Otsene kalle (ja rohkemgi veel)! Kuidas kallet leida.

Õppige võtma funktsioonide tuletisi. Tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust teatud punktis, mis asub selle funktsiooni graafikul. Sel juhul võib graafik olla kas sirge või kõverjoon. See tähendab, et tuletis iseloomustab funktsiooni muutumise kiirust konkreetsel ajahetkel. Pea meeles üldreeglid, mille abil võetakse tuletised, ja alles siis jätkake järgmise sammuga.

• Loe artiklit.
• Kuidas võtta kõige lihtsamad tuletised, näiteks tuletis eksponentsiaalvõrrand, kirjeldatud. Järgmistes etappides esitatud arvutused põhinevad seal kirjeldatud meetoditel.

Õppige eristama probleeme, mille puhul tuleb kalle arvutada funktsiooni tuletise kaudu. Probleemid ei nõua alati funktsiooni tõusu või tuletise leidmist. Näiteks võidakse teil paluda leida funktsiooni muutumise kiirus punktis A(x,y). Samuti võidakse teil paluda leida puutuja kalle punktis A(x,y). Mõlemal juhul on vaja võtta funktsiooni tuletis.

Funktsiooni tuletis on üks keerulisemaid teemasid kooli õppekava. Mitte iga lõpetaja ei vasta küsimusele, mis on tuletis.

See artikkel selgitab lihtsalt ja selgelt, mis on tuletis ja miks seda vaja on.. Me ei püüdle nüüd esitluses matemaatilise ranguse poole. Kõige tähtsam on mõista tähendust.

Meenutagem määratlust:

Tuletis on funktsiooni muutumise kiirus.

Joonisel on kujutatud kolme funktsiooni graafikud. Kumb kasvab teie arvates kiiremini?

Vastus on ilmne – kolmas. Sellel on suurim muutusmäär, st suurim tuletis.

Siin on veel üks näide.

Kostja, Griša ja Matvey said samal ajal tööd. Vaatame, kuidas nende sissetulek aasta jooksul muutus:

Graafik näitab kõike korraga, kas pole? Kostja sissetulek kasvas kuue kuuga enam kui kahekordseks. Ja ka Grisha sissetulek kasvas, kuid veidi. Ja Matvey sissetulek vähenes nullini. Algtingimused on samad, kuid funktsiooni muutumise kiirus, st tuletis, - erinev. Mis puutub Matveysse, siis tema tulude tuletisinstrument on üldiselt negatiivne.

Intuitiivselt hindame lihtsalt funktsiooni muutumise kiirust. Aga kuidas me seda teeme?

See, mida me tegelikult vaatame, on see, kui järsult funktsiooni graafik üles (või alla) läheb. Teisisõnu, kui kiiresti y muutub, kui x muutub? Ilmselgelt võib erinevates punktides olla sama funktsioon erinev tähendus tuletis - see tähendab, et see võib muutuda kiiremini või aeglasemalt.

Funktsiooni tuletist tähistatakse .

Näitame teile, kuidas seda graafiku abil leida.

Mõne funktsiooni graafik on koostatud. Võtame punkti, millel on abstsiss. Joonistame selles punktis funktsiooni graafiku puutuja. Tahame hinnata, kui järsult funktsiooni graafik ülespoole tõuseb. Selle jaoks on mugav väärtus puutuja nurga puutuja.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutujanurga puutujaga.

Pange tähele, et puutuja kaldenurgaks võtame puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga.

Mõnikord küsivad õpilased, mis on funktsiooni graafiku puutuja. See on sirgjoon, millel on ainult üks ühine punkt graafikuga ja nagu on näidatud meie joonisel. See näeb välja nagu ringi puutuja.

Otsime üles. Me mäletame seda puutujat teravnurk V täisnurkne kolmnurk võrdne vastaskülje ja külgneva külje suhtega. Kolmnurgast:

Leidsime tuletise graafiku abil, teadmata isegi funktsiooni valemit. Selliseid probleeme leidub sageli matemaatika ühtsel riigieksamil numbri all.

On veel üks oluline suhe. Tuletame meelde, et sirge annab võrrand

Selles võrrandis olevat suurust nimetatakse sirgjoone kalle. See võrdub sirge telje kaldenurga puutujaga.

.

Me saame sellest aru

Meenutagem seda valemit. See väljendab tuletise geomeetrilist tähendust.

Funktsiooni tuletis punktis on võrdne selles punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega.

Teisisõnu on tuletis võrdne puutujanurga puutujaga.

Oleme juba öelnud, et samal funktsioonil võivad erinevates punktides olla erinevad tuletised. Vaatame, kuidas tuletis on seotud funktsiooni käitumisega.

