Trigonomeetriliste valemite tuletamine. Põhilised trigonomeetrilised identiteedid
Jätkame vestlust trigonomeetrias enimkasutatavate valemite üle. Neist olulisemad on liitmisvalemid.
Definitsioon 1
Liitmisvalemid võimaldavad teil väljendada kahe nurga erinevuse või summa funktsioone trigonomeetrilised funktsioonid need nurgad.
Alustuseks anname täielik nimekiri liitmisvalemid, siis tõestame neid ja analüüsime mitmeid illustreerivaid näiteid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Põhilised liitvalemid trigonomeetrias
Põhivalemeid on kaheksa: kahe nurga summa ja erinevuse siinus, summa ja vahe koosinused, summa ja erinevuse puutujad ja kootangendid. Allpool on toodud nende standardsed koostised ja arvutused.
1. Võib saada kahe nurga summa siinuse järgmisel viisil:
Arvutame esimese nurga siinuse ja teise koosinuse korrutise;
Korrutage esimese nurga koosinus esimese nurga siinusega;
Lisage saadud väärtused.
Valemi graafiline kirjutamine näeb välja selline: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Vahe siinus arvutatakse peaaegu samamoodi, ainult saadud korruseid ei tule liita, vaid üksteisest lahutada. Seega arvutame esimese nurga siinuse korrutised teise ja esimese nurga koosinuse korrutised teise siinuse järgi ning leiame nende erinevuse. Valem on kirjutatud nii: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Summa koosinus. Selle jaoks leiame esimese nurga koosinuse korrutised vastavalt teise ja esimese nurga siinuse korrutised teise nurga koosinuse järgi ning leiame nende erinevuse: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Erinevuse koosinus: arvuta nende nurkade siinuste ja koosinuste korrutised, nagu varemgi, ja liida need kokku. Valem: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Summa puutuja. See valem on väljendatud murdarvuna, mille lugejaks on vajalike nurkade puutujate summa ja nimetajaks on ühik, millest lahutatakse soovitud nurkade puutujate korrutis. Kõik on selge selle graafilisest tähistusest: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Erinevuse puutuja. Arvutame nende nurkade puutujate erinevuse ja korrutise väärtused ning jätkame nendega sarnaselt. Nimetajas liidame ühele, mitte vastupidi: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Summa kotangens. Selle valemi abil arvutamiseks vajame nende nurkade korrutist ja kotangentide summat, mida toimime järgmiselt: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Vahe kotangents . Valem on sarnane eelmisele, kuid lugeja ja nimetaja on miinus, mitte pluss c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Tõenäoliselt märkasite, et need valemid on paarides sarnased. Kasutades märke ± (pluss-miinus) ja ∓ (miinus-pluss), saame need salvestamise hõlbustamiseks rühmitada:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± 1 t g β t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Sellest lähtuvalt on meil iga väärtuse summa ja erinevuse jaoks üks salvestusvalem, lihtsalt ühel juhul pöörame tähelepanu ülemisele, teisel juhul alumisele märgile.
2. definitsioon
Võime võtta mis tahes nurgad α ja β ning nende jaoks sobivad koosinuse ja siinuse liitmisvalemid. Kui suudame nende nurkade puutujate ja kotangentide väärtused õigesti määrata, kehtivad nende jaoks ka puutuja ja kotangensi liitmisvalemid.
Nagu enamik algebra mõisteid, saab liitmisvalemeid tõestada. Esimene valem, mida me tõestame, on erinevuse koosinusvalem. Ülejäänud tõendid saab sellest kergesti järeldada.
Teeme põhimõisted selgeks. Meil on vaja üksuse ringi. See toimib, kui võtame teatud punkti A ja pöörame nurgad α ja β ümber keskpunkti (punkt O). Siis on vektorite O A 1 → ja O A → 2 vaheline nurk võrdne (α - β) + 2 π · z või 2 π - (α - β) + 2 π · z (z on mis tahes täisarv). Saadud vektorid moodustavad nurga, mis on võrdne α - β või 2 π - (α - β), või see võib nendest väärtustest erineda täisarvu täispöörete võrra. Vaata pilti:
Kasutasime redutseerimisvalemeid ja saime järgmised tulemused:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Tulemus: vektorite O A 1 → ja O A 2 → vahelise nurga koosinus võrdub nurga α - β koosinusega, seega cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Tuletagem meelde siinuse ja koosinuse definitsioone: siinus on nurga funktsioon, mis võrdub vastasnurga haru suhtega hüpotenuusiga, koosinus on komplementaarse nurga siinus. Seetõttu punktid A 1 Ja A 2 neil on koordinaadid (cos α, sin α) ja (cos β, sin β).
