Kuidas leida rööpküliku pindala, kui küljed on teada. Kuidas leida rööpküliku pindala

Rööpkülik on nelinurkne kujund, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed ja paaris võrdsed. Ta on ka võrdne vastasnurgad, ja rööpküliku diagonaalide lõikepunkt jagab need pooleks, olles samas joonise sümmeetriakese. Rööpküliku erijuhtudeks on sellised geomeetrilised kujundid nagu ruut, ristkülik ja romb. Rööpküliku pindala on võimalik leida erinevatel viisidel, olenevalt sellest, milliste algandmetega kaasneb probleemiavaldus.

1. Lihtsamal juhul määratletakse rööpküliku pindala selle aluse ja kõrguse korrutisena.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   kus S on rööpküliku pindala;
   a - alus;
   h on antud aluse kõrgus.

   Seda valemit on väga lihtne mõista ja meelde jätta, kui vaatate järgmist joonist.

   

   Nagu sellelt pildilt näha, kui lõikame rööpküliku vasakpoolses osas maha mõttelise kolmnurga ja kinnitame selle paremale, siis saame tulemuseks ristküliku. Ja nagu teate, leitakse ristküliku pindala, korrutades selle pikkuse kõrgusega. Ainult rööpküliku puhul on pikkuseks alus ja ristküliku kõrguseks sellele küljele langetatud rööpküliku kõrgus.

2. Rööpküliku pindala saab leida ka kahe külgneva aluse pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse korrutamisel:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   kus AD, AB on külgnevad alused, mis moodustavad ristumispunkti ja nurga a;
   α on nurk aluste AD ja AB vahel.

   

3. Samuti saab rööpküliku pindala leida, jagades rööpküliku diagonaalide pikkuste korrutise pooleks nendevahelise nurga siinusega.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   kus AC, BD on rööpküliku diagonaalid;
   β on diagonaalide vaheline nurk.

   

4. Samuti on olemas valem rööpküliku pindala leidmiseks sellesse kirjutatud ringi raadiuse järgi. See on kirjutatud järgmiselt:

Nagu eukleidilises geomeetrias, on tasapindade teooria põhielemendid punkt ja sirge, nii on rööpkülik kumerate nelinurkade üks võtmekujundeid. Sellest, nagu kuulist niidid, voolavad mõisted "ristkülik", "ruut", "romb" ja muud geomeetrilised suurused.

Kokkupuutel

Rööpküliku definitsioon

kumer nelinurk, mis koosneb segmentidest, mille iga paar on paralleelne, on geomeetrias tuntud rööpkülikuna.

Klassikaline rööpkülik näeb välja nelinurk ABCD. Külgi nimetatakse alusteks (AB, BC, CD ja AD), mis tahes tipust selle tipu vastasküljele tõmmatud risti nimetatakse kõrguseks (BE ja BF), sirgeid AC ja BD on diagonaalid.

Tähelepanu! Ruut, romb ja ristkülik on rööpküliku erijuhud.

Küljed ja nurgad: suhte omadused

Peamised omadused, autor suures plaanis,eelnevalt määratud nimetusega, on need tõestatud teoreemiga. Need omadused on järgmised:

1. Vastasküljed on paarikaupa identsed.
2. Üksteise vastas olevad nurgad on paarides võrdsed.

Tõestus: vaatleme ∆ABC ja ∆ADC, mis saadakse nelinurga ABCD jagamisel sirgega AC. ∠BCA=∠CAD ja ∠BAC=∠ACD, kuna AC on nende jaoks tavaline ( vertikaalsed nurgad vastavalt BC||AD ja AB||CD jaoks). Sellest järeldub: ∆ABC = ∆ADC (teine ​​kolmnurkade võrdsuse kriteerium).

Lõigud AB ja BC ∆ABC-s vastavad paarikaupa joontele CD ja AD ∆ADC-s, mis tähendab, et need on identsed: AB = CD, BC = AD. Seega ∠B vastab ∠D-le ja need on võrdsed. Kuna ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, mis on samuti paarides identsed, siis ∠A = ∠C. Kinnistu on tõendatud.