Joonistame mõne funktsiooni graafiku. Las see funktsioon mõnes piirkonnas suureneb ja teistes väheneb ning erineva kiirusega. Ja olgu sellel funktsioonil maksimum- ja miinimumpunktid.

Ühel hetkel funktsioon suureneb. Punkti joonestatud graafiku puutuja moodustab teravnurga; positiivse telje suunaga. See tähendab, et punkti tuletis on positiivne.

Sel hetkel meie funktsioon väheneb. Selle punkti puutuja moodustab nürinurga; positiivse telje suunaga. Kuna nürinurga puutuja on negatiivne, on tuletis punktis negatiivne.

See juhtub järgmiselt.

Kui funktsioon kasvab, on selle tuletis positiivne.

Kui see väheneb, on selle tuletis negatiivne.

Mis saab maksimum- ja miinimumpunktides? Näeme, et punktides (maksimaalne punkt) ja (minimaalne punkt) on puutuja horisontaalne. Seetõttu puutuja nurga puutuja nendes punktides võrdne nulliga, ja tuletis on samuti null.

Punkt – maksimumpunkt. Sel hetkel asendatakse funktsiooni suurenemine vähenemisega. Järelikult muutub tuletise märk punktis "plussist" "miinusseks".

Punktis - miinimumpunktis - on tuletis samuti null, kuid selle märk muutub "miinusest" "plussiks".

Järeldus: tuletise abil saame funktsiooni käitumise kohta teada kõike, mis meid huvitab.

Kui tuletis on positiivne, siis funktsioon suureneb.

Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon väheneb.

Maksimumpunktis on tuletis null ja muudab märgi plussmärgist miinusmärgiks.

Miinimumpunktis on tuletis samuti null ja muudab märgi “miinus” asemel “pluss”.

Kirjutame need järeldused tabeli kujul:

Teeme kaks väikest täpsustust. Probleemi lahendamisel vajate ühte neist. Teine - esimesel aastal, funktsioonide ja tuletisi tõsisema uurimisega.

Võimalik, et funktsiooni tuletis on mingil hetkel võrdne nulliga, kuid funktsioonil pole selles punktis ei maksimumi ega miinimumi. See on nn :

Punktis on graafiku puutuja horisontaalne ja tuletis null. Kuid enne punkti funktsioon suurenes - ja pärast punkti jätkab suurenemist. Tuletise märk ei muutu – see jääb positiivseks, nagu oli.

Samuti juhtub, et maksimumi või miinimumi punktis tuletist ei eksisteeri. Graafikul vastab see järsule katkestusele, kui antud punktis pole puutujat võimalik joonistada.

Kuidas leida tuletist, kui funktsioon on antud mitte graafiku, vaid valemiga? Sel juhul kehtib

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me sellist teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel vastavalt seadusele, kohtumenetlus, kohtumenetluses ja/või Vene Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Võime teie kohta teavet avaldada ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas administratiivsed, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kadumise, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Teemale “Tangensi nurkkoefitsient kaldenurga puutujana” antakse tunnistuse eksamil mitmeid ülesandeid. Olenevalt nende seisundist võidakse koolilõpetajalt nõuda täielikku või lühivastust. Ettevalmistamisel ühtse riigieksami sooritamine Matemaatikas peaks õpilane kindlasti kordama ülesandeid, mille puhul on vaja arvutada puutuja nurgakordaja.

See aitab teil seda teha haridusportaal"Školkovo". Meie eksperdid valmistasid ette ja esitasid teoreetilisi ja praktiline materjal võimalikult ligipääsetav. Olles sellega tutvunud, suudavad mis tahes koolitustasemega lõpetajad edukalt lahendada tuletistega seotud probleeme, mille puhul on vaja leida puutujanurga puutuja.

Põhilised hetked

Sellistele ülesannetele õige ja ratsionaalse lahenduse leidmiseks ühtsel riigieksamil on vaja meeles pidada põhimääratlust: tuletis tähistab funktsiooni muutumise kiirust; see on võrdne funktsiooni graafikule teatud punktis tõmmatud puutujanurga puutujaga. Sama oluline on joonise lõpetamine. See aitab leida õige lahenduse Ühtse riigieksami probleemid tuletisel, milles on vaja arvutada puutuja nurga puutuja. Selguse huvides on kõige parem joonistada graafik OXY-tasandil.

Kui olete juba tutvunud tuletiste teema põhimaterjaliga ja olete valmis asuma lahendama puutujanurga puutuja arvutamise ülesandeid, näiteks Ühtse riigieksami ülesanded, saate seda teha võrgus. Iga ülesande juurde, näiteks ülesanded teemal “Tuletise seos keha kiiruse ja kiirendusega” panime kirja õige vastuse ja lahendusalgoritmi. Samal ajal saavad õpilased harjutada erineva keerukusega ülesannete täitmist. Vajadusel saab harjutuse salvestada jaotisesse “Lemmikud”, et saaksite hiljem õpetajaga lahendust arutada.

