Trigonomeetriliste võrrandite teooria. Keerulisemad trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise kontseptsioon.

• Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks teisendage see üheks või mitmeks trigonomeetriliseks põhivõrrandiks. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine taandub lõpuks nelja põhilise trigonomeetrilise võrrandi lahendamisele.

Paljude lahendamisel matemaatika ülesandeid, eriti need, mis toimuvad enne 10. klassi, on eesmärgini viivate tegevuste järjekord selgelt määratletud. Selliste ülesannete hulka kuuluvad näiteks lineaarne ja ruutvõrrandid, lineaarne ja ruutvõrratused, murdvõrrandid ja ruutvõrranditeks taandavad võrrandid. Iga nimetatud ülesande eduka lahendamise põhimõte on järgmine: tuleb kindlaks teha, millist tüüpi lahendatav probleem kuulub, meeles pidada vajalikku toimingute jada, mis viib soovitud tulemuseni, s.t. vastake ja järgige neid samme.

Ilmselt sõltub konkreetse ülesande lahendamise edu või ebaõnnestumine peamiselt sellest, kui õigesti on lahendatava võrrandi tüüp määratud, kui õigesti reprodutseeritakse selle lahendamise kõigi etappide jada. Loomulikult on sel juhul vaja oskusi identsete teisenduste ja arvutuste tegemiseks.

Erinev olukord tekib trigonomeetrilised võrrandid. Pole raske kindlaks teha, et võrrand on trigonomeetriline. Raskused tekivad õige vastuseni viivate toimingute jada kindlaksmääramisel.

Kõrval välimus võrrandite puhul on mõnikord raske selle tüüpi määrata. Ja võrrandi tüüpi teadmata on peaaegu võimatu valida õige mitmekümne trigonomeetrilise valemi hulgast.

Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks peame proovima:

1. viia kõik võrrandis sisalduvad funktsioonid "samade nurkade alla";
2. viia võrrand "samadele funktsioonidele";
3. faktoriseerida võrrandi vasak pool jne.

Kaaluge trigonomeetriliste võrrandite lahendamise põhimeetodid.

I. Taandamine lihtsaimateks trigonomeetrilisteks võrranditeks

Lahendusskeem

Samm 1. Väljendage trigonomeetrilist funktsiooni tuntud komponentide kaudu.

2. samm Funktsiooni argumentide leidmine valemite abil:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. samm Leidke tundmatu muutuja.

Näide.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lahendus.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muutuv asendus

Lahendusskeem

Samm 1. Viige võrrand ühe trigonomeetrilise funktsiooni suhtes algebraliseks vormiks.

2. samm Märgistage saadud funktsiooni muutujaga t (vajadusel seadke t-le sisse piirangud).

3. samm Kirjutage üles ja lahendage saadud algebraline võrrand.

4. samm Tehke vastupidine asendus.

5. samm Lahendage lihtsaim trigonomeetriline võrrand.

Näide.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lahendus.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olgu sin (x/2) = t, kus |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 või e = -3/2 ei täida tingimust |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Võrrandi järjekorra vähendamise meetod

Lahendusskeem

Samm 1. Asendage see võrrand lineaarsega, kasutades võimsuse vähendamise valemeid:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. samm Lahendage saadud võrrand meetodite I ja II abil.

Näide.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lahendus.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeensed võrrandid

Lahendusskeem

Samm 1. Viige see võrrand vormile

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogeenne võrrand esimene kraad)

või vaatele

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (teise astme homogeenne võrrand).

2. samm Jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja saada tg x võrrand:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. samm Lahendage võrrand tuntud meetoditega.

Näide.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lahendus.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olgu siis tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 või t = -4, seega

tg x = 1 või tg x = -4.

Esimesest võrrandist x = π/4 + πn, n Є Z; teisest võrrandist x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Meetod võrrandi teisendamiseks trigonomeetriliste valemite abil

Lahendusskeem

Samm 1. Kasutades igasuguseid trigonomeetrilised valemid, viige see võrrand võrrandisse, mis on lahendatud meetoditega I, II, III, IV.

2. samm Lahendage saadud võrrand tuntud meetoditega.

Näide.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lahendus.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 või 2cos x + 1 = 0;

Esimesest võrrandist 2x = π/2 + πn, n Є Z; teisest võrrandist cos x = -1/2.

