Mis on lainefunktsioon. Lainefunktsioon ja selle statistiline tähendus

Kvantmehaanika ümberkujundamine

1. Probleemi olemus

Schrodinberg ei tuletanud oma kuulsat võrrandit, ta arvas selle ära:

Osakeste mass;

mõtteline ühik;

Kvantkonstant;

Välja energia;

Schrödingeri lainekompleksfunktsioon (de Broglie lainete amplituud).

Lainefunktsiooni füüsikaline tähendus või õigemini selle mooduli ruut määrati Kopenhaageni tõlgenduse kohaselt lainefunktsiooni tõenäosustihedusena. Osakese leidmise tõenäosus antud punkt sisse antud aega on võrdne nulliga ja seetõttu ei räägi nad mitte tõenäosusest, vaid tõenäosustihedusest.

Siin pole venitamist. Olukord on üsna reaalne, näiteks tõenäosus, et pall kukub tema pinnal valitud punkti, on null, kuid pall kukub kindlasti mingisse punkti.

Osakese leidmise tõenäosus antud ruumiruumis teatud ajahetkel Kopenhaagani tõlgenduses:

(2)

Statistilise füüsika rajajatele ei tulnud pähegi kujutada molekuli või aatomit häguse pilvena kogu anuma mahus. Neid ei valmistanud väga murelikuks asjaolu, et statistilises füüsikas pidid nad hüvasti jätma mõistega "osakeste trajektoor". Juhuslikkust mikrokosmoses tajusid Maxwell, Boltzmann ja Gibbs kui täiesti objektiivset seaduspärasust. Ju siis tegelikult trajektoorid jätkusid.

Seetõttu on üsna loomulik, et Schrödinger, de Broglie, Einstein ja teised vähemtuntud füüsikud olid Borni pakutud lainefunktsiooni statistilise tõlgenduse vastu.

Probleemi olemus taandus küsimuse selgitamisele, kas elektron ja teised elementaarosakesed on tõesti jagamatud ja siis pole lainefunktsioonil füüsilist tähendust või kas elektron ja teised elementaarosakesed pole mateeria esimesed ehitusplokid, vaid koosnevad väiksematest, tõeliselt fundamentaalsetest osakestest. Sel juhul omandas lainefunktsioon tõelise füüsikalise tähenduse: mehaanikas on see materjaliosakeste võnkeamplituud ja elektrodünaamikas elektronlaengu moodustavate osakeste võnkeamplituud. Tõsi, viimasel juhul tuli kuidagi selgitada, miks elektron Coulombi tõukejõudude toimel laiali ei lenda.

2. Absoluutne süsteem füüsikaliste suuruste mõõtmiseks

Kasutades füüsikaliste suuruste mõõtmiseks absoluutset süsteemi, määrati lainefunktsiooni mõõde.

Füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutse süsteemi koostamise aluseks on valem:

Kus ja on aja ja vahemaa SI ühikud.

Valem (3) on aine struktuuri sügavama teooria tagajärg, mille käsitlemine väljub vaadeldava kvantmehaanika ümbersõnastamise probleemi ulatusest. Märgime vaid, et valem (3) peegeldab ruumi ja aja dialektilist ühtsust ja vastandumist.

Füüsikaliste suuruste absoluutses mõõtmise süsteemis saab kõiki suurusi väljendada kas meetrites või sekundites. Näiteks kõigi suuruste väljendamiseks meetrites on see vajalik ühtlase liikumise valemis

Ühendage mõõdud . Selle tulemusena saame füüsikaliste suuruste absoluutses mõõtmissüsteemis kiiruse mõõtme:

Valides füüsikalised valemid nii, et need sisaldavad ainult ühte tundmatu mõõtmega füüsikalist suurust, on võimalik arvutada kõigi füüsikaliste suuruste mõõtmed absoluutses ühikute süsteemis.

Näiteks mõõtmed on järgmised: pikkus, sagedus, nurkkiirus, kiiruse gradient, mahuvool, elektrilaeng, elektrinihkevoog, magnetvälja tugevus, absoluutne magnetiline läbilaskvus, temperatuur jne.

Mõõtmed on: pindala, nurkkiirendus, kiirus, mass, erikaal, dünaamiline viskoossus, induktiivsus, magnetjuhtivus jne.

Mõõtmed on: maht, kiirendus, mahuline energiatihedus, rõhk, kinemaatiline viskoossus, gravitatsioonivälja tugevus, difusioonikoefitsient, elektritakistus, erisoojusvõimsus, gaasikonstant jne.

Mõõtmed on: impulss, pindpinevus, energiavoo tihedus, inertsimoment, gravitatsioonivälja potentsiaal, elektrivälja tugevus, elektritakistus, magnetvoog, vooluahela magnetmoment, konkreetne kogus kuumus jne.

Mõõtmed on: jõud, varda konstant, impulsi moment, tegevus, elektripinge, soojusjuhtivus jne.

Mõõtmed on: energia, töö, jõumoment, soojushulk jne.

Dimensioonil on jõud.

Mõõtmel on tasane ja täisnurk.

Valemist (3) tuleneb, et , mis võimaldab tuletada järgmised seosed:

(6)

(8),

Füüsikaline suurus, millel on mõõde füüsikaliste suuruste absoluutses mõõtmissüsteemis.

3. Lainefunktsiooni mõõde

Nüüd saame Schrödingeri võrrandis (1) määrata lainefunktsiooni mõõtme. Võrrandi esimene liige

Ja teguril on sama mõõde, nii et

(9)

Jagades (9) mõlemad osad, saame:

(10)

Võrrand (10) kehtib ainult

Niisiis, vastupidiselt Borni väidetele, võimaldas füüsikaliste suuruste absoluutne mõõtmise süsteem määrata lainefunktsiooni mõõtme füüsikaliste suuruste absoluutses mõõtmissüsteemis. Kuid mehaanilised arvestid, Plancki konstant, elektrilised ripatsid ja termodünaamiline temperatuur on sellise mõõtmega. See tähendab, et mehaanika, kvantmehaanika, elektrodünaamika ja termodünaamika võrrandid on muutumatud.

Miks aga keelab Kopenhaageni tõlgendus lainefunktsioonile füüsilise tähenduse andmise? Asi on selles, et võrrandis (2) Born võrdsustas lainefunktsiooni mooduli ruudu nulliga eeldusel, et lainefunktsiooni mõõde on võrdne, ja keelas sellega lainefunktsiooni mistahes füüsikaliste omadustega varustada.

