Kolmnurga nimed. Kolmnurk

Lihtsaim hulknurk, mida koolis õpitakse, on kolmnurk. See on õpilastele arusaadavam ja sellega kaasneb vähem raskusi. Vaatamata sellele, et neid on erinevat tüüpi kolmnurgad, millel on erilised omadused.

Millist kuju nimetatakse kolmnurgaks?

Moodustatud kolmest punktist ja sirglõikest. Esimesi nimetatakse tippudeks, viimaseid külgedeks. Lisaks peavad kõik kolm segmenti olema ühendatud nii, et nende vahele tekiks nurgad. Sellest ka kujundi nimi "kolmnurk".

Nimede erinevused nurkades

Kuna need võivad olla teravad, nürid ja sirged, määratakse kolmnurkade tüübid nende nimede järgi. Seega on selliseid kujundeid kolm rühma.

• Esiteks. Kui kolmnurga kõik nurgad on teravnurgad, nimetatakse seda teravaks kolmnurgaks. Kõik on loogiline.

• Teiseks. Üks nurkadest on nüri, seega on kolmnurk nüri. Lihtsam mitte kuskil.

• Kolmandaks. Seal on nurk, mis võrdub 90 kraadiga, mida nimetatakse täisnurgaks. Kolmnurk muutub ristkülikukujuliseks.

Nimede erinevused külgedel

Sõltuvalt külgede omadustest eristatakse järgmist tüüpi kolmnurki:

üldjuhtum on mitmekülgne, kus kõik küljed on suvalise pikkusega;

võrdhaarsed, mille kahel küljel on samad arvväärtused;

võrdkülgsed, on selle kõigi külgede pikkused ühesugused.

Kui ülesanne pole määratud konkreetne vaade kolmnurga, siis peate joonistama suvalise. Milles kõik nurgad on teravad ja küljed erineva pikkusega.

Kõikide kolmnurkade ühised omadused

1. Kui liidate kolmnurga kõik nurgad kokku, saate arvu, mis on võrdne 180º. Ja pole vahet, mis tüüpi see on. See reegel kehtib alati.
2. Kolmnurga mis tahes külje arvväärtus on väiksem kui ülejäänud kaks kokku liites. Pealegi on see suurem kui nende erinevus.
3. Iga välisnurk on väärtus, mis tuleneb kahe sisemise lisamisest, mis ei ole sellega külgnevad. Pealegi on see alati suurem kui külgnev sisemine.
4. Kolmnurga väikseim külg on alati väikseima nurga vastas. Ja vastupidi, kui külg on suur, on nurk suurim.

Need omadused kehtivad alati, olenemata sellest, millist tüüpi kolmnurki ülesannetes käsitletakse. Kõik ülejäänud tulenevad konkreetsetest funktsioonidest.

Võrdhaarse kolmnurga omadused

• Alusega külgnevad nurgad on võrdsed.
• Aluse külge tõmmatud kõrgus on ka mediaan ja poolitaja.
• Kolmnurga külgedele ehitatud kõrgused, mediaanid ja poolitajad on vastavalt üksteisega võrdsed.

Võrdkülgse kolmnurga omadused

Kui selline arv on olemas, vastavad kõik veidi ülalkirjeldatud omadused. Sest võrdkülgne on alati võrdhaarne. Kuid mitte vastupidi, võrdhaarne kolmnurk ei pruugi olla võrdkülgne.

• Kõik selle nurgad on üksteisega võrdsed ja nende väärtus on 60º.
• Võrdkülgse kolmnurga mis tahes mediaan on selle kõrgus ja poolitaja. Ja nad on kõik üksteisega võrdsed. Nende väärtuste määramiseks on valem, mis koosneb külje ja ruutjuure korrutisest 3 jagatuna 2-ga.

Täisnurkse kolmnurga omadused

• Kaks teravnurka annavad kokku 90º.
• Hüpotenuusi pikkus on alati suurem kui ühegi jala pikkus.
• Hüpotenuusile tõmmatud mediaani arvväärtus on võrdne poolega sellest.
• Jalg on võrdne sama väärtusega, kui see asub 30º nurga vastas.
• Ülaosast tõmmatud kõrgusel väärtusega 90º on teatav matemaatiline sõltuvus jalgadest: 1 / n 2 \u003d 1 / a 2 + 1 / 2. Siin: a, c - jalad, n - kõrgus.

Probleemid erinevat tüüpi kolmnurkadega

nr 1. Antud võrdhaarne kolmnurk. Selle ümbermõõt on teada ja on võrdne 90 cm. Selle külgede tundmine on vajalik. Lisatingimusena: külgmine pool on 1,2 korda väiksem kui alus.

Perimeetri väärtus sõltub otseselt leiduvatest kogustest. Kõigi kolme külje summa annab 90 cm Nüüd peate meeles pidama kolmnurga märki, mille järgi see on võrdhaarne. See tähendab, et kaks poolt on võrdsed. Saate koostada võrrandi kahe tundmatuga: 2a + b \u003d 90. Siin a on külg, b on alus.

