Logaritmilise avaldise valiku väärtuse arvutamine 4. Avaldiste teisendamine logaritmi omaduste abil: näited, lahendused

põhiomadused.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

samadel alustel

log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Logaritmide lahendamise näited

Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Üleminek uuele vundamendile

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on 2,7 ja kaks korda Lev Tolstoi sünniaasta.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada ja täpne väärtus eksponente ja Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Võtke avaldiste logaritm

Näide 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Arvutame omaduste 3,5 järgi

2.

3.

4. kus .

Näide 2 Leia x kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte logaritmi koos samadel alustel: logax ja logay. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Märge: võtmehetk siin - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad arvutada logaritmilist avaldist isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Selle fakti põhjal paljud proovipaberid. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.

Astendaja eemaldamine logaritmist

Seda on lihtne näha viimane reegel järgneb kahele esimesele. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgida ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil ​​on:

Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmide valemid. Logaritmid on lahenduste näited.

Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugejal ja nimetajal on sama arv: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mis ka tehti. Tulemuseks on vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui alused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui paneme c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata alles otsustamisel logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada, välja arvatud uuele sihtasutusele kolimine. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii:

Tõepoolest, mis juhtub, kui arvu b tõstetakse sellisel määral, et selle astme arv b annab arvu a? Täpselt nii: see on sama number a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi - paljud inimesed ripuvad selle küljes.

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis välja ruudu baasist ja logaritmi argumendist. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Neile, kes ei tea, see oli tõeline väljakutse eksamilt 🙂

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed. Neid leitakse pidevalt probleemidest ja üllataval kombel tekitavad nad probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

1. logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist endast on võrdne ühega.
2. loga 1 = 0 on. Alus a võib olla mis tahes, aga kui argument on üks - logaritm null! Kuna a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

Arvu b logaritm alusele a tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab sellise astme x () leidmist, mille korral võrdsus on tõene

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna nende põhjal lahendatakse peaaegu kõik ülesanded ja näited logaritmide põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide (3.4) summa ja erinevuse valemite arvutamisel kohtab üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kahekordne.
Kümne baaslogaritmi nimetatakse tavaliselt kümne baaslogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x).

Plaadilt on näha, et põhitõed pole protokollis kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on eksponent (tähistatakse ln(x)).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on 2,7 ja kaks korda Lev Tolstoi sünniaasta. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline kahe aluse logaritm on

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse sõltuvuse järgi

Ülaltoodud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmise huvides toon vaid mõned levinud näited kooli õppekava ja ülikoolid.

Logaritmide näited

Võtke avaldiste logaritm

Näide 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Arvutame omaduste 3,5 järgi

2.
Logaritmide erinevusomaduse järgi on meil

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. kus .

Näiliselt keeruline avaldis, mis kasutab reegleid, on vormile lihtsustatud

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2 Leia x kui

Lahendus. Arvutamiseks kasutame omadusi 5 ja 13 kuni viimase tähtajani

Asendage protokollis ja leinake

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtke muutuja logaritm, et kirjutada logaritm läbi liikmete summa

See on alles logaritmide ja nende omadustega tutvumise algus. Harjuta arvutusi, rikasta oma praktilisi oskusi – peagi läheb sul omandatud teadmisi vaja logaritmvõrrandite lahendamiseks. Olles uurinud selliste võrrandite lahendamise põhimeetodeid, laiendame teie teadmisi teise jaoks oluline teema- logaritmiline ebavõrdsus ...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu iga arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse põhiomadused.

Neid reegleid tuleb teada – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmilist ülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte sama alusega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on jagatise logaritm. Pange tähele: võtmepunkt siin on - samadel alustel. Kui alused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad arvutada logaritmilist avaldist isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmide alused on samad, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei käsitleta. Kuid pärast teisendusi ilmnevad üsna tavalised numbrid. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, kontroll – sarnaseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord – praktiliselt ilma muudatusteta) pakutakse eksamil.

Astendaja eemaldamine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi baasis või argumendis on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne mõista, et viimane reegel järgib nende kahte esimest. Kuid parem on see ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgida ODZ logaritmi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi, s.t. logaritmi endasse saab sisestada arvud enne logaritmi märki.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest esimese valemi järgi:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et nimetaja on logaritm, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil ​​on:

Ma arvan, et viimane näide vajab selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Nad esitasid seal seisva logaritmi aluse ja argumendi kraadidena ning võtsid välja indikaatorid - nad said “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugejal ja nimetajal on sama arv: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mis ka tehti. Tulemuseks on vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui alused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad valemid uuele baasile üleminekuks. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui paneme c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti on võimalik omavahel vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm on nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on ülesandeid, mida ei saa üldse lahendada, välja arvatud uuele sihtasutusele kolimine. Vaatleme paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid on täpsed eksponendid. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teise logaritmi ümber:

Kuna korrutis tegurite permutatsioonist ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning siis mõtlesime välja logaritmid.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme näitajatest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendamise käigus vaja esitada arv antud baasi logaritmina. Sel juhul aitavad meid valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii:

Tõepoolest, mis juhtub, kui arvu b tõstetakse sellisel määral, et selle astme arv b annab arvu a? Täpselt nii: see on sama number a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi - paljud inimesed ripuvad selle küljes.

Nagu uued baasteisendusvalemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis välja ruudu baasist ja logaritmi argumendist. Arvestades sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi pole kursis, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne 🙂

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida on raske omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsioonist tulenevad tagajärjed. Neid leitakse pidevalt probleemidest ja üllataval kombel tekitavad nad probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

1. logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: logaritm mis tahes baasile a sellest baasist endast on võrdne ühega.
2. loga 1 = 0 on. Alus a võib olla mis tahes, kuid kui argument on üks, on logaritm null! Kuna a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige tunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Loetletud võrdusi avaldiste teisendamisel logaritmidega kasutatakse nii paremalt vasakule kui ka vasakult paremale.