Tegelikult, nagu füüsikaliste suuruste mõõtmise absoluutsest süsteemist järeldub, saab lainefunktsiooni väljendada nii ruumiliste kui ka ajaliste koordinaatidena ja ainult nende funktsioonide korrutis on mõõtmeteta suurus:

Funktsioon on kompleksne konjugaat funktsiooniga .

Õige tulemus Kopenhaagenis on lainefunktsiooni tõlgendus valemis (2) toodud ainult ruumi sõltumatuse korral ajast . Muutujate sõltumatuse nõue on tõenäosusteooria nõue. Teine valemiga (2) kaudselt kehtestatud tingimus on lainefunktsiooni mõõtmete muutumatuse tingimus.

Relatiivsusteooria paljastas ruumi ja aja vastastikuse sõltuvuse, mis tähendab, et valemit (2) saab kasutada ainult süsteemide kiirustel, mis on palju väiksemad kui valguse kiirus.

Vaadeldes objekti kolmemõõtmelisest ruumist (vt joonis) näeb ruut välja nagu ruut mõõtmega . Kui hakkame ruutu kiirendama paralleelselt selle tasapinnaga, hakkab ühe külje pikkus vastavalt SRT-le kahanema ja hetkel muutub ruut segmendiks mõõtmega . See vastab punktile joonisel ja punkt vastab kogu lainefunktsiooni Kopenhaageni tõlgendusele, kui , ja

Seega on lainefunktsiooni Borni tõlgendus ainult erijuhtum selle laiem tõlgendus a ümbersõnastatud kvantmehaanika füüsikaliste suuruste absoluutse mõõtmissüsteemi seisukohast.

Lainefunktsiooni tegeliku füüsilise tähenduse mõistmiseks peame ümber mõtlema liikumise kontseptsiooni.

4. Mis on liikumine?

Füüsika põrkas kokku energiakvantidega, kuid elektroni puhul ei jõudnud see elektrilaengu kvantidesse ja massikvantidesse.

Kvantmehaanika ümbersõnastamine füüsikaliste suuruste absoluutse mõõtmise süsteemi alusel võimaldab naasta klassikalise tõenäosusliku elektroni ja muu kirjelduse juurde. elementaarosakesed statistilise mehaanika meetodid suur hulk põhiosakesed, millest elektron koosneb.

Tõepoolest, valguse leviku kirjelduses ilmnevad kvantefektid.

Meie kolmemõõtmeline ruum on kvantiseeritud, mistõttu Zenoni paradoksid selles ei tööta ja on võimalik kasutada kaheväärtuslikku loogikat. Kuid universumis on nullmõõtmetega dimensioonideta ruum, mida füüsikas identifitseeritakse energia või ajaga. See ruum ei ole kvantiseeritud, selles toimivad Zenoni paradoksid ja aristotelelik kaheväärtuslik loogika ei ole sellele rakendatav. See näeb välja nii teaduslikud teadmised on selle rakendatavuse piirid ja need piirid algavad samast kohast, kus algab nullmõõtmete ruum.

Apooriates "dihhotoomia" ja "Achilleus" järgib Zenon ruumi ja aja järjepidevuse aksioomi nende tegeliku abstraktse lõpmatuse mõttes. Ilma selle aksioomi eelduseta hävivad mõlemad apooriad.

“Noole” ja “lavade” apooriates järgib Zenon ruumi ja aja diskreetsuse aksioomi. Apooriad varisevad kokku, kui liikumise hüpoteesist eemaldatakse diskreetsuse aksioomid.

Zenoni lahtimõtlejate katsed esitada asja nii, nagu apooriad "nool" ja "lavad" ei ole mõttekad ning filosoofile ette heita ei kannata kriitikat. Vastupidi, Zenoni teene seisneb selles, et ta tõstatas küsimuse, mida juba kaks ja pool aastatuhandet on kõigi joonte paljastajad püüdnud oma pseudovastuste ilmumisega maha matta.

Godel aitas oma teoreemiga, et igas järjekindlas teoorias on ebapiisav arv aksioome ja aksioomide täiskomplekt viib ebajärjekindla teooriani, olulise panuse, kui mitte lahendamisesse, siis Zenoni paradokside olemuse selgitamisse. Gödeli järgi peab terviklik liikumisteooria sisaldama vastandlikke hüpoteese diskreetsest ja pidevast ruumist ja ajast.

Võime väita, et Zenoni paradokside olemus ei ole tema loogika puudustes, vaid liikumise enda ebajärjekindluses. Liikumisest endast teame väga vähe. Teadus käsitleb liikumist erinevates kohtades eri aegadel. Liikumise mõiste on meie seas vähem kriitiline kui eleaatikute seas; me nimetame liikumiseks seda, mida eleaatikud ei nimetaks kunagi liikumiseks.

Meie mõistes liigub sama keha. Galileo tõlgendas liikumist kui "edenemiste" kogumit, see tähendab sama, mida Zeno kirjeldas aporia "nooles". Ja sellisest liikumisest arusaamisest kaugemale teadus ei jõudnud. Vähemalt kuni kvantmehaanika tulekuni

Diskreetses liikumismudelis objekt isegi ei hüppa punktist punkti, vaid kaob ühest ruumipunktist ja ilmub teise. See pole isegi mitte sama objekt, vaid kaks erinevat objekti. Vastasel juhul jõuame ruumi ja aja järjepidevuse hüpoteesini.

Kaasaegne kvantfüüsika on eemaldunud füüsikaliste protsesside mudelesitusest. Arvatakse näiteks, et laine-osakeste duaalsust ei saa esitada ühegi mudeli kujul. Füüsik V. A. Fok (1898-1974) andis laine-osakeste duaalsuse tõlgenduse järgmiselt: „Võib öelda, et aatomiobjekti jaoks on olemas potentsiaalne võimalus avalduda, olenevalt välistest tingimustest, kas lainetena või kui osakese või vahepealsel viisil . Just selles potentsiaalses mikroobjektile omaste omaduste avaldumise võimalikkuses seisnebki laineosakeste dualism. Igasugune muu, sõnasõnalisem arusaam sellest dualismist mõne mudeli kujul on vale.

Füüsika täielik geometriseerimine, mis põhineb füüsikaliste suuruste absoluutsel mõõtmissüsteemil, lükkab selle seisukoha täielikult ümber. Geomeetrilisi mudeleid on võimalik ehitada mis tahes füüsikalistest protsessidest. Mikromaailma jaoks pole erilisi seadusi. Loodus on üks ja loodusseadused on üks.

