Kuidas eraldada arvude summa juur. Kuidas arvutada arvu ruutjuurt ilma kalkulaatorit kasutamata

Juurevalemid. Ruutjuurte omadused.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Eelmises tunnis saime aru, mis on ruutjuur. On aeg välja mõelda, millised need on olemas juurte valemid mis on juurte omadused, ja mida selle kõigega teha saab.

Juurte valemid, juurte omadused ja juurtega töötamise reeglid- see on sisuliselt sama asi. Valemid jaoks ruutjuuredüllatavalt vähe. Mis teeb mind kindlasti õnnelikuks! Õigemini võib kirjutada palju erinevaid valemeid, aga praktiliseks ja enesekindlaks juurtega tööks piisab vaid kolmest. Kõik muu tuleneb neist kolmest. Kuigi paljud inimesed lähevad kolme juurvalemiga segadusse, jah...

Alustame kõige lihtsamast. Siin ta on:

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

On aeg see korda ajada juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eelkõige võrdusel, mis kehtib iga mittenegatiivse arvu b kohta.

Allpool vaatleme ükshaaval juurte ekstraheerimise peamisi meetodeid.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist – naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.

Kui tabelid ruutudest, kuubikutest jne. Kui teil seda käepärast pole, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab radikaalarvu lagundamist algteguriteks.

Eraldi tasub mainida, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.

Lõpuks vaatleme meetodit, mis võimaldab meil järjestikku leida juurväärtuse numbrid.

Alustame.

Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.

Kõige lihtsamatel juhtudel võimaldavad ruutude, kuubikute jms tabelid juurte väljavõtmist. Mis need tabelid on?

Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hallil taustal, konkreetse rea ja kindla veeru valimisega saab koostada arvu vahemikus 0 kuni 99. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga lahter asub kindla rea ​​ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99. Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ​​ja 3 üheliste veeru ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.

Kuubikute tabelid, arvude 0 kuni 99 neljanda astme tabelid ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.

Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende kasutamise põhimõtet juurte ekstraheerimisel.

Oletame, et peame eraldama arvu a n-nda juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Seda tabelit kasutades leiame arvu b nii, et a=b n. Siis , seega on arv b soovitud n-nda astme juur.

Näitena näitame, kuidas kasutada kuubitabelit kuupjuure 19 683 eraldamiseks. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on numbri 27 kuup, seega .

On selge, et n-nda astme tabelid on juurte eraldamiseks väga mugavad. Sageli pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab omajagu aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel peate kasutama muid juure ekstraheerimise meetodeid.

Radikaalarvu arvutamine algteguriteks

Üsna mugav viis naturaalarvu juure eraldamiseks (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on radikaalarvu lagundamine algteguriteks. Tema point on selles: pärast seda on seda üsna lihtne esitada soovitud astendajaga astmena, mis võimaldab saada juure väärtuse. Teeme selle punkti selgeks.

Olgu naturaalarvu a n-s juur ja selle väärtus võrdub b. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Number b nagu iga naturaalarv saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , …, p m korrutisena kujul p 1 · p 2 · … · p m ja radikaalarvu a esitatakse sel juhul kujul (p 1 · p 2 · … · p m) n. Kuna arvu lagunemine algteguriteks on unikaalne, on radikaalarvu a lagundamine algteguriteks kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, mis võimaldab arvutada juure väärtuse. nagu .

Pange tähele, et kui radikaalarvu a algteguriteks lagunemist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, siis sellise arvu a n-ndat juurt ei eraldata täielikult.

Selgitame selle välja näidete lahendamisel.

Näide.

Võtke 144 ruutjuur.

Lahendus.

Kui vaatate eelmises lõigus toodud ruutude tabelit, näete selgelt, et 144 = 12 2, millest on selge, et 144 ruutjuur võrdub 12-ga.

Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur eraldatakse radikaalarvu 144 algteguriteks lagundamisel. Vaatame seda lahendust.

Laguneme 144 algteguriteks:

See tähendab, et 144=2·2·2·2·3·3. Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Seega .

Kasutades kraadi omadusi ja juurte omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .

Vastus:

Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.

Näide.

Arvutage juure väärtus.

Lahendus.

