Kuidas arvutada kolmnurga pindala, kui see on teada. Kuidas leida kolmnurga pindala

Kolmnurk on üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid, millega oleme juba tuttavad Põhikool. Küsimus, kuidas leida kolmnurga pindala, seisab silmitsi iga geomeetriatundide õpilasega. Niisiis, millised on antud joonise ala leidmise tunnused, mida saab eristada? Selles artiklis käsitleme sellise ülesande täitmiseks vajalikke põhivalemeid ja analüüsime ka kolmnurkade tüüpe.

Kolmnurkade tüübid

Kolmnurga pindala on täiesti võimalik leida erinevatel viisidel, sest geomeetrias on rohkem kui ühte tüüpi kujundeid, mis sisaldavad kolme nurka. Need tüübid hõlmavad järgmist:

nüri.
Võrdkülgne (õige).
Täisnurkne kolmnurk.
Võrdhaarsed.

Vaatame igaüks neist lähemalt olemasolevad tüübid kolmnurgad.

Sellist geomeetrilist kujundit peetakse lahendamisel kõige tavalisemaks geomeetrilised probleemid. Kui on vaja joonistada suvaline kolmnurk, tuleb see valik appi.

Nagu nimigi ütleb, on terava kolmnurga kõik nurgad teravad ja summeerivad 180°.

Selline kolmnurk on samuti väga levinud, kuid on mõnevõrra harvem kui teravnurkne. Näiteks kolmnurkade lahendamisel (st tead selle mitut külge ja nurka ning pead leidma ülejäänud elemendid) tuleb mõnikord kindlaks teha, kas nurk on nüri või mitte. Koosinus on negatiivne arv.

Ühe nurga väärtus ületab 90°, seega võivad ülejäänud kaks nurka olla väikesed (näiteks 15° või isegi 3°).

Seda tüüpi kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma mõningaid nüansse, millest me järgmisena räägime.

Korrapärased ja võrdhaarsed kolmnurgad

Tavaline hulknurk on n nurka sisaldav kujund, mille kõik küljed ja nurgad on võrdsed. See on täisnurkne kolmnurk. Kuna kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°, on kõik kolm nurka 60°.

Täisnurkset kolmnurka nimetatakse selle omaduse tõttu ka võrdkülgseks kujundiks.

Samuti väärib märkimist, et korrapärasesse kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringi ja selle ümber saab ainult ühe ringi ning nende keskpunktid asuvad ühes punktis.

Lisaks võrdkülgsele tüübile võib eristada ka võrdhaarset kolmnurka, mis sellest veidi erineb. Sellises kolmnurgas on kaks külge ja kaks nurka üksteisega võrdsed ning kolmas külg (mille külge võrdsed nurgad) on aluseks.

Joonisel on kujutatud võrdhaarne kolmnurk DEF, mille nurgad D ja F on võrdsed ning DF on alus.

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkset kolmnurka nimetatakse selliseks, kuna üks selle nurkadest on täisnurk, st võrdub 90°. Ülejäänud kaks nurka annavad kokku 90°.

Sellise kolmnurga suurim külg, mis asub 90 ° nurga vastas, on hüpotenuus, ülejäänud kaks külge on jalad. Seda tüüpi kolmnurkade puhul kehtib Pythagorase teoreem:

Jalgade pikkuste ruutude summa võrdub hüpotenuusi pikkuse ruuduga.

Joonisel on kujutatud täisnurkne kolmnurk BAC hüpotenuusiga AC ning jalgadega AB ja BC.

Täisnurgaga kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma arvväärtusi tema jalad.

Liigume edasi antud joonise pindala leidmise valemite juurde.

Põhivalemid ala leidmiseks

Geomeetrias saab eristada kahte valemit, mis sobivad enamiku kolmnurkade pindala leidmiseks, nimelt teravnurksete, nürinurksete, korrapäraste ja võrdhaarsete kolmnurkade jaoks. Analüüsime igaüks neist.

