Irratsionaalsed võrrandid. Põhjalik juhend

PRAKTILINE TÖÖ nr 1

Teema: "Algebralise, ratsionaalse, irratsionaalse, jõu väljendused».

Töö eesmärk: õppida teisendama algebralisi, ratsionaalseid, irratsionaalseid, astmeavaldisi, kasutades lühendatud korrutusvalemeid, juurte ja astmete põhiomadusi.

Teoreetiline teave.

ARVULT LOODUSLIKU KRAADI JUURED, NENDE OMADUSED.

Juur n - kraadid : , n - juureksponent, A - radikaalne väljendus

Kui n - paaritu number, siis väljend on mõtet millal A

Kui n - paarisarv, siis on väljendil mõtet millal

Aritmeetiline juur:

Negatiivse arvu paaritu juur:

JUURTE PÕHIOMADUSED

Tootest juure eraldamise reegel:

Juure juurest eraldamise reegel:

Juurmärgi alt kordaja eemaldamise reegel:

Kordaja sisestamine juurmärgi alla:

,

Juureindeksi ja radikaalavaldise indeksi saab korrutada sama arvuga.

Reegel juure võimuks kasvatamiseks.

KRAD LOODUSLIKU INDIKAATORIGA

= , a - kraadi alus,n – eksponent

Omadused:

Kui korrutada astmeid samade alustega, liidetakse eksponendid, kuid alus jääb muutumatuks.

Kraadide jagamisel samade alustega lahutatakse eksponendid, kuid alus jääb muutumatuks.

Kui tõsta aste astmeks, korrutatakse astendajad.

Kahe arvu korrutise tõstmisel astmeni tõstetakse iga arv selle astmeni ja tulemused korrutatakse.

Kui kahe arvu jagatis tõsta astmeni, siis tõstetakse lugeja ja nimetaja selle astmeni ning tulemus jagatakse omavahel.

KRAD TÄISARV INDIKAATORIGA

Omadused:

juures r >0 > juures r <0

7 . Mis tahes ratsionaalsete arvude jaoksr Jas ebavõrdsusest > peaks

> juures a >1 juures

Lühendatud korrutusvalemid.

Näide 1. Lihtsustage väljendit.

Rakendame astmete omadusi (astmete korrutamine samal alusel ja volituste jaotus samal alusel): .

Vastus: 9 m 7 .

Näide 2. Vähenda murdosa:

Lahendus. Seega on murru määratluspiirkond kõik arvud, välja arvatud x ≠ 1 ja x ≠ -2. .Murdu vähendades saame .Saadud murru määratluspiirkond: x ≠ -2, s.o. laiem kui algse murru määratlusvahemik. Seetõttu on murrud ja võrdsed x ≠ 1 ja x ≠ -2 korral.

Näide 3. Vähenda murdosa:

Näide 4. Lihtsustama:

Näide 5.Lihtsustama:

Näide 6. Lihtsustama:

Näide 7. Lihtsustama:

Näide 8. Lihtsustama:

Näide 9. Arvutama: .

Lahendus.

Näide 10. Lihtsusta väljendit:

Lahendus.

Näide 11.Vähendage murdosa, kui

Lahendus. .

Näide 12. Vabastage end irratsionaalsusest murdosa nimetajas

Lahendus. Nimetajas on meil 2. astme irratsionaalsus, seepärast korrutame nii murdosa lugeja kui ka nimetaja konjugaatavaldisega ehk arvude summa ja , siis on nimetajas ruutude vahe, mis kõrvaldab irratsionaalsuse.

1. Lihtsustage väljendit:

, kus a on ratsionaalarv, b – naturaalarv

,

5. Lihtsustage:

;

,
,

10. Järgige seda toimingut.

8. Vähendage murdosa

9. Tegutse

VALIK – II

1. Lihtsustage väljendit:

2. Leidke väljendi tähendus:

3. Esitage murruastendajaga aste juurena

4. Vähendage määratud avaldis vormile
, kus a on ratsionaalarv, b - naturaalarv

,

5. Lihtsustage:

;

6. Asendage aritmeetilised juured astmetega murdosaastendajaga

,
,

7. Esitage avaldis murruna, mille nimetaja ei sisalda juuremärki

10. Järgige seda toimingut.

8. Vähendage murdosa

9. Tegutse

1. Järgige seda toimingut.

2. Leidke väljendi tähendus:

3. Esitage murruastendajaga aste juurena

4. Vähendage määratud avaldis vormile
, kus a on ratsionaalarv, b - naturaalarv

,

5. Lihtsustage:

;

