Millised on tavalise kolmnurkse püramiidi tahud? Püramiid

Õpilased puutuvad püramiidi mõistega kokku ammu enne geomeetria õppimist. Süü on kuulsates Egiptuse maailmaimedes. Seetõttu kujutab enamik õpilasi seda imelist hulktahukat uurima asudes seda juba selgelt ette. Kõik ülalmainitud atraktsioonid on õige kujuga. Mis on juhtunud tavaline püramiid, ja milliseid omadusi sellel on, arutatakse edasi.

Kokkupuutel

Definitsioon

Püramiidi määratlusi on üsna palju. Alates iidsetest aegadest on see olnud väga populaarne.

Näiteks defineeris Euclid seda kui kehakuju, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.

Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see on see näitaja on baas ja lennukid sisse kolmnurkade kujul, koonduvad ühel hetkel.

Toetudes kaasaegne tõlgendus, püramiid on kujutatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurksest kujundist, millel on üks ühine punkt.

Vaatame seda üksikasjalikumalt, millistest elementidest see koosneb:

• K-gonit peetakse joonise aluseks;
• 3-nurksed kujundid ulatuvad külgosa servadena välja;
• ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse tipuks;
• kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
• kui sirgjoon langetatakse tipust joonise tasapinnale 90 kraadise nurga all, siis on selle siseruumis sisalduv osa püramiidi kõrgus;
• igas külgmises elemendis saab meie hulktahuka küljele tõmmata risti, mida nimetatakse apoteemiks.

Servade arv arvutatakse valemiga 2*k, kus k on k-nurga külgede arv. Kui palju tahkusid on hulktahukal, näiteks püramiidil, saab määrata avaldise k+1 abil.

Tähtis! Korrapärase kujuga püramiid on stereomeetriline kujund, mille alustasand on võrdsete külgedega k-nurk.

Põhiomadused

Õige püramiid omab palju omadusi, mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:

1. Aluseks on õige kujuga kujund.
2. Püramiidi servad, mis piiravad külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
3. Külgelemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
4. Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskpunkti, samas kui see on samaaegselt sisse kirjutatud ja piiritletud kujundi keskpunkt.
5. Kõik külgmised ribid on aluse tasapinna suhtes sama nurga all.
6. Kõigil külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.

Tänu kõigile loetletud omadustele on elementide arvutuste tegemine palju lihtsam. Ülaltoodud omaduste põhjal pöörame tähelepanu kaks märki:

1. Kui hulknurk mahub ringi, külgmised näod on koos alusega võrdsed nurgad.
2. Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust lähtuvad püramiidi servad võrdse pikkusega ja võrdsed nurgad alusega.

Aluseks on ruut

Regulaarne nelinurkne püramiid - hulktahukas, mille alus on ruut.

Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.

Ruut on kujutatud tasapinnal, kuid selle aluseks on kõik korrapärase nelinurga omadused.

Näiteks kui on vaja seostada ruudu külgi selle diagonaaliga, siis kasutage järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.

See põhineb tavalisel kolmnurgal

Korrapärane kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille alus on korrapärane 3-nurkne.

Kui alus on korrapärane kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.

Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:

• ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
• kõigi sisepindade suurus on samuti 60 kraadi;
• mis tahes nägu võib toimida alusena;
• , joonistatud joonise sisse, on need võrdsed elemendid.

Hulktahuka lõiked

Igas hulktahukas on mitut tüüpi sektsioone tasane. Sageli töötavad nad kooli geomeetria kursusel kahega:

• aksiaalne;
• paralleelselt alusega.

Telglõik saadakse polüeedri lõikumisel tasandiga, mis läbib tippu, külgservi ja telge. Sel juhul on teljeks tipust tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.

Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.

Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, siis on tulemuseks teine ​​variant. Sel juhul on meil alusega sarnane ristlõike joonis.

Näiteks kui aluses on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksemate mõõtmetega.

Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutavad nad jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.

