Samade alustega logaritmide võrdsus. Logaritm

Täna räägime sellest logaritmilised valemid ja anname soovitusliku lahendusnäited.

Nad ise eeldavad lahendusmustreid vastavalt logaritmide põhiomadustele. Enne lahendamiseks logaritmivalemite rakendamist tuletame teile meelde kõiki omadusi:

Nüüd näitame nende valemite (omaduste) põhjal näiteid logaritmide lahendamisest.

Valemite alusel logaritmide lahendamise näited.

Logaritm aluse a positiivne arv b (tähistatakse log a b-ga) on eksponent, milleni a tuleb b saamiseks tõsta, kusjuures b > 0, a > 0 ja 1.

Definitsiooni järgi log a b = x, mis on ekvivalentne a x = b-ga, seega log a a x = x.

Logaritmid, näited:

log 2 8 = 3, sest 2 3 = 8

log 7 49 = 2, sest 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, sest 5-1 = 1/5

Kümnendlogaritm- see on tavaline logaritm, mille baas on 10. Seda tähistatakse kui lg.

log 10 100 = 2, sest 10 2 = 100

Naturaalne logaritm- ka tavaline logaritm, logaritm, kuid alusega e (e = 2,71828... - irratsionaalne arv). Tähistatakse kui ln.

Logaritmide valemid või omadused on soovitav pähe õppida, sest neid läheb meil hiljem logaritmide lahendamisel vaja, logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused. Töötame iga valemi uuesti näidetega läbi.

Põhiline logaritmiline identiteet
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Toote logaritm võrdne summaga logaritmid
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Jagatise logaritm on võrdne logaritmide erinevusega
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Logaritmilise arvu astme ja logaritmi aluse omadused
Logaritmilise arvu eksponent log a b m = mlog a b

Logaritmi aluse eksponent log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

kui m = n, saame log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Üleminek uuele vundamendile
log a b = log c b/log c a,
kui c = b, saame log b b = 1

siis log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Nagu näete, pole logaritmide valemid nii keerulised, kui tundub. Nüüd, olles vaadanud logaritmide lahendamise näiteid, saame liikuda edasi logaritmiliste võrrandite juurde. Logaritmvõrrandite lahendamise näiteid vaatame üksikasjalikumalt artiklis: "". Ära igatse!

Kui teil on lahenduse kohta endiselt küsimusi, kirjutage need artikli kommentaaridesse.

Märkus: otsustasime võimalusena omandada teistsuguse hariduse ja õppida välismaal.

Selle videoga alustan pikka õppetundide seeriat logaritmvõrrandite kohta. Nüüd on teie ees kolm näidet, mille põhjal õpime kõige rohkem lahendama lihtsad ülesanded, mida nimetatakse nii - algloomad.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Lubage mul teile meelde tuletada, et lihtsaim logaritmiline võrrand on järgmine:

log a f (x) = b

Sel juhul on oluline, et muutuja x esineks ainult argumendi sees, st ainult funktsioonis f (x). Ja arvud a ja b on lihtsalt arvud ja mitte mingil juhul ei ole funktsioonid, mis sisaldavad muutujat x.

Põhilised lahendusmeetodid

Selliste struktuuride lahendamiseks on palju võimalusi. Näiteks enamik õpetajaid koolis pakub sellist meetodit: Väljendage kohe funktsioon f (x) valemi abil f ( x ) = a b . See tähendab, et kõige lihtsama konstruktsiooniga kokku puutudes saate kohe lahenduse juurde liikuda ilma lisatoimingute ja konstruktsioonideta.

Jah, loomulikult on otsus õige. Selle valemi probleem seisneb aga selles, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see tuleb ja miks me tõstame tähe a täheks b.

Seetõttu näen sageli väga tüütuid vigu, kui näiteks neid tähti vahetatakse. Sellest valemist tuleb kas aru saada või see on täis ja teine meetod viib vigu kõige ebasobivamatel ja otsustavamatel hetkedel: eksamite, testide jms ajal.

Sellepärast soovitan kõigil oma õpilastel loobuda kooli tavavalemist ja kasutada logaritmvõrrandite lahendamiseks teist lähenemist, mida, nagu nimest arvatavasti arvasite, nimetatakse kanooniline vorm.

Kanoonilise vormi idee on lihtne. Vaatame uuesti oma probleemi: vasakul on log a ja tähe a all peame silmas arvu, mitte mingil juhul muutujat x sisaldavat funktsiooni. Järelikult kehtivad sellele kirjale kõik logaritmi alusele kehtestatud piirangud. nimelt:

1 ≠ a > 0

Teisest küljest näeme samast võrrandist, et logaritm peab olema võrdne arvuga b ja sellele tähele ei sea piiranguid, sest see võib võtta mis tahes väärtuse - nii positiivse kui ka negatiivse. Kõik sõltub sellest, milliseid väärtusi funktsioon f(x) võtab.

Ja siin meenub meie imeline reegel, et iga arvu b saab esitada logaritmina aluse a ja a astmeni b:

b = log a a b

Kuidas seda valemit meeles pidada? Jah, väga lihtne. Kirjutame järgmise konstruktsiooni:

b = b 1 = b log a a

Loomulikult tekivad sel juhul kõik piirangud, mis alguses kirja panime. Nüüd kasutame logaritmi põhiomadust ja tutvustame kordaja b a astmena. Saame:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Selle tulemusena kirjutatakse algne võrrand ümber järgmiselt:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

See on kõik. Uus funktsioon ei sisalda enam logaritmi ja seda saab lahendada standardsete algebraliste tehnikate abil.