6. Asendage aritmeetilised juured astmetega murdosaastendajaga

,
,

7. Esitage avaldis murruna, mille nimetaja ei sisalda juuremärki

10. Järgige seda toimingut.

8. Vähendage murdosa

9. Tegutse

VALIK – IV

1. Järgige seda toimingut.

2. Leidke väljendi tähendus:

3. Esitage murruastendajaga aste juurena

,

4. Vähendage määratud avaldis vormile
, kus a on ratsionaalarv, b - naturaalarv

,

5. Lihtsustage:

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Juurte omadused on aluseks kahele järgmisele transformatsioonile, mida nimetatakse juurmärgi alla toomiseks ja juurmärgi alt väljavõtmiseks, mille juurde nüüd pöördume.

Kordaja sisestamine juure märgi alla

Märgi alla teguri sisestamine eeldab avaldise , kus B ja C on mõned arvud või avaldised ning n on ühest suurem naturaalarv, asendamist vormi või identselt võrdse avaldisega.

Näiteks, irratsionaalne väljendus pärast teguri 2 sisseviimist juuremärgi alla võtab see kuju .

Teoreetiline alus See teisendus, selle rakendamise reeglid ja lahendused erinevatele tüüpilistele näidetele on toodud artiklis, mis tutvustab juure märgi all olevat kordajat.

Kordaja eemaldamine juurmärgi alt

Teisendus, teatud mõttes vastupidine juurmärgi alla teguri sisseviimisele, on teguri eemaldamine juurmärgi alt. See seisneb juure esitamises paaritu n korrutisena või paarisarvu n korrutisena, kus B ja C on mõned arvud või avaldised.

Näiteks pöördume tagasi eelmise lõigu juurde: irratsionaalne avaldis võtab pärast teguri eemaldamist juurmärgi alt kuju . Teine näide: teguri eemaldamine avaldises juuremärgi alt annab korrutise, mille saab ümber kirjutada kujule .

Millel see teisendus põhineb ja milliste reeglite järgi seda tehakse, uurime eraldi artiklis kordaja eemaldamist juure märgi alt. Seal anname ka lahendusi näidetele ja loetleme võimalusi radikaalavaldise taandamiseks korrutamiseks mugavaks vormiks.

Juurte sisaldavate murdude teisendamine

Irratsionaalsed avaldised võivad sisaldada murde, mille juured on lugejas ja nimetajas. Selliste fraktsioonidega saate teostada mis tahes põhilist murdude identiteedi teisendused.

Esiteks, miski ei takista teil töötamast lugejas ja nimetajas olevate avaldistega. Näiteks kaaluge murdosa. Lugejas olev irratsionaalne avaldis on ilmselgelt identne võrdne ja juurte omaduste poole pöördudes saab nimetajas oleva avaldise asendada juurega . Selle tulemusel teisendatakse algne murd vormiks .

Teiseks saate muuta murru ees olevat märki, muutes lugeja või nimetaja märki. Näiteks toimuvad järgmised irratsionaalse avaldise teisendused: .

Kolmandaks, mõnikord on võimalik ja soovitav murdosa vähendada. Näiteks kuidas keelata endale murdosa vähendamise naudingut irratsionaalsele väljendile, mille tulemusena saame .

Selge on see, et paljudel juhtudel tuleb enne murdu vähendamist arvestada selle lugejas ja nimetajas olevad avaldised, mida lihtsatel juhtudel on võimalik saavutada lühendatud korrutusvalemitega. Ja mõnikord aitab see murdu vähendada muutuja asendamisega, mis võimaldab liikuda algsest irratsionaalsusega murdosast ratsionaalsele murdarvule, millega on mugavam ja tuttavam töötada.

Võtame näiteks väljendi . Tutvustame uusi muutujaid ja nendes muutujates on algse avaldise kuju . Lugejas esinenud

Irratsionaalsed väljendid ja nende teisendused

Eelmisel korral me mäletasime (või õppisime, olenevalt kellest), mis see on , õppis selliseid juuri välja tõmbama, sai tükkhaaval juurte põhiomadused selgeks ja otsustas, et mitte keerulised näited juurtega.

See õppetund on jätk eelmisele ja see on pühendatud suure hulga igasuguseid juuri sisaldavate väljendite teisendustele. Selliseid väljendeid nimetatakse irratsionaalne. Siin ilmuvad tähtedega väljendid, lisatingimused, irratsionaalsusest vabanemine murdosades ja mõned täiustatud tehnikad juurtega töötamiseks. Tehnikad, mida arutatakse artiklis see õppetund, on lahendamiseks heaks aluseks Ühtse riigieksami probleemid(ja mitte ainult) peaaegu igasuguse keerukusega. Nii et alustame.

Kõigepealt dubleerin siin juurte põhivalemid ja omadused. Et mitte teemalt teemale hüpata. Siin nad on:

juures

Peate teadma neid valemeid ja oskama neid rakendada. Ja mõlemas suunas – nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. Neil põhineb enamiku mis tahes keerukusastmega ülesannete lahendus. Alustame praegu kõige lihtsamast – valemite või nende kombinatsioonide otsesest rakendamisest.

Valemite lihtne rakendamine

Selles osas vaadeldakse lihtsaid ja kahjutuid näiteid – ilma tähtede, lisatingimuste ja muude nippideta. Kuid isegi neis on reeglina valikuid. Ja mida keerukam näide, seda rohkem selliseid võimalusi on. Ja kogenematul õpilasel on peamine probleem- kust alustada? Vastus siin on lihtne - Kui te ei tea, mida vajate, tehke seda, mida saate. Kuni teie tegevused on rahus ja kooskõlas matemaatikareeglitega ega ole nendega vastuolus.) Näiteks see ülesanne:

Arvutama:

Isegi nii lihtsa näite puhul on vastuseni mitu võimalikku teed.

Esimene on lihtsalt korrutada juured esimese omadusega ja eraldada tulemusest juur:

Teine võimalus on järgmine: me ei puuduta seda, me töötame koos . Võtame kordaja juurmärgi alt välja ja seejärel - vastavalt esimesele omadusele. Nagu nii:

Saate otsustada nii palju kui soovite. Mis tahes variandi puhul on vastus üks - kaheksa. Näiteks on mul lihtsam korrutada 4 ja 128 ning saada 512 ning sellest numbrist saab hõlpsasti eraldada kuupjuure. Kui keegi ei mäleta, et 512 on 8 kuupi, siis pole vahet: 512 võib kirjutada 2 9 (kahe esimesed 10 astet, ma loodan, et mäletate?) ja kasutades astme juure valemit. :

Veel üks näide.

Arvutama: .

Kui teha tööd esimese omaduse järgi (pannes kõik ühe juure alla), siis saad kopsaka numbri, millest saab siis juuri välja võtta - samuti mitte suhkrut. Ja see pole tõsiasi, et see ekstraheeritakse täpselt.) Seetõttu on siin kasulik eemaldada tegurid arvu juure alt. Ja kasutage kõige paremini:

Ja nüüd on kõik korras:

Jääb vaid kaheksa ja kaks ühe juure alla kirjutada (vastavalt esimesele omadusele) ja töö ongi tehtud. :)

Nüüd lisame mõned murrud.

Arvutama:

Näide on üsna primitiivne, kuid sellel on ka valikuvõimalusi. Lugeja teisendamiseks ja nimetajaga vähendamiseks saate kasutada kordajat:

Või võite kohe kasutada juurte jagamise valemit:

Nagu näeme, nii ja naa – kõik on õige.) Kui poolel teel ei komista ja viga ei tee. Kuigi kus ma saan siin valesti minna...

Vaatame nüüd kõige rohkem viimane näide alates kodutöö viimane õppetund:

Lihtsustama:

Täiesti kujuteldamatu juurte kogum ja isegi pesastatud. Mida ma peaksin tegema? Peaasi, et ei karda! Siin märkame kõigepealt juurte all numbreid 2, 4 ja 32 - kahe astmeid. Esimene asi, mida teha, on vähendada kõik arvud kaheks: lõppude lõpuks, mida rohkem on näites identseid arve ja mida vähem erinevaid, seda lihtsam.) Alustame eraldi esimesest tegurist:

Arvu saab lihtsustada, vähendades juure all olevaid kahte neljaga juureksponentis:

Nüüd, vastavalt töö juurtele:

.

Numbrist võtame juurmärgina välja kaks:

Ja me käsitleme väljendit juurvalemi juure abil:

Niisiis, esimene tegur kirjutatakse järgmiselt:

Pesastunud juured on kadunud, arvud on väiksemaks jäänud, mis juba rõõmustab. Lihtsalt juured on erinevad, kuid jätame selle praegu nii. Vajadusel muudame need samadeks. Võtame teise teguri.)