Väärib märkimist, et omaduste tagajärgi pole vaja pähe õppida: teisenduste tegemisel saab hakkama logaritmide põhiomadustega ja muude faktidega (näiteks b≥0 omadega), millest vastavad järgnevad tagajärjed. " Kõrvalmõju Selline lähenemine väljendub vaid selles, et lahendus on veidi pikem. Näiteks selleks, et teha ilma tagajärjeta, mida väljendatakse valemiga , ja alustades ainult logaritmide põhiomadustest, peate läbi viima järgmise kujuga teisenduste ahela: .

Sama võib öelda ka ülaltoodud loendi viimase omaduse kohta, mis vastab valemile , kuna see tuleneb ka logaritmide põhiomadustest. Peamine asi, millest tuleb aru saada, on see, et positiivse arvu aste, mille eksponendis on logaritm, on alati võimalik vahetada astme alust ja logaritmi märgi all olevat arvu. Ausalt öeldes märgime, et näiteid, mis hõlmavad seda tüüpi teisenduste rakendamist, on praktikas haruldased. Toome allpool mõned näited.

Numbriavaldiste teisendamine logaritmidega

Jäime meelde logaritmide omadused, nüüd on aeg õppida, kuidas neid avaldiste teisendamiseks praktikas rakendada. Loomulik on alustada numbriliste avaldiste, mitte muutujatega avaldiste teisendamisest, kuna nende põhjal on põhitõdesid mugavam ja lihtsam õppida. Nii me teeme ja alustame väga lihtsaid näiteid et õppida logaritmi soovitud omadust valima, kuid teeme näiteid järk-järgult keerulisemaks, kuni hetkeni, mil lõpptulemuse saamiseks tuleb rakendada mitut omadust järjest.

Logaritmide soovitud omaduse valimine

Logaritmi omadusi pole nii vähe ja on selge, et nende hulgast tuleb osata valida sobiv, mis antud juhul annab soovitud tulemuse. Tavaliselt pole seda keeruline teha, kui võrrelda teisendatava logaritmi või avaldise vormi logaritmi omadusi väljendavate valemite vasak- ja parempoolse osa tüüpidega. Kui ühe valemi vasak või parem pool vastab antud logaritmile või avaldisele, siis tõenäoliselt tuleks teisendusel kasutada just seda omadust. Järgmised näited näitavad seda selgelt.

Alustame näidetega avaldiste teisendamisest, kasutades logaritmi definitsiooni, mis vastab valemile a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Näide.

Võimalusel arvutada: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Lahendus.

Näites näitab täht a) selgelt struktuuri a log a b , kus a=5 , b=4 . Need arvud vastavad tingimustele a>0 , a≠1 , b>0 , seega võid julgelt kasutada võrdsust a log a b =b . Meil on 5 log 5 4=4 .

b) Siin a=10 , b=1+2 π on täidetud tingimused a>0, a≠1, b>0. Sel juhul toimub võrdsus 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) Ja selles näites on tegemist vormi a log a b astmega, kus ja b=ln15 . Niisiis .

Vaatamata kuulumisele samasse vormi a log a b (siin a=2 , b=−7 ), ei saa tähe d) all olevat avaldist teisendada valemiga a log a b =b . Põhjus on selles, et sellel pole mõtet, kuna see sisaldab logaritmimärgi all negatiivset arvu. Veelgi enam, arv b=−7 ei täida tingimust b>0, mis teeb võimatuks kasutada valemit a log a b =b, kuna see nõuab tingimusi a>0, a≠1, b>0. Seega ei saa me rääkida väärtuse 2 log 2 (−7) arvutamisest. Sel juhul oleks 2 log 2 (−7) = −7 kirjutamine viga.

Samamoodi on e-tähe all olevas näites võimatu anda vormilahendust , kuna algsel väljendil pole mõtet.

Vastus:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2 π) =1+2 π, c) , d), e) väljenditel pole mõtet.

Sageli on kasulik teisendada positiivne arv mõne positiivse mitteühearvu astmeks, mille eksponendis on logaritm. See põhineb logaritmi a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 samal definitsioonil, kuid valemit rakendatakse paremalt vasakule, see tähendab kujul b=a log a b . Näiteks 3=e ln3 või 5=5 log 5 5 .

Liigume edasi logaritmide omaduste kasutamise juurde avaldiste teisendamiseks.

Näide.

Leidke avaldise väärtus: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Lahendus.

Näidetes tähtede a), b) ja c) all on toodud avaldised log −2 1, log 1 1, log 0 1, millel pole mõtet, kuna logaritmi alus ei tohiks sisaldada negatiivset arvu, null või üks, sest oleme defineerinud logaritmi ainult positiivse ja mitteühikulise baasi jaoks. Seetõttu ei saa näidetes a) - c) avaldise väärtuse leidmisest juttugi olla.

Kõigis teistes ülesannetes on ilmselgelt logaritmide alustes positiivsed ja mitteühikulised arvud vastavalt 7, e, 10, 3,75 ja 5 π 7 ning ühikud on igal pool logaritmide märkide all. Ja me teame ühtsuse logaritmi omadust: log a 1=0 iga a>0 korral, a≠1 . Seega on avaldiste b) - f) väärtused võrdsed nulliga.

Vastus:

a), b), c) avaldistel pole mõtet, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0.

Näide.

Arvutage: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Lahendus.

