Regulaarse kolmnurkse püramiidi omadused. Geomeetria põhitõed: õige püramiid on

Õpilased puutuvad püramiidi kontseptsiooniga kokku ammu enne geomeetria õppimist. Süüdistada kuulsaid suuri Egiptuse maailmaimesid. Seetõttu kujutab enamik õpilasi selle imelise hulktahuka uurimist alustades seda juba selgelt ette. Kõik ülaltoodud sihikud on õiges vormis. Mis on juhtunud parempoolne püramiid , ja millised omadused sellel on ning sellest räägitakse edaspidi.

Kokkupuutel

Definitsioon

Püramiidi määratlusi on palju. Alates iidsetest aegadest on see olnud väga populaarne.

Näiteks defineeris Euclid seda kui tahket kujundit, mis koosneb tasapindadest, mis ühest alustades koonduvad teatud punktis.

Heron esitas täpsema sõnastuse. Ta väitis, et see oli kujund on baas ja lennukid sisse kolmnurgad, koonduvad ühel hetkel.

Toetudes kaasaegne tõlgendus, püramiid on kujutatud ruumilise hulktahukana, mis koosneb teatud k-nurgast ja k lamedast kolmnurkse kujuga kujundist, millel on üks ühine punkt.

Vaatame lähemalt, Millistest elementidest see koosneb?

k-gon loetakse joonise aluseks;
3-nurksed figuurid ulatuvad küljeosa külgedena välja;
ülemist osa, millest külgmised elemendid pärinevad, nimetatakse ülaosaks;
kõiki tippu ühendavaid segmente nimetatakse servadeks;
kui sirgjoon on ülaosast joonise tasapinnale langetatud 90 kraadise nurga all, siis on selle siseruumis olev osa püramiidi kõrgus;
mis tahes külgelemendis meie hulktahuka küljes saate joonistada risti, mida nimetatakse apoteemiks.

Servade arv arvutatakse valemiga 2*k, kus k on k-nurga külgede arv. Kui palju tahkusid on püramiidi sarnasel hulktahukal, saab määrata avaldise k + 1 abil.

Tähtis! Korrapärase kujuga püramiid on stereomeetriline kujund, mille alustasapind on k-gon võrdsed küljed.

Põhiomadused

Õige püramiid omab palju omadusi mis on talle ainulaadsed. Loetleme need:

Alus on õige kujuga kujund.
Püramiidi servad, mis piiravad külgelemente, on võrdsete arvväärtustega.
Külgelemendid on võrdhaarsed kolmnurgad.
Figuuri kõrguse alus langeb hulknurga keskpunkti, samal ajal kui see on sisse kirjutatud ja kirjeldatava keskpunkt.
Kõik külgmised ribid on kallutatud aluspinna suhtes sama nurga all.
Kõigil külgpindadel on aluse suhtes sama kaldenurk.

Tänu kõigile loetletud omadustele on elementide arvutuste tegemine oluliselt lihtsustatud. Ülaltoodud omaduste põhjal pöörame tähelepanu kaks märki:

Kui hulknurk on ringi sisse kirjutatud, külgmised näod saab koos alusega võrdsed nurgad.
Hulknurga ümber oleva ringi kirjeldamisel on kõik tipust lähtuvad püramiidi servad ühepikkused ja võrdsed nurgad alusega.

Väljak põhineb

Regulaarne nelinurkne püramiid - ruudul põhinev hulktahukas.

Sellel on neli külgpinda, mis on välimuselt võrdhaarsed.

Tasapinnal on kujutatud ruut, kuid need põhinevad kõigil korrapärase nelinurga omadustel.

Näiteks kui on vaja ühendada ruudu külg selle diagonaaliga, siis kasutatakse järgmist valemit: diagonaal võrdub ruudu külje ja kahe ruutjuure korrutisega.

Põhineb tavalisel kolmnurgal

Korrapärane kolmnurkne püramiid on hulktahukas, mille alus on korrapärane 3-nurkne.

Kui alus on tavaline kolmnurk ja külgservad on võrdsed aluse servadega, siis selline joonis nimetatakse tetraeedriks.