Teise teguri teisendame sarnaselt, kasutades korrutise juure ja juure juure valemit. Vajadusel vähendame näitajaid viienda valemi abil:

Kleepime kõik algsesse näitesse ja saame:

Saime terve hulga täiesti erinevate juurikate produkti. Oleks tore viia need kõik ühe näitaja juurde ja siis näeme. Noh, see on täiesti võimalik. Suurim juureksponent on 12 ja kõik teised - 2, 3, 4, 6 - on arvu 12 jagajad. Seetõttu taandame kõik juured vastavalt viiendale omadusele üheks eksponendiks - 12:

Arvestame ja saame:

Me ei saanud ilusat numbrit, kuid see on okei. Meilt küsiti lihtsustama väljendus, mitte loendama. Lihtsustatud? Kindlasti! Ja vastuse tüüp (täisarv või mitte) ei mängi siin enam mingit rolli.

Mõned liitmise/lahutamise ja lühendatud korrutamisvalemid

Kahjuks üldised valemid juurte liitmine ja lahutamine matemaatikas ei. Kuid ülesannetes leidub sageli neid juurtega toiminguid. Siin on vaja aru saada, et suvalised juured on täpselt samasugused matemaatilised sümbolid nagu tähed algebras.) Ja juurtele kehtivad samad võtted ja reeglid, mis tähtede puhul - sulgude avamine, sarnaste toomine, lühendatud korrutusvalemid jne. P.

Näiteks on kõigile selge, et . Sarnased sama Juured saab omavahel üsna lihtsalt liita/lahutada:

Kui juured on erinevad, siis otsime moodust, kuidas need ühesuguseks teha - liites/lahutades kordaja või kasutades viiendat omadust. Kui seda kuidagi ei lihtsustata, siis võib-olla on muudatused kavalamad.

Vaatame esimest näidet.

Leia väljendi tähendus: .

Kõik kolm juurt, kuigi kuupmeetrilised, on pärit erinev numbrid. Neid ei ekstraheerita puhtalt ja need liidetakse/lahutatakse üksteisest. Seetõttu üldvalemite kasutamine siin ei tööta. Mida ma peaksin tegema? Toome välja iga juure tegurid. Igal juhul pole see halvem.) Pealegi pole tegelikult muid võimalusi:

See on, .

See on lahendus. Siin liikusime abiga erinevatelt juurtelt samadele kordaja eemaldamine juure alt. Ja siis nad lihtsalt tõid sarnased.) Otsustame edasi.

Leidke avaldise väärtus:

Seitsmeteistkümne juurega ei saa kindlasti midagi teha. Töötame esimese omaduse järgi - kahe juure korrutisest teeme ühe juure:

Vaatame nüüd lähemalt. Mis on meie suure kuupjuure all? Erinevus on qua... No muidugi! Ruudude erinevus:

Nüüd jääb üle ainult juur eraldada: .

Arvutama:

Siin peate üles näitama matemaatilist leidlikkust.) Me mõtleme ligikaudu järgmisel viisil: “Nii et näites juurte korrutis. Ühe juure all on vahe ja teise all on summa. Väga sarnane ruutude erinevuse valemiga. Aga... Juured on erinevad! Esimene on kandiline, teine ​​aga neljanda astme... Tore oleks need ühesuguseks teha. Viienda omaduse järgi saab lihtsalt ruutjuur tee neljas juur. Selleks piisab radikaalse väljendi ruudu kandmisest.

Kui mõtlesite sama, siis olete poolel teel edu poole. Täiesti õigus! Muudame esimese teguri neljandaks juureks. Nagu nii:

Nüüd pole midagi teha, kuid peate meeles pidama erinevuse ruudu valemit. Ainult juurtele kandmisel. Mis siis? Miks on juured kehvemad kui teised arvud või avaldised?! Ehitame:

"Hmm, nad püstitasid selle, mis siis saab? Mädarõigas ei ole redisest magusam. Lõpeta! Ja kui juure all olevad neli välja võtta? Siis tekib sama väljend, mis teise juure all, ainult miinusega, ja just seda me üritamegi saavutada!

Õige! Võtame neli:

.

Ja nüüd - tehnoloogia küsimus:

Nii harutatakse lahti keerulised näited.) Nüüd on aeg harjutada murdudega.

