Leidke kolmnurga pindala kolme abil. Kuidas arvutada kolmnurga pindala

Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest sirgjoonest, mis ühenduvad punktides, mis ei asu samal sirgel. Joonte ühenduspunktid on kolmnurga tipud, mis on tähistatud ladina tähtedega (näiteks A, B, C). Kolmnurga ühendavaid sirgeid nimetatakse lõikudeks, mida tavaliselt tähistatakse ka ladina tähtedega. Eristatakse järgmist tüüpi kolmnurki:

Ristkülikukujuline.
nüri.
Äge nurgeline.
Mitmekülgne.
Võrdkülgne.
Võrdhaarsed.

Üldvalemid kolmnurga pindala arvutamiseks

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb pikkusel ja kõrgusel

S = a*h/2,
kus a on kolmnurga selle külje pikkus, mille pindala tuleb leida, h on aluse kõrguse pikkus.

Heroni valem

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kus √ on Ruutjuur, p on kolmnurga poolperimeeter, a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus. Kolmnurga poolperimeetrit saab arvutada valemiga p=(a+b+c)/2.

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb lõigu nurgal ja pikkusel

S = (a*b*sin(α))/2,
Kus b, c on kolmnurga külgede pikkus, sin(α) on kahe külje vahelise nurga siinus.

Kolmnurga pindala valem, millel on sisse kirjutatud ringi raadius ja kolm külge

S=p*r,
kus p on selle kolmnurga poolperimeeter, mille pindala tuleb leida, r on sellesse kolmnurka kantud ringi raadius.

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja selle ümber piiratud ringi raadiusel

S= (a*b*c)/4*R,
kus a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus, R on kolmnurga ümber oleva ringi raadius.

Kolmnurga pindala valem, kasutades punktide Descartes'i koordinaate

Punktide ristkoordinaadid on koordinaadid xOy süsteemis, kus x on abstsiss, y on ordinaat. Descartes'i koordinaatsüsteem xOy tasapinnal on vastastikku risti asetsevad arvteljed Ox ja Oy, millel on ühine alguspunktis O. Kui selle tasapinna punktide koordinaadid on antud kujul A(x1, y1), B(x2, y2 ) ja C(x3, y3 ), siis saate kolmnurga pindala arvutada järgmise valemi abil, mis saadakse kahe vektori vektorkorrutisest.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kus || tähistab moodulit.

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgal võib olla ainult üks selline nurk.

Valem täisnurkse kolmnurga kahe külje pindala jaoks

S = a*b/2,
kus a,b on jalgade pikkus. Jalad on täisnurgaga külgnevad küljed.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem, mis põhineb hüpotenuusil ja teravnurgal

S = a*b*sin(α)/2,
kus a, b on kolmnurga jalad ja sin(α) on nurga siinus, mille all sirged a, b ristuvad.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem külje ja vastasnurga põhjal

S = a*b/2*tg(β),
kus a, b on kolmnurga jalad, tan(β) on nurga puutuja, mille all jalad a, b on ühendatud.

Kuidas arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, millel on kaks võrdsed küljed. Neid külgi nimetatakse külgedeks ja teine külg on alus. Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada ühte järgmistest valemitest.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamise põhivalem

S=h*c/2,
kus c on kolmnurga alus, h on aluse külge langetatud kolmnurga kõrgus.

Võrdhaarse kolmnurga valem külje ja aluse põhjal

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kus c on kolmnurga alus, a on võrdhaarse kolmnurga ühe külje suurus.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:
S = (√3*a*a)/4,
kus a on võrdkülgse kolmnurga külje pikkus.

Ülaltoodud valemid võimaldavad teil arvutada kolmnurga vajaliku pindala. Oluline on meeles pidada, et kolmnurkade pindala arvutamiseks peate arvestama kolmnurga tüüpi ja olemasolevate andmetega, mida saab arvutamiseks kasutada.

Piirkonna mõiste

Mis tahes geomeetrilise kujundi, eriti kolmnurga pindala mõiste seostatakse sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletagem meelde geomeetriliste kujundite pindalade mõiste kaht põhiomadust.

Atribuut 1: Kui geomeetrilised kujundid on võrdsed, siis on ka nende pindalad võrdsed.

Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate arvude pindalade summaga.

Vaatame näidet.

Näide 1

Ilmselgelt on kolmnurga üks külgedest ristküliku diagonaal, mille ühe külje pikkus on $5$ (kuna seal on $5$ lahtrid) ja teine on $6$ (kuna seal on $6$ lahtreid). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on

Siis on kolmnurga pindala võrdne

Vastus: 15 dollarit.

Järgmisena kaalume mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse, Heroni valemi ja võrdkülgse kolmnurga pindala abil.

Kuidas leida kolmnurga pindala selle kõrguse ja aluse abil

1. teoreem

Kolmnurga pindala võib leida poole külje pikkuse ja selle külje kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt näeb see välja järgmisel viisil

$S=\frac(1)(2)αh$

kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$, milles $AC=α$. Sellele küljele tõmmatakse kõrgus $BH$, mis võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.

Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Seetõttu on kolmnurga nõutav pindala omaduse 2 järgi võrdne

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teoreem on tõestatud.

Näide 2

Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega

Selle kolmnurga alus on võrdne $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ ruudud). Kõrgus on ka 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 järgi

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5 $

Vastus: 40,5 dollarit.

Heroni valem

2. teoreem

Kui meile on antud kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, siis selle pindala leitakse järgmiselt

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.

Tõestus.

Mõelge järgmisele joonisele:

Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$

Kolmnurgast $CBH$ on Pythagorase teoreemi järgi meil

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nendest kahest seosest saame võrdsuse

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, mis tähendab

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teoreemi 1 järgi saame

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Kolmnurga pindala - ülesannete lahendamise valemid ja näited

Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või suurustest. Valemid esitatakse pildi kujul koos selgitustega nende rakendamise või õigsuse põhjendusega. Vastavused on näidatud ka eraldi joonisel tähetähistused joonisel valemites ja graafilistes sümbolites.

Märge . Kui kolmnurgal on eriomadused (võrdhaarne, ristkülik, võrdkülgne), võite kasutada alltoodud valemeid, aga ka täiendavaid erivalemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade puhul:

"Võrdkülgse kolmnurga pindala valem"

Kolmnurga pindala valemid

Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius
h- küljele langetatud kolmnurga kõrgus
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α - kolmnurga külje a vastasnurk
β - kolmnurga külje b vastasnurk
γ - kolmnurga külje c vastas olev nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus on langetatud külgedele a, b, c

Pange tähele, et antud tähised vastavad ülaltoodud joonisele, nii et reaalse geomeetriaülesande lahendamisel on teil visuaalselt lihtsam valemis õigeid väärtusi õigetesse kohtadesse asendada.

Kolmnurga pindala on pool kolmnurga kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisest, mille võrra see kõrgus on langetatud(Vormel 1). Selle valemi õigsust saab mõista loogiliselt. Aluseni langetatud kõrgus jagab suvalise kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Kui ehitate igaüks neist ristkülikuks, mille mõõtmed on b ja h, siis ilmselgelt võrdub nende kolmnurkade pindala täpselt poolega ristküliku pindalast (Spr = bh)
Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest(Valem 2) (vt näidet ülesande lahendamisest selle valemi abil allpool). Kuigi see tundub eelmisest erinev, saab seda hõlpsasti selleks muuta. Kui langetada kõrgust nurgast B küljele b, siis selgub, et külje a ja nurga γ siinuse korrutis vastavalt siinuse omadustele täisnurkne kolmnurk võrdub joonistatud kolmnurga kõrgusega, mis annab meile eelmise valemi
Suvalise kolmnurga pindala on võimalik leida läbi tööd pool ringi raadiusest, mis on sellesse kantud kõigi selle külgede pikkuste summaga(Valem 3), lihtsalt öeldes, peate korrutama kolmnurga poolperimeetri sisse kirjutatud ringi raadiusega (seda on lihtsam meeles pidada)
Suvalise kolmnurga pindala saab leida, jagades selle kõigi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega (valem 4)
Valem 5 on kolmnurga pindala leidmine läbi selle külgede pikkuste ja poolperimeetri (pool kõigi külgede summast)
Heroni valem(6) on sama valemi esitus ilma poolperimeetri mõistet kasutamata, ainult läbi külgede pikkuste
Suvalise kolmnurga pindala võrdub kolmnurga külje ruudu ja selle küljega külgnevate nurkade siinuste korrutisega, mis on jagatud selle külje vastasnurga topeltsiinusega (valem 7)
Suvalise kolmnurga pindala võib leida selle ringi kahe ruudu korrutisena, mis on ümbritsetud selle iga nurga siinustega. (Vormel 8)
Kui ühe külje pikkus ja kahe külgneva nurga väärtused on teada, saab kolmnurga pindala leida selle külje ruuduna, mis on jagatud nende nurkade kotangentide topeltsummaga (valem 9)
Kui on teada ainult kolmnurga iga kõrguse pikkus (valem 10), siis on sellise kolmnurga pindala pöördvõrdeline nende kõrguste pikkustega, nagu Heroni valemi järgi
Valem 11 võimaldab arvutada kolmnurga pindala selle tippude koordinaatide põhjal, mis on iga tipu jaoks määratud kui (x;y) väärtused. Pange tähele, et saadud väärtus tuleb võtta modulo, kuna üksikute (või isegi kõigi) tippude koordinaadid võivad olla negatiivsete väärtuste piirkonnas