Muidugi vaidleb keegi nüüd vastu: miks oli üldse vaja välja mõelda mingi kanooniline valem, milleks teha veel kaks mittevajalikku sammu, kui oli võimalik kohe algse kujunduse juurest lõpliku valemi juurde liikuda? Jah, kasvõi sellepärast, et enamik õpilasi ei saa aru, kust see valem pärineb, ja seetõttu teevad selle rakendamisel regulaarselt vigu.

Kuid see kolmest sammust koosnev toimingute jada võimaldab teil lahendada algse logaritmilise võrrandi, isegi kui te ei saa aru, kust lõplik valem pärineb. Muide, seda kirjet nimetatakse kanooniliseks valemiks:

log a f (x) = log a a b

Kanoonilise vormi mugavus seisneb ka selles, et sellega saab lahendada väga laia klassi logaritmilisi võrrandeid, mitte ainult kõige lihtsamaid, mida me täna kaalume.

Näited lahendustest

Nüüd vaatame tõelisi näiteid. Niisiis, otsustame:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Kirjutame selle ümber nii:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Paljud õpilased kiirustavad ja püüavad kohe tõsta arvu 0,5 võimsusele, mis meile algsest probleemist tuli. Tõepoolest, kui olete selliste probleemide lahendamiseks juba hästi koolitatud, saate selle sammu kohe teha.

Kui aga alles hakkate seda teemat uurima, on parem mitte kuhugi kiirustada, et vältida solvavate vigade tegemist. Niisiis, meil on kanooniline vorm. Meil on:

3x − 1 = 0,5 −3

See ei ole enam logaritmiline võrrand, vaid lineaarne muutuja x suhtes. Selle lahendamiseks vaatame esmalt arvu 0,5 astmeni −3. Pange tähele, et 0,5 on 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Kõik kümnendkohad teisendada tavalisteks, kui lahendate logaritmilise võrrandi.

Kirjutame ümber ja saame:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

See on kõik, saime vastuse. Esimene probleem on lahendatud.

Teine ülesanne

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Nagu näeme, pole see võrrand enam kõige lihtsam. Kasvõi sellepärast, et vasakul on erinevus ja mitte ainsatki logaritmi ühele alusele.

Seetõttu peame sellest erinevusest kuidagi lahti saama. Sel juhul on kõik väga lihtne. Vaatame aluseid lähemalt: vasakul on number juure all:

Üldine soovitus: püüdke kõigis logaritmivõrrandites vabaneda radikaalidest, st juurtega kirjetest ja liikuda edasi astmefunktsioonide juurde, lihtsalt seetõttu, et nende astmete eksponendid on kergesti logaritmi märgist välja jäetud ja lõpuks sellised. sisestus lihtsustab ja kiirendab oluliselt arvutusi. Paneme selle kirja järgmiselt:

Tuletagem nüüd meelde logaritmi tähelepanuväärset omadust: võimsusi saab tuletada nii argumendist kui ka alusest. Põhjuste korral juhtub järgmine:

log a k b = 1/k loga b

Teisisõnu, baasastmes olnud arv tuuakse ette ja samal ajal pööratakse ümber, see tähendab, et see muutub pöördarvuks. Meie puhul oli baaskraad 1/2. Seetõttu võime selle välja võtta kui 2/1. Saame:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Pange tähele: mitte mingil juhul ei tohiks te selles etapis logaritmidest lahti saada. Pidage meeles 4.-5. klassi matemaatikat ja tehte järjekorda: kõigepealt tehakse korrutamine ja alles seejärel liitmine ja lahutamine. Sel juhul lahutame 10 elemendist ühe sama elemendi:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Nüüd näeb meie võrrand välja selline, nagu peab. See lihtsaim disain ja lahendame selle kanoonilise vormi abil:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

See on kõik. Teine probleem on lahendatud.

Kolmas näide

Liigume edasi kolmanda ülesande juurde:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Lubage mul teile meelde tuletada järgmist valemit:

log b = log 10 b

Kui tähistuslogi b sind mingil põhjusel segadusse ajab, siis kõigi arvutuste tegemisel võid lihtsalt kirjutada logi 10 b. Kümnendlogaritmidega saate töötada samamoodi nagu teistega: võtke astmed, lisage ja esitage mis tahes arvud kujul lg 10.

Just neid omadusi kasutame nüüd probleemi lahendamiseks, kuna see pole kõige lihtsam, mille me tunni alguses üles kirjutasime.

Esiteks pange tähele, et lg 5 ees oleva teguri 2 saab lisada ja sellest saab aluse 5 astme. Lisaks saab vaba liiget 3 esitada ka logaritmina – seda on meie tähistusest väga lihtne jälgida.

Otsustage ise: mis tahes arvu saab esitada logina kuni 10. aluseni:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Kirjutame algse probleemi ümber, võttes arvesse saadud muudatusi:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Meie ees on taas kanooniline vorm ja saime selle ilma teisendusetappi läbimata, st kõige lihtsamat logaritmilist võrrandit ei paistnud kuskilt.

See on täpselt see, millest ma tunni alguses rääkisin. Kanooniline vorm võimaldab lahendada laiemat klassi ülesandeid kui tavaline koolivalem, mille enamik kooliõpetajaid annab.

See on kõik, laseme märgist lahti kümnendlogaritm, ja saame lihtsa lineaarse konstruktsiooni:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Kõik! Probleem on lahendatud.