On aeg lisatingimuseks. Pärast seda saadakse teine ​​võrrand: b \u003d 1,2a. Selle väljendi saate asendada esimesega. Selgub: 2a + 1,2a \u003d 90. Pärast teisendusi: 3,2a \u003d 90. Seega a \u003d 28,125 (cm). Nüüd on põhjust lihtne välja selgitada. Parim on seda teha teisest tingimusest: v \u003d 1,2 * 28,125 \u003d 33,75 (cm).

Kontrollimiseks saate lisada kolm väärtust: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Hästi.

Vastus: kolmnurga küljed on 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

nr 2. Võrdkülgse kolmnurga külg on 12 cm, peate arvutama selle kõrguse.

Lahendus. Vastuse otsimiseks piisab, kui naasta hetkeni, kus kirjeldati kolmnurga omadusi. See on valem võrdkülgse kolmnurga kõrguse, mediaani ja poolitaja leidmiseks.

n \u003d a * √3 / 2, kus n on kõrgus, a on külg.

Asendamine ja arvutus annavad järgmise tulemuse: n = 6 √3 (cm).

Seda valemit pole vaja pähe õppida. Piisab, kui meenutada, et kõrgus jagab kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Veelgi enam, see osutub jalaks ja selles olev hüpotenuus on originaali külg, teine ​​jalg on pool tuntud pidu. Nüüd tuleb üles kirjutada Pythagorase teoreem ja tuletada kõrguse valem.

Vastus: kõrgus on 6√3 cm.

Number 3. MKR on antud - kolmnurk, 90 kraadi, milles moodustab nurga K. Küljed MP ja KR on teada, need on vastavalt 30 ja 15 cm. Tuleb välja selgitada nurga P väärtus.

Lahendus. Kui teete joonise, saab selgeks, et MP on hüpotenuus. Pealegi on see kaks korda suurem kui CD jalg. Jällegi peate pöörduma omaduste poole. Üks neist on lihtsalt seotud nurkadega. Sellest on selge, et KMR-i nurk on 30º. Seega on soovitud nurk P 60º. See tuleneb teisest omadusest, mis väidab, et kahe teravnurga summa peab võrduma 90º.

Vastus: nurk R on 60º.

nr 4. Peate leidma kõik võrdhaarse kolmnurga nurgad. Tema kohta on teada, et aluse nurga välisnurk on 110º.

Lahendus. Kuna antud on ainult välimine nurk, tuleks seda kasutada. See moodustub välja töötatud sisenurgaga. Nii et need annavad kokku 180º. See tähendab, et kolmnurga aluse nurk on 70º. Kuna see on võrdhaarne, on teisel nurgal sama väärtus. Jääb välja arvutada kolmas nurk. Kõigi kolmnurkade ühise omaduse järgi on nurkade summa 180º. Seega kolmas on määratletud kui 180º - 70º - 70º = 40º.

Vastus: nurgad on 70º, 70º, 40º.

nr 5. On teada, et võrdkülgse kolmnurga nurga vastas on 90º. Alusele on märgitud punkt. Seda täisnurgaga ühendav segment jagab selle suhtega 1:4. Peate teadma väiksema kolmnurga kõiki nurki.

Lahendus. Ühe nurga saab kohe määrata. Kuna kolmnurk on täisnurkne ja võrdhaarne, on selle põhjas asuvad kolmnurk 45º, see tähendab 90º / 2.

Teine neist aitab leida tingimuses tuntud seost. Kuna see on võrdne 1 kuni 4, on osad, milleks see on jagatud, ainult 5. Kolmnurga väiksema nurga väljaselgitamiseks vajate 90º / 5 = 18º. Jääb välja selgitada kolmas. Selleks peate 180º-st (kolmnurga kõigi nurkade summast) lahutama 45º ja 18º. Arvutused on lihtsad ja selgub: 117º.

Õppeaine: matemaatika

Hinne: 3. klass

Õpik: "Matemaatika" 2. osa.

Teema: Kolmnurkade tüübid

Tunni tüüp: uute teadmiste avastamine

Sihtmärk: Õppige tuvastama kolmnurkade tüüpe, mõõtes nende külgede pikkust.

Ülesanded :

1) Värskendage teadmisi geomeetriliste kujundite kohta - ristkülik, ruut, kolmnurk.

2) ajakohastada kolmekohaliste arvude liitmist ja lahutamist, kahekohalise arvu jagamist ühekohaliseks, kahekohaliseks ja ümaraks; kahekohalise arvu korrutamine ühekohalise arvuga.

3) Sisestage terminid: võrdhaarne, võrdkülgne, skaala kolmnurk.

Tundide ajal

1. Motivatsioon õppetegevused

Vaata, ütle mulle, mis see on?

(püramiid)

Ütle mulle, millest see koosneb? (osadest, tasemetest...)

