Loogika ja loogilise arvutiteaduse alused. Loogika alused ja arvuti mõtlemise vormide loogilised alused

Üldmõisted n LOOGIKA on teadus inimmõtlemise vormidest ja seaduspärasustest ning eelkõige tõendusliku arutluse seadustest. n Matemaatiline loogika on üks üldloogika valdkondi, mis on välja töötatud seoses matemaatika (ja arvutitehnoloogia) vajadustega. See sisaldab: lauseloogikat (lausearvutus; loogikalgebra; Boole’i algebra). predikaatloogika (predikaatarvutus). metamatemaatika (teaduste, eelkõige matemaatika aksiomaatilise struktuuri uurimine).

MÕTLEMISVORMID n LOOGIKA on teadus inimmõtlemise vormidest ja seaduspärasustest ning eelkõige evidentsiaalse arutluse seadustest. n Loogika uurib mõtlemist kui vahendit objektiivse maailma mõistmiseks. Loogikaseadused peegeldavad inimese teadvuses ümbritseva maailma objektide omadusi, seoseid ja suhteid. Formaalne loogika tegeleb meie tavaliste kõnekeeles väljendatud tähenduslike järelduste analüüsiga. Matemaatiline loogika uurib ainult rangelt määratletud objektidega järeldusi ja hinnanguid, mille puhul on võimalik üheselt otsustada, kas need on tõesed või valed. Loogika ideid ja aparaati kasutatakse küberneetikas, arvutitehnikas ja elektrotehnikas (arvutite ehitus põhineb matemaatilise loogika seaduspärasustel). Arvuti loogikaahelad ja seadmed põhinevad spetsiaalsel matemaatilisel aparaadil, mis kasutab loogikaseadusi. Matemaatiline loogika uurib matemaatiliste meetodite rakendamist loogikaülesannete lahendamiseks ja loogiliste ahelate konstrueerimiseks. Algoritmide ja programmide väljatöötamisel on vajalikud teadmised loogikast, kuna enamikul programmeerimiskeeltel on loogilised toimingud. n n n

Põhilised mõtlemise vormid Peamised mõtlemise vormid on: MÕISTED, KOHTUOTSUSED, JÄRELDUSED. KONTSEPTSIOON on mõtlemisvorm, mis peegeldab üksiku objekti või homogeensete objektide klassi olulisi tunnuseid. Näited: kohver, trapets, orkaanituul. Kontseptsioonil on kaks poolt: sisu ja maht. Mõiste sisu on objekti oluliste tunnuste kogum. Mõiste sisu paljastamiseks tuleks leida vajalikud ja piisavad märgid, et eristada antud objekti paljudest teistest objektidest. Näiteks saab paljastada mõiste “personaalarvuti” sisu järgmisel viisil: "Personaalarvuti on universaalne elektrooniline seade automaatseks teabetöötluseks, mis on mõeldud ühele kasutajale." Mõiste ulatuse määrab objektide kogum, mille suhtes see kehtib. Mõiste “personaalarvuti” ulatus väljendab kogu maailmas praegu eksisteerivat personaalarvutite komplekti (sadu miljoneid). KOHTUOTSUS on mõtlemisvorm, mille puhul midagi objektide, nende omaduste ja suhete kohta kas jaatakse või eitatakse. Propositsioonid on tavaliselt deklaratiivsed laused, mis võivad olla kas tõesed või väärad. “Bern on Prantsusmaa pealinn”, “Kubani jõgi suubub Aasovi merre”, “2>9”, “3×5=10” MÕJU on mõtteviis, mille kaudu ühest või mitmest tõest hinnanguid, mida nimetatakse eeldusteks, saame teatud järeldusreeglite kohaselt uue otsuse (järeldus). Kõik metallid on lihtsad ained. Liitium on metall. → Liitium on lihtne aine. Kolmnurga üks nurkadest on 90º. → See kolmnurk on täisnurkne.

AVALDUSTE ALGEBRA n Personaalarvuti loogikalülituste ja seadmete töö põhineb spetsiaalsel matemaatilisel aparaadil - matemaatilisel loogikal. Matemaatiline loogika uurib matemaatiliste meetodite rakendamist loogikaülesannete lahendamiseks ja loogiliste ahelate konstrueerimiseks. Algoritmide ja programmide väljatöötamisel on vajalikud teadmised loogikast, kuna enamikul programmeerimiskeeltel on loogilised toimingud. n Inglise matemaatik George Boole (1815 - 1864) lõi loogilise algebra, milles väiteid tähistatakse tähtedega. George Boole'i ​​essee, mis uuris seda algebrat üksikasjalikult, avaldati 1854. aastal. Seda nimetati "Mõtteseaduste uurimiseks". Sellest on selge, et Boole pidas oma algebrat inimmõtlemise seaduste ehk loogikaseaduste uurimise vahendiks. Loogika algebrat nimetatakse ka väidete algebraks. IN matemaatiline loogika otsuseid nimetatakse väideteks.

AVALDUS on deklaratiivne lause, mille kohta võib öelda, et see on õige või vale. Näiteks: Maa on planeet Päikesesüsteem. (Tõsi) 2+8

Avaldused võivad olla lihtsad või keerulised. Väidet loetakse lihtsaks, kui ühtki selle osa ei saa käsitleda eraldiseisva väitena.Mõnda väidet saab lagundada eraldi osadeks, kusjuures iga selline osa on iseseisev väide. Näiteks väide “Täna kell 4 pärastlõunal olin koolis ja kella kuueks õhtul läksin liuväljale” koosneb 2 osast. Avaldus võib koosneda ka rohkematest osadest. Väidet, mida saab osadeks lagundada, nimetatakse keeruliseks ja väidet, mida ei saa edasi lagundada, nimetatakse lihtsaks. Keeruline väide saadakse lihtsate lausete kombineerimisel loogiliste konnektiividega – EI, JA, VÕI. Keeruliste väidete tõeväärtus sõltub neis sisalduvate lihtsate väidete tõesusest ja neid ühendavatest seostest. Näiteks antud lihtsad väited: Väljas sajab vihma. Väljas paistab päike. Väljas on pilves ilm. Teeme neist keerukaid väiteid: väljas sajab vihma ja väljas paistab päike. Väljas paistab päike või on väljas pilvine ilm. Ei vasta tõele, et väljas sajab vihma.

n n n Matemaatilises loogikas ei võeta arvesse väite konkreetset sisu, oluline on vaid selle tõene või vale. Seetõttu saab väidet esitada mõne muutuja väärtusega, mille väärtus saab olla ainult 0 või 1. Kui väide on tõene, siis on selle väärtus 1, kui väär - 0. Lihtsaid väiteid nimetati loogilisteks muutujateks ja nende muutmise huvides salvestamisel tähistatakse neid ladina tähtedega: A, B, C... Kuu on Maa satelliit. A = 1 Moskva on Saksamaa pealinn. B = 0 Keerulisi lauseid nimetatakse loogilisteks funktsioonideks. Loogilise funktsiooni väärtused võivad võtta ka ainult väärtused 0 või 1.

n Loogiliste funktsioonide argumendid on kahendväärtused. Loogilisi funktsioone saab määrata: analüütiliselt (valemid kasutades erisümboleid); tabelikujuline; graafiliselt (geomeetriliselt; seda vormi kasutatakse harva, tavaliselt argumentide arvu jaoks, mis ei ületa 3). n

LOOGILISED PÕHITEHTED Propositsioonialgebras, nagu ka tavalises algebras, võetakse kasutusele mitmeid tehteid. Loogilised konnektiivid JA, VÕI ja EI asendatakse loogiliste operatsioonidega: konjunktsioon, disjunktsioon ja inversioon. Need on põhilised loogilised toimingud, millega saate kirjutada mis tahes loogilisi funktsioone.

1. Loogikatehe INVERSION (NEGATSIOON) Ш Ш Ш vastab osakesele EI ole tähistatud kriipsuga muutuja nime kohal või märgiga ¬ muutuja ees Loogilise muutuja inversioon on tõene, kui muutuja ise on väär , ja vastupidi, inversioon on väär, kui muutuja on tõene. Inversiooni tõesuse tabel on kujul: A 0 1 1 0

2. Loogikatehe DISJUNCTION (LOOGILINE LISAND) Ш vastab konjunktsioonile VÕI Ш tähistatakse märgiga või ║ Kahe loogilise muutuja disjunktsioon on väär siis ja ainult siis, kui mõlemad väited on valed. Seda määratlust saab üldistada mis tahes arvule loogilistele muutujatele, mis on kombineeritud disjunktsiooniga. A B C = 0 ainult siis, kui A = 0, B = 0, C = 0. Disjunktsiooni tõesuse tabel on järgmisel kujul: Ш v + v v A B АВВ 0 0 1 1 1 0 1 1

3. Loogikatehe KONTJUTSIOON (LOOGILINE KORRUTAMINE) Ш Ш Ш vastab sidesõnale And tähistatakse märgiga & või Λ või · Kahe loogilise muutuja konjunktsioon on tõene siis ja ainult siis, kui mõlemad väited on tõesed. Seda määratlust saab üldistada mis tahes arvule Boole'i ​​muutujatele, mis on kombineeritud konjunktsiooniga. A & B & C = 1 ainult siis, kui A = 1, B = 1, C = 1. Sidesõna tõesuse tabel on järgmisel kujul: A B A&B 0 0 1 1 1

LOOGIKAVÄLJENDUSED JA TÕETABELID n Keerulisi väiteid saab kirjutada valemitena. Selleks tuleb lihtsad loogilised laused loogiliste muutujatena tähistada tähtedega ja ühendada loogikatehete märkide abil. Selliseid valemeid nimetatakse loogilisteks avaldisteks. Näiteks: n Loogilise avaldise väärtuse määramiseks peate avaldisesse asendama loogiliste muutujate väärtused ja tegema loogilisi toiminguid. Tehted loogilises avaldises sooritatakse vasakult paremale, võttes arvesse sulgusid, järgmises järjekorras: 1. inversioon; 2. sidesõna; 3. disjunktsioon; 4. implikatsioon ja samaväärsus. Loogiliste toimingute määratud järjekorra muutmiseks kasutatakse sulgusid.

Tõelisuse tabelid Iga liitlause (loogilise avaldise) jaoks saate koostada tõetabeli, mis määrab loogilise avaldise tõesuse või vääruse lihtsate väidete (loogiliste muutujate) algväärtuste kõigi võimalike kombinatsioonide jaoks. n Tõelisuse tabelite koostamisel on soovitav juhinduda kindlast tegevuste jadast: 1) kirjutada üles avaldis ja määrata tehte järjekord 2) määrata tõeväärtustabeli ridade arv. See võrdub loogilises avaldises sisalduvate loogiliste muutujate väärtuste võimalike kombinatsioonide arvuga (määratakse valemiga. Q = 2 n, kus n on sisendmuutujate arv) 3) määrab veergude arvu tõetabel (= loogiliste muutujate arv + loogiliste operatsioonide arv) 4) koostage tõetabel, määrake veerud (muutujate nimed ja loogiliste toimingute tähistused nende täitmise järjekorras) ja sisestage tabelisse võimalikud väärtuste komplektid algsetest loogilistest muutujatest. 5) täitke tõesuse tabel, tehes põhilisi loogilisi tehteid vajalikus järjekorras ja vastavalt nende tõesuse tabelitele. Nüüd saame määrata loogilise funktsiooni väärtuse mis tahes loogiliste muutujate väärtuste kogumi jaoks. n

Näiteks koostame loogilise funktsiooni tõesuse tabeli: Sisendmuutujate arv antud avaldises on kolm (A, B, C). See tähendab, et sisendhulkade arv ja seega ka ridade arv on Q=23=8. Veergude arv on 6 (3 muutujat + 3 toimingut). Tõdetabeli veerud vastavad algavaldiste A, B, C, vahetulemuste ja (B V C) väärtustele, samuti kompleksse aritmeetilise avaldise soovitud lõppväärtusele.

A B C BVC 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Ülesanne. Koostage selle loogilise avaldise tõesuse tabel:

A B 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 Samaväärsed loogilised avaldised. Loogikavaldisi, milles tõetabeli viimased veerud langevad kokku, nimetatakse ekvivalentseteks. = märki kasutatakse samaväärsete loogiliste avaldiste tähistamiseks. Näiteks:

LOOGIKAVÄLJENDI KIRJUTAMINE TÕETABELI JÄRGI Reeglid loogilise avaldise koostamiseks: 1. Koostage iga funktsiooni ühe väärtusega tõesuse tabeli rea jaoks minterm. Minterm on korrutis, milles iga muutuja esineb ainult üks kord – kas eitusega või ilma. Muutujad, mille rea väärtus on null, kaasatakse mintermi koos eitusega ja muutujad väärtusega 1 ilma eituseta. 2. Kombineerige kõik minterminid, kasutades disjunktsioonioperatsiooni (loogilist liitmist), mis annab antud tõesuse tabeli standardkorrutiste summa.

