Nelinurkse püramiidi tipp. Püramiid

• apoteem- korrapärase püramiidi külgpinna kõrgus, mis on tõmmatud selle tipust (lisaks on apoteem ristnurga pikkus, mis on langetatud korrapärase hulknurga keskelt ühele küljele);
• külgmised näod (ASB, BSC, CSD, DSA) - ülaosas koonduvad kolmnurgad;
• külgmised ribid ( AS , BS , CS , D.S. ) - külgpindade ühised küljed;
• püramiidi tipp (v. S) - külgservi ühendav punkt, mis ei asu aluse tasapinnas;
• kõrgus ( NII ) - risti segment, mis tõmmatakse läbi püramiidi ülaosa selle aluse tasapinnani (sellise segmendi otsad on püramiidi tipp ja risti alus);
• püramiidi diagonaallõige- püramiidi osa, mis läbib aluse tipu ja diagonaali;
• alus (ABCD) on hulknurk, kuhu püramiidi tipp ei kuulu.

püramiidi omadused.

1. Kui kõik külgmised servad on ühesuurused, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringjoont lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskmesse;
• külgmised ribid moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad;
• lisaks kehtib ka vastupidi, st. kui külgmised ribid moodustuvad alustasandiga võrdsed nurgad, või kui ringjoont saab kirjeldada püramiidi aluse lähedal ja püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele, mis tähendab, et püramiidi kõik külgmised servad on ühesuurused.

2. Kui külgpindade kaldenurk on aluse tasapinna suhtes sama väärtusega, siis:

• püramiidi aluse lähedal on ringi lihtne kirjeldada, samas kui püramiidi tipp projitseeritakse selle ringi keskele;
• külgpindade kõrgused on võrdse pikkusega;
• külgpinna pindala on ½ aluse perimeetri ja külgpinna kõrguse korrutis.

3. Sfääri saab kirjeldada püramiidi lähedal, kui püramiidi aluseks on hulknurk, mille ümber saab kirjeldada ringjoont (vajalik ja piisav tingimus). Sfääri keskpunkt on nende tasandite lõikepunkt, mis läbivad nendega risti püramiidi servade keskpunkte. Sellest teoreemist järeldame, et nagu iga kolmnurga ja iga kolmnurga kohta õige püramiid sfääri saab kirjeldada.

4. Püramiidi saab sisse kirjutada kera, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad 1. punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Lihtsaim püramiid.

Püramiidi aluse nurkade arvu järgi jagunevad need kolmnurkseteks, nelinurkseteks jne.

Püramiid tahe kolmnurkne, nelinurkne ja nii edasi, kui püramiidi alus on kolmnurk, nelinurk jne. kolmnurkne püramiid on tetraeeder – tetraeeder. Nelinurkne - viiseeder ja nii edasi.

Õpilased puutuvad püramiidi kontseptsiooniga kokku ammu enne geomeetria õppimist. Süüdistada kuulsaid suuri Egiptuse maailmaimesid. Seetõttu kujutab enamik õpilasi selle imelise hulktahuka uurimist alustades seda juba selgelt ette. Kõik ülaltoodud sihikud on õiges vormis. Mida parempoolne püramiid, ja millised omadused sellel on ning sellest räägitakse edaspidi.

Kokkupuutel

Definitsioon

Püramiidi määratlusi on palju. Alates iidsetest aegadest on see olnud väga populaarne.

Näiteks defineeris Euclid seda kui tahket kujundit, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.

Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see oli kujund on baas ja lennukid sisse kolmnurgad, koonduvad ühel hetkel.

Toetudes kaasaegne tõlgendus, püramiid on kujutatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurkse kujuga kujundist, millel on üks ühine punkt.

Vaatame lähemalt, Millistest elementidest see koosneb?

• k-gon loetakse joonise aluseks;
• 3-nurksed figuurid ulatuvad küljeosa külgedena välja;
• ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse ülaosaks;
• kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
• kui sirgjoon on ülaosast joonise tasapinnale langetatud 90 kraadise nurga all, siis on selle siseruumis olev osa püramiidi kõrgus;
• mis tahes külgelemendis meie hulktahuka küljes saate joonistada risti, mida nimetatakse apoteemiks.

