siis, kui kolmnurkade neli keskpunkti on ringikujulised APB, BPC, CPD ja DPA asetsevad samal ringil (siin lõikuvad liigendringjooned nelinurga külgedega, erinevalt ülaltoodud analoogsest väitest, kus osaringjooned asuvad nelinurgast väljaspool). Kui a R m, R n, Rk ja Rl- välisringide raadiused APB, BPC, CPD ja DPA vastavalt tippude vastas B ja D, siis teine vajalik ja piisav tingimus nelinurga piiramiseks on

1 R m + 1 R n = 1 R k + 1 R l . (\displaystyle (\frac (1)(R_(m)))+(\frac (1)(R_(n)))=(\frac (1)(R_(k)))+(\frac (1) )(R_(l))).) m △ (A P B) + n △ (C P D) = k △ (B P C) + l △ (D P A) (\displaystyle (\frac (m)(\kolmnurk (APB)))+(\frac (n)(\kolmnurk (CPD)))=(\frac (k)(\kolmnurk (BPC)))+(\frac (l)(\kolmnurk (DPA))))

siin m, k, n, l on külgede AB, BC, CD ja DA pikkused ning ∆( APB) - kolmnurga pindala APB.

Tähistame lõigud, millel punkt P jagab diagonaali AC kuidas AP = lk a ja PC = lk c. Samamoodi P jagage diagonaal BD segmentideks BP = lk b ja PD = lk d. Seejärel piiratakse nelinurk siis ja ainult siis, kui kehtib üks võrdustest:

(m + p a - p b) (n + p c - p d) (m - p a + p b) (n - p c + p d) = (k + p c - p b) (l + p a - p d) (k - p c + p b) (l − p a + p d) . (\displaystyle (\frac ((m+p_(a)-p_(b))(n+p_(c)-p_(d)))((m-p_(a)+p_(b))(n -p_(c)+p_(d))))=(\frac ((k+p_(c)-p_(b))(l+p_(a)-p_(d)))((k-p_ (c)+p_(b))(l-p_(a)+p_(d)))).)

Tingimused, et piiritletud nelinurk oleks teist tüüpi nelinurk.

Piiratud nelinurk on bitsentriline (st ümbritsetud ja sisse kirjutatud samal ajal) siis ja ainult siis, kui sissekirjutatud ringi raadius on suurim kõigi sama küljepikkuste jadaga piiritletud nelinurkade hulgast siis ja ainult siis, kui mõni järgmistest tingimustest on täidetud :

Pindala on pool diagonaalide korrutisest
Diagonaalid on risti
Kaks joonelõiku, mis ühendavad vastamisi kokkupuutepunkte, on võrdse pikkusega
Üks paar vastandlikku segmenti tipust kokkupuutepunktini on sama pikkusega
Victor Bryant, John Duncan. Rattad rataste sees // Mathematical Gazette. - 2010. - Väljaanne. 94, nov.
Albrecht Hess. Ringil, mis sisaldab tangentsiaalsete nelinurkade tsentreid // Forum Geometricorum. - 2014. - T. 14.
Wu Wei Chao, Plamen Simeonov. Kui nelinurkadele on sisse kirjutatud ringid (ülesande 10698 lahendus) // American Mathematical Monthly . - 2000. - T. 107, number. 7. - DOI: 10.2307/2589133.
Mowaffaq Hajja. Tingimus, et ümberkirjutatav nelinurk oleks tsükliline // Forum Geometricorum. - 2008. - V. 8.

Larry Hoehn. Uus valem nelinurga diagonaalide ja külgede kohta. - 2011. - T. 11 T. 10.

Martin Josephson. Millal on tangentsiaalne nelinurk tuulelohe? // Forum Geometricorum. - 2011a. - T. 11.

Martin Josephson. Rohkem tangentsiaalsete nelinurkade iseloomustusi // Forum Geometricorum. - 2011b. - T. 11.

Martin Josephson. Kahetsentrilise nelinurga pindala // Forum Geometricorum. - 2011c. - T. 11.

Martin Josephson. Tangentsiaalsete ja ekstgentsiaalsete nelinurkade sarnased meetrilised karakteristikud // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12.

Martin Josephson. Ortodiagonaalsete nelinurkade iseloomustus. - 2012b. - T. 12.

Nikusor Minculet. Tangentsiaalse nelinurga iseloomustus // Forum Geometricorum. - 2009. - V. 9.

Aleksei Mjakišev. Kahel tähelepanuväärsel joonel, mis on seotud nelinurgaga // Forum Geometricorum. - 2006. - V. 6.

A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonomeetria. - Cambridge'i ülikool. Ajakirjandus, 1929.

I. Weinstein, N. Vassiljev, V. Senderov.(Probleemi lahendus) M1495 // Kvant. - 1995. - Väljaanne. 6.

Michael De Villiers. Võrdnurksed tsüklilised ja võrdkülgsed piiritletud hulknurgad // Mathematical Gazette. - 2011. - Väljaanne. 95, märts.