Külje ja kõrguse järgi

See valem on universaalne vaadeldava joonise ala leidmiseks. Selleks piisab, kui on teada külje pikkus ja sellele tõmmatud kõrguse pikkus. Valem ise (pool aluse ja kõrguse korrutisest) näeb välja selline järgmisel viisil:

kus A on antud kolmnurga külg ja H on kolmnurga kõrgus.

Näiteks teravnurkse kolmnurga ACB pindala leidmiseks peate korrutama selle külje AB kõrgusega CD ja jagama saadud väärtuse kahega.

Sel viisil ei ole aga alati lihtne kolmnurga pindala leida. Näiteks selle valemi kasutamiseks nürinurkse kolmnurga jaoks peate jätkama selle ühte külge ja alles seejärel joonistama sellele kõrguse.

Praktikas kasutatakse seda valemit sagedamini kui teisi.

Kaks külge ja nurk

See valem, nagu ka eelmine, sobib enamiku kolmnurkade jaoks ja on oma tähenduses kolmnurga külje ja kõrguse järgi pindala leidmise valemi tagajärg. See tähendab, et vaadeldava valemi saab eelmisest hõlpsasti tuletada. Selle sõnastus näeb välja selline:

S = ½*sinO*A*B,

kus A ja B on kolmnurga küljed ja O on nurk külgede A ja B vahel.

Tuletame meelde, et nurga siinust saab vaadata spetsiaalses tabelis, mis on nimetatud silmapaistva nõukogude matemaatiku V. M. Bradise järgi.

Ja nüüd liigume edasi muude valemite juurde, mis sobivad ainult erakordset tüüpi kolmnurkade jaoks.

Täisnurkse kolmnurga pindala

Lisaks universaalsele valemile, mis hõlmab vajadust joonistada kolmnurga kõrgust, võib selle jalgadelt leida täisnurka sisaldava kolmnurga pindala.

Seega on täisnurka sisaldava kolmnurga pindala pool selle jalgade korrutisest või:

kus a ja b on täisnurkse kolmnurga jalad.

täisnurkne kolmnurk

Seda tüüpi geomeetrilised kujundid erinevad selle poolest, et selle pindala võib leida ainult selle ühe külje määratud väärtusega (kuna tavalise kolmnurga kõik küljed on võrdsed). Niisiis, olles täitnud ülesande "leida kolmnurga pindala, kui küljed on võrdsed", peate kasutama järgmist valemit:

S = A 2 *√3/4,

kus A on võrdkülgse kolmnurga külg.

Heroni valem

Viimane võimalus kolmnurga pindala leidmiseks on Heroni valem. Selle kasutamiseks peate teadma joonise kolme külje pikkust. Heroni valem näeb välja selline:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

kus a, b ja c on antud kolmnurga küljed.

Mõnikord antakse ülesanne: "tavalise kolmnurga pindala on leida selle külje pikkus." Sel juhul tuleb tavalise kolmnurga pindala leidmiseks kasutada meile juba teadaolevat valemit ja tuletada sellest külje (või selle ruudu) väärtus:

A 2 \u003d 4S / √3.

Eksamiprobleemid

Matemaatika GIA ülesannetes on palju valemeid. Lisaks on üsna sageli vaja ruudulisel paberil leida kolmnurga pindala.

Sel juhul on kõige mugavam joonistada joonise ühele küljele kõrgus, määrata selle pikkus lahtrite kaupa ja kasutada universaalne valem piirkonna leidmiseks:

Nii et pärast artiklis esitatud valemite uurimist pole teil probleeme mingisuguse kolmnurga pindala leidmisega.

Kolmnurga pindala - ülesannete lahendamise valemid ja näited

Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või mõõtmetest. Valemid on esitatud pildi kujul, siin on selgitused nende rakendamiseks või nende õigsuse põhjendus. Eraldi joonisel on ka vastavused kirju joonisel valemites ja graafilistes sümbolites.