Radikaalarvu 243 algfaktorisatsioon on kujul 243=3 5 . Seega .

Vastus:

Näide.

Kas juurväärtus on täisarv?

Lahendus.

Sellele küsimusele vastamiseks jagame radikaalarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubina.

Meil on 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Saadud laiendust ei esitata täisarvu kuubina, kuna aste peamine tegur 7 ei ole kolme kordne. Seetõttu ei saa kuupjuurt 285 768 täielikult eraldada.

Vastus:

Ei.

Murdarvudest juurte eraldamine

On aeg välja mõelda, kuidas juurt eemaldada murdarv. Kirjutada murdosa radikaalarv kujul p/q. Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murru juure eraldamise reegel: Murru juur on võrdne lugeja juure jagatisega, mis on jagatud nimetaja juurega.

Vaatame näidet juure murdmisest.

Näide.

Millest on ruutjuur harilik murd 25/169 .

Lahendus.

Kasutades ruutude tabelit, leiame, et algmurru lugeja ruutjuur võrdub 5-ga ja nimetaja ruutjuur on võrdne 13-ga. Siis . See lõpetab hariliku fraktsiooni 25/169 juure ekstraheerimise.

Vastus:

Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast radikaalarvude asendamist tavaliste murdudega.

Näide.

Võtke kümnendmurru 474,552 kuupjuur.

Lahendus.

Kujutagem ette originaali kümnend hariliku murruna: 474,552=474552/1000. Siis . Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis Ja . Jääb vaid arvutused lõpule viia .

Vastus:

.

Negatiivse arvu juure võtmine

Tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juureksponent on paaritu arv, siis juuremärgi all võib olla negatiivne arv. Andsime neile kirjetele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu eksponendi korral, . See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivse arvu juure eraldamiseks peate võtma vastupidise positiivse arvu juure ja panema tulemuse ette miinusmärgi.

Vaatame näidislahendust.

Näide.

Leidke juure väärtus.

Lahendus.

Teisendame algse avaldise nii, et juurmärgi all oleks positiivne arv: . Nüüd asendage segaarv tavalise murruga: . Rakendame hariliku murru juure eraldamise reeglit: . Jääb välja arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: .

Siin on lahenduse lühikokkuvõte: .

Vastus:

.

Juurväärtuse bitipõhine määramine

Üldjuhul on juure all arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid sel juhul on vaja teada antud juure tähendust, vähemalt kuni teatud märgini. Sel juhul saate juure ekstraheerimiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjepidevalt hankida piisav kogus vajaliku numbri numbrite väärtused.

Esimesel sammul sellest algoritmist peate välja selgitama, mis on juurväärtuse kõige olulisem osa. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse hetk, mil arv ületab radikaalarvu. Seejärel näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõige olulisemat numbrit.

Näiteks kaaluge seda algoritmi sammu viie ruutjuure eraldamisel. Võtke arvud 0, 10, 100, ... ja ruudustage need, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5. Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, mis tähendab, et kõige olulisem number on üks number. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juurekstraktsiooni algoritmi järgmistest sammudest.

Algoritmi kõik järgnevad sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele selgitamisele, leides juure soovitud väärtuse järgmiste bittide väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaimateni. Näiteks juure väärtus esimesel etapil osutub 2, teisel - 2,2, kolmandal - 2,23 ja nii edasi 2,236067977…. Kirjeldame, kuidas numbrite väärtused leitakse.

Numbrid leitakse nende kaudu otsides võimalikud väärtused 0, 1, 2, …, 9. Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse radikaalarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leituks ja toimub üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule; kui seda ei juhtu, siis selle numbri väärtus on 9.

Selgitame neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.

Kõigepealt leiame ühikute numbri väärtuse. Me käime läbi väärtused 0, 1, 2, ..., 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, ..., 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugav esitada tabeli kujul:

Seega on ühikute numbri väärtus 2 (alates 2 2<5 , а 2 3 >5). Liigume edasi kümnendike koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi radikaalarvuga 5:

Alates 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, siis kümnendiku koha väärtus on 2. Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist:

Nii leiti viie juure järgmine väärtus, see võrdub 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.