Saame järgmise:
O A 1 → = (cos α, sin α) ja O A 2 → = (cos β, sin β)
Kui see pole selge, vaadake vektorite alguses ja lõpus asuvate punktide koordinaate.
Vektorite pikkused on võrdsed 1-ga, sest Meil on üksusring.
Analüüsime nüüd vektorite O A 1 → ja O A 2 → skalaarkorrutist. Koordinaatides näeb see välja järgmine:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Sellest saame tuletada võrdsuse:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Seega on erinevus koosinusvalem tõestatud.
Nüüd tõestame järgmist valemit - summa koosinus. See on lihtsam, kuna saame kasutada eelmisi arvutusi. Võtame esituse α + β = α - (- β) . Meil on:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
See on koosinussumma valemi tõestus. Viimane rida kasutab siinuse ja koosinuse omadust vastasnurgad.
Summa siinuse valemi saab tuletada erinevuse koosinuse valemist. Võtame selle vähendamise valemi:
kujul sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Niisiis
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Ja siin on siinuse erinevuse valemi tõestus:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Pange tähele vastasnurkade siinus- ja koosinusomaduste kasutamist viimases arvutuses.
Järgmiseks vajame tangensi ja kotangensi liitmisvalemite tõestusi. Pidagem meeles põhimääratlusi (tangens on siinuse ja koosinuse suhe ja kotangent vastupidi) ja võtame juba eelnevalt tuletatud valemid. Tegime selle:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Meil on keeruline murd. Järgmiseks peame jagama selle lugeja ja nimetaja cos α · cos β-ga, arvestades, et cos α ≠ 0 ja cos β ≠ 0, saame:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Nüüd vähendame murde ja saame järgmise valemi: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Saime t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. See on puutuja liitmise valemi tõestus.
Järgmine valem, mida me tõestame, on erinevuse valemi puutuja. Kõik on arvutustes selgelt näidatud:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Kootangensi valemid tõestatakse sarnasel viisil:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Edasi:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t g α
Selles artiklis räägime sellest universaalne trigonomeetriline asendus. See hõlmab mis tahes nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väljendamist poolnurga puutuja kaudu. Veelgi enam, selline asendamine toimub ratsionaalselt, st ilma juurteta.
Kõigepealt kirjutame üles valemid, mis väljendavad siinust, koosinust, puutujat ja kotangensi poolnurga puutuja kaudu. Järgmisena näitame nende valemite tuletamist. Kokkuvõtteks vaatame mõnda näidet universaalse trigonomeetrilise asendamise kasutamisest.
Leheküljel navigeerimine.
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens läbi poolnurga puutuja
Kõigepealt kirjutame üles neli valemit, mis väljendavad nurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangensi läbi poolnurga puutuja.
Näidatud valemid kehtivad kõigi nurkade puhul, mille juures on määratletud nendes sisalduvad puutujad ja kotangensid:
Valemite tuletamine
Analüüsime nurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangensi väljendavate valemite tuletamist poolnurga puutuja kaudu. Alustame siinuse ja koosinuse valemitega.
Esitame siinuse ja koosinuse kasutades topeltnurga valemeid as 
Ja 
vastavalt. Nüüd väljendid 
Ja 
kirjutame selle murdudena, mille nimetaja on 1 as 
Ja 
. Järgmisena asendame põhilise trigonomeetrilise identiteedi alusel nimetajas olevad ühikud siinuse ja koosinuse ruutude summaga, mille järel saame 
Ja 
. Lõpuks jagame saadud murdude lugeja ja nimetaja arvuga (selle väärtus erineb nullist 
). Selle tulemusena näeb kogu toimingute ahel välja järgmine: 
Ja 
See lõpetab siinust ja koosinust väljendavate valemite tuletamise poolnurga puutuja kaudu.
Jääb üle tuletada puutuja ja kotangensi valemid. Nüüd, võttes arvesse ülaltoodud valemeid, on mõlemad valemid ja 
, saame kohe valemid, mis väljendavad puutujat ja kotangensi poolnurga puutuja kaudu: 
Niisiis, oleme tuletanud kõik universaalse trigonomeetrilise asendamise valemid.
Universaalse trigonomeetrilise asendamise kasutamise näited
Kõigepealt vaatame näidet universaalse trigonomeetrilise asendamise kasutamisest avaldiste teisendamisel.
Näide.
Andke väljend 
avaldisele, mis sisaldab ainult ühte trigonomeetrilist funktsiooni.
Lahendus.
Vastus:
.
Bibliograafia.
- Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Haridus, 1990.- 272 lk.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Ma ei püüa sind veenda, et sa petulehti ei kirjutaks. Kirjutage! Sealhulgas petulehed trigonomeetria kohta. Hiljem plaanin selgitada, miks petulehti vaja on ja miks petulehed kasulikud on. Ja siin on teave selle kohta, kuidas mitte õppida, vaid mõnda trigonomeetrilist valemit meeles pidada. Seega - trigonomeetria ilma petuleheta!Meeldejätmiseks kasutame assotsiatsioone.
1. Lisamisvalemid:
Koosinused “tulevad alati paarikaupa”: koosinus-koosinus, siinus-siinus.
Ja veel üks asi: koosinused on "ebapiisavad". “Kõik pole õige” nende jaoks, mistõttu nad muudavad märgid: “-” märgiks “+” ja vastupidi.
Siinused - "segu": siinus-koosinus, koosinus-siinus.
2. Summa ja vahe valemid:
koosinused “tulevad alati paarikaupa”. Lisades kaks koosinust - “koloboks”, saame koosinuste paari - “koloboks”. Ja lahutades ei saa me kindlasti ühtegi koloboksi. Saame paar siinust. Ka miinusega ees.
Siinused - "segu" :
3. Valemid korrutise teisendamiseks summaks ja vaheks.
Millal saame koosinuspaari? Kui lisame koosinused. Sellepärast
Millal saame paar siinust? Koosinuste lahutamisel. Siit:
“Segamine” saadakse nii siinuste liitmisel kui ka lahutamisel. Mis on lõbusam: liitmine või lahutamine? See on õige, voldi. Ja valemi jaoks lisavad nad:
Esimeses ja kolmandas valemis on summa sulgudes. Tingimuste kohtade ümberpaigutamine ei muuda summat. Järjekord on oluline ainult teise valemi puhul. Kuid selleks, et mitte segadusse sattuda, võtame meeldejätmise hõlbustamiseks kõigis kolmes esimestes sulgudes olevas valemis erinevuse
ja teiseks - summa
Petulehed taskus annavad teile meelerahu: kui valemi unustate, saate selle kopeerida. Ja need annavad teile kindlustunde: kui te ei kasuta petulehte, jätate valemid kergesti meelde.
Käesolevas artiklis vaatleme kõike põhjalikult. Põhiline trigonomeetrilised identiteedid esindavad võrdusi, mis loovad ühenduse ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel ning võimaldavad leida mõnda neist trigonomeetrilistest funktsioonidest tuntud teise kaudu.
Loetleme kohe peamised trigonomeetrilised identiteedid, mida selles artiklis analüüsime. Kirjutame need tabelisse ja allpool anname nende valemite väljundi ja anname vajalikud selgitused.
Leheküljel navigeerimine.
Ühe nurga siinuse ja koosinuse suhe
Mõnikord ei räägita ülaltoodud tabelis loetletud peamistest trigonomeetrilistest identiteetidest, vaid ühest üksikust põhiline trigonomeetriline identiteet lahke 
. Selle fakti seletus on üsna lihtne: võrdsused saadakse põhitrigonomeetrilisest identiteedist pärast selle mõlema osa jagamist vastavalt ja võrdsustega. 
Ja 
tulenevad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Sellest räägime üksikasjalikumalt järgmistes lõikudes.
See tähendab, et erilist huvi pakub võrdsus, millele anti peamise trigonomeetrilise identiteedi nimi.
Enne peamise trigonomeetrilise identiteedi tõestamist anname selle sõnastuse: ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on identselt võrdne ühega. Nüüd tõestame seda.
Põhilist trigonomeetrilist identiteeti kasutatakse väga sageli siis, kui trigonomeetriliste avaldiste teisendamine. See võimaldab ühe nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa asendada ühega. Mitte vähem sageli kasutatakse põhilist trigonomeetrilist identiteeti vastupidises järjekorras: ühik asendatakse mis tahes nurga siinuse ja koosinuse ruutude summaga.
Puutuja ja kotangens siinuse ja koosinuse kaudu
Identiteedid, mis ühendavad puutuja ja kotangensi ühe vaatenurga siinuse ja koosinusega ning 
järgneb koheselt siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Tõepoolest, definitsiooni järgi on siinus y ordinaat, koosinus on x abstsiss, puutuja on ordinaadi ja abstsissi suhe, see tähendab, 
, ja kotangens on abstsisstelje ja ordinaadi suhe, see tähendab, 
.
Tänu sellisele identiteetide ilmselgele ja Tangenti ja kotangenti defineeritakse sageli mitte abstsisside ja ordinaadi suhte, vaid siinuse ja koosinuse suhte kaudu. Seega on nurga puutuja siinuse ja koosinuse suhe selle nurga koosinusesse ja kootangens on koosinuse ja siinuse suhe.