Märkus ulatuse kohta

Siinkohal tahaksin teha olulise märkuse määratluse ulatuse kohta. Kindlasti on nüüd õpilasi ja õpetajaid, kes ütlevad: "Logaritmiga avaldisi lahendades peame meeles pidama, et argument f (x) peab olema suurem kui null!" Sellega seoses tekib loogiline küsimus: miks me ei nõudnud selle ebavõrdsuse rahuldamist üheski vaadeldavas probleemis?

Ära muretse. Sellistel juhtudel ei ilmu täiendavaid juuri. Ja see on veel üks suurepärane nipp, mis võimaldab teil lahendust kiirendada. Lihtsalt teadke, et kui ülesandes esineb muutuja x ainult ühes kohas (või õigemini ühe logaritmi ühes argumendis) ja mitte kusagil mujal meie puhul muutujat x ei esine, siis kirjutage definitsioonipiirkond üles pole tarvis, sest see käivitatakse automaatselt.

Otsustage ise: esimeses võrrandis saime, et 3x − 1, st argument peaks olema võrdne 8-ga. See tähendab automaatselt, et 3x − 1 on suurem kui null.

Sama edukalt võime kirjutada, et teisel juhul peaks x olema võrdne 5 2-ga, st see on kindlasti suurem kui null. Ja kolmandal juhul, kus x + 3 = 25 000, st jällegi ilmselgelt suurem kui null. Teisisõnu, ulatus rahuldatakse automaatselt, kuid ainult siis, kui x esineb ainult ühe logaritmi argumendis.

See on kõik, mida peate teadma kõige lihtsamate probleemide lahendamiseks. Ainuüksi see reegel koos teisendusreeglitega võimaldab teil lahendada väga laia klassi probleeme.

Kuid olgem ausad: selle tehnika lõpuks mõistmiseks ja logaritmilise võrrandi kanoonilise vormi rakendamise õppimiseks ei piisa ainult ühe videotunni vaatamisest. Seetõttu laadige kohe alla selle videotunni juurde lisatud iseseisvate lahenduste valikud ja alustage vähemalt ühe nende kahe iseseisva töö lahendamist.

See võtab sõna otseses mõttes paar minutit. Kuid sellise koolituse mõju on palju suurem kui siis, kui vaataksite lihtsalt seda videotundi.

Loodan, et see õppetund aitab teil logaritmilisi võrrandeid mõista. Kasutage kanoonilist vormi, lihtsustage avaldisi, kasutades logaritmidega töötamise reegleid - ja te ei karda probleeme. See on kõik, mis mul tänaseks on.

Võttes arvesse määratlusvaldkonda

Räägime nüüd määratlusvaldkonnast logaritmiline funktsioon, samuti kuidas see mõjutab logaritmiliste võrrandite lahendamist. Mõelge vormi konstruktsioonile

log a f (x) = b

Sellist avaldist nimetatakse kõige lihtsamaks - see sisaldab ainult ühte funktsiooni ning arvud a ja b on lihtsalt numbrid ja mitte mingil juhul funktsioon, mis sõltub muutujast x. Seda saab lahendada väga lihtsalt. Peate lihtsalt kasutama valemit:

b = log a a b

See valem on logaritmi üks peamisi omadusi ja algse avaldisega asendamisel saame järgmise:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

See on kooliõpikutest tuttav valem. Tõenäoliselt tekib paljudel õpilastel küsimus: kuna algses avaldises on funktsioon f (x) logimärgi all, on sellele kehtestatud järgmised piirangud:

f(x) > 0

See piirang kehtib, kuna negatiivsete arvude logaritmi ei eksisteeri. Nii et võib-olla tuleks selle piirangu tõttu kasutusele võtta vastuste kontroll? Võib-olla tuleb need allikasse sisestada?

Ei, kõige lihtsamates logaritmilistes võrrandites pole täiendavat kontrollimist vaja. Ja sellepärast. Vaadake meie lõplikku valemit:

f (x) = a b

Fakt on see, et arv a on igal juhul suurem kui 0 - selle nõude kehtestab ka logaritm. Arv a on alus. Sel juhul arvule b piiranguid ei seata. Kuid see ei oma tähtsust, sest olenemata sellest, millisele võimsusele me positiivse arvu tõstame, saame väljundis ikkagi positiivse arvu. Seega on nõue f (x) > 0 automaatselt täidetud.

Tõesti tasub kontrollida logi märgi all oleva funktsiooni domeeni. Võib esineda üsna keerulisi struktuure ja kindlasti tuleb neil lahendusprotsessi käigus silma peal hoida. Vaatame.

Esimene ülesanne:

Esimene samm: teisendage parempoolne murd. Saame:

Vabaneme logaritmi märgist ja saame tavalise irratsionaalse võrrandi:

Saadud juurtest sobib meile ainult esimene, alates teisest juurtest vähem kui null. Ainus vastus on number 9. See on kõik, probleem on lahendatud. Täiendavaid kontrolle pole vaja, et tagada, et avaldis logaritmimärgi all oleks suurem kui 0, sest see ei ole lihtsalt suurem kui 0, vaid vastavalt võrrandi tingimusele on võrdne 2-ga. Seetõttu on nõue „suurem kui null ” rahuldatakse automaatselt.

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Siin on kõik endine. Kirjutame konstruktsiooni ümber, asendades kolmiku:

Vabaneme logaritmimärkidest ja saame irratsionaalse võrrandi:

Tõrjume piiranguid arvestades mõlemad pooled ja saame:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Lahendame saadud võrrandi diskriminandi kaudu:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Kuid x = −6 meile ei sobi, sest kui asendame selle arvu oma ebavõrdsusega, saame:

−6 + 4 = −2 < 0

Meie puhul nõutakse, et see oleks suurem kui 0 või äärmuslikel juhtudel võrdne. Kuid meile sobib x = −1:

−1 + 4 = 3 > 0

Ainus vastus meie puhul on x = −1. See on lahendus. Läheme tagasi oma arvutuste algusesse.

