Kolmnurkse trapetsi ruumala. Kuidas leida mahtu kuupmeetrites

Geomeetriaülesannete lahendamiseks peate teadma valemeid - näiteks kolmnurga pindala või rööpküliku pindala -, aga ka lihtsaid tehnikaid, mida me käsitleme.

Kõigepealt õpime selgeks jooniste pindalade valemid. Oleme need spetsiaalselt kogunud mugavasse tabelisse. Prindi, õpi ja kandideeri!

Muidugi pole kõik geomeetriavalemid meie tabelis. Näiteks matemaatika ühtse riigieksami profiili teises osas geomeetria ja stereomeetria probleemide lahendamiseks kasutatakse teisi kolmnurga pindala valemeid. Kindlasti räägime teile neist.

Aga mis siis, kui peate leidma mitte trapetsi või kolmnurga pindala, vaid mõne keeruka kujundi pindala? On universaalseid viise! Näitame neid FIPI tegumipanga näidete abil.

1. Kuidas leida ebastandardse figuuri pindala? Näiteks suvaline nelinurk? Lihtne tehnika – jagame selle kuju nendeks, millest teame kõike, ja leiame selle pindala – nende kujundite pindalade summana.

Jagage see nelinurk horisontaaljoonega kaheks kolmnurgaks, mille ühine alus on võrdne . Kõrgused need kolmnurgad on võrdsed ja . Siis on nelinurga pindala võrdne kahe kolmnurga pindalade summaga: .

Vastus:.

2. Mõnel juhul võib kujundi pindala esitada mõne ala erinevusena.

Polegi nii lihtne välja arvutada, millega selle kolmnurga alus ja kõrgus võrdub! Kuid võime öelda, et selle pindala on võrdne küljega ruudu ja kolme täisnurkse kolmnurga pindalade vahega. Kas näete neid pildil? Saame: .

Vastus:.

3. Mõnikord peate ülesandes leidma mitte kogu figuuri pindala, vaid selle osa. Tavaliselt räägime sektori pindalast - ringi osast. Leidke raadiusega ringi sektori pindala, mille kaare pikkus on võrdne .

Sellel pildil näeme osa ringist. Kogu ringi pindala on võrdne . Jääb välja selgitada, milline ringi osa on kujutatud. Kuna kogu ringi pikkus on võrdne (alates) ja antud sektori kaare pikkus on võrdne, on kaare pikkus väiksem kui kogu ringi pikkus. Nurk, mille all see kaar toetub, on samuti väiksem kui täisring (st kraadid). See tähendab, et sektori pindala on mitu korda väiksem kui kogu ringi pindala.

Üldine ülevaade. Stereomeetria valemid!

Tere, kallid sõbrad! Selles artiklis otsustasin teha üldise ülevaate stereomeetria probleemidest, mis tulevad Matemaatika ühtne riigieksam e) Peab ütlema, et selle rühma ülesanded on üsna mitmekesised, kuid mitte rasked. Need on geomeetriliste suuruste leidmise probleemid: pikkused, nurgad, pindalad, mahud.

Arvesse võetakse: kuubik, risttahukas, prisma, püramiid, liitpolühedron, silinder, koonus, kuul. Kurb tõsiasi on see, et mõned lõpetajad ei võta selliseid probleeme isegi eksami ajal enda peale, kuigi üle 50% neist lahendatakse lihtsalt, peaaegu suuliselt.

Ülejäänud nõuavad vähe pingutust, teadmisi ja eritehnikaid. Järgmistes artiklites käsitleme neid ülesandeid, ärge jätke seda mööda, tellige ajaveebi värskendused.

Lahendamiseks peate teadma pindalade ja mahtude valemid rööptahukas, püramiid, prisma, silinder, koonus ja kera. Keerulisi probleeme pole, need kõik lahendatakse 2-3 sammuga, oluline on “näha”, millist valemit on vaja rakendada.

Kõik vajalikud valemid on toodud allpool:

Pall või kera. Sfääriline või sfääriline pind (mõnikord lihtsalt kera) on ühest punktist – kuuli keskpunktist – võrdsel kaugusel asuvate punktide geomeetriline asukoht.

Palli maht võrdne püramiidi ruumalaga, mille põhja pindala on sama kui kuuli pinnaga ja mille kõrgus on kuuli raadius

Kera ruumala on poolteist korda väiksem kui selle ümber piiratud silindri maht.