Kas seda püramiidi saab võrrelda meie teadmistega? (jah)

Iga päevaga ehitate üha rohkem püramiide, iga püramiidi tase on uus teadmine, mille saate tunnis. Ja mis juhtub püramiidiga, kui eemaldame sinise taseme? (See kukub kokku, muutub väiksemaks.)

Ja kuidas saab meie teadmiste püramiid mille tõttu kokku kukkuda? (Täitmata d / s, puudutud tundide tõttu ärge kuulake hoolikalt õpetajat.)

Mida on vaja teha, et muuta meie püramiid tugevamaks ja kasvada? (Õppida õppetunde, töötada tunnis hästi, teha kodutöid, mitte jätta kooli vahele.)

Poisid, te ütlesite kõik õigesti. Kujutagem nüüd ette, et meie püramiid on varju heitnud. Millise geomeetrilise kujuga vari välja näeb?

(Kolmnurga juurde.)

Täna jätkame tööd sellise geomeetrilise kujundiga nagu kolmnurk.

2. Teadmiste aktualiseerimine ja raskuste fikseerimine probleemsituatsioonis

Milliseid geomeetrilisi kujundeid tunnete? (ruut, ristkülik, kolmnurk).

Tahvlil on tabel, täitke see oma teadmiste põhjal (igal õpilasel on sellise tabeliga kaart):

Mis on kahe esimese geomeetrilise kujundi nimed? (Ristkülik ja ruut, ühesõnaga, need on nelinurgad.)

Mis tüüpi nelinurki te teate? Slaidil olev pilt aitab teil sellele küsimusele vastata.

Nelinurkade nimed on laste vastuste järel.

(romb, ruut, ristkülik, trapets, rööpkülik – neid kutsuvad pildid slaidil või tahvlil.)

Kas oskate öelda, mis on ristkülik ja mis ruut?

(Ristkülik on nelinurk, millel on kõik täisnurgad.

Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed)

Leidke tabeli tulemuste põhjal täiendav geomeetriline kujund. (Kolmnurk).

Olgu, nelinurgad on kõik väga erinevad, aga mida sa tead kolmnurgast? (Kolmnurgad on: terav, nüri, ristkülikukujuline.)

Mida sa veel kolmnurga kohta tead? (Definitsioon)

Kolmnurk on geomeetriline kujund, millel on 3 nurka, 3 tippu ja 3 külge.

Täitke oma teadmiste põhjal järgmine tabel:

(Õpetaja täidab tabeli vastavalt laste vastustele. Veergudesse ilmub "nimi". erinevad arvamused ja mõned lapsed jätavad need tühjaks.)

3. Raskuse koha ja põhjuse väljaselgitamine.

Mis ülesande sa tegid? (Täida tabel.)

Kust raskus tekkis? (Kolmnurkade nimede kirjutamisel)

Miks tekkis probleem? (Me ei tea, kuidas neid nimetatakse)

Mis on tunni eesmärk? (Vaadake, milliseid kolmnurki on peale uuritud (nürinurkne, teravnurkne, ristkülikukujuline), õppige seda tüüpi kolmnurki tuvastama.)

Mis on meie tunni teema? (Kolmnurkade tüübid)

4. Uute teadmiste avastamine.

Tuleme tagasi laua juurde.

Sisesta kolmnurkade külgede mõõtmed. (Sisenema.)

Olgu, vaata nüüd ja ütle, mida sa märkasid? (Esimese kolmnurga kõik küljed on võrdsed, teisel on kaks võrdset külge ja kolmandal on erinevad küljed.)

Õige, aga kas te äsja antud selgituse põhjal saate nendele kolmnurkadele nimed välja mõelda? (jah)

Mida nimetatakse kolmnurgaks, mille kõik küljed on võrdsed? Mõelge omadussõnale, mis koosneb kahest sõnast: võrdsed küljed. (Võrdkülgne)

Kuidas nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on erinevad? (Mitmekülgne)

Kuidas nimetatakse kolmnurka, millel on kaks võrdset külge? (Lapsed kahtlevad, sellele küsimusele vastamiseks kasutavad nad õpikut lk.73) (Võrdhaarsed) Ja millist kolmnurka saab veel nimetada võrdhaarseks? (Võrdkülgne)

Täida tabel uute teadmiste põhjal ise.

Kas me saame nüüd määratleda kolmnurkade tüübid? (jah)

Võrdkülgne Kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed.

Võrdhaarsed Kolmnurk, millel on vähemalt kaks võrdset külge. Võrdkülgne kolmnurk on ka võrdkülgne kolmnurk.

Mitmekülgne Kolmnurk, mille kõik küljed on erinevad.

Kontrolli oma definitsioone lk.73 -õpetus. (Kontrollima.)

Kas teil on oma määratlustes õigus? (Jah.)

5. Esmane kinnistamine hääldusega väliskõnes

Täida ülesanne õpikust lk.74 (all?)

1) Mitmekülgne: 2,3,5

2) Võrdhaarsed: 1,4 , 6, 7

(Õpilased kirjutavad vihikusse. Ütlevad kordamööda vastuseid, vaidlevad. Näidis fikseeritakse tahvlile).