Peamine järeldus sellest õppetunnist on see, et te ei pea kontrollima funktsiooni piiranguid lihtsates logaritmilistes võrrandites. Kuna lahendusprotsessi käigus täidetakse kõik piirangud automaatselt.

Kuid see ei tähenda mingil juhul, et võite kontrollimise täielikult unustada. Logaritmilise võrrandi kallal töötades võib see muutuda irratsionaalseks, millel on paremale poolele oma piirangud ja nõuded, mida oleme täna näinud kahes erinevas näites.

Lahendage selliseid probleeme julgelt ja olge eriti ettevaatlik, kui vaidluses on juur.

Logaritmvõrrandid erinevate alustega

Jätkame logaritmiliste võrrandite uurimist ja vaatame veel kahte üsna huvitavat tehnikat, millega on moes rohkem lahendada keerukad kujundused. Kuid kõigepealt meenutagem, kuidas lahendatakse kõige lihtsamad probleemid:

log a f (x) = b

Selles kirjes on a ja b arvud ning funktsioonis f (x) peab muutuja x olemas olema ja ainult seal, st x peab olema ainult argumendis. Teisendame sellised logaritmilised võrrandid kanoonilise vormi abil. Selleks pange tähele

b = log a a b

Pealegi on a b täpselt argument. Kirjutame selle avaldise ümber järgmiselt:

log a f (x) = log a a b

See on täpselt see, mida me püüame saavutada, nii et nii vasakul kui ka paremal oleks logaritm a aluseks. Sel juhul võime piltlikult öeldes logimärgid maha kriipsutada ja matemaatilisest vaatenurgast võib öelda, et me lihtsalt võrdsustame argumendid:

f (x) = a b

Selle tulemusena saame uue väljendi, mida on palju lihtsam lahendada. Rakendame seda reeglit oma tänastele probleemidele.

Niisiis, esimene kujundus:

Kõigepealt märgin, et paremal on murd, mille nimetaja on log. Kui näete sellist väljendit, on hea meeles pidada logaritmide imelist omadust:

Vene keelde tõlgituna tähendab see, et mis tahes logaritmi saab esitada kahe logaritmi jagatisena mis tahes alusega c. Muidugi 0< с ≠ 1.

Niisiis: sellel valemil on üks imeline erijuhtum, kui muutuja c on võrdne muutujaga b. Sel juhul saame sellise konstruktsiooni:

Täpselt sellist konstruktsiooni näeme oma võrrandis paremal olevast märgist. Asendame selle konstruktsiooni log a b-ga, saame:

Teisisõnu, võrreldes algse ülesandega, vahetasime argumendi ja logaritmi aluse. Selle asemel pidime murdosa ümber pöörama.

Tuletame meelde, et mis tahes kraadi saab tuletada baasist vastavalt järgmisele reeglile:

Teisisõnu väljendatakse koefitsienti k, mis on aluse võimsus, pööratud murdena. Renderdame selle pöördmurruna:

Murdtegurit ette jätta ei saa, sest sel juhul ei saa me seda tähistust kanoonilise vormina esitada (kanoonilises vormis pole ju enne teist logaritmi lisategurit). Seetõttu lisame argumendile astmena murdarvu 1/4:

Nüüd võrdsustame argumendid, mille alused on samad (ja meie alused on tegelikult samad), ja kirjutame:

x + 5 = 1

x = −4

See on kõik. Saime vastuse esimesele logaritmilisele võrrandile. Pange tähele: algses ülesandes esineb muutuja x ainult ühes logis ja see ilmub selle argumendis. Seetõttu pole domeeni vaja kontrollida ja meie arv x = −4 on tõepoolest vastus.

Liigume nüüd teise väljendi juurde:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Siin peame lisaks tavapärastele logaritmidele töötama ka logariga f (x). Kuidas sellist võrrandit lahendada? Ettevalmistumata õpilasele võib tunduda, et see on raske ülesanne, kuid tegelikult saab kõike elementaarselt lahendada.

Vaata lähemalt terminit lg 2 log 2 7. Mida selle kohta öelda? Log ja lg alused ja argumendid on samad ja see peaks andma ideid. Meenutagem veel kord, kuidas logaritmi märgi alt astmeid välja võetakse:

log a b n = nlog a b

Teisisõnu, see, mis argumendis oli b astmeks, muutub logi enda ees teguriks. Rakendame seda valemit avaldisele lg 2 log 2 7. Ärge kartke lg 2 - see on kõige levinum väljend. Saate selle ümber kirjutada järgmiselt:

Selle jaoks kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad mis tahes muu logaritmi kohta. Eelkõige saab argumendi astmele lisada ees oleva teguri. Paneme selle kirja:

Väga sageli õpilased seda tegevust otseselt ei näe, sest ühte palki teise sildi all pole hea sisestada. Tegelikult pole selles midagi kriminaalset. Lisaks saame valemi, mida on lihtne arvutada, kui mäletate olulist reeglit:

Seda valemit võib pidada nii definitsiooniks kui ka selle üheks omaduseks. Igal juhul, kui teisendate logaritmilist võrrandit, peaksite teadma seda valemit täpselt nii, nagu teate mis tahes arvu logaritmilist esitust.