Meil on x = π/4 + πn/2, n Є Z; teisest võrrandist x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Selle tulemusena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskus ja oskused on väga oluline, nende arendamine nõuab märkimisväärset pingutust nii õpilaselt kui ka õpetajalt.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega on seotud paljud stereomeetria, füüsika jm ülesanded, mille lahendamise protsess sisaldab justkui palju teadmisi ja oskusi, mis omandatakse trigonomeetria elementide õppimisel.

Trigonomeetrilistel võrranditel on matemaatika õpetamise ja üldiselt isiksuse kujunemise protsessis oluline koht.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
Esimene tund on tasuta!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Tund ja ettekanne teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.

Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arctangenti ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.

Trigonomeetrilised võrrandid - võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:

1) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:

3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk

5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk

Kõigi valemite puhul on k täisarv

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: Т(kx+m)=a, T- mis tahes trigonomeetriline funktsioon.

Lahenda võrrandid: a) sin(3x)= √3/2

Lahendus:

A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:

Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Läheme tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.

Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.

Lahendus:

A) Seekord läheme kohe otse võrrandi juurte arvutamise juurde:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk

Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.

B) Kirjutame kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.

Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendi kõik juured.

Lahendus:

Otsustame sisse üldine vaade meie võrrand: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Kui k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis .
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabavad nad uuesti.
Kui k=2, x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et me ei taba ka suure k puhul.

Vastus: x= π/16, x= 9π/16

Kaks peamist lahendusmeetodit.

Lahendame võrrandi:

Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mida tähistatakse: t=tg(x).

Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-1 ja t=1/3

Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saime lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Näide võrrandi lahendamisest

Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lahendus:

Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Meie võrrand on järgmine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2

Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.

Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Vormi võrrandid

teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagame selle cos(x)-ga: Te ei saa koosinusega jagada, kui see on nii null, teeme kindlaks, et see poleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei võrdu korraga nulliga, saime vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.

Lahenda võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Lahendus:

Võtke välja ühine tegur: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:

cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kui x= π/2 + πk;

Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, pidage alati kinni nendest reeglitest!

1. Vaadake, millega võrdub koefitsient a, kui a \u003d 0, siis on meie võrrand kujul cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), mille lahendi näide on eelmisel libisema

2. Kui a≠0, siis tuleb mõlemad võrrandi osad jagada ruudukoosinusega, saame:

Muudame muutujat t=tg(x), saame võrrandi:

Lahendage näide #:3

Jagage võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga:

Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1

Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Lahendage näide #:4

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Lahendage näide #:5

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2

Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lahenda võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].

3) Lahendage võrrand: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Paljude lahendamisel matemaatika ülesandeid, eriti need, mis toimuvad enne 10. klassi, on eesmärgini viivate tegevuste järjekord selgelt määratletud. Selliste probleemide hulka kuuluvad näiteks lineaar- ja ruutvõrrandid, lineaar- ja ruutvõrratused, murdvõrrandid ja ruutvõrrandid. Iga nimetatud ülesande eduka lahendamise põhimõte on järgmine: tuleb kindlaks teha, mis tüüpi lahendatav probleem kuulub, meeles pidada vajalikku toimingute jada, mis viib soovitud tulemuseni, s.t. vastake ja järgige neid samme.

Ilmselt sõltub konkreetse ülesande lahendamise edu või ebaõnnestumine peamiselt sellest, kui õigesti on lahendatava võrrandi tüüp määratud, kui õigesti reprodutseeritakse selle lahendamise kõigi etappide jada. Loomulikult on sel juhul vaja oskusi identsete teisenduste ja arvutuste tegemiseks.

Erinev olukord tekib trigonomeetrilised võrrandid. Pole raske kindlaks teha, et võrrand on trigonomeetriline. Raskused tekivad õige vastuseni viivate toimingute jada kindlaksmääramisel.

Mõnikord on võrrandi välimuse järgi selle tüüpi raske määrata. Ja võrrandi tüüpi teadmata on peaaegu võimatu valida õige mitmekümne trigonomeetrilise valemi hulgast.

Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks peame proovima:

1. viia kõik võrrandis sisalduvad funktsioonid "samade nurkade alla";
2. viia võrrand "samadele funktsioonidele";
3. faktoriseerida võrrandi vasak pool jne.

Kaaluge trigonomeetriliste võrrandite lahendamise põhimeetodid.

I. Taandamine lihtsaimateks trigonomeetrilisteks võrranditeks

Lahendusskeem

Samm 1. Väljendage trigonomeetrilist funktsiooni tuntud komponentide kaudu.