Arvutama:

On selge, et lugeja tuleb teisendada. Kuidas? Kasutades muidugi summa ruudu valemit. Kas meil on muid võimalusi? :) Teeme ruudu, võtame tegurid välja, vähendame näitajaid (vajadusel):

Vau! Saime täpselt oma murru nimetaja.) See tähendab, et kogu murd on ilmselgelt võrdne ühega:

Veel üks näide. Alles nüüd teisel lühendatud korrutamise valemil.)

Arvutama:

On selge, et praktikas tuleb kasutada erinevuse ruutu. Nimetaja kirjutame eraldi välja ja - lähme!

Me võtame juurte alt välja tegurid:

Seega

Nüüd on kõike halba suurepäraselt vähendatud ja selgub:

Noh, viime selle järgmisele tasemele. :)

Kirjad ja lisatingimused

Sõnasõnalised väljendid juurtega on keerulisem asi kui numbrilised avaldised, ning on ammendamatu tüütute ja väga tõsiste vigade allikas. Sulgeme selle allika.) Vead tekivad seetõttu, et sellised ülesanded sisaldavad sageli negatiivseid arve ja avaldisi. Need antakse meile otse ülesandes või peidetakse sisse kirjad ja lisatingimused. Ja juurtega töötades peame seda pidevalt juurtes meeles pidama ühtlane aste nii juure enda all kui ka juure väljatõmbamise tulemusena peaks olema mittenegatiivne väljend. Selle lõigu ülesannete põhivalem on neljas valem:

Pole küsimusi, mille juured on paaritu – alati saadakse kõik välja, nii positiivne kui ka negatiivne. Ja miinus, kui üldse, tuuakse ette. Läheme otse juurte juurde isegi kraadi.) Näiteks selline lühike ülesanne.

Lihtsustama: , Kui .

Näib, et kõik on lihtne. Sellest saab lihtsalt X.) Aga miks siis lisatingimus? Sellistel juhtudel on kasulik hinnata arvude abil. Puhtalt enda pärast.) Kui, siis x on ilmselgelt negatiivne arv. Miinus kolm näiteks. Või miinus nelikümmend. Laske . Kas saate miinus kolm tõsta neljanda astmeni? Kindlasti! Tulemuseks on 81. Kas 81-st on võimalik eraldada neljas juur? Miks mitte? Saab! Sa saad kolm. Nüüd analüüsime kogu oma ahelat:

Mida me näeme? Sisend oli negatiivne arv ja väljund oli juba positiivne. See oli miinus kolm, nüüd on pluss kolm.) Lähme tagasi tähtede juurde. Kahtlemata on modulo täpselt X, kuid ainult X ise on miinus (tingimuse järgi!) ja ekstraheerimise tulemus (aritmeetilise juure tõttu!) peab olema pluss. Kuidas saada pluss? Väga lihtne! Selleks pange ilmselgelt negatiivse arvu ette miinus.) Ja õige lahendus näeb välja selline:

Muide, kui kasutaksime valemit, siis mooduli definitsiooni meelde jättes saaksime kohe õige vastuse. Kuna

|x| = -x punktis x<0.

Võtke juurmärgist välja tegur: , Kus .

Esmapilgul on radikaalne väljend. Siin on kõik korras. Igal juhul pole see negatiivne. Alustame väljavõtmist. Kasutades toote juure valemit, eraldame iga teguri juure:

Ma arvan, et pole vaja selgitada, kust moodulid pärinevad.) Nüüd analüüsime iga moodulit.

kordaja | a | jätame selle muutmata: meil pole kirja jaoks mingeid tingimusia. Me ei tea, kas see on positiivne või negatiivne. Järgmine moodul |b 2 | võib julgelt ära jätta: igal juhul väljendb 2 mittenegatiivne. Aga umbes |c 3 | - siin on juba probleem.) Kui, siis c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть miinusega: | c 3 | = - c 3 . Kokkuvõttes oleks õige lahendus:

Ja nüüd - vastupidine probleem. Pole just kõige lihtsam, hoiatan kohe!

Sisesta juuremärgi alla kordaja: .

Kui kirjutate lahenduse kohe niimoodi kirja

siis sina sattus lõksu. See vale otsus! Mis viga?