Servade arv arvutatakse valemiga 2*k, kus k on k-nurga külgede arv. Kui palju tahkusid on püramiidi sarnasel hulktahukal, saab määrata avaldise k + 1 abil.

Tähtis! Korrapärase kujuga püramiid on stereomeetriline kujund, mille alustasand on võrdsete külgedega k-gon.

Põhiomadused

Õige püramiid omab palju omadusi mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:

1. Alus on õige kujuga kujund.
2. Püramiidi servad, mis piiravad külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
3. Külgelemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
4. Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskele, samal ajal kui see on sisse kirjutatud ja kirjeldatava keskpunkt.
5. Kõik külgmised ribid on kallutatud aluspinna suhtes sama nurga all.
6. Kõigil külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.

Tänu kõigile loetletud omadustele on elementide arvutuste tegemine oluliselt lihtsustatud. Ülaltoodud omaduste põhjal pöörame tähelepanu kaks märki:

1. Kui hulknurk mahub ringi, on külgpinnad alusega võrdsed nurgad.
2. Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust lähtuvad püramiidi servad ühepikkused ja võrdsed nurgad alusega.

Väljak põhineb

Regulaarne nelinurkne püramiid - ruudul põhinev hulktahukas.

Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.

Tasapinnal on kujutatud ruut, kuid need põhinevad kõigil korrapärase nelinurga omadustel.

Näiteks kui on vaja ühendada ruudu külg selle diagonaaliga, siis kasutatakse järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.

Põhineb tavalisel kolmnurgal

Korrapärane kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille alus on korrapärane 3-nurkne.

Kui alus on tavaline kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.

Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:

• ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
• kõigi sisepindade väärtus on samuti 60 kraadi;
• mis tahes nägu võib toimida alusena;
• joonise sees on võrdsed elemendid.

Hulktahuka lõiked

Igas hulktahukas on mitut tüüpi sektsioone lennuk. Sageli töötavad nad kooli geomeetria kursusel kahega:

• aksiaalne;
• paralleelselt.

Telglõik saadakse polüeedri lõikumisel tasandiga, mis läbib tippu, külgservi ja telge. Sel juhul on teljeks tipust tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.

Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.

Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, siis on tulemuseks teine ​​variant. Sel juhul on meil taustaga sarnane joonis.

Näiteks kui alus on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksema suurusega.

Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutatakse jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.

Kui tasapind tõmmatakse paralleelselt alusega ja see lõikab ära ülemine osa hulktahukas, siis saadakse alumises osas tavaline kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka alused on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgmised näod võrdhaarsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.

Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja kõrgus joonestada telglõikes ehk trapetsis.

Pinnaalad

Peamised geomeetriaülesanded, mida tuleb kooli geomeetria kursusel lahendada, on püramiidi pindala ja ruumala leidmine.

Pindala on kahte tüüpi:

• külgmiste elementide pindala;
• kogu pinna pindala.

Pealkirjast endast on aru saada, millega tegu. Külgpind sisaldab ainult külgmisi elemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:

1. Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str=1/2(aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
2. Külgtasapindade arv sõltub aluses oleva k-goni tüübist. Näiteks tavalisel nelinurksel püramiidil on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus 4a=POS, kus POS on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2 * Rosn on selle poolperimeeter.
3. Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgelementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega: Sside = Rosn * L.

Ruut täispind püramiid koosneb külgtasapindade ja aluse pindalade summast: Sp.p = Sside + Sbase.

Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.

Tavalise püramiidi ruumala on võrdne põhitasandi pindala ja kõrguse korrutisega jagatuna kolmega: V=1/3*Sbase*H, kus H on hulktahuka kõrgus.

Mis on geomeetrias tavaline püramiid

Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused

Kolmnurkne püramiid on kolmnurgal põhinev püramiid. Selle püramiidi kõrgus on risti, mis on langetatud püramiidi tipust selle aluste poole.