2. samm Funktsiooni argumentide leidmine valemite abil:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3. samm Leidke tundmatu muutuja.

Näide.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lahendus.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Vastus: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Muutuv asendus

Lahendusskeem

Samm 1. Viige võrrand ühe trigonomeetrilise funktsiooni suhtes algebraliseks vormiks.

2. samm Märgistage saadud funktsiooni muutujaga t (vajadusel seadke t-le sisse piirangud).

3. samm Kirjutage üles ja lahendage saadud algebraline võrrand.

4. samm Tehke vastupidine asendus.

5. samm Lahendage lihtsaim trigonomeetriline võrrand.

Näide.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lahendus.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Olgu sin (x/2) = t, kus |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 või e = -3/2 ei täida tingimust |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Vastus: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Võrrandi järjekorra vähendamise meetod

Lahendusskeem

Samm 1. Asendage see võrrand lineaarsega, kasutades võimsuse vähendamise valemeid:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. samm Lahendage saadud võrrand meetodite I ja II abil.

Näide.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lahendus.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Vastus: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeensed võrrandid

Lahendusskeem

Samm 1. Viige see võrrand vormile

a) a sin x + b cos x = 0 (esimese astme homogeenne võrrand)

või vaatele

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (teise astme homogeenne võrrand).

2. samm Jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja saada tg x võrrand:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3. samm Lahendage võrrand tuntud meetoditega.

Näide.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lahendus.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Olgu siis tg x = t

t2 + 3t-4 = 0;

t = 1 või t = -4, seega

tg x = 1 või tg x = -4.

Esimesest võrrandist x = π/4 + πn, n Є Z; teisest võrrandist x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Vastus: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Meetod võrrandi teisendamiseks trigonomeetriliste valemite abil

Lahendusskeem

Samm 1. Kasutades kõikvõimalikke trigonomeetrilisi valemeid, viige see võrrand võrrandiks, mida saab lahendada meetoditega I, II, III, IV.

2. samm Lahendage saadud võrrand tuntud meetoditega.

Näide.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lahendus.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 või 2cos x + 1 = 0;

Esimesest võrrandist 2x = π/2 + πn, n Є Z; teisest võrrandist cos x = -1/2.

Meil on x = π/4 + πn/2, n Є Z; teisest võrrandist x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Selle tulemusena x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Vastus: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise oskus ja oskused on väga oluline, nende arendamine nõuab märkimisväärset pingutust nii õpilaselt kui ka õpetajalt.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega on seotud paljud stereomeetria, füüsika jm ülesanded, mille lahendamise protsess sisaldab justkui palju teadmisi ja oskusi, mis omandatakse trigonomeetria elementide õppimisel.

Trigonomeetrilistel võrranditel on matemaatika õpetamise ja üldiselt isiksuse kujunemise protsessis oluline koht.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Trigonomeetrilised võrrandid pole just kõige lihtsam teema. Valusalt on need erinevad.) Näiteks need:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Kuid neil (ja kõigil teistel) trigonomeetrilistel koletistel on kaks ühist ja kohustuslikku tunnust. Esiteks – te ei usu seda – võrrandites on trigonomeetrilised funktsioonid.) Teiseks: kõik x-iga avaldised on samade funktsioonide raames. Ja ainult seal! Kui kuskil ilmub x väljas, näiteks, sin2x + 3x = 3, see on segatüüpi võrrand. Sellised võrrandid nõuavad individuaalset lähenemist. Siin me neid ei arvesta.

Ka selles tunnis ei lahenda me kurje võrrandeid.) Siin käsitlemegi lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Miks? Jah, sest otsus ükskõik milline trigonomeetrilised võrrandid koosnevad kahest etapist. Esimeses etapis taandatakse kurja võrrand erinevate teisenduste abil lihtsaks. Teisel - see lihtsaim võrrand on lahendatud. Ei muud moodi.

Seega, kui teil on probleeme teises etapis, pole esimesel etapil erilist mõtet.)

Kuidas näevad välja elementaartrigonomeetrilised võrrandid?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Siin a tähistab mis tahes numbrit. Ükskõik milline.

Muide, funktsiooni sees ei pruugi olla puhas x, vaid mingisugune avaldis, näiteks:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. See muudab elu keeruliseks, kuid ei mõjuta trigonomeetrilise võrrandi lahendamise meetodit.

Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid?

Trigonomeetrilisi võrrandeid saab lahendada kahel viisil. Esimene viis: loogika ja trigonomeetrilise ringi kasutamine. Uurime seda teed siin. Teist võimalust - mälu ja valemite kasutamist - käsitletakse järgmises õppetükis.

Esimene viis on selge, usaldusväärne ja raskesti unustatav.) See on hea trigonomeetriliste võrrandite, võrratuste ja igasuguste keeruliste asjade lahendamiseks. mittestandardsed näited. Loogika on tugevam kui mälu!

Võrrandid lahendame trigonomeetrilise ringi abil.

Sisaldame elementaarset loogikat ja trigonomeetrilise ringi kasutamise oskust. Kas sa ei saa!? Siiski... Trigonomeetrias saab sul raske olema...) Aga see ei loe. Heitke pilk õppetundidele "Trigonomeetriline ring ...... Mis see on?" ja "Nurkide loendamine trigonomeetrilisel ringil". Seal on kõik lihtne. Erinevalt õpikutest...)

Ah, tead!? Ja isegi meisterdatud "Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga"!? Võtke õnnitlused vastu. See teema on teile lähedane ja arusaadav.) Mis on eriti meeldiv, trigonomeetriline ring pole vahet, millise võrrandi sa lahendad. Siinus, koosinus, puutuja, kotangent – ​​tema jaoks on kõik sama. Lahenduse põhimõte on sama.

Seega võtame mis tahes elementaarse trigonomeetrilise võrrandi. Vähemalt see:

cosx = 0,5

Ma pean leidma X. Inimkeeles rääkides on vaja leida nurk (x), mille koosinus on 0,5.

Kuidas me ringi varem kasutasime? Joonistasime sellele nurga. Kraadides või radiaanides. Ja kohe nähtud selle nurga trigonomeetrilised funktsioonid. Nüüd teeme vastupidi. Joonista ringile koosinus 0,5 ja kohe me näeme nurk. Jääb vaid vastus kirja panna.) Jah, jah!

Joonistame ringi ja märgime koosinuse väärtusega 0,5. Koosinusteljel muidugi. Nagu nii:

Nüüd joonistame nurga, mille see koosinus meile annab. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti tahvelarvutis) ja vaata see sama nurk X.

Millise nurga koosinus on 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Mõni uriseb skeptiliselt, jah... Ütlevad, kas tasus ringi tarastada, kui kõik on nagunii selge... Nuriseda võib muidugi...) Aga fakt on see, et see on ekslik vastama. Või õigemini, ebapiisav. Ringi asjatundjad saavad aru, et on veel terve hunnik nurki, mis annavad ka koosinuse 0,5-ga.

Kui keerate liikuva külje OA täispöördeks, punkt A naaseb algasendisse. Sama koosinusega 0,5. Need. nurk muutub 360° või 2π radiaani ja koosinus ei ole. uus nurk 60° + 360° = 420° on ka meie võrrandi lahendus, sest

Selliseid täispöördeid on lõpmatu arv... Ja kõik need uued nurgad on meie trigonomeetrilise võrrandi lahendused. Ja need kõik tuleb kuidagi kirja panna. Kõik. Vastasel juhul otsust ei arvestata, jah ...)

Matemaatika saab seda teha lihtsalt ja elegantselt. Ühes lühikeses vastuses kirjutage üles lõpmatu hulk lahendusi. Meie võrrandi puhul näeb see välja järgmine:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ma dešifreerin. Kirjuta ikka tähendusrikkalt kenam kui rumalalt mingeid salapäraseid tähti joonistada, eks?)

π /3 on sama nurk, mis meie Saag ringil ja tuvastatud koosinuste tabeli järgi.

2π on üks täispööre radiaanides.

n - see on täielike, s.o. terve revolutsioonid. On selge, et n võib olla 0, ±1, ±2, ±3.... ja nii edasi. Nagu näitab lühike sissekanne:

n ∈ Z

n kuulub ( ∈ ) täisarvude hulka ( Z ). Muide, kirja asemel n saab kasutada tähti k, m, t jne.

See märge tähendab, et võite võtta mis tahes täisarvu n . Vähemalt -3, vähemalt 0, vähemalt +55. Mida sa tahad. Kui ühendate selle numbri oma vastusega, saate konkreetse nurga, mis on kindlasti meie karmi võrrandi lahendus.)