X 2 X 3 F 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 Koostame F jaoks loogilise avaldise. Leidke read, milles F=1. Need on teine, kolmas ja kuues. X 1 1 Näide. Tõelisuse tabel on antud: 1 1 0 Teise rea jaoks X 1=0, X 2=0, X 3=1. Seda rida kirjeldab minterm Kolmanda rea ​​jaoks X 1=0, X 2=1, X 3=0. Seda rida kirjeldab minterm Kuuenda rea ​​jaoks X 1=1, X 2=0, X 3=1. Seda rida kirjeldab minterm Tingimuste kombineerimisel saame Boole'i ​​avaldise F = See avaldis sisaldab funktsiooni F ühikuväärtusega ridade korrutistermineid ja kogu summa vastab kolmest reast koosnevale hulgale. Ülejäänud viie sisendmuutuja väärtuste komplekti puhul on see avaldis võrdne nulliga.

Loogilised funktsioonid n n Igasugust loogilist avaldist (liitlauset) võib pidada loogiliseks funktsiooniks F(X 1, X 2, . . . , Xn), mille argumendid on loogilised muutujad X 1, X 2, . . . , Xn (lihtlaused). Funktsioon ise, nagu ka argumendid, võib võtta ainult kaks erinevat väärtust: "true" (1) ja "false" (0). Eespool vaadeldi kahe argumendi funktsioone: loogiline korrutis F(A, B) = A&B, loogiline liitmine F(A, B) = AVB, samuti loogiline eitus F(A) = ¬A, milles võib kaaluda teist argumenti võrdne nulliga. Igal kaheargumendilisel Boole'i ​​funktsioonil on neli võimalikku argumendiväärtuste komplekti. Kahel argumendil võib olla N = 24 = 16 erinevat Boole'i ​​funktsiooni. Seega on kahel argumendil 16 erinevat loogilist funktsiooni, millest igaüks on antud oma tõesuse tabeliga:

Argumendid Loogilised funktsioonid A B F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 On lihtne näha, et siin on loogiline funktsioon F 2 loogiline korrutamisfunktsioon, F 8 on loogiline liitmisfunktsioon, F 13 on loogiline eitusfunktsioon argument A ja F 11 – argumendi B loogiline eitusfunktsioon. F 1(A, B) = 0 konstantne null, F 16(A, B) = 1 konstantne üks. F 4=A, F 6=B, F 7 – liitmismoodul 2, F 10 – ekvivalentsus. F 9 – ümberpööratud disjunktsioon (Pierce’i nool), F 15 – pööratud konjunktsioon (Schaefferi löök), F 14 – implikatsioon.

IMPLIKATSIOON (LOOGILINE TAGAJÄRJ). n n n Kahe väite A ja B implikatsioon vastab sidesõnale “KUI...SIIS”. Seda tähistatakse sümboliga → A kirjutamine → B loetakse kui "A-st järgneb B-le." Tavaloogikas on see väga oluline funktsioon. See peegeldab põhjuse-tagajärje seost, kuigi mitte ranget. Nad ütlevad: "x1 viitab (vihjeneb) x2." Kahe väite implikatsioon on alati tõene, välja arvatud juhul, kui esimene väide on tõene ja teine ​​on väär. Kahe väite A ja B implikatsiooni tõepära tabel on järgmine: A B A→B 0 0 1 1 1 Programmeerimisel tähistatakse seda operatsiooni kui “IMP”.

Src="https://site/presentation/-76620620_344623301/image-26.jpg" alt="(!KEEL: VÕRDSUS (LOOGIALINE VÕRDSUS, IDENTITEERIMISFUNKTSIOON) n n Seda tähistatakse sümbolitega ≡ või . ("> ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО, ФУНКЦИЯ ТОЖДЕСТВА) n n Она обозначается символами ≡ или. («тогда и только тогда»). Запись А ≡ В читается как «А эквивалентно В» . Эквивалентность двух высказываний истинна только в тех случаях, когда оба высказывания ложны или оба истинны. Таблица истинности эквивалентности двух суждений А и В такова: А В А≡В 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 В программировании эту операцию обозначают «EQV» . В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путём логических преобразований к трём базовым логическим операциям: инверсии, дизъюнкции и конъюнкции!}

Loogikaseadused ja loogiliste avaldiste teisendamise reeglid Propositsiooniloogika valemite ekvivalente nimetatakse sageli loogikaseadusteks. Loogikaseadused peegeldavad kõige olulisemaid mustreid loogiline mõtlemine. Propositsioonialgebras kirjutatakse loogikaseadused valemite kujul, mis võimaldavad loogikaavaldiste ekvivalentseid teisendusi vastavalt loogikaseadustele. Loogikaseaduste tundmine võimaldab teil kontrollida arutluskäikude ja tõendite õigsust. Nende seaduste rikkumine toob kaasa loogikavigu ja sellest tulenevaid vastuolusid. Loetleme neist olulisemad:

1. Identiteediseadus. Iga väide on iseendaga identne: selle seaduse sõnastas Vana-Kreeka filosoof Aristoteles. Identiteediseadus ütleb, et teatud väites sisalduv mõte jääb muutumatuks kogu argumendi vältel, milles see väide esineb. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Väide ei saa olla nii tõene kui ka vale. Kui väide A on tõene, peab selle eitus, mitte A, olema väär. Seetõttu peab väite ja selle eituse loogiline korrutis olema väär: Vastuolu mittevastavuse seadus ütleb, et ükski lause ei saa olla tõene samaaegselt selle eitusega. “See õun on küps” ja “See õun pole küps”

3. Välistatud keskkoha seadus. Väide võib olla kas tõene või vale, kolmandat võimalust pole. See tähendab, et väite loogilise lisamise ja selle eitamise tulemus omandab alati tõe väärtuse: Välistatud keskmise seadus ütleb, et iga väite puhul on ainult kaks võimalust: see väide on kas tõene või väär. Kolmandat pole. "Täna saan 5 või ei saa." Kas väide on tõene või selle eitus. 4. Topelteituse seadus. Kui me eitame teatud väidet kaks korda, siis selle tulemusena saame algse väite: Topelteituse seadus. Väite eituse eitamine on sama, mis selle väite kinnitamine. "See pole tõsi, et 2 × 2¹ 4"

5. Idempotentsuse seadused. Loogika algebras eksponendid ja koefitsiendid puuduvad. Identsete “tegurite” konjunktsioon on samaväärne ühega neist: Identsete “käskude” disjunktsioon on samaväärne ühega: 6. De Morgani seadused: de Morgani seaduste tähendus (August de Morgan (1806 1871) Šoti matemaatik ja loogik ) saab väljendada lühikeste verbaalsete formulatsioonidena: loogilise summa eitus on samaväärne terminite eituste loogilise korrutisega; loogikakorrutise eitus on samaväärne tegurite eituste loogilise summaga.

. 7 Kommutatiivsuse reegel. Tavalises algebras saab termineid ja tegureid omavahel vahetada. Propositsioonialgebras saab loogilisi muutujaid loogilise korrutamise ja loogilise liitmise operatsioonide käigus vahetada: Loogiline korrutamine: Loogiline liitmine: . 8 Assotsiatiivsuse reegel. Kui loogiline avaldis kasutab ainult loogilist korrutamist või ainult loogilist liitmist, siis võite sulud tähelepanuta jätta või korraldada need suvaliselt: Loogiline korrutamine: Loogiline liitmine:

9. Jaotusreegel. Erinevalt tavalisest algebrast, kus sulgudest saab välja võtta ainult ühiseid tegureid, saab lausealgebras sulgudest välja võtta nii ühised tegurid kui ka tavaterminid: Korrutamise jaotus liitmise suhtes: Liitmise jaotus korrutamise suhtes: 10. 11 12. Seaduse neeldumine:

ÜLESANNE 1. Uurimisel on Lyonchik, Donut and Bar juhtum. Üks neist leidis ja peitis aarde. Uurimise käigus andis igaüks neist kaks avaldust. Baar: "Ma ei teinud seda. Donut sai sellega hakkama." Lyonchik: "Donut ei ole süüdi. Kommipulk tegi seda." Donut: "Ma ei teinud seda. Lyonchik seda ei teinud.» Kohus tuvastas, et üks neist valetas kaks korda, teine ​​rääkis tõtt kaks korda, kolmas valetas korra ja rääkis tõtt ühe korra. Kes peitis varanduse? Lahendus: Tutvustame tähistust: B - aarde peitis Bar, P aarde peitis Donut, L aare peitis Lenchik. Vaatleme kolme võimalikku varianti – Baar on süüdi, Donut on süüdi, Lenchik on süüdi. Nende valikute abil saame kolme süüdistatava ütlustele järgmised tähendused. Baari väited Võimalikud variandid Leonchiki väited Sõõriku avaldused Probleemi tingimuste täitmine valetas kaks korda ja kaks rääkisid kaks korda tõtt, mis ei vasta ülesande tingimustele. Kolmanda variandi puhul rääkisid kõik korra tõtt ja korra valetasid, mis samuti ei vasta ülesande tingimustele. Teise variandi puhul valetas üks kaks korda, teine ​​rääkis kaks korda tõtt ja kolmas kord tõtt ja valetas korra, mis vastab ülesande tingimustele. Seetõttu peitis aarde Donut.

Ülesanne 2. Koolide lauatennise meistrivõistluste nelja parema hulka kuulusid tüdrukud: Nataša, Maša, Ljuda ja Rita. Tulehingelisemad fännid avaldasid oma oletusi kohtade jaotumise kohta edasistel võistlustel. Usutakse, et Nataša on esimene ja Maša teine. Teine fänn ennustab Ludale teist kohta ja Rita saab tema hinnangul neljanda koha. Kolmas tennisefänn ei nõustunud nendega. Ta usub, et Rita saab kolmanda koha ja Nataša on teine. Kui võistlus lõppes, selgus, et igal fännil oli õigus ainult ühes oma ennustuses. Millise koha võtsid meistrivõistlustel Nataša, Maša, Ljuda, Rita? Lahendus: Tutvustame tähistust: N 1 - Nataša 1. kohal, M 2 - Maša 2. kohal, L 2 - Ljuda 2. kohal, R 4 - Rita 4. kohal, R 3 - Rita 3. kohal, N 2 - Nataša 2. kohal. Toome tabelisse kolme fänni väidete võimalikud variandid, võttes arvesse asjaolu, et igal fännil oli õigus ainult ühes oma ennustuses: 1. fänni avaldused 2. fänni avaldused Vastavus 2. fänni tingimustele probleem N 1 M 2 L 2 R 4 R 3 N 2 0 1 0 1 - 0 1 1 0 0 1 - 1 0 0 1 1 0 - 1 0 0 1 - 1 0 1 0 + Tabeli analüüsist selgub, et selge, et ainult viimane rida vastab probleemi tingimustele, mis tähendab, et Nataša sai esikoha, teine ​​- Luda, Rita on kolmas ja Masha neljas.

Ülesanne 3. Vadim, Sergey ja Mihhail õpivad erinevaid võõrkeeled: hiina, jaapani ja araabia keel. Küsimusele, mis keelt igaüks neist õpib, vastas üks: "Vadim õpib hiina keelt, Sergei ei õpi hiina keelt ja Mihhail ei õpi araabia keelt." Seejärel selgus, et selles vastuses on ainult üks väide tõene ja ülejäänud kaks on valed. Mis keelt iga noor õpib? Lahendus: Tutvustame tähistust: VK – Vadim õpib hiina keel, SK – Sergey õpib hiina keelt, Mihhail magistrantuuri araabia keel. Sisestame tabelisse väidete võimalikud tähendusvariandid, võttes arvesse ülesande tingimusi, et üks väidetest on tõene ja kaks on väärad: VK ¬ SK ¬ MA VK SK MA Vastavus ülesande tingimustele. probleem 1 0 0 1 1 1 - 0 0 1 0 + 0 1 0 0 0 1 - Väidete võimalikud variandid Analüüsime kolme viimase veeru ridu. Ainult teine ​​rida vastab probleemi tingimustele, mis tähendab, et Sergei õpib hiina keelt, Mihhail jaapani keelt (kuna ta ei õpi araabia keelt), siis Vadim õpib araabia keelt.