On selge, et peame kasutama aluse logaritmi omadust, mis vastab valemile log a a=1, kui a>0 , a≠1 . Tõepoolest, kõigi tähtede all olevates ülesannetes langeb logaritmi märgi all olev arv kokku selle alusega. Seega tahan kohe öelda, et iga antud avaldise väärtus on 1 . Kuid ärge kiirustage järeldustega: tähtede a) - d) all olevates ülesannetes on avaldiste väärtused tõesti võrdsed ühega ning ülesannete e) ja f) algsed avaldised pole mõttekad, seega ei saa see olla öeldakse, et nende avaldiste väärtused on võrdsed 1-ga.

Vastus:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) väljenditel pole mõtet.

Näide.

Leidke väärtus: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Lahendus.

Ilmselgelt on logaritmide märkide all mõned baasi kraadid. Sellest lähtuvalt saame aru, et siin on kasulik baasi astme omadus: log a a p =p, kus a>0, a≠1 ja p on suvaline reaalarv. Seda arvestades on meil järgmised tulemused: a) log 3 3 11 =11 , b) , sisse) . Kas näitele on võimalik kirjutada sarnane võrdsus vormi log −10 (−10) 6 =6 tähe d) alla? Ei, ei saa, sest log −10 (−10) 6 ei ole mõttekas.

Vastus:

a) log 3 3 11 = 11, b) , sisse) d) väljendil pole mõtet.

Näide.

Väljendage avaldist samas baasis olevate logaritmide summa või erinevusena: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Lahendus.

a) Korrutis on logaritmi märgi all ja me teame korrutise logaritmi omadust log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . Meie puhul on logaritmi aluse arv ja korrutis olevad arvud positiivsed, see tähendab, et need vastavad valitud omaduse tingimustele, seega saame seda ohutult rakendada: .

b) Siin kasutame jagatise logaritmi omadust, kus a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . Meie puhul on logaritmi aluseks positiivne arv e, lugeja ja nimetaja π on positiivsed, mis tähendab, et need vastavad omaduse tingimustele, seega on meil õigus kasutada valitud valemit: .

c) Esiteks pane tähele, et avaldis lg((−5) (−12)) on mõttekas. Kuid samal ajal ei ole meil õigust rakendada korrutise logaritmi valemit log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , kuna arvud −5 ja −12 on negatiivsed ega täida tingimusi x>0 , y>0 . See tähendab, et sellist ümberkujundamist on võimatu läbi viia: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Aga mida teha? Sellistel juhtudel tuleb algne avaldis negatiivsete arvude vältimiseks eelnevalt teisendada. Räägime üksikasjalikult sarnastest negatiivsete arvudega avaldiste teisendamise juhtudest ühes logaritmi märgi all, kuid praegu anname sellele näitele lahenduse, mis on eelnevalt selge ja ilma selgitusteta: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Vastus:

a) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Näide.

Lihtsusta avaldist: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Lahendus.

Siin aitavad meid kõik samad korrutise logaritmi ja jagatise logaritmi omadused, mida kasutasime eelmistes näidetes, ainult nüüd rakendame neid paremalt vasakule. See tähendab, et teisendame logaritmide summa korrutise logaritmiks ja logaritmide erinevuse jagatise logaritmiks. Meil on
a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5) = log 3 2.
b) .

Vastus:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Näide.

Vabanege astmest logaritmi märgi all: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Lahendus.

On lihtne näha, et tegemist on selliste väljenditega nagu log a b p . Logaritmi vastav omadus on log a b p =p log a b , kus a>0 , a≠1 , b>0 , p on suvaline reaalarv. See tähendab, et tingimustel a>0 , a≠1 , b>0 saame astme logaritmist a b p minna korrutisele p·log a b . Teeme selle teisenduse etteantud avaldistega.

a) Sel juhul a=0,7, b=5 ja p=11. Seega log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Siin on täidetud tingimused a>0, a≠1, b>0. Sellepärast

c) Avaldis log 3 (−5) 6 on sama struktuuriga log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Kuid b puhul ei ole tingimus b>0 täidetud, mistõttu on võimatu rakendada valemit log a b p =p log a b . Miks sa siis seda tööd teha ei saa? See on võimalik, kuid vajalik on avaldise esialgne teisendus, mida käsitleme üksikasjalikult allpool pealkirja all olevas lõigus. Lahendus saab olema selline: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 log 3 5.

Vastus:

a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Üsna sageli tuleb teisenduste tegemisel astme logaritmi valemit rakendada paremalt vasakule kujul p log a b \u003d log a b p (see nõuab samu tingimusi a, b ja p jaoks). Näiteks 3 ln5=ln5 3 ja lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Näide.

a) Arvutage log 2 5 väärtus, kui on teada, et lg2≈0,3010 ja lg5≈0,6990. b) Kirjuta murdosa logaritmina alusele 3.

Lahendus.

a) Logaritmi uuele alusele ülemineku valem võimaldab seda logaritmi esitada suhtena kümnendlogaritmid, mille väärtused on meile teada: . Jääb ainult arvutused teha, meil on .

b) Siin piisab, kui kasutada uuele alusele ülemineku valemit ja rakendada seda paremalt vasakule, see tähendab kujul . Saame .

Vastus:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Selles etapis oleme üsna põhjalikult kaalunud kõige lihtsamate avaldiste teisendamist, kasutades logaritmi põhiomadusi ja logaritmi definitsiooni. Nendes näidetes pidime kasutama ühte omadust ja mitte midagi muud. Nüüd võib puhta südametunnistusega liikuda edasi näidete juurde, mille teisendamiseks on vaja kasutada logaritmide ja muude lisateisenduste mitmeid omadusi. Neid käsitleme järgmises lõigus. Aga enne seda peatume põgusalt näidetel logaritmide põhiomadustest tulenevate tagajärgede rakendamise kohta.