Või teisisõnu x \u003d π / 3 on lõpmatu hulga ainus juur. Kõigi teiste juurte saamiseks piisab, kui lisada π / 3-le suvaline arv täispöördeid ( n ) radiaanides. Need. 2πn radiaan.

Kõik? Ei. Venitan konkreetselt naudingut. Et paremini meeles pidada.) Saime vaid osa võrrandi vastustest. Kirjutan selle lahenduse esimese osa järgmiselt:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - mitte üks juur, see on terve rida juuri, mis on kirjutatud lühivormis.

Kuid on ka teisi nurki, mis annavad koosinuse 0,5-ga!

Tuleme tagasi oma pildi juurde, mille järgi vastuse kirja panime. Seal ta on:

Liigutage hiirt üle pildi ja vaata teine ​​nurk see annab ka koosinuse 0,5. Millega see teie arvates võrdub? Kolmnurgad on samad... Jah! Ta võrdne nurgaga X , joonistatud ainult negatiivses suunas. See on nurk -X. Aga me oleme x juba välja arvutanud. π /3 või 60°. Seetõttu võime julgelt kirjutada:

x 2 \u003d - π / 3

Ja loomulikult lisame kõik nurgad, mis saadakse täispöördega:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on nüüd kõik.) Trigonomeetrilises ringis me Saag(kes mõistab muidugi)) kõik nurgad, mis annavad koosinuse 0,5. Ja kirjutas need nurgad lühidalt üles matemaatiline vorm. Vastus on kaks lõpmatut juurte seeriat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on õige vastus.

Loodan, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üldpõhimõte ringi abil on arusaadav. Märgime ringjoonele etteantud võrrandist koosinuse (siinus, puutuja, kotangens), joonistame vastavad nurgad ja kirjutame vastuse üles. Muidugi peate välja mõtlema, mis nurgad me oleme Saag ringi peal. Mõnikord pole see nii ilmne. Noh, nagu ma ütlesin, on siin vaja loogikat.)

Näiteks analüüsime teist trigonomeetrilist võrrandit:

Pange tähele, et arv 0,5 ei ole võrrandites ainus võimalik arv!) Minu jaoks on lihtsalt mugavam kirjutada see kui juured ja murded.

Töötame üldpõhimõtte järgi. Joonistame ringi, märgime (siinusteljel loomulikult!) 0,5. Joonistame korraga kõik sellele siinusele vastavad nurgad. Saame selle pildi:

Kõigepealt tegeleme nurgaga. X esimesel kvartalil. Tuletame meelde siinuste tabeli ja määrame selle nurga väärtuse. Asi on lihtne:

x \u003d π / 6

Tuletame meelde täispöördeid ja paneme puhta südametunnistusega kirja esimesed vastuste seeriad:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pool tööd on tehtud. Nüüd peame määratlema teine ​​nurk... See on keerulisem kui koosinused, jah... Aga loogika päästab meid! Kuidas määrata teist nurka läbi x? Jah Lihtne! Pildil olevad kolmnurgad on samad ja punane nurk X võrdne nurgaga X . Ainult seda loetakse nurgast π negatiivses suunas. Sellepärast on see punane.) Ja vastuseks vajame positiivsest poolteljelt OX õigesti mõõdetud nurka, s.t. 0 kraadise nurga alt.

Hõljutage kursorit pildi kohal ja näete kõike. Esimese nurga eemaldasin, et pilti mitte keeruliseks ajada. Meie jaoks huvipakkuv nurk (joonistatud rohelisega) on võrdne:

π - x

x me teame seda π /6 . Nii et teine ​​nurk on järgmine:

π - π /6 = 5π /6

Jällegi tuletame meelde täispöörete lisamist ja paneme kirja teise seeria vastused:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

See on kõik. Täielik vastus koosneb kahest juurte seeriast:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangensi ja kotangensiga võrrandeid saab hõlpsasti lahendada, kasutades trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel sama üldpõhimõtet. Kui te muidugi ei tea, kuidas joonistada trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti.

Ülaltoodud näidetes kasutasin siinuse ja koosinuse tabeliväärtust: 0,5. Need. üks neist tähendustest, mida õpilane teab peab. Nüüd laiendame oma võimalusi kõik muud väärtused. Otsustage, nii et otsustage!)

