Kuidas joonistada kolmnurkse püramiidi kõrgust. Geomeetria põhitõed: tavaline püramiid on

Õpilased puutuvad püramiidi mõistega kokku ammu enne geomeetria õppimist. Süü on kuulsates Egiptuse maailmaimedes. Seetõttu kujutab enamik õpilasi seda imelist hulktahukat uurima asudes seda juba selgelt ette. Kõik ülalmainitud atraktsioonid on õige kujuga. Mis on juhtunud tavaline püramiid, ja milliseid omadusi sellel on, arutatakse edasi.

Kokkupuutel

Definitsioon

Püramiidi määratlusi on üsna palju. Alates iidsetest aegadest on see olnud väga populaarne.

Näiteks defineeris Euclid seda kui kehakuju, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.

Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see on see näitaja on baas ja lennukid sisse kolmnurkade kujul, koonduvad ühel hetkel.

Toetudes kaasaegne tõlgendus, püramiid on kujutatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurksest kujundist, millel on üks ühine punkt.

Vaatame seda üksikasjalikumalt, millistest elementidest see koosneb:

• K-gonit peetakse joonise aluseks;
• 3-nurksed kujundid ulatuvad külgosa servadena välja;
• ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse tipuks;
• kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
• kui sirgjoon langetatakse tipust joonise tasapinnale 90 kraadise nurga all, siis selle siseruumis sisalduv osa on püramiidi kõrgus;
• igas külgmises elemendis saab meie hulktahuka küljele tõmmata risti, mida nimetatakse apoteemiks.

Servade arv arvutatakse valemiga 2*k, kus k on k-nurga külgede arv. Kui palju tahkusid on hulktahukal, näiteks püramiidil, saab määrata avaldise k+1 abil.

Tähtis! Korrapärase kujuga püramiid on stereomeetriline kujund, mille alustasand on võrdsete külgedega k-nurk.

Põhiomadused

Õige püramiid omab palju omadusi, mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:

1. Aluseks on õige kujuga kujund.
2. Püramiidi servad, mis piiravad külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
3. Külgelemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
4. Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskpunkti, samas kui see on samaaegselt sisse kirjutatud ja piiritletud kujundi keskpunkt.
5. Kõik külgmised ribid on aluse tasapinna suhtes sama nurga all.
6. Kõigil külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.

Tänu kõigile loetletud omadustele on elementide arvutuste tegemine palju lihtsam. Ülaltoodud omaduste põhjal pöörame tähelepanu kaks märki:

1. Kui hulknurk mahub ringi, külgmised näod on koos alusega võrdsed nurgad.
2. Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust lähtuvad püramiidi servad võrdse pikkusega ja võrdsed nurgad alusega.

Aluseks on ruut

Regulaarne nelinurkne püramiid - hulktahukas, mille alus on ruut.

Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.

Ruut on kujutatud tasapinnal, kuid selle aluseks on kõik korrapärase nelinurga omadused.

Näiteks kui on vaja seostada ruudu külgi selle diagonaaliga, siis kasutage järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.

See põhineb tavalisel kolmnurgal

Korrapärane kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille alus on korrapärane 3-nurkne.

Kui alus on korrapärane kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.

Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:

• ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
• kõigi sisepindade suurus on samuti 60 kraadi;
• mis tahes nägu võib toimida alusena;
• , joonistatud joonise sisse, on need võrdsed elemendid.

Hulktahuka lõiked

Igas hulktahukas on mitut tüüpi sektsioone tasane. Sageli töötavad nad kooli geomeetria kursusel kahega:

• aksiaalne;
• paralleelselt alusega.

Telglõik saadakse polüeedri lõikumisel tasandiga, mis läbib tippu, külgservi ja telge. Sel juhul on teljeks tipust tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.

Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.

Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, siis on tulemuseks teine ​​variant. Sel juhul on meil alusega sarnane ristlõike joonis.

Näiteks kui aluses on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksemate mõõtmetega.

Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutavad nad jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.

Kui tasapind tõmmatakse paralleelselt alusega ja see lõikab ära ülemine osa hulktahukas, siis saadakse alumises osas tavaline kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka alused on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgmised näod võrdkülgsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.

Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja joonestada kõrgus telglõikes ehk trapetsis.

Pinnaalad

Põhiline geomeetrilised probleemid mis tuleb lahendada kooli geomeetria kursusel püramiidi pindala ja ruumala leidmine.

Pindala väärtusi on kahte tüüpi:

• külgmiste elementide pindala;
• kogu pinna pindala.

Nimest endast on aru saada, millest jutt käib. Külgpind sisaldab ainult külgmisi elemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita kokku külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:

1. Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str=1/2(aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
2. Külgtasandite arv sõltub k-goni tüübist aluses. Näiteks tavalisel nelinurksel püramiidil on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus on 4a = Rosn, kus Rosn on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2*Rosn on selle poolperimeeter.
3. Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgmiste elementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega: Sside = Rosn * L.

Ruut täispind püramiid koosneb külgtasandite ja aluse pindalade summast: Sp.p. = Sside + Sbas.

Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.

Tavalise püramiidi ruumala võrdub põhitasandi pindala ja kõrguse korrutisega, mis on jagatud kolmega: V=1/3*Sbas*H, kus H on hulktahuka kõrgus.

Mis on geomeetrias tavaline püramiid

Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused

Kolmnurkne püramiid on püramiid, mille põhjas on kolmnurk. Selle püramiidi kõrgus on risti, mis on langetatud püramiidi tipust selle alusele.