Näide.

a) Vabane logaritmi märgi all olevast juurest. b) Teisendage murd 5-aluseliseks logaritmiks. c) Vabane logaritmi märgi all ja selle aluses olevatest astmetest. d) Arvutage avaldise väärtus . e) Asendage avaldis astmega 3. alusega.

Lahendus.

a) Kui tuletame meelde järeldust astme logaritmi omadusest , siis saad kohe vastata: .

b) Siin kasutame valemit paremalt vasakule, meil on .

c) Sel juhul viib valem tulemuseni . Saame .

d) Ja siin piisab, kui rakendada järelmõju, millele valem vastab . Niisiis .

e) Logaritmi omadus võimaldab meil saavutada soovitud tulemuse: .

Vastus:

a) . b) . sisse) . G) . e) .

Mitme atribuudi järjepidev rakendamine

Tegelikud ülesanded avaldiste teisendamiseks, kasutades logaritmi omadusi, on tavaliselt keerulisemad kui need, mida käsitlesime eelmises lõigus. Neis reeglina ei saada tulemust ühe sammuga, vaid lahendus seisneb juba ühe omaduse järjestikuses rakendamises teise järel koos täiendavate identsete teisendustega, nagu sulgude avamine, sarnaste terminite taandamine, murdude vähendamine jne. . Nii et läheme sellistele näidetele lähemale. Selles pole midagi keerulist, peamine on tegutseda hoolikalt ja järjekindlalt, jälgides toimingute sooritamise järjekorda.

Näide.

Arvutage avaldise väärtus (log 3 15-log 3 5) 7 log 7 5.

Lahendus.

Sulgudes olevate logaritmide erinevuse jagatise logaritmi omadusega saab asendada logaritmiga log 3 (15:5) ja seejärel arvutada selle väärtuse log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Ja avaldise 7 log 7 5 väärtus logaritmi definitsiooni järgi on 5 . Asendades need tulemused algse avaldisega, saame (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Siin on lahendus ilma selgituseta:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Vastus:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Näide.

Mis on arvavaldise log 3 log 2 2 3 −1 väärtus?

Lahendus.

Teisendame esmalt logaritmi, mis on logaritmi märgi all, astme logaritmi valemi järgi: log 2 2 3 =3. Seega log 3 log 2 2 3 =log 3 3 ja siis log 3 3=1 . Seega log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Vastus:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Näide.

Lihtsustage väljendit.

Lahendus.

Logaritmi uueks baasiks teisendamise valem võimaldab esitada logaritmide ja ühe aluse suhet logaritmina 3 5 . Sel juhul on algne avaldis kujul . Logaritmi definitsiooni järgi 3 log 3 5 =5 , st , ja saadud avaldise väärtus on sama logaritmi määratluse kohaselt võrdne kahega.

Siin on lahenduse lühiversioon, mis tavaliselt antakse: .

Vastus:

.

Sujuvaks üleminekuks järgmise lõigu infole vaatame avaldisi 5 2+log 5 3 ja lg0.01 . Nende struktuur ei sobi ühegi logaritmi omadusega. Mis juhtub siis, kui neid ei saa logaritmide omadusi kasutades teisendada? See on võimalik, kui teete eelteisendusi, mis valmistavad need avaldised ette logaritmide omaduste rakendamiseks. Niisiis 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, ja lg0,01=lg10 −2 = −2 . Edasi mõistame üksikasjalikult, kuidas selline väljendite ettevalmistamine toimub.

Avaldiste ettevalmistamine logaritmide omaduste rakendamiseks

Teisendatud avaldises olevad logaritmid erinevad väga sageli tähise struktuuri poolest valemite vasak- ja parempoolsest osast, mis vastavad logaritmide omadustele. Kuid sama sageli hõlmab nende avaldiste teisendamine logaritmide omaduste kasutamist: nende kasutamiseks on vaja ainult esialgne ettevalmistus. Ja see ettevalmistus seisneb teatud identsete teisenduste tegemises, mis viivad logaritmid omaduste rakendamiseks mugavasse vormi.

Ausalt öeldes märgime, et peaaegu kõik avaldiste teisendused võivad toimida esialgsete teisendustena, alates sarnaste terminite banaalsest redutseerimisest kuni rakenduseni. trigonomeetrilised valemid. See on arusaadav, kuna teisendatud avaldised võivad sisaldada mis tahes matemaatilisi objekte: sulud, moodulid, murded, juured, kraadid jne. Seega tuleb logaritmide omadustest täiendavalt kasu saamiseks olla valmis sooritama mis tahes vajalikku teisendust.

Ütleme kohe, et selles lõigus ei sea me endale ülesandeks klassifitseerida ja analüüsida kõiki mõeldavaid eelteisendusi, mis võimaldavad edaspidi rakendada logaritmide omadusi või logaritmi definitsiooni. Siin keskendume neist vaid neljale, mis on kõige iseloomulikumad ja praktikas kõige sagedamini kohatud.

Ja nüüd neist igaühe kohta üksikasjalikult, pärast mida jääb meie teema raames ainult logaritmide märkide all olevate muutujatega avaldiste teisendamine.

Astmete valik logaritmi märgi all ja selle baasis

Alustame kohe näitega. Olgu meil logaritm. Ilmselgelt ei soodusta selle struktuur sellisel kujul logaritmide omaduste kasutamist. Kas seda avaldist on võimalik kuidagi muuta, et seda lihtsustada või veel paremini selle väärtust välja arvutada? Sellele küsimusele vastamiseks vaatame meie näite kontekstis lähemalt numbreid 81 ja 1/9. Siin on lihtne näha, et neid arve saab esitada astmena 3, tõepoolest, 81=3 4 ja 1/9=3 −2 . Sel juhul esitatakse algne logaritm kujul ja saab võimalikuks valemit rakendada . Niisiis, .