6. Iseseisev töö enesekontrolliga vastavalt standardile.

Ülesande täitmine iseseisvalt. Töö lõpus - enesekontroll vastavalt mudelile (tahvlil või üksikutel kaartidel).

№1. Täitke tabel , kujutavad skemaatiliselt kolmnurki.

№2. Kirjutage numbrid üles:

1) Skaleeni kolmnurgad.

2) Võrdhaarsed, välja kirjutatud arvudest, tõmbavad alla võrdkülgsete kolmnurkade arvud.

Viide:

Ülesanne number 1:

Ülesanne number 2:

1) Skaala kolmnurgad: 2,3,4

2) Võrdhaarsed kolmnurgad (võrdkülgse kolmnurga arv on alla joonitud): 1,5

7.Kaasamine teadmiste süsteemi ja kordamine

Poiss joonistas liivale kolmnurgad ja krüpteeris sõnad, leidke kolmnurkadesse kirjutatud väljendite tähendused. Esmalt lahendage need, mis on kirjutatud mastaapsetes kolmnurkades ja seejärel võrdhaarsetes kolmnurkades. Ja arvake ära krüpteeritud sõnad.

Vihje: kirjutage numbrid kasvavas järjekorras ja saate sõnad.

Kaart:

Lahendus:

Vastus: Kolmnurkade tüübid

8. Õppetegevuse peegeldus.

Joonistage vastavalt teadmiste püramiid, mis koosneb 7 tasemest. Iga tase on vastus küsimusele.

Vasta küsimustele:

1) Poisid, mida te kirjutasite "kolmnurkade tüübid"? (meie tunni teema)

2) Mis oli meie eesmärk? (Lugege, kuidas nimetatakse kõiki kolme tüüpi kolmnurki, õppige neid tüüpe külgede pikkusi mõõtes tuvastama.)

3) Mis tüüpi kolmnurki sa ära tundsid? (skaala, võrdhaarne, võrdkülgne)

4) Miks neid nii kutsutakse?

( Võrdkülgne Kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed.

Võrdhaarsed - kolmnurk, millel on vähemalt kaks võrdset külge, sealhulgas võrdkülgne kolmnurk, kuna sellel on kaks võrdset külge.)

Mitmekülgne Kolmnurk, mille kõik küljed on erinevad.

5) Kas olete õppinud skemaatiliselt kujutama igat tüüpi kolmnurki? (Jah, üksinda.)

6) Milliseid avastusi sa täna tegid? (Uut tüüpi kolmnurgad, nende nimed.)

7) Poisid, kas saate mõõtude järgi määrata kolmnurga tüübi? (Jah) Ma ütlen teile nüüd mõõdud ja te tõstate üles kaardi kolmnurga tüübi nimetusega (kaardid anti välja lisaks - igaüks 3 kaarti.)

1. 2 cm, 3 cm, 5 cm - mitmekülgne

2. 4cm, 4cm, 2cm - võrdhaarsed

3,6cm, 6cm,6cm - võrdkülgne, võrdhaarne

Tõstke käed, kes on tänaseks selle teadmise tippu jõudnud? (Tõstke)

Ja tõstke oma käed, kellel puudus 1, 2 taset. (Nad tõstavad.)

(Õpetaja analüüsib "laste teadmiste püramiide, teeb järeldused - milline tase vajub ja järgmises tunnis hakkab sellest teadmisi värskendama.)

Ülesanded:

1. Tutvustage õpilastele erinevad tüübid kolmnurgad sõltuvalt nurkade tüübist (ristkülikukujuline, terav, nüri). Õppige leidma joonistelt kolmnurki ja nende liike. Geomeetriliste põhimõistete ja nende omaduste fikseerimine: sirgjoon, segment, kiir, nurk.

2. Mõtlemise, kujutlusvõime, matemaatilise kõne arendamine.

3. Tähelepanu, aktiivsuse kasvatamine.

Tundide ajal

I. Organisatsioonimoment.

Kui palju me poisse vajame?
Meie osavate käte jaoks?
Joonistage kaks ruutu
Ja neil on suur ring.
Ja siis veel mõned ringid
Kolmnurkne kork.
Nii et see tuli väga-väga välja
Rõõmsameelne imelik.

II. Tunni teema väljakuulutamine.

Tänases tunnis teeme reisi mööda Geomeetria linna ja külastame kolmnurkade mikrorajooni (st tutvume erinevat tüüpi kolmnurkadega sõltuvalt nende nurkadest, õpime neid kolmnurki leidma joonistelt.) viib läbi õppetunni “võistlusmängu” vormis käskude järgi.

1 meeskond - "Segment".

2 meeskonda - "Ray".

Meeskond 3 - "Nurk".

Ja žüriid esindavad külalised.

Žürii juhendab meid sellel teel

Ja ei jäta tähelepanuta. (Hinda punktide 5,4,3,... järgi).