Püramiidi kõrguse leidmine

Kuidas leida püramiidi kõrgust? Väga lihtne! Mis tahes kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks võite kasutada mahuvalemit: V = (1/3)Sh, kus S on aluse pindala, V on püramiidi ruumala, h on selle kõrgus. Sellest valemist tuletage kõrgusvalem: kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks peate püramiidi ruumala korrutama 3-ga ja jagama saadud väärtuse aluse pindalaga, see on: h = (3 V)/S. Kuna kolmnurkse püramiidi alus on kolmnurk, saate kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada valemit. Kui teame: kolmnurga S pindala ja selle külje z, siis pindalavalemi S=(1/2)γh järgi: h = (2S)/γ, kus h on püramiidi kõrgus, γ on kolmnurga serv; nurk kolmnurga külgede ja kahe külje vahel, kasutades järgmist valemit: S = (1/2)γφsinQ, kus γ, φ on kolmnurga küljed, leiame kolmnurga pindala. Nurga Q siinuse väärtust tuleb vaadata siinuste tabelist, mis on kättesaadav Internetis. Järgmisena asendame pindala väärtuse kõrguse valemiga: h = (2S)/γ. Kui ülesanne nõuab kolmnurkpüramiidi kõrguse arvutamist, siis on püramiidi ruumala juba teada.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi, st püramiidi, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, kõrgus, teades serva γ suurust. Sel juhul on püramiidi servad võrdkülgsete kolmnurkade küljed. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on: h = γ√(2/3), kus γ on võrdkülgse kolmnurga serv, h on püramiidi kõrgus. Kui aluse pindala (S) on teadmata ja antud on vaid hulktahuka serva pikkus (γ) ja ruumala (V), siis tuleb eelmise sammu valemis vajalik muutuja asendada. selle ekvivalendiga, mida väljendatakse serva pikkusena. Kolmnurga pindala (tavaline) on võrdne 1/4 selle kolmnurga külje pikkuse korrutisest ruutjuurega 3. Asendame selle valemi aluse pindala asemel eelmises. valem ja saame järgmise valemi: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraeedri mahtu saab väljendada selle serva pikkuse kaudu, seejärel saate joonise kõrguse arvutamise valemist eemaldada kõik muutujad ja jätta ainult joonise kolmnurkse külje külg. Sellise püramiidi ruumala saab arvutada, jagades korrutisest 12-ga selle esikülje kuubiku pikkuse ruutjuurega 2.

Asendades selle avaldise eelmise valemiga, saame arvutamiseks järgmise valemi: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Samuti saab sfääri sisse kirjutada korrapärase kolmnurkse prisma ja teades ainult kera raadiust (R), saab leida tetraeedri enda kõrguse. Tetraeedri serva pikkus on: γ = 4R/√6. Asendame eelmises valemis muutuja γ selle avaldisega ja saame valemi: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama valemi saab ka teades tetraeedrisse kantud ringi raadiust (R). Sel juhul võrdub kolmnurga serva pikkus 12 vahelise suhtega ruutjuur 6 ja raadiusega. Asendame selle avaldise eelmise valemiga ja saame: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuidas leida tavalise nelinurkse püramiidi kõrgust

Et vastata küsimusele, kuidas leida püramiidi kõrguse pikkust, peate teadma, mis on tavaline püramiid. Nelinurkne püramiid on püramiid, mille põhjas on nelinurk. Kui ülesande tingimustes on meil: püramiidi ruumala (V) ja aluse (S) pindala, siis on hulktahuka kõrguse (h) arvutamise valem järgmine - jagage ruumala korrutis 3 võrra piirkonna S järgi: h = (3V)/S. Arvestades antud ruumala (V) ja külje pikkusega γ püramiidi ruudukujulist alust, asendage ala (S) eelmises valemis külje pikkuse ruuduga: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Korrapärase püramiidi kõrgus h = SO läbib täpselt ringi keskpunkti, mis on ümbritsetud aluse lähedal. Kuna selle püramiidi alus on ruut, on punkt O diagonaalide AD ja BC lõikepunkt. Meil on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Järgmisena leiame täisnurksest kolmnurgast SOC (kasutades Pythagorase teoreemi): SO = √(SC 2 -OC 2). Nüüd teate, kuidas leida tavalise püramiidi kõrgust.

Hüpotees: usume, et püramiidi kuju täiuslikkus on tingitud selle kujule omastest matemaatilistest seadustest.

Sihtmärk: Olles uurinud püramiidi kui geomeetrilist keha, selgitage selle vormi täiuslikkust.

Ülesanded:

1. Anna matemaatiline määratlus püramiid.

2. Uurige püramiidi kui geomeetrilist keha.

3. Saage aru, milliseid matemaatilisi teadmisi egiptlased oma püramiididesse panid.

Privaatsed küsimused:

1. Mis on püramiid kui geomeetriline keha?

2. Kuidas seletada püramiidi ainulaadset kuju matemaatilisest vaatenurgast?

3. Mis seletab püramiidi geomeetrilisi imesid?

4. Mis seletab püramiidi kuju täiuslikkust?

Püramiidi määratlus.

PÜRAMID (kreeka keelest pyramis, gen. pyramidos) - hulktahukas, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp (joonis). Aluse nurkade arvu järgi liigitatakse püramiidid kolmnurkseteks, nelinurkseteks jne.

PÜRAMID - monumentaalne hoone koos geomeetriline kuju püramiidid (mõnikord ka astmelised või tornikujulised). Püramiide ​​nimetatakse Vana-Egiptuse vaaraode hiiglaslikele hauakambritele 3.-2. aastatuhandel eKr. e., samuti iidsed Ameerika templite postamendid (Mehhikos, Guatemalas, Hondurases, Peruus), mis on seotud kosmoloogiliste kultustega.

Võimalik, et Kreeka sõna"Püramiid" pärineb egiptuse väljendist per-em-us, st terminist, mis tähendab püramiidi kõrgust. Silmapaistev vene egüptoloog V. Struve uskus, et kreeka “puram...j” pärineb Vana-Egiptuse sõnast “p”-mr.

Ajaloost. Olles uurinud Atanasyani autorite õpiku “Geomeetria” materjali. Butuzovi ja teistega saime teada, et: Hulktahukat, mis koosneb n-nurgast A1A2A3 ... An ja n kolmnurgast PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1, nimetatakse püramiidiks. Hulknurk A1A2A3...An on püramiidi alus ja kolmnurgad PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 on püramiidi külgpinnad, P on püramiidi tipp, lõigud PA1, PA2,..., PAn on külgmised ribid.