Märge. Järgnevalt on toodud näited geomeetriaülesannete lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mis pole siin sarnane, kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes saab "ruutjuure" sümboli asemel kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on märgitud sulgudes.Mõnikord võib sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √

Ülesanne. Leidke kahe külje ala ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm Nende vaheline nurk on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.

Lahendus.

Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala võib leida kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse kaudu ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ

Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemis asendada vaid probleemitingimuste väärtused:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Väärtuste tabelis trigonomeetrilised funktsioonid Leiame ja asendame siinuse 60 kraadi väärtuse avaldisega. Ta teeb seda võrdne juurega kolmest kaheni.
S = 15 √3/2

Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest võid ilmselt jätta 15 √3/2)

Ülesanne. Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.

Lahendus.

Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Kuna a = b = c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastus: 9 √3 / 4.

Ülesanne. Pindala muutus külgede pikkuse muutmisel

Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui külgi suurendada 4 korda?

Lahendus.

Kuna kolmnurga külgede mõõtmed on meile teadmata, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvaliste arvudega a, b, c. Seejärel leiame ülesande küsimusele vastamiseks antud kolmnurga pindala ja seejärel selle kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.

Allpool anname samm-sammult probleemilahenduse tekstilise selgituse. Päris lõpus esitatakse see sama lahendus aga mugavamal graafilisel kujul. Huvilised saavad kohe lahendused alla minna.

Lahenduseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt allpool oleva pildi esimest rida)

Suvalise kolmnurga külgede pikkused määratakse muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:

S 2 = 1/4 ruutmeetrit ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)

Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab kõigist neljast avaldisest sulgudest välja võtta vastavalt üldreeglid matemaatika.
Siis

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida

Arvu 256 ruutjuur on suurepäraselt eraldatud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva pildi viiendat rida)

Ülesandes esitatud küsimusele vastamiseks peame lihtsalt saadud kolmnurga pindala jagama esialgse kolmnurga pindalaga.
Määrame pindala suhted, jagades avaldised üksteisega ja vähendades saadud murdosa.

Vastupidisest tipust) ja jagage saadud korrutis kahega. See näeb välja selline:

S = ½ * a * h,

Kus:
S – kolmnurga pindala,
a on selle külje pikkus,
h on sellele küljele langetatud kõrgus.

Külje pikkus ja kõrgus tuleb esitada samades mõõtühikutes. Sel juhul saadakse kolmnurga pindala vastavates “ ” ühikutes.

Näide.
20 cm pikkuse skaala kolmnurga ühel küljel langetatakse 10 cm pikkune risti vastastipust.
Kolmnurga pindala on nõutav.
Lahendus.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Kui skaalakolmnurga mis tahes kahe külje pikkused ja nendevaheline nurk on teada, kasutage valemit:

S = ½ * a * b * sinγ,

kus: a, b on kahe suvalise külje pikkused ja γ on nendevaheline nurk.