Kõik tetraeedri tahud on võrdkülgsed 3-nurksed. Sel juhul peate teadma mõnda punkti ja mitte raiskama nende arvutamisel aega:

ribide kaldenurk mis tahes aluse suhtes on 60 kraadi;
kõigi sisepindade väärtus on samuti 60 kraadi;
mis tahes nägu võib toimida alusena;
joonise sees on võrdsed elemendid.

Hulktahuka lõiked

Igas hulktahukas on mitut tüüpi sektsioone lennuk. Sageli töötavad nad kooli geomeetria kursusel kahega:

aksiaalne;
paralleelselt.

Telglõik saadakse polüeedri lõikumisel tasandiga, mis läbib tippu, külgservi ja telge. Sel juhul on teljeks tipust tõmmatud kõrgus. Lõiketasapind on piiratud kõikide tahkudega lõikejoontega, mille tulemuseks on kolmnurk.

Tähelepanu! Tavalises püramiidis on telglõikeks võrdhaarne kolmnurk.

Kui lõiketasand jookseb alusega paralleelselt, siis on tulemuseks teine variant. Sel juhul on meil taustaga sarnane joonis.

Näiteks kui alus on ruut, siis on ka alusega paralleelne lõik ruut, ainult väiksema suurusega.

Selle tingimuse probleemide lahendamisel kasutatakse jooniste sarnasuse märke ja omadusi, põhineb Thalese teoreemil. Kõigepealt on vaja kindlaks määrata sarnasuse koefitsient.

Kui tasapind tõmmatakse paralleelselt alusega ja see lõikab ära ülemine osa hulktahukas, siis saadakse alumises osas tavaline kärbitud püramiid. Siis öeldakse, et kärbitud hulktahuka alused on sarnased hulknurgad. Sel juhul on külgmised näod võrdhaarsed trapetsid. Telglõik on samuti võrdhaarne.

Kärbitud hulktahuka kõrguse määramiseks on vaja kõrgus joonestada telglõikes ehk trapetsis.

Pinnaalad

Peamised geomeetriaülesanded, mida tuleb kooli geomeetria kursusel lahendada, on püramiidi pindala ja ruumala leidmine.

Pindala on kahte tüüpi:

külgmiste elementide pindala;
kogu pinna pindala.

Pealkirjast endast on aru saada, millega tegu. Külgpind sisaldab ainult külgmisi elemente. Sellest järeldub, et selle leidmiseks tuleb lihtsalt liita külgtasandite pindalad, st võrdhaarsete 3-nurksete pindalad. Proovime tuletada külgelementide pindala valemit:

Võrdhaarse 3-nurga pindala on Str=1/2(aL), kus a on aluse külg, L on apoteem.
Külgtasapindade arv sõltub aluses oleva k-goni tüübist. Näiteks õige nelinurkne püramiid sellel on neli külgtasapinda. Seetõttu on vaja liita nelja numbri pindalad Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Avaldist on sel viisil lihtsustatud, kuna väärtus 4a=POS, kus POS on aluse ümbermõõt. Ja avaldis 1/2 * Rosn on selle poolperimeeter.
Seega järeldame, et tavalise püramiidi külgelementide pindala on võrdne aluse poolperimeetri ja apoteemi korrutisega: Sside = Rosn * L.

Ruut täispind püramiid koosneb külgtasapindade ja aluse pindalade summast: Sp.p = Sside + Sbase.

Mis puutub aluse pindala, siis siin kasutatakse valemit vastavalt hulknurga tüübile.

Tavalise püramiidi ruumala on võrdne põhitasandi pindala ja kõrguse korrutisega jagatuna kolmega: V=1/3*Sbase*H, kus H on hulktahuka kõrgus.

Mis on geomeetrias tavaline püramiid

Korrapärase nelinurkse püramiidi omadused

2. videotund: Püramiidi väljakutse. Püramiidi maht

3. videotund: Püramiidi väljakutse. Õige püramiid

Loeng: Püramiid, selle alus, külgservad, kõrgus, külgpind; kolmnurkne püramiid; parempoolne püramiid

Püramiid, selle omadused

Püramiid- See on kolmemõõtmeline keha, mille põhjas on hulknurk ja mille kõik tahud koosnevad kolmnurkadest.

Püramiidi erijuhtum on koonus, mille põhjas asub ring.

Mõelge püramiidi põhielementidele:

Apoteem on segment, mis ühendab püramiidi ülaosa külgpinna alumise serva keskosaga. Teisisõnu, see on püramiidi esikülje kõrgus.

Joonisel on näha kolmnurgad ADS, ABS, BCS, CDS. Kui vaatate nimesid tähelepanelikult, näete, et iga kolmnurga nimes on üks ühine täht - S. See tähendab, et kõik külgpinnad (kolmnurgad) koonduvad ühte punkti, mida nimetatakse püramiidi tipuks.

Lõike OS, mis ühendab tipu aluse diagonaalide lõikepunktiga (kolmnurkade puhul kõrguste lõikepunktis), nimetatakse nn. püramiidi kõrgus.

Diagonaallõik on tasapind, mis läbib püramiidi ülaosa, samuti üht aluse diagonaali.

Kuna püramiidi külgpind koosneb kolmnurkadest, on külgpinna kogupindala leidmiseks vaja leida iga tahu pindalad ja need lisada. Tahkude arv ja kuju sõltuvad põhjas asuva hulknurga külgede kujust ja suurusest.

Ainsat püramiidi tasapinda, millel pole tippu, nimetatakse alus püramiidid.

Joonisel näeme, et alus on rööpkülik, kuid seal võib olla mis tahes suvaline hulknurk.

Omadused:

Mõelge püramiidi esimesele juhtumile, kus selle servad on sama pikkusega:

Sellise püramiidi aluse ümber võib kirjeldada ringi. Kui projitseerite sellise püramiidi tipu, asub selle projektsioon ringi keskel.
Püramiidi aluse nurgad on iga tahu jaoks samad.
Samas võib piisavaks tingimuseks, et ümber püramiidi aluse saab kirjeldada ringjoont ja et kõik servad on erineva pikkusega, võib pidada ühesuguseid nurki aluse ja tahkude iga serva vahel. .

Kui puutute kokku püramiidiga, mille külgpindade ja aluse vahelised nurgad on võrdsed, kehtivad järgmised omadused:

Saate kirjeldada ringi ümber püramiidi aluse, mille tipp on projitseeritud täpselt keskele.
Kui joonistate kõrguse mõlemale küljele aluse külge, on need võrdse pikkusega.
Sellise püramiidi külgpinna leidmiseks piisab, kui leida aluse ümbermõõt ja korrutada see poole kõrguse pikkusega.
Sbp \u003d 0,5P oc H.
Püramiidi tüübid.
Sõltuvalt sellest, milline hulknurk asub püramiidi põhjas, võivad need olla kolmnurksed, nelinurksed jne. Kui püramiidi põhjas asub korrapärane hulknurk (võrdsete külgedega), nimetatakse sellist püramiidi korrapäraseks.

Regulaarne kolmnurkne püramiid

Jätkame matemaatika eksamil olevate ülesannete arvestamist. Oleme juba uurinud ülesandeid, kus tingimus on antud ja selleks on vaja leida kahe antud punkti vaheline kaugus või nurk.

Püramiid on hulktahukas, mille alus on hulknurk, ülejäänud tahud on kolmnurgad ja neil on ühine tipp.
Tavaline püramiid on püramiid, mille põhjas paikneb korrapärane hulknurk ja mille tipp on projitseeritud aluse keskele.

Korrapärane nelinurkne püramiid - alus on ruut Püramiidi tipp projitseeritakse aluse (ruudu) diagonaalide lõikepunkti.

ML – apoteem
∠MLO – kahetahuline nurk püramiidi põhjas
∠MCO – nurk püramiidi külgserva ja aluse tasapinna vahel

Selles artiklis käsitleme ülesandeid õige püramiidi lahendamiseks. On vaja leida mis tahes element, külgpindala, maht, kõrgus. Muidugi peate teadma Pythagorase teoreemi, püramiidi külgpinna pindala valemit, püramiidi ruumala leidmise valemit.

Artiklis Esitatakse « » valemid, mis on vajalikud stereomeetria ülesannete lahendamiseks. Seega on ülesanded järgmised:

SABCD punkt O- baaskeskusS tipp, NII = 51, AC= 136. Leia külgservSC.