Seda püramiidi määratlust ei olnud aga alati olemas. Näiteks Vana-Kreeka matemaatik, meieni jõudnud matemaatikateoreetiliste traktaatide autor Euclid defineerib püramiidi kui tahket kuju, mida piiravad tasapinnad, mis koonduvad ühest tasapinnast ühte punkti.

Kuid seda määratlust kritiseeriti juba iidsetel aegadel. Niisiis pakkus Heron välja järgmise püramiidi määratluse: "See on kujund, mida piiravad ühes punktis koonduvad kolmnurgad ja mille alus on hulknurk."

Meie rühm, olles neid definitsioone võrrelnud, jõudis järeldusele, et neil puudub mõiste "vundament" selge sõnastus.

Uurisime neid definitsioone ja leidsime Adrien Marie Legendre'i definitsiooni, kes 1794. aastal oma teoses "Geomeetria elemendid" defineerib püramiidi järgmiselt: "Püramiid on tahke kujund, mis on moodustatud ühes punktis koonduvatest kolmnurkadest, mis lõpevad püramiidi eri külgedel. tasane alus."

Meile tundub, et viimane määratlus annab püramiidist selge ettekujutuse, kuna see me räägime et põhi oleks tasane. Teine püramiidi määratlus ilmus 19. sajandi õpikus: "püramiid on ruuminurk, mida lõikab tasapind."

Püramiid kui geomeetriline keha.

See. Püramiid on hulktahukas, mille üks tahk (põhi) on hulknurk, ülejäänud tahud (küljed) on kolmnurgad, millel on üks ühine tipp (püramiidi tipp).

Püramiidi tipust aluse tasapinnani tõmmatud risti nimetatakse kõrgush püramiidid.

Lisaks suvalisele püramiidile on olemas õige püramiid mille põhjas on korrapärane hulknurk ja kärbitud püramiid.

Joonisel on püramiid PABCD, ABCD on selle alus, PO on selle kõrgus.

Kogupindala püramiid on kõigi selle tahkude pindalade summa.

Sfull = Sside + Smain, Kus Külg– külgpindade pindalade summa.

Püramiidi ruumala leitakse valemiga:

V=1/3Sbas. h, kus Sbas. - baaspind, h- kõrgus.

Tavalise püramiidi külgpinna pindala väljendatakse järgmiselt: külg. =1/2P h, kus P on aluse ümbermõõt, h- külgpinna kõrgus (tavalise püramiidi apoteem). Kui püramiidi lõikab alusega paralleelne tasapind A’B’C’D’, siis:

1) külgribid ja kõrgus jagatakse selle tasapinnaga proportsionaalseteks osadeks;

2) ristlõikes saadakse alusega sarnane hulknurk A’B’C’D’;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Tüvipüramiidi alused– sarnased hulknurgad ABCD ja A`B`C`D`, külgpinnad on trapetsikujulised.

Kõrgus kärbitud püramiid - aluste vaheline kaugus.

Kärbitud maht püramiid leitakse järgmise valemiga:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Tavalise kärbitud püramiidi külgpindala väljendatakse järgmiselt: Sside. = ½(P+P') h, kus P ja P’ on aluste perimeetrid, h- külgpinna kõrgus (tavalise kärbitud pirami apoteem

Püramiidi lõigud.

Püramiidi lõiked selle tippu läbivate tasanditega on kolmnurgad.

Nimetatakse lõiku, mis läbib püramiidi kahte mittekülgnevat külgserva diagonaalne lõik.

Kui lõik läbib punkti külgserval ja aluse küljel, siis on selle jälg püramiidi aluse tasapinnale see külg.

Lõik, mis läbib püramiidi esiküljel asuvat punkti ja antud lõigu jälg alustasandil, tuleb konstruktsioon teha järgmiselt:

· leida etteantud tahu tasandi ja püramiidi lõike jälje lõikepunkt ning määrata see;

konstrueerida läbiv sirgjoon antud punkt ja sellest tulenev ristumispunkt;

· korrake neid samme järgmiste nägude jaoks.

, mis vastab täisnurkse kolmnurga jalgade suhtele 4:3. See jalgade suhe vastab hästi tuntud täisnurksele kolmnurgale külgedega 3:4:5, mida nimetatakse "täiuslikuks", "pühaks" või "Egiptuse" kolmnurgaks. Ajaloolaste sõnul anti “Egiptuse” kolmnurgale maagiline tähendus. Plutarchos kirjutas, et egiptlased võrdlesid universumi olemust "püha" kolmnurgaga; nad võrdlesid sümboolselt vertikaalset jalga abikaasaga, alust naisega ja hüpotenuusi sellega, mis on sündinud mõlemast.

Kolmnurga 3:4:5 puhul on võrdus tõene: 32 + 42 = 52, mis väljendab Pythagorase teoreemi. Kas see polnud see teoreem, mida Egiptuse preestrid tahtsid põlistada, püstitades kolmnurga 3:4:5 alusel püramiidi? Rohkemat on raske leida hea näide illustreerimaks Pythagorase teoreemi, mis oli egiptlastele teada juba ammu enne selle avastamist Pythagorase poolt.

Seega geniaalsed loojad Egiptuse püramiidid püüdsid hämmastada kaugeid järeltulijaid oma teadmiste sügavusega ja saavutasid selle, valides Cheopsi püramiidi peamiseks geomeetriliseks ideeks "kuldse". täisnurkne kolmnurk, ja Khafre püramiidi jaoks - "püha" või "Egiptuse" kolmnurk.

Väga sageli kasutavad teadlased oma uurimistöös kuldse suhtega püramiidide omadusi.