Ja mille peal me geomeetria linnas ringi reisime? Kas mäletate, mis tüüpi reisijatevedu linnas on? Meid on nii palju, kumma me valime? (Buss).

Buss. Selge, lühidalt. Algab pardaleminek.

Olgem mugavad ja alustame oma teekonda. Võistkonna kaptenid saavad piletid.

Kuid need piletid pole lihtsad ja piletid on "ülesanded".

III. Kaetud materjali kordamine.

Esimene peatus"Korda."

Küsimus kõigile meeskondadele.

Leidke jooniselt sirgjoon ja nimetage selle omadused.

Ilma otsa ja servata on joon sirge!
Vähemalt sada aastat möödub sellest,
Te ei leia teeotsa!

• Sirgjoonel pole algust ega lõppu – see on lõpmatu, nii et seda ei saa mõõta.

Alustame oma võistlust.

Oma meeskonna nimede kaitsmine.

(Kõik võistkonnad loevad esimesed küsimused läbi ja arutavad. Omakorda võistkonna kaptenid loevad küsimused ette, 1 võistkond loeb 1 küsimuse).

1. Näidake joonisel lõiku. Mida nimetatakse lõikeks. Nimetage selle omadused.

• Kahe punktiga piiratud sirge osa nimetatakse lõiguks. Joogelõigul on algus ja lõpp, nii et seda saab mõõta joonlauaga.

(2. meeskond loeb 1 küsimuse).

1. Näidake tala joonisel. Mida nimetatakse talaks. Nimetage selle omadused.

• Kui märgite punkti ja tõmmake sellest osa sirgjoonest, saate pildi kiirest. Punkti, kust joone osa tõmmatakse, nimetatakse kiire alguseks.

Talal pole lõppu, seega ei saa seda mõõta.

(3. meeskond loeb 1 küsimuse).

1. Näidake joonisel nurka. Mida nimetatakse nurgaks. Nimetage selle omadused.

• Ühest punktist kahte kiirt tõmmates saadakse geomeetriline kujund, mida nimetatakse nurgaks. Nurgal on tipp ja kiiri endid nimetatakse nurga külgedeks. Nurki mõõdetakse kraadides, kasutades protraktorit.

Fizkultminutka (muusika saatel).

IV. Ettevalmistus uue materjali õppimiseks.

Teine peatus"Vapustav".

Jalutuskäigul kohtas pliiatsit erinevaid nurki. Tahtsin neile tere öelda, kuid unustasin igaühe nime. Pliiats peab aitama.

(Uuringu nurki kontrollitakse täisnurga mudeli abil).

Meeskondadesse määramine. Lugege küsimust nr 2 ja arutage.

1. meeskond loeb 2. küsimust.

2. Leia täisnurk, anna definitsioon.

• Nurka 90° nimetatakse täisnurgaks.

2. meeskond loeb 2. küsimust.

2. Leia terav nurk määratluse andmiseks.

• Täisnurgast väiksemat nurka nimetatakse teravnurgaks.

3. meeskond loeb 2. küsimust.

2. Leia nürinurk, anna definitsioon.

Täisnurgast suuremat nurka nimetatakse nüriks.

Mikrorajoonis, kus Pencilile meeldis jalutada, erinesid kõik nurgad teistest elanikest selle poolest, et jalutasime alati kolmekesi, jõime koos teed, käisime koos kinos. Ja pliiats ei saanud aru, millise geomeetrilise kujundi kolm nurka koos moodustavad?

Luuletus annab sulle vihje.

Sina minu peal, sina tema peal
Vaadake meid kõiki.
Meil on kõik, meil on kõik
Meil on ainult kolm!

Millisele kujundile viidatakse?

• Kolmnurga kohta.

Millist kuju nimetatakse kolmnurgaks?

• Kolmnurk on geomeetriline kujund, millel on kolm tippu, kolm nurka ja kolm külge.

(Õppijad näitavad joonisel kolmnurka, nimetavad tipud, nurgad ja küljed).

Tipud: A, B, C (punktid)

Nurgad: BAC, ABC, BCA.

Küljed: AB, BC, CA (segmendid).

V. Kehaline kasvatus:

trampige oma jalga 8 korda,
Plaksutage käsi 9 korda
me kükitame 10 korda,
ja kummarduge 6 korda
hüppame otse
nii palju (kolmnurkne ekraan)
Hei, jah, loe! Mäng ja palju muud!

VI. Uue materjali õppimine.

Peagi said nurgad sõpradeks ja muutusid lahutamatuks.

Ja nüüd nimetame mikrorajooniks: kolmnurkade mikrorajoon.

Kolmas peatus on "Znayka".

Mis on nende kolmnurkade nimed?

Anname neile nimed. Ja proovime definitsiooni ise sõnastada.

2. Leia erinevat tüüpi kolmnurgad

1 meeskond leiab ja näitab nüri kolmnurki.

2 käsk otsib ja kuvab täisnurksed kolmnurgad.

3 käsk otsib ja kuvab teravad kolmnurgad.