Ülesanne 4. Kolm klassikaaslast - Vlad, Timur ja Yura, kohtusid 10 aastat pärast kooli lõpetamist. Selgus, et ühest neist sai arst, teisest füüsik ja kolmandast jurist. Üks armus turismisse, teine ​​jooksmisse ja kolmas ragbisse. Yura ütles, et tal pole turismiks piisavalt aega, kuigi tema õde on pere ainus arst ja innukas turist. Arst ütles, et jagab kolleegi kirge. Naljakas, aga kahe sõbra elukutsete ja hobide nimedes pole ainsatki tähte. Tehke kindlaks, kellele meeldib mida teha vaba aeg ja kellel mis eriala on. Lahendus: Siin on lähteandmed jagatud kolmikuteks (nimi - elukutse - hobi). Yura sõnadest on selge, et turism teda ei huvita ja ta pole arst. Arsti sõnadest järeldub, et ta on turist. Nimi Yura Elukutse arst Hobiturism Sõnas "arst" olev a-täht näitab, et ka Vlad ei ole arst, seega on Timur arst. Tema nimi sisaldab tähti “t” ja “r”, mida leidub sõnas “turism”, seetõttu on tema teine ​​sõber, kelle elukutse ja hobide nimedes ei esine tema nime tähtegi - Yura pole jurist või ragbimängija, kuna tema nimi sisaldab tähti "yu" ja "r". Seetõttu on meil lõpuks: Nimi Yura Timur Vlad Elukutse füüsik arst jurist Hobi jooksuturism ragbi Vastus. Vlad on jurist ja ragbimängija, Timur on arst ja turist, Yura on füüsik ja jooksja.

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks Ülesanne 1. Kolm sõpra, vormel 1 autospordi fännid, vaidlesid eelseisva võistlusetapi tulemuste üle. "Näete, Schumacher ei tule esikohale," ütles John. Hill on esimene. "Ei, võitja on nagu alati Schumacher," hüüdis Nick. - Alesi kohta pole midagi öelda, ta ei ole esimene. Peter, kelle poole Nick pöördus, oli nördinud: "Hill ei näe esikohta, aga Alesi juhib kõige võimsamat autot." Võidusõiduetapi lõpus selgus, et kahe sõbra mõlemad eeldused said kinnitust ja kolmanda sõbra mõlemad eeldused olid valed. Kes võitis võistlusetapi? Ülesanne 2. Spordivõistlusest võttis osa viis võistkonda: “Vympel”, “Meteor”, “Neptuun”, “Start” ja “Tšaika”. Nende võistlustulemuste kohta on viis väidet: 1) “Vympel” sai teise koha ja “Start” oli kolmas. 2) Hästi esines võistkond “Neptuun”, kes tuli võitjaks ja “Chaika” saavutas teise koha. 3) Ei, “Kajakas” sai alles kolmanda koha ja “Neptuun” oli viimane. 4) Esikoha võitis õigustatult “Start” ja “Meteor” oli 4 m. 5) Jah, “Meteor” oli tõepoolest neljas ja “Vympel” oli 2 m. Teatavasti ei jaganud võistkonnad omavahel kohti. ise ja et igas väites on üks väide õige ja teine ​​vale. Kuidas jagunesid kohad võistkondade vahel? Ülesanne 3 Kirjanik Doris Kay kolm tütart – Judy, Iris ja Linda – on samuti väga andekad. aastal saavutasid nad kuulsuse erinevad tüübid kunstid – laulmine, ballett ja kino. Nad kõik elavad erinevates linnades, nii et Doris kutsub neid sageli Pariisi, Rooma ja Chicagosse. On teada, et: Judy ei ela Pariisis ja Linda ei ela Roomas; pariislane ei tegutse filmides; see, kes elab Roomas, on laulja; Linda on balleti suhtes ükskõikne. Kus Iris elab ja mis on tema elukutse?

Loogilised elemendid Info arvutitöötlus põhineb J. Boole'i ​​poolt välja töötatud loogikaalgebral. Matemaatilise loogika valdkonna teadmisi saab kasutada erinevate elektroonikaseadmete projekteerimiseks. Teame, et loogikas pole 0 ja 1 pelgalt numbrid, vaid mõne meie maailma objekti oleku tähistus, mida tavapäraselt nimetatakse "valeks" ja "tõene". Selline objekt, millel on kaks fikseeritud olekut, võib olla elektrivool. Loodi pooljuhtelementide komplektist koosnevad elektrijuhtimisseadmed ja elektroonilised ahelad. Sellised elektroonilised ahelad, mis teisendavad ainult kahe fikseeritud pinge signaale elektrivool hakati nimetama loogilisteks elementideks. Loogikaelemendid on elektroonilised seadmed, mis teisendavad neid läbivaid binaarseid elektrilisi signaale vastavalt teatud seadusele. Loogikaelementidel on üks või mitu sisendit, millele elektrisignaalid toidetakse. Elektrisignaali puudumisel tähistatakse 0-ga ja elektrisignaali olemasolul 1-ga. Samuti loogika väravad neil on üks väljund, millest teisendatud elektrisignaal eemaldatakse. On tõestatud, et kõiki arvuti elektroonilisi lülitusi saab realiseerida kolme põhilise loogikaelemendiga JA, VÕI, EI.

Loogiline element EI (inverter) Lihtsaim loogiline element on inverter, mis täidab eituse (inversiooni) funktsiooni. Sellel elemendil on üks sisend ja üks väljund. Funktsionaalsetel diagrammidel on märgitud: Kui sisendis võetakse vastu 1-le vastav signaal, on väljund 0. Ja vastupidi. sisendväljund 1 0 0 1

VÕI Loogikavärav (Disjunktor) Loogilist liitmist teostavat loogikaväravat nimetatakse disjunktoriks. Sellel on vähemalt kaks sissepääsu. Funktsionaalskeemidel on tähistatud: Kui vähemalt üks sisend võtab vastu signaali 1, siis on väljundiks signaal 1. sisend 1 sisend 2 väljund 0 0 1 1 1 0 1 1

Loogiline JA värav (konjunktor) Loogilist korrutamist teostavat loogilist väravat nimetatakse konjunktoriks. Sellel on vähemalt kaks sissepääsu. Funktsionaaldiagrammidel on see tähistatud: Selle elemendi väljundil on signaal 1 ainult siis, kui kõik sisendid saavad signaali 1. Kui vähemalt üks sisend on null, on ka väljund null. väljundsisend 1 sisend 2 0 0 1 1 1 Teised loogilised elemendid on üles ehitatud kolmest lihtsast põhielemendist ja teostavad informatsiooni keerukamaid loogilisi teisendusi.

Vaatleme veel kahte loogilist elementi, mis mängivad keerukamate elementide ja ahelate loomisel põhielementide rolli. Loogiline element JA-EI täidab Schaefferi löögi (AND-NOT) loogilist funktsiooni; sellel on vähemalt kaks sisendit. Funktsionaalskeemidel on see tähistatud: sisend 1 sisend 2 väljund 0 0 1 1 1 0 loogiline element NOR täidab Pierce noole (NAND) loogilist funktsiooni, sellel on vähemalt kaks sisendit. Funktsionaalsetel diagrammidel on see tähistatud: sisend. 1 sisend 2 väljund 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0

Funktsionaalskeemid Ühe loogilise elemendi poolt genereeritud signaali saab suunata teise elemendi sisendisse, see võimaldab moodustada üksikutest loogilistest elementidest ahelaid - funktsionaalskeeme. Funktsionaalne (loogiline) diagramm on loogilistest elementidest koosnev vooluahel, mis täidab kindlat funktsiooni. Funktsionaaldiagrammi analüüsides saate aru, kuidas loogiline seade töötab, st vastata küsimusele: millist funktsiooni see täidab. Oluline vorm funktsionaaldiagrammide kirjeldus on struktuurvalem. Näitame näitega, kuidas kirjutada valemit antud funktsionaalse diagrammi järgi. On selge, et element “AND” teostab väärtuste ¬A ja B loogilist korrutamist. Elemendis “EI” oleva tulemusega tehakse eitustehing, st avaldise väärtus arvutatakse: Seega: struktuurvalem selle funktsionaalse diagrammi valem on:

Funktsionaalahela tõetabel Funktsionaalse vooluringi jaoks saate luua tõetabeli, see tähendab vooluahela sisendite ja väljundite signaali väärtuste tabeli, millest saate aru, millist funktsiooni see ahel täidab. Tõetabel on loogilise (funktsionaalse) vooluringi tabel, mis loetleb kõik võimalikud sisendsignaali väärtuste kombinatsioonid koos väljundsignaali väärtusega kõigi nende kombinatsioonide jaoks. Koostame selle loogikaahela tõesuse tabeli: Joonistame tabeli: veergude arv = sisendite arv + väljundite arv, ridade arv = 2 sisendite arv. Selles tabelis on 3 veergu ja 4 rida. Täidame esimesed veerud kõigi võimalike sisendsignaalide valikutega A (sisend 1) B (sisend 2) 0 0 0 1 1 C (väljund)

Vaatleme sisendsignaalide esimest versiooni: A=0, B=0. Jälgime diagrammi, et näha, kuidas sisendsignaalid läbivad ja teisendatakse. Väljundis (C=1) saadud tulemuse kirjutame tabelisse. Vaatleme sisendsignaalide teist versiooni: A=0, B=1. Jälgime diagrammi, et näha, kuidas sisendsignaalid läbivad ja teisendatakse. Väljundis (C=0) saadud tulemuse kirjutame tabelisse. Vaatleme sisendsignaalide kolmandat võimalust: A=1, B=0. Jälgime diagrammi, et näha, kuidas sisendsignaalid läbivad ja teisendatakse. Väljundis (C=1) saadud tulemuse kirjutame tabelisse.

Vaatleme sisendsignaalide neljandat varianti: A=1, B=1. Jälgime diagrammi, et näha, kuidas sisendsignaalid läbivad ja teisendatakse. Väljundis (C=1) saadud tulemuse kirjutame tabelisse. Selle tulemusena saame selle loogikaahela tõesuse tabeli: A (sisend 1) B (sisend 2) C (väljund) 0 0 1 0 1 1 1 1 Ülesanne. Koostage selle loogikalülituse tõetabel ja kirjutage üles selle vooluringi valem:

Tüüpiliste arvutiseadmete loogiline teostus Mis tahes teabe töötlemine arvutis taandub protsessorile, mis teeb erinevaid aritmeetilisi ja loogilisi toiminguid. Selleks on protsessoris nn aritmeetiline loogikaüksus (ALU). See koosneb mitmest seadmest, mis on üles ehitatud ülalpool käsitletud loogilistele elementidele. Neist seadmetest olulisemad on plätud, poolliitjad, kodeerijad, dekooderid, loendurid ja registrid. Uurime, kuidas loogilistest elementidest loogilisi seadmeid arendatakse.

Loogilise seadme kujundamise etapid. Loogilise seadme projekteerimine koosneb järgmistest etappidest: 1. Tõelisuse tabeli koostamine vastavalt projekteeritud sõlme määratud töötingimustele (s.o vastavalt selle sisend- ja väljundsignaalide vastavusele). 2. Antud sõlme loogilise funktsiooni konstrueerimine tõetabeli abil, selle teisendamine (lihtsustamine), kui see on võimalik ja vajalik. 3. Projekteeritud üksuse funktsionaalskeemi koostamine loogilise funktsiooni valemi abil. Pärast seda jääb üle vaid saadud skeem rakendada.