Matemaatikas entsüklopeediline sõnaraamat Kuldse lõigu definitsioon on järgmine - see on harmooniline jaotus, jagamine äärmusliku ja keskmise suhtega - jagades lõigu AB kaheks osaks nii, et selle suurem osa AC on keskmine proportsionaalne kogu lõigu AB ja selle vahel. väiksem osa NE.

Lõigu kuldlõike algebraline määramine AB = a taandub võrrandi a lahendamisele: x = x: (a – x), millest x on ligikaudu võrdne 0,62a. Suhet x saab väljendada murdudena 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kus 2, 3, 5, 8, 13, 21 on Fibonacci arvud.

Lõigu AB kuldlõike geomeetriline konstrueerimine viiakse läbi järgmiselt: punktis B taastatakse risti AB-ga, sellele asetatakse lõik BE = 1/2 AB, A ja E on ühendatud, DE = BE koondatakse ja lõpuks AC = AD, siis täidetakse võrdsus AB: CB = 2:3.

Kuldlõiget kasutatakse sageli kunstiteostes, arhitektuuris ja seda leidub looduses. Erksad näited on Apollo Belvedere skulptuur, Parthenon. Parthenoni ehitamisel kasutati hoone kõrguse ja pikkuse suhet ja see suhe on 0,618. Ka meid ümbritsevad objektid toovad näiteid Kuldse Suhtarvu kohta, näiteks on paljude raamatute köite laiuse ja pikkuse suhe 0,618 lähedal. Arvestades lehtede paigutust taimede ühisel varrel, võib märgata, et iga kahe lehepaari vahel asub kolmas Kuldsel Suhtarvul (slaidid). Igaüks meist kannab kuldset suhet endaga kaasas "kätes" - see on sõrmede falangide suhe.

Tänu mitme matemaatilise papüüruse avastamisele on egüptoloogid õppinud midagi Vana-Egiptuse arvutus- ja mõõtmissüsteemide kohta. Neis sisalduvaid ülesandeid lahendasid kirjatundjad. Üks kuulsamaid on Rhindi matemaatiline papüürus. Neid probleeme uurides said egüptoloogid teada, kuidas muistsed egiptlased nendega hakkama said erinevates kogustes, mis tekkis kaalu, pikkuse ja ruumala mõõtude arvutamisel, kus sageli kasutati murde ja kuidas nad käsitlesid nurki.

Muistsed egiptlased kasutasid nurkade arvutamise meetodit, mis põhines täisnurkse kolmnurga kõrguse ja aluse suhtel. Nad väljendasid mis tahes nurka gradiendi keeles. Kallaku gradienti väljendati täisarvude suhtena, mida nimetatakse "sekundaarseks". Richard Pillins selgitab raamatus Mathematics in the Time of the Pharaohs: „Tavalise püramiidi teine ​​on ükskõik millise nelja kalle. kolmnurksed näod aluse tasapinnani, mõõdetuna n-nda horisontaalühikute arvuga ühe vertikaalse tõusuühiku kohta. Seega on see mõõtühik samaväärne meie kaasaegse kaldenurga kotangensiga. Seetõttu on egiptuse sõna "eraldunud" seotud meie omaga tänapäevane sõna"gradient"".

Püramiidide numbriline võti seisneb nende kõrguse ja aluse suhtes. Praktiliselt on see lihtsaim viis teha malle, mis on vajalikud pidevaks õige kaldenurga kontrollimiseks kogu püramiidi ehituse jooksul.

Egiptoloogid veenaksid meid hea meelega, et iga vaarao ihkas väljendada oma individuaalsust, millest tuleneb ka iga püramiidi kaldenurkade erinevus. Kuid põhjus võib olla ka muu. Võib-olla tahtsid nad kõik kehastada erinevaid sümboolseid assotsiatsioone, mis on peidetud erinevates proportsioonides. Khafre püramiidi nurk (mis põhineb kolmnurgal (3:4:5)) ilmneb aga kolmes ülesandes, mille püramiidid esitavad Rhindi matemaatilises papüüruses. Nii et see suhtumine oli vanadele egiptlastele hästi teada.

Et olla õiglane egüptoloogide suhtes, kes väidavad, et muistsed egiptlased polnud 3:4:5 kolmnurgast teadlikud, ei mainitud hüpotenuusi 5 pikkust kunagi. Kuid püramiide ​​puudutavad matemaatilised probleemid lahendatakse alati sekeda nurga - kõrguse ja aluse suhte - alusel. Kuna hüpotenuusi pikkust kordagi ei mainitud, jõuti järeldusele, et egiptlased ei arvutanud kunagi kolmanda külje pikkust.

Giza püramiidides kasutatud kõrguse ja aluse suhted olid iidsetele egiptlastele kahtlemata teada. Võimalik, et need suhted valiti iga püramiidi jaoks meelevaldselt. See on aga vastuolus numbrisümboolika tähtsusega igat tüüpi egiptuse keeles kujutav kunst. On väga tõenäoline, et sellised suhted olid märkimisväärsed, kuna need väljendasid konkreetseid religioosseid ideid. Teisisõnu, kogu Giza kompleks oli allutatud ühtsele kujundusele, mille eesmärk oli kajastada teatud jumalikku teemat. See selgitaks, miks disainerid valisid kolme püramiidi jaoks erinevad nurgad.

Raamatus The Orion Mystery esitasid Bauval ja Gilbert veenvaid tõendeid, mis seovad Giza püramiide ​​Orioni tähtkujuga, eriti Orioni vöö tähtedega. Sama tähtkuju esineb müüdis Isisest ja Osirisest ning on põhjust käsitleda iga püramiidi kui püramiidi ühe kolmest peamisest jumalusest - Osirise, Isise ja Horuse esindamine.

"GEOMEETRILISED" IMED.

Egiptuse grandioossete püramiidide seas on sellel eriline koht Vaarao Cheopsi suur püramiid (Khufu). Enne kui hakkame analüüsima Cheopsi püramiidi kuju ja suurust, peaksime meeles pidama, millist mõõtmissüsteemi egiptlased kasutasid. Egiptlastel oli kolm pikkusühikut: "küünar" (466 mm), mis oli võrdne seitsme "peopesaga" (66,5 mm), mis omakorda võrdus nelja "sõrmega" (16,6 mm).