Sel juhul on aluseks ruut. See tähendab, et diagonaalid AC ja BD on võrdsed, nad lõikuvad ja poolitavad lõikepunktis. Pange tähele, et tavalises püramiidis läbib selle tipust langetatud kõrgus püramiidi aluse keskpunkti. Nii et SO on kõrgus ja kolmnurkSOCristkülikukujuline. Siis Pythagorase teoreemi järgi:

Kuidas välja juurida suur hulk.

Vastus: 85

Otsustage ise:

Korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD punkt O- baaskeskus S tipp, NII = 4, AC= 6. Leia külgserv SC.

Korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD punkt O- baaskeskus S tipp, SC = 5, AC= 6. Leia lõigu pikkus NII.

Korrapärases nelinurkses püramiidis SABCD punkt O- baaskeskus S tipp, NII = 4, SC= 5. Leia lõigu pikkus AC.

SABC R- ribi keskosa eKr, S- ülemine. On teada, et AB= 7 ja SR= 16. Leidke külgpindala.

Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest (apoteem on tavalise püramiidi külgpinna kõrgus, tõmmatud selle tipust):

Või võite öelda nii: püramiidi külgpinna pindala on võrdne summaga kolm külgmised servad. Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinnad on võrdse pindalaga kolmnurgad. Sel juhul:

Vastus: 168

Otsustage ise:

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC R- ribi keskosa eKr, S- ülemine. On teada, et AB= 1 ja SR= 2. Leidke külgpinna pindala.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC R- ribi keskosa eKr, S- ülemine. On teada, et AB= 1 ja külgpind on 3. Leidke lõigu pikkus SR.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC L- ribi keskosa eKr, S- ülemine. On teada, et SL= 2 ja külgpind on 3. Leidke lõigu pikkus AB.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC M. Kolmnurga pindala ABC on 25, püramiidi ruumala on 100. Leia lõigu pikkus PRL.

Püramiidi alus on võrdkülgne kolmnurk. Sellepärast Mon aluse keskpunkt jaPRL- tavalise püramiidi kõrgusSABC. Püramiidi maht SABC võrdub: kontrolli lahendust

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC aluse mediaanid lõikuvad punktis M. Kolmnurga pindala ABC on 3, PRL= 1. Leia püramiidi ruumala.

Korrapärases kolmnurkses püramiidis SABC aluse mediaanid lõikuvad punktis M. Püramiidi ruumala on 1, PRL= 1. Leidke kolmnurga pindala ABC.

Lõpetame sellega. Nagu näete, lahendatakse ülesanded ühes või kahes etapis. Tulevikus käsitleme teiega ka muid probleeme sellest osast, kus antakse revolutsiooni kehad, ärge jätke seda mööda!

Soovin teile edu!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Definitsioon

Püramiid on hulktahukas, mis koosneb hulknurgast \(A_1A_2...A_n\) ja \(n\) kolmnurgast, mille tipp on \(P\) (mis ei asu hulknurga tasapinnal) ja mille vastasküljed langevad kokku hulknurk.
Nimetus: \(PA_1A_2...A_n\) .
Näide: viisnurkne püramiid \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Kolmnurgad \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) jne. helistas külgmised näod püramiidid, segmendid \(PA_1, PA_2\) jne. - külgmised ribid, hulknurk \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – alus, punkt \(P\) – tippkohtumisel.

Kõrgus Püramiidid on risti, mis on langetatud püramiidi tipust aluse tasapinnale.

Püramiidi, mille põhjas on kolmnurk, nimetatakse tetraeeder.

Püramiidi nimetatakse õige, kui selle alus on tavaline hulknurk ja üks järgmistest tingimustest on täidetud:

\((a)\) püramiidi külgservad on võrdsed;

\(b)\) püramiidi kõrgus läbib aluse lähedal asuva ümberpiiratud ringi keskpunkti;

\((c)\) külgmised ribid on kallutatud põhitasandi suhtes sama nurga all.

\(d)\) külgpinnad on põhitasandi suhtes sama nurga all.

korrapärane tetraeeder on kolmnurkne püramiid, mille kõik tahud on võrdsed võrdkülgsed kolmnurgad.