Ringkoonuse saab, kui pöörata täisnurkne kolmnurk ümber selle ühe jala, mistõttu ringkoonust nimetatakse ka pöördekoonuseks. Vaata ka Ringikujulise koonuse pindala


Ümmarguse koonuse maht võrdne ühe kolmandikuga põhipinna S ja kõrguse H korrutisest:

(H on kuubi serva kõrgus)

Rööptahukas on prisma, mille alus on rööpkülik. Rööptorul on kuus tahku ja kõik need on rööpkülikukujulised. Rööptoru, neli külgmised näod mis on ristkülikud, nimetatakse sirgeks. Parempoolset rööptahukat, mille kuus tahku on kõik ristkülikud, nimetatakse ristkülikuks.

Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega:

(S on püramiidi aluse pindala, h on püramiidi kõrgus)

Püramiid on hulktahukas, millel on üks tahk - püramiidi alus - suvaline hulknurk ja ülejäänud - külgpinnad - ühise tipuga kolmnurgad, mida nimetatakse püramiidi tipuks.

Püramiidi põhjaga paralleelne lõik jagab püramiidi kaheks osaks. Püramiidi osa selle aluse ja selle lõigu vahel on kärbitud püramiid.

Tüvipüramiidi ruumala võrdne ühe kolmandikuga kõrguse korrutisest h(OS)ülemise aluse pindalade summa järgi S1 (abcde), kärbitud püramiidi alumine alus S2 (ABCDE) ja keskmine proportsionaalne nende vahel.

1. V=

n - korrapärase hulknurga külgede arv - alused tavaline püramiid
a - korrapärase hulknurga külg - korrapärase püramiidi alus
h - tavalise püramiidi kõrgus

Tavaline kolmnurkne püramiid on hulktahukas, millel on üks tahk - püramiidi põhi - tavaline kolmnurk ja ülejäänud - külgpinnad - võrdsed kolmnurgadühise ülaosaga. Kõrgus langeb ülevalt aluse keskele.

Helitugevus õige kolmnurkne püramiid võrdne ühe kolmandikuga korrapärase kolmnurga pindala korrutisest, mis on alus S (ABC) kõrgusele h(OS)

a - korrapärase kolmnurga külg - korrapärase kolmnurkse püramiidi alus
h - korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus

Tetraeedri ruumala valemi tuletamine

Tetraeedri ruumala arvutatakse püramiidi ruumala klassikalise valemi abil. On vaja asendada tetraeedri kõrgus ja korrapärase (võrdkülgse) kolmnurga pindala.

Tetraeedri ruumala- on võrdne murdosaga, mille lugeja ruutjuur kahest nimetajas on kaksteist, korrutatuna tetraeedri serva pikkuse kuubiga

(h on rombi külje pikkus)

Ümbermõõt lk on ligikaudu kolm tervet ja üks seitsmendik ringi läbimõõdust. Täpne suhe ringi ümbermõõt kuni selle läbimõõt on tähistatud kreeka tähega π

Selle tulemusena arvutatakse valemi abil ringi või ümbermõõt

π r n

(r - kaare raadius, n - kesknurk kaared kraadides.)

Videokursus "Get an A" sisaldab kõiki vajalikke teemasid edukas lõpetamine Matemaatika ühtne riigieksam 60-65 punkti. Täielikult kõik profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13 matemaatikas. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.

Kogu vajalik teooria. Ühtse riigieksami kiirlahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Visuaalne selgitus keerulised mõisted. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus keerulised ülesanded 2 osa ühtsest riigieksamist.

Mõõtke kõik vajalikud vahemaad meetrites. Paljude kolmemõõtmeliste kujundite mahtu saab sobivate valemite abil hõlpsasti välja arvutada. Kõiki valemitesse asendatud väärtusi tuleb aga mõõta meetrites. Seetõttu veenduge enne väärtuste valemisse ühendamist, et neid kõiki mõõdetakse meetrites või olete muud mõõtühikud meetriteks teisendanud.

  • 1 mm = 0,001 m
  • 1 cm = 0,01 m
  • 1 km = 1000 m

  • Ristkülikukujuliste kujundite (risttahukas, kuup) mahu arvutamiseks kasutage valemit: maht = P × L × H(pikkus korda laius korda kõrgus). Seda valemit võib pidada joonise ühe külje pindala ja selle küljega risti oleva serva korrutiseks.

    • Näiteks arvutame ruumi, mille pikkus on 4 m, laius 3 m ja kõrgus 2,5 m. Selleks korrutage pikkus lihtsalt laiuse ja kõrgusega:
      • 4 × 3 × 2,5
      • = 12 × 2,5
      • = 30. Selle ruumi maht on 30 m 3.
    • Kuubik - mahuline näitaja, mille kõik küljed on võrdsed. Seega saab kuubi ruumala arvutamise valemi kirjutada järgmiselt: maht = L 3 (või W 3 või H 3).