Analüüsime Cheopsi püramiidi mõõtmeid (joonis 2), järgides Ukraina teadlase Nikolai Vasjutinski imelises raamatus toodud argumente. Kuldne suhe" (1990).

Enamik teadlasi nõustub, et näiteks püramiidi aluse külje pikkus GF võrdne L= 233,16 m. See väärtus vastab peaaegu täpselt 500 “küünarnukile”. Täielik vastavus 500 “küünarnukile” saavutatakse, kui “küünarnuki” pikkuseks loetakse 0,4663 m.

Püramiidi kõrgus ( H) on teadlaste hinnangul erinevalt 146,6 kuni 148,2 m Ja sõltuvalt püramiidi aktsepteeritud kõrgusest muutuvad kõik selle geomeetriliste elementide suhted. Mis on püramiidi kõrguse hinnangute erinevuste põhjus? Fakt on see, et rangelt võttes on Cheopsi püramiid kärbitud. Selle ülemise platvormi mõõtmed on tänapäeval umbes 10 × 10 m, kuid sajand tagasi oli see 6 × 6 m. Ilmselgelt võeti püramiidi tipp lahti ja see ei vasta algsele.

Püramiidi kõrguse hindamisel on vaja arvesse võtta sellist füüsilist tegurit nagu konstruktsiooni "süvis". Pika aja jooksul kolossaalse rõhu mõjul (ulatudes 500 tonnini 1 m2 alumise pinna kohta) püramiidi kõrgus võrreldes algse kõrgusega vähenes.

Mis oli püramiidi algne kõrgus? Selle kõrguse saab uuesti luua, leides püramiidi põhilise "geomeetrilise idee".

Joonis 2.

1837. aastal mõõtis inglise kolonel G. Wise püramiidi tahkude kaldenurka: see osutus võrdseks a= 51°51". Seda väärtust tunneb enamik teadlasi ka tänapäeval. Määratud nurga väärtus vastab puutujale (tg a), võrdub 1,27306. See väärtus vastab püramiidi kõrguse suhtele AC pooleni selle alusest C.B.(Joon.2), see tähendab A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.

Ja siin ootas teadlasi suur üllatus!.png" width="25" height="24">= 1,272. Selle väärtuse võrdlemine tg väärtusega a= 1,27306, näeme, et need väärtused on üksteisele väga lähedased. Kui võtame nurga a= 51°50", st vähendage seda vaid ühe kaareminuti võrra, seejärel väärtus a võrdub 1,272-ga, see tähendab, et see langeb kokku väärtusega. Tuleb märkida, et 1840. aastal kordas G. Wise oma mõõtmisi ja selgitas, et nurga väärtus a=51°50".

Need mõõtmised viisid teadlased järgmise väga huvitava hüpoteesini: Cheopsi püramiidi kolmnurk ACB põhines seosel AC / C.B. = = 1,272!

Mõelge nüüd täisnurksele kolmnurgale ABC, milles jalgade suhe A.C. / C.B.= (joonis 2). Kui nüüd ristküliku külgede pikkused ABC poolt määratud x, y, z, ja arvestage ka sellega, et suhe y/x= , siis vastavalt Pythagorase teoreemile pikkus z saab arvutada järgmise valemi abil:

Kui võtame vastu x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Joonis 3."Kuldne" täisnurkne kolmnurk.

Täisnurkne kolmnurk, mille küljed on seotud nagu t:kuldne" täisnurkne kolmnurk.

Siis, kui võtta aluseks hüpotees, et Cheopsi püramiidi peamiseks "geomeetriliseks ideeks" on "kuldne" täisnurkne kolmnurk, siis siit saame hõlpsalt arvutada Cheopsi püramiidi "kujundusliku" kõrguse. See on võrdne:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Tuletagem nüüd veel mõned Cheopsi püramiidi seosed, mis tulenevad "kuldsest" hüpoteesist. Eelkõige leiame püramiidi välispinna ja selle aluse pindala suhte. Selleks võtame jala pikkuse C.B.ühiku kohta, see tähendab: C.B.= 1. Aga siis püramiidi aluse külje pikkus GF= 2 ja aluse pindala EFGH saab olema võrdne SEFGH = 4.

Arvutame nüüd Cheopsi püramiidi külgpinna pindala SD. Kuna kõrgus AB kolmnurk AEF võrdne t, siis on külgpinna pindala võrdne SD = t. Siis on püramiidi kõigi nelja külgpinna kogupindala 4 t, ja püramiidi kogu välispinna ja aluse pindala suhe on võrdne kuldse lõikega! See on see - Cheopsi püramiidi peamine geomeetriline mõistatus!

Cheopsi püramiidi "geomeetriliste imede" rühm sisaldab püramiidi erinevate dimensioonide vaheliste suhete tegelikke ja kaugeleulatuvaid omadusi.

Reeglina saadakse need teatud "konstantide", eriti numbri "pi" (Ludolfo arv) otsimisel, mis on võrdne 3,14159...; põhjustel naturaallogaritmid"e" (Neperi arv), võrdne 2,71828...; arv "F", "kuldse lõigu" number, mis võrdub näiteks 0,618... jne.

Võite nimetada näiteks: 1) Herodotose omadus: (Kõrgus)2 = 0,5 art. põhilised x Apothem; 2) V vara. Hind: Kõrgus: 0,5 art. alus = "F" ruutjuur; 3) M. Eisti omadus: Aluse ümbermõõt: 2 Kõrgus = "Pi"; erinevas tõlgenduses - 2 spl. põhilised : Kõrgus = "Pi"; 4) G. Edge omadus: sisse kirjutatud ringi raadius: 0,5 art. põhilised = "F"; 5) K. Kleppischi omand: (Art. main.)2: 2 (Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2 (Art. main. x Apothem) : ((2 art. alus X Apothem) + (art. alus)2). Jne. Saate välja mõelda palju selliseid omadusi, eriti kui ühendate kaks külgnevat püramiidi. Näiteks “A. Arefjevi omadustena” võib mainida, et Cheopsi püramiidi ja Khafre püramiidi ruumalade erinevus on võrdne Mikerini püramiidi kahekordse ruumalaga...