Matemaatikas on üheks parameetriks, mis kirjeldab sirge asukohta Descartes'i koordinaattasandil, selle sirge nurgakoefitsient. See parameeter iseloomustab sirgjoone kallet abstsisstelje suhtes. Et mõista, kuidas nõlva leida, tuletage esmalt meelde sirgjoone võrrandi üldkuju XY-koordinaadisüsteemis.

IN üldine vaade mis tahes sirget saab esitada avaldisega ax+by=c, kus a, b ja c on suvalised reaalarvud, kuid alati a 2 + b 2 ≠ 0.

Lihtteisenduste abil saab sellise võrrandi viia kujule y=kx+d, milles k ja d on reaalarvud. Arv k on kalle ja seda tüüpi sirge võrrandit nimetatakse kaldega võrrandiks. Selgub, et kalde leidmiseks peate lihtsalt algse võrrandi taandada ülaltoodud kujule. Täielikuma mõistmise jaoks kaaluge konkreetset näidet:

Ülesanne: leidke võrrandiga 36x - 18y = 108 antud sirge kalle

Lahendus: teisendame algse võrrandi.

Vastus: selle joone nõutav kalle on 2.

Kui võrrandi teisendamisel saime avaldise nagu x = const ja selle tulemusena ei saa y-d esitada x-i funktsioonina, siis on tegemist X-teljega paralleelse sirgega. Sellise nurgakordaja sirgjoon on võrdne lõpmatusega.

Võrrandiga nagu y = const väljendatud sirgete kalle on null. See on tüüpiline abstsissteljega paralleelsete sirgjoonte puhul. Näiteks:

Ülesanne: leidke võrrandiga 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 antud sirge kalle

Lahendus: Toome algse võrrandi üldkujule

24x + 12a - 12a + 28 = 4

Saadud avaldisest on võimatu y-d väljendada, seetõttu on selle sirge nurgakoefitsient võrdne lõpmatusega ja sirge ise on Y-teljega paralleelne.

Geomeetriline tähendus

Parema mõistmise huvides vaatame pilti:

Joonisel näeme sellise funktsiooni graafikut nagu y = kx. Lihtsustamise mõttes võtame koefitsiendi c = 0. Kolmnurgas OAB on külje BA ja AO suhe võrdne nurkkoefitsiendiga k. Samal ajal on suhe BA/AO täisnurkse kolmnurga OAB teravnurga α puutuja. Selgub, et sirge nurga koefitsient on võrdne selle nurga puutujaga, mille see sirge moodustab koordinaatvõrgu abstsissteljega.

Lahendades ülesande, kuidas leida sirge nurkkoefitsienti, leiame selle ja koordinaatide ruudustiku X-telje vahelise nurga puutuja. Piirjuhud, kui kõnealune sirge on paralleelne koordinaattelgedega, kinnitavad ülaltoodut. Tõepoolest, võrrandiga y=const kirjeldatud sirge korral on selle ja abstsisstelje vaheline nurk null. Nullnurga puutuja on samuti null ja kalle on samuti null.

X-teljega risti olevate sirgjoonte puhul, mida kirjeldatakse võrrandiga x=const, on nende ja X-telje vaheline nurk 90 kraadi. Tangent täisnurk on võrdne lõpmatusega ja sarnaste sirgjoonte nurgakoefitsient on samuti võrdne lõpmatusega, mis kinnitab ülalkirjutatut.

Tangentne kalle

Praktikas sageli esinev ülesanne on ka funktsiooni graafiku puutuja kalde leidmine teatud punktis. Puutuja on sirgjoon, seetõttu on kalde mõiste rakendatav ka sellele.

Puutuja kalde leidmiseks peame meenutama tuletise mõistet. Mis tahes funktsiooni tuletis teatud punktis on konstant, mis on arvuliselt võrdne nurga puutujaga, mis moodustub selle funktsiooni graafiku määratud punktis puutuja ja abstsisstelje vahel. Selgub, et puutuja nurkkoefitsiendi määramiseks punktis x 0 peame arvutama algfunktsiooni tuletise väärtuse selles punktis k = f"(x 0). Vaatame näidet:

Ülesanne: Leidke funktsiooni y = 12x 2 + 2xe x puutuja kalle x = 0,1 juures.

Lahendus: Leia algfunktsiooni tuletis üldkujul

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Vastus: Nõutav kalle punktis x = 0,1 on 4,831