Märge . Kui kolmnurgal on eriomadused (võrdhaarne, ristkülikukujuline, võrdkülgne), võite kasutada allolevaid valemeid, aga ka spetsiaalseid valemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade puhul:

"Võrdkülgse kolmnurga pindala valemid"

Kolmnurga pindala valemid

Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- kolmnurga ümber piiritletud ringi raadius
h- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α - kolmnurga a vastaskülje nurk
β - kolmnurga vastaskülje b nurk
γ - kolmnurga vastaskülje c nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus, langetatud küljele a, b, c

Pange tähele, et antud märge vastab ülaltoodud joonisele, nii et geomeetria tõelise ülesande lahendamisel oleks teil visuaalselt lihtsam valemis õigeid väärtusi õigetesse kohtadesse asendada.

Kolmnurga pindala on pool kolmnurga kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisest, millele see kõrgus on langetatud(Vormel 1). Selle valemi õigsust saab mõista loogiliselt. Aluseni langetatud kõrgus jagab suvalise kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Kui täiendame neid ristkülikuks, mille mõõtmed on b ja h, on nende kolmnurkade pindala ilmselgelt võrdne täpselt poolega ristküliku pindalast (Spr = bh)
Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest(Valem 2) (vt näidet ülesande lahendamisest selle valemi abil allpool). Hoolimata asjaolust, et see tundub eelmisest erinev, saab seda hõlpsasti muuta. Kui alandame kõrgust nurgast B küljele b, siis selgub, et külje a ja nurga γ siinuse korrutis võrdub siinuse omaduste järgi täisnurkses kolmnurgas joonestatud kolmnurga kõrgusega. meile, mis annab meile eelmise valemi
Suvalise kolmnurga pindala on võimalik leida läbi tööd pool ringi raadiusest, mis on sellesse kantud kõigi selle külgede pikkuste summaga(valem 3), teisisõnu, peate korrutama kolmnurga poolperimeetri sisse kirjutatud ringi raadiusega (nii on seda lihtsam meeles pidada)
Suvalise kolmnurga pindala saab leida, jagades selle kõigi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega (valem 4)
Valem 5 on kolmnurga pindala leidmine selle külgede pikkuste ja poolperimeetri järgi (pool kõigi külgede summast)
Heroni valem(6) on sama valemi esitus ilma poolperimeetri mõistet kasutamata, ainult läbi külgede pikkuste
Suvalise kolmnurga pindala võrdub kolmnurga külje ruudu ja selle küljega külgnevate nurkade siinuste korrutisega, mis on jagatud selle külje vastasnurga topeltsiinusega (valem 7)
Suvalise kolmnurga pindala võib leida selle ümber piiritletud ringi kahe ruudu ja selle iga nurga siinuste korrutisena. (Vormel 8)
Kui ühe külje pikkus ja kahe sellega külgneva nurga suurus on teada, võib kolmnurga pindala leida selle külje ruuduna, mis on jagatud nende kootangentide topeltsummaga. nurgad (vormel 9)
Kui on teada ainult kolmnurga iga kõrguse pikkus (valem 10), siis on sellise kolmnurga pindala pöördvõrdeline nende kõrguste pikkustega, nagu Heroni valemi järgi
Valem 11 võimaldab arvutada kolmnurga pindala vastavalt selle tippude koordinaatidele, mis on antud (x;y) väärtustena iga tipu jaoks. Pange tähele, et saadud väärtus tuleb võtta modulo, kuna üksikute (või isegi kõigi) tippude koordinaadid võivad olla negatiivsete väärtuste piirkonnas

Märge. Järgnevalt on toodud näited geomeetria probleemide lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria probleem, mille sarnast siin pole - kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes sümboli "" asemel Ruutjuur" saab kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on näidatud sulgudes.Mõnikord saab sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √

Ülesanne. Leidke kahe külje ala ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm Nende vaheline nurk on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.