D. Hambidge'i raamatutes "Dünaamiline sümmeetria arhitektuuris" ja M. Gicki "Proportsioonide esteetika looduses ja kunstis" on välja toodud palju huvitavaid punkte, eriti püramiidide ehitamise kohta "kuldse lõike" järgi. Tuletagem meelde, et “kuldsuhe” on lõigu jagamine sellises suhtes, et osa A on sama mitu korda suurem osast B, mitu korda A väiksem kui kogu segment A + B. Suhe A/B on võrdne arvuga “F” == 1,618. .. “Kuldse lõike” kasutamine on näidatud mitte ainult üksikutes püramiidides, vaid ka kogu Giza püramiidide kompleksis.

Kõige kurioossem on aga see, et üks ja seesama Cheopsi püramiid lihtsalt “ei saa” sisaldada nii palju imelisi omadusi. Võttes teatud omaduse ükshaaval, saab selle "sobitada", kuid kõik need ei sobi korraga - need ei lange kokku, vaid lähevad üksteisele vastu. Seega, kui näiteks kõiki omadusi kontrollides võtame algselt püramiidi aluse ühele poole (233 m), siis on ka erinevate omadustega püramiidide kõrgused erinevad. Teisisõnu on olemas teatud püramiidide "perekond", mis on väliselt sarnased Cheopsiga, kuid millel on erinevad omadused. Pange tähele, et "geomeetrilistes" omadustes pole midagi eriti imelist - palju tuleneb puhtalt automaatselt, figuuri enda omadustest. "Imeks" tuleks pidada ainult seda, mis oli muistsete egiptlaste jaoks ilmselgelt võimatu. See hõlmab eelkõige "kosmilisi" imesid, kus Cheopsi püramiidi või Giza püramiidikompleksi mõõtmisi võrreldakse mõne astronoomilise mõõtmisega ja näidatakse "paarisarvud": miljon korda vähem, miljard korda vähem ja nii edasi. Vaatleme mõningaid "kosmilisi" suhteid.

Üks väidetest on: "Kui jagate püramiidi aluse külje aasta täpse pikkusega, saate täpselt 10 miljondikku aastast." maa telg". Arvutage: jagage 233 365-ga, saame 0,638. Maa raadius on 6378 km.

Teine väide on tegelikult eelmise vastand. F. Noetling märkis, et kui kasutada tema enda leiutatud “egiptuse küünart”, siis vastab püramiidi külg “kõige täpsemale kestusele päikeseaasta, väljendatuna päeva täpsusega" - 365 540 903 777.

P. Smithi väide: "Püramiidi kõrgus on täpselt üks miljardik kaugusest Maa ja Päikese vahel." Kuigi tavaliselt võetakse kõrguseks 146,6 m, võttis Smith selle 148,2 m. Tänapäevaste radarimõõtmiste järgi on Maa orbiidi poolpeatelg 149 597 870 + 1,6 km. See on keskmine kaugus Maast Päikeseni, kuid periheelis on see 5 000 000 kilomeetrit väiksem kui afeelis.

Viimane huvitav väide:

"Kuidas seletada, et Cheopsi, Khafre ja Mykerinuse püramiidide massid on omavahel seotud, nagu planeetide Maa, Veenus ja Marss?" Arvutame. Kolme püramiidi massid on: Khafre - 0,835; Cheops - 1000; Mikerin - 0,0915. Kolme planeedi masside suhted: Veenus - 0,815; Maa - 1000; Marss - 0,108.

Niisiis, vaatamata skeptitsismile, märgime väidete ülesehituse üldtuntud harmooniat: 1) püramiidi kõrgus, nagu kosmosesse minev joon, vastab kaugusele Maast Päikeseni; 2) püramiidi aluse külg, mis on "substraadile", see tähendab Maale, vastutab Maa raadiuse ja maa tsirkulatsiooni eest; 3) püramiidi mahud (loe - massid) vastavad Maale lähimate planeetide masside suhtele. Sarnast “šifrit” saab jälgida näiteks Karl von Frischi analüüsitud mesilasekeeles. Siiski hoidume praegu seda teemat kommenteerimast.

PÜRAMIIDI KUJU

Püramiidide kuulus tetraeedriline kuju ei tekkinud kohe. Sküüdid matsid muldmägede - küngaste kujul. Egiptlased ehitasid kivist "künkaid" - püramiide. Esmakordselt juhtus see pärast Ülem- ja Alam-Egiptuse ühendamist, 28. sajandil eKr, kui Kolmanda dünastia rajaja vaarao Djoser (Zoser) seisis silmitsi ülesandega tugevdada riigi ühtsust.

Ja siin mängis ajaloolaste sõnul keskvõimu tugevdamisel olulist rolli kuninga "uus jumalikustamise kontseptsioon". Kuigi kuninglikud matused eristusid suurema hiilgusega, ei erinenud need põhimõtteliselt õukonnaaadlike haudadest, need olid samad ehitised - mastabad. Muumiat sisaldava sarkofaagiga kambri kohale valati väikestest kividest ristkülikukujuline küngas, kuhu see seejärel asetati. väike hoone valmistatud suurtest kiviplokkidest - "mastaba" (araabia keeles - "pink"). Vaarao Djoser püstitas esimese püramiidi oma eelkäija Sanakhti mastaba kohale. See oli astmeline ja oli nähtav üleminekuetapp ühest arhitektuurne vorm teisele, mastabast - püramiidile.