Harjutus. Looge loogikalülitus antud tõesuse tabeli jaoks: C F 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 Loo loogikalülitus antud avaldise jaoks: B 0 Lihtsustage saadud loogilist avaldist: A 0 Kirjutage selle tõesuse tabeli jaoks loogiline funktsioon : 1 0 0 1 1

Proovime seda plaani järgides konstrueerida seade kahe kahendarvu liitmiseks (ühekohaline poolliitja). Peame liitma kahendarvud A ja B. Tähistage P ja S summa esimest ja teist numbrit: A + B = PS. Pidage meeles kahendarvude lisamise tabel. 1. Tõesustabelil, mis määrab liitmise tulemuse, on vorm: Liidab ülekandesumma A B P S 0 0 0 1 1 0 2. Koostage sellest tabelist funktsioonid P(A, B) ja S(A, B): Teisendage teine valem, kasutades loogikaseadusi:

3. Nüüd saate koostada ühebitise poolliitja funktsionaalse skeemi: vooluringi toimimise nägemiseks jälgige signaalide voogu kõigil neljal juhul ja looge selle loogikaahela jaoks tõesuse tabel. Sümbolühekohaline summaar:

Täielik ühebitine liitja. Kolme sisendi ja kahe väljundiga ühebitist binaarset liitjat nimetatakse täielikuks ühebitiseks liitjaks. Kolme sisendi või täissummaja ühebitise liitja tööloogika on näidatud tabelis, kus A, B on liidetavad kahendnumbrid, P on ülekanne madalat järku numbrilt, S on saadud summa sellest numbrist ja viib P üle järgmisele kõige olulisemale numbrile. Lisab Ülekanne madala tellimuse summast Ülekanne A B P 0 S P 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Ülekande valem: Summa arvutamise valem:

Pärast teisendamist saavad ülekandevalemid ja summad järgmise kuju: Nüüd saate ehitada täisühebitise liitja skeemi, võttes arvesse ülekannet madalama järgu bitilt.

Summaator on elektrooniline loogikalülitus, mis teostab kahendarvude liitmise bitipõhise liitmise teel. Summaator on protsessori aritmeetilise loogikaüksuse kesksõlm. Seda kasutatakse ka teistes arvutiseadmetes. Päriselt elektroonilised ahelad Summer on kujutatud järgmiselt: Summer liidab mitmekohalised kahendarvud. See on ühebitiste binaarsummarite jadaühendus, millest igaüks lisab ühe bitiga. Kui tekib biti ületäitumine, summeeritakse ülekanne kõrgeima külgneva biti sisuga. Joonisel on näidatud, kuidas N summajat saab kasutada kahe N-bitise kahendkoodi lisamise seadme loomiseks; see on mitmebitine liitjaahel.

TRIGGER Triger on elektrooniline vooluahel, mida kasutatakse ühebitise kahendkoodi väärtuse salvestamiseks. Päästiku sisendeid mõjutades viiakse see üle ühte kahest võimalikust olekust (0 või 1). Kui signaalid jõuavad päästiku sisenditesse, toimub olenevalt selle olekust kas lülitumine või säilib algne olek. Sisendsignaalide puudumisel säilitab päästik oma oleku lõputult. Termin vallandaja pärineb Ingliskeelne sõna päästiku riiv, päästik. Selle vooluringi tähistamiseks sisse inglise keel Sagedamini kasutatakse terminit flip-flop, mis tähendab "levitamist". See elektroonilise vooluringi onomatopoeetiline nimi viitab selle võimele peaaegu koheselt üle minna (“viska”) ühest elektrilisest olekust teise. Olemas erinevad variandid trigerite täitmine sõltuvalt elemendi baasist (AND NOT, OR NOT) ja funktsionaalsetest ühendustest signaalide vahel sisendites ja väljundites (RS, JK, T, D jt). Levinuim päästikutüüp on RS-päästik (vastavalt S ja R ingliskeelsest set installeerimisest ja lähtestamise lähtestamine). RS päästiku sümbol:

RS-päästikul on kaks loogilist elementi: OR NOT või AND – NOT. Tavaliselt on trigeril 2 väljundit: päri- ja pöördvõrdeline K Kuidas see töötab? Olgu signaal 1 rakendatud elemendi nr 1 sisendisse ja 0 elemendi nr 3 sisendisse. Elemendi nr 1 väljundis, olenemata sellest, milline teine ​​signaal sisendisse saabub, on 1, kuna see on VÕI-element (vastavalt disjunktsiooni omadustele). Pärast elemendi nr 2 läbimist saab signaal väärtuseks 0 (Q=0). Järelikult on elemendi nr 3 teisele sisendile seatud signaal 0. Elemendi nr 3 väljund on 0. Pärast elemendi nr 4 läbimist muutub signaal väärtuseks 1. Seega = 1. Teeme kindlaks, et see seade salvestab teavet. Pidage meeles, et S=0, R=1, Q=0, =1. Hetkel sisendsignaalid peatuvad (S=0, R=0) väljundis =1. See pinge rakendatakse elemendi nr 1 sisendisse. Elemendi nr 1 väljundis salvestatakse 1 ja Q juures on signaal 0. Elemendi nr 3 sisenditel 0, seega = 1. Seega, välistes sisendites signaalide puudumisel hoiab 1 päästik oma väljunditel konstantset pinget. Pinge muutmiseks päästiku väljunditel tuleb elemendi nr 3 sisendisse rakendada signaal 1. Siis Q = 1, = 0.

RS triger Sisend Väljund Töörežiim S R Q 0 0 Salvestus 1 0 Kirjutamine 1 0 1 Kirjutamine 0 1 1 Х Х Keela ()

REGISTREERID Funktsionaalne diagramm Arvutit, mis koosneb mitmebitiste koodide salvestamiseks ja nendes teatud loogiliste teisenduste sooritamiseks mõeldud klambritest, nimetatakse registriks. Lihtsustatult saab registrit kujutada lahtrite kogumina, millest igasse saab kirjutada ühe kahest väärtusest: 0 või 1, st kahendarvu üks number. Registrite abil saate teha järgmisi toiminguid: seada, nihutada, teisendada. Peamised registritüübid on paralleelsed ja järjestikused (nihutavad). Registrite kogumit, mida arvuti kasutab tööprogrammi, alg- ja vahetulemuste salvestamiseks, nimetatakse muutmäluks (RAM). Registrid asuvad arvuti erinevates andmetöötlussõlmedes – protsessoris, välisseadmetes jne. Register on seade, mis on loodud mitmebitise binaarse numbrikoodi salvestamiseks, mis võib kujutada aadressi, käsku ja andmeid.

REGISTRID Registreid on mitut tüüpi, mis erinevad tehtavate toimingute tüübi poolest. Mõnel olulisel registril on oma nimi, näiteks: nihkeregister on mõeldud nihketoimingu tegemiseks; vooluahela loendurid, mis on võimelised loendama sisendisse saabuvaid impulsse. Nende hulka kuuluvad T-päästikud (nimi pärineb inglise keelest tumble). Sellel flip-flopil on üks loendussisend ja kaks väljundit. Signaalide mõjul muudab päästik oma olekut nullist üheks ja vastupidi. Ülekannete arv vastab vastuvõetud signaalide arvule; käsuloendur on protsessori juhtseadme (CU) register, mille sisu vastab järgmise täidetava käsu aadressile; teenindab programmi automaatset valimist järjestikustest mälurakkudest; käsuregistri register CU käsukoodi salvestamiseks selle täitmiseks vajaliku aja jooksul. Osa selle bitte kasutatakse operatsioonikoodi salvestamiseks, ülejäänuid kasutatakse operandi aadressikoodide salvestamiseks. Arvutid kasutavad 8-, 16-, 32-, 48- ja 64-bitiseid registreid.

KRÜPTORID JA DEKORDERID Kodeerija ja dekooder on tüüpilised arvutikomponendid. Kodeerija (kooder) on loogiline seade, mis teisendab ühes sisendis oleva signaali n-bitiseks kahendkoodiks. See leiab oma suurima rakenduse teabesisestusseadmetes (näiteks klaviatuuris) teisendamiseks kümnendarvud kahendarvusüsteemi. Dekooder on loogiline seade, mis teisendab oma sisenditest saadud kahendkoodi signaaliks ainult ühes väljundis. Dekoodereid kasutatakse laialdaselt juhtseadmetes, gaaslahendusnäidikutega digitaalsetes kuvasüsteemides, impulssjaoturite konstrueerimiseks erinevates ahelates jne. Ahelat kasutatakse kahendnumbrite teisendamiseks kümnendnumbriteks. Binaarse n-bitise koodi dekooderil on 2 n väljundit, kuna iga sisendkoodi 2 n väärtust peab vastama ühele signaalile ühes dekoodri väljundis.

1. Mõiste, otsustus, järeldus.

Loogika uurib mõtlemisprotsessi sisemist struktuuri, mis realiseerub sellistes loomulikult esinevates mõtlemisvormides nagu mõiste, väide ja järeldus.

Mõtlemine toimub alati mõistete, väidete ja järelduste kaudu.

Mõiste on mõtlemisvorm, mis tuvastab objekti või objektide klassi olulised tunnused, võimaldades neid teistest eristada.

Olulised on sellised tunnused, millest igaüks eraldi võetuna on vajalik ja kõigist koos piisab, et neid kasutada antud objekti eristamiseks kõigist teistest ja üldistuse tegemiseks homogeensete objektide komplekti liitmise teel.

Näited mõistetest:

Üksikud mõisted: enamik kõrge mägi Euroopas see tabel, Moskva jne.

Üldmõisted: ilu, metall, headus, rumalus, mets, meeskond jne.

Abstraktsed mõisted: kaal, jäikus, värv, universum, inimkond jne.

Konkreetsed mõisted: ring, maja, leek, lahing jne.

Iga mõiste on iseloomustatud sisu ja maht.

Mõiste ulatus on objektide kogum, millega mõiste on seotud.

Väide on teie arusaam ümbritsevast maailmast. Väide on deklaratiivne lause, milles midagi kinnitatakse või eitatakse. Väite kohta saab öelda, kas see on tõene või vale. Vene keeles väljendatakse väiteid deklaratiivsete lausetega:

Alupka palee asub Krimmis.

Kaštšei Surematu on ihne ja ahne.

Vene keeles väljendatakse väiteid deklaratiivsete lausetega:

matemaatilises loogikas väide, mille tõesus (üldjuhul) sõltub selles sisalduvate muutujate väärtustest.

Järeldus on mõtlemisvorm, mille abil saab ühest või mitmest hinnangust saada uue hinnangu.

Arutluskäik on faktide ahel, üldsätted ja järeldusi. Järeldus on üleminek teabelt, mis meil on enne arutluskäiku (eeldused või tingimused) järeldustele. Õige tee tõeste eelduste põhjal tehtud järeldused viivad alati tõeste järeldusteni.

Näited induktiivsest arutluskäigust:

Kas tehtud järeldused on õiged?

1)
1 – paaritu ja algarv,
3 – paaritu ja algarv.
5 – paaritu ja algarv
Järeldus: kõik paaritud arvud on algarvud.

2). 1=1,1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+7+9=25 jne.

Järeldus: mis tahes arvu K ruut võrdub K esimeste paaritute arvude summaga.

3). Fe, Cu, Zn. Pt – tahked ained
Järeldus: kõik metallid on tahked.

4) Argentinas, Ecuadoris, Venezuelas räägitakse hispaania keelt.
Järeldus: kõik Ladina-Ameerika riigid on hispaaniakeelsed

2. Loogika algebra

– määrab reeglid lausete salvestamiseks, väärtuste arvutamiseks, lihtsustamiseks ja teisendamiseks.

Loogilises algebras tähistatakse väiteid tähtedega ja kutsutakse neid loogilised muutujad.

Kui väide on tõene, siis vastava loogilise muutuja väärtust tähistatakse ühega ( A = 1 ) ja kui vale – null ( IN = 0 ).

0 ja 1 kutsutakse loogilised väärtused.

Avaldused võivad olla lihtsad või keerulised.

Avaldus on nn lihtne, kui ükski selle osa pole iseenesest väide.

Keerulised (liit)laused konstrueeritakse lihtsatest loogikatehete abil.

Loogilised operatsioonid.

Konjunktsioon on loogiline tehe, mis seob iga kaks väidet uue lausega, mis on tõsi siis ja ainult siis mõlemad algsed väited on tõesed.

Muu nimi: loogiline korrutamine .

Disjunktsioon on loogiline operatsioon, mis seob iga kaks väidet uue lausega, mis on vale siis ja ainult siis mõlemad algsed väited on valed.

Muu nimi: loogiline lisa.

Nimetused: V, |, VÕI, +.

Inversioon on loogiline operatsioon, mis seob iga väite uue väitega, mille tähendus on vastupidine algsele.

Muu nimi: loogiline eitus.

Nimetused: EI, ¬ , ¯ .

Implikatsioon on loogiline operatsioon, mis seob kõik kaks lihtsat lauset liitlausega, mis on vale siis ja ainult tingimusel (esimene väide) on tõsi, ja tagajärg (teine ​​väide) on vale.

Loomulikus keeles – “Kui A, siis B”;

Määramine –

Loogiline ekvivalentsus (ekvivalentsus) on loogiline tehe, mis seob mõlemad kaks väidet liitlausega, mis on tõsi siis ja ainult siis mõlemad esialgsed väited on samaaegselt tõesed või väärad.