Selle lõigu lõpetuseks tuleb märkida, et identiteedid ja toimuvad kõigi nurkade puhul, mille all nendes sisalduvad trigonomeetrilised funktsioonid on mõistlikud. Nii et valem kehtib mis tahes muu jaoks kui (muidu on nimetaja null ja me ei määratlenud nulliga jagamist) ja valem - kõigi jaoks , erineb , kus z on mis tahes .
Tangensi ja kotangensi vaheline seos
Eelmistest kahest veelgi ilmsem trigonomeetriline identsus on vormi ühe nurga puutuja ja kotangensi ühendav identiteet . On selge, et see kehtib kõigi muude nurkade puhul peale , vastasel juhul ei ole puutuja ega kootangens määratletud.
Valemi tõestus väga lihtne. Määratluse järgi ja kust 
. Tõestust oleks võinud teha veidi teisiti. Alates , See 
.
Niisiis, sama nurga puutuja ja kotangens, mille all neil on mõte, on .
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemid kahe nurga α ja β korral võimaldavad liikuda nende nurkade summalt nurkade α + β 2 ja α - β 2 korrutisele. Pangem kohe tähele, et siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemeid ei tohiks segi ajada summa ja erinevuse siinuste ja koosinuste valemitega. Allpool loetleme need valemid, anname nende tuletised ja näitame konkreetsete probleemide rakendusnäiteid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemid
Paneme kirja, kuidas näevad välja siinuste ja koosinuste summa- ja vahevalemid
Siinuste summa ja vahe valemid
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Koosinuste summa ja vahe valemid
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β · = 2 sin α + β - α 2
Need valemid kehtivad mis tahes nurga α ja β korral. Nurki α + β 2 ja α - β 2 nimetatakse vastavalt nurkade alfa ja beeta poolsummaks ja poolvaheks. Anname iga valemi sõnastuse.
Siinuste ja koosinuste summade ja erinevuste valemite määratlused
Kahe nurga siinuste summa võrdub nende nurkade poolsumma siinuse ja poolvahe koosinuse kahekordse korrutisega.
Kahe nurga siinuste erinevus on võrdne nende nurkade poolvahe siinuse ja poolsumma koosinuse kahekordse korrutisega.
Kahe nurga koosinuste summa on võrdne nende nurkade poolsumma koosinuse ja nende nurkade vahe koosinuse kahekordse korrutisega.
Kahe nurga koosinuste erinevus on võrdne nende nurkade poolsumma siinuse ja nende nurkade vahe koosinuse kahekordse korrutisega negatiivse märgiga.
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse tuletusvalemid
Kahe nurga siinuse ja koosinuse summa ja erinevuse valemite tuletamiseks kasutatakse liitmisvalemeid. Loetleme need allpool
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Kujutagem ette ka nurki endid poolsummade ja poolte erinevuste summana.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Jätkame otse patu ja cos summa ja vahe valemite tuletamisega.
Siinuste summa valemi tuletamine
Summas sin α + sin β asendame α ja β nende nurkade ülaltoodud avaldistega. Saame
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Nüüd rakendame liitmisvalemit esimesele avaldisele ja teisele - nurkade erinevuste siinuse valemit (vt ülaltoodud valemeid)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Avage sulud, lisage sarnased terminid ja hankige vajalik valem
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 = 2 sin α + 2 cos α - β 2
Ülejäänud valemite tuletamise sammud on sarnased.
Siinuste erinevuse valemi tuletamine
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2
Koosinuste summa valemi tuletamine
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 + α + cos α - β 2
Koosinuste erinevuse valemi tuletamine
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Näited praktiliste ülesannete lahendamisest
Esmalt kontrollime ühte valemit, asendades sellega konkreetsed nurga väärtused. Olgu α = π 2, β = π 6. Arvutame nende nurkade siinuste summa väärtuse. Esiteks kasutame trigonomeetriliste funktsioonide põhiväärtuste tabelit ja seejärel siinuste summa valemit.
Näide 1. Kahe nurga siinuste summa valemi kontrollimine
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Vaatleme nüüd juhtumit, kui nurga väärtused erinevad tabelis esitatud põhiväärtustest. Olgu α = 165°, β = 75°. Arvutame nende nurkade siinuste vahe.
Näide 2. Siinuste erinevuse valemi rakendamine
α = 165 °, β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Siinuste ja koosinuste summa ja erinevuse valemeid kasutades saate liikuda summalt või erinevuselt trigonomeetriliste funktsioonide korrutisele. Sageli nimetatakse neid valemeid summalt korrutisele liikumiseks. Lahendamisel kasutatakse laialdaselt siinuste ja koosinuste summa ja vahe valemeid trigonomeetrilised võrrandid ja trigonomeetriliste avaldiste teisendamisel.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
