Kuidas leida hüpotenuus, teades jalga ja nurka. Kuidas leida jalad, kui hüpotenuus on teada

Elus tuleb sageli tegeleda matemaatiliste probleemidega: koolis, ülikoolis ja siis lapse abistamisel. kodutöö. Teatud elukutsete inimesed puutuvad matemaatikaga iga päev kokku. Seetõttu on kasulik matemaatilisi reegleid pähe õppida või meelde tuletada. Selles artiklis analüüsime ühte neist: jala leidmist täisnurkne kolmnurk.

Mis on täisnurkne kolmnurk

Kõigepealt tuletagem meelde, mis on täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk on geomeetriline kujund kolmest segmendist, mis ühendavad punkte, mis ei asu samal sirgel, ja selle joonise üks nurkadest on 90 kraadi. Külgesid, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks ja külge, mis asetseb täisnurga vastas, nimetatakse hüpotenuusiks.

Täisnurkse kolmnurga jala leidmine

Jala pikkuse väljaselgitamiseks on mitu võimalust. Tahaksin neid üksikasjalikumalt käsitleda.

Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks

Kui teame hüpotenuusi ja jalga, siis pikkust ei leia kuulus jalg Pythagorase teoreemi järgi. See kõlab järgmiselt: “Hüpotenuusi ruut on võrdne summaga jalgade ruudud". Valem: c²=a²+b², kus c on hüpotenuus, a ja b on jalad. Teisendame valemi ja saame: a²=c²-b².

Näide. Hüpotenuus on 5 cm ja jalg on 3 cm. Teisendame valemi: c²=a²+b² → a²=c²-b². Järgmisena otsustame: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonomeetrilised seosed täisnurkse kolmnurga jala leidmiseks

Samuti on võimalik leida tundmatu jalg, kui on teada täisnurkse kolmnurga mõni teine külg ja mõni teravnurk. Jala leidmiseks trigonomeetriliste funktsioonide abil on neli võimalust: siinus, koosinus, puutuja, kotangens. Probleemide lahendamiseks aitab meid allolev tabel. Vaatleme neid võimalusi.

Leidke siinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga siinus (sin) on vastasjala ja hüpotenuusi suhe. Valem: sin \u003d a / c, kus a on antud nurga vastas olev jalg ja c on hüpotenuus. Järgmiseks teisendame valemi ja saame: a=sin*c.

Näide. Hüpotenuus on 10 cm ja nurk A on 30 kraadi. Tabeli järgi arvutame nurga A siinuse, see on võrdne 1/2-ga. Seejärel lahendame teisendatud valemi abil: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a = 5 (cm).

Otsige koosinuse abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga koosinus (cos) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. Valem: cos \u003d b / c, kus b on antud nurgaga külgnev jalg ja c on hüpotenuus. Teisendame valemi ja saame: b=cos*c.

Näide. Nurk A on 60 kraadi, hüpotenuus on 10 cm. Tabeli järgi arvutame nurga A koosinuse, see on võrdne 1/2-ga. Järgmisena lahendame: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).

Leidke puutuja abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga puutuja (tg) on vastasharu ja külgneva jala suhe. Valem: tg \u003d a / b, kus a on nurga vastas olev jalg ja b külgnev. Teisendame valemi ja saame: a=tg*b.

Näide. Nurk A on 45 kraadi, hüpotenuus 10 cm Tabeli järgi arvutame nurga A puutuja, see on võrdne Lahenda: a=tg∠A*b; a=1*10; a = 10 (cm).

Leidke kotangensi abil täisnurkse kolmnurga jalg

Nurga kootangens (ctg) on külgneva jala ja vastasjala suhe. Valem: ctg \u003d b / a, kus b on nurgaga külgnev jalg ja on selle vastas. Teisisõnu, kootangens on "pööratud puutuja". Saame: b=ctg*a.

Näide. Nurk A on 30 kraadi, vastasjalg on 5 cm. Nurga A puutuja on tabeli järgi √3. Arvuta: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Niisiis, nüüd teate, kuidas leida jalg täisnurksest kolmnurgast. Nagu näete, pole see nii keeruline, peamine on valemeid meeles pidada.

Nagu teate, on geomeetria keeruline teadus, mis nõuab ülesannete lahendamisel erilist täpsust ja täpsust. Paljud avaldised ja valemid, mida me hiljem keerukamates arvutustes kasutame, on välja toodud 6.-7.klassi matemaatikaõpikutes. Trigonomeetriliste funktsioonide õppimise protsessi lihtsamaks ja nauditavamaks muutmiseks vaatleme selles artiklis mõnda lühikest viisi täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi arvutamiseks.