Tuleme tagasi oma ülesande juurde. Kirjutame selle ümber, võttes arvesse asjaolu, et esimene liige võrdusmärgist paremal on lihtsalt võrdne lg 7-ga. Meil on:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Liigutame lg 7 vasakule, saame:

lg 56 − lg 7 = −3 lg (x + 4)

Lahutame vasakul olevad avaldised, kuna neil on sama alus:

lg (56/7) = –3 lg (x + 4)

Vaatame nüüd saadud võrrandit lähemalt. See on praktiliselt kanooniline vorm, kuid paremal on tegur −3. Lisame selle õigele lg argumendile:

log 8 = log (x + 4) −3

Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, seega kriipsutame lg-märgid läbi ja võrdsustame argumendid:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

See on kõik! Lahendasime teise logaritmilise võrrandi. Sel juhul pole täiendavaid kontrolle vaja, sest algülesandes esines x ainult ühes argumendis.

Lubage mul uuesti loetleda selle õppetunni põhipunktid.

Peamine valem, mida õpetatakse kõigis selle lehe tundides, mis on pühendatud logaritmiliste võrrandite lahendamisele, on kanooniline vorm. Ja ärge kartke asjaolu, et enamik kooliõpikuid õpetab selliseid probleeme erinevalt lahendama. See tööriist töötab väga tõhusalt ja võimaldab teil lahendada palju laiemat klassi probleeme kui kõige lihtsamad, mida me tunni alguses õppisime.

Lisaks on logaritmiliste võrrandite lahendamisel kasulik teada põhiomadusi. Nimelt:

Ühele alusele liikumise valem ja erijuhtum, kui logime tagurpidi (see oli meile esimese ülesande puhul väga kasulik);
Logaritmimärgi astmete liitmise ja lahutamise valem. Siin jäävad paljud õpilased jänni ega näe, et väljavõetud ja tutvustatud kraad võib ise sisaldada log f (x). Selles pole midagi halba. Saame tutvustada ühte palki teise märgi järgi ja samal ajal oluliselt lihtsustada ülesande lahendamist, mida me ka teisel juhul jälgime.

Kokkuvõtteks tahan lisada, et definitsioonipiirkonda ei ole vaja kõigil neil juhtudel kontrollida, sest igal pool on muutuja x ainult ühes logimärgis ja on samal ajal selle argumendis. Selle tulemusena täidetakse kõik ulatuse nõuded automaatselt.

Probleemid muutuva baasiga

Täna vaatleme logaritmilisi võrrandeid, mis tunduvad paljude õpilaste jaoks ebastandardsed, kui mitte täiesti lahendamatud. See on umbes avaldiste kohta, mis põhinevad mitte arvudel, vaid muutujatel ja isegi funktsioonidel. Sellised konstruktsioonid lahendame oma standardtehnikas, nimelt kanoonilise vormi kaudu.

Kõigepealt meenutagem, kuidas tavaarvude põhjal lahendatakse lihtsamaid ülesandeid. Niisiis, nimetatakse lihtsaimat konstruktsiooni

log a f (x) = b

Selliste probleemide lahendamiseks saame kasutada järgmist valemit:

b = log a a b

Kirjutame oma algse avaldise ümber ja saame:

log a f (x) = log a a b

Seejärel võrdsustame argumendid, st kirjutame:

f (x) = a b

Seega vabaneme logimärgist ja lahendame tavapärase probleemi. Sel juhul on lahendusest saadud juured algse logaritmilise võrrandi juured. Lisaks nimetatakse kanooniliseks vormiks kirjet, kui nii vasak kui ka parem on samas logaritmis sama alusega. Just sellise rekordini püüame vähendada tänaseid kujundusi. Nii et lähme.

Esimene ülesanne:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Asendage 1 log x − 2 (x − 2) 1-ga. Argumendis vaadeldav aste on tegelikult arv b, mis asus võrdusmärgist paremal. Seega kirjutame oma väljendi ümber. Saame:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Mida me näeme? Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm, nii et saame argumendid ohutult võrdsustada. Saame:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Kuid lahendus ei lõpe sellega, sest antud võrrand ei ole samaväärne originaaliga. Saadud konstruktsioon koosneb ju funktsioonidest, mis on defineeritud tervel arvureal ning meie algsed logaritmid pole defineeritud igal pool ja mitte alati.

Seetõttu peame määramisvaldkonna eraldi kirja panema. Ärgem poolitagem juukseid ja pange kõigepealt kirja kõik nõuded:

Esiteks peab iga logaritmi argument olema suurem kui 0:

2x 2 - 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Teiseks peab alus olema mitte ainult suurem kui 0, vaid ka erinev 1-st:

x − 2 ≠ 1

Selle tulemusena saame süsteemi:

Kuid ärge kartke: logaritmiliste võrrandite töötlemisel saab sellist süsteemi oluliselt lihtsustada.

Otsustage ise: ühelt poolt nõutakse meilt, et ruutfunktsioon oleks suurem kui null, ja teisest küljest võrdsustatakse see ruutfunktsioon teatud lineaaravaldisega, mis on samuti nõutav, et see oleks suurem kui null.

Sel juhul, kui nõuame, et x − 2 > 0, siis on automaatselt täidetud nõue 2x 2 − 13x + 18 > 0. Seetõttu võime julgelt maha kriipsutada võrratuse, mis sisaldab ruutfunktsioon. Seega väheneb meie süsteemis sisalduvate avaldiste arv kolmele.

Muidugi võiks sama eduga läbi kriipsutada ka lineaarse ebavõrdsuse, st kriipsutada maha x − 2 > 0 ja nõuda, et 2x 2 − 13x + 18 > 0. Kuid nõustute, et kõige lihtsama lineaarvõrratuse lahendamine on palju kiirem. ja lihtsam, kui ruutkeskmine, isegi tingimusel, et kogu selle süsteemi lahendamise tulemusena saame samad juured.