Teoreem

Tingimused \((a), (b), (c), (d)\) on samaväärsed.

Tõestus

Joonistage püramiidi kõrgus \(PH\) . Olgu \(\alpha\) püramiidi aluse tasapind.

1) Tõestame, et \((a)\) tähendab \((b)\) . Olgu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Sest \(PH\perp \alpha\) , siis \(PH\) on risti mis tahes sellel tasapinnal asuva sirgega, seega on kolmnurgad täisnurksed. Seega on need kolmnurgad võrdsed ühises jaos \(PH\) ja hüpotenuusis \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Seega \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . See tähendab, et punktid \(A_1, A_2, ..., A_n\) on punktist \(H\) samal kaugusel, seega asuvad nad samal ringil raadiusega \(A_1H\) . See ring on definitsiooni järgi piiritletud hulknurga \(A_1A_2...A_n\) ümber.

2) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline ja võrdne kahe jalaga. Seega on ka nende nurgad võrdsed, seega \(\nurk PA_1H=\nurk PA_2H=...=\nurk PA_nH\).

3) Tõestame, et \((c)\) tähendab \((a)\) .

Sarnaselt esimese punktiga kolmnurgad \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) ristkülikukujuline ja piki jalga ja terav nurk. See tähendab, et ka nende hüpotenuusid on võrdsed, st \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Tõestame, et \((b)\) tähendab \((d)\) .

Sest korrapärases hulknurgas langevad piiritletud ja sisse kirjutatud ringide keskpunktid kokku (üldiselt nimetatakse seda punkti korrapärase hulknurga keskpunktiks), siis \(H\) on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Joonistame punktist \(H\) aluse külgedele ristid: \(HK_1, HK_2\) jne. Need on sisse kirjutatud ringi raadiused (definitsiooni järgi). Siis on TTP järgi (\(PH\) tasapinnaga risti, \(HK_1, HK_2\) jne on külgedega risti olevad projektsioonid) kaldus \(PK_1, PK_2\) jne. risti külgedega \(A_1A_2, A_2A_3\) jne. vastavalt. Niisiis, definitsiooni järgi \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H\) võrdne külgpindade ja aluse vaheliste nurkadega. Sest kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) on võrdsed (täisnurgana kahel jalal), siis nurgad \(\nurk PK_1H, \nurk PK_2H, ...\) on võrdsed.

5) Tõestame, et \((d)\) tähendab \((b)\) .

Sarnaselt neljanda punktiga on kolmnurgad \(PK_1H, PK_2H, ...\) võrdsed (ristkülikukujulistena piki jalga ja teravnurka), mis tähendab, et lõigud \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) on võrdsed. Seega on \(H\) definitsiooni järgi alusesse kantud ringi keskpunkt. Aga kuna korrapäraste hulknurkade korral langevad sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid kokku, siis \(H\) on piiritletud ringi keskpunkt. Chtd.

Tagajärg

Tavalise püramiidi külgpinnad on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.

Definitsioon

Tavalise püramiidi külgpinna kõrgust, mis on tõmmatud selle tipust, nimetatakse apoteem.
Korrapärase püramiidi kõigi külgpindade apoteemid on üksteisega võrdsed ning on ühtlasi ka mediaanid ja poolitajad.

Olulised märkused

1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus langeb aluse kõrguste (ehk poolitajate ehk mediaanide) lõikepunkti (alus on korrapärane kolmnurk).

2. Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus langeb aluse diagonaalide lõikepunktini (alus on ruut).

3. Kõrgus õige kuusnurkne püramiid langeb aluse diagonaalide lõikepunkti (alus on korrapärane kuusnurk).

4. Püramiidi kõrgus on risti mis tahes aluses asuva sirge suhtes.

Definitsioon

Püramiidi nimetatakse ristkülikukujuline kui selle üks külgserv on risti aluse tasapinnaga.