Kuidas leida hüpotenuus jalgadel?

Meenutagem väikest teooriat: täisnurkne kolmnurk on lame kujund, millel on kolm nurka. Üks neist on 90º ja külgi nimetatakse jalgadeks ja hüpotenuusiks. Vastupidine külg täisnurk, ja seal on hüpotenuus ja ülejäänud kaks on külgnevad jalad. Osapoolte põhimäng avaldub Pythagorase teoreemis, mille kohaselt hüpotenuus võrdub jalgade ruutude summaga. See tundub aga ainult segadust tekitav, sest tegelikult on kõik palju lihtsam.

Geomeetrilise kujundi omadused

Enne kolmnurga hüpotenuusi leidmist peate välja selgitama, millised omadused sellel joonisel on. Vaatleme peamisi:

Täisnurkses kolmnurgas moodustavad mõlemad teravnurgad kokku 90º.
Jalg, mis asub 30º nurga vastas, on võrdne ½ hüpotenuusiga.
Kui jalg on võrdne ½ hüpotenuusi väärtusest, on teisel nurgal sama väärtus - 30º.

Täisnurksest kolmnurgast hüpotenuusi leidmiseks on mitu võimalust. kõige poolt lihtne lahendus on arvutus läbi jalgade. Oletame, et tead külgede A ja B jalgade väärtusi. Siis tuleb appi Pythagorase teoreem, mis ütleb, et kui paneme iga jala väärtuse ruudu ruutu ja liidame saadud andmed, saame teada, milline on hüpotenuus on. Seega peame lihtsalt eraldama ruutjuure väärtuse:

Näiteks kui jalg A = 3 cm ja jalg B = 4 cm, näeks arvutus välja järgmine:

Kuidas leida hüpotenuus läbi nurga?

Teine viis, kuidas aidata välja selgitada, millega võrdne on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, on arvutada antud nurga kaudu. Selleks peame siinuse valemi kaudu tuletama väärtuse. Oletame, et teame jala (A) ja vastasnurga (α) väärtust. Siis on kogu lahendus ühes valemis: С=А/sin(α).

Näiteks kui jala pikkus on 40 cm ja nurk 45°, saab hüpotenuusi pikkuse tuletada järgmiselt:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Soovitud väärtuse saate määrata ka antud nurga koosinuse kaudu. Oletame, et teame ühe jala (B) ja terava kaasamisnurga (α) väärtust. Siis on ülesande lahendamiseks vaja ühte valemit: С=В/ cos(α).

Näiteks kui jala pikkus on 50 cm ja nurk 45°, saab hüpotenuusi arvutada järgmiselt:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Seega uurisime peamisi viise hüpotenuusi väljaselgitamiseks kolmnurgas. Ülesande lahendamise käigus on oluline keskenduda olemasolevatele andmetele, siis on tundmatu väärtuse leidmine üsna lihtne. Peate teadma vaid paari valemit ja probleemide lahendamise protsess muutub lihtsaks ja nauditavaks.

Juhend

Kolmnurka nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks, kui selle üks nurkadest on 90 kraadi. See koosneb kahest jalast ja hüpotenuusist. Hüpotenuus on selle kolmnurga pikim külg. See asub vastu täisnurka. Jalgu nimetatakse vastavalt selle väiksemateks külgedeks. Need võivad olla üksteisega võrdsed või erineva suurusega. Jalgade võrdsus, mida te töötate täisnurkse kolmnurgaga. Selle ilu seisneb selles, et selles on ühendatud kaks kujundit: täisnurkne ja võrdhaarne kolmnurk. Kui jalad ei ole võrdsed, on kolmnurk suvaline ja vastavalt põhiseadusele: mida suurem on nurk, seda rohkem veereb tema vastas asuv.

Hüpotenuusi leidmiseks ja nurga järgi on mitu võimalust. Kuid enne ühe neist kasutamist peaksite kindlaks määrama, milline ja nurk on teada. Arvestades nurka ja sellega külgnevat jalga, on hüpotenuusi lihtsam leida nurga koosinuse järgi. koosinus teravnurk(cos a) täisnurkses kolmnurgas on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe. See tähendab, et hüpotenuus (c) on võrdne külgneva jala (b) suhtega nurga a koosinusesse (cos a). Selle saab kirjutada järgmiselt: cos a=b/c => c=b/cos a.