4. Kvantrelatiivsusteooria

Arvukad katsed kehtestada erirelatiivsusteooria raames fundamentaalne pikkus, et konstrueerida lahknevustest vaba teooria, näitavad, et see viib paratamatult põhjuslikkuse printsiibi rikkumiseni. Et ühendada relatiivsusteooria kvantmehaanikaga, on vaja kvantiseerida ruum ja aeg ise.

Kvantrelatiivsusteooria konstrueerimise lähtepunktiks on Heisenbergi määramatuse printsiip. Kõige kuulsam debatt määramatuse printsiibi üle toimus Solvay viiendal rahvusvahelisel teadlaste kongressil 1927. aastal Brüsselis. ja Niels Bohr. Nad vaidlesid selle üle, kas universum on põhimõtteliselt tõenäosuslik. Legendi järgi ütles Einstein just sellel kongressil oma kuulsat "Jumal ei mängi täringuid"

Kaks aastat pärast kongressi, olles olukorda põhjalikult kaalunud, teeb Einstein koos Podolski ja Roseniga välja mõtteeksperimendi, mis tema arvates kummutab täielikult lainefunktsiooni olemasolu reaalsuse, mille mooduli ruut on teada, määrab elektroni leidmise tõenäosuse punktis x,y,z kolmemõõtmeline ruum.

Katse olemus on järgmine. Koosnegu süsteem kahest elektronist ja elektronid olla mingil ajahetkel üksteisest suurel (teadaoleval) kaugusel. Olgu ka elektronidel teadaolev summaarne impulss. Kui mõõta esimese elektroni impulsi, siis saab kohe leida ka teise elektroni impulsi, sest momentide summa on teada. Teisest küljest, kui keegi mõõdab esimese elektroni asukohta, saab teise elektroni asukoht hetkega teada. See tähendab, et esimese elektroni olekut jälgides saame hetkega muuta lainefunktsiooni nii, et teine elektron hõivaks teatud positsiooni ja omaks teatud impulssi, hoolimata sellest, et me sellele lähedale ei jõudnud.

Huvitaval kombel viidi lõpuks läbi selline eksperiment, mis näitas, et kõik toimub täpselt nii, nagu Einstein kirjeldas ja lainefunktsioon muutub peaaegu silmapilkselt. Üks katsetest viidi 2008. aastal läbi footonitega, mis olid teatud "põimunud olekus". Genfi ülikooli teadlased eraldasid takerdunud footonite paarid ja saatsid need mööda optilist kiudu kahte detektorisse, mis asusid vastassuunas emitterist 9 kilomeetri kaugusel. Sisendis ja väljundis olevad detektorid määrasid footonite "värvid" (nende laineomadused). Mõõtmisi korrati mitu korda 12 tunni jooksul. Selgus, et footonite füüsikalised omadused muutusid samamoodi ja sünkroonselt. Kui üks footon sai "punaseks", siis ka teine. Viiteaega ei olnud võimalik tuvastada, kuid seadmete täpsuse piires võis väita, et lainefunktsioon muutus kiirusega, mis ületab valguse kiirust vähemalt 10 000 korda. Mõlemad osakesed järgivad justkui välise "liikumise kontrolleri" signaali.

mitte ühtegi füüsikaline teooria ei suutnud anda rahuldavat selgitust katsete tulemuste kohta. Lõppude lõpuks, kui looduses on nähtusi, mille puhul vastastikmõjude ülekandekiirus on lõpmatult kõrge, siis võivad kehad üksteisele mõjuda vahemaa tagant ja aine puudumisel. Sellist kehade mõju üksteisele nimetatakse füüsikas kaugtegevuseks. Kui kehad toimivad üksteisele nende vahel paikneva aine abil, siis nende vastasmõju nimetatakse lühimaategevuseks.

Paljudel füüsikutel ei ole kombeks öelda "ma ei tea", kui probleemi ei saa neile kättesaadavate vahenditega lahendada, mistõttu on korduvalt väidetud, et Einsteini, Podolski ja Roseni paradoks on lahendatud, kuid aeg selgus, et see pole nii.

Sisuliselt taandub probleem samadele Zenoni paradoksidele ja nõuab selle lahendamiseks ühe kahest postulaadist: kas ruum ja aeg on diskreetsed (Bohri positsioon) või ruum ja aeg on pidevad (Einsteini seisukoht). Bohri ekslik seisukoht seisneb selles, et tunnistades kolmemõõtmelise ruumi ja aja diskreetsust, tunnistab ta selles interaktsioonide lõpmatut edasikandumise kiirust.

Ühe keha mõju ülekandmiseks teisele vahekeskkonna kaudu kulub veidi aega, kuna kõik materiaalses keskkonnas toimuvad protsessid edastatakse punktist punkti piiratud ja täpselt määratletud kiirusega. Spetsiaalne relatiivsusteooria väidab, et interaktsiooni ülekandekiirust ei ole suurem kui m/s. Einsteini seisukoha eksitus seisneb selles, et tunnustades ruumi ja aja (nullmõõtmetega ruum ja aeg) järjepidevust, piirab ta selles interaktsioonide edastamise kiirust.

Paragrahvis 3 näitasime, et erirelatiivsusteooria kirjeldab ainult ühte konkreetset juhtumit faasilise aegruumi teisenduste hulgast. Meie kolmemõõtmeline ruum, milles kahemõõtmelise ruumi muutumine ühemõõtmeliseks ruumiks, ei ole absoluutne tühimik, mistõttu m/c. Ainekvantide ruumi ja aja erineva suhte tõttu väheneb ruumi tihedus ruumidesse liikumisel järsult rohkem mõõdud. Tulevikku vaadates oletame, et näiteks neljanda dimensioonide arvu ruumis kulgevad kõik protsessid kordades kiiremini kui meie kolmemõõtmelises ruumis.

Max Planck soovitas kasutada looduslike ühikutena põhikonstantidest koostatud ühikuid:

= 1,6 m

On lihtne näha, et Plancki pikkuse, massi ja aja mõõtmed vastavad füüsikaliste suuruste absoluutse mõõtmissüsteemi mõõtmetele. Halvem on olukord Plancki põhikoguste arvväärtustega. Kaasaegse füüsika saavutatud väärtuste vahemikus on need suurused suurusjärgus: ~m, ~c. Võime eeldada, et me pole veel jõudnud Plancki pikkuse ja aja väärtusteni, kuid mida teha Plancki massiga? Plancki mass on ju tavalise tolmutera mass, mis koosneb miljonitest aatomitest ja seetõttu ei saa see olla põhimass. Tegelikult on olukord veelgi hullem.