Püramiidi kõrguse leidmine

Kuidas leida püramiidi kõrgust? Väga lihtne! Mis tahes kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks võite kasutada mahuvalemit: V = (1/3)Sh, kus S on aluse pindala, V on püramiidi ruumala, h on selle kõrgus. Sellest valemist tuletage kõrgusvalem: kolmnurkse püramiidi kõrguse leidmiseks peate püramiidi ruumala korrutama 3-ga ja jagama saadud väärtuse baaspinnaga, see on: h \u003d (3V ) / S. Kuna kolmnurkse püramiidi alus on kolmnurk, saate kolmnurga pindala arvutamiseks kasutada valemit. Kui teame: kolmnurga S pindala ja selle külje z, siis pindalavalemi S=(1/2)γh järgi: h = (2S)/γ, kus h on püramiidi kõrgus, γ on kolmnurga serv; nurk kolmnurga külgede ja kahe külje vahel, kasutades järgmist valemit: S = (1/2)γφsinQ, kus γ, φ on kolmnurga küljed, leiame kolmnurga pindala. Nurga Q siinuse väärtust tuleb vaadata siinuste tabelist, mis on Internetis. Järgmisena asendame pindala väärtuse kõrguse valemiga: h = (2S)/γ. Kui ülesanne nõuab kolmnurkpüramiidi kõrguse arvutamist, siis on püramiidi ruumala juba teada.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi, st püramiidi, mille kõik tahud on võrdkülgsed kolmnurgad, kõrgus, teades serva γ suurust. Sel juhul on püramiidi servad võrdkülgsete kolmnurkade küljed. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on: h = γ√(2/3), kus γ on võrdkülgse kolmnurga serv, h on püramiidi kõrgus. Kui aluse pindala (S) on teadmata ja antud on vaid hulktahuka serva pikkus (γ) ja ruumala (V), siis tuleb eelmise sammu valemis vajalik muutuja asendada. selle ekvivalendiga, mida väljendatakse serva pikkusena. Kolmnurga pindala (tavaline) võrdub 1/4 selle kolmnurga külje pikkuse korrutisega, ruudus 3 ruutjuurega. Asendame selle valemi eelmise valemi aluspinna asemel , ja saame järgmise valemi: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Tetraeedri ruumala saab väljendada selle serva pikkusega, siis saate joonise kõrguse arvutamise valemist eemaldada kõik muutujad ja jätta ainult külje kolmnurkne nägu arvud. Sellise püramiidi ruumala saab arvutada, jagades korrutisest 12-ga selle esikülje pikkuse kuubiku ruutjuurega 2.

Asendame selle avaldise eelmise valemiga, saame arvutamiseks järgmise valemi: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. Samuti saab sfääri kirjutada korrapärase kolmnurkse prisma ja teades ainult sfääri raadiust (R), saate leida tetraeedri kõrguse. Tetraeedri serva pikkus on: γ = 4R/√6. Asendame muutuja γ selle avaldisega eelmises valemis ja saame valemi: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Sama valemi saab ka teades tetraeedrisse kantud ringi raadiust (R). Sel juhul võrdub kolmnurga serva pikkus 12 vahelise suhtega ruutjuur 6 ja raadiusega. Asendame selle avaldise eelmise valemiga ja saame: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kuidas leida tavalise nelinurkse püramiidi kõrgust

Et vastata küsimusele, kuidas leida püramiidi kõrguse pikkust, peate teadma, mis on tavaline püramiid. Nelinurkne püramiid on püramiid, mis põhineb nelinurgal. Kui ülesande tingimustes on meil: püramiidi ruumala (V) ja aluse (S) pindala, siis on hulktahuka kõrguse (h) arvutamise valem järgmine - jagage maht, mis on korrutatud 3-ga, pindalaga S: h \u003d (3V) / S. Püramiidi ruudukujulise aluse korral, mille ruumala (V) ja külje pikkus on γ, asendage ala (S) eelmises valemis külje pikkuse ruuduga: S = γ 2 ; H = 3 V/γ2. Korrapärase püramiidi kõrgus h = SO läbib täpselt ringi keskpunkti, mis on ümbritsetud aluse lähedal. Kuna selle püramiidi alus on ruut, on punkt O diagonaalide AD ja BC lõikepunkt. Meil on: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Edasi leiame täisnurksest kolmnurgast SOC (Pythagorase teoreemi järgi): SO = √(SC 2 -OC 2). Nüüd teate, kuidas leida tavalise püramiidi kõrgust.

Kolmemõõtmeline kujund, mis sageli ilmub geomeetrilised probleemid, on püramiid. Selle klassi kõigist figuuridest on kõige lihtsam kolmnurkne. Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult õige põhivalemeid ja omadusi

Figuuri geomeetrilised esitused

Enne tavalise kolmnurkse püramiidi omaduste käsitlemist vaatame lähemalt, millisest kujundist me räägime.

Oletame, et kolmemõõtmelises ruumis on suvaline kolmnurk. Valime selles ruumis mis tahes punkti, mis ei asu kolmnurga tasapinnal, ja ühendame selle kolmnurga kolme tipuga. Saime kolmnurkse püramiidi.

See koosneb neljast küljest, mis kõik on kolmnurgad. Punkte, kus kolm tahku kohtuvad, nimetatakse tippudeks. Figuuril on neid ka neli. Kahe tahu ristumisjooned on servad. Vaadeldaval püramiidil on 6 ribi.. Alloleval joonisel on selle joonise näide.

Kuna figuuri moodustavad neli külge, nimetatakse seda ka tetraeedriks.

Õige püramiid

Eespool vaadeldi suvalist kolmnurkse alusega kujundit. Oletame nüüd, et tõmbame püramiidi tipust selle aluse külge risti. Seda segmenti nimetatakse kõrguseks. On ilmne, et kulutada on võimalik 4 erinevad kõrgused figuuri jaoks. Kui kõrgus lõikub kolmnurkse alusega geomeetrilises keskpunktis, siis nimetatakse sellist püramiidi sirgeks püramiidiks.

Sirget püramiidi, mille alus on võrdkülgne kolmnurk, nimetatakse korrapäraseks püramiidiks. Tema jaoks moodustavad kõik kolm kolmnurka külgpind figuurid on võrdkülgsed ja üksteisega võrdsed. Tavalise püramiidi erijuhtum on olukord, kus kõik neli külge on võrdkülgsed identsed kolmnurgad.

Mõelge tavalise kolmnurkse püramiidi omadustele ja esitage selle parameetrite arvutamiseks sobivad valemid.

Aluse külg, kõrgus, külgserv ja apoteem

Kõik kaks loetletud parameetrit määravad üheselt ülejäänud kaks omadust. Anname valemid, mis ühendavad nimetatud koguseid.

Oletame, et korrapärase kolmnurkse püramiidi aluse külg on a. Selle külgserva pikkus on võrdne b-ga. Mis saab olema tavalise kolmnurkse püramiidi ja selle apoteemi kõrgus?

Kõrguse h jaoks saame avaldise:

See valem tuleneb Pythagorase teoreemist, mille jaoks on külgserv, kõrgus ja 2/3 aluse kõrgusest.

Püramiidi apoteem on mis tahes külgmise kolmnurga kõrgus. Apoteema a b pikkus on:

a b \u003d √ (b 2 - a 2/4)

Nendest valemitest on näha, et olenemata kolmnurkse korrapärase püramiidi aluse küljest ja selle külgserva pikkusest, on apoteem alati suurem kui püramiidi kõrgus.

Esitatud kaks valemit sisaldavad kõiki kõnealuse joonise nelja lineaarset tunnust. Seetõttu leiate neist kahest teadaolevast ülejäänu, lahendades süsteemi kirjutatud võrdustest.

figuuri maht

Absoluutselt iga püramiidi (sealhulgas kaldpüramiidi) jaoks saab sellega piiratud ruumi ruumala määrata, teades kujundi kõrgust ja selle aluse pindala. Vastav valem näeb välja selline:

Rakendades selle avaldise kõnealusele joonisele, saame järgmise valemi:

Kus korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on h ja selle aluse külg on a.

Pole keeruline saada tetraeedri ruumala valemit, mille kõik küljed on üksteisega võrdsed ja esindavad võrdkülgseid kolmnurki. Sel juhul määratakse joonise maht järgmise valemiga:

See tähendab, et selle määrab üheselt külje a pikkus.

Pindala

Jätkame kolmnurkse korrapärase püramiidi omaduste käsitlemist. kogupindala Figuuri kõigist tahkudest nimetatakse selle pindalaks. Viimast on mugav uurida vastavat arengut arvestades. Alloleval joonisel on näha, kuidas näeb välja tavaline kolmnurkne püramiid.

Oletame, et teame joonise kõrgust h ja aluse a külge. Siis on selle aluse pindala võrdne:

Iga õpilane saab selle avaldise, kui ta mäletab, kuidas leida kolmnurga pindala, ja võtab arvesse ka seda, et võrdkülgse kolmnurga kõrgus on ka poolitaja ja mediaan.

Kolme identse võrdhaarse kolmnurga moodustatud külgpinna pindala on:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

See võrdsus tuleneb püramiidi apoteema väljendusest aluse kõrguse ja pikkuse osas.

Joonise kogupindala on:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Pange tähele, et tetraeedri puhul, mille kõik neli külge on samad võrdkülgsed kolmnurgad, on pindala S võrdne:

Korrapärase kärbitud kolmnurkpüramiidi omadused

Kui vaadeldava kolmnurkpüramiidi tipp lõigatakse ära alusega paralleelse tasapinnaga, siis ülejäänud Alumine osa nimetatakse kärbitud püramiidiks.

Kolmnurkse aluse puhul saadakse kirjeldatud lõikemeetodi tulemusena uus kolmnurk, mis on samuti võrdkülgne, kuid mille küljepikkus on väiksem kui aluskülg. Allpool on näidatud kärbitud kolmnurkne püramiid.

Näeme, et see arv on juba piiratud kahe kolmnurkse aluse ja kolme võrdhaarse trapetsiga.

Oletame, et saadud kujundi kõrgus on h, alumise ja ülemise aluse külgede pikkused on vastavalt a 1 ja a 2 ning apoteem (trapetsi kõrgus) on võrdne a b-ga. Seejärel saab kärbitud püramiidi pindala arvutada järgmise valemiga:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4* (a 1 2 + a 2 2)

Siin on esimene liige külgpinna pindala, teine ​​termin on kolmnurksete aluste pindala.

Arvutatakse joonise maht järgmisel viisil:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 * a 2)

Kärbitud püramiidi omaduste ühemõtteliseks määramiseks on vaja teada selle kolme parameetrit, mida näitavad ülaltoodud valemid.

Definitsioon. Külg nägu- see on kolmnurk, mille üks nurk asub püramiidi tipus ja selle vastaskülg langeb kokku aluse (hulknurga) küljega.

Definitsioon. Külgmised ribid on külgpindade ühised küljed. Püramiidil on nii palju servi kui hulknurki.

Definitsioon. püramiidi kõrgus on püramiidi tipust põhja langenud risti.

Definitsioon. Apoteem- see on püramiidi külgpinna risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse küljele.

Definitsioon. Diagonaalne lõige- see on püramiidi läbilõige tasapinnast, mis läbib püramiidi tippu ja aluse diagonaali.

Definitsioon. Õige püramiid- See on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk ja kõrgus langeb aluse keskele.

Püramiidi ruumala ja pindala

Valem. püramiidi maht läbi aluse pindala ja kõrgus:

püramiidi omadused

Kui kõik külgservad on võrdsed, saab püramiidi aluse ümber piirata ringi ja aluse keskpunkt ühtib ringi keskpunktiga. Samuti läbib ülevalt alla lastud risti aluse (ringi) keskpunkti.

Kui kõik külgmised ribid on võrdsed, on need alustasandi suhtes samade nurkade all.

Külgmised ribid on võrdsed, kui nad moodustavad alustasandiga võrdsed nurgad või kui saab kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse.

Kui külgpinnad on aluse tasapinna suhtes ühe nurga all kallutatud, saab püramiidi põhja kirjutada ringi ja püramiidi tipp projitseeritakse selle keskmesse.

Kui külgpinnad on alustasapinna suhtes ühe nurga all kaldu, siis on külgpindade apoteemid võrdsed.

Tavalise püramiidi omadused

1. Püramiidi tipp on aluse kõigist nurkadest võrdsel kaugusel.

2. Kõik külgmised servad on võrdsed.

3. Kõik külgmised ribid on aluse suhtes sama nurga all.

4. Kõikide külgpindade apoteemid on võrdsed.

5. Kõikide külgpindade pindalad on võrdsed.

6. Kõigil tahkudel on samad kahetahulised (tasapinnalised) nurgad.

7. Püramiidi ümber saab kirjeldada kera. Kirjeldatud sfääri keskpunkt on servade keskosa läbivate perpendikulaaride lõikepunkt.