Lahendus.

Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala võib leida kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse kaudu ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ

Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemiga asendada vaid probleemipüstituse väärtused:
S=1/2*5*6*sin60

Väärtuste tabelis trigonomeetrilised funktsioonid leida ja asendada avaldises siinuse väärtus 60 kraadi. Ta teeb seda võrdne juurega kolmest kaheni.
S = 15 √3/2

Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest on ilmselt võimalik jätta 15 √3/2)

Ülesanne. Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.

Lahendus.

Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Kuna a \u003d b \u003d c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastus: 9 √3 / 4.

Ülesanne. Pindala muutus külgede pikkuse muutmisel

Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui küljed neljakordistada?

Lahendus.

Kuna kolmnurga külgede mõõtmed on meile teadmata, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvaliste arvudega a, b, c. Seejärel leiame ülesande küsimusele vastamiseks selle kolmnurga pindala ja seejärel kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.

Järgnevalt anname ülesande lahenduse tekstilise selgituse sammude kaupa. Päris lõpus esitatakse aga sama lahendus graafilisel kujul, mis on tajumiseks mugavam. Soovijad saavad lahenduse kohe alla panna.

Lahendamiseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt allpool oleva pildi esimest rida)

Suvalise kolmnurga külgede pikkused on antud muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:

S 2 = 1/4 ruutmeetrit ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)

Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab kõigist neljast avaldisest sulgudest välja võtta vastavalt üldreeglid matemaatika.
Siis

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida

Numbrist 256 on ruutjuur suurepäraselt välja võetud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva joonise viiendat rida)

Ülesandes püstitatud küsimusele vastamiseks piisab, kui jagame saadud kolmnurga pindala esialgse kolmnurga pindalaga.
Pindala suhted määrame, jagades avaldised üksteiseks ja vähendades saadud murdosa.

Pindala mõiste

Mis tahes piirkonna mõiste geomeetriline kujund, eriti kolmnurga, seostame sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletame meelde geomeetriliste kujundite alade kontseptsiooni kahte põhiomadust.

Atribuut 1: Kui geomeetrilised kujundid on võrdsed, on ka nende pindalad võrdsed.

Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate kujundite pindalade väärtuste summaga.

Kaaluge näidet.

Näide 1

On ilmne, et kolmnurga üks külgedest on ristküliku diagonaal, mille ühe külje pikkus on $5$ (alates $5$ lahtritest) ja teine $6$ (alates $6$ lahtrist). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on

Siis on kolmnurga pindala

Vastus: 15 dollarit.

Järgmisena kaaluge mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse abil, kasutades Heroni valemit ja võrdkülgse kolmnurga pindala.

Kuidas leida kolmnurga pindala kõrguse ja aluse abil

1. teoreem

Kolmnurga pindala võib leida poolena külje pikkuse korrutisest sellele küljele tõmmatud kõrgusega.

Matemaatiliselt näeb see välja selline

$S=\frac(1)(2)αh$

kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$, kus $AC=α$. Kõrgus $BH$ tõmmatakse sellele küljele ja võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.

Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Seetõttu on kolmnurga soovitud pindala vastavalt omadusele 2 võrdne

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teoreem on tõestatud.

Näide 2

Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega

Selle kolmnurga alus on $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ lahtrid). Kõrgus on samuti 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 abil

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5 $

Vastus: 40,5 dollarit.

Heroni valem

2. teoreem

Kui meile on antud kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, siis selle pindala leitakse järgmiselt

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.

Tõestus.

Mõelge järgmisele joonisele:

Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$

Kolmnurgast $CBH$ Pythagorase teoreemi järgi saame

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nendest kahest seosest saame võrdsuse

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, seega

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teoreemi 1 järgi saame

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Kolmnurk on lihtsaim geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest küljest ja kolmest tipust. Kolmnurka on oma lihtsuse tõttu kasutatud juba iidsetest aegadest erinevate mõõtmiste tegemiseks ning tänapäeval võib kujund olla kasulik praktiliste ja igapäevaste probleemide lahendamisel.