VIII. Järgmine peatus on mõtlemine.

Ülesanne kõikidele meeskondadele.

Pärast 6 pulga nihutamist tehke laternast 4 võrdset kolmnurka.

Millised nurgad on kolmnurgad? (Teranurkne).

IX. Õppetunni kokkuvõte.

Millist linnaosa me külastasime?

Mis tüüpi kolmnurgad on teile tuttavad?

Standardmärgid

Kolmnurk tippudega A, B ja C tähistatud kui (vt joonis). Kolmnurgal on kolm külge:

Kolmnurga külgede pikkused on tähistatud väikeste ladina tähtedega (a, b, c):

Kolmnurgal on järgmised nurgad:

Nurki vastavates tippudes tähistatakse traditsiooniliselt kreeka tähtedega (α, β, γ).

Kolmnurkade võrdsuse märgid

Eukleidilise tasapinna kolmnurka saab üheselt (kuni kongruentsuseni) defineerida järgmiste põhielementide kolmikutega:

1. a, b, γ (kahe külje võrdsus ja nendevaheline nurk);
2. a, β, γ (külg- ja kahe külgneva nurga võrdsus);
3. a, b, c (kolme külje võrdsus).

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid:

1. mööda jalga ja hüpotenuusi;
2. kahel jalal;
3. piki jalga ja teravnurka;
4. hüpotenuus ja teravnurk.

Mõned kolmnurga punktid on "paaritud". Näiteks on kaks punkti, millest kõik küljed on nähtavad kas 60° või 120° nurga all. Neid kutsutakse täpid Torricelli. Samuti on kaks punkti, mille külgede projektsioonid asuvad korrapärase kolmnurga tippudes. See- Apolloniuse punktid. Punkte ja selliseid kutsutakse Brocardi punktid.

Otsene

Igas kolmnurgas asuvad raskuskese, ortotsenter ja piiritletud ringi keskpunkt samal sirgel, nn. Euleri joon.

Nimetatakse sirget, mis läbib piiritletud ringi keskpunkti ja Lemoine'i punkti Brokari telg. Apolloniuse punktid asuvad sellel. Torricelli punktid ja Lemoine'i punkt asuvad samuti samal sirgel. Kolmnurga nurkade välimiste poolitajate alused asuvad samal sirgel, nn. välispoolitajate telg. Samal sirgel asuvad ka ristkolmnurga külgi sisaldavate sirgete ja kolmnurga külgi sisaldavate sirgete lõikepunktid. Seda rida nimetatakse ortotsentriline telg, on see Euleri joonega risti.

Kui võtta punkt kolmnurga piiritletud ringil, siis selle projektsioonid kolmnurga külgedel asuvad ühel sirgel, nn. Simsoni sirgjoon antud punkt. Diameetriliselt vastandlike punktide Simsoni sirged on risti.

kolmnurgad

• Nimetatakse kolmnurka, mille tipud on läbi antud punkti tõmmatud tsevianide alustel ceviani kolmnurk see punkt.
• Nimetatakse kolmnurka, mille tipud on antud punkti projektsioonides külgedele naha alla või pedaali kolmnurk see punkt.
• Nimetatakse kolmnurka, mille tipud on läbi tippude ja antud punkti tõmmatud joonte teistes lõikepunktides piiritletud ringiga. ceviani kolmnurk. Cevia kolmnurk sarnaneb nahaaluse kolmnurgaga.

ringid

• Sisse kirjutatud ring on kolmnurga kõigi kolme külje puutuja. Ta on ainus. Nimetatud ringi keskpunkti nimetatakse tsenter.
• Piiratud ring- ringjoon, mis läbib kolmnurga kõiki kolme tippu. Ka piiritletud ring on ainulaadne.
• Tee ring- kolmnurga ühe külje puutuja ja kahe ülejäänud külje pikendus. Kolmnurgas on kolm sellist ringi. Nende radikaalne keskpunkt on keskmise kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt, nn Spiekeri mõte.

Kolmnurga kolme külje keskpunktid, selle kolme kõrguse alused ja kolme sirge lõigu keskpunktid, mis ühendavad selle tippe ortotsentriga, asuvad ühel ringil, mida nimetatakse üheksa punkti ring või Euleri ring. Üheksapunktilise ringi keskpunkt asub Euleri joonel. Üheksast punktist koosnev ring puudutab sissekirjutatud ringjoont ja kolme välisringi. Nimetatakse sisse kirjutatud ringi ja üheksast punktist koosneva ringi kokkupuutepunkti Feuerbachi punkt. Kui igast tipust asetatakse kolmnurgad väljapoole sirgjoontele, mille küljed on võrdse pikkusega ortoosid vastasküljed, siis asuvad saadud kuus punkti samal ringil - Conway ringid. Igasse kolmnurka saab kirjutada kolm ringi nii, et igaüks neist puudutab kolmnurga kahte külge ja kahte teist ringi. Selliseid ringe nimetatakse Malfatti ringid. Kuue kolmnurga, milleks kolmnurk on mediaanidega jagatud, piiritletud ringide keskpunktid asuvad ühel ringil, mida nimetatakse Lamun ring.