Kui tasapind tõmmatakse paralleelselt alusega ja see lõikab ära ülemine osa hulktahukas, siis saadakse alumises osas tavaline kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka alused on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgmised näod võrdkülgsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.

Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja joonestada kõrgus telglõikes ehk trapetsis.

Pinnaalad

Põhiline geomeetrilised probleemid mis tuleb lahendada kooli geomeetria kursusel püramiidi pindala ja ruumala leidmine.

Pindala väärtusi on kahte tüüpi:

• külgmiste elementide pindala;
• kogu pinna pindala.

Nimest endast on aru saada, millest jutt käib. Külgpind sisaldab ainult külgmisi elemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:

1. Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str=1/2(aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
2. Külgtasandite arv sõltub k-goni tüübist aluses. Näiteks tavalisel nelinurksel püramiidil on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus on 4a = Rosn, kus Rosn on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2*Rosn on selle poolperimeeter.
3. Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgmiste elementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega: Sside = Rosn * L.

Ruut täispind püramiid koosneb külgtasandite ja aluse pindalade summast: Sp.p. = Sside + Sbas.

Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.

Tavalise püramiidi ruumala võrdub põhitasandi pindala ja kõrguse korrutisega, mis on jagatud kolmega: V=1/3*Sbas*H, kus H on hulktahuka kõrgus.

Mis on geomeetrias tavaline püramiid

Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused

Definitsioon. Külgserv- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi ülaosas ja vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid- need on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on sama palju servi kui hulknurga nurki.

Definitsioon. Püramiidi kõrgus- see on risti, mis on langetatud püramiidi tipust põhja.

Definitsioon. Apoteem- see on risti püramiidi külgpinnaga, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi osa tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. Püramiidi ruumala läbi aluse pindala ja kõrgus:

Püramiidi omadused

Ma kukun külgmised ribid on võrdsed, siis saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse ja aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib aluse (ringi) keskpunkti ülevalt alla lastud risti.

Kui kõik külgmised servad on võrdsed, on need aluse tasapinna suhtes samade nurkade all.

Külgmised servad on võrdsed, kui nad moodustavad aluse tasapinnaga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi ülaosa projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes sama nurga all, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes kallutatud võrdse nurga all.

4. Kõikide külgtahkude apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Piiratud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saad sobitada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis tasandi nurkade summa tipus on võrdne π-ga või vastupidi, üks nurk võrdub π/n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Seos püramiidi ja sfääri vahel

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas on hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Alati on võimalik kirjeldada sfääri mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sisse kantuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on üksteisega võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ja silindri suhe

Püramiidi nimetatakse silindrisse kantuks, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindrit saab kirjeldada ümber püramiidi, kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval ei ole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades tipust.

Definitsioon. Teravnurkne püramiid- püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Nürakujuline püramiid- püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. Regulaarne tetraeeder- tetraeeder, mille kõik neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja tahud on täisnurksed kolmnurgad ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja mille alus on korrapärane kolmnurk. Sellisel tetraeedril on tahud, mis on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedriks, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. Tähepüramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on täht.

Jätkame matemaatika ühtse riigieksami ülesannete kaalumist. Oleme juba uurinud ülesandeid, kus tingimus on antud ja selleks on vaja leida kahe antud punkti vaheline kaugus või nurk.

Püramiid on hulktahukas, mille alus on hulknurk, ülejäänud tahud on kolmnurgad ja neil on ühine tipp.

Korrapärane püramiid on püramiid, mille põhjas asub korrapärane hulknurk ja selle tipp on projitseeritud aluse keskmesse.

Korrapärane nelinurkne püramiid - alus on ruut Püramiidi tipp projitseeritakse aluse (ruudu) diagonaalide lõikepunkti.