Oletame, et peame lahendama järgmise trigonomeetrilise võrrandi:

Lühikestes tabelites sellist koosinuse väärtust pole. Me ignoreerime seda kohutavat tõsiasja jahedalt. Joonistame ringi, märgime koosinusteljele 2/3 ja joonistame vastavad nurgad. Me saame selle pildi.

Alustuseks saame aru esimese veerandi nurgaga. Et teada saada, millega x on võrdne, kirjutaksid nad vastuse kohe kirja! Me ei tea... Ebaõnnestumine!? Rahune! Matemaatika ei jäta oma hätta! Ta leiutas selle juhtumi jaoks kaarekoosinused. Ei tea? Asjatult. Uurige välja. See on palju lihtsam, kui arvate. Selle lingi järgi pole ühtegi keerulist loitsu "trigonomeetriliste pöördfunktsioonide" kohta ... See on siin teemas üleliigne.

Kui olete kursis, öelge endale: "X on nurk, mille koosinus on 2/3." Ja kohe, puhtalt arkosiini määratluse järgi, võime kirjutada:

Meenutame täiendavaid pöördeid ja kirjutame rahulikult üles meie trigonomeetrilise võrrandi esimesed juured:

x 1 = kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ka teine ​​juurte seeria kirjutatakse peaaegu automaatselt, teise nurga jaoks. Kõik on sama, ainult x (arccos 2/3) on miinusega:

x 2 = - kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja kõik asjad! See on õige vastus. Isegi lihtsam kui tabeliväärtustega. Te ei pea midagi meeles pidama.) Muide, kõige tähelepanelikumad märkavad, et see pilt lahendusega läbi kaarekoosinuse ei erine sisuliselt pildil olevast võrrandi cosx = 0,5 korral.

Täpselt nii! Üldine põhimõte sellepärast on see tavaline! Konkreetselt joonistasin kaks peaaegu identset pilti. Ring näitab meile nurka X koosinuse järgi. See on tabelikoosinus või mitte - ring ei tea. Mis nurk see on, π / 3 või milline kaarekoosinus on meie otsustada.

Siinusega sama laul. Näiteks:

Jällegi joonistame ringi, märgime siinuse, mis on võrdne 1/3-ga, joonistame nurgad. Selgub see pilt:

Ja jällegi on pilt peaaegu sama, mis võrrandi puhul sinx = 0,5. Taas alustame esimesel veerandajal nurgast. Millega võrdub x, kui selle siinus on 1/3? Pole probleemi!

Nii et esimene juurtepakk on valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Heidame pilgu teise nurga alla. Näites tabeli väärtusega 0,5 oli see võrdne:

π - x

Nii et siin on see täpselt sama! Ainult x on erinev, arcsin 1/3. Mis siis!? Teise juurpaki võite julgelt kirjutada:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

See on täiesti õige vastus. Kuigi see ei tundu väga tuttav. Aga see on arusaadav, ma loodan.)

Nii lahendatakse ringi abil trigonomeetrilisi võrrandeid. See tee on selge ja arusaadav. Just tema salvestab trigonomeetrilistes võrrandites juurte valikuga antud intervallil, trigonomeetrilistes võrratustes - need lahendatakse üldiselt peaaegu alati ringis. Ühesõnaga kõigis tavapärastest pisut keerulisemates ülesannetes.

Kas teadmisi praktikas rakendada?

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine:

Alguses on see lihtsam, otse selle õppetüki kohta.

Nüüd on see keerulisem.

Vihje: siin tuleb mõelda ringi peale. Isiklikult.)

Ja nüüd väliselt tagasihoidlikud ... Neid nimetatakse ka erijuhtudeks.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: siin peate ringis välja mõtlema, kus on kaks vastuste seeriat ja kus üks ... Ja kuidas kahe vastuseseeria asemel üks üles kirjutada. Jah, nii et ükski juur lõpmatust arvust ei läheks kaotsi!)

Noh, üsna lihtne):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: siin peate teadma, mis on arcsiinus, arkosiinus? Mis on kaartangens, kaartangens? Enamik lihtsad määratlused. Kuid te ei pea meeles pidama ühtegi tabeliväärtust!)

Vastused on loomulikult segased):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Kas kõik ei õnnestu? Tuleb ette. Lugege õppetund uuesti läbi. Ainult mõtlikult(selline on olemas vananenud sõna...) Ja järgige linke. Peamised lingid on seotud ringiga. Ilma selleta trigonomeetrias - kuidas ületada teed kinniseotud silmadega. Mõnikord see töötab.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.