Nii “üleskas” vaarao tark ja arhitekt Imhotep, keda hiljem peeti võluriks ja keda kreeklased samastasid jumal Asclepiusega. Tundus, nagu oleks järjest kuus mastabat püsti pandud. Veelgi enam, esimese püramiidi pindala oli 1125 x 115 meetrit, hinnangulise kõrgusega 66 meetrit (Egiptuse standardite kohaselt - 1000 palmi). Algul plaanis arhitekt ehitada mastaba, kuid mitte pikliku, vaid ruudukujulise plaaniga. Hiljem laiendati, aga kuna pikendus tehti madalamaks, siis tundus, et seal on kaks astet.

Selline olukord arhitekti ei rahuldanud ja tohutu lameda mastaba ülemisele platvormile asetas Imhotep veel kolm, langedes järk-järgult tipu poole. Haud asus püramiidi all.

Teada on veel mitmeid astmelisi püramiide, kuid hiljem läksid ehitajad üle meile tuttavate tetraeedriliste püramiidide ehitamisele. Miks aga mitte kolmnurkne või näiteks kaheksanurkne? Kaudse vastuse annab asjaolu, et peaaegu kõik püramiidid on ideaalselt orienteeritud piki nelja põhisuunda ja seetõttu on neil neli külge. Lisaks oli püramiid "maja", nelinurkse matmiskambri kest.

Mis aga määras nägude kaldenurga? Raamatus "Proportsioonide põhimõte" on sellele pühendatud terve peatükk: "Mis võis määrata püramiidide kaldenurgad." Eelkõige märgitakse, et „kujutis, mille poole suured püramiidid graviteerivad Vana kuningriik- kolmnurk, mille tipus on täisnurk.

Ruumis on see pooloktaeedr: püramiid, mille aluse servad ja küljed on võrdsed, servad on võrdkülgsed kolmnurgad." Teatud kaalutlusi on sellel teemal käsitletud Hambidge'i, Gicki jt raamatutes.

Mis on pooloktaeedri nurga eelis? Arheoloogide ja ajaloolaste kirjelduste kohaselt varisesid mõned püramiidid oma raskuse all kokku. Vaja oli "pikaealisuse nurka", nurk, mis oli energeetiliselt kõige usaldusväärsem. Puhtalt empiiriliselt saab selle nurga võtta mureneva kuiva liiva hunnikus tipunurgast. Kuid täpsete andmete saamiseks peate kasutama mudelit. Võttes neli kindlalt fikseeritud palli, peate neile asetama viienda ja mõõtma kaldenurki. Siin võib aga eksida, seega aitab teoreetiline arvutus: pallide keskpunktid tuleks joontega ühendada (vaimselt). Alus on ruut, mille külg on kahekordne raadius. Ruut on lihtsalt püramiidi alus, mille servade pikkus on samuti võrdne kahekordse raadiusega.

Seega annab pallide tihe pakkimine nagu 1:4 meile tavalise pooloktaeedri.

Miks aga paljud sarnase kuju poole graviteerivad püramiidid seda siiski ei säilita? Tõenäoliselt vananevad püramiidid. Vastupidiselt kuulsale ütlusele:

"Maailmas kardab kõik aega ja aeg kardab püramiide," peavad püramiidide ehitised vananema, neis ei saa ja peaks toimuma mitte ainult välised ilmastikumõjud, vaid ka sisemised "kahanemisprotsessid", mis võivad põhjustada püramiidide langemist. Kokkutõmbumine on võimalik ka seetõttu, et nagu näitas D. Davidovitsi töö, kasutasid iidsed egiptlased lubjalaastudest ehk teisisõnu “betoonist” plokkide valmistamise tehnoloogiat. Just sarnased protsessid võiksid selgitada Kairost 50 km lõuna pool asuva Medumi püramiidi hävimise põhjust. See on 4600 aastat vana, aluse mõõdud 146 x 146 m, kõrgus 118 m. „Miks see nii moonutatud on?“ küsib V. Zamarovsky. „Tavalised viited aja destruktiivsele mõjule ja „kivi kasutamine teiste hoonete jaoks” ei sobi siia.

Lõppude lõpuks on enamik selle plokke ja katteplaadid ja on tänaseni paigal, selle jalamil varemetes." Nagu näeme, panevad mitmed sätted meid isegi arvama, et ka kuulus Cheopsi püramiid "tõmbus kokku". Igal juhul on püramiidid kõigil iidsetel piltidel. osutas...

Püramiidide kuju võidi luua ka imitatsiooni teel: mõned looduslikud proovid, "ime täiuslikkus", ütleme, mõned kristallid oktaeedri kujul.

Sarnased kristallid võivad olla teemant- ja kullakristallid. Iseloomulik suur hulk"kattuvad" märgid selliste mõistete jaoks nagu vaarao, päike, kuld, teemant. Kõikjal – üllas, hiilgav (hiilgav), suurepärane, laitmatu jne. Sarnasused pole juhuslikud.

Päikesekultus, nagu teada, moodustas religiooni olulise osa Iidne Egiptus. "Ükskõik, kuidas me tõlgime suurima püramiidi nime," märgib üks kaasaegsetest juhenditest "The Sky of Khufu" või "The Skyward Khufu", see tähendas, et kuningas on päike. Kui Khufu kujutles end oma jõu säras teiseks päikeseks, siis tema poeg Djedef-Ra sai esimeseks päikeseks. Egiptuse kuningad, kes hakkas end nimetama "Ra pojaks", see tähendab Päikese pojaks. Päikest sümboliseeris peaaegu kõigi rahvaste seas “päikesemetall”, kuld. “Suur heledast kullast ketas” – nii nimetasid egiptlased meie päevavalguseks. Egiptlased teadsid kulda suurepäraselt, teadsid selle looduslikke vorme, kus kullakristallid võivad tekkida oktaeedritena.

"Päikesekivi" - teemant - on siin huvitav ka "vormide näidisena". Teemandi nimi tuli täpselt araabia maailmast "almas" - kõige kõvem, kõige kõvem, hävimatu. Vanad egiptlased tundsid teemanti ja selle omadusi üsna hästi. Mõnede autorite sõnul kasutasid nad puurimiseks isegi teemantlõikuritega pronkstorusid.