Figuuri diagonaalide omadused

Peamine omadus need rööpkülikujooned: lõikepunkt poolitab need.

Tõestus: olgu m E joonise ABCD diagonaalide AC ja BD lõikepunkt. Need moodustavad kaks proportsionaalset kolmnurka – ∆ABE ja ∆CDE.

AB = CD, kuna need on vastandlikud. Vastavalt joontele ja sekantidele on ∠ABE = ∠CDE ja ∠BAE = ∠DCE.

Teise võrdusmärgi järgi ∆ABE = ∆CDE. See tähendab, et elemendid ∆ABE ja ∆CDE on: AE = CE, BE = DE ja pealegi on need AC ja BD proportsionaalsed osad. Kinnistu on tõendatud.

Külgnevate nurkade omadused

Külgnevate külgede nurkade summa on 180° sest nad on ühel pool paralleelsed jooned ja sekant. Nelinurga ABCD puhul:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Poolitaja omadused:

1. , ühele küljele langenud, on risti;
2. vastastippudel on paralleelsed poolitajad;
3. poolitaja joonestamisel saadud kolmnurk on võrdhaarne.

Rööpküliku tunnusjoonte määramine teoreemi abil

Selle joonise omadused tulenevad selle põhiteoreemist, mis kõlab järgmiselt: nelinurka peetakse rööpkülikuks juhul, kui selle diagonaalid lõikuvad ja see punkt jagab need võrdseteks segmentideks.

Tõestus: nelinurga ABCD sirged AC ja BD lõikuvad punktis t. E. Kuna ∠AED = ∠BEC ja AE+CE=AC BE+DE=BD, siis ∆AED = ∆BEC (kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi). See tähendab, et ∠EAD = ∠EKB. Need on ka joonte AD ja BC sekanti AC sisemised ristumisnurgad. Seega paralleelsuse definitsiooni järgi - AD || eKr. Samuti tuletatakse ridade BC ja CD sarnane omadus. Teoreem on tõestatud.

Figuuri pindala arvutamine

Selle joonise pindala leitud mitmel viisilüks lihtsamaid: kõrguse ja aluse korrutamine, millele see tõmmatakse.

Tõestus: Joonistage tippudest B ja C ristid BE ja CF. ∆ABE ja ∆DCF on võrdsed, kuna AB = CD ja BE = CF. ABCD on võrdne ristkülikuga EBCF, kuna need koosnevad ka proportsionaalsetest arvudest: S ABE ja S EBCD, samuti S DCF ja S EBCD. Sellest järeldub, et selle ala geomeetriline kujund asub samamoodi nagu ristkülik:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Rööpküliku pindala üldvalemi määramiseks tähistame kõrgust kui hb, ja külg b. Vastavalt:

Muud võimalused ala leidmiseks

Pindalaarvutused läbi rööpküliku külgede ja nurga, mille nad moodustavad, on teine ​​teadaolev meetod.

,

Spr-ma - pindala;

a ja b on selle küljed

α - segmentide a ja b vaheline nurk.

See meetod põhineb praktiliselt esimesel, kuid juhul, kui see pole teada. lõikab alati ära täisnurkne kolmnurk, mille parameetrid on trigonomeetrilised identiteedid, see on . Suhte teisendades saame . Esimese meetodi võrrandis asendame kõrguse selle tootega ja saame tõendi selle valemi kehtivuse kohta.

Rööpküliku ja nurga diagonaalide kaudu mille nad lõikuvad loovad, leiate ka ala.

Tõestus: AC ja BD lõikuvad neli kolmnurka: ABE, BEC, CDE ja AED. Nende summa on võrdne selle nelinurga pindalaga.

Kõigi nende ∆ pindala saab leida avaldisest , kus a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Kuna , siis kasutatakse arvutustes ühte siinuse väärtust. See on . Kuna AE+CE=AC= d 1 ja BE+DE=BD= d 2 , väheneb pindalavalem järgmiselt:

.

Rakendus vektoralgebras

Selle nelinurga koostisosade omadused on leidnud rakendust vektoralgebras, nimelt: kahe vektori liitmine. Rööpküliku reegel ütleb, et kui antud vektoridjamitteon kollineaarsed, siis on nende summa võrdne selle joonise diagonaaliga, mille alused vastavad nendele vektoritele.

Tõestus: meelevaldselt valitud algusest – st. - ehitame vektoreid ja . Järgmiseks ehitame rööpküliku OASV, kus lõigud OA ja OB on küljed. Seega asub OS vektoril või summal.

Rööpküliku parameetrite arvutamise valemid

Identiteedid antakse järgmistel tingimustel:

1. a ja b, α - küljed ja nendevaheline nurk;
2. d 1 ja d 2, γ - diagonaalid ja nende lõikepunktis;
3. h a ja h b - külgedele a ja b langetatud kõrgused;

Parameeter	Valem
Külgede leidmine
piki diagonaale ja nendevahelise nurga koosinust
diagonaalselt ja külili
läbi kõrguse ja vastastipu
Diagonaalide pikkuse leidmine
külgedel ja nende vahel oleva ülaosa suurus

Selle teema ülesandeid lahendades lisaks põhiomadused rööpkülik ja vastavad valemid, võite meeles pidada ja rakendada järgmist:

1. Rööpküliku sisenurga poolitaja lõikab sellest ära võrdhaarse kolmnurga
2. Poolitajad sisemised nurgad rööpküliku ühe küljega külgnevad on üksteisega risti
3. Rööpküliku vastastikustest sisenurkadest lähtuvad poolitajad, mis on üksteisega paralleelsed või asuvad ühel sirgel
4. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle külgede ruutude summaga
5. Rööpküliku pindala on pool diagonaalide korrutisest nendevahelise nurga siinuse võrra.

Vaatleme ülesandeid, mille lahendamisel neid omadusi kasutatakse.

Ülesanne 1.

Rööpküliku ABCD nurga C poolitaja lõikab külge AD punktis M ja külje AB jätkumist punktist A punktis A punktis E. Leidke rööpküliku ümbermõõt, kui AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Lahendus.

1. Kolmnurga CMD võrdhaarne. (Kinnisvara 1). Seetõttu CD = MD = 3 cm.

2. Kolmnurk EAM on võrdhaarne.
Seetõttu AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Ümbermõõt ABCD = 20 cm.

Vastus. 20 cm

2. ülesanne.

Diagonaalid on tõmmatud kumeras nelinurgas ABCD. Teatavasti on kolmnurkade ABD, ACD, BCD pindalad võrdsed. Tõesta, et antud nelinurk on rööpkülik.

Lahendus.

1. Olgu BE kolmnurga ABD kõrgus, CF kolmnurga ACD kõrgus. Kuna vastavalt ülesande tingimusele on kolmnurkade pindalad võrdsed ja neil on ühine alus AD, siis on nende kolmnurkade kõrgused võrdsed. BE = CF.

2. BE, CF on risti AD-ga. Punktid B ja C asuvad samal pool joont AD. BE = CF. Seetõttu joon BC || AD. (*)

3. Olgu AL kolmnurga ACD kõrgus, BK kolmnurga BCD kõrgus merepinnast. Kuna vastavalt ülesande tingimusele on kolmnurkade pindalad võrdsed ja neil on ühine alus CD, siis on nende kolmnurkade kõrgused võrdsed. AL = BK.

4. AL ja BK on risti CD-ga. Punktid B ja A asuvad sirge CD samal küljel. AL = BK. Seetõttu joon AB || CD (**)

5. Tingimused (*), (**) viitavad sellele, et ABCD on rööpkülik.

Vastus. Tõestatud. ABCD on rööpkülik.

3. ülesanne.

Rööpküliku ABCD külgedele BC ja CD on märgitud vastavalt punktid M ja H nii, et lõigud BM ja HD lõikuvad punktis O;<ВМD = 95 о,