Kolmnurga omadused

Joonist on arvutusteks kasutatud juba iidsetest aegadest, näiteks maamõõtjad ja astronoomid opereerivad pindalade ja kauguste arvutamiseks kolmnurkade omadusi. Selle joonise pindala kaudu on lihtne väljendada mis tahes n-nurga pindala ja seda omadust kasutasid iidsed teadlased hulknurkade pindalade valemite tuletamiseks. Püsiv töökoht kolmnurkadega, eriti koos täisnurkne kolmnurk, sai aluseks tervele matemaatika lõigule - trigonomeetriale.

kolmnurga geomeetria

Geomeetrilise kujundi omadusi on uuritud iidsetest aegadest: varaseimad andmed kolmnurga kohta leiti Egiptuse papüürustest, mis on 4000 aastat vanad. Seejärel uuriti figuuri aastal Vana-Kreeka ja suurima panuse kolmnurga geomeetriasse andsid Euclid, Pythagoras ja Heron. Kolmnurga uurimine ei lõppenud kunagi ja Leonhard Euler võttis 18. sajandil kasutusele kujundi ortotsentri ja Euleri ringi mõiste. 19. ja 20. sajandi vahetusel, kui tundus, et kolmnurgast teatakse absoluutselt kõike, sõnastas Frank Morley teoreemi nurga kolmnurga kohta ning Vaclav Sierpinski pakkus välja fraktaalkolmnurga.

Meile on kooli geomeetria kursusest tuttavad mitut tüüpi lamedaid kolmnurki:

teravnurkne - kõik figuuri nurgad on teravad;
nüri - figuuril on üks nüri nurk (üle 90 kraadi);
ristkülikukujuline - joonisel on üks täisnurk, mis on võrdne 90 kraadiga;
võrdhaarne – kahe võrdse küljega kolmnurk;
võrdkülgne - kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed.
AT päris elu seal on igasuguseid kolmnurki ja mõnel juhul võib tekkida vajadus arvutada geomeetrilise kujundi pindala.

Kolmnurga pindala

Pindala on hinnang selle kohta, kui suurt osa tasapinnast joonis piirneb. Kolmnurga pindala saab leida kuuel viisil, kasutades sissekirjutatud või piiritletud ringi külgi, kõrgust, nurki, raadiust, samuti Heroni valemit või topeltintegraali arvutamist mööda tasapinda piiravaid jooni. Kõige lihtne valem kolmnurga pindala arvutamine näeb välja järgmine:

kus a on kolmnurga külg, h on selle kõrgus.

Kuid praktikas ei ole meil alati mugav geomeetrilise kujundi kõrgust leida. Meie kalkulaatori algoritm võimaldab teil pindala arvutada, teades:

kolm külge;
kaks külge ja nendevaheline nurk;
üks külg ja kaks nurka.

Pindala määramiseks kolme külje järgi kasutame Heroni valemit:

S = ruut (p × (p-a) × (p–b) × (p–c)),

kus p on kolmnurga poolperimeeter.

Kahe külje pindala ja nurk arvutatakse klassikalise valemi järgi:

S = a × b × sin(alfa),

kus alfa on nurk külgede a ja b vahel.

Ühe külje ja kahe nurga läbiva ala määramiseks kasutame seost:

a / sin(alfa) = b / sin(beeta) = c / sin(gamma)

Lihtsa proportsiooni abil määrame teise külje pikkuse, mille järel arvutame pindala valemiga S = a × b × sin(alfa). See algoritm täielikult automatiseeritud ja teil on vaja ainult sisestada määratud muutujad ja saada tulemus. Vaatame paari näidet.

