Positiivsed ja negatiivsed nurgad trigonomeetrias. trigonomeetriline ring

Võimaldab luua mitmeid iseloomulikke tulemusi - siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi omadused. Selles artiklis vaatleme kolme peamist omadust. Esimene neist tähistab nurga α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi märke, olenevalt sellest, millise koordinaadi veerandnurk on α. Järgmisena käsitleme perioodilisuse omadust, mis määrab nurga α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste muutumatuse, kui see nurk muutub täisarvu pöörete võrra. Kolmas omadus väljendab seost vastasnurkade α ja −α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste vahel.

Kui olete huvitatud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi funktsioonide omadustest, saate neid uurida artikli vastavas jaotises.

Leheküljel navigeerimine.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi märgid neljandikku

Selle lõigu all on väljend "koordinaatide kvartali I, II, III ja IV nurk". Selgitame, mis need nurgad on.

Võtame ühikringi, märgime sellele alguspunkti A(1, 0) ja pöörame seda ümber punkti O nurga α võrra, samas eeldame, et jõuame punkti A 1 (x, y) .

Nad ütlevad seda nurk α on koordinaatveerandi nurk I , II , III , IV kui punkt A 1 asub vastavalt I, II, III, IV kvartalis; kui nurk α on selline, et punkt A 1 asub ühelgi koordinaatsirgetest Ox või Oy , siis see nurk ei kuulu ühelegi neljast veerandist.

Selguse huvides esitame graafilise illustratsiooni. Allolevatel joonistel on kujutatud pöördenurgad 30 , -210 , 585 ja -45 kraadi, mis on vastavalt koordinaatveerandi nurgad I , II , III ja IV.

nurgad 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … kraadid ei kuulu ühegi koordinaatveerandi alla.

Nüüd selgitame välja, millistel märkidel on pöördenurga α siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused, sõltuvalt sellest, milline veerandnurk on α.

Siinuse ja koosinuse puhul on seda lihtne teha.

Definitsiooni järgi on nurga α siinus punkti A 1 ordinaat. On ilmne, et I ja II koordinaatveerandis on see positiivne ning III ja IV kvartalis negatiivne. Seega on nurga α siinus I ja II veerandis plussmärgiga ning III ja VI veerandis miinusmärk.

Nurga α koosinus on omakorda punkti A 1 abstsiss. I ja IV kvartalis on see positiivne ning II ja III kvartalis negatiivne. Seetõttu on nurga α koosinuse väärtused I ja IV kvartalis positiivsed ning II ja III kvartalis negatiivsed.

Märkide määramiseks puutuja ja kotangensi veerandi järgi peate meeles pidama nende määratlusi: puutuja on punkti A 1 ordinaadi ja abstsissi suhe ning kotangens on punkti A 1 abstsissi ja ordinaadi suhe. Siis alates numbrijaotuse reeglid samade ja erinevate märkidega, järeldub, et puutujal ja kotangensil on plussmärk, kui punkti A 1 abstsiss- ja ordinaatmärgid on samad, ning miinusmärk, kui punkti A 1 abstsiss- ja ordinaatmärgid on erinevad. Seetõttu on nurga puutujal ja kotangensil I ja III koordinaatveerandis + märk ning II ja IV kvartalis miinusmärk.

Tõepoolest, näiteks esimesel veerandil on nii punkti A 1 abstsiss x kui ka ordinaat y positiivsed, siis nii jagatis x/y kui ka jagatis y/x on positiivsed, seetõttu on puutujal ja kotangensil + märgid . Ja abstsissi teises veerandis on x negatiivne ja y-ordinaat on positiivne, seega on nii x / y kui ka y / x negatiivsed, mistõttu puutujal ja kotangensil on miinusmärk.

Liigume edasi siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi järgmise omaduse juurde.

Perioodilisuse omadus

Nüüd analüüsime võib-olla nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi kõige ilmsemat omadust. See koosneb järgmisest: kui nurk muutub täisarvu täispöörete võrra, siis selle nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused ei muutu.

See on arusaadav: kui nurk muutub täisarvu pöörete võrra, jõuame alati ühikringi alguspunktist A punkti A 1, seetõttu jäävad siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused alles muutumatuks, kuna punkti A 1 koordinaadid on muutumatud.