Analüüsitud näite analüüsimisel tekib järgmine mõte: võimalusel võib proovida astme esile tõsta logaritmi märgi all ja selle alusel, et rakendada astme logaritmi omadust või selle tagajärge. Jääb vaid välja mõelda, kuidas neid kraade välja tuua. Anname selles küsimuses mõned soovitused.

Mõnikord on üsna ilmne, et logaritmi märgi all ja/või selle aluses olev arv tähistab mingit täisarvu võimsust, nagu eespool käsitletud näites. Peaaegu pidevalt tuleb tegeleda kahe astmetega, mis on hästi tuttavad: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512 = 2 9, 1024 = 2 10 . Sama võib öelda ka kolmiku astmete kohta: 9=3 2, 27=3 3, 81=3 4, 243=3 5, ... Üldiselt ei tee haiget, kui on kraaditabel naturaalarvud kümne jooksul. Samuti pole keeruline töötada täisarvudega kümne, saja, tuhande jne.

Näide.

Arvutage väärtus või lihtsustage avaldist: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Lahendus.

a) Ilmselgelt 216=6 3, seega log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Naturaalarvude astmete tabel võimaldab esitada arve 343 ja 1/243 vastavalt astmetena 7 3 ja 3 −4. Seetõttu on võimalik antud logaritmi järgmine teisendus:

c) Kuna 0,000001 = 10 -6 ja 0,001 = 10 -3, siis log 0,000001 0,001 = log 10 -6 10 -3 = (-3)/(-6) = 1/2.

Vastus:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

Rohkem rasked juhtumid numbrite võimete esiletõstmiseks peate kasutama.

Näide.

Teisenda avaldis rohkemaks selge nägemine logi 3 648 log 2 3 .

Lahendus.

Vaatame, milleks on arvu 648 laienemine peamised tegurid:

See tähendab, et 648 = 2 3 3 4 . Sellel viisil, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Nüüd teisendame korrutise logaritmi logaritmide summaks, mille järel rakendame astme logaritmi omadusi:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Tänu astme logaritmi omadusele, mis vastab valemile , korrutis log32 log23 on korrutis , ja see on teadaolevalt võrdne ühega. Seda arvestades saame 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Vastus:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Üsna sageli on avaldised logaritmi märgi all ja selle aluses mõne arvu juurte ja/või astmete korrutised või suhted, näiteks , . Sarnaseid väljendeid saab esitada kraadina. Selleks viiakse läbi ja rakendatakse üleminek juurtelt kraadidele. Need teisendused võimaldavad valida astmeid logaritmi märgi all ja selle baasis ning seejärel rakendada logaritmide omadusi.

Näide.

Arvutage: a) , b).

Lahendus.

a) Logaritmi baasis olev avaldis on samade alustega astmete korrutis meil olevate astmete vastava omaduse järgi 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Nüüd teisendame murdu logaritmi märgi all: liigume juurest astmele, mille järel kasutame samade alustega kraadide suhte omadust: .

Jääb alles asendada algses avaldises saadud tulemused, kasutada valemit ja lõpetage ümberkujundamine:

b) Kuna 729=3 6 ja 1/9=3 −2 , saab algse avaldise ümber kirjutada kujule .

Järgmisena rakendage astendaja juure omadust, liikuge juurest astendajale ja kasutage astmete suhte omadust, et teisendada logaritmi alus astmeks: .

Arvestades viimane tulemus, meil on .

Vastus:

a) , b).

On selge, et üldiselt võib logaritmi märgi all ja selle aluses olevate võimsuste saamiseks vaja minna erinevate avaldiste erinevaid teisendusi. Toome paar näidet.

Näide.

Mis on avaldise väärtus: a) , b) .

Lahendus.

Lisaks märgime, et antud avaldis on kujul log A B p , kus A=2 , B=x+1 ja p=4 . Numbrilised avaldised seda tüüpi teisendasime vastavalt astme log a b p \u003d p log a b logaritmi omadusele, seetõttu tahan antud avaldisega teha sama ja minna log 2 (x + 1) 4 juurest 4 log 2 (x + 1) . Ja nüüd arvutame algse avaldise väärtuse ja pärast teisendust saadud avaldise väärtuse, näiteks x=−2 . Meil on log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ja 4 log 2 (−2+1) = 4 log 2 (−1)- mõttetu väljend. See tõstatab õigustatud küsimuse: "Mida me valesti tegime"?

Ja põhjus on järgmine: teostasime teisenduse log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , lähtudes valemist log a b p =p log a b, kuid meil on õigus rakendada ainult seda valemit kui tingimused a >0 , a≠1 , b>0 , p - mis tahes reaalarv. See tähendab, et meie poolt tehtud teisendus toimub juhul, kui x+1>0 , mis on sama x>−1 (A ja p puhul on tingimused täidetud). Kuid meie puhul ei koosne algse avaldise muutuja x ODZ mitte ainult intervallist x> −1 , vaid ka intervallist x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Vajadus arvestada ODZ-ga

Jätkame valitud avaldise log 2 (x+1) 4 teisenduse analüüsimist ja nüüd vaatame, mis juhtub ODZ-ga, kui minna üle avaldisele 4 log 2 (x+1) . Eelmises lõigus leidsime algse avaldise ODZ - see on hulk (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Nüüd leiame selle piirkonna lubatud väärtused muutuja x avaldise 4 jaoks log 2 (x+1) . See määratakse tingimusega x+1>0 , mis vastab hulgale (−1, +∞) . On ilmne, et liikudes log 2 (x+1) 4-lt 4·log 2-le (x+1), kitseneb lubatud väärtuste vahemik. Ja leppisime kokku, et väldime reforme, mis viivad ODZ-i kitsenemiseni, kuna see võib kaasa tuua mitmesuguseid negatiivseid tagajärgi.