Vaatame juure all olevat väljendit lähemalt. Neljanda astme juure all, nagu me teame, peaks olema mittenegatiivne väljendus. Vastasel juhul pole juurel mingit tähendust.) Seetõttu Ja see omakorda tähendab, et ja seetõttu on ka ise mittepositiivne: .

Ja siin on viga selles, et me tutvustame juurtes mittepositiivne number: neljas aste muudab selle mittenegatiivne ja saadakse vale tulemus - vasakul on tahtlik miinus ja paremal on juba pluss. Ja rakendage juure isegi kraadi on meil ainult õigus mittenegatiivne numbrid või avaldised. Ja miinus, kui see on, jätke juure ette.) Kuidas tuvastada arvus mittenegatiivne tegur, teades, et see ise on täiesti negatiivne? Jah, täpselt sama! Pange miinus.) Ja et midagi ei muutuks, kompenseerige see teise miinusega. Nagu nii:

Ja nüüd juba mittenegatiivne Sisestame rahulikult juure alla numbri (-b) vastavalt kõigile reeglitele:

See näide näitab selgelt, et erinevalt teistest matemaatikaharudest ei tule juurtes alati valedest automaatselt õige vastus. Peate mõtlema ja tegema isiklikult õige otsuse.) Eriti ettevaatlik peaksite olema sisselogimistega irratsionaalsed võrrandid ja võrratused.

Vaatame juurtega töötamisel järgmist olulist tehnikat - irratsionaalsusest vabanemine.

Irratsionaalsuse kõrvaldamine murdosades

Kui avaldis sisaldab juuri, siis lubage mul teile meelde tuletada, et sellist väljendit nimetatakse väljendus irratsionaalsusega. Mõnel juhul võib olla kasulik just sellest irratsionaalsusest (st juurtest) vabaneda. Kuidas juurt eemaldada? Meie juur kaob, kui... tõstetakse võimule. Näitajaga, mis on võrdne juurindikaatoriga või selle kordsega. Kuid kui tõstame juure astmeni (st korrutame juure endaga vajaliku arvu kordi), siis avaldis muutub. Pole hea.) Matemaatikas on aga teemasid, kus korrutamine käib üsna valutult. Näiteks murdosades. Murru põhiomaduse järgi, kui lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga, siis murdu väärtus ei muutu.

Oletame, et meile antakse see murd:

Kas nimetaja juurest on võimalik lahti saada? Saab! Selleks tuleb juur lõigata kuubikuteks. Mis meil täiskuubiku nimetajast puudu on? Meil on puudu kordaja, st.. Seega korrutame murdosa lugeja ja nimetaja arvuga

Nimetaja juur on kadunud. Aga... ta ilmus lugejasse. Midagi ei saa teha, selline on saatus.) See pole meile enam oluline: meil paluti nimetaja juurtest vabastada. Vabastatud? Kahtlemata.)

Muide, need, kes on trigonomeetriaga juba kursis, võisid tähelepanu pöörata sellele, et näiteks mõnes õpikus ja tabelis tähistatakse erinevalt: kuskil , ja kuskil . Küsimus on – mis on õige? Vastus: kõik on õige!) Kui arvate, et– see on lihtsalt murdosa nimetaja irratsionaalsusest vabanemise tulemus. :)

Miks peaksime vabanema irratsionaalsusest murdosades? Mis vahet sellel on - juur on lugejas või nimetajas? Kalkulaator arvutab niikuinii kõik välja.) Nojah, neil, kes kalkulaatoriga ei jaga, pole tegelikult vahet... Aga isegi kalkulaatorile lootes võib tähelepanu pöörata sellele, et jagama peal terve number on alati mugavam ja kiirem kui sees irratsionaalne. Ja veeruks jagamisest ma vaikin.)

Järgmine näide ainult kinnitab mu sõnu.

Kuidas saame siin nimetaja ruutjuure kõrvaldada? Kui lugeja ja nimetaja korrutada avaldisega, on nimetajaks summa ruut. Esimese ja teise arvu ruutude summa annab meile lihtsalt arvud ilma juurteta, mis on väga meeldiv. Siiski... see hüppab üles kahekordne toode esimesest numbrist teise, kuhu jääb ikkagi juur kolmest. See ei kanalda. Mida ma peaksin tegema? Pidage meeles veel üht imelist lühendatud korrutamise valemit! Kui pole topelttooteid, vaid ainult ruudud:

Avaldis, mis korrutades teatud summaga (või vahega) annab ruutude erinevus, nimetatud ka konjugeeritud väljend. Meie näites on erinevuseks konjugaadi avaldis. Seega korrutame lugeja ja nimetaja selle erinevusega:

Mis ma ikka öelda saan? Meie manipulatsioonide tulemusena ei kadunud mitte ainult nimetaja juur, vaid murdosa kadus üldse! :) Isegi kalkulaatoriga on kolme juure lahutamine kolmest lihtsam kui murdarvu arvutamine, mille nimetajas on juur. Veel üks näide.