Valemite abil saab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vaadeldava omaduse kirjutada järgmiselt: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , kus α on pöördenurk radiaanides, z on suvaline , mille absoluutväärtus näitab täispöörete arvu, mille võrra nurk α muutub, ja number z näitab pöörde suunda.

Kui pöördenurk α on antud kraadides, kirjutatakse need valemid ümber järgmiselt: sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα, ctg(a+360° z)=ctgα.

Toome näiteid selle vara kasutamisest. Näiteks, , sest , a . Siin on veel üks näide: või .

Seda omadust koos redutseerimisvalemitega kasutatakse väga sageli "suurte" nurkade siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste arvutamisel.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vaadeldavat omadust nimetatakse mõnikord perioodilisuse omaduseks.

Vastandnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadused

Olgu А 1 punkt, mis saadakse algpunkti А(1, 0) ümber punkti O nurga α võrra pööramisel ja punkt А 2 on punkti А nurga võrra pööramise tulemus. −α vastupidine nurgale α .

Vastandnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadus põhineb üsna ilmsel faktil: eespool mainitud punktid A 1 ja A 2 kas langevad kokku (at) või asuvad sümmeetriliselt telje Ox ümber. See tähendab, et kui punktil A 1 on koordinaadid (x, y) , siis punktil A 2 on koordinaadid (x, −y) . Siit kirjutame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide järgi üles võrrandid ja.
Neid võrreldes jõuame suheteni vormi α ja −α vastasnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide vahel.
See on vaadeldav omadus valemite kujul.

Toome näiteid selle vara kasutamisest. Näiteks võrdsused ja .

Jääb vaid märkida, et siinuse, koosinuse, puutuja ja vastasnurkade kotangentide omadust, nagu ka eelmist omadust, kasutatakse sageli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste arvutamisel ning see võimaldab teil täielikult pääseda. negatiivsete nurkade alt.

Bibliograafia.

• Algebra: Proc. 9 raku jaoks. keskm. kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski.- M.: Valgustus, 1990.- 272 lk.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. tr.- M.: Valgustus, 2004.- 384 lk.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Selles artiklis käsitletakse trigonomeetriliste funktsioonide kolme peamist omadust: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.

Esimene omadus on funktsiooni märk, olenevalt sellest, millisesse ühikuringi veerandisse nurk α kuulub. Teine omadus on perioodilisus. Selle omaduse järgi ei muuda tigonomeetriline funktsioon oma väärtust, kui nurk muutub täisarvu pöörete arvu võrra. Kolmas omadus määrab, kuidas funktsioonide sin, cos, tg, ctg väärtused muutuvad vastasnurgadα ja - α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sageli võite matemaatilises tekstis või ülesande kontekstis leida fraasi: "esimese, teise, kolmanda või neljanda koordinaatveerandi nurk". Mis see on?

Vaatame ühikuringi. See on jagatud neljaks kvartaliks. Märgime ringile alguspunkti A 0 (1, 0) ja pöörates seda ümber punkti O nurga α võrra, jõuame punkti A 1 (x, y) . Sõltuvalt sellest, millises veerandis punkt A 1 (x, y) asub, nimetatakse nurka α vastavalt esimese, teise, kolmanda ja neljanda kvadrandi nurgaks.

Selguse huvides anname illustratsiooni.

Nurk α = 30° asub esimeses kvadrandis. Nurk – 210° on teine ​​veerandnurk. Nurk 585° on kolmanda veerandi nurk. Nurk - 45° on neljanda kvartali nurk.

Sel juhul ei kuulu nurgad ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° ühegi kvartali alla, kuna need asuvad koordinaattelgedel.

Nüüd kaaluge siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi märke, olenevalt sellest, millises veerandis nurk asub.

Siinuse märkide määramiseks neljandikkudes tuletage meelde määratlus. Siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. Jooniselt on näha, et esimeses ja teises kvartalis on see positiivne ning kolmandas ja neljakordses negatiivne.

Koosinus on punkti A abstsiss 1 (x, y) . Vastavalt sellele määrame ringil koosinuse märgid. Koosinus on esimeses ja neljandas kvartalis positiivne ning teises ja kolmandas kvartalis negatiivne.