Siinkohal tasub enda jaoks märkida, et ODZ-d on kasulik igal teisenduse etapil juhtida ja mitte lasta sellel kitseneda. Ja kui äkki muutus mõnes etapis ODZ-i kitsenemist, siis tasub väga hoolikalt uurida, kas see ümberkujundamine on lubatud ja kas meil oli õigus seda teha.

Ausalt öeldes ütleme, et praktikas peame tavaliselt töötama avaldistega, milles muutujate ODZ on selline, mis võimaldab piiranguteta kasutada logaritmide omadusi meile juba teadaoleval kujul nii vasakult paremale kui ka alates. teisenduste tegemisel paremalt vasakule. Sellega harjute kiiresti ja hakkate muudatusi mehaaniliselt läbi viima, mõtlemata sellele, kas neid oli võimalik läbi viia. Ja sellistel hetkedel lipsavad õnne korral läbi keerulisemad näited, milles logaritmide omaduste ebatäpne rakendamine toob kaasa vigu. Seega peate alati olema valvel ja veenduma, et ODZ-d ei kitseneks.

Ei ole valus eraldi esile tõsta logaritmide omadustel põhinevaid peamisi teisendusi, mida tuleb teha väga hoolikalt, mis võib viia DPV kitsenemiseni ja selle tulemusena vigadeni:

Mõned avaldiste teisendused vastavalt logaritmide omadustele võivad viia ka vastupidise - ODZ laienemiseni. Näiteks 4-lt log 2 (x+1)-lt log 2-le (x+1) 4 minnes pikendatakse ODZ-d hulgast (−1, +∞) väärtuseni (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . Sellised teisendused toimuvad, kui jääte algse avaldise jaoks ODZ-sse. Nii et äsja mainitud teisendus 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 toimub algse avaldise 4 log 2 (x+1) ODZ muutujal x, st kui x+1> 0 , mis on sama, mis (−1, +∞) .

Nüüd, kui oleme arutanud nüansse, millele peate logaritmide omadusi kasutades muutujatega avaldiste teisendamisel tähelepanu pöörama, jääb üle välja mõelda, kuidas neid teisendusi õigesti teha.

X+2>0. Kas see meie puhul töötab? Sellele küsimusele vastamiseks vaatame muutuja x DPV-d. Selle määrab ebavõrdsuse süsteem , mis on samaväärne tingimusega x+2>0 (vajadusel vaadake artiklit võrratussüsteemide lahendus). Seega saame ohutult rakendada astme logaritmi omadust.

Meil on
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)-log(x+2)-5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21-1-20)lg(x+2)=0 .

Saate tegutseda teisiti, kuna ODZ võimaldab teil seda teha, näiteks järgmiselt:

Vastus:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Ja mida teha, kui ODZ-s ei ole logaritmide omadustega seotud tingimused täidetud? Käsitleme seda näidete varal.

Olgu meil nõutud avaldise lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 lihtsustamist. Selle avaldise teisendus, erinevalt eelmise näite avaldisest, ei võimalda astme logaritmi omadust vabalt kasutada. Miks? Muutuja x ODZ on sel juhul kahe intervalli x>−2 ja x liit<−2 . При x>−2 saame ohutult rakendada astme logaritmi omadust ja toimida nagu ülaltoodud näites: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Kuid ODZ sisaldab veel ühte intervalli x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 ja edasi lg|x+2| võimsusomaduste tõttu 4−lg|x+2| 2. Saadud avaldist saab teisendada vastavalt astme logaritmi omadusele, kuna |x+2|>0 muutuja mis tahes väärtuste korral. Meil on log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Nüüd saate moodulist lahti saada, kuna see on oma töö teinud. Kuna me teisendame punktis x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Vaatleme veel ühte näidet, et moodulitega töötamine oleks tuttav. Mõelgem väljendist lähevad üle lineaarsete binoomide x−1 , x−2 ja x−3 logaritmide summale ja erinevusele. Kõigepealt leiame ODZ-i:

Intervallil (3, +∞) on avaldiste x−1 , x−2 ja x−3 väärtused positiivsed, nii et saame julgelt rakendada summa ja erinevuse logaritmi omadusi:

Ja intervallil (1, 2) on avaldise x−1 väärtused positiivsed ning avaldiste x−2 ja x−3 väärtused negatiivsed. Seetõttu esindame vaadeldaval intervallil x−2 ja x−3, kasutades moodulit kui −|x−2| ja −|x−3| vastavalt. Kus

Nüüd saame rakendada korrutise logaritmi ja jagatise omadusi, kuna vaadeldaval intervallil (1, 2) on avaldiste väärtused x−1 , |x−2| ja |x−3| - positiivne.

Meil on

Saadud tulemusi saab kombineerida:

Üldiselt võimaldab sarnane arutluskäik korrutise, suhte ja astme logaritmi valemite põhjal saada kolm praktiliselt kasulikku tulemust, mida on üsna mugav kasutada:

• Kahe suvalise avaldise X ja Y korrutise logaritmi kujul log a (X·Y) saab asendada logaritmide summaga log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Spetsiaalse logaritmi log a (X:Y) saab asendada logaritmide erinevusega log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X ja Y on suvalised avaldised.
• Mõne avaldise B logaritmist paarisastmeni p kujul log a B p saab üle minna avaldisele p log a |B| , kus a>0 , a≠1 , p on paarisarv ja B on suvaline avaldis.