Näited elust

sillutusplaadid

Oletame, et soovite sillutada põranda kolmnurksete plaatidega ja määrata selle koguse vajalik materjal, peaksite välja selgitama ühe plaadi pindala ja põranda pindala. Oletame, et peate töötlema 6 ruutmeetrit pinda, kasutades plaati, mille mõõtmed on a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Ilmselt kasutab kalkulaator kolmnurga pindala arvutamiseks Heroni valemit ja anna tulemus:

Seega on ühe plaadielemendi pindala 0,021 ruutmeeter, ja põranda kaunistamiseks vajate 6/0,021 = 285 kolmnurka. Arvud 20, 21 ja 29 moodustavad Pythagorase kolmikarvud, mis rahuldavad . Ja see on õige, meie kalkulaator arvutas välja ka kolmnurga kõik nurgad ja gamma nurk on täpselt 90 kraadi.

kooli ülesanne

Kooliülesandes peate leidma kolmnurga pindala, teades, et haava külg a \u003d 5 cm ning nurgad alfa ja beeta on vastavalt 30 ja 50 kraadi. Selle ülesande käsitsi lahendamiseks leiame esmalt külje b väärtuse, kasutades kuvasuhte ja vastasnurkade siinusi, ning seejärel määrame pindala lihtsa valemiga S = a × b × sin(alfa). Hoiame aega kokku, sisestame andmed kalkulaatori vormi ja saame kohe vastuse

Kalkulaatori kasutamisel on oluline nurgad ja küljed õigesti määrata, vastasel juhul on tulemus vale.

Järeldus

Kolmnurk on ainulaadne kujund, mis esineb nii päriselus kui ka abstraktsetes arvutustes. Kasutage meie veebikalkulaatorit mis tahes tüüpi kolmnurkade pindala leidmiseks.

Juhend

Peod ja nurki peetakse põhielementideks a. Kolmnurk on täielikult määratletud mis tahes järgmiste põhielementidega: kas kolm külge või üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja nendevaheline nurk. Olemasolu eest kolmnurk defineeritud kolme küljega a, b, c, on vajalik ja piisav, et ebavõrdsused, mida nimetatakse ebavõrdsusteks kolmnurk:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Ehitamiseks kolmnurk kolmel küljel a, b, c on vaja lõigu CB=a punktist C, kuidas tõmmata kompassiga ring raadiusega b. Seejärel tõmmake sarnaselt punktist B raadiusega ring võrdne küljega c. Nende lõikepunkt A on soovitud kolmas tipp kolmnurk ABC, kus AB=c, CB=a, CA=b - küljed kolmnurk. Ülesanne on , kui küljed a, b, c rahuldavad ebavõrdsust kolmnurk 1. sammus määratletud.

Sel viisil konstrueeritud S-ala kolmnurk ABC koos tuntud osapooled a, b, c arvutatakse Heroni valemiga:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kus a, b, c on küljed kolmnurk, p on poolperimeeter.
p = (a+b+c)/2

Kui kolmnurk on võrdkülgne, st kõik selle küljed on võrdsed (a=b=c). Pindala kolmnurk arvutatakse valemiga:
S=(a^2 v3)/4

Kui kolmnurk on täisnurkne, st üks selle nurkadest on 90 ° ja selle moodustavad küljed on jalad, on kolmas külg hüpotenuus. Sel juhul ruut võrdub jalgade korrutisega, mis on jagatud kahega.
S=ab/2

Leidma ruut kolmnurk, võite kasutada ühte paljudest valemistest. Valige valem sõltuvalt sellest, millised andmed on juba teada.

Sa vajad

kolmnurga pindala leidmise valemite tundmine

Juhend

Kui teate ühe külje väärtust ja vastasnurgast sellele küljele langetatud kõrguse väärtust, saate pindala leida järgmiselt: S = a*h/2, kus S on Kolmnurga a on kolmnurga üks külgedest ja h - kõrgus külje a juures.