ML – apoteem
∠MLO – kahetahuline nurk püramiidi põhjas
∠MCO – nurk püramiidi külgserva ja aluse tasapinna vahel

Selles artiklis vaatleme tavalise püramiidi lahendamise probleeme. Peate leidma mõne elemendi, külgpinna, mahu, kõrguse. Muidugi peate teadma Pythagorase teoreemi, püramiidi külgpinna pindala valemit ja püramiidi ruumala leidmise valemit.

Artiklis "" esitab stereomeetria ülesannete lahendamiseks vajalikud valemid. Niisiis, ülesanded:

SABCD punkt O- aluse keskpunkt,S tipp, NII = 51, A.C.= 136. Leia külgservS.C..

Sel juhul on alus ruut. See tähendab, et diagonaalid AC ja BD on võrdsed, lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga. Pange tähele, et tavalises püramiidis läbib selle tipust langenud kõrgus läbi püramiidi aluse keskpunkti. Nii et SO on kõrgus ja kolmnurkSOCristkülikukujuline. Siis Pythagorase teoreemi järgi:

Kuidas juurt eemaldada suur number.

Vastus: 85

Otsustage ise:

Korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD punkt O- aluse keskpunkt, S tipp, NII = 4, A.C.= 6. Leidke külgserv S.C..

Korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD punkt O- aluse keskpunkt, S tipp, S.C. = 5, A.C.= 6. Leia lõigu pikkus NII.

Korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD punkt O- aluse keskpunkt, S tipp, NII = 4, S.C.= 5. Leia lõigu pikkus A.C..

SABC R- ribi keskosa B.C., S- ülemine. On teada, et AB= 7, a S.R.= 16. Leidke külgpindala.

Külgpind on õige kolmnurkne püramiid võrdne poolega aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest (apoteem on selle tipust tõmmatud tavalise püramiidi külgpinna kõrgus):

Või võime öelda nii: püramiidi külgpinna pindala on võrdne summaga kolm ruutu külgmised servad. Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinnad on võrdse pindalaga kolmnurgad. Sel juhul:

Vastus: 168

Otsustage ise:

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC R- ribi keskosa B.C., S- ülemine. On teada, et AB= 1, a S.R.= 2. Leidke külgpindala.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC R- ribi keskosa B.C., S- ülemine. On teada, et AB= 1 ja külgpinna pindala on 3. Leidke lõigu pikkus S.R..

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC L- ribi keskosa B.C., S- ülemine. On teada, et SL= 2 ja külgpinna pindala on 3. Leidke lõigu pikkus AB.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC M. Kolmnurga pindala ABC on 25, püramiidi ruumala on 100. Leia lõigu pikkus PRL.

Püramiidi alus on võrdkülgne kolmnurk. Sellepärast Mon aluse keskpunkt jaPRL- tavalise püramiidi kõrgusSABC. Püramiidi ruumala SABC võrdub: vaata lahendust

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC aluse mediaanid lõikuvad punktis M. Kolmnurga pindala ABC võrdub 3, PRL= 1. Leia püramiidi ruumala.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC aluse mediaanid lõikuvad punktis M. Püramiidi ruumala on 1, PRL= 1. Leidke kolmnurga pindala ABC.

Lõpetame siin. Nagu näete, lahendatakse probleemid ühe või kahe sammuga. Tulevikus käsitleme ka muid probleeme sellest osast, kus antakse revolutsiooni kehad, ärge jätke seda mööda!

Soovin teile edu!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Kolmnurkne püramiid on püramiid, mille põhjas on kolmnurk. Selle püramiidi kõrgus on risti, mis on langetatud püramiidi tipust selle alusele.