Kui on antud nurk ja vastasjalg, siis tuleks tööd teha. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus (sin a) on vastasjala (a) ja hüpotenuusi (c) suhe. Siin on põhimõte sama, mis eelmises näites, koosinusfunktsiooni asemel võetakse ainult siinus. sin a=a/c => c=a/sin a.

Võite kasutada ka trigonomeetrilist funktsiooni, näiteks . Kuid soovitud väärtuse leidmine on veidi keerulisem. Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja (tg a) on vastasharu (a) suhe külgnevasse (b). Olles leidnud mõlemad jalad, rakendage Pythagorase teoreemi (hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga) ja leitakse suurem.

Märge

Pythagorase teoreemiga töötades ärge unustage, et tegemist on kraadiga. Olles leidnud jalgade ruutude summa, tuleks lõpliku vastuse saamiseks välja võtta Ruutjuur.

Allikad:

kuidas leida jalg ja hüpotenuus

Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis on 90-kraadise nurga vastas. Selle pikkuse arvutamiseks piisab, kui on teada kolmnurga ühe jala pikkus ja ühe teravnurga väärtus.

Juhend

Teadaoleva ja terava täisnurga korral on hüpotenuusi suurus jala ja selle nurga suhe, kui antud nurk on selle vastas / külgneb:

h = C1(või C2)/sina;

h = С1(või С2)/cosα.

Näide: Olgu ABC antud hüpotenuusiga AB ja C. Olgu nurk B 60 kraadi ja nurk A 30 kraadi Jala BC pikkus on 8 cm Vaja on hüpotenuusi AB pikkust. Selleks võite kasutada mõnda ülaltoodud meetoditest:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

sõna" jalg" pärit Kreeka sõnad"Perpendikulaarne" või "vertikaalne" - see selgitab, miks täisnurkse kolmnurga mõlemad küljed, mis moodustavad selle üheksakümnekraadise nurga, said sellise nime. Leidke mis tahes pikkus jalg ov pole keeruline, kui sellega külgneva nurga väärtus ja mis tahes muud parameetrid on teada, kuna sel juhul saavad tegelikult teada kõigi kolme nurga väärtused.

Juhend

Kui lisaks külgneva nurga väärtusele (β) on sekundi pikkus jalg a (b), seejärel pikkus jalg ja (a) võib defineerida teadaoleva pikkuse jagatisena jalg ja teadaoleva nurga all: a=b/tg(β). See tuleneb selle trigonomeetria definitsioonist. Kui kasutate teoreemi, saate ilma puutujata hakkama. Sellest järeldub, et soovitud pikkus vastasnurga siinusesse teadaoleva pikkuse suhtega jalg vaid teadaoleva nurga siinusse. Soovitule vastupidine jalg y teravnurka saab väljendada tuntud nurga all kui 180°-90°-β = 90°-β, kuna iga kolmnurga kõigi nurkade summa peab olema 180° ja üks selle nurkadest on võrdne 90-ga. °. Seega soovitud pikkus jalg ja seda saab arvutada valemiga a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Kui on teada külgneva nurga suurus (β) ja hüpotenuusi pikkus (c), siis pikkus jalg ja (a) saab arvutada hüpotenuusi pikkuse ja teadaoleva nurga koosinuse korrutisena: a=c∗cos(β). See tuleneb koosinuse definitsioonist, as trigonomeetriline funktsioon. Kuid võite kasutada, nagu eelmises etapis, siinuse teoreemi ja seejärel soovitud pikkust jalg a on võrdne siinuse korrutisega 90° ja teadaoleva nurga vahel, mis on korrutatud hüpotenuusi pikkuse ja täisnurga siinuse suhtega. Ja kuna siinus 90° on võrdne ühega, saab selle kirjutada järgmiselt: a=sin(90°-β)∗c.

Praktilisi arvutusi saab teha näiteks Windowsi operatsioonisüsteemis sisalduva tarkvarakalkulaatori abil. Selle käivitamiseks saate nupu "Start" peamenüüst valida üksuse "Käivita", tippida käsu calc ja klõpsata nuppu "OK". Selle programmi vaikimisi avaneva liidese lihtsaim versioon ei paku trigonomeetrilisi funktsioone, seetõttu peate pärast selle käivitamist klõpsama menüüs jaotisel "Vaade" ja valima rea "Teadus" või "Insener" (olenevalt kasutataval versioonil). operatsioonisüsteem).

Seotud videod

Sõna "katet" tuli vene keelde kreeka keelest. Täpses tõlkes tähendab see loodijoont, st maapinnaga risti. Matemaatikas nimetatakse jalgu külgedeks, mis moodustavad täisnurkse kolmnurga täisnurga. Selle nurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks. Mõistet "jalg" kasutatakse ka arhitektuuris ja tehnoloogias keevitustööd.