Sarnased tulemused on toodud näiteks M. I. Skanavi toimetatud eksponent- ja logaritmvõrrandite lahendamise juhistes ülikoolidesse kandideerijatele mõeldud matemaatika ülesannete kogumikus.

Näide.

Lihtsustage väljendit .

Lahendus.

Hea oleks rakendada astme, summa ja vahe logaritmi omadusi. Aga kas me saame seda siin teha? Sellele küsimusele vastamiseks peame teadma ODZ-d.

Määratleme selle:

On üsna ilmne, et muutuja x võimalike väärtuste vahemiku avaldised x+4 , x−2 ja (x+4) 13 võivad võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Seetõttu peame töötama läbi moodulite.

Mooduli omadused võimaldavad teil ümber kirjutada kujul , nii

Samuti ei takista miski teil kasutada astme logaritmi omadust ja seejärel tuua sarnaseid termineid:

Teine teisenduste jada viib sama tulemuseni:

ja kuna avaldis x−2 võib võtta ODZ-l nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi, siis paarisaste 14.

\(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selgitame seda lihtsamalt. Näiteks \(\log_(2)(8)\) on võrdne võimsusega \(2\), mida tuleb \(8\) saamiseks suurendada. Sellest on selge, et \(\log_(2)(8)=3\).

Argument ja logaritmi alus

Igal logaritmil on järgmine "anatoomia":

Logaritmi argument kirjutatakse tavaliselt selle tasemel ja alus kirjutatakse alamindeksiga, mis on lähemal logaritmi märgile. Ja seda kirjet loetakse järgmiselt: "kahekümne viie logaritm viie baasini."

Kuidas logaritmi arvutada?

Logaritmi arvutamiseks peate vastama küsimusele: mil määral tuleks argumendi saamiseks baasi tõsta?

Näiteks, arvuta logaritm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Millise astmeni tuleb \(4\) tõsta, et saada \(16\)? Ilmselgelt teine. Sellepärast:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(5)\) tõsta, et saada \(1\)? Ja mis aste teeb igast arvust ühiku? Null, muidugi!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(7)\) suurendada, et saada \(\sqrt(7)\)? Esimeses - mis tahes arv esimeses astmes võrdub iseendaga.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Millise astmeni tuleb \(3\) tõsta, et saada \(\sqrt(3)\)? Me teame, et see on murdarv ja seetõttu on ruutjuur astme \(\frac(1)(2)\) aste.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Näide : Arvutage logaritm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lahendus :

Vastus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miks leiutati logaritm?

Selle mõistmiseks lahendame võrrandi: \(3^(x)=9\). Võrdõiguslikkuse toimimiseks tehke lihtsalt vaste \(x\). Muidugi \(x=2\).

Nüüd lahendage võrrand: \(3^(x)=8\. Millega x võrdub? See on asja mõte.

Kõige geniaalsem ütleb: "X on natuke vähem kui kaks." Kuidas see number täpselt kirjutada tuleb? Sellele küsimusele vastamiseks mõtlesid nad välja logaritmi. Tänu temale saab siin vastuse kirjutada kujul \(x=\log_(3)(8)\).

Tahan rõhutada, et \(\log_(3)(8)\), samuti iga logaritm on vaid arv. Jah, see tundub ebatavaline, kuid on lühike. Sest kui sooviksime seda kirjutada kümnendkohana, näeks see välja järgmine: \(1.892789260714.....\)

Näide : lahendage võrrand \(4^(5x-4)=10\)

Lahendus :

Vastus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Kümnend- ja naturaallogaritmid

Nagu on öeldud logaritmi definitsioonis, võib selle alus olla mis tahes positiivne arv, välja arvatud üks \((a>0, a\neq1)\). Ja kõigi võimalike aluste hulgas on kaks, mis esinevad nii sageli, et nendega koos olevate logaritmide jaoks leiutati spetsiaalne lühike tähistus:

Naturaalne logaritm: logaritm, mille alus on Euleri arv \(e\) (võrdub ligikaudu \(2,7182818…\)) ja logaritm on kirjutatud kujul \(\ln(a)\).

See on, \(\ln(a)\) on sama mis \(\log_(e)(a)\)

Kümnendlogaritm: Logaritm, mille alus on 10, kirjutatakse \(\lg(a)\).

See on, \(\lg(a)\) on sama mis \(\log_(10)(a)\), kus \(a\) on mingi arv.

Põhiline logaritmiline identiteet

Logaritmidel on palju omadusi. Ühte neist nimetatakse "logaritmiliseks põhiidentiteediks" ja see näeb välja järgmine:

See omadus tuleneb otseselt määratlusest. Vaatame, kuidas see valem tekkis.

Tuletage meelde logaritmi lühike definitsioon:

kui \(a^(b)=c\), siis \(\log_(a)(c)=b\)

See tähendab, et \(b\) on sama mis \(\log_(a)(c)\). Siis saame valemis \(a^(b)=c\) \(b\) asemel kirjutada \(\log_(a)(c)\) . Selgus \(a^(\log_(a)(c))=c\) - peamine logaritmiline identiteet.

Ülejäänud logaritmide omadused leiate. Nende abiga saate lihtsustada ja arvutada avaldiste väärtusi logaritmidega, mida on raske otse arvutada.

Näide : leidke avaldise \(36^(\log_(6)(5))\) väärtus

Lahendus :

Vastus : \(25\)

Kuidas kirjutada arv logaritmina?

Nagu eespool mainitud, on iga logaritm vaid arv. Tõsi on ka vastupidi: logaritmina saab kirjutada mis tahes arvu. Näiteks teame, et \(\log_(2)(4)\) on võrdne kahega. Siis saab kahe asemel kirjutada \(\log_(2)(4)\).