Loomulikus keeles – “Siis ja ainult siis ja sel ja ainult sel juhul”;

Nimetus – ↔

Loogilistel operatsioonidel on järgmine prioriteet:

inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalentsus

10. klassis õpib 50 õpilast. Matemaatika valikainel osaleb 36 inimest, füüsikas - 20 inimest, mõlemale valikainele õpib 10 õpilast.

Kui palju õpilasi valikainetel ei käi?

36 – 10 = 26 – õpilaste arv, kes käivad matemaatikas ja ei käi füüsikas.

20 + 26 = 46 – matemaatika või füüsika erialal käivate õpilaste arv.

50 – 46 = 4 – õpilaste arv, kes ei käi ühelgi valikainel.

3. Tõesustabelite koostamine keeruliste väidete jaoks.

Loogikatete omadused.

Võrdlusmaterjal:

Loogikaülesannete lahendamine loogiliste avaldiste lihtsustamise teel.

Kergejõustikuvõistlustel saavutasid Andrei, Borja, Serjoža ja Volodja neli esimest kohta. Kuid kui tüdrukud hakkasid meenutama, kuidas need kohad võitjate vahel jagati, läksid arvamused lahku:

Daša: Andrei oli esimene ja Volodya teine.

Galya: Andrey oli teine ​​ja Boris kolmas.

Lena: Borya oli neljas ja Seryozha teine.

On teada, et iga tüdruk eksis ühes väites ja õige teises. Milline poiss millise koha hõivas?

Tutvustame järgmist tähistust:

4. Arvuti loogika põhielemendid

Diskreetmuundurit, mis pärast sisendbinaarsignaalide töötlemist annab väljundsignaali, mis on ühe loogikatehe väärtuseks, nimetatakse loogiline element.

Põhilised loogikaväravad rakendavad kolme põhilist loogilist toimingut:

• loogiline element "AND" (konjunktor) – loogiline korrutamine;
• loogiline element "OR" (disjunktor)
– loogiline lisamine;
• loogiline element "EI" (inverter)
- loogiline eitus.

Iga loogilist operatsiooni saab kujutada kolme põhioperatsiooni kombinatsioonina, seega saab põhilistest loogilistest elementidest kokku panna mis tahes arvutiseadmeid, mis töötlevad ja salvestavad teavet.

Arvuti loogilised elemendid töötavad signaalidega, mis on elektrilised impulsid.

Seal on impulss - signaali loogiline väärtus 1, pole impulsi- tähendus 0.

Elektroonilise vooluahela analüüs.

Milline signaal peaks olema sisendite iga võimaliku signaalikomplekti väljund?

Lahendus. Sisestame tõesuse tabelisse kõik võimalikud signaalide kombinatsioonid sisendites A ja B. Jälgime iga signaalipaari teisendust nende läbimisel loogilisi elemente ja kirjutame tulemuse tabelisse.

Täidetud tõetabel kirjeldab täielikult vaadeldavat elektroonilist vooluringi.

Inverter saab signaali sisendist B. Pistik saab signaale sisendist A ja inverterist. Seega F = A ja ¬ B

Poolliitja ja liitja.

Protsessori aritmeetika-loogiline ühik (ALU) sisaldab
elemendid nagu liitjad. Need võimaldavad teil lisada binaarnumbreid.
Lisamine ühe numbri piires (arvestamata võimalikku sissetulevat
ühikuid kõige vähemtähtsast numbrist) saab realiseerida ahelaga nimega
poolliitja. Poolliitjal on kaks sisendit (lisandurite jaoks) ja kaks väljundit
(summa ja ülekande kohta).

Erinevalt poolliitjast arvestab liitja eelmisest ülekannet
numbrit, seetõttu pole sellel mitte kaks, vaid kolm sisendit.

(trigger-lutch, trigger) on seade, mis võimaldab teil teavet meelde jätta, salvestada ja lugeda.

Iga päästik salvestab 1 biti teavet; see võib olla ühes kahest stabiilsest olekust – loogiline “O” või loogiline “1”.

Päästik on võimeline peaaegu koheselt üle minema ühest elektrilisest olekust teise ja vastupidi

Käivitusloogika näeb välja selline:

Päästiku sisendid dešifreeritakse järgmiselt - S (inglise keelest Set - install) ja R (Reset - reset). Neid kasutatakse flip-flopi seadmiseks ühte olekusse ja selle nullimiseks. Sellega seoses nimetatakse sellist päästikut RS-päästikuks.

Väljundit Q nimetatakse otseseks ja vastupidist pöördväärtuseks. Otsese ja pöördväljundi signaalid peavad loomulikult olema vastupidised.

Kindluse huvides olgu sisendile S rakendatud üks signaal ja R=0. Siis, olenemata väljundiga Q ühendatud teise sisendi olekust (teisisõnu sõltumata flip-flopi eelmisest olekust), saab ahela ülemine NOR element väljundis 0 (tulemus VÕI on 1, kuid selle pöördväärtus on 0). See nullsignaal edastatakse teise loogilise elemendi sisendisse, kus ka teine ​​sisend R on seatud väärtusele 0. Selle tulemusena saab see element pärast loogiliste VÕI-EI toimingute sooritamist kahe sisendnulliga väljundis 1, mida ta saab naaseb vastava sisendi juures esimese elemendi juurde. Viimane punkt on väga oluline: nüüd, kui see sisend on seatud väärtusele 1, ei mängi teise sisendi (S) olek enam rolli. Teisisõnu, isegi kui me nüüd sisendsignaali S eemaldame, jääb tasemete sisemine jaotus muutumatuks.

Kuna Q = 1, on päästik liikunud ühte olekusse ja kuni uute väliste signaalide saabumiseni säilitab see selle. Seega, kui sisendile S rakendatakse signaali, läheb päästik stabiilsesse üksikusse olekusse.

Signaalide R = 1 ja S = 0 vastupidise kombinatsiooni korral toimub ahela täieliku sümmeetria tõttu kõik täpselt samamoodi, kuid nüüd osutub väljundiks Q juba 0. Teisisõnu, kui signaal rakendatakse R-päästikule, lähtestatakse see stabiilsesse nullolekusse.

Seega annab signaali lõpp mõlemal juhul R = 0 ja S = 0.

Põhitehted arvudega on liitmine ja lahutamine.

• 1. Kahendarvude lisamine
• 0 + 0 = 0 0+1 = 1 1+0=1
• 1 + 1=0 + ülekandeühik kõige olulisema numbrini, s.o. 1 + 1 = 10 2 .

Igas numbris kahendarvude liitmisel liidetakse vastavalt reeglitele terminitest kaks numbrit või need kaks numbrit ja üks, kui on ülekanne kõrvalolevalt madalama järgu numbrilt. Tulemuseks on summa vastava numbri number ja võimalusel ka ülekandeüksus kõige olulisema numbrini.

Näide 1. Lisa binaarsüsteem

• 2. Kahendarvude lahutamine viiakse läbi vastavalt järgmistele reeglitele:
• 0-0 = 0 1-0=1 1-1=0 10 2 -1 = 1

Antud numbri kahendarvu lahutamisel võetakse vajadusel üks järgmisest, kõige olulisemast numbrist. See hõivatud ühik on võrdne kahe ühikuga sellest vähima tähtsusega numbrist. Seda toimingut tehakse iga kord, kui alamjaotusnumbri number on suurem kui sama minutinumbri number. Näide 2. Lahutage järgmised kahendarvud:

Tehted positiivsete ja negatiivsete arvudega

Märgiga numbrite esitamise levinumad vormid on nende esitamine otse-, pöörd- ja komplementkoodides.

Viimaseid kahte vormi kasutatakse eriti laialdaselt, kuna need võimaldavad lihtsustada arvuti aritmeetika-loogilise seadme kujundust, asendades erinevad aritmeetilised toimingud liitmise toiminguga.

Otsene kood arv moodustatakse arvu märgi kodeerimisel nulliga, kui arv on positiivne, ja ühega, kui arv on negatiivne.

Näide 1. Kujutage ette positiivset arvu 127 yu=1111111 2 otsekoodis: 0 1111111

Näide 2. Kujutage ette negatiivset arvu - 1)0 otseses koodis:

Tagastuskood arvud saadakse arvu absoluutväärtuse kahendkoodi kõigi numbrite ümberpööramisel, välja arvatud märginumber: nullid asendatakse ühtedega, ühed nullidega.

Näide 3. Esitage algne number – 1 w vastupidises koodis:

Näide 4. Kujutage ette otpittyattknpe xshg.tto - 1 77 10 vastupidises koodis:

Numbri moodulkood Arvu pöördkood

Täiendav numbrikood saadakse, moodustades pöördkoodi ja seejärel lisades selle vähima tähendusega numbrile.

Näide 5. Esitage negatiivne arv - 1 yu kahe komplementkoodis: 11111111

Näide 6. Esitage negatiivne arv -127 kahe komplementkoodis:

Arvude lisamine kahe täiendisse

Näide 1. Tehke järgmine aritmeetiline tehe "-5+3".

Meie tegevused sel juhul on järgmised:

3. Lisame numbrid.

4. Kui tulemus on negatiivne, tuleb kõik arvu numbrid, välja arvatud märgi üks, ümber pöörata ja tulemuse madalamat järku numbrile lisada üks.

Vastus:- 2, seega tehti kõik toimingud õigesti.

Näide 2. Sooritage järgmine aritmeetiline tehe "5 - 3". Tehes lahutamistehte ja esitades negatiivse arvu kahe komplementkoodis, saate lahutamistehte asendada liitmisega.

1. Esitame numbreid kahendkoodis:

2. Negatiivne arv tuleb esitada kahe täiendis. Selleks inverteerime kõik arvu numbrid peale märgi ühe ja lisame tulemuse madalama järgu numbrile ühe.

3. Lisame numbrid.

• 4. Kui tulemus on positiivne, siis märgibiti kandeüksus visatakse ära.
• 5. Saadud arv tuleks teisendada kümnendarvude süsteemi. Vastus:+ 2, seega tehti kõik toimingud õigesti.

Loogilise algebra ja binaarkodeerimise seos

Loogika algebra- matemaatika haru, mis uurib väiteid, mida vaadeldakse nende loogilise tähenduse (tõde või vale) seisukohast ja nendega tehtavaid loogilisi tehteid. Loogiline väide- iga deklaratiivne lause, mille kohta saab selgelt väita, et see on õige või vale.

Loogikaalgebra uurib keeruliste loogiliste väidete struktuuri (vormi, struktuuri) ja nende tõesuse kindlakstegemise viise. algebralised meetodid.

Nii näiteks ettepanek "8 - paarisarv" tuleks lugeda väiteks, sest see on tõsi. Pakkumine "Moskva - Belgia pealinn" ka väide, kuna see on vale.

Muidugi ei ole iga lause loogiline väide. Väited ei ole näiteks laused "esimese aasta üliõpilane" Ja "jäätis - maitsev." Esimene lause ei ütle midagi õpilase kohta ja teine ​​kasutab liiga ebamäärast mõistet "maitsev". Küsi- ja hüüdlaused ei ole samuti väited, kuna nende tõesusest või väärusest pole mõtet rääkida. Soovitused nagu “Linnas A on üle miljoni elaniku», "Tal on sinised silmad„ei ole väited, sest nende tõesuse või vääruse kindlakstegemiseks on vaja lisainfot: millisest konkreetsest linnast või isikust me räägime.

Selliseid lauseid nimetatakse propositsioonivormideks. Ekspressiivne vorm- deklaratiivne lause, mis sisaldab otseselt või kaudselt vähemalt ühte muutujat ja muutub väiteks, kui kõik muutujad asendatakse nende väärtustega.

Loogilise algebra matemaatika on arvuti riistvara toimimise kirjeldamiseks väga kasulik, kuna põhiline arvusüsteem, millega arvuti töötab, on kahendarvusüsteem, mis kasutab ainult numbreid 1 ja 0.

Seetõttu:

• - samade arvutiseadmetega saab töödelda ja salvestada nii kahendarvusüsteemis esitatavat arvinformatsiooni kui ka loogilisi muutujaid;
• - riistvara projekteerimise etapis võimaldab loogikalgebra oluliselt lihtsustada arvutiahelate toimimist kirjeldavaid loogilisi funktsioone ja sellest tulenevalt vähendada elementaarsete loogiliste elementide arvu, millest kümned tuhanded moodustavad põhikomponendid. arvuti.

