Logaritmi ja potentseerimise reeglid. Jõuväljendid (väljendid võimsustega) ja nende teisenemine

Number c (\displaystyle c) helistas n-arvu aste a (\displaystyle a), Kui

c = a ⋅ a ⋅ . . . ⋅ a ⏟ n (\displaystyle c=\underbrace (a\cdot a\cdot ...\cdot a) _(n)).

Omadused:

(a b) n = a n b n (\displaystyle \left(ab\right)^(n)=a^(n)b^(n))
(a b) n = a n b n (\displaystyle \left((a \over b)\right)^(n)=((a^(n)) \over (b^(n))))
a n a m = a n + m (\displaystyle a^(n)a^(m)=a^(n+m))
a n a m = a n − m (\displaystyle \left.(a^(n) \over (a^(m)))\right.=a^(n-m))
(a n) m = a n m (\displaystyle \left(a^(n)\right)^(m)=a^(nm))
kirjel puudub assotsiatiivsuse (kombineeritavuse) omadus, see tähendab, et üldiselt ei võrdu vasakpoolne assotsiatiivsus parempoolse assotsiatiivsusega (a n) m ≠ a (n m) (\displaystyle (a^(n))^(m)\neq a^(\left((n^(m))\right))), sõltub tulemus toimingute järjestusest, näiteks (2 2) 3 = 4 3 = 64 (\displaystyle (2^ (2))^ (3) = 4^ (3) = 64), A 2 (2 3) = 2 8 = 256 (\displaystyle 2^(\left((2^(3))\right))=2^(8)=256). On üldtunnustatud, et rekord a n m (\displaystyle a^(n^(m))) samaväärne a (n m) (\displaystyle a^(\left((n^(m))\right))), ja selle asemel (a n) m (\displaystyle (a^(n))^(m)) sa võid lihtsalt kirjutada a n m (\displaystyle a^(nm)), kasutades eelmist atribuuti. Kuid mõned programmeerimiskeeled ei järgi seda konventsiooni (vt);
võimule tõstmisel ei ole kommutatiivsuse omadust: üldiselt, a b ≠ b a (\displaystyle a^(b)\neq b^(a)), Näiteks, 2 5 = 32 (\displaystyle 2^ (5) = 32), Aga 5 2 = 25 (\displaystyle 5^ (2) = 25).

Tõeline kraad

Lase a ⩾ 0, r (\displaystyle a\geqslant 0,r)- reaalarvud ja r (\displaystyle r)- irratsionaalne arv. Määratleme väärtuse järgmiselt.

Teatavasti saab iga reaalarvu ülalt ja alt ligikaudselt määrata kahe ratsionaalarvuga, see tähendab, et selle saab valida r (\displaystyle r) ratsionaalne intervall [ p , q ] (\displaystyle) mis tahes täpsusega. Siis kõigi vastavate intervallide ühisosa [ a p , a q ] (\displaystyle) koosneb ühest punktist, mida võetakse kui a r (\displaystyle a^(r)).

Teine lähenemine põhineb seeriate ja logaritmide teoorial (vt.).

Potentsieerimine

a b = (r e θ i) b = (e Ln ⁡ (r) + θ i) b = e (Ln ⁡ (r) + θ i) b. (\displaystyle a^(b)=(re^((\theta )i))^(b)=(e^(\operaatorinimi (Ln) (r)+(\theta )i))^(b)= e^((\operaatorinimi (Ln) (r)+(\teeta )i)b).)

Tuleb meeles pidada, et komplekslogaritm on mitme väärtusega funktsioon, seega ei ole kompleksi võimsus üldiselt üheselt määratletud.

Null nulli astmeni

Väljendus 0 0 (\displaystyle 0^(0))(null nulli astmeni) on paljude õpikute arvates ebamäärane ja mõttetu. Mõned autorid teevad ettepaneku nõustuda kokkuleppega, et see avaldis on võrdne 1-ga. Täpsemalt on seeria eksponentsiaalne laiendus:

e x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! (\displaystyle e^(x)=1+\sum _(n=1)^(\infty )(x^(n) \üle n} !}

võib kirjutada lühidalt:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! . (\displaystyle e^(x)=\sum _(n=0)^(\infty )(x^(n) \üle n.} !}

Igal juhul kokkulepe 0 0 = 1 (\displaystyle 0^(0)=1) puhtalt sümboolne ja seda ei saa kasutada ei algebralistes ega analüütilistes teisendustes, kuna funktsioon on sellel hetkel katkendlik.