Puutuja ja kotangensi märkide määramiseks kvartalite kaupa tuletame meelde ka nende trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid. Tangens – punkti ordinaadi ja abstsissi suhe. See tähendab, et vastavalt erinevate märkidega arvude jagamise reeglile, kui ordinaat ja abstsisstel on samad märgid, on puutuja märk ringil positiivne ning kui ordinaat ja abstsiss on erinevad märgid- negatiivne. Samamoodi määratakse kotangensi märgid neljandikku.

Oluline meeles pidada!

1. Nurga α siinusel on 1. ja 2. veerandil plussmärk, 3. ja 4. veerandil miinusmärk.
2. Nurga α koosinusel on 1. ja 4. veerandil plussmärk, 2. ja 3. veerandil miinusmärk.
3. Nurga α puutuja 1. ja 3. veerandis on plussmärgiga, 2. ja 4. veerandis miinusmärk.
4. Nurga α kotangens on 1. ja 3. veerandis plussmärgiga, 2. ja 4. veerandis miinusmärk.

Perioodilisuse omadus

Perioodilisuse omadus on trigonomeetriliste funktsioonide üks ilmsemaid omadusi.

Perioodilisuse omadus

Kui nurk muutub täisarvu täispöörete võrra, jäävad antud nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused muutumatuks.

Tõepoolest, nurga muutmisel täisarvu pöörete võrra jõuame alati ühikuringi alguspunktist A samade koordinaatidega punkti A 1. Sellest lähtuvalt ei muutu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused.

Matemaatiliselt on see omadus kirjutatud järgmiselt:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Milline on selle omaduse praktiline rakendus? Perioodilisuse omadust, nagu ka redutseerimisvalemeid, kasutatakse sageli siinuste, koosinuste, puutujate ja suurte nurkade kotangentide väärtuste arvutamiseks.

Toome näiteid.

sin 13 π 5 \u003d sin 3 π 5 + 2 π \u003d sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Vaatame uuesti ühikuringi.

Punkt A 1 (x, y) on alguspunkti A 0 (1, 0) pööramise tulemus ümber ringi keskpunkti nurga α võrra. Punkt A 2 (x, - y) on alguspunkti pööramise tulemus nurga - α võrra.

Punktid A 1 ja A 2 on x-telje suhtes sümmeetrilised. Juhul, kui α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° punktid A 1 ja A 2 langevad kokku. Olgu ühel punktil koordinaadid (x , y) ja teisel - (x , - y) . Tuletage meelde siinuse, koosinuse, puutuja, kotangensi definitsioonid ja kirjutage:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

See eeldab vastasnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadusi.

Vastandnurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide omadus

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Selle omaduse järgi võrdsused

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Vaadeldavat omadust kasutatakse sageli praktiliste ülesannete lahendamisel juhtudel, kui trigonomeetriliste funktsioonide argumentides on vaja vabaneda nurkade negatiivsetest märkidest.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Trigonomeetrilise funktsiooni märk sõltub ainult koordinaatide veerandist, milles arvuline argument asub. Viimati õppisime, kuidas tõlkida argumendid radiaanimõõdust kraadimõõtudeks (vt õppetundi „Nurga radiaan ja kraadimõõt”) ja seejärel määrata see sama koordinaatveerand. Nüüd tegeleme tegelikult siinuse, koosinuse ja puutuja märgi määratlusega.

Nurga α siinus on punkti ordinaat (y-koordinaat). trigonomeetriline ring, mis tekib siis, kui raadius pöörleb läbi nurga α.

Nurga α koosinus on trigonomeetrilise ringi punkti abstsiss (x koordinaat), mis tekib raadiuse pöörlemisel läbi nurga α.

Nurga α puutuja on siinuse ja koosinuse suhe. Või samaväärselt y-koordinaadi ja x-koordinaadi suhe.