Kuid \(\log_(3)(9)\) on samuti võrdne \(2\), nii et võite kirjutada ka \(2=\log_(3) (9)\) . Samamoodi \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. See tähendab, et selgub

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Seega, kui vaja, saame need kaks kirjutada logaritmina mis tahes alusega suvalises kohas (isegi võrrandis, isegi avaldises, isegi ebavõrdsuses) - me kirjutame lihtsalt argumendina ruudukujulise aluse.

Sama on kolmikuga – selle saab kirjutada \(\log_(2)(8)\) või \(\log_(3)(27)\) või \(\log_(4)( 64) \) ... Siin kirjutame argumendina kuubi aluse:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljaga:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinus ühega:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ja ühe kolmandikuga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mis tahes arvu \(a\) saab esitada logaritmina alusega \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Näide : avaldise väärtuse leidmine \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lahendus :

Vastus : \(1\)

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate riiklike organite avalike taotluste või taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Teatavasti liidetakse avaldiste astmetega korrutamisel alati nende eksponendid (a b * a c = a b + c). Selle matemaatilise seaduse tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvunäitajate tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja kohmakas korrutamine lihtsaks liitmiseks lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtne ja juurdepääsetav keel.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) "b" logaritmi vastavalt selle alusele "a" peetakse "c" astmeks. ", millele on vaja tõsta alus "a", et lõpuks saada väärtus "b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, tuleb leida selline kraad, et 2-st kuni vajaliku kraadini saad 8. Mõttes arvutusi tehes saame numbri 3! Ja õigustatult, sest 2 astmel 3 annab vastuses arvu 8.

Logaritmide sordid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Logaritmilisi avaldisi on kolme erinevat tüüpi:

1. Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
2. Kümnend a, kus alus on 10.
3. Mis tahes arvu b logaritm baasile a>1.

Igaüks neist on lahendatud standardsel viisil, sealhulgas lihtsustamine, taandamine ja sellele järgnev taandamine ühele logaritmile, kasutades logaritmilisi teoreeme. Logaritmide õigete väärtuste saamiseks tuleks otsuste tegemisel meeles pidada nende omadusi ja toimingute järjekorda.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, see tähendab, et need ei kuulu arutelule ja on tõesed. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsetest arvudest paarisastme juurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida, kuidas töötada isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• alus "a" peab alati olema suurem kui null ja samal ajal ei tohi olla võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
• kui a > 0, siis a b > 0, selgub, et "c" peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks anti ülesanne leida vastus võrrandile 10 x \u003d 100. See on väga lihtne, peate valima sellise astme, tõstes arvu kümme, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 \u003d 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilise avaldisena. Saame log 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt sellele, et leida, mil määral tuleb antud arvu saamiseks sisestada logaritmi alus.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõtteviis ja teadmised korrutustabelist. Siiski selleks suured väärtused vajate kraadide tabelit. Seda saavad kasutada ka need, kes keerulistes matemaatilistes teemades üldse millestki aru ei saa. Vasakpoolses veerus on arvud (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, millele tõstetakse arv a. Lahtrite ristumiskohas määratakse numbrite väärtused, mis on vastus (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrrandina kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada logaritmina 81 alusele 3, mis on neli (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid osi on "logaritmide" teema. Vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi veidi madalamal, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antakse avaldis järgmisel kujul: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline ebavõrdsus, kuna tundmatu väärtus "x" on logaritmi märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm aluses kahes on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) viitavad ühele või mitmele konkreetsele arvväärtusi, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel määratakse nii selle funktsiooni lubatud väärtuste vahemik kui ka katkestuspunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude komplekt, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev seeria või numbrite komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete ülesannete lahendamisel logaritmi väärtuste leidmisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Tutvume võrrandite näidetega hiljem, analüüsime esmalt iga omadust üksikasjalikumalt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. eelduseks on: d, s1 ja s2 > 0; a≠1. Selle logaritmi valemi kohta saate esitada tõestuse näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (kraadiomadused ), ja edasi definitsiooni järgi: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mida tuli tõestada.
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika toetub tavalistele postulaatidele. Vaatame tõestust.

Logige logima a b \u003d t, selgub a t \u003d b. Kui tõstad mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmiülesannete tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need sisalduvad ka matemaatika eksamite kohustuslikes osades. Ülikooli astumiseks või matemaatika sisseastumiskatsete sooritamiseks peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või taandada üldine vaade. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega varsti tuttavaks.

Logaritmivõrrandite lahendamisel tuleb kindlaks teha, milline logaritm meil ees on: avaldise näide võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et peate määrama, mil määral on baas 10 võrdne vastavalt 100 ja 1026-ga. Lahenduste jaoks naturaallogaritmid tuleb rakendada logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame lahendust näidetega. logaritmilised probleemid erinevat tüüpi.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid peamiste teoreemide kasutamisest logaritmidel.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada esmapilgul keeruline ja lahendamatu avaldis. On vaja ainult baas faktoriseerida ja seejärel võtta eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ülesanded eksamilt

Sisseastumiseksamitel leidub sageli logaritme, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtse riigieksami puhul (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A-osas (eksami kõige lihtsam testiosa), vaid ka C-osas (kõige raskemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab täpset ja täiuslikud teadmised teema "Looduslikud logaritmid".

Näited ja probleemide lahendused on võetud siit ametlikud valikud KASUTADA. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4 , seega 2x = 17; x = 8,5.

• Kõik logaritmid on kõige parem taandada samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmi märgi all olevad avaldised on märgitud positiivsetena, seetõttu, võttes välja avaldise eksponendi, mis on logaritmi märgi all ja selle alusena, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.