Olulised märkused

1. Ristkülikukujulise püramiidi puhul on põhjaga risti olev serv püramiidi kõrgus. See tähendab, et \(SR\) on kõrgus.

2. Sest \(SR\) risti mis tahes joonega alusest, siis \(\triangle SRM, \triangle SRP\) on täisnurksed kolmnurgad.

3. Kolmnurgad \(\kolmnurk SRN, \kolmnurk SRK\) on ka ristkülikukujulised.
See tähendab, et iga kolmnurk, mille moodustab see serv ja selle serva tipust väljuv diagonaal, mis asub aluses, on täisnurkne.

\[(\Large(\text(Püramiidi maht ja pindala)))\]

Teoreem

Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga püramiidi aluse pindala ja kõrguse korrutisest: \

Tagajärjed

Olgu \(a\) aluse külg, \(h\) püramiidi kõrgus.

1. Korrapärase kolmnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(parem kolmnurk pür.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Korrapärase nelinurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Korrapärase kuusnurkse püramiidi ruumala on \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Korrapärase tetraeedri ruumala on \(V_(\text(parem tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teoreem

Tavalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne poolega aluse perimeetri ja apoteemi korrutisest.

\[(\Large(\text(Truncated püramiid)))\]

Definitsioon

Vaatleme suvalist püramiidi \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Joonistame püramiidi põhjaga paralleelse tasapinna läbi teatud punkti, mis asub püramiidi külgserval. See tasapind jagab püramiidi kaheks polüheedriks, millest üks on püramiid (\(PB_1B_2...B_n\) ) ja teine on nn. kärbitud püramiid(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Kärbitud püramiidil on kaks alust – hulknurgad \(A_1A_2...A_n\) ja \(B_1B_2...B_n\) , mis on üksteisega sarnased.

Tüvipüramiidi kõrgus on risti, mis on tõmmatud ülemise aluse mõnest punktist alumise aluse tasapinnaga.

Olulised märkused

1. Kõik kärbitud püramiidi külgpinnad on trapetsikujulised.

2. Korrapärase tüvipüramiidi (st korrapärase püramiidi lõiguga saadud püramiidi) aluste keskpunkte ühendav segment on kõrgus.

Kolmemõõtmeline kujund, mis sageli ilmub geomeetrilised probleemid, on püramiid. Selle klassi kõigist figuuridest on kõige lihtsam kolmnurkne. Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult õige põhivalemeid ja omadusi

Figuuri geomeetrilised esitused

Enne tavalise kolmnurkse püramiidi omaduste käsitlemist vaatame lähemalt, millisest kujundist me räägime.

Oletame, et kolmemõõtmelises ruumis on suvaline kolmnurk. Valime selles ruumis mis tahes punkti, mis ei asu kolmnurga tasapinnal, ja ühendame selle kolmnurga kolme tipuga. Saime kolmnurkse püramiidi.

See koosneb neljast küljest, mis kõik on kolmnurgad. Punkte, kus kolm tahku kohtuvad, nimetatakse tippudeks. Figuuril on neid ka neli. Kahe tahu ristumisjooned on servad. Vaadeldaval püramiidil on 6 ribi.. Alloleval joonisel on selle joonise näide.

Kuna figuuri moodustavad neli külge, nimetatakse seda ka tetraeedriks.

Õige püramiid

Eespool vaadeldi suvalist kolmnurkse alusega kujundit. Oletame nüüd, et tõmbame püramiidi tipust selle aluse külge risti. Seda segmenti nimetatakse kõrguseks. On ilmne, et kulutada on võimalik 4 erinevad kõrgused figuuri jaoks. Kui kõrgus lõikub kolmnurkse alusega geomeetrilises keskpunktis, siis nimetatakse sellist püramiidi sirgeks püramiidiks.

Sirget püramiidi, mille alus on võrdkülgne kolmnurk, nimetatakse korrapäraseks püramiidiks. Tema jaoks moodustavad kõik kolm kolmnurka külgpind figuurid on võrdkülgsed ja üksteisega võrdsed. Tavalise püramiidi erijuhtum on olukord, kus kõik neli külge on võrdkülgsed identsed kolmnurgad.

Mõelge tavalise kolmnurkse püramiidi omadustele ja esitage selle parameetrite arvutamiseks sobivad valemid.

Aluse külg, kõrgus, külgserv ja apoteem

Kõik kaks loetletud parameetrit määravad üheselt ülejäänud kaks omadust. Anname valemid, mis ühendavad nimetatud koguseid.