On teada viis kolmnurga pindala määramiseks, kui selle kolm külge on teada. Ta on Heroni valem. Selle salvestamise lihtsustamiseks võetakse kasutusele vaheväärtus - poolperimeeter: p \u003d (a + b + c) / 2, kus a, b, c - . Siis on Heroni valem järgmine: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ astendamine.

Oletame, et tead kolmnurga ühte külge ja kolme nurka. Siis on kolmnurga pindala lihtne leida: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kus β on külje a vastasnurk ning α ja γ on küljega külgnevad nurgad.

Seotud videod

Märge

Kõige üldisem valem, mis sobib kõikidel juhtudel, on Heroni valem.

Allikad:

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala, millel on kolm külge

Kolmnurga pindala leidmine on kooliplanimeetrias üks levinumaid ülesandeid. Mis tahes kolmnurga pindala määramiseks piisab kolmnurga kolme külje tundmisest. Erijuhtudel ja võrdkülgsete kolmnurkade puhul piisab vastavalt kahe ja ühe külje pikkuse teadmisest.

Sa vajad

kolmnurkade küljepikkused, Heroni valem, koosinusteoreem

Juhend

Heroni valem kolmnurga pindala jaoks on järgmine: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Kui värvite poolperimeetri p, saate: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Samuti saate kaalutluste põhjal tuletada kolmnurga pindala valemi, rakendades näiteks koosinusteoreemi.

Koosinuste seaduse järgi AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Kasutades sissejuhatavat tähistust, võivad need olla ka kujul: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Seega cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Kolmnurga pindala leitakse ka valemiga S = a*c*sin(ABC)/2 läbi kahe külje ja nendevahelise nurga. Nurga ABC siinust saab väljendada selle kaudu, kasutades põhilist trigonomeetriline identiteet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Asendades siinuse pindala valemisse ja värvides selle, saame kolmnurga ABC pindala valemini.

Seotud videod

Sest remonditööd võib olla vaja mõõta ruut seinad. Seda on lihtsam arvutada nõutav summa värv või tapeet. Mõõtmiseks on kõige parem kasutada mõõdulinti või sentimeetrit. Mõõtmised tuleks teha pärast seinad on joondatud.

Sa vajad

-rulett;
-redel.

Juhend

Loendama ruut seinad, peate teadma lagede täpset kõrgust, samuti mõõtma pikkust mööda põrandat. Seda tehakse järgmiselt: võtke sentimeeter, asetage see sokli kohale. Tavaliselt ei piisa kogu pikkuse jaoks sentimeetrist, nii et kinnitage see nurka, seejärel kerige see maksimaalse pikkuseni lahti. Siinkohal pange pliiatsiga märk, kirjutage tulemus üles ja teostage edasine mõõtmine samamoodi, alustades viimasest mõõtmispunktist.

Tüüpilised standardlaed - 2 meetrit 80 sentimeetrit, 3 meetrit ja 3 meetrit 20 sentimeetrit, olenevalt majast. Kui maja on ehitatud enne 50ndaid, siis suure tõenäosusega on tegelik kõrgus näidatust veidi väiksem. Kui te arvutate ruut remonditööde jaoks, siis väike varu ei tee paha - kaaluge standardi alusel. Kui teil on siiski vaja teada tegelikku pikkust - võtke mõõtmised. Põhimõte sarnaneb pikkuse mõõtmisega, kuid selleks on vaja astmeredelit.

Korrutage saadud arvud - see on ruut sinu seinad. Tõsi, värvimistööde või selle jaoks on vaja lahutada ruut uks ja aknaavad. Selleks asetage sentimeetrit piki ava. Kui a me räägime ukse kohta, mida kavatsete hiljem muuta, siis kulutage see koos ukseraam, võttes arvesse ainult ruut ava ise. Akna pindala arvutatakse piki selle raami perimeetrit. Pärast ruut arvutatud aken ja ukseava, lahutage tulemus saadud ruumi kogupindalast.

