Ruudulisel paberil kujutatud kujundite pindalade arvutamine. Picki teoreem

Peak valem

Sazhina Valeria Andreevna, MAOU "11. keskkooli" 9. klassi õpilane, Ust-Ilimsk, Irkutski oblast

Juhendaja: Gubar Oksana Mihhailovna, Kõrgeima kvalifikatsioonikategooria matemaatikaõpetaja MAOU "Keskkool nr 11", Ust-Ilimsk, Irkutski oblast

2016. aasta

Sissejuhatus

Uurides geomeetria teemat "Hulknurkade alad", otsustasin välja selgitada: kas on võimalik leida valdkondi, mis erinevad nendest, mida tundides uurisime?

See on Peaki valem. L. V. Gorina kirjeldas raamatus “Õpilaste eneseharimise materjalid” seda valemit järgmiselt: “Valemi valimiga tutvumine on eriti oluline eelõhtul eksami sooritamine ja GIA. Selle valemi abil saate hõlpsalt lahendada suure hulga eksamitel pakutavaid ülesandeid - need on ruudulisel paberil kujutatud hulknurga ala leidmise ülesanded. Picki väike valem asendab terve hulga selliste probleemide lahendamiseks vajalikke valemeid. Peaki valem töötab "üks kõigi eest ..."!

USE materjalides puutusin kokku praktilise sisuga ülesannetega ala leidmiseks maatükid. Otsustasin kontrollida, kas see valem on rakendatav kooli piirkonna, linna mikrorajoonide, piirkonna leidmisel. Ja ka seda, kas seda on mõistlik kasutada probleemide lahendamiseks.

Uurimisobjekt: Peaki valem.

Õppeaine: Picki valemi rakendamise ratsionaalsus ülesannete lahendamisel.

Töö eesmärk: põhjendada Picki valemi kasutamise otstarbekust ruudulisel paberil kujutatud kujundite pindala leidmise ülesannete lahendamisel.

Uurimismeetodid: modelleerimine, võrdlemine, üldistamine, analoogiad, kirjandus- ja internetiressursside uurimine, teabe analüüs ja klassifitseerimine.

Korja üles vajalikku kirjandust, analüüsida ja süstematiseerida saadud teavet;

Kaaluge erinevaid meetodeid ja ruudulisel paberil ülesannete lahendamise tehnikad;

Kontrollige eksperimentaalselt Peaki valemi kasutamise otstarbekust;

Kaaluge selle valemi rakendamist.

Hüpotees: kui rakendada hulknurga pindalade leidmiseks Peak valemit, siis on võimalik leida territooriumi pindala ja ruudulisel paberil ülesannete lahendamine on ratsionaalsem.

Põhiosa

Teoreetiline osa

Ruuduline paber (täpsemalt selle sõlmed), millele me sageli eelistame joonistada ja joonistada, on üks olulisemaid näiteid täpilisest võrest tasapinnal. Juba see lihtne võre oli K. Gaussile lähtepunktiks, et võrrelda ringi pindala selle sees asuvate täisarvuliste koordinaatidega punktide arvuga. Asjaolu, et mõnel lihtsal geomeetrilisel väitel tasapinnal olevate kujundite kohta on aritmeetilises uurimistöös sügavad tagajärjed, märkas G. Minkowski selgelt 1896. aastal, kui ta kasutas esimest korda geomeetrilisi meetodeid arvuteoreetiliste probleemide käsitlemiseks.

Joonistame ruudulisele paberile mõne hulknurga (lisa 1, joonis 1). Proovime nüüd selle pindala välja arvutada. Kuidas seda teha? Ilmselt on seda kõige lihtsam jagada täisnurksed kolmnurgad ja trapets, mille pindalasid on juba lihtne arvutada ja tulemusi liita.

Kasutatav meetod on lihtne, kuid väga tülikas ning pealegi ei sobi see kõikidele hulknurkadele. Seega ei saa järgmist hulknurka jagada täisnurkseteks kolmnurkadeks, nagu tegime eelmisel juhul (lisa 2, joonis 2). Võite proovida seda näiteks täiendada meile vajalikule “heale”, st sellele, mille pindala saame kirjeldatud viisil arvutada, seejärel lahutada saadud arvust lisatud osade pindalad.

Siiski tuleb välja, et on lihtne valem, mis võimaldab arvutada selliste hulknurkade pindalasid tippudega ruutvõrgu sõlmedes.

Selle valemi avastas Austria matemaatik Peak Georg Aleksandrov (1859-1943) 1899. aastal. Lisaks sellele valemile avastas Georg Pick Pick, Pick-Julia, Pick-Nevalin teoreemid, tõestas Schwarzi-Picki ebavõrdsust.

See valem jäi pärast Picki avaldamist mõnda aega märkamatuks, kuid 1949. aastal lisas Poola matemaatik Hugo Steinhaus selle teoreemi oma kuulsasse matemaatilisesse kaleidoskoobi. Sellest ajast peale on Picki teoreem saanud laialt tuntuks. Saksamaal on Picki valem kirjas kooliõpikutes.

See on kombinatoorse geomeetria ja arvude geomeetria klassikaline tulemus.

Picki valemi tõestus

Olgu ABCD ristkülik, mille tipud asuvad piki ruudustiku jooni (lisa 3, joonis 3).

Tähistagem B - ristküliku sees olevate sõlmede arvu ja G - sõlmede arvu selle piiril. Nihutage ruudustikku pool lahtrit paremale ja pool lahtrit

tee alla. Seejärel saab ristküliku territooriumi sõlmede vahel "jaotada". järgmisel viisil: iga B-sõlm "kontrollib" kogu nihutatud ruudustiku lahtrit ja iga G-sõlm - 4 piiri mitte-nurgasõlme - pool lahtrist ja iga nurgapunkt - veerand lahtrist. Seetõttu on ristküliku S pindala

S = B + + 4 = B + - 1 .

Niisiis, ristkülikute jaoks, mille tipud on sõlmedes ja külgedel, mis kulgevad piki ruudustiku jooni, oleme loonud valemi S = B + - 1 . See on Peaki valem.

Selgub, et see valem kehtib mitte ainult ristkülikute, vaid ka suvaliste hulknurkade kohta, mille tipud asuvad ruudustiku sõlmedes.

Praktiline osa

Figuuride pindala leidmine geomeetrilise meetodi ja Picki valemi abil

Otsustasin veenduda, et Picki valem on kõigi vaadeldavate näidete puhul õige.

Selgub, et kui hulknurga saab lõigata kolmnurkadeks, mille tipud on ruudustiku sõlmedes, siis Picki valem kehtib selle kohta.

Vaatasin üle mõned ülesanded ruudulisel paberil, mille lahtrid olid mõõtudega 1 cm1 cm ja viisin läbi võrdlev analüüsülesannete lahendamiseks (tabel nr 1).

Tabel nr 1 Ülesannete lahendamine mitmel viisil.

Pilt

Geomeetria valemi järgi

Picki valemi järgi

Ülesanne nr 1

S=S jne -(2S 1 +2S 2 )

S jne =4*5=20 cm 2

S 1 =(2*1)/2=1 cm 2

S 2 =(2*4)/2=4 cm 2

S=20-(2*1+2*4)=10 cm 2

Vastus :10 cm ².

H = 8, D = 6

S\u003d 8 + 6/2 - 1 \u003d 10 (cm²)

Vastus: 10 cm².

Ülesanne nr 2

a = 2, h = 4

S=a*h=2*4=8 cm 2

Vastus : 8 cm ².

H = 6, D = 6

S\u003d 6 + 6/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

Vastus: 8 cm².

Ülesanne nr 3

S=S ruut -(S 1 +2S 2 )

S ruut =4 2 =16 cm 2

S 1 \u003d (3 * 3) / 2 = 4,5 cm 2

S 2 = (1 * 4) / 2 = 2 cm 2

S\u003d 16- (4,5 + 2 * 2) \u003d 7,5 cm 2

H = 6, D = 5

S\u003d 6 + 5/2 - 1 \u003d 7,5 (cm²)

Vastus: 7,5 cm².

Ülesanne nr 4

S=S jne -(S 1 +S 2+ S 3 )

S jne =4 * 3=12 cm 2

S 1 =(3*1)/2=1,5 cm 2

S 2 =(1*2)/2=1 cm 2

S 3 =(1+3)*1/2=2 cm 2

S=12-(1,5+1+2)=7,5 cm 2

H = 5, D = 7

S\u003d 5 + 7/2 - 1 \u003d 7,5 (cm²)

Vastus: 7,5 cm².

Ülesanne nr 5.

S=S jne -(S 1 +S 2+ S 3 )

S jne =6 * 5=30 cm 2

S 1 =(2*5)/2=5 cm 2

S 2 =(1*6)/2=3 cm 2

S 3 =(4*4)/2=8 cm 2

S=30-(5+3+8)=14 cm 2

Vastus: 14 cm²

H = 12, D = 6

S\u003d 12 + 6/2 - 1 \u003d 14 (cm²)

Vastus: 14 cm²

Ülesanne №6.

S tr \u003d (4 + 9) / 2 * 3 = 19,5 cm 2

Vastus: 19,5 cm 2

H = 12, D = 17

S\u003d 12 + 17/2 - 1 \u003d 19,5 (cm²)

Vastus: 19,5 cm 2

Ülesanne №7. Leidke plaanil kujutatud metsaala pindala (m²) ruudustikuga 1 × 1 (cm) skaalal 1 cm - 200 m

S=S 1 +S 2+ S 3

S 1 =(800*200)/2=80000 m 2

S 2 =(200*600)/2=60000 m 2

S 3 =(800+600)/2*400=

280000 m 2

S= 80000+60000+240000=

420 000 m2

Vastus: 420 000 m²

V = 8, D = 7. S\u003d 8 + 7/2 - 1 \u003d 10,5 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40 000 10,5 = 420 000 (m²)

Vastus: 420 000 m²

Ülesanne nr 8 . Leidke plaanil ruudustikuga 1 × 1 (cm) näidatud välja pindala (m²)

1 cm - 200 m.

S= S ruut -2 ( S tr + S redel)

S ruutmeetrit \u003d 800 * 800 = 640 000 m 2

S tr \u003d (200 * 600) / 2 \u003d 60000m 2

S redel =(200+800)/2*200=

100 000 m2

S=640000-2(60000+10000)=

320 000 m2

Vastus: 320 000 m²

Lahendus. Otsime üles Sruudulisele paberile Picki valemiga joonistatud nelinurga pindala:S= B + - 1

V = 7, D = 4. S\u003d 7 + 4/2 - 1 \u003d 8 (cm²)

1 cm² - 200² m²; S= 40 000 8 = 320 000 (m²)

Vastus: 320 000 m²

Ülesanne nr 9 . Leia piirkondS sektorites, arvestades, et ruudukujuliste lahtrite küljed on võrdsed 1-ga. Märkige oma vastuses .

Sektor on üks neljandik ringist ja seetõttu on selle pindala üks neljandik ringi pindalast. Ringi pindala on πR 2 , kus R on ringi raadius. Meie puhulR =√5 ja sellest ka alaS sektor on 5π/4. KusS/π=1,25.

Vastus. 1.25.

D = 5, V = 2, S\u003d V + G / 2 - 1 \u003d 2 + 5/2 - 1 \u003d 3,5, ≈ 1,11

Vastus. 1.11.

Ülesanne number 10. Leia piirkond S rõngad, arvestades, et ruudukujuliste lahtrite küljed on võrdsed 1-ga. Märkige oma vastuses .

Rõnga pindala on võrdne välimise ja sisemise ringi pindalade vahega. RaadiusR välimine ring on

2, raadius r sisemine ring on 2. Seetõttu on rõnga pindala 4ja seega. Vastus: 4.

D = 8, V = 8, S\u003d V + G / 2 - 1 \u003d 8 + 8/2 - 1 \u003d 11, ≈ 3,5

Vastus: 3.5

Järeldused: Vaadeldavad ülesanded on sarnased matemaatika USE kontroll- ja mõõtematerjalide variantide ülesandega (ülesanded nr 5,6).

Vaadeldavate ülesannete lahendustest nägin, et mõnda neist, näiteks ülesandeid nr 2.6, on lihtsam lahendada kasutades geomeetrilised valemid, kuna kõrguse ja aluse saab määrata jooniselt. Kuid enamiku ülesannete puhul tuleb joonis jagada lihtsamateks (ülesanne nr 7) või täita see ristkülikuks (ülesanded nr 1,4,5), ruuduks (ülesanded nr 3,8).

Ülesannete nr 9 ja 10 lahendamisest nägin, et valimi Valem rakendamine kujunditele, mis ei ole hulknurgad, annab ligikaudse tulemuse.

Peak valemi kasutamise otstarbekuse kontrollimiseks viisin läbi uuringu ajakulu teemal (Lisa 4, tabel nr 2).

Järeldus: tabelist ja diagrammist (lisa 4, diagramm 1) on näha, et Peak valemi abil ülesannete lahendamisel kulub palju vähem aega.

Ruumivormide pindala leidmine

Kontrollime selle valemi rakendatavust ruumivormidele (lisa 5, joonis 4).

Leia piirkond täispind ristkülikukujuline rööptahukas, arvestades, et ruudukujuliste lahtrite küljed on võrdsed 1-ga.

See on valemi viga.

Valimisvalemi rakendamine territooriumi pindala leidmiseks

Praktilise sisuga ülesandeid lahendades (ülesanded nr 7.8; tabel nr 1) otsustasin kandideerida nii leida meie kooli territooriumi piirkond, Ust-Ilimski linna mikrorajoonid, Irkutski oblast.

Tutvunud "Piiride mustandiga maatükk Ust-Ilimski MAOUSOSH nr 11 "(lisa 6), leidsin meie kooli territooriumi pindala ja võrdlesin seda maatüki piiride projekti järgse alaga (lisa 9, tabel 3) .

Tutvunud Ust-Ilimski paremkalda osa kaardiga (lisa 7), arvutasin mikrorajoonide pindalad ja võrdlesin neid Irkutski oblasti Ust-Ilimski üldplaneeringu andmetega. Tulemused on toodud tabelis (Lisa 9, tabel 4).

Uurinud Irkutski oblasti kaarti (lisa 7), leidsin territooriumi pindala ja võrdlesin seda Vikipeedia andmetega. Tulemused esitati tabelis (Lisa 9, tabel 5).

Pärast tulemuste analüüsi jõudsin järeldusele: Peak valemit kasutades on need alad palju lihtsamini leitavad, kuid tulemused on ligikaudsed.

Läbiviidud uuringutest kõige rohkem täpne väärtus Sain kooli pindala leidmisel (lisa 10, skeem 2). Suurem lahknevus tulemustes ilmnes Irkutski oblasti piirkonna leidmisel (lisa 10, diagramm 3). See on sellega seotud. Et kõik ala piirid ei ole hulknurkade küljed ja tipud ei ole kinnituspunktid.

Järeldus

Töö tulemusena laiendasin teadmisi ruudulisel paberil ülesannete lahendamisest, määrasin enda jaoks kindlaks uuritavate ülesannete liigituse.

Töö tegemisel lahendati ülesandeid ruudulisel paberil kujutatud hulknurkade pindala leidmiseks kahel viisil: geomeetriliselt ja Picki valemi abil.

Lahenduste analüüs ja katse kulunud aja määramiseks näitasid, et valemi rakendamine võimaldab ratsionaalsemalt lahendada hulknurga pindala leidmise probleeme. See võimaldab säästa aega matemaatika eksamil.

Erinevate ruudulisel paberil kujutatud kujundite pindala leidmine viis järeldusele, et Picki valemi kasutamine ringikujulise sektori ja rõnga pindala arvutamiseks on sobimatu, kuna see annab ligikaudse tulemuse ja et Picki valem ei ole kasutatakse kosmoseprobleemide lahendamiseks.

Ka töös leiti Peaki valemi abil erinevate territooriumide alad. Võime järeldada, et valemi abil on võimalik leida erinevate territooriumide pindala, kuid tulemused on ligikaudsed.

Minu hüpotees leidis kinnitust.

Jõudsin järeldusele, et mind huvitanud teema on üsna mitmetahuline, ruudulisel paberil ülesanded mitmekesised, nende lahendamise meetodid ja võtted samuti mitmekesised. Seetõttu otsustasin selles suunas tööd jätkata.

Kirjandus

Volkov S.D.. Krundi piiride projekt, 2008, lk. 16.

Gorina L.V., Matemaatika. Kõik õpetajale, M: Nauka, 2013, nr 3, lk. 28.

Prokopjeva V.P., Petrov A.G., Irkutski oblasti Ust-Ilimski linna üldplaan, Venemaa Gosstroy, 2004. Lk. 65.

Riss E. A., Žarkovskaja N. M., Ruudulise paberi geomeetria. Tippvalem. - Moskva, 2009, nr 17, lk. 24-25.

Smirnova I. M.,. Smirnov V.A., Geomeetria ruudulisel paberil. - Moskva, Chistye Prudy, 2009, lk. 120.

Smirnova I. M., Smirnov V. A., Geomeetrilised probleemid praktilise sisuga. – Moskva, Chistye Prudy, 2010, lk. 150

Matemaatika avatud ülesannete panga ülesanded FIPI, 2015.

Ust-Ilimski linna kaart.

Irkutski piirkonna kaart.

Vikipeedia.

Sissejuhatus
Kirg matemaatika vastu algab sageli probleemile mõtlemisest. Niisiis pakkus õpetaja teemat "Hulknurkade pindala" uurides välja ülesanded hulknurga pindala leidmiseks ruudulisel paberil. Tekkisid küsimused: mis on selliste ülesannete eripära, kas neid on erimeetodid ja ruudulisel paberil ülesannete lahendamise tehnikaid. Nähes selliseid ülesandeid OGE ja ühtse riigieksami kontroll- ja mõõtmismaterjalides, otsustasin kindlasti uurida ruudulisel paberil olevaid ülesandeid, mis on seotud kujutatud kujundi ala leidmisega. Selgub, et ruudulise paberi ülesanded on suur matemaatiliste ülesannete klass. Selliste probleemide lahendused on originaalsed, ilusad ja sageli lahendatavad lihtsamalt ja kiiremini kui analüütiliselt. Näib, et põnevat võib leida ruudulisel tasapinnal ehk siis lõputul paberil, mis on tõmmatud identseteks ruutudeks? Ärge otsustage kiirustades. Selgub, et ruudulise paberiga seotud ülesanded on üsna mitmekesised. Õppisin arvutama ruudulisele lehele joonistatud hulknurkade pindalasid.
Paljude ülesannete jaoks puudub ruuduline paber üldreegel lahendusi, spetsiifilisi meetodeid ja tehnikaid. See on nende omadus, mis määrab nende väärtuse mitte konkreetse haridusliku oskuse või oskuse, vaid üldise mõtlemis-, reflekteerimis-, analüüsi-, analoogiaotsimisvõime arendamiseks, see tähendab, et need ülesanded arendavad mõtlemisoskust nende kõige laiemas tähenduses.
Nii saigi määratud uurimuse teema.

Õppeobjekt: Vali valem.

Õppeaine: Peak valemi kasutamine probleemide lahendamisel, ruudulisel paberil kujutatud kujundite ala leidmisel.

Uuringu eesmärk
1. Valime valemi õppimine.
2. Teadmiste laiendamine ruudulisel paberil ülesannete mitmekesisuse kohta, nende ülesannete lahendamise tehnikate ja meetodite kohta.

Ülesanded:
1. Valige uurimiseks materjal, valige peamine, huvitav, arusaadav teave
2. Analüüsida ja süstematiseerida saadud infot
3. Koostage esitletavast tööst esitlus kogutud materjal klassikaaslased
4. Töö tulemuste põhjal teha järeldused.
5. Korja üles kõige huvitavamad, illustreerivad näited.

Uurimismeetodid:
1. Modelleerimine.
2. Ehitus.
3. Teabe analüüs ja klassifitseerimine.
4. Võrdlemine, üldistamine.
5. Kirjanduslike ja internetiressursside uurimine

Hüpotees: Figuuri pindala arvutamine Peak valemi abil annab ülesande õige ja kiire lahenduse võrreldes joonise pindala arvutamisega planimeetriliste valemite abil.

Picki valemi uurimine.
Tippvalem. Võred. Sõlmed.
Ruudulisel paberil ülesannete lahendamisel on vajalikud mõisted võre ja sõlm.
Ruuduline paber (täpsemalt selle sõlmed), millele me sageli eelistame joonistada ja joonistada, on üks olulisemaid näiteid täpilisest võrest tasapinnal.
Vaatleme kahte paralleelsete joonte perekonda tasapinnal, mis jagavad tasandi võrdseteks ruutudeks (joonis 1). Kõiki neid ruute nimetatakse põhiruuduks või ruudustiku genereerivaks ruuduks. Kõigi punktide kogum
Riis. 1. Nende sirgete lõikepunkti nimetatakse punktvõreks või lihtsalt võreks ja punkte endid võre sõlmedeks.
Hulknurga pindala hindamiseks ruudulisel paberil (joonis 1) piisab, kui arvutada, mitu lahtrit see hulknurk katab (lahtri pindala võetakse üheks).
Ja ka ruudulisele paberile joonistatud mis tahes hulknurga pindala saab hõlpsasti arvutada, esitades selle täisnurksete kolmnurkade ja ristkülikute pindalade summa või erinevusena, mille küljed lähevad mööda tippe läbivaid ruudustiku jooni joonistatud kolmnurgast. Joonisel kujutatud hulknurga pindala arvutamiseks tuleb see täita ristkülikuni ABCD, arvutada ristküliku ABCD pindala, leida pindalade summana varjutatud joonise pindala. selle komponentide kolmnurkadest ja ristkülikutest lahutage see ristküliku pindalast. Ja kuigi hulknurk tundub piisavalt lihtne, peame selle pindala arvutamiseks kõvasti tööd tegema. Mis siis, kui polügoon näeks välja uhkem, nagu järgmistel piltidel?

Selgub, et nende hulknurkade pindalasid, mille tipud asuvad võre sõlmedes, saab arvutada palju lihtsamalt: on olemas valem, mis seob nende pindala hulknurga sees ja piiril asuvate sõlmede arvuga. Seda imelist ja lihtsat valemit nimetatakse Picki valemiks: S = B + G / 2 - 1, kus S on hulknurga pindala, B on võre sõlmede arv, mis asuvad rangelt hulknurga sees, G on võre arv selle piiril asuvad sõlmed, sealhulgas tipud. Vaatleme ainult selliseid hulknurki, mille kõik tipud asuvad võre sõlmedes.
Kuid ülaltoodud valemi tuletis oli ilma tõestuseta, ei vastanud küsimusele: miks? Koos õpetajaga vaatasime läbi palju selleteemalist kirjandust.
V.V.Vavilovi, A.V.Ustinovi raamatust “Polügonid võretel” õnnestus lõpuks leida tõestus valemile, mis meile nurkade summa osas meeldis.

Picki valemi tõestus.
Olgu B võre sõlmede arv, mis asuvad rangelt hulknurga sees, Г selle piiril asuvate võre sõlmede arv, sealhulgas tipud, selle pindala. Siis kehtib Peaki valem: S=B+G/2-1.
Näide 1. Arvutage Picki valemi abil ruudulisele paberile joonistatud hulknurga pindala.
S \u003d B + G / 2 - 1
V = 14, G = 8, S = 14 + 8/2 -1 \u003d 17 (ruutühikud)

Näitan Picki valemi kehtivust. Esiteks pange tähele, et Picki valem kehtib ühikuruudu kohta.
Tõepoolest, sel juhul on meil: B=0, G=4 ja S=0+4/2-1=1.

Põhiline ruut genereerib võre, see tähendab, et võre saab konstrueerida järgmiselt. Märkige ruudu tipud. Seejärel nihutame selle ühe küljega paralleelselt selle külje pikkuse võrra ja märgime kaks äsja saadud tippu. Kui seda protsessi jätkata esmalt ühes suunas kuni pikkuseni a ja seejärel nihutada saadud riba endaga paralleelselt ruudu teise külje suunas selle külje pikkuse võrra kuni pikkuseni b, siis saame võre .

Veelgi enam, võre sees asuvate võre sõlmede arv B = (a-1) (b-1) ja selle piiril asuvate võre sõlmede arv Г = 2a + 2b.
Vaatleme ristkülikut, mille küljed asuvad võrejoontel. Olgu selle külgede pikkused võrdsed ja. Sel juhul on meil B \u003d (a-1) (b-1), G \u003d 2a + 2b, siis vastavalt piigi valemile S \u003d (a -1) (b-1) + (2a + 2b) / 2-1 = ab-a-b+1+a+b-1=ab. Saime ristküliku pindala valemi külgedega a, b.
Vaatleme nüüd täisnurkset kolmnurka jalgadega a ja b. Selline kolmnurk saadakse eelmisel juhul vaadeldud ristkülikust külgedega a ja b, lõigates seda diagonaalselt. Olgu diagonaalil c täisarvu punkti. Siis sel juhul B= ((a-1)(b-1)-c+2 ,)/2 G=(2a+2b)/2+c-1 ja saame, et S = ((a-1 )(b-1)-c+2)/2 + (a+b+c-1)/2-1 = ab/2- a/2 - b/2 - c/2 + 3/2 +a/ 2 + b/2 + c/2 - 1/2 - 1 = ab/2. Nii saime täisnurkse kolmnurga pindala arvutamise valemi. Nii et Picki valem kehtib täisnurkse kolmnurga puhul.
Nüüd kaaluge suvalist kolmnurka. Seda saab saada, kui lõigata ära mitu täisnurkset kolmnurka ja võib-olla ka ristkülik ristkülikust (joonis 2). Kuna Picki valem kehtib nii ristküliku kui ka täisnurkse kolmnurga puhul, saame, et see kehtib ka suvalise kolmnurga puhul.

Kes on Georg Alexander Pick?
Austria matemaatik Georg Alexander Pick sündis 10. augustil 1859 Viinis. Tema isa, kes oli erainstituudi juhataja, eelistas poissi kodus koolitada kuni 11. eluaastani ja saatis ta seejärel kohe gümnaasiumi neljandasse klassi, mille ta lõpetas 1875. aastal.
16-aastaselt astus Georg Viini ülikooli. 20-aastaselt sai ta õiguse õpetada füüsikat ja matemaatikat. 16. aprillil 1880 kaitses Pick Leo Koenigsbergeri juhendamisel doktoriväitekirja "On the class of Abelian integrals". 1881. aastal sai ta assistendikoha Ernst Machi juures, kes asus Praha ülikooli füüsika õppetoolile. Loenguõiguse saamiseks pidi Georg läbima habilitatsiooni. Selleks kirjutas ta töö "Hüperelliptiliste diferentsiaalide integreerimisest logaritmide abil". See juhtus 1882. aastal, vahetult pärast Praha ülikooli jagamist tšehhi (Charles University) ja saksa (Karl-Ferdinandi ülikool) keeleks. Pick jäi Saksa ülikooli. 1884. aastal läks Pick Leipzigi ülikooli Felix Kleini juurde. Seal kohtas ta teist Kleini õpilast David Hilbertit. Hiljem, 1885. aastal, naasis ta Prahasse, kus veetis oma ülejäänud teadusliku karjääri. Õppetegevus Praha Saksa Ülikoolis 1888. Pick sai matemaatika erakorralise professori koha, seejärel 1892. a. sai ametiajaks professoriks. 1910. aastal kuulus Georg Pick Praha Saksa ülikooli moodustatud komisjoni, et kaaluda Albert Einsteini vastuvõtmist ülikooli professoriks. Pick ja füüsik Anton Lampa olid selle kohtumise peamised algatajad ning tänu nende pingutustele sai Einstein, kellega Pick hiljem sõbraks sai, 1911. aastal. juhatas osakonda teoreetiline füüsika Praha Saksa Ülikoolis. Peaki matemaatiliste huvide ring oli äärmiselt lai. Eelkõige kirjutas ta töid funktsionaalse analüüsi ja diferentsiaalgeomeetria, elliptiliste ja Abeli funktsioonide, diferentsiaalvõrrandite teooria ja kompleksne analüüs, kokku üle 50 teema. Tema nimega on seotud Picki maatriks, Pick-Nevanlinna interpolatsioon ja Schwartz-Picki lemma.
Austria matemaatiku saavutuste hulgast torkab silma valem lahtri sõlmedes tippudega hulknurkade pindalade arvutamiseks, mille ta avas 1899. aastal. See sai laialdaselt tuntuks alles 1969. aastal, pärast seda, kui Hugo Steinhaus lülitas selle oma kuulsasse raamatusse "Matemaatiline kaleidoskoop".Saksamaal on see teoreem kooliõpikutes.
Pärast pensionile jäämist 1927. aastal naasis Peake oma juurde sünnilinn Viin. Pärast Austria ja Saksamaa anšlussi (liitumist) 12. märtsil 1938 pidi ta aga taas Prahasse kolima. Septembris 1938 tungis Natsi-Saksamaa Tšehhoslovakkiasse. GAPik visati Terzinstadti koonduslaagrisse, kus ta kaks nädalat hiljem suri.

Picki valemi rakendamine.
KIM-ide OGE ja USE ülesanded.
Seda tüüpi ülesanded sisalduvad matemaatika ühtse riigieksami B-osa ühes osas.
Peaki valemiga tutvumine on eriti oluline eksami ja OGE sooritamise eelõhtul. Selle valemi abil saate hõlpsalt lahendada suure hulga eksamitel pakutavaid ülesandeid - need on ruudulisel paberil kujutatud hulknurga ala leidmise ülesanded. Picki väike valem asendab terve hulga selliste probleemide lahendamiseks vajalikke valemeid. Peaki valem töötab "üks kõigi eest ..."! Peak valem on tõeline pääste neile õpilastele, kes ei ole suutnud õppida kõiki figuuride pindala arvutamise valemeid, neile, kes pole täielikult aru saanud, kuidas figuuri või lisakonstruktsiooni jagada. jõuda selle pindala arvutamisele tuttavate kaudu. Teisest küljest, neile, kes suudavad ülaltoodud meetoditega ruudulisele paberile joonistatud hulknurga pindala leida, sobib Picki valem lisatööriist, mille abil on võimalik ülesanne ka sel viisil lahendada (ja seeläbi saadud vastuseid võrreldes oma eelmise lahenduse õigsust kontrollida).

Ruudulisel paberil kujutatud hulknurkade alade uurimine.
Leidke joonisel näidatud värvilise kujundi pindala. Iga lahtri suurus on 1 cm * 1 cm. Esitage oma vastus ruutsentimeetrites.
Ülesanne 1.
Arvestades:
D = 10, V = 27.
Lahendus: S=27+10:2-1=31 (ruutühikud)
Vastus: 31 ruutmeetrit.

2. ülesanne.
Arvestades:
G = 3, V = 0.
Lahendus: S=0+3:2-1=1 (ruutühikud)
Vastus: 1 ruut. ühikut

3. ülesanne.
Arvestades:
G = 4, V = 0.
Lahendus: S=0+4:2-1=1 (ruutühikud)
Vastus: 1 ruutühik.

4. ülesanne.
Arvestades:
D = 6, V = 3.
Lahendus: S=3+6:2-1=5 (ruutühikud)
Vastus: 5 ruutmeetrit.

5. ülesanne.
Arvestades:
D = 6, V = 16.
Lahendus: S=16+6:2-1=17 (ruutühikud)
Vastus: 17 ruutmeetrit.

Ülesanne 6: leidke "raketi" piirkond.
Arvestades:
D = 20, V = 25.
Lahendus: S=25+20:2-1=34 (ruutühikud)
Vastus: 34 ruutmeetrit.

Ülesanne 7: leidke kannu pindala.
Arvestades:
D = 6, V = 14.
Lahendus: S=14+6:2-1=16 (ruutühikud)
Vastus: 16 ruutmeetrit.

Ülesanne 8: leidke "nutva südame" piirkond.
Arvestades:
D = 10, V = 4.
Lahendus: S=4+10:2-1=8 (ruutühikud)
Vastus: 8 ruutmeetrit.

Ülesanne 9.
Arvestades:
G-9, V=11.
Lahendus: S \u003d 11 + 9: 2-1 \u003d 14,5 (ruutühikud)
Vastus: 14,5 ruutmeetrit.

Ülesanne 10.
Arvestades:
D = 26, V = 32.
Lahendus: S=32+26:2-1=44 (ruutühikud)
Vastus: 44 ruutmeetrit.

Ülesanne 11.
Arvestades:
D = 16, V = 27.
Lahendus: S=27+16:2-1=34 (ruutühikud)
Vastus: 34 ruutmeetrit.

12. ülesanne.
Arvestades:
D = 26, V = 32.
Lahendus: S=32+26:2-1=44 (ruutühikud)
Vastus: 44 ruutmeetrit.

Ülesanne 13.
Arvestades:
G = 22, V = 30.
Lahendus: S=30+22:2-1=40 (ruutühikud)
Vastus: 40 ruutmeetrit.

14. ülesanne.
Arvestades:
D = 28, V = 52.
Lahendus: S=52+28:2-1=65 (ruutühikud)
Vastus: 65 ruutmeetrit.

Ülesanne 15.
Malekuningas käis ümber 8*8 lahtri laua, olles külastanud iga väljakut täpselt ühe korra ja naastes viimase käiguga algsele väljale. Katkendjoonel, mis ühendab järjestikku põldude keskpunkte, mida kuningas läbis, ei ole iselõikusi. Millist ala saab see polüjoon siduda? (Ratta külg on 1.)
Picki valemist järeldub kohe, et katkendjoonega piiratud ala on 64/2 - 1 = 31; siin on võre sõlmed 64 välja keskpunktid ja eeldusel, et kõik need asuvad hulknurga piiril. Seega, kuigi selliseid kuninga trajektoore on üsna vähe, piiravad need kõik võrdse pindalaga hulknurki.
Vastus: 31

Ülesanne 16.
Ruudu külgede keskpunktid on lõikude abil ühendatud tippudega. Leidke kaheksanurga pindala ja ruudu pindala ja joonelõikude moodustatud kaheksanurga pindala suhe.
Kuna tuleb leida pindalade suhe, siis ruudu suurus ei mängi rolli. Seetõttu käsitlen ruutu, mis asub täisarvulisel võrel, suurusega 12 * 12; ruudu küljed asuvad lahtrite sõlmedes. Siis on lihtne näha, et kõik kaheksanurga tipud on võre sõlmed; pealegi on siit hästi näha, et see kaheksanurk ei ole korrapärane - ta on võrdkülgne, aga mitte võrdnurkne. Picki valemist tuleneb nüüd kergesti, et kaheksanurga pindala on
S=21 + 8/2 - 1 = 24 ruutühikut Ruutpind on 122 = 144 ruutmeetrit. Seetõttu on soovitud pindala suhe 6.
Vastus: 24 ruutühikut, 6.

Ülesanne 17: Arvutage hulknurga pindala.
Arvestades:
H = 33, D = 28.
Lahendus: S=33+28:2-1=46 (ruutühikud)
Vastus. 46 ruutühikut

Ülesanne 18: Arvutage hulknurga pindala.
Arvestades:
H = 117, D = 68.
Lahendus: S=117+68:2-1=150 (ruutühikud)
Vastus: 150 ruutmeetrit.

Mängud ruudulisel paberil.
1. Keskkond
Mängu reeglid:
Võitlus on paberil. Välja suurus ja kuju võivad olla erinevad, minimaalne suurus väljad - 12 x 12 lahtrit.
Liikumisi tehakse vaheldumisi pliiatsiga erinevat värvi. Liikumine tähendab oma värvi punkti panemist välja mis tahes vabasse sõlme.
Mängu eesmärk on ümbritseda (püüda) oma punktidega võimalikult palju vastase punkte.
Punkt loetakse ümbritsetuks, kui kõik sellega vertikaalselt ja horisontaalselt külgnevad sõlmed on hõivatud vastase punktidega. Mängu käigus langevad keskkonda nii üksikud punktid kui terved rühmad. Ümbritsetud punktid on ümbritsetud joonega, mis läbib kõiki vastase ümbritsevaid punkte.
Võib tekkida olukord, punktide rühm, mis on haaranud teatud arvu vaenlase punkte, langeb ise keskkonda. Sel juhul loetakse "esmased" vangid vabastatuks.
Mäng lõpeb, kui järgmised käigud ei saa enam uusi punkte ümbritseda. Võidab see, kes on ümbritsenud rohkem punkte.

punktid
Mängu reeglid:
Märkige lehele mõned punktid (vähemalt 8). Kaks mängijat mängivad, ühendades mis tahes kaks punkti järjest lõiguga. Kolmandat punkti on võimatu tabada. Iga punkt võib olla ainult ühe lõigu lõpp. Jooned ei tohi ristuda. See, kes ei suuda järgmist käiku teha, kaotab.

Eksperiment ja uurimine
Otsustasime läbi viia katse, et välja selgitada, milline vaadeldavatest meetoditest on kõige tõhusam (veavaba ja ajaliselt odav).
8.-11.klassi õpilastele tuletasime meelde ja selgitasime, kuidas ruudulisel paberil kujundite alasid leida. Õpilased lahendasid ülesandeid alade leidmise valemite abil. Igaüks pidi lahendama 5 ülesannet ja märkima nende täitmise aja.
Seejärel rääkisime neile Picki valemist, näitasime, kuidas seda näidetega kasutada, ja pakkusime välja samade ülesannete lahendamise, kuid Picki valemi abil (jälle fikseerisime aja).
Katse tulemused on toodud tabelis.
Katse üldised tulemused:
Kulunud aeg - keskmine (min) Vigu teinud õpilaste arv Veavaba töö

T1 T2 O1 O2 E1 E2
8. klass
(20 õpilast) 6,8 3,5 13 4 11 16
9. klass
(12 õpilast) 6,6 3,7 13 6 5 7
10-11 klass
(7 inimest) 4,7 2,4 2 0 5 0
Kokku
(39 õpilast) 6,3 3,4 28 10 21 23

Läbiviidud katse näitas, et:
ükski õpilastest ei teadnud Peaki valemit;
28 õpilast 39-st tegi teadaolevate meetoditega ülesandeid lahendades vigu;
10 õpilast 39-st tegi ülesandeid lahendades Pick valemiga;
Peaki valemi järgi ülesannete lahendamisel tehtud vigade arv vähenes 2 korda ja 10-11 klassi õpilastel peaaegu 100%;
vigadeta tööde arv suurenes 2 korda ja 10-11 klassi õpilastel - 9 korda;
Peaki valemi järgi lahusele kulutatud aeg vähenes 2 korda.
Katse tulemused:
Katses osalejate arv Kulutatud aeg Vigade arv
KUI FP O1 O2
1/8 6 4 2 1
2/8 6 3 0 0
3/8 7 4 0 0
4/8 6 3 0 0
5/8 6 3 0 0
6/8 4 2 0 0
7/8 9 3 2 1
8/8 6 4 1 0
9/8 6 3 0 0
10/8 9 2 0 0
11/8 4 3 1 0
12/8 5 3 2 1
13/8 6 3 0 0
14/8 9 2 0 0
15/8 10 5 1 0
16/8 5 6 2 1
17/8 8 6 1 0
18/8 10 5 0 0
19/8 7 3 1 0
20/8 6 3 0 0
21/9 6 3 1 0
22/9 7 4 2 1
23/9 8 4 2 1
24/9 6 3 0 0
25/9 9 5 2 1
26/9 9 5 3 2
27/9 6 3 0 0
28/9 5 3 0 0
29/9 7 4 2 1
30/9 5 3 0 0
31/9 5 3 0 0
32/9 6 4 1 0
33/10 5 3 0 0
34/10 4 2 0 0
35/10 6 3 1 0
36/10 4 2 0 0
37/10 6 3 1 0
38/11 4 2 0 0
39/11 4 2 0 0
Kokku
(39 õpilast)

IF - probleemide lahendamine tuntud meetoditega,
FP - probleemide lahendamine Peak valemi abil.

Järeldus
Uurimise käigus õppisin palju teatmeid, populaarteaduslikku kirjandust, külastasin saite: Moskva Riikliku Ülikooli väikest Mekhmat, FIPI-t, lugesin mõnda raamatut elektroonilisel kujul. Kaalus erinevaid ehitustöid ja ruudulisele paberile antud arvutusi, korjas üles ebastandardseid ülesandeid. Need ülesanded erinevad tavapärastest matemaatikaõpikutes ja probleemraamatutes sätestatud ülesannetest.
Mõistatuste armastajatele meeldib lahendada ülesandeid ruudulisel paberil eelkõige seetõttu, et selliste probleemide lahendamiseks pole universaalset meetodit ja igaüks, kes selle lahenduse võtab, saab täielikult näidata oma leidlikkust, intuitsiooni ja oskust loov mõtlemine, kuna see pole siin nõutav sügavaid teadmisi geomeetria.
Samas ei ole ruudulise tasapinna ülesanded kergemeelsed ega kasutud, need pole tõsistest matemaatilistest probleemidest nii kaugel.
Töö tulemusena laiendasin teadmisi ruudulisel paberil ülesannete lahendamisest, määrasin enda jaoks uuritavate ülesannete liigituse ja veendusin nende mitmekesisuses.
Vaadeldavad ülesanded on erineva raskusastmega – lihtsast kuni olümpiaadini. Igaüks leiab nende hulgast teostatava keerukusega ülesandeid, millest alates on võimalik liikuda edasi keerulisemate lahendamise juurde.

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale konto ( konto) Google'i ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidide pealdised:

Lõpetanud keskkooli nr 7 8 "A" klassi õpilane Yunosheva Ksenia Juhendaja: Babina Natalja Aleksejevna Salsk 2011 "Peak Formula"

Töö eesmärgid: Teise olemasolu väljaselgitamine, mis erineb kooli õppekava, valemid võre hulknurga pindala leidmiseks. Soovitud valemi kasutusvaldkonnad.

Sissejuhatus. aastal omandatud matemaatikaharidus üldhariduskoolid, on üldhariduse ja üldkultuuri oluline komponent kaasaegne inimene. Selles etapis koolisüsteem mõeldud üheteistkümneks õppeaastaks. Kõik üheteistkümnenda klassi õpilased peavad sooritama ühtse riigieksami, mis näitab koolis õppimise ajal omandatud teadmiste taset. Kuid kooli õppekava ei paku alati kõige ratsionaalsemaid viise probleemide lahendamiseks. Näiteks 2010. aasta ühtse riigieksami tulemusi vaadates on selge, et paljud õpilased kaotavad ülesande B6 tõttu punkte. Otsustasin välja mõelda, kuidas aega säästa ja see probleem õigesti lahendada.

Ülesanne B6. Figuurid on kujutatud ruudulisel paberil, mille lahtrid on mõõtmetega 1 cm x 1 cm (vt joonis). Leidke nende pindala ruutsentimeetrites.

Nii et selle ülesande lahendamiseks pean rakendama ala leidmise valemeid, mida õpime 8. klassis. Aga see võtab palju aega ja ma pean küsimusele võimalikult kiiresti vastama, sest eksami aeg on rangelt piiratud. Seetõttu sain pärast uurimistöö tegemist teada, et on olemas Picki teoreem, mida kooli õppekavas ei õpita, kuid mis aitab ülesandega kiiremini toime tulla.

Ajaloo viide. Georg Alexander Pick (10. august 1859 – 26. juuli 1942) oli Austria matemaatik. Ta suri Terezini koonduslaagris. See on tänapäeval tuntud Picki valemi tõttu hulknurkade võre pindala määramiseks. Ta avaldas oma valemi 1899. aastal ühes artiklis. See sai populaarseks, kui Hugo Steinhaus lisas selle 1969. aasta Mathematical Picturesi väljaandesse. Pick õppis Viini ülikoolis ja lõpetas doktorikraadi 1880. aastal. Pärast doktorikraadi saamist määrati ta Ernest Machi assistendiks Praha Scherl-Ferdinandi ülikoolis. Seal sai ta õpetajaks 1881. aastal. Võttes 1884. aastal ülikoolist puhkust, alustas ta koostööd Felix Kleiniga Leipzigi ülikoolis. Ta jäi Prahasse kuni pensionile jäämiseni 1927. aastal, mil naasis Viini. Pick juhtis (tollase) Saksa Praha ülikooli komiteed, mis määras 1911. aastal Albert Einsteini matemaatilise füüsika professoriks. Pick valiti Tšehhi Teaduste ja Kunstiakadeemia liikmeks, kuid heideti välja pärast Praha natside ülevõtmist. Pärast pensionile jäämist 1927. aastal naasis Pick Viini, linna, kus ta sündis. Pärast anšlussi, kui natsid 12. märtsil 1938 Austriasse sisenesid, naasis Pieck Prahasse. Märtsis 1939 tungisid natsid Tšehhoslovakkiasse. Georg saadeti Terezini koonduslaagrisse 13. juulil 1942. Ta suri kaks nädalat hiljem.

Picki teoreem. Picki teoreem on kombinatoorse geomeetria ja arvude geomeetria klassikaline tulemus. Täisarvu tippudega hulknurga pindala on võrdne summaga B + D/2 - 1, kus B on täisarvu punktide arv hulknurga sees ja D on täisarvu punktide arv hulknurga piiril.

Picki teoreemi meelitav tõestus. Iga sellise hulknurga saab hõlpsasti jagada kolmnurkadeks, mille tipud asuvad võre sõlmedes ja mis ei sisalda ühtegi sõlme ei sees ega külgedel. Võib näidata, et kõigi nende kolmnurkade pindala on sama ja võrdne 1/2-ga ning seetõttu on hulknurga pindala võrdne poolega nende arvust T. Selle arvu leidmiseks tähistame n-ga hulknurga külgede arv, i-ga - selle sees olevate sõlmede arv ja b-ga - külgede sõlmede arv, sealhulgas tipud. Kõigi kolmnurkade nurkade summa on πТ. Nüüd leiame selle summa teistmoodi. Suvalise sisesõlme tipuga nurkade summa on 2 π, st selliste nurkade kogusumma on 2 π i; külgede sõlmede, kuid mitte tippude nurkade kogusumma on (b - n) π ja hulknurga tippude nurkade summa on (n - 2) π. Seega π T \u003d 2i π + (b - n) π + (n - 2) π, millest saame hulknurga pindala S avaldise, mida tuntakse Picki valemina. Näiteks joonisel b = 9, i = 24 ja seetõttu on hulknurga pindala 27,5.

Rakendus. Niisiis, tagasi ülesande B6 juurde. Nüüd, teades uut valemit, leiame hõlpsalt selle nelinurga pindala. Kuna B on 5; D - 14, siis 5 + 14: 2-1 \u003d 11 (cm ruudus) Selle nelinurga pindala on 11 cm ruudus.

Sama valemi abil leiame kolmnurga pindala. Kuna B-14, G-10, siis 14+10:2-1=18 (ruutcm) Selle kolmnurga pindala on 18 cm ruudus.

Kui B-9, D-12, siis: 9+12:2-1=14 (cm ruudus) Selle nelinurga pindala on 14 cm ruudus.

Valemi ulatus. Lisaks sellele, et valemit kasutatakse mitmesugustel eksamitel, ülesannetel ja muul viisil, saadab see kogu meid ümbritseva maailma.

Peaki valemi järgi S = B + ½ G-1 1) keha B=9, G=26, S=9+½ 26-1=9+13-1= 21 2) saba B=0, G=8, S = 0 +½ 8 -1 = 3 3) S = 21 + 3 = 24

Peaki valemi järgi S \u003d B + ½ G-1 B \u003d 36, G \u003d 21 S \u003d 36 + ½ 21 -1 \u003d 36 + 10,5-1 \u003d 45,5

Järeldus. Selle tulemusena jõudsin järeldusele, et neid on palju erinevaid viise kooli õppekavas mitteõpitud ala leidmise ülesandeid lahendades ja näitas neid Picki valemi näitel.

Kataloog. Eneselõigeteta hulknurka nimetatakse võre hulknurgaks, kui kõik selle tipud asuvad täisarvuliste koordinaatidega punktides (Cartesiuse koordinaatsüsteemis). Punkti koordinaattasandil nimetatakse täisarvuks, kui selle mõlemad koordinaadid on täisarvud.

Bibliograafiline kirjeldus: Tatjanenko A. A., Tatjanenko S. A. Ruudulisel paberil kujutatud kujundite pindalade arvutamine // Noor teadlane. 2016. nr 3..03.2019).

Peamiseks riigieksamiks valmistudes puutusin kokku ülesannetega, mille puhul peate arvutama ruudulisel paberilehel kujutatud figuuri pindala. Reeglina ei tekita need ülesanded suuri raskusi, kui joonis on trapets, rööpkülik või kolmnurk. Piisab teada nende arvude pindalade arvutamise valemeid, loendada lahtrite arv ja arvutada pindala. Kui kujund on mingi suvaline hulknurk, siis tuleb siin kasutada spetsiaalseid nippe. See teema tekitas minus huvi. Loomulikult tekkisid küsimused: kuhu sisse Igapäevane elu kas ruudulisele paberile pindalade arvutamisel võib tekkida probleeme? Mis on sellistes ülesannetes erilist? Kas ruudulisel paberil kujutatud geomeetriliste kujundite pindalade arvutamiseks on muid meetodeid või universaalset valemit?

Erikirjanduse ja Interneti-allikate uurimine näitas, et on olemas universaalne valem, mis võimaldab arvutada lahtril kujutatud joonise pindala. Seda valemit nimetatakse Picki valemiks. Kooli õppekava raames seda valemit aga ei arvestata, hoolimata selle kasutusmugavusest ja tulemuste saavutamisest. Lisaks viisin läbi küsitluse sõprade ja klassikaaslaste seas (kahel kujul: isiklikus vestluses ja sees sotsiaalvõrgustikes), millest võttis osa 43 õpilast Tobolski linna koolidest. See uuring näitas, et ainult üks inimene (11. klassi õpilane) tunneb pindalade arvutamise valemit Peak.

Lase ristkülikukujuline süsteem koordinaadid. Selles süsteemis võtke arvesse hulknurka, millel on täisarvulised koordinaadid. Õppekirjanduses nimetatakse täisarvuliste koordinaatidega punkte sõlmedeks. Pealegi ei pea hulknurk olema kumer. Ja las ta peab määrama selle pindala.

Võimalikud on järgmised juhtumid.

1. Joonis on kolmnurk, rööpkülik, trapets:

1) lahtrite loendamisel peate leidma pindala arvutamiseks vajaliku kõrguse, diagonaalid või küljed;

2) asendage leitud väärtused pindala valemiga.

Näiteks soovite arvutada joonisel 1 näidatud joonise pindala lahtri suurusega 1 cm x 1 cm.

Riis. 1. Kolmnurk

Lahendus. Loendame rakud ja leiame: . Valemi järgi saame: .

2 Joonis on hulknurk

Kui joonis on hulknurk, siis on võimalik kasutada järgmisi meetodeid.

Jaotamise meetod:

1) murda hulknurk kolmnurkadeks, ristkülikuteks;

2) arvutab saadud arvude pindalad;

3) leida saadud kujundite kõigi pindalade summa.

Näiteks tuleb eraldamismeetodi abil arvutada joonisel 2 näidatud joonise pindala lahtri suurusega 1 cm x 1 cm.

Riis. 2. Hulknurk

Lahendus. Jaotamiseks on palju viise. Jagame kujundi täisnurkseteks kolmnurkadeks ja ristkülikuks, nagu on näidatud joonisel 3.

Riis. 3. Hulknurk. Jaotamise meetod

Kolmnurkade pindalad on järgmised: , , , ristküliku pindala on . Kõigi jooniste pindalade liitmisel saame:

Täiendav ehitusmeetod

1) viige joonis ristkülikuni

2) leidke saadud lisakujundite pindalad ja ristküliku enda pindala

3) lahutage ristküliku pindalast kõigi "lisade" arvude pindalad.

Näiteks on vaja täiendava ehitusmeetodi abil arvutada joonisel 2 näidatud joonise pindala lahtri suurusega 1 cm x 1 cm.

Lahendus. Ehitame oma joonise ristkülikuks, nagu on näidatud joonisel 4.

Riis. 4. Hulknurk. Täiendamise meetod

Suure ristküliku pindala on , sees asuv ristkülik - , "lisa" kolmnurkade alad - , , siis on soovitud kujundi pindala .

Hulknurkade pindalade arvutamisel ruudulisel paberil on võimalik kasutada teist meetodit, mida nimetatakse selle avastanud teadlase nime järgi Picki valemiks.

Peak valem

Olgu ruudulisele paberile joonistatud hulknurgal ainult täisarvulised tipud. Punkte, mille mõlemad koordinaadid on täisarvud, nimetatakse võresõlmedeks. Veelgi enam, hulknurk võib olla nii kumer kui ka mittekumer.

Täisarvu tippudega hulknurga pindala on , kus B on täisarvu punktide arv hulknurga sees ja Г on täisarvu punktide arv hulknurga piiril.

Näiteks joonisel 5 näidatud hulknurga jaoks.

Riis. 5. Sõlmed Picki valemis

Näiteks soovite Pick valemi abil arvutada joonisel 2 näidatud joonise pindala lahtri suurusega 1 cm x 1 cm.

Riis. 6. Hulknurk. Peak valem

Lahendus. Vastavalt joonisele 6: V=9, G=10, siis piigi valemi järgi on meil:

Allpool on toodud näited mõnest ülesandest, mille autor on välja töötanud ruudulisel paberil kujutatud kujundite pindala arvutamiseks.

1. Sisse lasteaed lapsed tegid oma vanematele kingituseks avaldusi (joon. 7). Leidke rakendusala. Iga lahtri suurus on 1cm 1cm.

Riis. 7. Probleemi 1 olukord

2. Üks hektar kuusepuistu mahutab aastas kuni 32 tonni tolmu, mänd - kuni 35 tonni, jalakas - kuni 43 tonni, tamm - kuni 50 tonni Pöök - kuni 68 tonni Arvutage mitu tonni tolmu hoiab kuusemets 5 aasta pärast. Kuusemetsa plaan on näidatud joonisel 8 (mõõtkavas 1 cm - 200 m).

Riis. 8. Probleemi 2 seisund

3. Handi ja mansi ornamentides domineerivad geomeetrilised motiivid. Sageli on loomade stiliseeritud kujutised. Joonisel 9 on kujutatud fragment mansi ornamendist "Jänesekõrvad". Arvutage ornamenti varjutatud osa pindala.

Riis. 9. Probleemi 3 seisund

4. Vajalik on tehasehoone seina värvimine (joon. 10). Arvutage vajalik summa veepõhine värv(liitrites). Värvikulu: 1 liiter 7 ruutmeetri kohta. meetrit Skaala 1cm - 5m.

Riis. 10. Probleemi 4 seisund

5. Tähepolügoon – tasane geomeetriline kujund, mis koosneb ühisest keskpunktist lähtuvatest kolmnurksetest kiirtest, mis ühinevad koondumispunktis. Viieharuline täht – pentagramm – väärib erilist tähelepanu. Pentagramm on täiuslikkuse, intelligentsuse, tarkuse ja ilu sümbol. seda lihtsaim vorm täht, mida saab kujutada ühe pliiatsitõmbega, rebimata seda kunagi paberilt maha ja samal ajal ei lähe kunagi kaks korda samale joonele. Joonistage viieharuline täht ilma pliiatsit ruudulise paberilehelt tõstmata, nii et saadud hulknurga kõik nurgad oleksid lahtri sõlmedes. Arvutage saadud joonise pindala.

Pärast matemaatilise kirjanduse analüüsimist ja analüüsimist suur hulk Uurimisteemaliste näidete põhjal jõudsin järeldusele, et ruudulisel paberil oleva figuuri pindala arvutamise meetodi valik sõltub kujundi kujust. Kui joonis on kolmnurk, ristkülik, rööpkülik või trapets, siis on pindalade arvutamiseks mugav kasutada üldtuntud valemeid. Kui joonis on kumer hulknurk, siis on võimalik kasutada nii jaotusmeetodit kui liitmismeetodit (enamasti on liitmismeetod mugavam). Kui joonis on mittekumer või tähtkujuline hulknurk, siis on mugavam rakendada Valemit Pick.

Sest Picki valem on universaalne valem pindalade arvutamiseks (kui hulknurga tipud on võre sõlmedes), siis saab seda kasutada mis tahes kujundi puhul. Kui aga hulknurk võtab enda alla piisavalt suure ala (või on lahtrid väikesed), siis on võre sõlmede arvutamisel suur tõenäosus viga teha. Üldiselt jõudsin uuringu käigus järeldusele, et selliste probleemide lahendamisel OGE-s on parem kasutada traditsioonilised meetodid(partitsioonid või täiendused) ja kontrollige tulemust Peak valemi abil.

Kirjandus:

Vavilov VV, Ustinov AV Polügoonid võretel. - M.: MTSNMO, 2006. - 72 lk.
Vassiljev I. N. Picki valemi ümber// Populaarne teaduslik füüsika- ja matemaatiline ajakiri "Kvant". - 1974. - nr 12. Juurdepääsurežiim: http://kvant.mccme.ru/1974/12/vokrug_formuly_pika.htm
Žarkovskaja N., Riss E. Ruudulise paberi geomeetria. Tippvalem. // Esimene september. Matemaatika. - 2009. - nr 23. - lk 24,25.

Peak valemi abil saate lahtris (kolmnurk, ruut, trapets, ristkülik, hulknurk) leida lehele ehitatud figuuri pindala.

Eksamile tulevates ülesannetes on terve rühm ülesandeid, milles antakse puuris lehele ehitatud hulknurk ja küsimus on ala leidmises. Lahtri skaala on üks ruutsentimeetrit.