Tänapäeval on peamine teemantide tarnija Lõuna-Aafrika Vabariik, kuid teemantide poolest on rikas ka Lääne-Aafrika. Mali Vabariigi territooriumi nimetatakse isegi "Teemantmaaks". Vahepeal elab Mali territooriumil dogon, kellega paleokülastuse hüpoteesi toetajad loodavad palju (vt allpool). Teemandid ei saanud olla iidsete egiptlaste kontaktide põhjuseks selle piirkonnaga. Kuid ühel või teisel viisil on võimalik, et just teemandi- ja kullakristallide oktaeedreid kopeerides jumalikustasid iidsed egiptlased vaaraod, "hävimatud" nagu teemant ja "hiilgavad" nagu kuld, Päikese pojad, mis on võrreldavad ainult looduse imelisema loominguni.

Järeldus:

Olles uurinud püramiidi kui geomeetrilist keha, tutvudes selle elementide ja omadustega, veendusime püramiidi kuju ilu puudutava arvamuse paikapidavuses.

Uurimistöö tulemusena jõudsime järeldusele, et egiptlased, olles kogunud kõige väärtuslikumad matemaatilised teadmised, kehastasid need püramiidis. Seetõttu on püramiid tõesti looduse ja inimese kõige täiuslikum looming.

BIBLIOGRAAFIA

"Geomeetria: õpik. 7-9 klassile. Üldharidus asutused\ jne - 9. väljaanne - M.: Haridus, 1999

Matemaatika ajalugu koolis, M: “Prosveshchenie”, 1982.

Geomeetria 10-11 klass, M: “Valgustus”, 2000. a

Peter Tompkins “Cheopsi suure püramiidi saladused”, M: “Tsentropoligraf”, 2005.

Interneti-ressursid

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Siit leiate põhiteavet püramiidide ning nendega seotud valemite ja mõistete kohta. Kõiki neid õpitakse matemaatika juhendajaga ühtseks riigieksamiks valmistudes.

Mõelge tasapinnale, hulknurgale , lamades selles ja punktis S, mitte lamades selles. Ühendame S kõigi hulknurga tippudega. Saadud hulktahukat nimetatakse püramiidiks. Segmente nimetatakse külgribideks. Hulknurka nimetatakse aluseks ja punkti S on püramiidi tipp. Olenevalt arvust n nimetatakse püramiidi kolmnurkseks (n=3), nelinurkseks (n=4), viisnurkseks (n=5) jne. Kolmnurkse püramiidi alternatiivne nimi on tetraeeder. Püramiidi kõrgus on risti, mis laskub selle tipust aluse tasapinnani.

Püramiidi nimetatakse regulaarseks, kui korrapärane hulknurk ja püramiidi kõrguse alus (risti alus) on selle keskpunkt.

Juhendaja kommentaar:
Ärge ajage segi mõisteid "regulaarne püramiid" ja "regulaarne tetraeedr". Tavalises püramiidis ei pruugi külgservad olla võrdsed aluse servadega, kuid tavalises tetraeedris on kõik 6 serva võrdsed. See on tema määratlus. Lihtne on tõestada, et võrdsus eeldab, et hulknurga keskpunkt P langeb kokku aluse kõrgusega, seega on tavaline tetraeeder korrapärane püramiid.

Mis on apoteem?
Püramiidi apoteem on selle külgpinna kõrgus. Kui püramiid on korrapärane, on kõik selle apoteemid võrdsed. Vastupidine ei vasta tõele.

Matemaatika juhendaja oma terminoloogiast: 80% tööst püramiididega on üles ehitatud kahte tüüpi kolmnurkade kaudu:
1) Sisaldab apoteemi SK ja kõrgust SP
2) Sisaldab külgserva SA ja selle projektsiooni PA

Nendele kolmnurkadele viitamise lihtsustamiseks on matemaatikaõpetajal mugavam kutsuda neist esimene apoteemne, ja teiseks rannikuala. Kahjuks ei leia seda terminoloogiat ühestki õpikust ja õpetaja peab seda ühepoolselt tutvustama.

Püramiidi ruumala valem:
1) , kus on püramiidi aluse pindala ja püramiidi kõrgus
2) , kus on sisse kirjutatud kera raadius ja püramiidi kogupinna pindala.
3) , kus MN on kaugus mis tahes kahe ristuva serva vahel ja on rööpküliku pindala, mille moodustavad ülejäänud nelja serva keskpunktid.

Püramiidi kõrguse aluse omadus:

Punkt P (vt joonis) langeb kokku püramiidi põhjas oleva sisse kirjutatud ringi keskpunktiga, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:
1) Kõik apoteemid on võrdsed
2) Kõik külgpinnad on aluse suhtes võrdselt kallutatud
3) Kõik apoteemid on püramiidi kõrgusele võrdselt kaldu
4) Püramiidi kõrgus on kõigi külgpindade suhtes võrdselt kaldu

Matemaatika juhendaja kommentaar: Pange tähele, et kõigil punktidel on üks ühine joon üldine vara: nii või teisiti on külgmised näod kõikjal kaasatud (apoteemid on nende elemendid). Seetõttu saab juhendaja pakkuda vähem täpset, kuid õppimiseks mugavamat sõnastust: punkt P langeb kokku kirjutatud ringi keskpunktiga, püramiidi põhjaga, kui selle külgpindade kohta on võrdne teave. Selle tõestamiseks piisab, kui näidata, et kõik apoteemi kolmnurgad on võrdsed.

Punkt P langeb kokku püramiidi aluse lähedale piiritletud ringi keskpunktiga, kui on tõene üks kolmest tingimusest:
1) Kõik külgmised servad on võrdsed
2) Kõik külgmised ribid on aluse suhtes võrdselt kaldu
3) Kõik külgmised ribid on kõrgusele võrdselt kaldu