Pange tähele, et ruumi pikkuse ja laiuse mõõtmised tehakse koos, sentimeetrit või mõõdulint on lihtsam fikseerida ja vastavalt saada täpsem tulemus. Mõõtke sama mõõtmist mitu korda, et veenduda saadud numbrite täpsuses.

Seotud videod

Kolmnurga ruumala leidmine on tõepoolest mittetriviaalne ülesanne. Fakt on see, et kolmnurk on kahemõõtmeline kujund, st. see asub täielikult ühel tasapinnal, mis tähendab, et sellel lihtsalt pole helitugevust. Muidugi ei leia midagi, mida poleks olemas. Kuid ärgem andkem alla! Võime teha järgmise oletuse - kahemõõtmelise kujundi ruumala, see on selle pindala. Otsime kolmnurga pindala.

Sa vajad

paberileht, pliiats, joonlaud, kalkulaator

Juhend

Joonistage joonlaua ja pliiatsiga paberilehele. Kolmnurka hoolikalt uurides saate veenduda, et sellel tõesti pole, kuna see on joonistatud tasapinnale. Märgistage kolmnurga küljed: olgu üks külg külg "a", teine külg "b" ja kolmas külg "c". Märgistage kolmnurga tipud tähtedega "A", "B" ja "C".

Mõõtke joonlauaga kolmnurga mis tahes külg ja kirjutage tulemus üles. Pärast seda taastage rist mõõdetud küljega vastastipust, selline rist on kolmnurga kõrgus. Joonisel kujutatud juhul taastatakse risti "h" tipust "A" olevale küljele "c". Mõõtke saadud kõrgus joonlauaga ja registreerige mõõtmise tulemus.

Võib juhtuda, et täpset risti taastada on raske. Sel juhul peaksite kasutama teist valemit. Mõõtke joonlauaga kolmnurga kõik küljed. Pärast seda arvutage kolmnurga "p" poolperimeeter, lisades saadud külgede pikkused ja jagades nende summa pooleks. Kui teie käsutuses on poolperimeetri väärtus, saate kasutada Heroni valemit. Selleks tuleb võtta ruutjuur järgmisest: p(p-a)(p-b)(p-c).

Olete saanud kolmnurga soovitud pindala. Kolmnurga ruumala leidmise probleem ei ole lahendatud, kuid nagu eespool mainitud, ei ole ruumala . Võite leida helitugevust, mis on 3D-maailmas sisuliselt kolmnurk. Kui kujutame ette, et meie algsest kolmnurgast on saanud kolmemõõtmeline püramiid, siis on sellise püramiidi ruumala selle aluse pikkuse ja saadud kolmnurga pindala korrutis.

Märge

Arvutused on seda täpsemad, mida hoolikamalt mõõdate.

Allikad:

Kõik-kõik-kalkulaator – teabeportaal
kolmnurga maht 2019. aastal

Kolm punkti, mis üheselt määratlevad kolmnurga Descartes'i koordinaatsüsteemis, on selle tipud. Teades nende asukohta iga koordinaattelje suhtes, saate arvutada selle lameda kujundi mis tahes parameetrid, sealhulgas selle ümbermõõduga piiratud parameetrid. ruut. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhend

Kasutage pindala arvutamiseks Heroni valemit kolmnurk. See hõlmab joonise kolme külje mõõtmeid, nii et alustage arvutusi. Iga külje pikkus peab olema võrdne selle koordinaattelgedel olevate projektsioonide pikkuste ruutude summa juurega. Kui tähistame koordinaate A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) ja C(X3,Y3,Z3), saab nende külgede pikkused väljendada järgmiselt: AB = √((X₁- X₂)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Arvutuste lihtsustamiseks sisestage abimuutuja - poolperimeeter (P). Sellest on see pool kõigi külgede pikkuste summast: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).