  • Figuuride mahu arvutamiseks silindri kujul kasutage valemit: pi× R 2 × H. Silindri ruumala arvutamine taandub ringikujulise aluse pindala korrutamisele silindri kõrguse (või pikkusega). Leidke ringikujulise aluse pindala, korrutades pi (3.14) ringi raadiuse (R) ruuduga (raadius on kaugus ringi keskpunktist mis tahes sellel ringil asuvasse punkti). Seejärel korrutage saadud tulemus silindri kõrgusega (H) ja leiate silindri mahu. Kõik väärtused on mõõdetud meetrites.

    • Näiteks arvutame 1,5 m läbimõõduga ja 10 m sügavusega kaevu mahu, jagame läbimõõdu 2-ga, et saada raadius: 1,5/2 = 0,75 m.
      • (3,14) × 0,75 2 × 10
      • = (3,14) × 0,5625 × 10
      • = 17,66. Kaevu maht on 17,66 m 3.

  • Palli mahu arvutamiseks kasutage valemit: 4/3 x pi× R3. See tähendab, et peate teadma ainult palli raadiust (R).

    • Näiteks arvutame helitugevuse kuumaõhupall läbimõõduga 10 m. Raadiuse saamiseks jagage läbimõõt 2-ga: 10/2=5 m.
      • 4/3 x pi × (5) 3
      • = 4/3 x (3,14) × 125
      • = 4,189 × 125
      • = 523,6. Õhupalli maht on 523,6 m 3.

  • Koonusekujuliste kujundite mahu arvutamiseks kasutage valemit: 1/3 x pi× R 2 × H. Koonuse ruumala on 1/3 sama kõrguse ja raadiusega silindri mahust.

    • Arvutame näiteks 3 cm raadiusega ja 15 cm kõrguse jäätisetorbiku mahu, teisendades meetriteks, saame: vastavalt 0,03 m ja 0,15 m.
      • 1/3 x (3,14) × 0,03 2 × 0,15
      • = 1/3 x (3,14) × 0,0009 × 0,15
      • = 1/3 × 0,0004239
      • = 0,000141. Jäätise torbiku maht on 0,000141 m 3.

  • Figuuride mahu arvutamiseks ebakorrapärane kuju kasutage mitut valemit. Selleks proovige figuur jagada mitmeks õige kujuga kujundiks. Seejärel leidke iga sellise kujundi maht ja liidage tulemused.

    • Näiteks arvutame väikese aida mahu. Ladu on silindrilise korpusega kõrgusega 12 m ja raadiusega 1,5 m Laol on ka kooniline katus kõrgusega 1 m Arvutades eraldi katuse ja korpuse mahu eraldi, saame leiad aida kogumahu:
      • pi × R 2 × H + 1/3 × pi × R 2 × H
      • (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 × (3,14) × 1,5 × 1
      • = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 × (3,14) × 2,25 × 1
      • = (3,14) × 27 + 1/3 × (3,14) × 2,25
      • = 84,822 + 2,356
      • = 87,178. Aida maht on võrdne 87,178 m 3.

    • Iga geomeetrilist keha saab iseloomustada pindala (S) ja ruumalaga (V). Pindala ja maht ei ole üldse samad asjad. Objektil võib olla näiteks suhteliselt väike V ja suur S, nii töötab inimese aju. Lihtsate geomeetriliste kujundite puhul on neid näitajaid palju lihtsam arvutada.

    Parallelepiped: määratlus, tüübid ja omadused

    Rööptahukas on nelinurkne prisma, mille põhjas on rööpkülik. Miks on vaja figuuri mahu leidmiseks valemit? Raamatud, pakkekarbid ja palju muud pärit Igapäevane elu. Elu- ja büroohoonete ruumid on tavaliselt ristkülikukujulised rööptahukad. Ventilatsiooni, kliimaseadme paigaldamiseks ja kütteelementide arvu määramiseks ruumis on vaja arvutada ruumi maht.

    Joonisel on 6 tahku - rööpkülikukujulised ja 12 serva; kahte juhuslikult valitud tahku nimetatakse alusteks. Rööptahukat võib olla mitut tüüpi. Erinevused tulenevad külgnevate servade vahelistest nurkadest. Erinevate hulknurkade V-de leidmise valemid on veidi erinevad.