Vabastage end irratsionaalsusest murdosa nimetajas:

Kuidas sellest välja tulla? Ruududega lühendatud korrutamise valemid ei tööta kohe - juuri pole võimalik täielikult kõrvaldada, kuna seekord pole meie juur ruut, vaid kuupmeetrit. On vaja, et juur oleks kuidagi kuubikuks tõstetud. Seetõttu tuleb kasutada ühte kuubikutega valemit. Milline? Mõtleme selle üle. Nimetaja on summa. Kuidas me saavutame juure kuubi? Korrutage arvuga osaline ruudu erinevus! Niisiis, me rakendame valemit kuubikute summa. See:

Nagu a meil on kolm ja kvaliteedina b– kuupjuur viiest:

Ja jälle kadus murd.) Selliseid olukordi, kus murdu nimetaja irratsionaalsusest vabanedes kaob koos juurtega täielikult ka murd ise, tuleb ette väga sageli. Kuidas teile see näide meeldib!

Arvutama:

Lihtsalt proovige need kolm murdosa lisada! Pole vigu! :) Üks ühine nimetaja on seda väärt. Mis oleks, kui prooviksime vabaneda iga murdosa nimetaja irratsionaalsusest? Noh, proovime:

Vau, kui huvitav! Kõik fraktsioonid on kadunud! Täiesti. Ja nüüd saab näidet lahendada kahel viisil:

Lihtne ja elegantne. Ja seda ilma pikkade ja tüütute arvutusteta. :)

Seetõttu tuleb irratsionaalsusest vabanemise operatsiooni osata teha murdosades. Selliste keeruliste näidete puhul on see ainus, mis päästab, jah.) Muidugi ei tühistanud keegi tähelepanelikkust. On ülesandeid, milles palutakse irratsionaalsusest lahti saada lugeja. Need ülesanded ei erine vaadeldavatest, ainult lugeja eemaldatakse juurtest.)

Keerulisemad näited

Jääb üle kaaluda mõningaid juurtega töötamise eritehnikaid ja harjutada mitte kõige lihtsamate näidete lahtiharutamist. Ja siis piisab saadud teabest mis tahes keerukusega juurtega ülesannete lahendamiseks. Nii et - jätkake.) Esiteks mõtleme välja, mida teha pesastatud juurtega, kui juur valemist ei tööta. Näiteks siin on näide.

Arvutama:

Juur on juure all... Veelgi enam, juurte all on summa ehk vahe. Seetõttu on juure juure valem (koos eksponentide korrutisega) siin See ei tööta. Seega tuleb midagi ette võtta radikaalsed väljendid: Meil ​​lihtsalt pole muid võimalusi. Sellistes näidetes krüpteeritakse enamasti suur juur täiuslik ruut mingi summa. Või erinevused. Ja väljaku juur on juba suurepäraselt välja võetud! Ja nüüd on meie ülesanne see lahti krüpteerida.) Selline dekrüpteerimine on ilusti läbi tehtud võrrandisüsteem. Nüüd näete kõike ise.)

Niisiis, esimese juure all on meil järgmine väljend:

Mis siis, kui sa ei arvanud õigesti? Kontrollime! Teeme selle ruuduga, kasutades summa ruudu valemit:

See on õige.) Aga... Kust ma selle väljendi võtsin? Taevast?

Ei.) Me saame selle ausalt veidi madalamale. Lihtsalt seda väljendit kasutades näitan täpselt, kuidas ülesannete kirjutajad selliseid ruute krüpteerivad. :) Mis on 54? See esimese ja teise arvu ruutude summa. Ja pange tähele, juba ilma juurteta! Ja juur jääb sisse kahekordne toode, mis meie puhul on võrdne . Seetõttu algab selliste näidete lahtiharutamine topelttoote otsimisest. Kui harutada hariliku valikuga. Ja muide märkide kohta. Siin on kõik lihtne. Kui kahekordse ees on pluss, siis summa ruut. Kui see on miinus, siis erinevused.) Meil ​​on pluss - see tähendab summa ruut.) Ja nüüd - lubatud dekodeerimise analüütiline meetod. Süsteemi kaudu.)