Teeme kindlaks, et gravitatsioonikonstant ei ole nii fundamentaalne, see on valguse kiiruse tuletis. Veelgi enam, kuna valguse kiirusel on nullist erinev tuletis, on see ka muutuja ega saa olla põhikonstant. Kuid see pole veel kõik. Energia jäävuse seaduse järgimiseks peab Plancki konstant muutuma koos valguse kiirusega. Tundub, et looduses pole üldse midagi püsivat ja relativistidel on õigus, kui nad ütlevad, et kõik on suhteline. Aga ei ole. Energia jäävuse seaduse järgimiseks peavad valguse kiirus ja Plancki konstant muutuma nii, et

Kuna jõudu pole, siis vähem kui h, ja kiirust pole, rohkem kui Koos, (me kaalume Koos kolmemõõtmelises ruumis asuva vaatleja seisukohalt), siis esimese mõõtme ruumi kuuluv väärtus on väga fundamentaalne pikkus, mida kvantmehaanika on otsinud alates selle loomisest:

Seega (4.1) annab meile esimese mõõtme ruumi füüsikaliste suuruste minimaalse väärtuse. Mitmemõõtmeliste ruumide teoorias saab sõnastada Heisenbergi määramatuse printsiibi järgmisel viisil: viienda mõõtme ruumi füüsikaliste suuruste minimaalne väärtus on võrdne Plancki konstandiga:

Teades ja , pole keeruline leida valemit mis tahes mõõtmetega ruumi füüsikaliste suuruste miinimumväärtuste arvutamiseks, nii et füüsikaliste suuruste mõõtmed vastavad ruumi mõõtmetele:

Heisenbergi määramatuse põhimõte on valemi (4.3) erijuhtum , ja ühes valikuid võib kirjutada järgmiselt:

(4.4)

kus: ja - massiga keha koordinaatide ja kiiruse määramise määramatused .

Ebakindlusel pole vaatlejaga mingit pistmist, need on täielikult määratud aegruumi kvantomadused. Kvantrelatiivsusteoorias viiakse vaatleja vaadeldavast ruumist välja kõrgema mõõtmega ruumi ega saa mõõtmistulemusi kuidagi mõjutada.

Põhjus, miks kvantmehaanika valdkonna spetsialist R. Feynman võis üsna rahulikult väita, et kvantmehaanikast ei saa keegi aru, peitub selles, et kvantmehaanika aluseid ei formuleeritud täielikult.

Valem (4.3) on mingi hüperreaalarvu moodustava geomeetrilise progressiooni üldliikme valem. Kahe naaberruumi minimaalsete osade (kvantide) suhe on konstantne väärtus:

(4.5) kehtivust tõestatakse väärtuste otsese asendamisega valemiga (4.3)

Faasiruumi-aja transformatsioonide käigus muutub ruumi mõõde. Protsess toimub vastavalt aine jäävuse seadusele, seetõttu põhjustab ruumi mahu suurenemine (vähenemine) aines oleva aja vähenemise (pikenemise):

Punktidest (4.5) ja (4.6) järeldub, et protsesside maksimaalne kiirus kahes kõrvuti asetsevas ruumis erineb teguri võrra:

(4.7)

Valem (4.7) ei tühista relatiivsuspõhimõtet, füüsikalised protsessid kulgevad samamoodi mis tahes dimensiooniga ruumides. Punkti (4.7) põhjal saab vaid väita, et erineva mõõtmega ruumides kulgevad protsessid erineva maksimumkiirusega. Elementaarosakeste eluea pikenemist ei seleta mitte ainult aja aeglustumine (mastaabi suurenemine), vaid ka ruumi skaala vähenemine.

Maksimaalse kiiruse väärtus muutub järsult, kui aegruumi dimensioon muutub. Valguse kiiruse püsivuse postulaat kehtib ainult kindla arvu mõõtmete ruumis. Kõrgema mõõtmega ruumi üle minnes võtame madalama mõõtmega ruumi valguse kiiruse nulliks.

Absoluutsete (mitte kõverate) ruumide kvantide lineaarsed mõõtmed leiame puhtalt geomeetrilistel kaalutlustel:

Vastavalt (4.8) saame, et absoluutse ühemõõtmelise ruumi kvant on sirge segment pikkusega 7,37 m; kahemõõtmelise ruumi kvant on ruut, mille külg on 1,13 m; Kolmemõõtmelise ruumi kvant on kuup, mille külg on 1,30 m.

Absoluutse aegruumi kvantide lineaarsed mõõtmed on seotud vastavate ajamõõtmetega seosega:

(4.9) järeldub, et protsesside minimaalne võimalik kestus esimese mõõtme ruumis on 2,45 s; teise mõõtme ruumis - 3,76s; ja kolmanda mõõtme ruumis - 4,34s

Suletud (ühtlaselt kõverdatud) ruumi kvantraadius vastavalt punktile (3.6):

(4.10)

Kvantide arv suletud ruumis:

(4.11)

(4.3) ja (4.11) järeldub, et aegruumi kvante üheks füüsiliseks süsteemiks ühendav energia on:

Sama energia vabaneb faaside aegruumi transformatsioonide käigus . Einsteini energiavalem on valemi (4.12) erijuht. Einsteini valemi järgi eraldame tuumaelektrijaamades kahemõõtmeliste ruumikvantide sidumisenergia. Kuid kolmemõõtmelise ruumi kvantidel on ka sidumisenergia või, nagu seda praegu nimetatakse, füüsiline vaakum:

Seda saab arvutada ühes kuupmeeter kolmemõõtmelise ruumi kontsentreeritud energia, mis võrdub 1130 tonni TNT energiaga. Kui õpime vaakumkvante poolitama, saame ammendamatu energiaallika. Muuhulgas saame võimaluse mitte luua suured varud energia sisse kosmoselaevad ja joonistage see otse kosmosest.

Mitmemõõtmeliste ruumide teoorias võib käsitleda ruumi murdmõõtmeid (joonis 1). Murdintegraalide ja tuletiste laialdast kasutamist piirab nende selge füüsikalise tõlgenduse puudumine, nagu näiteks tavaline integraal ja tavatuletis.

Klassikalises geomeetrias ei ole vahepealseid objekte punkti () ja sirgjoonelõigu (), sirgjoonelõigu ja ruudu () vahel ja nii edasi. Üldjuhul leitakse kogu murdmõõtme väärtus järgmise valemi abil:

Fikseeritud kahemõõtmelise ruumi mõõde on , samal valguse kiirusel liikuval ruumil on mõõde ja selle murdosa kogumõõde on võrdne:

Dimensiooni täisarvulised eksponendid eksisteerivad ainult liikumatute ruumide jaoks. See on ülim ideaaljuhtum, mida saame ette kujutada vaid teoreetiliselt, sest reaalne aegruum ei eksisteeri ilma liikumiseta.