Joonistage täisnurkne kolmnurk ACB. Märgistage selle jalad a ja b ning hüpotenuus c. Täisnurkse kolmnurga kõik küljed ja nurgad on üksteisega määratletud. Ühe teravnurga vastas oleva jala suhet hüpotenuusiga nimetatakse selle nurga siinuseks. Selles kolmnurgas sinCAB=a/c. Koosinus on suhe külgneva jala hüpotenuusiga, st cosCAB=b/c. Pöördsuhteid nimetatakse sekantseks ja koosekandiks.

Selle nurga sekant saadakse hüpotenuusi jagamisel külgneva jalaga, st secCAB=c/b. Selgub koosinuse pöördväärtus, see tähendab, et seda saab väljendada valemiga secCAB=1/cosSAB.
Koosekant võrdub hüpotenuusi vastasjalaga jagatisega ja on siinuse pöördväärtus. Seda saab arvutada valemi cosecCAB=1/sinCAB abil

Mõlemad jalad on omavahel ühendatud ja kotangentsed. Sel juhul on puutuja külje a ja külje b suhe, st külgneva jala vastaspool. Seda suhet saab väljendada valemiga tgCAB=a/b. Seega on pöördsuhe kotangents: ctgCAB=b/a.

Hüpotenuusi ja mõlema jala suuruse suhte määras Vana-Kreeka Pythagoras. Teoreem, tema nimi, inimesed kasutavad siiani. See ütleb, et hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga, see tähendab c2 \u003d a2 + b2. Seega on iga jalg võrdne hüpotenuusi ja teise jala ruutude erinevuse ruutjuurega. Selle valemi saab kirjutada kujul b=√(c2-a2).

Jala pikkust saab väljendada ka tuttavate suhete kaudu. Siinuste ja koosinuste teoreemide järgi võrdub jalg hüpotenuusi ja ühe nendest funktsioonidest korrutisega. Saate seda väljendada ja või kotangenti. Jala a võib leida näiteks valemiga a \u003d b * tan CAB. Täpselt samamoodi, sõltuvalt antud puutujast või , määratakse teine jalg.

Arhitektuuris kasutatakse ka mõistet "jalg". Seda kantakse joonia pealinnale ja selle selja keskele. See tähendab antud juhul antud joonega risti.

Keevitustehnoloogias on "filee keevisõmbluse jalg". Nagu muudel juhtudel, on see lühim vahemaa. Siin me räägime umbes ühe keevitatava osa vahelise pilu kohta teise osa pinnal asuva õmbluse piirini.

Seotud videod

Allikad:

mis on jalg ja hüpotenuus 2019. aastal

Tõlgitud keelest kreeka keel, hüpotenuus tähendab "venitatud". Õige arusaamise jaoks kujutage ette vibunööri, mis ühendab painduva pulga kahte otsa. Samamoodi on täisnurga kolmnurga pikim külg hüpotenuus, mis asub täisnurga vastas. See toimib kahe ülejäänud külje ühendajana, mida nimetatakse jalgadeks. Et teada saada, kui pikk see "nöör" on, peavad teil olema jalgade pikkused või kahe teravnurga väärtus. Neid andmeid kombineerides saate valemite abil soovitud väärtuse arvutada.

Kuidas leida hüpotenuus jalgade järgi

Lihtsaim viis arvutamiseks, kui tead kahe jala väärtust (tähistame ühte A, teist B). Appi tulevad Pythagoras ise ja tema maailmakuulus teoreem. Ta ütleb meile, et kui paneme jalgade pikkuse ruudusse ja liidame arvutatud väärtused, siis saame selle tulemusel teada hüpotenuusi pikkuse ruudus. Ülaltoodust järeldame: hüpotenuusi väärtuse leidmiseks on vaja eraldada ruutjuur jalgade ruutude kogusummast C \u003d √ (A² + B²). Näide: jalg A \u003d 10 cm, jalg B \u003d 20 cm. Hüpotenuus on 22,36 cm. Arvutamine on järgmine: √ (10² + 20²) \u003d √ (100 + 400) \u003d √203 √203.