Andmed ja käsud arvutis on esitatud kahendjadadena erinevad struktuurid ja pikkus. Binaarse teabe kodeerimiseks on erinevaid füüsilisi viise. IN elektroonilised seadmed arvuti binaarühikuid kodeeritakse enamasti rohkem kõrge tase pinged kui binaarsed nullid.

Loogiline element Arvuti on elektroonilise loogikalülituse osa, mis teostab elementaarset loogilist funktsiooni.

Arvutite lihtsaimad loogilised elemendid on elektroonilised vooluringid “JA”, “VÕI”, “EI”, “JA-EI”, “VÕI-HE”. Igal loogilisel elemendil on oma sümbol, mis väljendab selle loogilist funktsiooni, kuid ei näita, millist elektroonilist vooluringi selles on rakendatud. See muudab keerukate loogikaahelate kirjutamise ja mõistmise lihtsamaks.

Loogiliste elementide, aga ka loogiliste funktsioonide toimimist kirjeldatakse tõetabelite abil. Tõe tabel- see on tabel, milles loogilise funktsiooni väärtused on kirjutatud iga 2 P sisendargumentide komplekti jaoks. Näiteks kolme muutujaga avaldise täielik tõepära tabel sisaldab 2 3 =8 rida, kui neist on antud vaid 6, siis võib leida 2 8 " 6 =2 2 =4 erinevat loogilist avaldist, mis neid 6 rida rahuldavad. Loogilise funktsiooni täielikuks määratlemiseks piisab, kui loetleda kõik komplektid, mille jaoks see funktsioon võtab väärtused 1, või kõik komplektid, mille jaoks see funktsioon võtab väärtused 0.

Elementaarsed loogikafunktsioonid ja loogikaväravad

Loogilisi funktsioone, mis sõltuvad ühest või kahest muutujast, nimetatakse elementaarseteks. Loogiliste põhifunktsioonide hulka kuuluvad järgmised elementaarfunktsioonid: eitus, loogiline korrutamine, loogilise korrutamise eitamine, loogiline liitmine, loogilise liitmise eitamine, implikatsioon jne.

Eituse funktsioon on ühe argumendi loogiline funktsioon, mis võtab väärtuse 1, kui argument on 0, ja väärtuse 0, kui argumendiks on 1, ning seda nimetatakse eitus (inversioon) või loogiline funktsioon "MITTE".

Igapäevakõnes kasutame sageli sõna “EI” või sõnu “SEE EI OLE TÕE”, kui tahame midagi eitada. Näiteks laske kellelgi öelda: "Väljas on külm".(Tähistagem seda väidet A.) Kui te ei nõustu, ütlete: "Väljas EI OLE külm." Või: "See pole tõsi, et väljas on külm." (Märgistame teie avalduse IN.) On lihtne mõista, et väidete tõeväärtus on A Ja IN on teatud ühenduses: kui A tõsi siis IN vale ja vastupidi.

Loogilise funktsiooni "EI" tähistust saab tähistada kui F = X, kus muutuja kohal olev riba on inversiooni märk, või kui -iX. Ühe argumendi loogilist funktsiooni “EI” kirjeldab tõesuse tabel (tabel 8).

Tabel 8. Loogilise funktsiooni "EI" tõesuse tabel

Loogiline element “EI” (inverter) rakendab eitusoperatsiooni. Kui selle loogikaelemendi sisend on 0, siis väljund on 1 ja kui sisend on 1, on väljund 0.

Inverteri sümbol plokkskeemidel on näidatud joonisel fig. 12.

Riis. 12.

Loogiline korrutamisfunktsioon n argumenti on loogiline funktsioon, mis võtab väärtuse 1 ainult siis, kui kõik argumendid on võrdsed 1-ga, ja 0 kõigil muudel juhtudel.

Kui ütleme sidesõna, siis kinnitame, et mõlemad lauses viidatud sündmused toimuvad. Näiteks öeldes: "Petrovid võtsid omal kulul puhkuse ja läksid Krimmi," väljendame oma avalduses oma veendumust, et mõlemad sündmused leidsid aset.

Kutsutakse ka loogilist korrutamisfunktsiooni sidesõna või funktsioon "AND". Loogilise korrutamise elementaarfunktsioon sõltub kahest argumendist ja seda kirjeldab järgmine tõesuse tabel (tabel 9).

Tabel 9. Loogilise funktsiooni "AND" tõesuse tabel

Loogilise funktsiooni “AND” kirjutamisel on võimalikud järgmised valikud: F=X AY;

F=XY, kus märgid “L”, “&”, “ ” on märgid, mis näitavad loogilise korrutamise toimimist. Kõik salvestusvalikud on samaväärsed.

Riis. 13.

Loogiline element "AND" rakendab kahe või enama loogilise väärtuse konjunktsiooni. Kahe sisendiga ühenduse plokkskeemide sümbol on näidatud joonisel fig. 13.

Loogiline lisamisfunktsioon n argumenti on loogiline funktsioon, mis võtab väärtuse 0 ainult siis, kui kõik argumendid on võrdsed 0-ga (st kui nulli on n) ja 1 kõigil muudel juhtudel (st kui vähemalt üks argument on võrdne ühega).

Kutsutakse ka loogilise liitmise funktsiooni disjunktsioon või loogiline funktsioon "OR". Öeldes: "Petrov vaatab televiisorit või vaatab aknast välja," peame silmas, et Petrov teeb vähemalt ühte asja. Samal ajal saab Petrov vaadata televiisorit ja samal ajal aknast välja vaadata. Ja sel juhul on lahknevus tõsi.

Elementaarne disjunktsioon sõltub kahest argumendist ja seda kirjeldab järgmine tõesuse tabel (tabel 10).

Tabel 10. Loogilise funktsiooni "OR" tõesuse tabel

Riis. 14.

Loogilise funktsiooni "OR" kirjutamisel on võimalikud järgmised valikud:

kus märgid “V”, “+” tähistavad loogilise liitmise toimimist.

VÕI-värav rakendab kahe või enama loogilise väärtuse disjunktsiooni. Kui elemendi VÕI vähemalt üks sisend on üks, on ka selle väljund üks. Kahe sisendiga "OR" loogikaelemendi plokkskeemide sümbol on näidatud joonisel fig. 14.

Loogilise korrutamise eitusfunktsioon"NAND" võtab väärtuse 0, kui kõik argumendid on 1, ja 1 kõigil muudel juhtudel. Loogilise korrutamise eitusfunktsioon sõltub kahest argumendist ja seda kirjeldab järgmine tõesuse tabel (tabel 11).

Tabel 11. Loogilise korrutamise eitusfunktsiooni tõesuse tabel

Loogilise korrutamise eitusfunktsiooni kirjutamisel on võimalikud järgmised valikud:

Riis. 15.

Loogiline element “AND-NOT” koosneb elemendist “JA” ja inverterist ning eitab funktsiooni JA tulemuse. Kahe sisendiga loogilise elemendi “AND-NOT” plokkskeemide sümbol on näidatud joonisel fig. 15.

Loogilise liitmise eitusfunktsioon võtab väärtuse 1, kui kõik argumendid on 0, ja väärtuseks 0 muul juhul.

Loogilise liitmise eitusfunktsioon sõltub kahest argumendist ja seda kirjeldab järgmine tõesuse tabel (tabel 12).

Tabel 12. Loogilise liitmise eitusfunktsiooni tõesuse tabel

Loogilise liitmise eitusfunktsiooni kirjutamisel on võimalikud järgmised valikud:

Riis. 16.

Loogiline element "OR-HE" koosneb elemendist "OR" ja inverterist ning tühistab loogilise funktsiooni "OR" tulemuse. Kahe sisendiga loogikaelemendi “OR-HE” plokkskeemide sümbol on näidatud joonisel fig. 16.

Keerukates avaldistes, mis kasutavad loogilisi tehteid “JA”, “VÕI”, “EI”, tehakse esmalt eitustehe “EI”, seejärel sidetehte “JA”. Lõpuks tehakse disjunktsioonioperatsioon “OR”. Määratud toimingute jada muutmiseks kasutage avaldistes sulgu. Lisaks loetletud funktsioonidele on üks olulisemaid toiminguid implikatsioon(järgneb), mida tähistatakse -> ja mida kirjeldab vastav tabel (tabel 13).

Tabel 13.Implikatsioonifunktsiooni tõesuse tabel

Implikatsioon on loogiline tehe, mis seob kõik kaks lihtsat väidet liitlausega, mis on väär siis ja ainult siis, kui tingimus (esimene väide) on tõene ja tagajärg (teine ​​väide) on väär.

Mõelge väitele: "Kui homme on hea ilm, lähen ma jalutama." Siin A= Homme on hea ilm Ja B= Ma lähen jalutama. Selge on see, et valetajaks osutub inimene alles siis, kui ilm tõesti ilusaks osutub ja ta jalutama ei lähe. Kui ilm on halb, siis sõltumata sellest, kas ta läheb jalutama või mitte, ei saa teda valetamises süüdistada: ta lubas jalutama minna vaid tingimusel, et ilm on hea.

Tavakõnes sideaine "kui siis" kirjeldab väidete vahelist põhjuse-tagajärje seost. Kuid loogikatehetes väidete tähendust ei arvestata. Arvesse võetakse ainult nende tõesust või valet. Seetõttu ei tohiks häbeneda sisult täiesti mitteseotud väidete moodustatud implikatsioonide “mõttetust”. Näiteks nii: “Kui Kuul on vett, siis elavad loomaaias tiigrid”, “kui maasikad - marja, siis on poes leib.»

Järeldus on ilmselgelt tõene, kui tingimus A on väär. Teisisõnu, valest seisundist võib tuleneda kõike. Näiteks väide “Kui 2>3, siis krokodillid lendavad” on tõene.

Konnektiividega väljendatud operatsioon "siis ja ainult siis", "vajalik ja piisav" helistas samaväärne või topeltimplikatsioon ja seda tähistatakse märkidega =. Samaväärsust kirjeldab vastav tabel

Tabel 14.Samaväärsuse funktsiooni tõesuse tabel

Näiteks öeldes: "Ma Passi saan siis ja ainult siis, kui saan 14-aastaseks,” kinnitab inimene mitte ainult seda, et pärast 14-aastaseks saamist saab ta passi, vaid ka seda, et passi saab ta alles pärast 14-aastaseks saamist. 14-aastane.

Seega on väide XY tõene siis ja ainult siis, kui X ja Y väärtused on samad. Tuleb arvestada, et meie poolt käsitletud tehte – implikatsioon – võib väljenduda disjunktsiooni ja eituse kaudu:

ja samaväärsust saab väljendada eituse, disjunktsiooni ja konjunktsiooni kaudu:

Mis avaldis võib olla F?

Koostame kõigi vastuses pakutud väljendite jaoks tõetabeli:

Arvutame nelja pakutud vastuse loogilised avaldised. Näeme, et veergude X v Y v Z ja F loogiliste avaldiste väärtused langevad kokku, seega on õige vastus 3.

Näide 2. Millise X näidatud väärtuste puhul on väide tõene?

On näha, et väide on avaldise ((X>2) -> -> (X>3) eitus. See on tõene, kui ((X>2) -> (X>3)) on väär. Järeldus on väär ainsal juhul: vasakpoolne väide on tõene (meie puhul on X>2 tõene X=3 ja X=4 korral) ja parempoolne väide on väär (see kehtib X=1, X= korral 2 ja X=3). Seetõttu on ainus viis, kuidas see vihje on väär (seega on algne avaldis tõene), on kolmas.

Algebraloogika põhiseadused

Loogika algebras on rida seadusi, mis võimaldavad loogikaväljendite ekvivalentseid (identseid) teisendusi. Loogikavaldiste teisendamise reeglid on toodud tabelis. 15.

Tabel 15.Loogikavaldiste teisendamise reeglid

Loogikatete järjekord on määratud sulgudega. Sulgude arvu vähendamiseks eeldatakse, et kõigepealt sooritatakse eitustehe, seejärel konjunktsioon ja alles seejärel disjunktsioon. Lõpuks on kaudsus ja samaväärsus täidetud.

Loogiliste valemite samaväärsetel teisendustel on sama eesmärk kui tavamatemaatika valemite teisendustel. Nende eesmärk on lihtsustada valemeid ja viia need teatud vormi, kasutades loogilise algebra põhiseadusi.

Selle valemi lihtsustamise all, mis ei sisalda implikatsiooni ja ekvivalentsuse tehteid, peame silmas samaväärset teisendust, mis viib valemini, mis:

• - kas sisaldab originaaliga võrreldes väiksemat arvu side- ja disjunktsioonitehteid ega sisalda mitteelementaarvalemite eitusi;
• - või sisaldab väiksema arvu muutujate esinemisi.