Sageli peetakse murdosa mõõtmeid ebaloomulikuks. Selline vaade sai võimalikuks ainult tänu sellele, et enamiku füüsikaliste protsesside dimensiooninäitajad erinevad reaalsete füüsiliste objektide madalate liikumiskiiruste tõttu vähe täisarvudest.

Fraktaalsete (mitmeskaalaline, tervikule sarnane) meediumide kirjeldamisel tekivad ka mõõtmete poolest murdarvud. Fraktaalkeskkonnas, erinevalt pidevast keskkonnast, eemaldub juhuslikult ekslev osake lähtepunktist aeglasemalt, kuna kõik liikumissuunad ei muutu talle kättesaadavaks. Difusiooni aeglustumine fraktaalikeskkonnas on nii märkimisväärne, et füüsikalised suurused hakkavad muutuma aeglasemalt kui esimene tuletis ja seda efekti saab arvesse võtta ainult murdosa aja tuletist sisaldavas integraal-diferentsiaalvõrrandis.

Lõpmatult väikeste arvude pöördarvud on lõpmata suured arvud. Näiteks pöördväärtus , annab ruumi füüsiliste suuruste maksimaalse väärtuse, millest on lahutatud esimene mõõde, st aeg:

Kuna need moodustavad geomeetrilise progressiooni, peavad arvud moodustama ka geomeetrilise progressiooni. Lisaks peavad mõõtmed vastama füüsikaliste suuruste mõõtmetele absoluutses mõõtesüsteemis. Kõik need nõuded on valemiga täidetud

Valem (4.3) kirjeldab mikrokosmose negatiivse kõveruse füüsilisi ruume ja valem (4.13) kirjeldab Universumi positiivse kõveruse ruume. Füüsikaliste suuruste maksimum- ja miinimumväärtuste arvväärtused on toodud tabelis 2.

Vastab mateeria dimensioonile, seetõttu töötab tavaline matemaatika dimensioonideta täpsete arvudega nullist kujuteldamatult suurteni. Kvantmikrokosmoses võib määramatuse tähelepanuta jätmine põhjustada vigu. Stabiilsete füüsikaliste protsesside ja teatud tulemusele lähenemise korral peaksid määramatused olema piisavalt väikesed, et saaks kasutada tavalist loogikat ja matemaatikat.

Ebastabiilsete protsesside korral peaks määramatus viima tulemuse täieliku "häguni", mis muudab võimalik rakendus traditsioonilised kvantmehaanika tõenäosuslikud meetodid. Kui protsess on ebastabiilne, põhjustab väike "hägusus" tulemuse ebakindlust.

Igal juhul peaksite peatuma, kui olete jõudnud.

Määramatuste olemasolu võimaldab rakendada nn "mõistlikku loogikat". Otstarbekas loogika ei pretendeeri peamisele loogilisele konstruktsioonile. See määratleb mitteklassikalise loogika teadaolevate variantide, näiteks konstruktiivse, asjakohase (asjakohase), mitme väärtusega ja häguse loogika, rakendusala. Selles loogilises süsteemis on väide A = B tõene või väär, olenevalt sellest, kui suur on vahe A - B ja kas see takistab eesmärgi saavutamist.

Otstarbeka loogika raames lahendatakse kahe heinakuhja vahel seisva eesli probleem, minnes eeslite ansambli käsitlemisele. Eeslid asuvad mitte täpselt keskel, vaid teatud ruumis heinakuhjade vahel. Sel juhul jagatakse eeslid kahte võrdsesse rühma ja lähevad kaasa lühim tee, üks paremale ja teine vasakule. Selline eeslite käitumine on otstarbekas. Küsimus, kuhu iga eesel läheb, on kohatu tõstatada. See on tasu tõenäosuslikele arvutusmeetoditele ülemineku eest.

Klassikalise loogika järgi jääb eesel sinna, kus ta on, ja sureb nälga. Selline eesli käitumine on kohatu. Otstarbeloogika rakendamisel, nagu ka tavaloogika rakendamisel, peaksid arvutused peatuma jõudmisel või . Meil pole õigust ületada teaduslike teadmiste piire.

Tuleb märkida ühte olulist asjaolu: me liigume tõenäosusarvutuste juurde mitte sellepärast, et oleme jõudnud , vaid seetõttu, et oleme jõudnud oma instrumentide täpsuspiirini. Kopenhaageni kvantmehaanika tõlgenduse toetajad kiirustasid teatama, et füüsika on jõudnud füüsikaliste suuruste miinimumväärtusteni, mis piiravad füüsikaseaduste toimimist ja tavaloogika rakendamist. Sellega seoses on vale eeldada, et elektronil ja teistel elementaarosakestel puudub sisemine struktuur. Ühemõõtmelise ruumi ehitusplokkidest (pikkustest stringidest) on võimalik ehitada elektroni ja elementaarosakeste mehaanilisi mudeleid m) kahemõõtmeline ruum (sfäärid pindalaga m2) ja kolmemõõtmeline ruum (mahuga kuubikud m3).

Pealegi on meil võimalus anda matemaatiline määratlus ja süstematiseerida mõned füüsikalised suurused, millel varem sellist määratlust ei olnud.

Asi: ;

Eeter: . Eetris interaktsioone kas ei edastata () või edastatakse koheselt (), ruumilise ja ajalise laienemise mõisted on mõttetud, osa võrdub tervikuga, algus on ühendatud lõpuga, lõpmatult suur võrdub lõpmatuga väike. Eeter ei austa põhjuslikkuse põhimõtet. ebatavaline füüsikalised omadused eeter viis selle hülgamiseni 20. sajandi alguses;

Füüsiline vaakum:. See on kolmemõõtmeline ruum ilma mateeria ja väljata

Valem (4.13) laiendab Heisenbergi määramatuse printsiipi kõigi füüsikaliste suuruste maksimaalsele väärtusele. (4.3) ja (4.13) järeldub, et Heisenbergi määramatuse printsiip on ainult viienda mõõtme ruumi füüsikaliste suuruste väärtuste määramatuste erijuhtum ja see tuleks kirjutada järgmiselt:

(4.14)

Kui on liikuva ruumi mõõtmete arv, siis juures annab mitmemõõtmeliste ruumide teooria superstringide teooria, at - eri- ja at - üldrelatiivsusteooria.