Püramiidi kõrguse leidmine

Kuidas leida püramiidi kõrgust? Väga lihtne! Mis tahes kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks võite kasutada mahuvalemit: V = (1/3)Sh, kus S on aluse pindala, V on püramiidi ruumala, h on selle kõrgus. Sellest valemist tuletage kõrgusvalem: kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks peate püramiidi ruumala korrutama 3-ga ja jagama saadud väärtuse aluse pindalaga, see on: h = (3 V)/S. Kuna kolmnurkse püramiidi alus on kolmnurk, saate kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada valemit. Kui teame: kolmnurga S pindala ja selle külje z, siis pindalavalemi S=(1/2)γh järgi: h = (2S)/γ, kus h on püramiidi kõrgus, γ on kolmnurga serv; nurk kolmnurga külgede ja kahe külje vahel, kasutades järgmist valemit: S = (1/2)γφsinQ, kus γ, φ on kolmnurga küljed, leiame kolmnurga pindala. Nurga Q siinuse väärtust tuleb vaadata siinuste tabelist, mis on kättesaadav Internetis. Järgmisena asendame pindala väärtuse kõrguse valemiga: h = (2S)/γ. Kui ülesanne nõuab kolmnurkpüramiidi kõrguse arvutamist, siis on püramiidi ruumala juba teada.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi, st püramiidi, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, kõrgus, teades serva γ suurust. Sel juhul on püramiidi servad võrdkülgsete kolmnurkade küljed. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on: h = γ√(2/3), kus γ on võrdkülgse kolmnurga serv, h on püramiidi kõrgus. Kui aluse pindala (S) on teadmata ja antud on vaid hulktahuka serva pikkus (γ) ja ruumala (V), siis tuleb eelmise sammu valemis vajalik muutuja asendada. selle ekvivalendiga, mida väljendatakse serva pikkusena. Kolmnurga pindala (tavaline) on võrdne 1/4 selle kolmnurga külje pikkuse korrutisest ruutjuurega 3. Asendame selle valemi aluse pindala asemel eelmises. valem ja saame järgmise valemi: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraeedri mahtu saab väljendada selle serva pikkuse kaudu, seejärel saate joonise kõrguse arvutamise valemist eemaldada kõik muutujad ja jätta ainult joonise kolmnurkse külje külg. Sellise püramiidi ruumala saab arvutada, jagades korrutisest 12-ga selle esikülje kuubiku pikkuse ruutjuurega 2.

Asendades selle avaldise eelmise valemiga, saame arvutamiseks järgmise valemi: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Samuti saab sfääri sisse kirjutada korrapärase kolmnurkse prisma ja teades ainult kera raadiust (R), saab leida tetraeedri enda kõrguse. Tetraeedri serva pikkus on: γ = 4R/√6. Asendame eelmises valemis muutuja γ selle avaldisega ja saame valemi: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama valemi saab ka teades tetraeedrisse kantud ringi raadiust (R). Sel juhul võrdub kolmnurga serva pikkus 12 vahelise suhtega ruutjuur 6 ja raadiusega. Asendame selle avaldise eelmise valemiga ja saame: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuidas leida tavalise nelinurkse püramiidi kõrgust

Et vastata küsimusele, kuidas leida püramiidi kõrguse pikkust, peate teadma, mis on tavaline püramiid. Nelinurkne püramiid on püramiid, mille põhjas on nelinurk. Kui ülesande tingimustes on meil: püramiidi ruumala (V) ja aluse (S) pindala, siis on hulktahuka kõrguse (h) arvutamise valem järgmine - jagage ruumala korrutis 3 võrra piirkonna S järgi: h = (3V)/S. Arvestades antud ruumala (V) ja külje pikkusega γ püramiidi ruudukujulist alust, asendage ala (S) eelmises valemis külje pikkuse ruuduga: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Korrapärase püramiidi kõrgus h = SO läbib täpselt ringi keskpunkti, mis on ümbritsetud aluse lähedal. Kuna selle püramiidi alus on ruut, on punkt O diagonaalide AD ja BC lõikepunkt. Meil on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Järgmisena oleme sees täisnurkne kolmnurk Leiame SOC (kasutades Pythagorase teoreemi): SO = √(SC 2 -OC 2). Nüüd teate, kuidas leida tavalise püramiidi kõrgust.