Mõned loogiliste valemite teisendused sarnanevad tavaalgebra valemite teisendustega (ühise teguri väljavõtmine sulgudest, kommutatiiv- ja kombinatsiooniseaduste kasutamine jne), samas kui teised teisendused põhinevad omadustel, mida tavalise algebra tehtetel ei ole ( neeldumise seadused, liimimine, de Morgan).

Näitame näidetega mõningaid tehnikaid ja meetodeid, mida kasutatakse loogiliste valemite lihtsustamiseks.

Näide 1.

(loogilise algebra seadusi rakendatakse järgmises järjestuses: de Morgani reegel, kombinatsiooniseadus, muutuja tehte reegel selle inversiooniga ja tehte reegel konstantidega).

Näide 2.

(rakendatakse de Morgani reeglit, ühistegur võetakse sulgudest välja, kasutatakse muutujatehete reeglit selle inversiooniga).

Näide 3. Milline loogiline avaldis on avaldisega samaväärne

Kasutades de Morgani reeglit, teostame teisenduse

Kahekordse eituse reeglit kasutades saame tulemuseks: Seetõttu on õige vastus 2.

Testi küsimused ja ülesanded

• 1. Selgitage binaararitmeetika reegleid.
• 2. Edasi, tagasi ja lisakoodid numbrid - selgitage nende erinevust.
• 3. Mis seos on binaarkodeerimise ja loogika algebra vahel?
• 4. Milliseid elementaarseid loogilisi funktsioone ja loogilisi elemente tead? Tooge näiteid nende tõetabelitest.
• 5. Lisage järgmised numbrid:

6. Lahutage järgmised arvud:

• 7. Kirjeldage seost loogilise algebra ja kahendkodeerimise vahel. Tooge näiteid loogilistest väidetest.
• 8. Mis on tõetabel?
• 9. Kirjeldage loogilist funktsiooni NOT. Esitage selle tõetabel. Funktsiooni NOT kasutades saate välja mitu väidet.
• 10. Kirjeldage loogilist funktsiooni JA. Esitage selle tõesuse tabel. Mõelge välja paar lauset, kasutades funktsiooni JA.
• 11. Kirjeldage loogilist VÕI funktsiooni. Esitage selle tõetabel. Kasutage funktsiooni VÕI kasutades välja mitu väidet.
• 12. Rääkige meile loogilisest operatsioonist "implikatsioon". Esitage selle tõetabel.
• 13. Milline loogiline väide on ekvivalentne avaldisega -i (A v -iB d C)?

14. Avaldise F tõesuse tabeli fragment on antud.

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM

VENEMAA RIIKLIK OLI- JA GAASIÜLIKOOLI NIME I.M. GUBKIN

teemal: “Arvuti loogilised alused”

Bulat V.R.

Moskva, 2014

1. Mis on loogika algebra

1 Loogikatehted: disjunktsioon, konjunktsioon ja eitus

2 tõetabelit

Arvuti loogilised alused

1 Algebraloogika seadused

2 Lülitusahelad

3 ventiilid

4 Lisaja ja poolliitja

4.1 Poolliitja

4.2 Lisaja

5 Päästik mäluelemendina. RS-flip-flop ahel

5.1 RS päästik NOR väravatel

Kasutatud kirjanduse loetelu

1. Mis on loogika algebra

Loogikalgebra (Boole'i ​​algebra) on matemaatika haru, mis tekkis 19. sajandil tänu inglise matemaatiku J. Boole'i ​​pingutustele. Alguses ei olnud Boole'i ​​algebral praktilist tähtsust. Kuid juba 20. sajandil leidsid selle sätted rakendust erinevate elektroonikalülituste toimimise ja arengu kirjeldamisel. Loogilise algebra seadusi ja aparaati hakati kasutama arvutite erinevate osade (mälu, protsessor) projekteerimisel. Kuigi see pole selle teaduse ainus rakendusvaldkond.

Mis on loogika algebra? Esiteks uurib see keerukate loogiliste väidete tõesuse või vääruse tuvastamise meetodeid, kasutades algebralisi meetodeid. Teiseks teeb ta seda nii, et keerulist loogilist väidet kirjeldab funktsioon, mille tulemus võib olla kas tõene või väär (1 või 0). Sel juhul võib funktsiooni argumentidel (lihtlausetel) olla ka ainult kaks väärtust: 0 või 1.

Mis on lihtne loogiline väide? Need on fraasid nagu "kaks on rohkem kui üks", "5,8 on täisarv". Esimesel juhul on meil tõde ja teisel juhul vale. Loogika algebra ei puuduta nende väidete olemust. Kui keegi otsustab, et väide “Maa on ruut” vastab tõele, siis loogika algebra aktsepteerib seda kui tõsiasja. Fakt on see, et Boole'i ​​algebra tegeleb keerukate loogiliste avalduste tulemuse arvutamisega, mis põhinevad sellel teadaolevad väärtused lihtsad avaldused.

.1 Loogikatehted: disjunktsioon, konjunktsioon ja eitus

Loogika algebra sisaldab palju loogilisi tehteid. Kolm neist väärivad aga erilist tähelepanu, sest... nende abiga saate kirjeldada kõiki teisi ja seetõttu kasutada vooluahelate kujundamisel vähem erinevaid seadmeid. Sellised operatsioonid on konjunktsioon (AND), disjunktsioon (OR) ja eitus (NOT). Sageli tähistatakse sidesõna &, disjunktsiooni ||-ga ja eitust lauset tähistava muutuja kohal oleva ribaga.

Sidesõnaga tekib kompleksavaldise tõesus ainult siis, kui kõik kompleksi moodustavad lihtväljendid on tõesed. Kõigil muudel juhtudel on kompleksavaldis vale.

Disjunktsiooni korral ilmneb keerulise avaldise tõesus, kui vähemalt üks selles sisalduv lihtne avaldis on tõene või kaks korraga. Juhtub, et keeruline avaldis koosneb rohkem kui kahest lihtsast.

Sel juhul piisab ühest lihtsast, et olla tõsi ja siis on kogu väide tõene.

Eitus on unaartehte (st olenevalt ühest argumendist), sest sooritatakse seoses ühe lihtsa avaldise või kompleksse avaldise tulemusega. Eituse tulemusena saadakse uus väide, mis on vastupidine algsele.

.2 Tõe tabelid

Loogikatehteid on mugav kirjeldada nn tõetabelitega, mis kajastavad keeruliste väidete arvutuste tulemusi, kui erinevad tähendused originaalsed lihtsad avaldused. Lihtlauseid tähistatakse muutujatega (näiteks A ja B). (1, lk 125).

2. Arvuti loogilised alused

Arvuti kasutab erinevaid seadmeid, mille tööd kirjeldab suurepäraselt loogika algebra. Selliste seadmete hulka kuuluvad lülitite, väravate, päästikute, lisajate rühmad.

Lisaks peitub seos Boole'i ​​algebra ja arvutite vahel arvutis kasutatavas kahendarvusüsteemis. Seetõttu saavad arvutiseadmed salvestada ja teisendada nii numbreid kui ka loogiliste muutujate väärtusi.

.1 Loogika algebra seadused

Loogiliste väärtuste jaoks kasutatakse tavaliselt kolme toimingut:

1. Sidesõna – loogiline korrutamine (AND) – ja, &, ∧.

2. Disjunktsioon - loogiline liitmine (OR) - või, |, v.

Loogiline eitus (EI) - mitte, ¬.

Loogilisi avaldisi saab teisendada vastavalt loogilise algebra seadustele:

1. Refleksiivsuse seadused: a ∨ a = a a ∧ a = a

2. Kommutatiivsuse seadused: a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a

Jaotusseadused: a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Eituse seadus: ¬ (¬ a) = a

De Morgani seadused: ¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

7. Neeldumisseadused: a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a

2.2 Lülitusahelad

Arvutid kasutavad elektriahelad, mis koosneb paljudest lülititest. Lüliti saab olla ainult kahes olekus: suletud ja avatud. Esimesel juhul vool läbib, teisel - mitte. Selliste ahelate toimimist on väga mugav kirjeldada loogika algebra abil. Sõltuvalt lülitite asendist võite väljunditest signaale vastu võtta või mitte.

.3 Klapid

Värav on seade, mis toodab sellesse sisestatud andmetest (signaalidest) Boole'i ​​operatsiooni tulemuse. Näiteks on väravad, mis rakendavad loogilist korrutamist (konjunktsiooni), liitmist (disjunktsiooni) ja eitamist.

Väravad on üsna lihtsad elemendid, mida saab omavahel kombineerida, luues seeläbi erinevaid vooluringe. Mõned vooluringid sobivad aritmeetiliste toimingute tegemiseks, teiste põhjal ehitatakse erinevaid arvutimälusid.

Lihtsaim klapp on transistor-inverter, mis muundab madalpinge kõrgepingeks või vastupidi (kõrgest madalaks). Seda võib pidada loogilise nulli teisendamiseks loogiliseks või vastupidi, s.t. saame EI-värava.

Transistoride paari erineval viisil ühendades saadakse NOR ja NAND väravad. Need väravad ei aktsepteeri enam ühte, vaid kahte või enamat sisendsignaali. Väljundsignaal on alati sama ja sõltub sisendsignaalidest. NOR-värava puhul saab kõrget pinget (loogilist) saavutada ainult siis, kui kõik sisendid on madalad. NAND-värava puhul on vastupidi: loogiline saadakse, kui kõik sisendsignaalid on nullid. Nagu näete, on see vastupidine sellistele tuttavatele loogilistele operatsioonidele nagu JA ja VÕI. Tavaliselt kasutatakse aga NAND- ja NOR-väravaid, kuna nende teostus on lihtsam: AND-NOT ja NOR-NOT realiseerivad kaks transistori, loogilist JA ja VÕI aga kolm.

Värava väljundit saab väljendada funktsioonina sisenditest.

Transistori ühest olekust teise lülitumiseks kulub väga vähe aega (lülitusaega mõõdetakse nanosekundites). Ja see on nende põhjal koostatud skeemide üks olulisi eeliseid.

2.4 Lisaja ja poolliitja

Protsessori aritmeetika-loogiline ühik (ALU) sisaldab tingimata selliseid elemente nagu liitjad. Need ahelad võimaldavad teil lisada binaarnumbreid.

Kuidas lisandumine toimub? Oletame, et peate liitma kahendarvud 1001 ja 0011. Esmalt lisage kõige vähem olulised numbrid (viimased numbrid): 1+1=10. Need. väikseim number on 0 ja üks on ülekanne kõige olulisemale numbrile. Järgmine: 0 + 1 + 1 (kandmisest) = 10, s.o. selles bitis kirjutatakse jälle 0 ja üks läheb kõige olulisema biti juurde. Kolmandas etapis: 0 + 0 + 1 (ülekandest) = 1. Selle tulemusena on summa 1100.

.4.1 Poolliitja

Nüüd ei pööra me tähelepanu eelmise numbri ülekandele ja kaalume ainult seda, kuidas moodustub praeguse numbri summa. Kui anti kaks ühte või kaks nulli, siis on praeguse numbri summa 0. Kui üks kahest liikmest on võrdne ühega, siis on summa võrdne ühega. Neid tulemusi saab saada EKSKLUSIIVNE VÕI väravat kasutades.

Üks kantakse üle järgmisele numbrile, kui kaks liiget on võrdsed ühega. Ja seda realiseerib JA värav.

Seejärel saab ühe numbri piires liitmise (arvestamata võimalikku kõige vähemtähtsast numbrist pärinevat) realiseerida allpool näidatud ahelaga, mida nimetatakse poolliitjaks. Poolliitjal on kaks sisendit (lisamiseks) ja kaks väljundit (summa ja kande jaoks). Diagramm näitab poolliitjat, mis koosneb XOR- ja JA-väravatest.

2.4.2 Lisaja

Erinevalt poolliitjast võtab liitja arvesse eelmise numbri ülekannet, seega pole sellel mitte kaks, vaid kolm sisendit.

Ülekande arvessevõtmiseks peab skeem olema keeruline. Sisuliselt selgub, et see koosneb kahest poolliitjast.

Vaatleme ühte juhtumit. Peate lisama 0 ja 1, samuti 1 kandmisest. Kõigepealt määrame praeguse numbri suuruse. Otsustades vasakpoolse EXCLUSIVE OR ahela järgi, mis sisaldab a ja b, on väljund üks. Järgmine EKSKLUSIIVNE VÕI sisaldab juba kahte. Seetõttu võrdub summa 0-ga.