Kolmnurgal on kolm ringi, mis puudutavad kolmnurga ja piiritletud ringi kahte külge. Selliseid ringe nimetatakse pooleldi sisse kirjutatud või Verrieri ringid. Segmendid, mis ühendavad Verrier' ringide kokkupuutepunkte piiritletud ringiga, lõikuvad ühes punktis, nn. Verrier punkt. See toimib homoteedi keskpunktina, mis viib piiritletud ringi siseringi. Verrier' ringide puutepunktid külgedega asuvad sirgel, mis läbib sisse kirjutatud ringi keskpunkti.

Sissekirjutatud ringi puutujapunkte tippudega ühendavad sirglõigud lõikuvad ühes punktis, nn. Gergonne punkt, ja lõigud, mis ühendavad tippe välisringide kokkupuutepunktidega - sisse Nageli punkt.

Ellipsid, paraboolid ja hüperboolid

Sissekirjutatud koonus (ellips) ja selle perspektiiv

Kolmnurka saab kirjutada lõpmatu arvu koonuseid (ellipsi, parabooli või hüperbooli). Kui kirjutada kolmnurka suvaline koonus ja ühendada puutepunktid vastastippudega, siis saadud sirged lõikuvad ühes punktis, nn. perspektiivi koonused. Tasapinna mis tahes punkti jaoks, mis ei asu ühel küljel või selle laiendil, on selles punktis perspektiiviga sisse kirjutatud koonus.

Steineri ellips on piiritletud ja selle koldeid läbivad tsevivid

Kolmnurka, mis puudutab külgi keskpunktides, saab kirjutada ellipsi. Sellist ellipsit nimetatakse Steineri kirjutatud ellips(selle perspektiiv on kolmnurga tsentroid). Nimetatakse kirjeldatud ellipsi, mis puutub külgedega paralleelseid tippe läbivaid sirgeid mida piirab Steineri ellips. Kui afiinne teisendus ("kaldus") teisendab kolmnurga korrapäraseks, läheb selle sisse kirjutatud ja piiritletud Steineri ellips sissekirjutatud ja piiritletud ringiks. Läbi kirjeldatud Steineri ellipsi fookuste (Skutini punktid) tõmmatud tsevianid on võrdsed (Skutini teoreem). Kõigist piiritletud ellipsidest on Steineri piiritletud ellipsil kõige väiksem pindala ja kõigist kirjutatud ellipsidest on Steineri ellipsi pindala suurim.

Brocardi ellips ja selle uurija - Lemoine'i punkt

Nimetatakse ellipsi, mille fookused on Brokari punktides Brocardi ellips. Selle perspektiiv on Lemoine'i punkt.

Sissekirjutatud parabooli omadused

Kieperti parabool

Sissekirjutatud paraboolide perspektiivid asuvad piiritletud Steineri ellipsil. Sissekirjutatud parabooli fookus asub piiritletud ringil ja suund läbib ortotsentrit. Nimetatakse parabooli, mis on kirjutatud kolmnurka, mille suund on Euleri joon Kieperti parabool. Selle perspektiiv on piiratud ringi ja piiratud Steineri ellipsi neljas lõikepunkt, nn. Steineri punkt.

Cyperti hüperbool

Kui kirjeldatud hüperbool läbib kõrguste ristumispunkti, siis on see võrdkülgne (st selle asümptoodid on risti). Võrdkülgse hüperbooli asümptootide lõikepunkt asub üheksast punktist koosneval ringil.

Transformatsioonid

Kui tippe ja mõnda külgedel mitte asuvat punkti läbivad sirged ja nende pikendused peegelduvad vastavate poolitajate suhtes, siis ristuvad ka nende kujutised ühes punktis, mida nimetatakse nn. isogonaalselt konjugeeritud algne (kui punkt asus piiritletud ringil, siis on saadud jooned paralleelsed). Paljud tähelepanuväärsete punktide paarid on isogonaalselt konjugeeritud: piiritletud ringi keskpunkt ja ortotsenter, tsentroid ja Lemoine'i punkt, Brocardi punktid. Apolloniuse punktid on isogonaalselt konjugeeritud Torricelli punktidega ja siseringi keskpunkt on isogonaalselt konjugeeritud iseendaga. Isogonaalse konjugatsiooni toimel lähevad sirged koonusteks ja piiritletud koonused sirgeks. Seega on Kieperti hüperbool ja Brocardi telg, Enzhabeki hüperbool ja Euleri joon, Feuerbachi hüperbool ja sissekirjutatud ringi keskpunktide joon isogonaalselt konjugeeritud. Isogonaalselt konjugeeritud punktide subdermaalsete kolmnurkade piiritletud ringid langevad kokku. Sissekirjutatud ellipsi fookused on isogonaalselt konjugeeritud.

Kui sümmeetrilise tseviaani asemel võtame tseviaani, mille põhi on külje keskelt sama kaugel kui algse alus, siis ka sellised tsevianid ristuvad ühes punktis. Saadud teisendust nimetatakse isotoomne konjugatsioon. Samuti kaardistab see jooned piiratud koonusteks. Gergonne'i ja Nageli punktid on isotoomiliselt konjugeeritud. Afiinsete teisenduste korral lähevad isotoomiliselt konjugeeritud punktid isotoomiliselt konjugeeritud punktideks. Isotoomilise konjugatsiooni korral läheb kirjeldatud Steineri ellips lõpmatuses sirgjoonele.

Kui kolmnurga külgede poolt piiritletud ringist ära lõigatud segmentidesse on kirjutatud ringid, mis puudutavad teatud punkti kaudu tõmmatud tsevianide aluste külgi, ja siis ühendatakse nende ringide kokkupuutepunktid vastastippudega piiritletud ring, siis sellised sirged lõikuvad ühes punktis. Nimetatakse tasandi teisendust, mis sobitab algpunkti saadud punktiga isotirkulaarne transformatsioon. Isogonaalsete ja isotoomiliste konjugatsioonide koosseis on isotirkulaarse teisenduse koosseis iseendaga. See kompositsioon on projektiivne teisendus, mis jätab kolmnurga küljed paigale ja tõlgib välimiste poolitajate telje lõpmatuses sirgeks.

Kui jätkata mõne punkti ceviani kolmnurga külgi ja võtta nende lõikepunktid vastavate külgedega, siis asuvad saadud lõikepunktid ühel sirgel, nn. trilineaarne polaarne alguspunkt. Ortotsentriline telg - ortotsentri trilineaarne polaar; sissekirjutatud ringi keskpunkti kolmjooneline polaar on välimiste poolitajate telg. Piiratud koonusel asuvate punktide kolmjoonelised polaarsused lõikuvad ühes punktis (piiratud ringi puhul on see Lemoine'i punkt, piiritletud Steineri ellipsi puhul tsentroid). Isogonaalse (või isotoomilise) konjugatsiooni ja trilineaarse polaarsuse koosseis on duaalsusteisendus (kui punktiga konjugeeritud punkt isogonaalselt (isotoomiliselt) asub punkti trilineaarpolaarsusel, siis punkti trilineaarne polaar on isogonaalselt (isotoomiliselt) konjugaat punktiga asub punkti kolmjoonelisel polaarsel ).

Kuubikud

Suhted kolmnurgas

Märge: sisse see jaotis, , on kolmnurga kolme külje pikkused ja , , on nurgad, mis asuvad vastavalt nende kolme külje vastas (vastasnurgad).

kolmnurga ebavõrdsus

Mittemandunud kolmnurgas on selle kahe külje pikkuste summa suurem kui kolmanda külje pikkus, degenereerunud kolmnurgas on see võrdne. Teisisõnu on kolmnurga külgede pikkused seotud järgmiste ebavõrdsustega:

Kolmnurga ebavõrdsus on üks meetrika aksioomidest.

Kolmnurga nurkade summa teoreem

Siinuse teoreem

kus R on ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius. Teoreemist järeldub, et kui a< b < c, то α < β < γ.

Koosinusteoreem

Tangensiteoreem

Muud suhted

Kolmnurga meetrilised suhted on antud:

Kolmnurkade lahendamine

Kolmnurga tundmatute külgede ja nurkade arvutamist teadaolevate põhjal on ajalooliselt nimetatud "kolmnurga lahendusteks". Sel juhul kasutatakse ülaltoodud üldisi trigonomeetrilisi teoreeme.

Kolmnurga pindala

Piirkonna kohta kehtivad järgmised ebavõrdsused:

Kolmnurga pindala arvutamine ruumis vektorite abil

Olgu kolmnurga tipud punktides , , .

Tutvustame pindalavektorit . Selle vektori pikkus on võrdne kolmnurga pindalaga ja see on suunatud piki kolmnurga tasapinna normaalset:

Laskma , Kus , , on kolmnurga projektsioonid koordinaattasanditele. Kus

ja samamoodi

Kolmnurga pindala on.

Alternatiiviks on arvutada külgede pikkused (kasutades Pythagorase teoreemi) ja seejärel kasutada Heroni valemit.

Kolmnurga teoreemid

Desarguesi teoreem: kui kaks kolmnurka on perspektiivsed (kolmnurkade vastavaid tippe läbivad sirged lõikuvad ühes punktis), siis nende vastavad küljed lõikuvad ühel sirgel.

Sondi teoreem: kui kaks kolmnurka on perspektiivsed ja ortoloogsed (ühe kolmnurga tippudest langevad ristid kolmnurga vastavate tippude vastaskülgedele ja vastupidi), siis mõlemad ortoloogiakeskmed (nende ristnurkade lõikepunktid) ja perspektiivi keskpunkt asetsevad ühel sirgel, mis on perspektiivi teljega risti (sirge Desarguesi teoreemist).