Üldiselt proovige arvutusi igal võimalusel optimeerida. Ja logaritmiliste võrrandite puhul kriipsutage läbi kõige raskemad võrratused.

Kirjutame oma süsteemi ümber:

Siin on kolmest väljendist koosnev süsteem, millest kahte oleme tegelikult juba käsitlenud. Paneme selle eraldi kirja ruutvõrrand ja lahendame selle:

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 – 7x + 10 = 0

Meie ees on taandatud ruuttrinoom ja seetõttu saame kasutada Vieta valemeid. Saame:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Nüüd pöördume tagasi oma süsteemi juurde ja leiame, et x = 2 meile ei sobi, sest meilt nõutakse, et x oleks rangelt suurem kui 2.

Kuid x = 5 sobib meile suurepäraselt: arv 5 on suurem kui 2 ja samal ajal ei ole 5 võrdne 3-ga. Seetõttu on selle süsteemi ainus lahendus x = 5.

See on kõik, probleem on lahendatud, sealhulgas ODZ-i arvesse võttes. Liigume edasi teise võrrandi juurde. Huvitavad ja informatiivsemad arvutused ootavad meid siin:

Esimene samm: nagu viimane kord, viime kogu selle asja kanoonilisse vormi. Selleks saame kirjutada numbri 9 järgmiselt:

Te ei pea juurega alust puudutama, kuid argumenti on parem teisendada. Liigume ratsionaalse astendajaga juurest astmele. Paneme kirja:

Lubage mul mitte kogu meie suurt logaritmilist võrrandit ümber kirjutada, vaid võrdsustada kohe argumendid:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Meie ees on äsja redutseeritud ruuttrinoom, kasutame Vieta valemeid ja kirjutame:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Niisiis, saime juured, kuid keegi ei garanteerinud meile, et need sobivad algse logaritmilise võrrandiga. Logimärgid seavad ju lisapiirangud (siin oleks pidanud süsteemi kirja panema, aga kogu struktuuri kohmakuse tõttu otsustasin defineerimisvaldkonna eraldi välja arvutada).

Kõigepealt pidage meeles, et argumendid peavad olema suuremad kui 0, nimelt:

Need on määratluse ulatusega kehtestatud nõuded.

Märgime kohe ära, et kuna me võrdsustame süsteemi kaks esimest avaldist üksteisega, siis võime neist ühe läbi kriipsutada. Tõmmake esimene läbi, sest see tundub ähvardavam kui teine.

Lisaks pange tähele, et teise ja kolmanda võrratuse lahenduseks on samad hulgad (mõne arvu kuup on suurem kui null, kui see arv ise on suurem kui null; samamoodi kolmanda astme juurega - need võrratused on täiesti analoogsed, nii et võime selle läbi kriipsutada).

Kuid kolmanda ebavõrdsusega see ei tööta. Vabaneme vasakpoolsest radikaalsest märgist, tõstes mõlemad osad kuubikuks. Saame:

Seega saame järgmised nõuded:

− 2 ≠ x > −3

Milline meie juurtest: x 1 = −3 või x 2 = −1 vastab neile nõuetele? Ilmselgelt ainult x = −1, sest x = −3 ei rahulda esimest võrratust (kuna meie ebavõrdsus on range). Niisiis, naastes meie probleemi juurde, saame ühe juure: x = −1. See on kõik, probleem lahendatud.

Veelkord selle ülesande põhipunktid:

Rakendage ja lahendage kanoonilise vormi abil logaritmilisi võrrandeid. Õpilased, kes kirjutavad nii, selle asemel, et minna otse algsest probleemist konstruktsiooni juurde nagu log a f (x) = b, lubavad palju vähem vigu kui need, kes kuhugi kiirustavad, jättes vahele arvutuste vaheetapid;
Niipea, kui logaritmis ilmub muutuv alus, lakkab probleem olemast kõige lihtsam. Seetõttu on selle lahendamisel vaja arvestada määratluspiirkonda: argumendid peavad olema suuremad kui null ja alused ei tohi olla mitte ainult suuremad kui 0, vaid need ei tohi olla võrdsed ka 1-ga.

Lõplikke nõudeid saab lõplikele vastustele rakendada erineval viisil. Näiteks saate lahendada terve süsteemi, mis sisaldab kõiki määratlusvaldkonna nõudeid. Teisest küljest saate kõigepealt probleemi enda lahendada ja seejärel meeles pidada definitsioonivaldkonda, eraldi välja töötada süsteemi kujul ja rakendada seda saadud juurtele.

Milline meetod konkreetse logaritmilise võrrandi lahendamisel valida, on teie otsustada. Igal juhul on vastus sama.

Arvu logaritm N põhineb A nimetatakse eksponendiks X , millele peate ehitama A numbri saamiseks N

Tingimusel, et
,
,

Logaritmi definitsioonist järeldub, et
, st.
- see võrdsus on logaritmiline põhiidentiteet.

Logaritme 10-ni nimetatakse kümnendlogaritmideks. Selle asemel
kirjutada
.

Logaritmid baasi e nimetatakse looduslikeks ja on määratud
.

Logaritmide põhiomadused.

Ühe logaritm mis tahes baasis võrdne nulliga

Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga.

3) Jagatise logaritm on võrdne logaritmide vahega

Faktor
nimetatakse üleminekumooduliks logaritmidelt baasile a logaritmidele baasis b .