Niisiis, meie juure all on selgelt välja riputatud väljend (a+b) 2, ja meie ülesanne on leida a Ja b. Meie puhul annab ruutude summa 54. Seega kirjutame:

Nüüd kahekordistage toodet. Meil on see. Nii et me kirjutame selle üles:

Meil on selline süsteem:

Lahendame tavalise asendusmeetodiga. Avaldame näiteks teisest võrrandist ja asendame selle esimesega:

Lahendame esimese võrrandi:

Sain bikvadraatne võrrand suhtelinea . Arvutame diskriminandi:

Tähendab,

Saime koguni neli võimalikku väärtusta. Me ei karda. Nüüd rookime kõik mittevajalikud asjad välja.) Kui arvutame nüüd igale neljale leitud väärtusele vastavad väärtused, saame oma süsteemile neli lahendust. Siin nad on:

Ja siin on küsimus – milline lahendus on meile õige? Mõtleme selle üle. Negatiivsetest lahendustest võib kohe loobuda: ruudustamisel "põlevad" miinused läbi ja kogu radikaalne avaldis tervikuna ei muutu.) Jäävad alles kaks esimest varianti. Neid saab valida täiesti suvaliselt: terminite ümberpaigutamine ikkagi summat ei muuda.) Olgu näiteks , a .

Kokku saime juure alla järgmise summa ruudu:

Kõik on selge.)

Pole asjata, et ma kirjeldan otsustamisprotsessi nii üksikasjalikult. Et oleks selge, kuidas dekrüpteerimine toimub.) Kuid on üks probleem. Analüütiline dekodeerimismeetod, kuigi usaldusväärne, on väga pikk ja tülikas: tuleb lahendada bikvadraatvõrrand, saada süsteemi neli lahendit ja siis ikkagi mõelda, milliseid neist valida... Häirib? Olen nõus, see on tülikas. See meetod töötab enamiku näidete puhul veatult. Kuid väga sageli saate säästa oma tööd ja leida loominguliselt mõlemad numbrid. Valiku järgi.) Jah, jah! Nüüd näitan teise liikme (teise juure) näitel lihtsamat ja kiiremat viisi, kuidas isoleerida kogu ruut juure all.

Nüüd on meil see juur: .

Mõelgem nii: "Juure all on suure tõenäosusega krüpteeritud terviklik ruut. Kui enne duublit on miinus, tähendab see vahe ruutu. Esimese ja teise arvu ruutude summa annab meile arvu 54. Aga mis ruudud need on? 1 ja 53? 49 ja 5 ? Valikuid on liiga palju... Ei, parem on alustada lahtiharutamist topelttootest. Meiesaab kirjutada kui. Kui toode kahekordistunud, siis jätame need kaks kohe kõrvale. Siis kandidaadid sellele rollile a ja b jäävad 7 ja . Mis siis, kui on 14 ja/2 ? See on võimalik. Aga me alustame alati millestki lihtsast!” Niisiis, las , a. Kontrollime nende ruutude summat:

Juhtus! See tähendab, et meie radikaalne avaldis on tegelikult erinevuse ruut:

Siin on lihtne viis süsteemiga jamamise vältimiseks. See ei tööta alati, kuid paljudes näidetes on see täiesti piisav. Niisiis, juurte all on täielikud ruudud. Jääb vaid juured õigesti eraldada ja näide arvutada:

Vaatame nüüd veelgi ebastandardsemat juurte ülesannet.)

Tõesta, et arv A– täisarv, kui .

Otseselt ei ekstraheerita midagi, juured on sisse ehitatud ja isegi erineval määral... Õudusunenägu! Ülesanne on aga mõttekas.) Seetõttu on selle lahendamise võti olemas.) Ja võti on siin see. Mõelge meie võrdsusele

Kuidas võrrand suhteline A. Jah Jah! Tore oleks juurtest lahti saada. Meie juured on kuupmeetrilised, seega kuubime võrrandi mõlemad pooled. Vastavalt valemile summa kuup:

Kuubikud ja kuupjuured tühistavad teineteist ning iga suure juure all võtame ruudust ühe sulg ja ahendame vahe ja summa korrutise ruutude erinevuseks:

Eraldi arvutame juurte all olevate ruutude erinevuse: