Kuidas kallet leida.

Eelmises peatükis näidati, et valides tasapinnal kindla koordinaadisüsteemi, saame vaadeldava sirge punkte iseloomustavaid geomeetrilisi omadusi analüütiliselt väljendada hetkekoordinaatide vahelise võrrandiga. Nii saame sirge võrrandi. Selles peatükis vaadeldakse sirgjoonelisi võrrandeid.

Descartes'i koordinaatides sirge võrrandi loomiseks peate kuidagi määrama tingimused, mis määravad selle asukoha koordinaatide telgede suhtes.

Kõigepealt tutvustame sirge nurkkoefitsiendi mõistet, mis on üks sirge asukohta tasapinnal iseloomustavatest suurustest.

Nimetagem sirge kaldenurka Ox-telje suhtes nurka, mille võrra on vaja Ox-telge pöörata nii, et see ühtiks antud sirgega (või oleks sellega paralleelne). Nagu tavaliselt, arvestame nurka, võttes arvesse märki (märk määratakse pöörlemissuuna järgi: vastupäeva või päripäeva). Kuna Hrja telje täiendav pööramine 180° nurga all joondab selle uuesti sirgjoonega, ei saa sirgjoone kaldenurka telje suhtes üheselt valida (tähtaja piires, kordne).

Selle nurga puutuja määratakse üheselt (kuna nurga muutmine ei muuda selle puutujat).

Sirge kaldenurga puutujat Ox-telje suhtes nimetatakse sirge nurgakoefitsiendiks.

Nurgakoefitsient iseloomustab sirgjoone suunda (me ei tee neil kahel vastastikku vahet vastassuunas sirge). Kui kalle sirge võrdne nulliga, siis on sirgjoon paralleelne x-teljega. Positiivse nurkkoefitsiendi korral on sirge kaldenurk Ox-telje suhtes terav (vaatame siin kaldenurga väikseimat positiivset väärtust) (joonis 39); Veelgi enam, mida suurem on nurgategur, seda suurem on selle kaldenurk härja telje suhtes. Kui nurgakoefitsient on negatiivne, on sirge kaldenurk Ox-telje suhtes nüri (joonis 40). Pange tähele, et Ox-teljega risti asetseval sirgel ei ole nurgakoefitsienti (nurga puutujat ei eksisteeri).

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Õppige võtma funktsioonide tuletisi. Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud punktis, mis asub selle funktsiooni graafikul. Sel juhul võib graafik olla kas sirge või kõverjoon. See tähendab, et tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust konkreetsel ajahetkel. Pea meeles üldreeglid, mille abil võetakse tuletised, ja alles siis jätkake järgmise sammuga.

• Loe artiklit.
• Kuidas võtta kõige lihtsamad tuletised, näiteks tuletis eksponentsiaalvõrrand, kirjeldatud. Järgmistes etappides esitatud arvutused põhinevad seal kirjeldatud meetoditel.

Õppige eristama probleeme, mille puhul tuleb kaldekoefitsient arvutada funktsiooni tuletise kaudu. Probleemid ei nõua alati funktsiooni tõusu või tuletise leidmist. Näiteks võidakse teil paluda leida funktsiooni muutumise kiirus punktis A(x,y). Samuti võidakse teil paluda leida puutuja kalle punktis A(x,y). Mõlemal juhul on vaja võtta funktsiooni tuletis.

Sirge y=f(x) puutub joonisel näidatud graafikuga punktis x0, kui see läbib punkti koordinaatidega (x0; f(x0)) ja sellel on nurgategur f"(x0). selline koefitsient, Teades puutuja omadusi, pole see keeruline.

Sa vajad

• - matemaatika teatmeteos;
• - lihtne pliiats;
• - märkmik;
• - kraadiklaas;
• - kompass;
• - pliiats.

Juhised

Kui väärtust f‘(x0) ei eksisteeri, siis puutujat pole või see jookseb vertikaalselt. Seda silmas pidades on funktsiooni tuletise olemasolu punktis x0 tingitud funktsiooni graafiku mittevertikaalse puutuja olemasolust punktis (x0, f(x0)). Sel juhul on puutuja nurkkoefitsient võrdne f "(x0). Seega saab selgeks tuletise geomeetriline tähendus - puutuja nurkkoefitsiendi arvutamine.

Joonistage täiendavad puutujad, mis puutuksid kokku funktsiooni graafikuga punktides x1, x2 ja x3, ning märkige ka nende puutujate moodustatud nurgad x-teljega (seda nurka arvestatakse positiivses suunas teljelt kuni puutuja joon). Näiteks nurk, st α1, on terav, teine ​​(α2) on nüri ja kolmas (α3) on null, kuna puutuja on paralleelne OX-teljega. Sel juhul on nürinurga puutuja negatiivne, teravnurga puutuja on positiivne ja tg0 korral on tulemus null.

Märge

Määrake puutuja poolt moodustatud nurk õigesti. Selleks kasutage kraadiklaasi.

Abistavad nõuanded

Kaks kaldjoont on paralleelsed, kui nende nurkkoefitsiendid on üksteisega võrdsed; risti, kui nende puutujate nurkkoefitsientide korrutis on võrdne -1.

Allikad:

• Funktsiooni graafiku puutuja

Koosinus, nagu siinus, klassifitseeritakse "otseseks" trigonomeetriliseks funktsiooniks. Tangens (koos kotangensiga) klassifitseeritakse teiseks paariks, mida nimetatakse tuletisteks. Nende funktsioonide jaoks on mitu definitsiooni, mis võimaldavad leida puutuja, mille annab teadaolev väärtus sama väärtusega koosinus.

Juhised

Lahutage ühtsuse jagatis väärtusest, mis on tõstetud antud nurga koosinuseni, ja eraldage tulemusest ruutjuur – see on nurga puutuja väärtus, väljendatuna koosinusega: tan(α)=√(1- 1/(cos(α))²) . Pange tähele, et valemis on koosinus murdosa nimetajas. Nulliga jagamise võimatus välistab selle avaldise kasutamise nurkade puhul, mis on võrdsed 90°, aga ka nende nurkade puhul, mis erinevad sellest väärtusest arvude võrra, mis on 180° kordsed (270°, 450°, -90° jne).

On olemas ka alternatiivne viis puutuja arvutamine teadaoleva koosinusväärtuse alusel. Seda saab kasutada, kui teiste kasutamisel pole piiranguid. Selle meetodi rakendamiseks määrake esmalt nurga väärtus teadaoleva koosinusväärtuse põhjal – seda saab teha kaarekoosinusfunktsiooni abil. Seejärel arvutage lihtsalt saadud väärtuse nurga puutuja. IN üldine vaade selle algoritmi saab kirjutada järgmiselt: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Samuti on olemas eksootiline variant, mis kasutab koosinuse ja puutuja määratlust täisnurkse kolmnurga teravnurkade kaudu. Selles määratluses vastab koosinus vaadeldava nurgaga külgneva jala pikkuse ja hüpotenuusi pikkuse suhtele. Teades koosinuse väärtust, saate valida nende kahe külje vastavad pikkused. Näiteks kui cos(α) = 0,5, siis võib külgneva väärtuseks võtta 10 cm ja hüpotenuusiks 20 cm. Konkreetsed numbrid ei oma siin tähtsust – saate samad ja õiged numbrid mis tahes samade väärtustega. Seejärel määrake Pythagorase teoreemi abil puuduva külje pikkus - vastasjalg. See saab olema võrdne ruutjuur ruudukujulise hüpotenuusi pikkuste erinevusest ja kuulus jalg: √(20²–10²)=√300. Definitsiooni järgi vastab puutuja vastas- ja külgnevate jalgade pikkuste suhtele (√300/10) – arvuta see välja ja saad leitud puutuja väärtuse klassikalise koosinuse definitsiooni abil.

Allikad:

• koosinus läbi puutuja valemi

Üks neist trigonomeetrilised funktsioonid, mida enamasti tähistatakse tähtedega tg, kuigi leidub ka tähistusi tan. Lihtsaim viis puutuja esitamiseks on siinussuhe nurk selle koosinusesse. See on paaritu perioodiline ja mittepidev funktsioon, mille iga tsükkel on võrdne arvuga Pi ja katkestuspunkt vastab poolele sellest arvust.

Funktsiooni tuletis on üks keerulisemaid teemasid kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluses matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Kumb teie arvates kasvab kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Graafik näitab kõike korraga, kas pole? Kostja sissetulek kasvas kuue kuuga enam kui kahekordseks. Ja ka Grisha sissetulek kasvas, kuid veidi. Ja Matvey sissetulek vähenes nullini. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, st tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulude tuletisinstrument on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt hindame lihtsalt funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

See, mida me tegelikult vaatame, on see, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub, kui x muutub? Ilmselgelt võib erinevates punktides olla sama funktsioon erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame teile, kuidas seda graafiku abil leida.

Mõne funktsiooni graafik on koostatud. Võtame punkti, millel on abstsiss. Joonistame selles punktis funktsiooni graafiku puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik ülespoole tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja nurga puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutujanurga puutujaga.

Pange tähele, et puutuja kaldenurgaks võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainult üks ühine punkt graafikuga ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Mäletame, et teravnurga puutuja in täisnurkne kolmnurk võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid probleeme leidub sageli matemaatika ühtsel riigieksamil numbri all.

On veel üks oluline suhe. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See on võrdne sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu on tuletis võrdne puutujanurga puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb ning erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Moodustub punktis joonistatud graafiku puutuja terav nurk; positiivse telje suunaga. See tähendab, et punkti tuletis on positiivne.

Sel hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et punktides (maksimaalne punkt) ja (minimaalne punkt) on puutuja horisontaalne. Seetõttu on puutuja puutuja nendes punktides null ja tuletis on samuti null.

Punkt – maksimumpunkt. Sel hetkel asendatakse funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti null, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saame funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon suureneb.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon väheneb.

Maksimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi plussmärgist miinusmärgiks.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi “miinus” asemel “pluss”.

Kirjutame need järeldused tabeli kujul:

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik, et funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See on nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see jääb positiivseks, nagu oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib