Geomeetrilise keskmise valem c. Geomeetriline keskmine
Aritmeetilise keskmise ja geomeetrilise keskmise teema on matemaatika programmis 6.-7.klassile. Kuna lõigust on üsna lihtne mõista, saab see kiiresti ja lõpuks valmis õppeaastal koolilapsed unustavad ta. Kuid selleks on vaja teadmisi põhistatistikast ühtse riigieksami sooritamine, samuti rahvusvahelisteks SAT-eksamiteks. Jah ja selleks Igapäevane elu arenenud analüütiline mõtlemine ei tee kunagi haiget.
Kuidas arvutada arvude aritmeetilist ja geomeetrilist keskmist
Oletame, et on arvude jada: 11, 4 ja 3. Aritmeetiline keskmine on kõigi arvude summa jagatud antud arvude arvuga. See tähendab, et numbrite 11, 4, 3 puhul on vastuseks 6. Kuidas saada 6?
Lahendus: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
Nimetaja peab sisaldama arvu, mis on võrdne arvude arvuga, mille keskmine on vaja leida. Summa jagub 3-ga, kuna liikmeid on kolm.
Nüüd peame välja mõtlema geomeetrilise keskmise. Oletame, et on arvude jada: 4, 2 ja 8.
Arvude geomeetriline keskmine on kõigi antud arvude korrutis, mis asub juure all astmega, mis on võrdne antud arvude arvuga.See tähendab, et arvude 4, 2 ja 8 puhul on vastus 4. selgus:
Lahendus: ∛(4 × 2 × 8) = 4
Mõlema variandi puhul saime terved vastused, kuna näitena võeti spetsiaalsed numbrid. Seda ei juhtu alati. Enamikul juhtudel tuleb vastus ümardada või jätta juure. Näiteks arvude 11, 7 ja 20 aritmeetiline keskmine on ≈ 12,67 ja geomeetriline keskmine on ∛1540. Ja numbrite 6 ja 5 puhul on vastused vastavalt 5,5 ja √30.
Kas võib juhtuda, et aritmeetiline keskmine saab võrdseks geomeetrilise keskmisega?
Muidugi saab. Kuid ainult kahel juhul. Kui on arvude jada, mis koosneb ainult ühtedest või nullidest. Tähelepanuväärne on ka see, et vastus ei sõltu nende arvust.
Tõestus ühikutega: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeetiline keskmine).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geomeetriline keskmine).
Tõestus nullidega: (0 + 0) / 2=0 (aritmeetiline keskmine).
√(0 × 0) = 0 (geomeetriline keskmine).
Muud võimalust ei ole ega saagi olla.
Statistikas on keskmistel väärtustel oluline roll, sest... need võimaldavad meil saada analüüsitava nähtuse üldise iseloomustuse. Kõige tavalisem keskmine on loomulikult . See tekib siis, kui elementide summat kasutades moodustatakse agregeeriv näitaja. Näiteks mitme õuna mass, iga müügipäeva kogutulu jne. Kuid see ei juhtu alati. Mõnikord moodustub koondnäitaja mitte summeerimise, vaid muude matemaatiliste toimingute tulemusena.
Mõelge järgmisele näitele. Kuu inflatsioon on ühe kuu hinnataseme muutus võrreldes eelmise kuuga. Kui iga kuu inflatsioonimäärad on teada, siis kuidas saada aastane väärtus? Statistilisest seisukohast on tegemist ahelindeksiga, seega on õige vastus: igakuiste inflatsioonimäärade korrutamisega. See tähendab, et üldine inflatsioonimäär ei ole summa, vaid toode. Kuidas nüüd teada saada kuu keskmine inflatsioon, kui on aastane väärtus? Ei, ärge jagage 12-ga, vaid võtke 12. juur (aste sõltub tegurite arvust). Üldiselt arvutatakse geomeetriline keskmine järgmise valemi abil:
See tähendab, et see on algandmete korrutise juur, kus astme määrab tegurite arv. Näiteks kahe arvu geomeetriline keskmine on Ruutjuur nende tööst
kolmest numbrist - toote kuupjuur
jne.
Kui iga algne arv asendada nende geomeetrilise keskmisega, annab korrutis sama tulemuse.
Et paremini mõista, mis on geomeetriline keskmine ja kuidas see erineb aritmeetilisest keskmisest, vaadake järgmist joonist. Ringi on kirjutatud täisnurkne kolmnurk.
Alates täisnurk mediaan välja jäetud a(hüpotenuusi keskpaigani). Ka õige nurga alt on kõrgust langetatud b, mis on punktis P jagab hüpotenuusi kaheks osaks m Ja n. Sest Hüpotenuus on piiritletud ringi läbimõõt ja mediaan on raadius, siis on ilmne, et mediaani pikkus a on aritmeetiline keskmine m Ja n.
Arvutame välja, mis on kõrgus b. Kolmnurkade sarnasuse tõttu ABP Ja BCP võrdsus on tõsi
See tähendab, kõrgus täisnurkne kolmnurk on nende segmentide geomeetriline keskmine, milleks see hüpotenuusi jagab. Selline selge vahe.
M.S. Exceli keskmine geomeetrilise saab leida funktsiooni SRGEOM abil.
Kõik on väga lihtne: helistage funktsioonile, määrake vahemik ja oletegi valmis.
Praktikas ei kasutata seda näitajat nii sageli kui aritmeetilist keskmist, kuid see siiski esineb. Näiteks on see olemas inimarengu indeks, mida kasutatakse elatustaseme võrdlemiseks erinevad riigid. See arvutatakse mitme indeksi geomeetrilise keskmisena.
On ka teisi keskmisi väärtusi. Nendest teine kord.
Erinevalt aritmeetilisest keskmisest võimaldab geomeetriline keskmine hinnata muutuja muutumise astet ajas. Geomeetriline keskmine on n väärtuse korrutise n-s juur (Excelis kasutatakse funktsiooni =SRGEOM):
G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
Sarnane parameeter - kasumimäära geomeetriline keskmine väärtus - määratakse järgmise valemiga:
G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,
kus R i on kasumimäär i-s periood aega.
Oletagem näiteks, et esialgne investeering on 100 000 dollarit. Esimese aasta lõpuks langeb see 50 000 dollarile ja teise aasta lõpuks taastub algtasemele 100 000 dollarit. Selle investeeringu tootlus kahe aasta jooksul -aasta periood võrdub 0-ga, kuna vahendite alg- ja lõppsummad on omavahel võrdsed. Aasta tulumäärade aritmeetiline keskmine on aga = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ehk 25%, kuna esimese aasta tootlus R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 , ja teises R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Samal ajal on kahe aasta kasumimäära geomeetriline keskmine väärtus võrdne: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Seega peegeldab geomeetriline keskmine täpsemalt investeeringute mahu muutust (täpsemalt muutuste puudumist) kaheaastase perioodi jooksul kui aritmeetiline keskmine.
Huvitavaid fakte. Esiteks on geomeetriline keskmine alati väiksem kui samade arvude aritmeetiline keskmine. Välja arvatud juhul, kui kõik võetud numbrid on üksteisega võrdsed. Teiseks, võttes arvesse täisnurkse kolmnurga omadusi, saate aru, miks keskmist nimetatakse geomeetriliseks. Täisnurkse kolmnurga kõrgus, mis on langetatud hüpotenuusile, on keskmine proportsionaalne jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusile ja iga jalg on keskmine proportsionaalne hüpotenuusi ja selle hüpotenuusile projektsiooni vahel. See annab geomeetrilise võimaluse kahe (pikkuse) segmendi geomeetrilise keskmise konstrueerimiseks: nende kahe segmendi summale tuleb konstrueerida ring läbimõõduna, seejärel taastatakse kõrgus nende ühenduspunktist ringiga ristumiskohani. annab soovitud väärtuse:
Riis. 4.
Arvandmete teine oluline omadus on nende varieeruvus, mis iseloomustab andmete hajutatuse astet. Kaks erinevat valimit võivad erineda nii keskmiste kui ka dispersioonide poolest.
Andmete varieerumisel on viis hinnangut:
interkvartiilne vahemik,
dispersioon,
standardhälve,
variatsioonikoefitsient.
Vahemik on erinevus valimi suurima ja väikseima elemendi vahel:
Vahemik = X Max - X Min
Valimi vahemik, mis sisaldab andmeid 15 investeerimisfondi keskmise aastatootluse kohta väga kõrge tase riski saab arvutada järjestatud massiivi abil: Vahemik = 18,5 - (-6,1) = 24,6. See tähendab, et väga kõrge riskiga fondide kõrgeima ja madalaima keskmise aastatootluse vahe on 24,6%.
Vahemik mõõdab andmete üldist levikut. Kuigi valimivahemik on andmete üldise leviku väga lihtne hinnang, on selle nõrkus see, et see ei võta täpselt arvesse, kuidas andmed jaotuvad miinimum- ja maksimumelementide vahel. Skaala B näitab, et kui valim sisaldab vähemalt ühte äärmuslikku väärtust, on valimivahemik andmete leviku väga ebatäpne hinnang.
Rakendatakse geomeetrilist keskmist juhtudel, kui individuaalsed väärtused karakteristikud on suhtelised dünaamika väärtused, mis on konstrueeritud ahelväärtuste kujul, suhtena dünaamikaseeria iga taseme eelmise tasemega, st iseloomustab keskmine koefitsient kasvu.
Väga sageli arvutatakse statistikaülesannetes moodust ja mediaani ning need täiendavad üldkogumi keskmisi tunnuseid ning neid kasutatakse matemaatilises statistikas jaotusridade tüübi analüüsimiseks, mis võib olla normaalne, asümmeetriline, sümmeetriline jne.
Nii nagu mediaan, arvutatakse ka tunnuse väärtused, mis jagab üldkogumi neljaks võrdseks osaks - kvartlid, viieks osaks - kvintlid, kümneks võrdseks osaks - aeglustub, sajaks võrdseks osaks - protsentilid. Vaadeldavate tunnuste jaotuse kasutamine statistikas variatsiooniridade analüüsimisel võimaldab meil uuritavat populatsiooni põhjalikumalt ja detailsemalt iseloomustada.