Kasutades atribuute 2-5, on sageli võimalik taandada kompleksavaldise logaritm logaritmide lihtsate aritmeetiliste toimingute tulemuseks.

Näiteks,

Selliseid logaritmi teisendusi nimetatakse logaritmideks. Logaritmidele vastupidiseid teisendusi nimetatakse potentseerimiseks.

Peatükk 2. Kõrgema matemaatika elemendid.

1. Piirangud

Funktsiooni piirang
on lõplik arv A, kui, as xx 0 iga etteantud jaoks
, on selline number
et niipea kui
, See
.

Funktsioon, millel on piirang, erineb sellest lõpmata väikese summa võrra:
, kus- b.m.v., st.
.

Näide. Mõelge funktsioonile
.

Kui pingutada
, funktsioon y kipub nulli:

1.1. Põhiteoreemid piiride kohta.

Konstantse väärtuse piir on võrdne selle konstantse väärtusega

Lõpliku arvu funktsioonide summa (erinevuse) piir on võrdne nende funktsioonide piiride summaga (erinevus).

Lõpliku arvu funktsioonide korrutise piirväärtus on võrdne nende funktsioonide piiride korrutisega.

Kahe funktsiooni jagatise piir on võrdne nende funktsioonide piiride jagatisega, kui nimetaja piir ei ole null.

Imelised piirid

,
, Kus

1.2. Limiidi arvutamise näited

Kõiki limiite aga nii lihtsalt ei arvutata. Enamasti taandub limiidi arvutamine tüübi määramatuse paljastamisele: või .

2. Funktsiooni tuletis

Olgu meil funktsioon
, pidev segmendil
.

Argument sai veidi tõusu
. Seejärel saab funktsioon juurdekasvu
.

Argumendi väärtus vastab funktsiooni väärtusele
.

Argumendi väärtus
vastab funktsiooni väärtusele.

Seega,.

Leiame selle suhte piiri
. Kui see piir on olemas, siis nimetatakse seda antud funktsiooni tuletiseks.

Definitsioon 3 Antud funktsiooni tuletis
argumendiga nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, kui argumendi juurdekasv kipub meelevaldselt nulli.

Funktsiooni tuletis
saab tähistada järgmiselt:

; ; ; .

Definitsioon 4 Funktsiooni tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist.

2.1. Tuletise mehaaniline tähendus.

Vaatleme mõne jäiga keha või materiaalse punkti sirgjoonelist liikumist.

Lase mingil ajahetkel liikuv punkt
oli eemal algasendist
.

Mõne aja pärast
ta liikus eemale
. Suhtumine =- keskmine kiirus materiaalne punkt
. Leiame selle suhte piiri, võttes seda arvesse
.

Järelikult taandatakse materiaalse punkti hetkelise liikumiskiiruse määramine tee tuletise leidmisele aja suhtes.

2.2. Tuletise geomeetriline väärtus

Olgu meil graafiliselt määratletud funktsioon
.

Riis. 1. Tuletise geomeetriline tähendus

Kui
, siis punkt
, liigub piki kõverat, lähenedes punktile
.

Seega
, st. tuletise väärtus argumendi antud väärtuse jaoks arvuliselt võrdne selle nurga puutujaga, mille puutuja moodustab antud punktis telje positiivse suunaga
.

2.3. Põhiliste diferentseerimisvalemite tabel.

Toitefunktsioon

Eksponentfunktsioon

Logaritmiline funktsioon

Trigonomeetriline funktsioon

Trigonomeetriline pöördfunktsioon

2.4. Eristamise reeglid.

Tuletis

Funktsioonide summa (erinevuse) tuletis

Kahe funktsiooni korrutise tuletis

Kahe funktsiooni jagatise tuletis

2.5. Tuletis keeruline funktsioon.

Olgu funktsioon antud
nii, et seda saab esitada kujul

Ja
, kus muutuja on siis vahepealne argument

Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne antud funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vaheargumendi tuletisega x suhtes.

Näide 1.

Näide 2.

3. Diferentsiaalfunktsioon.

Las olla
, mõnel intervallil diferentseeruv
lase sel minna juures sellel funktsioonil on tuletis

siis saame kirjutada

(1),

Kus - lõpmatult väike kogus,

mis ajast

Kõigi võrdsuse (1) tingimuste korrutamine
meil on:

Kus
- b.m.v. kõrgem järjekord.

Suurusjärk
nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks
ja on määratud

3.1. Diferentsiaali geomeetriline väärtus.

Olgu funktsioon antud
.

Joonis 2. Diferentsiaali geomeetriline tähendus.

Ilmselgelt funktsiooni erinevus
on võrdne puutuja ordinaadi juurdekasvuga antud punktis.

3.2. Erinevat järku tuletis- ja diferentsiaalid.

Kui seal
, Siis
nimetatakse esimeseks tuletiseks.

Esimese tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletiseks ja kirjutatakse
.

Funktsiooni n-ndat järku tuletis
nimetatakse (n-1)-ndat järku tuletiseks ja kirjutatakse:

Funktsiooni diferentsiaali diferentsiaali nimetatakse teist diferentsiaaliks või teist järku diferentsiaaliks.

.

.

3.3 Bioloogiliste probleemide lahendamine diferentseerimise abil.

Ülesanne 1. Uuringud on näidanud, et mikroorganismide koloonia kasv järgib seadusi
, Kus N – mikroorganismide arv (tuhandetes), t – aeg (päevad).

b) Kas koloonia populatsioon sel perioodil suureneb või väheneb?

Vastus. Koloonia suurus suureneb.