    Kui on 6 nägu geomeetriline kujund on ristkülikud, siis nimetatakse seda ka ristkülikuks. Kuubik on erijuhtum rööptahukas, mille kõik 6 tahku on võrdsed ruudud. Sel juhul peate V leidmiseks välja selgitama ainult ühe külje pikkuse ja tõstma selle kolmanda astmeni.

    Ülesannete lahendamiseks vajate teadmisi mitte ainult valmis valemite, vaid ka joonise omaduste kohta. Ristkülikukujulise prisma põhiomaduste loend on väike ja väga kergesti mõistetav:

    1. Joonise vastasküljed on võrdsed ja paralleelsed. See tähendab, et vastas asuvad ribid on sama pikkuse ja kaldenurga poolest.
    2. Parempoolse rööptahuka kõik külgpinnad on ristkülikud.
    3. Geomeetrilise kujundi neli põhidiagonaali ristuvad ühes punktis ja jagatakse sellega pooleks.
    4. Rööptahuka diagonaali ruut on võrdne kujundi mõõtmete ruutude summaga (tuleneb Pythagorase teoreemist).

    Pythagorase teoreemütleb, et täisnurkse kolmnurga külgedele ehitatud ruutude pindalade summa on võrdne sama kolmnurga hüpotenuusile ehitatud kolmnurga pindalaga.

    Viimase vara tõestust saab näha alloleval pildil. Probleemi lahendamise protsess on lihtne ega vaja üksikasjalikke selgitusi.

    Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala valem

    Igat tüüpi geomeetriliste kujundite leidmise valem on sama: V=S*h, kus V on vajalik ruumala, S on rööptahuka aluse pindala, h on vastastipust langetatud kõrgus ja aluse suhtes risti. Ristkülikus langeb h kokku joonise ühe küljega, nii et ristkülikukujulise prisma ruumala leidmiseks tuleb kolm mõõdet korrutada.

    Mahtu väljendatakse tavaliselt cm3-des. Teades kõiki kolme väärtust a, b ja c, pole figuuri helitugevuse leidmine sugugi keeruline. Ühtse riigieksami kõige levinum probleem on rööptahuka helitugevuse või diagonaali leidmine. Lahendage palju tüüpilisi Ühtse riigieksami ülesanded See on võimatu ilma ristküliku ruumala valemita. Ülesande näide ja selle lahenduse kujundus on toodud alloleval joonisel.

    Märkus 1. Ristkülikukujulise prisma pindala saab leida, korrutades 2-ga joonise kolme külje pindala: aluse (ab) ja kahe külgneva küljepinna (bc + ac).

    Märkus 2. Külgpindade pindala saab hõlpsasti määrata, korrutades aluse perimeetri rööptahuka kõrgusega.

    Põhineb rööptahukate esimesel omadusel AB = A1B1 ja näo B1D1 = BD. Pythagorase teoreemi järelduste kohaselt on kõigi nurkade summa sisse täisnurkne kolmnurk on võrdne 180° ja jalg asub 30° nurga vastas võrdne hüpotenuusiga. Rakendades neid teadmisi kolmnurgale, saame hõlpsalt leida külgede AB ja AD pikkuse. Seejärel korrutame saadud väärtused ja arvutame rööptahuka ruumala.

    Valem kaldus rööptahuka ruumala leidmiseks

    Kallutatud rööptahuka ruumala leidmiseks peate korrutama joonise aluse pindala kõrgusega, mis on langetatud sellel alusel vastasnurgast.

    Seega saab nõutavat V-d esitada kujul h - lehtede arv, mille aluspindala on S, seega koosneb paki maht kõigi kaartide V-dest.

    Näited probleemide lahendamisest

    Ühtse eksami ülesanded tuleb täita aastal kindel aeg. Tüüpilised ülesanded reeglina ei sisalda suur kogus arvutused ja kompleksmurrud. Sageli küsitakse õpilaselt, kuidas leida ebakorrapärase geomeetrilise kujundi ruumala. Sellistel juhtudel tuleb meeles pidada lihtsat reeglit, et kogumaht võrdne summaga V komponendid.

    Nagu ülaloleval pildil olevast näitest näha, pole selliste probleemide lahendamises midagi rasket. Keerulisemate lõikude ülesanded nõuavad Pythagorase teoreemi ja selle tagajärgede tundmist, samuti kujundi diagonaali pikkuse valemit. Testülesannete edukaks lahendamiseks piisab, kui tutvuda eelnevalt tüüpiliste probleemide näidistega.

    Jaga sõpradega:
    Seotud väljaanded