Põhineb ideel, et elektronil on lainelised omadused. Schrodinger soovitas 1925. aastal, et aatomis liikuva elektroni olekut tuleks kirjeldada füüsikas tuntud seisuvõrrandiga. elektromagnetlaine. Asendades selles võrrandis lainepikkuse asemel selle väärtuse de Broglie võrrandist, sai ta uue võrrandi, mis seob ruumiliste koordinaatidega elektroni energia ja selles võrrandis vastava nn lainefunktsiooni kolmemõõtmelise laine amplituudiga. protsessi.

Elektroni oleku iseloomustamisel on eriti oluline lainefunktsioon. Nagu iga laineprotsessi amplituud, võib see võtta nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi. Väärtus on aga alati positiivne. Samal ajal on sellel märkimisväärne omadus: rohkem väärtust antud ruumipiirkonnas, seda suurem on tõenäosus, et elektron näitab siin oma tegevust, st et tema olemasolu avastatakse mingis füüsikalises protsessis.

Täpsem on järgmine väide: elektroni leidmise tõenäosust mõnes väikeses mahus väljendab korrutis . Seega väljendab väärtus ise elektroni leidmise tõenäosustihedust vastavas ruumipiirkonnas.

Riis. 5. Vesinikuaatomi elektronpilv.

Lainefunktsiooni ruudu füüsilise tähenduse mõistmiseks vaadake joonist fig. 5, mis näitab teatud mahtu vesinikuaatomi tuuma lähedal. Punktide paigutuse tihedus joonisel fig. 5 on võrdeline vastava koha väärtusega: mida suurem väärtus, seda tihedamad on punktid. Kui elektronil oleks materiaalse punkti omadused, siis joonis fig. 5 saaks vesinikuaatomit korduvalt vaadeldes ja iga kord elektroni asukohta märkides: mida suurem on täppide tihedus joonisel, mida sagedamini leidub elektron vastavas ruumipiirkonnas või muus sõnadega, seda suurem on selle leidmise tõenäosus selles piirkonnas.

Teame aga, et elektronide idee kui materiaalne punkt ei vasta selle tegelikule füüsilisele olemusele. Seetõttu joonis fig. Õigem on pidada numbrit 5 nn elektronipilve kujul kogu aatomi ruumalale “määrdunud” elektroni skemaatiliseks esituseks: mida tihedamalt punktid ühes või teises kohas asuvad, seda suurem on elektronipilve tihedus siin. Teisisõnu, elektronipilve tihedus on võrdeline lainefunktsiooni ruuduga.

Idee elektroni olekust kui teatud elektrilaengu pilvest osutub väga mugavaks, see annab hästi edasi elektroni käitumise põhijooned aatomites ja molekulides ning seda kasutatakse sageli ka järgnevas esitluses. Sel juhul tuleb aga silmas pidada, et elektronpilvel ei ole kindlaid, teravalt piiritletud piire: isegi tuumast suurel kaugusel on elektroni leidmise tõenäosus teatud, kuigi väga väike. Seetõttu mõistame elektronipilve all tinglikult aatomi tuuma lähedal asuvat ruumipiirkonda, kuhu on koondunud valdav osa (näiteks ) elektroni laengust ja massist. Selle ruumipiirkonna täpsem määratlus on toodud lk 75.

korpuskulaarlaine dualism kvantfüüsikas kirjeldab osakese olekut kasutades lainefunktsiooni ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funktsioon).

Definitsioon 1

lainefunktsioon on funktsioon, mida kasutatakse kvantmehaanikas. See kirjeldab ruumis mõõtmetega süsteemi olekut. See on olekuvektor.

See funktsioon on keeruline ja sellel on formaalselt laineomadused. Mikromaailma mis tahes osakese liikumine on määratud tõenäosusseadustega. Tõenäosusjaotus selgub suure hulga vaatluste (mõõtmiste) tegemisel või suur hulk osakesed. Saadud jaotus on sarnane laine intensiivsuse jaotusele. See tähendab, et maksimaalse intensiivsusega kohtades märgitakse maksimaalne osakeste arv.

Lainefunktsiooni argumentide kogum määrab selle esituse. Seega on võimalik koordinaatide esitus: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, impulsi esitus: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ jne.

Kvantfüüsikas ei ole eesmärgiks sündmuse täpne ennustamine, vaid sündmuse tõenäosuse hindamine. Teades tõenäosuse suurust, leidke füüsikaliste suuruste keskmised väärtused. Lainefunktsioon võimaldab leida sarnaseid tõenäosusi.

Seega võib mikroosakeste esinemise tõenäosust mahus dV ajahetkel t määratleda järgmiselt:

kus $\psi^*$ on kompleksne konjugeeritud funktsioon funktsiooniga $\psi.$ Tõenäosuse tihedus (tõenäosus ruumalaühiku kohta) on:

Tõenäosus on suurus, mida saab katses jälgida. Samal ajal ei ole lainefunktsioon vaatluseks kättesaadav, kuna see on keeruline (klassikalises füüsikas on osakese olekut iseloomustavad parameetrid vaatlemiseks saadaval).

Funktsioonide $\psi$ normaliseerimistingimus

Lainefunktsioon on defineeritud kuni suvalise konstantse tegurini. See asjaolu ei mõjuta osakese olekut, mida funktsioon $\psi$ kirjeldab. Lainefunktsioon valitakse aga nii, et see rahuldaks normaliseerimistingimust:

kus integraal võetakse üle kogu ruumi või piirkonna, mille lainefunktsioon ei ole võrdne nulliga. Normaliseerimistingimus (2) tähendab, et kogu piirkonnas, kus $\psi\ne 0$ on osake usaldusväärselt olemas. Lainefunktsiooni, mis järgib normaliseerimistingimusi, nimetatakse normaliseeritud. Kui $(\left|\psi\right|)^2=0$, siis see tingimus tähendab, et uuritavas piirkonnas pole kindlasti osakesi.

Vormi (2) normaliseerimine on võimalik omaväärtuste diskreetse spektri korral.

Normaliseerimistingimus ei pruugi olla teostatav. Seega, kui $\psi$ on de Broglie tasapinnaline lainefunktsioon ja osakese leidmise tõenäosus on kõigis ruumipunktides sama. Neid juhtumeid peetakse ideaalseks mudeliks, milles osake on suures, kuid piiratud ruumi piirkonnas.

Lainefunktsiooni superpositsiooni põhimõte

See põhimõte on kvantteooria üks peamisi postulaate. Selle tähendus on järgmine: kui mõne süsteemi jaoks on võimalikud lainefunktsioonidega $\psi_1\ (\rm u)\ $ $\psi_2$ kirjeldatud olekud, siis selle süsteemi jaoks on olek:

kus $C_(1\ ) ja\ C_2$ on konstantsed koefitsiendid. Superpositsiooni põhimõte on empiiriliselt kinnitatud.