8. Püramiidi saab sisse kirjutada kera. Sissekirjutatud sfääri keskpunkt on serva ja aluse vahelisest nurgast lähtuvate poolitajate lõikepunkt.

9. Kui sissekirjutatud sfääri keskpunkt ühtib piiritletud sfääri keskpunktiga, siis on tipu tasanurkade summa π või vastupidi, üks nurk on võrdne π / n, kus n on arv nurgad püramiidi põhjas.

Püramiidi seos sfääriga

Püramiidi ümber olevat kera saab kirjeldada siis, kui püramiidi põhjas asub hulktahukas, mille ümber saab kirjeldada ringi (vajalik ja piisav tingimus). Kera keskpunkt on püramiidi külgmiste servade keskpunkte risti läbivate tasapindade lõikepunkt.

Sfääri saab alati kirjeldada mis tahes kolmnurkse või korrapärase püramiidi ümber.

Kera saab püramiidi sisse kirjutada, kui püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitustasandid ristuvad ühes punktis (vajalik ja piisav tingimus). Sellest punktist saab sfääri keskpunkt.

Püramiidi ühendus koonusega

Koonust nimetatakse püramiidi sissekirjutatuks, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on kantud püramiidi põhja.

Püramiidi saab kirjutada koonuse, kui püramiidi apoteemid on võrdsed.

Koonust nimetatakse ümber püramiidi, kui nende tipud langevad kokku ja koonuse põhi on ümbritsetud ümber püramiidi aluse.

Püramiidi ümber olevat koonust saab kirjeldada, kui kõik püramiidi külgservad on üksteisega võrdsed.

Püramiidi ühendus silindriga

Püramiidi kohta öeldakse, et see on silindrisse kantud, kui püramiidi tipp asub silindri ühel alusel ja püramiidi põhi on kantud silindri teisele alusele.

Silindri saab püramiidi ümber piirata, kui püramiidi aluse ümber saab piirata ringi.

Tetraeedril on neli tahku ja neli tippu ja kuus serva, kus kahel serval pole ühiseid tippe, kuid need ei puutu kokku.

Iga tipp koosneb kolmest tahust ja servast, mis moodustavad kolmnurkne nurk.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab tetraeedri tippu vastaskülje keskpunktiga tetraeedri mediaan(GM).

Bimediaan nimetatakse lõiguks, mis ühendab vastasservade keskpunkte, mis ei puutu kokku (KL).

Kõik tetraeedri bimediaanid ja mediaanid lõikuvad ühes punktis (S). Sel juhul jagatakse bimediaanid pooleks ja mediaanid suhtega 3:1, alustades ülalt.

Definitsioon. Terava nurgaga püramiid on püramiid, mille apoteem on üle poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. nüri püramiid on püramiid, mille apoteem on alla poole aluse külje pikkusest.

Definitsioon. korrapärane tetraeeder Tetraeeder, mille neli tahku on võrdkülgsed kolmnurgad. See on üks viiest korrapärasest hulknurgast. Tavalises tetraeedris on kõik kahetahulised nurgad (tahkude vahel) ja kolmnurksed nurgad (tipu juures) võrdsed.

Definitsioon. Ristkülikukujuline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, mille tipus on kolme serva vahel täisnurk (servad on risti). Moodustuvad kolm nägu ristkülikukujuline kolmnurkne nurk ja servad on täisnurksed kolmnurgad, ja alus on suvaline kolmnurk. Mis tahes näo apoteem on võrdne poole aluse küljega, millele apoteem langeb.

Definitsioon. Isoeedriline tetraeeder Nimetatakse tetraeedrit, mille külgpinnad on üksteisega võrdsed ja alus on korrapärane kolmnurk. Sellise tetraeedri tahud on võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon. Ortotsentriline tetraeeder nimetatakse tetraeedrit, milles kõik kõrgused (perpendikulaarid), mis on langetatud ülalt vastasküljele, ristuvad ühes punktis.

Definitsioon. tähe püramiid Nimetatakse hulktahukat, mille alus on täht.