Kõigepealt määrame kindlaks kõige olulisema numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2 151 186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , seega on kõige olulisem number kümnend.

Määrame selle väärtuse.

Alates 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, siis on kümnekoha väärtus 1. Liigume edasi üksuste juurde.

Seega on ühe numbri väärtus 2. Liigume kümnendike juurde.

Kuna isegi 12,9 3 on vähem kui radikaalarv 2 151,186, siis kümnendiku koha väärtus on 9. Jääb teha algoritmi viimane samm, see annab meile juure väärtuse vajaliku täpsusega.

Selles etapis leitakse juure väärtus sajandiku täpsusega: .

Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid viise. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.

Bibliograafia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8. klassile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

Bibliograafiline kirjeldus: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Ruutjuure ekstraheerimise meetodid // Noor teadlane. 2017. nr 2.2. Lk 76-77..02.2019).



Märksõnad : ruutjuur, ruutjuure ekstraheerimine.

Matemaatikatundides tutvusin ruutjuure mõistega ja ruutjuure eraldamise operatsiooniga. Mind hakkas huvitama, kas ruutjuure eraldamine on võimalik ainult ruutude tabeli, kalkulaatori abil või on võimalik seda käsitsi välja võtta. Leidsin mitu võimalust: Vana-Babüloni valem võrrandite lahendamise kaudu, täisruudu kõrvaleheitmise meetod, Newtoni meetod, geomeetriline meetod, graafiline meetod (, ), oletusmeetod, paaritute arvude mahaarvamise meetod.

Kaaluge järgmisi meetodeid:

Teguristame jaguvuskriteeriumide 27225=5*5*3*3*11*11 abil algteguriteks. Seega

1. TO Kanada meetod. Selle kiire meetodi avastasid 20. sajandil Kanada ühe juhtiva ülikooli noored teadlased. Selle täpsus ei ole suurem kui kaks kuni kolm kohta pärast koma.

kus x on arv, millest tuleb juur eraldada, c on lähima ruudu arv), näiteks:

=5,92

1. Veerus. See meetod võimaldab leida mis tahes reaalarvu juure ligikaudse väärtuse mis tahes ettemääratud täpsusega. Selle meetodi puudused hõlmavad arvutuse keerukust, kuna leitud numbrite arv suureneb. Juure käsitsi eraldamiseks kasutatakse pika jagamisega sarnast tähistust

Ruutjuure algoritm

1. Jagame komast eraldi murdosa ja täisarvu kahekohalise numbri piiril igas näos ( suudlema osa - paremalt vasakule; murdosaline- vasakult paremale). Võimalik, et täisarvu osa võib sisaldada ühte numbrit ja murdosa võib sisaldada nulle.

2. Ekstraheerimine algab vasakult paremale ja me valime arvu, mille ruut ei ületa esimese näo arvu. Me paneme selle numbri ruutu ja kirjutame selle esimese külje numbri alla.

3. Leidke vahe esimesel tahvel oleva arvu ja valitud esimese numbri ruudu vahel.

4. Saadud erinevusele lisame järgmise serva, saadud arv on jagatav. Harime jagaja. Kahekordistame vastuse esimese valitud numbri (korrutame 2-ga), saame jagaja kümnete arvu ja ühikute arv peaks olema selline, et selle korrutis kogu jagajaga ei ületaks dividendi. Valitud numbri kirjutame vastuseks üles.

5. Saadud vahele võtame järgmise serva ja sooritame toimingud vastavalt algoritmile. Kui see nägu osutub murdosa näoks, siis paneme vastusesse koma. (Joonis 1.)

Seda meetodit kasutades saate eraldada numbreid erineva täpsusega, näiteks kuni tuhandikuni. (Joon.2)

Arvestades erinevaid ruutjuure eraldamise meetodeid, võime järeldada: igal konkreetsel juhul peate otsustama kõige tõhusama valiku üle, et kulutada lahendamisele vähem aega.

Kirjandus:

1. Kiselev A. Algebra ja analüüsi elemendid. Esimene osa.-M.-1928

Märksõnad: ruutjuur, ruutjuur.

Märkus: Artiklis kirjeldatakse ruutjuurte eraldamise meetodeid ja tuuakse näiteid juurte ekstraheerimisest.