Võime rääkida suvalise arvu kvantolekute liitmisest:

kus $(\left|C_n\right|)^2$ on tõenäosus, et süsteem leitakse olekus, mida kirjeldab lainefunktsioon $\psi_n.$

Statsionaarsed seisundid

Kvantteoorias mängivad erilist rolli statsionaarsed seisundid (seisundid, milles kõik jälgitavad füüsikalised parameetrid ajas ei muutu). (Lainefunktsioon ise on põhimõtteliselt jälgimatu). Statsionaarses olekus on funktsioon $\psi$ järgmine:

kus $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ei sõltu ajast, $E$ on osakese energia. Lainefunktsiooni kujul (3) on tõenäosustihedus ($P$) ajakonstant:

Statsionaarsete olekute füüsikalistest omadustest järgige lainefunktsiooni $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$ matemaatilisi nõudeid.

Statsionaarsete olekute lainefunktsiooni matemaatilised nõuded

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - funktsioon peab olema kõigis punktides:

pidev,
ühemõtteline,
lõplik.

Kui potentsiaalsel energial on katkestuspind, siis sellistel pindadel peab funktsioon $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ja selle esimene tuletis jääma pidevaks. Ruumi piirkonnas, kus potentsiaalne energia muutub lõpmatuks, peab $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ olema võrdne nulliga. Funktsiooni $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ järjepidevus eeldab, et $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ selle piirkonna mis tahes piiril. Järjepidevuse tingimus on seatud lainefunktsiooni osalistele tuletistele ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ osaline z)$).

Näide 1

Harjutus: Mõne osakese jaoks on antud kujul lainefunktsioon: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, kus $r$ on kaugus osakesest jõu keskpunkt (joon. 1 ), $a=const$. Rakendage normaliseerimistingimus, leidke normaliseerimistegur A.

1. pilt.

Lahendus:

Kirjutame oma juhtumi normaliseerimistingimuse kujul:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1,1\right)))\]

kus $dV=4\pi r^2dr$ (vt joonis 1. Tingimustest on selgelt näha, et ülesandel on sfääriline sümmeetria). Probleemi tingimustest saame:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\ to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1,2\right).\]

Asendame normaliseerimistingimuses $dV$ ja lainefunktsioonid (1.2):

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1,3\ õige).)\]

Integreerime vasakul küljel:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\vasak(1,4\parem).)\]

Valemist (1.4) väljendame soovitud koefitsienti:

Vastus:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Näide 2

Harjutus: Milline on elektroni kõige tõenäolisem kaugus ($r_B$) tuumast, kui lainefunktsiooni, mis kirjeldab elektroni põhiseisundit vesinikuaatomis, saab defineerida järgmiselt: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, kus $ r$ on kaugus elektronist tuumani, $a$ on esimene Bohri raadius?

Lahendus:

Kasutame valemit, mis määrab mikroosakese esinemise tõenäosuse mahus $dV$ ajahetkel $t$:

kus $dV=4\pi r^2dr.\ $Järelikult on meil:

Sel juhul saab $p=\frac(dP)(dr)$ kirjutada järgmiselt:

Kõige tõenäolisema kauguse määramiseks võrdsustame tuletise $\frac(dp)(dr)$ nulliga:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2,4)\]

Kuna lahendus $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ meile ei sobi, lükatakse see tagasi:

korpuskulaarlaine dualism kvantfüüsikas kirjeldab osakese olekut kasutades lainefunktsiooni ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funktsioon).

Definitsioon 1

lainefunktsioon on funktsioon, mida kasutatakse kvantmehaanikas. See kirjeldab ruumis mõõtmetega süsteemi olekut. See on olekuvektor.

See funktsioon on keeruline ja sellel on formaalselt laineomadused. Mikromaailma mis tahes osakese liikumine on määratud tõenäosusseadustega. Tõenäosuse jaotus selgub suure hulga vaatluste (mõõtmiste) või suure hulga osakeste tegemisel. Saadud jaotus on sarnane laine intensiivsuse jaotusele. See tähendab, et maksimaalse intensiivsusega kohtades märgitakse maksimaalne osakeste arv.

Lainefunktsiooni argumentide kogum määrab selle esituse. Seega on võimalik koordinaatide esitus: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, impulsi esitus: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ jne.

Seega võib mikroosakeste esinemise tõenäosust mahus dV ajahetkel t määratleda järgmiselt:

kus $\psi^*$ on kompleksne konjugeeritud funktsioon funktsiooniga $\psi.$ Tõenäosuse tihedus (tõenäosus ruumalaühiku kohta) on:

Funktsioonide $\psi$ normaliseerimistingimus

Lainefunktsioon on defineeritud kuni suvalise konstantse tegurini. See asjaolu ei mõjuta osakese olekut, mida kirjeldab funktsioon $\psi$. Lainefunktsioon valitakse aga nii, et see rahuldaks normaliseerimistingimust:

Vormi (2) normaliseerimine on võimalik omaväärtuste diskreetse spektri korral.

Lainefunktsiooni superpositsiooni põhimõte

kus $C_(1\ ) ja\ C_2$ on konstantsed koefitsiendid. Superpositsiooni põhimõte on empiiriliselt kinnitatud.

Võime rääkida suvalise arvu kvantolekute liitmisest:

kus $(\left|C_n\right|)^2$ on tõenäosus, et süsteem leitakse olekus, mida kirjeldab lainefunktsioon $\psi_n.$

Statsionaarsed seisundid

kus $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ei sõltu ajast, $E$ on osakese energia. Lainefunktsiooni kujul (3) on tõenäosustihedus ($P$) ajakonstant:

Statsionaarsete olekute füüsikalistest omadustest järgige lainefunktsiooni $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$ matemaatilisi nõudeid.

Statsionaarsete olekute lainefunktsiooni matemaatilised nõuded

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - funktsioon peab olema kõigis punktides:

pidev,
ühemõtteline,
lõplik.

Näide 1

1. pilt.