Oletame, et korrapärase kolmnurkse püramiidi aluse külg on a. Selle pikkus külgmine ribi on võrdne b-ga. Mis saab olema tavalise kolmnurkse püramiidi ja selle apoteemi kõrgus?

Kõrguse h jaoks saame avaldise:

See valem tuleneb Pythagorase teoreemist, mille jaoks on külgserv, kõrgus ja 2/3 aluse kõrgusest.

Püramiidi apoteem on mis tahes külgmise kolmnurga kõrgus. Apoteema a b pikkus on:

a b \u003d √ (b 2 - a 2/4)

Nendest valemitest on näha, et olenemata kolmnurkse korrapärase püramiidi aluse küljest ja selle külgserva pikkusest, on apoteem alati suurem kui püramiidi kõrgus.

Esitatud kaks valemit sisaldavad kõiki kõnealuse joonise nelja lineaarset tunnust. Seetõttu leiate neist kahest teadaolevast ülejäänu, lahendades süsteemi kirjutatud võrdustest.

figuuri maht

Absoluutselt iga püramiidi (sealhulgas kaldpüramiidi) jaoks saab sellega piiratud ruumi ruumala määrata, teades kujundi kõrgust ja selle aluse pindala. Vastav valem näeb välja selline:

Rakendades selle avaldise kõnealusele joonisele, saame järgmise valemi:

Kus korrapärase kolmnurkse püramiidi kõrgus on h ja selle aluse külg on a.

Pole keeruline saada tetraeedri ruumala valemit, mille kõik küljed on üksteisega võrdsed ja esindavad võrdkülgseid kolmnurki. Sel juhul määratakse joonise maht järgmise valemiga:

See tähendab, et selle määrab üheselt külje a pikkus.

Pindala

Jätkame kolmnurkse korrapärase püramiidi omaduste käsitlemist. kogupindala Figuuri kõigist tahkudest nimetatakse selle pindalaks. Viimast on mugav uurida vastavat arengut arvestades. Alloleval joonisel on näha, kuidas näeb välja tavaline kolmnurkne püramiid.

Oletame, et teame joonise kõrgust h ja aluse a külge. Siis on selle aluse pindala võrdne:

Iga õpilane saab selle avaldise, kui ta mäletab, kuidas leida kolmnurga pindala, ja võtab arvesse ka seda, et võrdkülgse kolmnurga kõrgus on ka poolitaja ja mediaan.

Kolme identse võrdhaarse kolmnurga moodustatud külgpinna pindala on:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

See võrdsus tuleneb püramiidi apoteema väljendusest aluse kõrguse ja pikkuse osas.

Joonise kogupindala on:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Pange tähele, et tetraeedri puhul, mille kõik neli külge on samad võrdkülgsed kolmnurgad, on pindala S võrdne:

Korrapärase kärbitud kolmnurkpüramiidi omadused

Kui vaadeldava kolmnurkpüramiidi tipp lõigatakse ära alusega paralleelse tasapinnaga, siis ülejäänud Alumine osa nimetatakse kärbitud püramiidiks.

Kolmnurkse aluse puhul saadakse kirjeldatud lõikemeetodi tulemusena uus kolmnurk, mis on samuti võrdkülgne, kuid mille küljepikkus on väiksem kui aluskülg. Allpool on näidatud kärbitud kolmnurkne püramiid.

Näeme, et see arv on juba piiratud kahe kolmnurkse aluse ja kolme võrdhaarse trapetsiga.

Oletame, et saadud kujundi kõrgus on h, alumise ja ülemise aluse külgede pikkused on vastavalt a 1 ja a 2 ning apoteem (trapetsi kõrgus) on võrdne a b-ga. Seejärel saab kärbitud püramiidi pindala arvutada järgmise valemiga:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4* (a 1 2 + a 2 2)

Siin on esimene liige külgpinna pindala, teine termin on kolmnurksete aluste pindala.

Arvutatakse joonise maht järgmisel viisil:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 * a 2)

Kärbitud püramiidi omaduste ühemõtteliseks määramiseks on vaja teada selle kolme parameetrit, mida näitavad ülaltoodud valemid.