Ülesanne 2. Järve vett kontrollitakse perioodiliselt, et jälgida patogeensete bakterite sisaldust. Läbi t päeva pärast testimist määratakse bakterite kontsentratsioon suhtega

Millal on järves minimaalne bakterite kontsentratsioon ja kas seal saab ujuda?

Lahendus: Funktsioon saavutab max või min, kui selle tuletis on null.

Teeme kindlaks, et maksimum või miinimum on 6 päeva pärast. Selleks võtame teise tuletise.

Vastus: 6 päeva pärast on bakterite minimaalne kontsentratsioon.

Antakse funktsiooni ln x naturaallogaritmi, graafi, definitsioonipiirkonna, väärtuste hulga, põhivalemite, tuletise, integraali, astmeridade laienduse ja kompleksarvude abil esituse põhiomadused.

Definitsioon

Naturaalne logaritm on funktsioon y = ln x, eksponentsiaali pöördväärtus x = e y ja on arvu e aluse logaritm: ln x = log e x.

Naturaallogaritmi kasutatakse matemaatikas laialdaselt, kuna selle tuletisel on kõige lihtsam vorm: (ln x)′ = 1/x.

Põhineb määratlused, naturaallogaritmi baas on arv e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Funktsiooni y = graafik ln x.

Naturaallogaritmi graafik (funktsioonid y = ln x) saadakse eksponentsiaalgraafikult peegelpeegelduse teel sirgjoone y = x suhtes.

Naturaalne logaritm on määratletud muutuja x positiivsete väärtuste jaoks. See suureneb monotoonselt oma määratlusvaldkonnas.

Kell x → 0 naturaallogaritmi piir on miinus lõpmatus (-∞).

Nagu x → + ∞, on naturaallogaritmi piir pluss lõpmatus (+ ∞). Suure x korral suureneb logaritm üsna aeglaselt. Iga võimsusfunktsioon x a, millel on positiivne astendaja a, kasvab kiiremini kui logaritm.

Naturaallogaritmi omadused

Määratluspiirkond, väärtuste kogum, äärmused, suurenemine, vähenemine

Naturaallogaritm on monotoonselt kasvav funktsioon, mistõttu sellel pole äärmusi. Naturaallogaritmi peamised omadused on toodud tabelis.

ln x väärtused

ln 1 = 0

Naturaallogaritmide põhivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad valemid:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Mis tahes logaritmi saab väljendada naturaallogaritmides, kasutades baasasendusvalemit:

Nende valemite tõendid on esitatud jaotises "Logaritm".

Pöördfunktsioon

Naturaallogaritmi pöördväärtus on eksponent.

Kui siis

Kui siis.

Tuletis ln x

Naturaallogaritmi tuletis:
.
Mooduli x naturaallogaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Integraalne

Integraal arvutatakse osade kaupa integreerimise teel:
.
Niisiis,

Kompleksarve kasutavad avaldised

Vaatleme kompleksmuutuja z funktsiooni:
.
Avaldame kompleksmuutujat z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
.
Argument φ ei ole üheselt määratletud. Kui paned
, kus n on täisarv,
see on sama arv erinevate n-de jaoks.

Sellepärast naturaallogaritm, kui kompleksmuutuja funktsioon, ei ole ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Kui laienemine toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.

peamised omadused.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identsed põhjused

Log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Logaritmide lahendamise näited

Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Loomulikult on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Üleminek uuele vundamendile

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada ja täpne väärtus eksponente ja Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

4. Kus .

Näide 2. Leia x, kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtki tõsist probleemi. logaritmiline ülesanne. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Märge: võtmehetk Siin - identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmiline avaldis isegi siis, kui selle üksikuid osi ei loeta (vt õppetundi “Mis on logaritm”). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud on sellele faktile üles ehitatud proovipaberid. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Seda on lihtne märgata viimane reegel järgneb kahele esimesele. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmi valemid. Logaritmide näited lahendused.

Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavapärastes harva numbrilised avaldised. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis oli tõeline väljakutseühtsest riigieksamist :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt saab omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

B-st lähtuv logaritm a-aluseks tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab astme x () leidmist, mille juures võrdsus on täidetud

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna peaaegu kõik logaritmidega seotud ülesanded ja näited lahendatakse nende põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide summa ja erinevuse valemit (3.4) arvutades kohtate üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kaks.
Logaritmi kümne baasini nimetatakse tavaliselt kümnendlogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x)-ga.

Salvestusest selgub, et põhitõed pole salvestusel kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on astendaja (tähistatakse ln(x)-ga).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline logaritm kahe aluse jaoks on tähistatud

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse seosega

Antud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmiseks toon vaid mõned levinud näited kooli õppekava ja ülikoolid.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

2.
Logaritmide erinevuse omaduse järgi saame

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. Kus .

Näiliselt keerukat väljendit on lihtsustatud mitme reegli abil

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2. Leia x, kui

Lahendus. Arvutamiseks rakendame viimase liikme 5 ja 13 omadusi

Paneme selle protokolli ja leinama

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu logaritmide väärtus antud

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtame muutuja logaritmi, et kirjutada logaritm läbi selle liikmete summa

See on alles meie tutvumise algus logaritmide ja nende omadustega. Harjutage arvutusi, rikastage oma praktilisi oskusi – peagi vajate saadud teadmisi logaritmiliste võrrandite lahendamiseks. Olles uurinud selliste võrrandite lahendamise põhimeetodeid, laiendame teie teadmisi teise jaoks oluline teema- logaritmiline ebavõrdsus...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Üleminek uuele vundamendile

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.