Kraad funktsioonina

Kuna avaldis kasutab kahte märki ( x (\displaystyle x) Ja y (\displaystyle y)), siis võib seda pidada üheks kolmest funktsioonist:

Kasulikud valemid

x y = a y log a ⁡ x (\displaystyle x^(y)=a^(y\log _(a)x)) x y = e y ln ⁡ x (\displaystyle x^(y)=e^(y\ln x)) x y = 10 y lg ⁡ x (\displaystyle x^(y)=10^(y\lg x))

Kaht viimast valemit kasutatakse positiivsete arvude tõstmiseks suvaliste astmeteni elektroonilistes kalkulaatorites (sh arvutiprogrammid), millel pole sisseehitatud funktsiooni x y (\displaystyle x^(y)), ja ligikaudseks mittetäisarvude astendamiseks või täisarvude eksponeerimiseks, kui arvud on kogu tulemuse kirjutamiseks liiga suured.

Kasutamine suulises kõnes

Salvestus a n (\displaystyle a^(n)) tavaliselt loetakse " a V n (\displaystyle n) aste" või " a mingil määral n" Näiteks, 10 4 (\displaystyle 10^ (4)) loe kui "kümme kuni neljas aste" 10 3/2 (\displaystyle 10^(3/2)) kõlab kui "kümme kolme sekundi astmes (või: poolteist)."

Teisele ja kolmandale astmele on olemas spetsiaalsed nimetused: vastavalt ruudukujuline ja kuubik. Näiteks, 10 2 (\displaystyle 10^(2)) loe "kümne ruuduga" 10 3 (\displaystyle 10^ (3)) lugeda kui "kümme kuubikut". Selline terminoloogia pärines Vana-Kreeka matemaatikast. Vanad kreeklased sõnastasid algebralisi konstruktsioone geomeetrilise algebra keeles (Inglise)vene keel. Eelkõige rääkisid nad sõna "korrutamine" asemel ristküliku pindalast või rööptahuka mahust: selle asemel a 2 (\displaystyle a^(2)), a 3 (\displaystyle \a^(3)) Vanad kreeklased ütlesid "ruut segmendil a", "kuubik sisse a" Sel põhjusel vältisid iidsed kreeklased neljandat ja kõrgemat kraadi.

19. õppetund

Avaldiste LOGARITMINE JA POTENTSIOON

Eesmärgid :

didaktiline :

teadmiste kordamine, süstematiseerimine ja üldistamine;

oskuste kinnistamine, et lahendada teemakohaseid praktilisi probleeme;

hariv :

edendada sõltumatust järelduste tegemisel; üles tooma üldpädevused- töötada meeskonnas ja meeskonnas;

arenev :

arengut loogiline mõtlemine algoritmiline kultuur;

arendada oskust oma järeldusi tõestada ja üksteise vastuseid analüüsida;

arendada jätkuvalt oskust uut teavet õigesti tajuda ja aktiivselt meelde jätta.

Tunni tüüp : kombineeritud tund

Metoodiline tugi : õpikud, tunniplaan, kaardid.

Tundide ajal:

1. Aja organiseerimine

Enne tunni algust kontrollib õpetaja klassiruumi valmisolekut tunniks.

Õpilaste tervitamine, puudujate tuvastamine, rühmapäeviku täitmine. Teatatakse tunni teema ja eesmärk.

2. Varem õpitud materjali kordamine

3. Uue materjali õppimine

ÕPPIMATERJALI KORDAMINE

1. Kontrollige kodutöö, töötage juhatuses rasketel hetkedel.

2. Defineeri logaritmi mõiste.

B aluse a logaritm on aste, milleni a tuleb b saamiseks tõsta.

3. Too näide logaritmi kirjutamisest. Mida see sissekanne tähendab?

3. Materjali valdamise taseme kontrollimiseks tehakse ettepanek lahendada mõned ülesanded. Tahvlil on täitmist vajav tabel, kuhu on märgitud näite lahendus ja omadus number varem salvestatud tunnimärkmetelt.