Tähistus: sin α = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Kõik need määratlused on teile tuttavad keskkooli algebra kursusest. Meid ei huvita aga definitsioonid ise, vaid tagajärjed, mis trigonomeetrilisel ringil tekivad. Vaata:

Sinine värv tähistab OY telje positiivset suunda (ordinaattelg), punane värv näitab OX telje positiivset suunda (abstsisstellje). Sellel "radaril" ilmnevad trigonomeetriliste funktsioonide märgid. Eriti:

1. sin α > 0, kui nurk α asub I või II koordinaatveerandis. Seda seetõttu, et definitsiooni järgi on siinus ordinaat (y-koordinaat). Ja y-koordinaat on positiivne täpselt I ja II koordinaatveerandis;
2. cos α > 0, kui nurk α asub I või IV koordinaatveerandis. Sest ainult seal on x-koordinaat (see on ka abstsiss) suurem kui null;
3. tg α > 0, kui nurk α asub I või III koordinaatkvadrandis. See tuleneb definitsioonist: lõppude lõpuks tg α = y : x , seega on see positiivne ainult siis, kui x ja y märgid langevad kokku. See juhtub 1. koordinaatide veerandis (siin x > 0, y > 0) ja 3. koordinaatide veerandis (x< 0, y < 0).

Selguse huvides märgime iga trigonomeetrilise funktsiooni märgid - siinus, koosinus ja puutuja - eraldi "radarile". Saame järgmise pildi:

Märkus: oma arutluskäigus ei rääkinud ma kordagi neljandast trigonomeetrilisest funktsioonist – kotangensist. Fakt on see, et kotangensi märgid langevad kokku puutuja märkidega - seal pole erireegleid.

Nüüd teen ettepaneku kaaluda näiteid, mis on sarnased ülesannetega B11 matemaatika proovieksamilt, mis toimus 27. septembril 2011. Lõppude lõpuks Parim viis teooria mõistmine on praktika. Soovitavalt palju harjutamist. Muidugi muudeti veidi ülesannete tingimusi.

Ülesanne. Määrake trigonomeetriliste funktsioonide ja avaldiste märgid (funktsioonide endi väärtusi pole vaja arvestada):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tan (5π/3);
4. sin(3π/4) cos(5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin(5π/6) cos(7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Tegevusplaan on järgmine: esmalt teisendame kõik nurgad radiaanist kraadimõõtudeks (π → 180°) ja seejärel vaatame, millises koordinaatveerandis on saadud arv. Kvartaleid teades leiame sildid hõlpsasti üles – just kirjeldatud reeglite järgi. Meil on:

1. sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Kuna 135° ∈ , on see nurk II koordinaatkvadrandist. Kuid teise veerandi siinus on positiivne, seega sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Sest 210° ∈ , see on nurk III koordinaatkvadrandist, milles kõik koosinused on negatiivsed. Seetõttu cos (7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 180°/3) = tg 300°. Alates 300° ∈ asume IV kvadrandis, kus puutuja saab negatiivsed väärtused. Seetõttu tg (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Tegeleme siinusega: kuna 135° ∈ , see on teine ​​veerand, milles siinused on positiivsed, s.o. sin (3π/4) > 0. Nüüd töötame koosinusega: 150° ∈ - jälle teine ​​veerand, sealsed koosinused on negatiivsed. Seega cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Vaatame koosinust: 120° ∈ on II koordinaadi veerand, seega cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Jälle saime toote, milles tegurid erinevad märgid. Kuna "miinus korda pluss annab miinuse", on meil: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Töötame siinusega: kuna 150° ∈ , me räägime umbes II koordinaatveerandi kohta, kus siinused on positiivsed. Seetõttu sin (5π/6) > 0. Samamoodi on 315° ∈ IV koordinaatveerand, sealsed koosinused on positiivsed. Seetõttu cos (7π/4) > 0. Saime kahe positiivse arvu korrutise - selline avaldis on alati positiivne. Järeldame: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Kuid nurk 135° ∈ on teine ​​veerand, s.o. punakaspruun (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Kuna "miinus pluss annab miinusmärgi", on meil: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Vaatleme kotangensi argumenti: 240° ∈ on III koordinaatveerand, seega ctg (4π/3) > 0. Samamoodi puutuja puhul, mis meil on: 30° ∈ on I koordinaadiveerand, s.o. lihtsaim nurk. Seetõttu tg (π/6) > 0. Jällegi saime kaks positiivset avaldist – ka nende korrutis saab olema positiivne. Seetõttu ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Lõpetuseks heidame pilgu veel mõnele väljakutseid pakkuvad ülesanded. Lisaks trigonomeetrilise funktsiooni märgi väljaselgitamisele tuleb siin teha väike arvutus – täpselt nagu seda tehakse reaalülesannetes B11. Põhimõtteliselt on need peaaegu reaalsed ülesanded, mida matemaatika eksamil tõesti leidub.

Ülesanne. Leia sin α, kui sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Kuna sin 2 α = 0,64, on meil: sin α = ±0,8. Jääb üle otsustada: pluss või miinus? Eeldusel, et nurk α ∈ [π/2; π] on II koordinaatveerand, kus kõik siinused on positiivsed. Seetõttu sin α = 0,8 - määramatus märkidega on välistatud.

Ülesanne. Leia cos α, kui cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Me käitume sarnaselt, st. väljavõte Ruutjuur: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Eeldusel on nurk α ∈ [π; 3π/2], st. räägime III koordinaatide kvartalist. Seal on kõik koosinused negatiivsed, seega cos α = −0,2.

Ülesanne. Leidke sin α, kui sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meil on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Jällegi vaatame nurka: α ∈ on IV koordinaatide veerand, milles, nagu teate, on siinus negatiivne. Seega järeldame: sin α = −0,5.

Ülesanne. Leidke tg α, kui tg 2 α = 9 ja α ∈ .

Kõik on sama, ainult puutuja jaoks. Võtame ruutjuure: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Kuid tingimuse kohaselt on nurk α ∈ I-koordinaadi kvadrant. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid, sh. puutuja, on positiivseid, seega tg α = 3. See on kõik!

Võrdlusandmed puutuja (tg x) ja kotangensi (ctg x) kohta. Geomeetriline definitsioon, omadused, graafikud, valemid. Puutujate ja kotangentide tabel, tuletised, integraalid, jada laiendused. Avaldised keeruliste muutujate kaudu. Seos hüperboolsete funktsioonidega.

Geomeetriline määratlus

|BD| - punktis A tsentreeritud ringikaare pikkus.
α on radiaanides väljendatud nurk.

Tangent ( tgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub hüpotenuusi ja jala vahelisest nurgast α täisnurkne kolmnurk, võrdub vastasjala pikkuse suhtega |BC| külgneva jala pikkusele |AB| .

Kotangent ( ctgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| vastasjala pikkuseni |BC| .

Tangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on puutuja tähistatud järgmiselt:
.
;
;
.

Puutujafunktsiooni graafik, y = tg x

Kotangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on kootangens tähistatud järgmiselt:
.
Samuti on kasutusele võetud järgmine märge:
;
;
.

Kootangensfunktsiooni graafik, y = ctg x

Tangensi ja kotangensi omadused

Perioodilisus

Funktsioonid y= tg x ja y= ctg x on perioodilised perioodiga π.

Pariteet

Funktsioonid puutuja ja kotangent on paaritud.

Määratlusvaldkonnad ja väärtused, tõusev, kahanev

Funktsioonid tangens ja kotangent on oma definitsioonipiirkonnas pidevad (vt pidevuse tõestust). Puutuja ja kotangensi peamised omadused on toodud tabelis ( n- täisarv).

Valemid

Avaldised siinuse ja koosinuse mõistes

; ;
; ;
;

Summa ja vahe puutuja ja kotangensi valemid

Ülejäänud valemeid on näiteks lihtne hankida

Puutujate korrutis

Puutujate summa ja erinevuse valem

See tabel näitab mõne argumendi väärtuse puutujate ja kotangentide väärtusi.

Avaldised kompleksarvude kujul

Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi

;
;

Tuletised

; .

.
Funktsiooni muutuja x n-ndat järku tuletis:
.
Tangensi > > > valemite tuletamine ; kotangensi jaoks >>>

Integraalid

Laiendused seeriateks

Puutuja laienduse saamiseks x astmetes tuleb funktsioonide astmereas võtta mitu laienduse liiget sin x ja cos x ja jagage need polünoomid üksteiseks , . Selle tulemuseks on järgmised valemid.

Kell .

aadressil .
kus B n- Bernoulli numbrid. Need määratakse kas kordumise seose põhjal:
;
;
kus .
Või vastavalt Laplace'i valemile:

Pöördfunktsioonid

Tangensi ja kotangensi pöördfunktsioonid on vastavalt arktangens ja arkotangens.

Arktangent, arctg

, kus n- terve.

Kaare puutuja, arcctg

, kus n- terve.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
G. Korn, Matemaatika käsiraamat teadlastele ja inseneridele, 2012.

Kui olete juba tuttav trigonomeetriline ring ja tahan lihtsalt oma mälu värskendada üksikud elemendid, või olete täiesti kannatamatu, siis siin see on:

Siin analüüsime kõike üksikasjalikult samm-sammult.

Trigonomeetriline ring ei ole luksus, vaid vajadus

Trigonomeetria paljud on seotud läbimatu tihnikuga. Järsku kuhjub nii palju trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi, nii palju valemeid... Aga lõppude lõpuks see ei õnnestunud alguses ja ... edasi ja edasi ... puhas arusaamatus .. .

Väga oluline on mitte käega vehkida trigonomeetriliste funktsioonide väärtused, - öeldakse, väärtuste tabeliga saab alati kannust vaadata.

Kui vaatad pidevalt väärtustega tabelit trigonomeetrilised valemid Loobume sellest harjumusest!

Päästab meid! Töötate sellega mitu korda ja siis hüppab see teie pähe iseenesest. Miks see on parem kui laud? Jah, tabelist leiate piiratud arvu väärtusi, kuid ringilt - KÕIK!

Näiteks, ütleme, vaadates trigonomeetriliste valemite väärtuste standardtabel , mis on näiteks 300 kraadi või -45 siinus.

Mitte mingil juhul? .. saate muidugi ühendada redutseerimisvalemid... Ja vaadates trigonomeetrilist ringi, saate sellistele küsimustele lihtsalt vastata. Ja varsti saate teada, kuidas!

Ja otsustamisel trigonomeetrilised võrrandid ja ebavõrdsused ilma trigonomeetrilise ringita – üldse mitte kuskil.

Sissejuhatus trigonomeetrilisse ringi

Lähme järjekorras.

Kõigepealt kirjutage üles järgmised numbriseeriad:

Ja nüüd see:

Ja lõpuks see:

Muidugi on selge, et tegelikult on esiteks, teisel kohal on ja viimasel -. See tähendab, et oleme ahela vastu rohkem huvitatud.

Aga kui ilus see välja tuli! Sel juhul taastame selle “imelise redeli”.

Ja miks me seda vajame?

See ahel on siinuse ja koosinuse peamised väärtused esimeses kvartalis.

Joonistame sisse ristkülikukujuline süsteemühiku raadiusega ringi koordinaadid (see tähendab, et võtame suvalise raadiuse piki pikkust ja kuulutame selle pikkuse ühikuks).

"0-Start" tala küljest jätame noole (vt joonis) nurgad kõrvale.

Ringil saame vastavad punktid. Seega, kui projitseerime punktid igale teljele, saame ülaltoodud ahelast täpselt väärtused.

Miks see nii on, küsite?

Ärme võta kõike lahti. Kaaluge põhimõte, mis võimaldab teil toime tulla teiste sarnaste olukordadega.

Kolmnurk AOB on täisnurkne kolmnurk koos . Ja me teame, et nurga vastas asub hüpotenuusist kaks korda väiksem jalg (meie hüpotenuus = ringi raadius, see tähendab 1).

Seega AB= (ja seega OM=). Ja Pythagorase teoreemi järgi

Loodan, et nüüd sai midagi selgeks.

Nii et punkt B vastab väärtusele ja punkt M vastab väärtusele

Samamoodi ka ülejäänud esimese kvartali väärtustega.

Nagu aru saate, on meile tuttav telg (härg). koosinustelg, ja telg (oy) - siinuse telg . hiljem.

Koosinusteljel nullist vasakul (siinusteljel alla nulli) on loomulikult negatiivsed väärtused.

Niisiis, siin see on, KÕIKVÕIMAS, ilma milleta pole trigonomeetrias kusagil.

Aga kuidas trigonomeetrilist ringi kasutada, sellest räägime.