Praktikas näiteks mõõtmisel maatükid, on ülaltoodud valemite kasutamine mõnikord keeruline, kuna see nõuab täiendavat konstrueerimist ja nurkade mõõtmist.

Kui teate skaala kolmnurga kõigi kolme külje pikkust, kasutage Heroni valemit:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – kolmnurga külgede pikkused,
p – poolperimeeter: p = (a+b+c)/2.

Kui lisaks kõigi külgede pikkustele on teada ka kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius, kasutage järgmist kompaktset valemit:

kus: r – sisse kirjutatud ringi raadius (р – poolperimeeter).

Skaalakolmnurga pindala ja selle külgede pikkuse arvutamiseks kasutage valemit:

kus: R – piiritletud ringi raadius.

Kui on teada kolmnurga ühe külje ja kolme nurga pikkus (põhimõtteliselt piisab kahest - kolmanda väärtus arvutatakse kolmnurga kolme nurga summa võrdusest - 180º), siis kasutage valem:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kus α on külje a vastasnurga väärtus;
β, γ – kolmnurga ülejäänud kahe nurga väärtused.

Vajadus leida erinevaid elemente, sealhulgas ala kolmnurk, ilmus palju sajandeid eKr õppinud astronoomide seas Vana-Kreeka. Ruut kolmnurk saab arvutada erinevaid viise kasutades erinevaid valemeid. Arvutusmeetod sõltub sellest, millistest elementidest kolmnurk teatud.

Juhised

Kui tingimusest teame kahe külje b, c väärtused ja nende poolt moodustatud nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse valemiga:
S = (bcsin?)/2.

Kui tingimusest teame kahe külje a, b väärtused ja nende poolt moodustamata nurga?, siis pindala kolmnurk ABC leitakse järgmiselt:
Nurga leidmine?, patt? = bsin?/a, siis kasutage nurga enda määramiseks tabelit.
Nurga leidmine?, ? = 180°-?-?.
Leiame ala enda S = (absin?)/2.

Kui tingimusest teame ainult kolme külje väärtusi kolmnurk a, b ja c, seejärel pindala kolmnurk ABC leitakse valemiga:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kus p on poolperimeeter p = (a+b+c)/2

Kui probleemtingimustest on teada kõrgus kolmnurk h ja külg, kuhu see kõrgus on langetatud, seejärel ala kolmnurk ABC vastavalt valemile:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Kui me teame külgede tähendusi kolmnurk a, b, c ja selle kohta kirjeldatud raadius kolmnurk R, siis selle pindala kolmnurk ABC määratakse järgmise valemiga:
S = abc/4R.
Kui on teada kolm külge a, b, c ja sisse kirjutatud raadius, siis pindala kolmnurk ABC leitakse valemiga:
S = pr, kus p on poolperimeeter, p = (a+b+c)/2.

Kui ABC on võrdkülgne, leitakse pindala valemiga:
S = (a^2v3)/4.
Kui kolmnurk ABC on võrdhaarne, määratakse pindala valemiga:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kus c – kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne, määratakse pindala valemiga:
S = ab/2, kus a ja b on jalad kolmnurk.
Kui kolmnurk ABC on täisnurkne võrdhaarne kolmnurk, määratakse pindala valemiga:
S = c^2/4 = a^2/2, kus c on hüpotenuus kolmnurk, a=b – jalg.

Video teemal

Allikad:

kuidas mõõta kolmnurga pindala

Vihje 3: kuidas leida kolmnurga pindala, kui nurk on teada

Piirkonna leidmiseks ei piisa ainult ühe parameetri (nurga) teadmisest tre ruut . Kui on lisamõõtmeid, siis pindala määramiseks saab valida ühe valemitest, milles ühe teadaoleva muutujana kasutatakse ka nurga väärtust. Allpool on toodud mitmed kõige sagedamini kasutatavad valemid.

Juhised

Kui lisaks kahe külje moodustatud nurga (γ) suurusele tre ruut , siis on teada ka nende külgede (A ja B) pikkused ruut Figuuri (S) võib defineerida kui pool selle teadaoleva nurga külgede pikkuste ja siinuse korrutist: S=½×A×B×sin(γ).