Kuidas leida hüpotenuus läbi nurga

Hüpotenuusi pikkust läbi etteantud nurga on veidi keerulisem arvutada. Kui teate ühe kahest jalast (tähistagem A) ja selle vastas asuva nurga suurust (tähistagem α), siis leitakse hüpotenuusi suurus trigonomeetria abil ja täpsemalt siinus. Kõik, mida pead tegema, on jagada teadaoleva jala väärtus nurga siinusega. C=A/sin(a). Näide: jala pikkus on A = 30 cm, nurk selle vastas on 45 °, hüpotenuus on 42,25 cm. Arvutamine on järgmine: 30 / sin (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Teine võimalus on koosinuse abil leida hüpotenuusi suurus. Seda kasutatakse siis, kui on teada jala suurus (tähistame B) ja sellega külgneva teravnurk (tähistame α). Kõik, mida pead tegema, on jagada jala väärtus nurga siinusega. С=В/cos(α). Näide: jala pikkus on B = 30 cm, nurk selle vastas on 45 °, hüpotenuus on 42,25 cm. Arvutamine on järgmine: 30 / cos (45 °) = 30 / 0,71 = 42,25.

Kuidas leida võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuus

Iga endast lugupidav õpilane teab, et kolmnurk on võrdhaarne, eeldusel, et kaks külge kolmest on üksteisega võrdsed. Neid külgi nimetatakse külgmisteks ja see, mis jääb, on alus. Kui üks nurkadest on 90 °, on teil võrdhaarne täisnurkne kolmnurk.

Hüpotenuusi leidmine sellises kolmnurgas on lihtne, kuna sellel on mitmeid omadusi, mis aitavad. Alusega külgnevad nurgad on sama väärtusega, nurkade summa on 180°. See tähendab, et täisnurk asub aluse vastas, mis tähendab, et alus on hüpotenuus, jalad on küljed.

Hüpotenuus on täisnurkse kolmnurga külg, mis on täisnurga vastas. See on täisnurkse kolmnurga pikim külg. Saate seda arvutada Pythagorase teoreemi või trigonomeetriliste funktsioonide valemite abil.

Juhend

Jalgu nimetatakse täisnurkse kolmnurga külgedeks, mis külgnevad täisnurgaga. Joonisel on jalad tähistatud kui AB ja BC. Olgu mõlema jala pikkused antud. Tähistame neid kui |AB| ja |BC|. Hüpotenuusi pikkuse |AC| leidmiseks kasutame Pythagorase teoreemi. Selle teoreemi järgi võrdub jalgade ruutude summa hüpotenuusi ruuduga, s.o. meie joonise tähistuses |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Valemist saame, et hüpotenuusi AC pikkus leitakse kui |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .
Kaaluge näidet. Olgu jalgade pikkused |AB| = 13, |BC| = 21. Pythagorase teoreemi järgi saame, et |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. numbrist 610: |AC| = √610. Kasutades täisarvude ruutude tabelit, saame teada, et arv 610 ei ole ühegi täisarvu täiuslik ruut. Hüpotenuusi pikkuse lõpliku väärtuse saamiseks proovime välja võtta täisruut juure märgi alt. Selleks lagundame arvu 610 teguriteks. 610 = 2 * 5 * 61. Tabeli järgi algarvud Näeme, et 61 on algarv. Seetõttu on arvu √610 edasine vähendamine võimatu. Saame lõpliku vastuse |AC| = √610.
Kui hüpotenuusi ruut oleks näiteks 675, siis √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Kui selline heide on võimalik, tehke pöördkontroll – tulemus ruudus ja võrrelge algse väärtusega.
Andke meile teada üks jalg ja sellega külgnev nurk. Kindluse mõttes olgu selleks jalg |AB| ja nurk α. Siis saame kasutada trigonomeetrilise funktsiooni koosinuse valemit - nurga koosinus võrdub külgneva jala ja hüpotenuusi suhtega. Need. meie tähistuses cos α = |AB| / |AC|. Siit saame hüpotenuusi pikkuse |AC| = |AB| / cosα.
Kui me teame jala |BC| ja nurk α, siis kasutame nurga siinuse arvutamise valemit - nurga siinus võrdub vastasjala ja hüpotenuusi suhtega: sin α = |BC| / |AC|. Saame, et hüpotenuusi pikkus leitakse kui |AC| = |BC| / cosα.
Selguse huvides kaaluge näidet. Olgu jala pikkus |AB| = 15. Ja nurk α = 60°. Saame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Mõelge, kuidas saate Pythagorase teoreemi abil oma tulemust kontrollida. Selleks peame arvutama teise jala pikkuse |BC|. Kasutades nurga puutuja valemit tg α = |BC| / |AC|, saame |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Järgmiseks rakendame Pythagorase teoreemi, saame 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontrollimine on tehtud.