Lahendus:

Kirjutame oma juhtumi normaliseerimistingimuse kujul:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1,1\right)))\]

kus $dV=4\pi r^2dr$ (vt joonis 1. Tingimustest on selgelt näha, et ülesandel on sfääriline sümmeetria). Probleemi tingimustest saame:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\ to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\left(1,2\right).\]

Asendame normaliseerimistingimuses $dV$ ja lainefunktsioonid (1.2):

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1,3\ õige).)\]

Integreerime vasakul küljel:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\vasak(1,4\parem).)\]

Valemist (1.4) väljendame soovitud koefitsienti:

Vastus:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Näide 2

Lahendus:

Kasutame valemit, mis määrab mikroosakese esinemise tõenäosuse mahus $dV$ ajahetkel $t$:

kus $dV=4\pi r^2dr.\ $Järelikult on meil:

Sel juhul saab $p=\frac(dP)(dr)$ kirjutada järgmiselt:

Kõige tõenäolisema kauguse määramiseks võrdsustame tuletise $\frac(dp)(dr)$ nulliga:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2,4)\]

Kuna lahendus $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ meile ei sobi, lükatakse see tagasi:

Elektroni korpuskulaarlaine omaduste kirjeldamiseks kvantmehaanikas kasutatakse lainefunktsiooni, mida tähistatakse kreeka tähega psi (T). Lainefunktsiooni peamised omadused on järgmised:

mis tahes punktis ruumis koordinaatidega x, y, z sellel on teatud märk ja amplituud: NPV:, juures, G);
lainefunktsiooni ruutmoodul | FH, y,z)| 2 on võrdne tõenäosusega leida osake ruumalaühikus, s.o. tõenäosustihedus.

Elektroni leidmise tõenäosustihedust aatomi tuumast erinevatel kaugustel on kujutatud mitmel viisil. Sageli iseloomustab seda punktide arv mahuühiku kohta (joonis 9.1, a). Tõenäosuse tiheduse bitmap meenutab pilve. Rääkides elektronipilvest, tuleb meeles pidada, et elektron on osake, mis avaldab samaaegselt nii korpuskulaarset kui ka lainet

Riis. 9.1.

omadused. Elektronide tuvastamise tõenäosuse piirkonnas pole selgeid piire. Siiski on võimalik valida ruum, kus selle tuvastamise tõenäosus on kõrge või isegi maksimaalne.

Joonisel fig. 9.1, a katkendjoon tähistab sfäärilist pinda, mille sees on elektroni tuvastamise tõenäosus 90%. Joonisel fig. 9.1, b näitab elektrontiheduse kontuurpilti vesinikuaatomis. Tuumale lähim kontuur katab ruumipiirkonna, milles elektroni leidmise tõenäosus on 10%, samas kui tõenäosus leida tuumast teise kontuuri sees elektron on 20%, kolmanda sees - 30% jne. Joonisel fig. 9.1 on elektronpilv kujutatud sfäärilise pinnana, mille sees on elektroni tuvastamise tõenäosus 90%.

Lõpuks joonisel fig. 9.1, d ja b, on elektron Is tuvastamise tõenäosus erinevatel kaugustel näidatud kahel viisil G südamikust: üleval on näidatud selle tõenäosuse südamikku läbiv "lõige" ja all - funktsioon ise 4lg 2 |U| 2.

Schrödingsri võrrand. Selle kvantmehaanika põhivõrrandi sõnastas Austria füüsik E. Schrödinger 1926. aastal. See seostab osakese koguenergiat. E, võrdne summaga potentsiaalsed ja kineetilised energiad, potentsiaalne energia?„, osakeste mass t ja lainefunktsioon 4*. Üksiku osakese, näiteks massiga elektroni jaoks t e, see näeb välja selline:

Matemaatilisest vaatenurgast on see võrrand kolme tundmatuga: Y, E ja?". Lahenda see, st. leiate need tundmatud, kui lahendate selle koos kahe teise võrrandiga (kolme tundmatu leidmiseks on vaja kolme võrrandit). Selliste võrranditena kasutatakse potentsiaalse energia ja piirtingimuste võrrandeid.

Potentsiaalse energia võrrand ei sisalda lainefunktsiooni U. See kirjeldab laetud osakeste vastastikmõju Coulombi seaduse järgi. Ühe elektroni interaktsioonis tuumaga, mille laeng on +z, on potentsiaalne energia võrdne

kus r = jah* 2 + y 2+ z 2 .

See on nn üheelektroni aatomi juhtum. Rohkem keerulised süsteemid, kui laetud osakesi on palju, koosneb potentsiaalse energia võrrand samade Coulombi liikmete summast.

Piirtingimuste võrrand on avaldis

See tähendab, et elektroni lainefunktsioon kipub nulli pikki vahemaid aatomi tuumast.

Schrödingeri võrrandi lahendamine võimaldab leida elektroni lainefunktsiooni? = (x, y, z) koordinaatide funktsioonina. Seda jaotust nimetatakse orbitaaliks.

Orbitaal - on ruumis määratletud lainefunktsioon.

Võrrandisüsteemil, mis sisaldab Schrödingeri, potentsiaalse energia ja piirtingimuste võrrandeid, pole mitte üks, vaid palju lahendusi. Iga lahendus sisaldab samaaegselt 4 x = (x, y, G) ja E, st. kirjeldab elektronipilve ja sellele vastavat koguenergiat. Iga lahendus määratakse kindlaks kvantarvud.

Kvantarvude füüsikalist tähendust saab mõista, kui arvestada stringi võnkumisi, mille tulemusena tekib seisulaine (joon. 9.2).

Seisulaine pikkus X ja nööri pikkus b võrrandiga seotud

Seisulaine pikkus võib olla ainult rangelt teatud väärtused numbrile vastav P, mis võtab ainult mittenegatiivsed täisarvud 1,2,3 jne. Nagu jooniselt fig. 9.2, võnke amplituudi maksimumide arv, s.o. seisva laine kuju, mis on üheselt määratud väärtusega P.

Kuna elektronlaine aatomis on keerulisem protsess kui stringi seisulaine, ei määra elektronlaine funktsiooni väärtused mitte üks, vaid neli.

Riis. 9.2.

4 numbrit, mida nimetatakse kvantarvudeks ja mida tähistatakse tähtedega P, /, t ja s. Antud kvantarvude hulk P, /, t vastavad samaaegselt teatud lainefunktsioonile H "lDl ja koguenergiale E „j. Kvantarv t juures Eära näita, kuna välisvälja puudumisel elektroni energia alates t ei sõltu. Kvantarv s ei mõjuta 4 * n xt, kumbagi sisse E n j.

, ~ elxv dlxv 62*p
Sümbolid --, --- tähendavad fir1 kaare 8z2 H "-funktsioonide teisi osatuletisi. Need on esimeste tuletiste tuletised. Esimese tuletise tähendus langeb kokku funktsiooni H" kaldega argumendist x, u või z graafikutel? \u003d j (x), T \u003d / 2 (y), W " \u003d /:! (z).