Vaatame nüüd, mis ülekandega juhtub. Üks JA värav sisaldab 0 ja 1 (a ja b). Saame 0. Kaks ühte sisenevad teise väravasse (paremal), mis annab meile 1. VÕI-värava läbimine nulli esimesest JA ja üks teisest JA-st annab meile 1.

Kontrollime ahela toimimist lihtsa liitmise teel 0 + 1 + 1 = 10. S.t. 0 jääb praegusesse numbrisse ja 1 liigub kõige olulisema numbri juurde. Seetõttu töötab loogikalülitus õigesti.

Selle vooluahela toimimist kõigi võimalike sisendväärtuste jaoks saab kirjeldada järgmise tõetabeli abil.

.5 Päästik mäluelemendina. RS-flip-flop ahel

Mälu (seade, mis on loodud andmete ja juhiste salvestamiseks) on arvuti oluline osa. Võime öelda, et see defineerib selle: kui arvutusseadmel pole mälu, siis pole see enam arvuti.

Arvuti mälu põhiühik on bitt. Seetõttu on vaja seadet, mis on võimeline olema kahes olekus, s.t. salvesta üks või null. Samuti peab see seade suutma välismõjul kiiresti ühest olekust teise lülituda, mis võimaldab infot muuta. Ja lõpuks peab seade võimaldama määrata oma olekut, st. anda oma seisundi kohta välist teavet.

Päästik on seade, mis suudab teavet meelde jätta, salvestada ja lubada lugeda. Selle leiutas 20. sajandi alguses Bonch-Bruevich.

Päästikute valik on väga suur. Lihtsaim neist on nn RS-flip-flop, mis on kokku pandud kahest väravast. Tavaliselt kasutatakse NOR- või NAND-väravaid.

algebra loogika tabelarvuti

2.5.1 RS-flip-flop NOR-väravatel

RS-triger "mäletab", mis sisendsignaalile vastav signaal saadeti viimati. Kui signaal rakendati S-sisendile, siis väljundis olev päästik "teatab" pidevalt, et see salvestab ühiku. Kui R-sisendisse suunatakse ühele vastav signaal, siis on flip-flopi väljundiks 0. Vaatamata sellele, et flip-flopil on kaks väljundit, viitab see Q väljundile. Q väärtus.)

Teisisõnu, S (set) sisend vastutab päästiku seadmise eest 1-le ja sisend R (reset) vastutab päästiku 0-le seadmise eest. Seadistamine toimub kõrgepinge signaaliga (vastab ühele ). Kõik sõltub sellest, millisele sisendile see toidetakse.

Enamasti suunatakse sisenditesse 0-ga (madalpinge) võrdne signaal. Sel juhul säilitab päästik oma eelmise oleku.

Võimalikud on järgmised olukorrad:

· Q = 1, signaal rakendatakse S-le, seetõttu Q ei muutu.

· Q = 0, signaal rakendatakse S-le, seega Q = 1.

· Q = 1, signaal rakendatakse R-le, seega Q = 0.

· Q = 0, signaal rakendatakse R-le, seetõttu Q ei muutu.

Olukord, kus mõlemale sisendile antakse üksikuid signaale, on vastuvõetamatu.

Kuidas päästik salvestab olekut? Oletame, et triger tekitab väljundis Q loogilise 0. Seejärel vooluringi järgi otsustades tagastatakse see 0 ka ülemisse väravasse, kus see pööratakse ümber (selgub 1) ja kantakse sellisel kujul üle alumisse väravasse.

See omakorda inverteerib uuesti signaali (saadakse 0), mis on väljundis Q. Päästiku olek salvestatakse, see salvestab 0.

3. Loogika algebra praktiline tähendus

Kahendpoolliitja on võimeline sooritama kahe ühekohalise kahendarvu binaarse liitmise operatsiooni (st täitma kahendarvu reegleid):

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 0.

Sel juhul eraldab poolliitja kandebiti. Poolliitja ahel ei sisalda aga kolmandat sisendit, millele saab kanda kahendarvude summa eelmise biti kandesignaali. Seetõttu kasutatakse poolliitjat mitmebitiste kahendarvude summeerimiseks ainult loogikalülituse kõige vähemtähtsas bitis, kus eelmisest kahendbitist ei saa olla ülekandesignaali. Täisbinaarsummer lisab kaks mitmebitist kahendarvu, võttes arvesse eelmistes kahendbittides liitmisest saadud kandesignaale.

Ühendades binaarsummerid kaskaadina, saate suvalise arvu numbritega kahendarvude jaoks loogilise liitja ahela. Mõne modifikatsiooniga kasutatakse neid loogikalülitusi kahendarvude lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks. Nende abiga ehitati tänapäevaste arvutite aritmeetilised seadmed.

Liiturid ja poolliitjad on ühetsüklilised loogikaahelad. Nende väljundite väärtused määravad üheselt nende sisendite väärtused. Nendes puudub ajafaktor. Koos nendega on mitmetsüklilised loogikaahelad, milles nende väljundite väärtused ei määra mitte ainult nende sisendite väärtused, vaid ka nende olek eelmises tsüklis. Ajafaktor määratakse selliste tsüklitega. Selliste loogiliste ahelate hulka kuuluvad mäluahelad (flip-flops). Need on ehitatud kasutades tagasisidet väljundist sisendini.

Trigerites moodustatakse tagasiside abil väljundist sisendisse suletud ahel sisendsignaali salvestamiseks. See ahel jääb pärast sisendsignaali eemaldamist määramata ajaks püsima, kuni ilmub kustutamissignaal.

Sellel mäluahelal on ka teine ​​nimi - eraldi sisenditega flip-flop. Sellises vooluringis on sisend salvestamiseks (S) ja kustutamiseks (R). Arvutustehnikas kasutatakse laialdaselt ka loendussisendiga flip-flop. Sellel on ainult üks sisend ja üks väljund. See skeem jagab 2-ga, st. selle väljundi olek muutub alles pärast kahe järjestikuse sisendimpulsi rakendamist. Ühendades loendusväljundiga klapid jadakaskaadiks, saate jagada 2, 4, 8, 16, 32, 64 jne.

Skeem muutmälu mängib olulist rolli kõrge riskiga masinate, näiteks tootmispresside juhtimissüsteemide ehitamisel. Operaatori käte kaitsmiseks on sellised masinad ehitatud kahe käega juhtimissüsteemidega. Sellised süsteemid nõuavad, et operaator hoiaks mõlema käega juhtnuppudel masina iga töötsükli ajal. See hoiab ära käte vahelejäämise Ohutsoon, kus osa on pressitud.

IN kaasaegsed arvutid mikroskoopilised transistorid integraallülituse kiibis on rühmitatud väravasüsteemidesse, mis sooritavad loogilisi operatsioone kahendarvudega. Nii valmisid nende abiga ülalkirjeldatud kahendliitjad, mis võimaldavad liita mitmekohalisi kahendarvusid, lahutada, korrutada, jagada ja omavahel võrrelda. Loogikaväravad, mis toimivad teatud reeglite järgi, juhivad andmete liikumist ja juhiste täitmist arvutis. (2, lk 218)

Kasutatud kirjanduse loetelu

1) Ugrinovitš N.D. Arvutiteadus ja infotehnoloogia: Õpik 10-11 klassile - M.: BINOM, 2003. - 512 lk.

) Makarova N.V., Volkov V.B. Informaatika: õpik ülikoolidele - M.: Peeter, 2011. - 576 lk.

Loogika algebra ja arvuti loogilised alused

Mis on loogika algebra?

Loogika algebra (Boole'i ​​algebra) on matemaatika haru, mis tekkis 19. sajandil tänu inglise matemaatiku J. Boole'i ​​pingutustele. Alguses ei olnud Boole'i ​​algebral praktilist tähtsust. Kuid juba 20. sajandil leidsid selle sätted rakendust erinevate elektroonikalülituste toimimise ja arengu kirjeldamisel. Loogilise algebra seadusi ja aparaati hakati kasutama arvutite erinevate osade (mälu, protsessor) projekteerimisel. Kuigi see pole selle teaduse ainus rakendusvaldkond.

Mis on loogika algebra? Esiteks uurib see keerukate loogiliste väidete tõesuse või vääruse tuvastamise meetodeid, kasutades algebralisi meetodeid. Teiseks teeb Boole'i ​​algebra seda nii, et keerulist loogilist lauset kirjeldab funktsioon, mille tulemust saab kas tõene või vale(1 või 0). Sel juhul võib funktsiooni argumentidel (lihtlausetel) olla ka ainult kaks väärtust: 0 või 1.

Mis on lihtne loogiline väide? Need on fraasid nagu "kaks on rohkem kui üks", "5,8 on täisarv". Esimesel juhul on meil tõde ja teisel juhul vale. Loogika algebra ei puuduta nende väidete olemust. Kui keegi otsustab, et väide “Maa on ruut” vastab tõele, siis loogika algebra aktsepteerib seda kui tõsiasja. Fakt on see, et Boole'i ​​algebra tegeleb keerukate loogiliste väidete tulemuse arvutamisega, mis põhinevad lihtsate väidete varem teadaolevatel väärtustel.

Loogilised operatsioonid. Disjunktsioon, konjunktsioon ja eitus (inversioon)

Niisiis, kuidas lihtsad loogilised väited omavahel ühendavad, et moodustada keerukaid? Loomulikus keeles kasutame erinevaid sidesõnu ja muid kõneosi. Näiteks "ja", "või", "kas", "ei", "kui", "siis", "siis". Näide keerukatest väidetest: „tal on teadmised Ja oskused", "ta saabub teisipäeval, või kolmapäeval", "Ma mängin Siis, kui ma teen kodutööd", "5 Mitte võrdub 6". Kuidas me otsustame, kas see, mis meile on öeldud, on tõsi või mitte? Kuidagi loogiliselt, isegi kuskil alateadlikult, eelnevale elukogemusele tuginedes saame aru, et tõde ühendusega “ja” esineb mõlema lihtlause tõepärasuse puhul. Kui ühest saab vale, on kogu keeruline väide vale. Kuid sidesõnaga "või" peab tõene olema ainult üks lihtne väide ja siis saab tõeseks kogu väljend.

Boole'i ​​algebra kandis selle elukogemuse üle matemaatika aparatuuri, vormistas selle ja kehtestas ranged reeglid üheselt mõistetava tulemuse saamiseks. Ametiühinguid hakati siin nimetama loogilisteks operaatoriteks.

Loogika algebra sisaldab palju loogilisi tehteid. Kolm neist väärivad aga erilist tähelepanu, sest... nende abiga saate kirjeldada kõiki teisi ja seetõttu kasutada vooluahelate kujundamisel vähem erinevaid seadmeid. Sellised toimingud on sidesõna(JA), disjunktsioon(VÕI) ja eitus(MITTE). Sageli tähistatakse sidesõna & , disjunktsioon - || , ja eitus on väidet tähistava muutuja kohal olev riba.

Sidesõnaga tekib kompleksavaldise tõesus ainult siis, kui kõik kompleksi moodustavad lihtväljendid on tõesed. Kõigil muudel juhtudel on kompleksavaldis vale.

Disjunktsiooni korral ilmneb keerulise avaldise tõesus, kui vähemalt üks selles sisalduv lihtne avaldis on tõene või kaks korraga. Juhtub, et keeruline avaldis koosneb rohkem kui kahest lihtsast. Sel juhul piisab ühest lihtsast, et olla tõsi ja siis on kogu väide tõene.

Eitus on unaarne tehe, kuna seda tehakse seoses ühe lihtsa avaldise või kompleksse avaldise tulemusega. Eituse tulemusena saadakse uus väide, mis on vastupidine algsele.

Tõe tabelid

Loogilisi tehteid on mugav kirjeldada nn tõetabelid, mis kajastavad keerukate väidete arvutuste tulemusi algsete lihtsate väidete erinevate väärtuste jaoks. Lihtlauseid tähistatakse muutujatega (näiteks A ja B).

Arvuti loogilised alused

Arvutites kasutatakse erinevaid seadmeid, mille tööd kirjeldab suurepäraselt loogika algebra. Selliste seadmete hulka kuuluvad lülitite, päästikute, lisajate rühmad.

Lisaks peitub seos Boole'i ​​algebra ja arvutite vahel arvutis kasutatavas numbrisüsteemis. Nagu teate, on see binaarne. Seetõttu saavad arvutiseadmed salvestada ja teisendada nii numbreid kui ka loogiliste muutujate väärtusi.