Näide

Lahendus. Vastus

Kinnistu number

5, 1

UUE MATERJALI ÕPPIMINE

Logaritm on antud arvude või avaldiste logaritmide leidmine.

Näide : Leiame logaritmi

Lahendus .

Kasutagem järjekindlalt kõiki kolme ülaltoodud logaritmi põhiomadust (korrutise logaritm, jagatise logaritm ja astme logaritm):

Logaritm on teisendus, kus muutujatega avaldise logaritm taandatakse muutujate logaritmide summaks või erinevuseks.

On vaja selgelt eristada logaritmide summatlga + lgb ja summa logaritmlg ( a + b ) . Logaritmide summa võrdub korrutise logaritmiga, kuid summa logaritmi valemit pole.

Näide . Arvestades, kusa>0, b>0, c>0. Otsilgx.

Lahendus . Võttes logaritmid, saame:

Potentsieerimine on logaritmi pöördteisendus.

Tugevdada - tähendab logaritmilise avaldise lahendamise protsessis vabanemist logaritmilistest märkidest.

Võrrandite lahendamisel potentseerimise teel teisendatakse avaldised logaritmide omaduste abil, viies need vormi

kas mõistusele

Näiteks , peame lahendama võrrandi logi 2 3x = log 2 9.

Eemaldame logaritmide märgid - see tähendab, et võimendame:

3x = 9.

Tulemuseks on lihtne võrrand, mida saab mõne sekundiga lahendada:

x = 9: 3 = 3.

Kuid võimendamine ei taandu logaritmimärkide lihtsale ja meelevaldsele eemaldamisele. Selleks peab võrrandi mõlemal poolel olema vähemalt sama baasväärtus (meie puhul alus 2).

Lahendamisel kasutatakse potentseerimist logaritmilised võrrandid, millega kohtume järgmises õppetükis.

PRAKTILISED ÜLESANDED

Rühm on jagatud kahe- või kolmeliikmelisteks alarühmadeks. Iga alamrühm teeb ühe logaritmi näite, edastab selle lahenduseks naaberalarühmale. Seejärel lahendavad alarühmad näite ja annavad selle lahendamiseks edasi järgmisele alarühmale. Sellest tulenevalt peab iga alarühm panema hinde oma klassikaaslastele, kes koostatud avaldise lahendasid.

KODUTÖÖ

Prologige avaldis 10-ni, eeldades, et kõik muutujad on positiivsed:

Teostage väljendi võimendamine:

Sihtmärk:õppige algebralisi avaldisi logaritme ja potentseerimist kasutades teisendama.

Asukoht: klassiruum, Kurski elektromehaanikakolledž.

Haridusvahendid:

Iseseisva töö liigid:

Algebralise avaldise logaritmi võtmine etteantud logaritmi väljendamiseks sama aluse teiste logaritmide kaudu;

Võttes avaldise logaritmi võrra sellel alusel;

Arvu leidmine selle logaritmi järgi;

Võrrandi lahendus.

Lühike teoreetiline taust

Kui mõni väljend A koosneb positiivsetest arvudest x, y, z kasutades korrutamise, jagamise ja astendamise tehteid, siis saab logaritmide omadusi kasutades väljendada arvude logaritmide kaudu x, y, z. Seda teisendust nimetatakse logaritm .

Näide 1. On teada, et positiivsed numbrid x, y, z, t A numbrid y, z, t.

Lahendus: 1) Murru logaritm võrdub lugeja ja nimetaja logaritmide vahega:

2) Korrutise logaritm võrdne summaga tegurite logaritmid: .

3) Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega: ; .

4) Selle tulemusena saame:

Teisendust, mis koosneb avaldise leidmisest, mille logaritm on esitatud teatud arvude logaritmide kaudu, nimetatakse võimendamine .

Selle teisenduse läbiviimisel kasutatakse järgmist lauset.

Teoreem. Võrdsus on õiglane siis ja ainult siis.

Näide 2. On teada, et. Ekspress x läbi y, z, t.

Lahendus: Vastavalt astme logaritmi omadusele on meil:

Nii ja seetõttu,.

Praktilised ülesanded klassitööks

x, a,b Ja Koos suhtega ühendatud. Väljendage logaritmide abil baasini n numbrid a, b, c.

2. Viige logaritm alusele 3: