Ruutvõrratuste süsteemid ja nende lahendamise viisid. Ruutvõrratused, näited, lahendid
Ruut ebavõrdsus - "ALT ja KUNI".Selles artiklis käsitleme ruutvõrratuste lahendust, mida nimetatakse peensusteni. Soovitan artikli materjali hoolikalt uurida, ilma millestki ilma jäämata. Te ei saa artiklit kohe omandada, soovitan seda teha mitmel viisil, teavet on palju.
Sisu:
Sissejuhatus. Tähtis!
Sissejuhatus. Tähtis!
Ruutvõrratus on vormi ebavõrdsus:
Kui võtad ruutvõrrand ja asendage võrdusmärk mis tahes ülaltooduga, saate ruudu ebavõrdsus. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab vastata küsimusele, milliste x väärtuste korral antud ebavõrdsus tõene on. Näited:
10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0
2 x 2 + 5 x –500 > 0
– 15 x 2 – 2 x+13 > 0
8 x 2 – 15 x+45≠ 0
Ruutvõrratust saab määrata kaudselt, näiteks:
10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56
2 x 2 > 36
8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13
0> – 15 x 2 – 2 x+13
Sel juhul peate täitma algebralised teisendused ja too ta juurde standardvaade (1).
*Koefitsiendid võivad olla nii murdosalised kui ka irratsionaalsed, kuid sisse kooli õppekava sellised näited on haruldased, KASUTADA ülesandeid ei kohtu üldse. Kuid ärge kartke, kui näiteks kohtate:
See on ka ruutvõrdsus.
Esiteks kaaluge lihtsat lahendusalgoritmi, mis ei nõua arusaamist sellest, mis on ruutfunktsioon ja kuidas selle graafik koordinaattasandil koordinaattelgede suhtes välja näeb. Kui suudate teavet kindlalt ja pikka aega meelde jätta, samal ajal seda regulaarselt harjutades tugevdades, aitab algoritm teid. Samuti, kui teil, nagu öeldakse, on vaja selline ebavõrdsus "korraga" lahendada, aitab teid algoritm. Seda järgides viid otsuse hõlpsalt ellu.
Kui õpite koolis, siis soovitan tungivalt alustada artikli uurimist teisest osast, mis räägib lahenduse kogu tähendusest (vt allpool lõigust -). Kui olemusest aru saadakse, pole vaja mitte õppida, mitte pähe õppida määratud algoritmi, saate hõlpsalt kiiresti lahendada igasuguse ruutvõrratuse.
Loomulikult tuleks kohe alustada selgitust ruutfunktsiooni graafikuga ja selgitada tähendust ennast, kuid otsustasin artikli sellisel viisil "ehitada".
Veel üks teoreetiline hetk! Vaadake valemit ruudukujulise trinoomi teguriteks arvestamiseks:
kus x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi ax 2 juured+ bx+c=0
* Ruutvõrratuse lahendamiseks on vaja ruudukujulist trinoomi faktoriseerida.
Allpool esitatud algoritmi nimetatakse ka intervallmeetodiks. See sobib vormi ebavõrdsuse lahendamiseks f(x)>0, f(x)<0 , f(x)≥0 jaf(x)≤0 . Pange tähele, et kordajaid võib olla rohkem kui kaks, näiteks:
(x–10) (x+5) (x–1) (x+104) (x+6) (x–1)<0
Lahenduse algoritm. intervalli meetod. Näited.
Arvestades ebavõrdsust kirves 2 + bx+ c > 0 (ükskõik milline märk).
1. Kirjutage ruutvõrrand kirves 2 + bx+ c = 0 ja me lahendame selle. Saame x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi juured.
2. Asendus valemis (2) koefitsiendis a ja juured. :
a(x – x 1 )(x – x 2)>0
3. Määrake arvujoonel olevad intervallid (võrrandi juured jagavad arvutelje intervallideks):
4. Määrame intervallide (+ või -) "märgid", asendades avaldises iga vastuvõetud intervalli suvalise väärtuse "x":
a(x – x 1 )(x – x2)
ja tähistada neid.
5. Jääb vaid välja kirjutada meid huvitavad intervallid, need on märgitud:
- märk "+", kui ebavõrdsus oli ">0" või "≥0".
- märk "-", kui ebavõrdsus oli "<0» или «≤0».
MÄRGE!!! Ebavõrdsuse märgid võivad olla järgmised:
range on ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».
Kuidas see mõjutab otsuse tulemust?
Rangete ebavõrdsusmärkide korral EI KAASA intervalli piire lahendisse, samas kui vastuses kirjutatakse intervall ise kujul ( x 1 ; x 2 ) on ümarsulud.
Mitterangete ebavõrdsuse märkide korral sisestage intervalli piirid lahendus ja vastus kirjutatakse järgmiselt [ x 1 ; x 2 ] - nurksulud.
*See ei kehti ainult ruutvõrratuste kohta. Ruudusulg tähendab, et intervallipiir ise on lahendusse kaasatud.
Seda näete näidetes. Vaatame mõnda, et eemaldada kõik sellega seotud küsimused. Teoreetiliselt võib algoritm tunduda mõnevõrra keeruline, tegelikult on kõik lihtne.
NÄIDE 1: Otsustage x 2 – 60 x+500 ≤ 0
Lahendame ruutvõrrandi x 2 –60 x+500=0
D = b 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600
Juurte leidmine:
Asendame koefitsiendi a
x 2 –60 x+500 = (x-50) (x-10)
Kirjutame ebavõrdsuse vormi (х–50) (х–10) ≤ 0
Võrrandi juured jagavad arvurea intervallideks. Näitame neid numbrireal:
Saime kolm intervalli (–∞;10), (10;50) ja (50;+∞).
Määrame intervallidel "märgid", teeme seda, asendades iga saadud intervalli suvalised väärtused avaldisesse (x–50) (x–10) ja vaatame saadud „märgi“ vastavust kirjuta sisse ebavõrdsusse (х–50) (х–10) ≤ 0:
x=2 (x–50) (x–10) = 384 > 0 on vale
x=20 (x–50) (x–10) = –300 < 0 верно
x=60 (x–50) (x–10) = 500 > 0 on vale
Lahenduseks on intervall.
Kõigi selle intervalli x väärtuste korral on ebavõrdsus tõene.
*Pange tähele, et oleme lisanud nurksulud.
Kui x = 10 ja x = 50, on ka ebavõrdsus tõene, see tähendab, et piirid on lahendusesse kaasatud.
Vastus: x∊
Veelkord:
- Intervalli piirid ON HARJUTUD ebavõrdsuse lahendisse, kui tingimus sisaldab märki ≤ või ≥ (mitterange ebavõrdsus). Samas on kombeks saadud juuri visandil kuvada HASHED ringiga.
- Intervalli piirid EI KAASA võrratuse lahendisse, kui tingimus sisaldab märki< или >(range ebavõrdsus). Samal ajal on kombeks visandil kuvada juur UNSHATCHED ringiga.
NÄIDE 2: Lahenda x 2 + 4 x–21 > 0
Lahendame ruutvõrrandi x 2 + 4 x–21 = 0
D = b 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100
Juurte leidmine:
Asendame koefitsiendi a ja juurdub valemisse (2), saame:
x 2 + 4 x–21 = (x–3) (x+7)
Kirjutame ebavõrdsuse vormi (х–3) (х+7) > 0.
Võrrandi juured jagavad arvurea intervallideks. Märgime need numbrireale:
*Ebavõrdsus ei ole range, mistõttu juurte tähistus EI OLE varjutatud. Saime kolm intervalli (–∞;–7), (–7;3) ja (3;+∞).
Määrame intervallide “märgid”, teeme seda, asendades nende intervallide suvalised väärtused avaldisesse (x–3) (x + 7) ja vaatame vastavust ebavõrdsusele. (х–3) (х+7)> 0:
x= -10 (-10-3) (-10 +7) = 39 > 0 tõene
x \u003d 0 (0–3) (0 + 7) \u003d -21< 0 неверно
x=10 (10–3) (10 +7) = 119 > 0 tõene
Lahenduseks on kaks intervalli (–∞;–7) ja (3;+∞). Kõigi nende intervallide x väärtuste korral on ebavõrdsus tõene.
*Pange tähele, et oleme lisanud sulud. Kui x = 3 ja x = -7, on ebavõrdsus vale – piirid ei sisaldu lahenduses.
Vastus: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)
NÄIDE 3: Lahenda – x 2 –9 x–20 > 0
Lahendame ruutvõrrandi – x 2 –9 x–20 = 0.
a = –1 b = –9 c = –20
D = b 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.
Juurte leidmine:
Asendame koefitsiendi a ja juurdub valemisse (2), saame:
– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= – (x+5) (x+4)
Kirjutame ebavõrdsuse vormi –(x+5)(x+4) > 0.
Võrrandi juured jagavad arvurea intervallideks. Märkus numbrireal:
*Ebavõrdsus on range, seega pole juurte sümboleid varjutatud. Saime kolm intervalli (–∞;–5), (–5; –4) ja (–4;+∞).
Määrame intervallidel "märgid", teeme seda avaldisesse asendades –(x+5)(x+4) nende intervallide suvalised väärtused ja vaadake vastavust ebavõrdsusele –(x+5)(x+4)>0:
at x= -10 - (-10+5)(-10 +4) = -30< 0 неверно
x= –4,5 – (–4,5+5) (–4,5+4) = 0,25 > 0 tõene
x \u003d 0 - (0 + 5) (0 + 4) \u003d -20< 0 неверно
Lahenduseks on intervall (-5; -4). Kõigi selle juurde kuuluvate "x" väärtuste puhul on ebavõrdsus tõsi.
*Pange tähele, et lahendus ei sisalda piire. Kui x = -5 ja x = -4, ei ole ebavõrdsus tõene.
KOMMENTEERI!
Ruutvõrrandi lahendamisel võime saada ühe juure või puuduvad juured üldse, siis võib seda meetodit pimesi kasutades olla raske lahendust määrata.
Väike kokkuvõte! Meetod on hea ja mugav kasutada, eriti kui tunned ruutfunktsiooni ja tead selle graafiku omadusi. Kui ei, siis lugege see läbi ja jätkake järgmise jaotisega.
Ruutfunktsiooni graafiku kasutamine. Ma soovitan!
Ruutarvuline on vormi funktsioon:
Selle graafik on parabool, parabooli harud on suunatud üles või alla:
Diagrammi saab leida järgmisel viisil: võib ületada x-telge kahes punktis, võib puudutada seda ühes punktis (tipp), ei tohi ristuda. Sellest lähemalt hiljem.
Vaatame nüüd seda lähenemisviisi näitega. Kogu otsustusprotsess koosneb kolm etappi. Lahendame ebavõrdsuse x 2 +2 x –8 >0.
Esimene aste
Lahenda võrrand x 2 +2 x–8=0.
D = b 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36
Juurte leidmine:
Saime x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d - 4.
Teine faas
Parabooli ehitamine y=x 2 +2 x–8 punktide kaupa:
Punktid - 4 ja 2 on parabooli ja x-telje lõikepunktid. Kõik on lihtne! Mida nad tegid? Oleme ruutvõrrandi lahendanud x 2 +2 x–8=0. Vaadake tema postitust nii:
0 = x2+2x-8
Null on meie jaoks "y" väärtus. Kui y = 0, saame parabooli ja x-telje lõikepunktide abstsissid. Võime öelda, et "y" nullväärtus on x-telg.
Nüüd vaadake, millised x väärtused on avaldis x 2 +2 x – 8 suurem (või väiksem) kui null? Paraboolgraafiku järgi pole seda raske kindlaks teha, nagu öeldakse, kõik on silme ees:
1. Kell x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 saab olema positiivne.
2. Kell -4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 saab olema negatiivne.
3. Kui x > 2, asub parabooli haru x-telje kohal. Antud x jaoks on kolmik x 2 +2 x –8 saab olema positiivne.
Kolmas etapp
Paraboolist näeme kohe, millise x jaoks on avaldis x 2 +2 x–8 suurem kui null, võrdne nulliga, vähem kui null. See on lahenduse kolmanda etapi olemus, nimelt näha ja määrata joonisel positiivsed ja negatiivsed alad. Võrdleme tulemust algse võrratusega ja kirjutame vastuse üles. Meie näites on vaja määrata kõik x väärtused, mille jaoks avaldis on x 2 +2 x–8 Üle nulli. Tegime seda teises etapis.
Jääb üle vastus kirja panna.
Vastus: x∊(–∞;–4) U (2;∞).
Kokkuvõtteks: olles arvutanud esimeses etapis võrrandi juured, saame märgistada saadud punktid x-teljele (need on parabooli lõikepunktid x-teljega). Järgmiseks ehitame skemaatiliselt parabooli ja juba näemegi lahendust. Miks visandlik? Me ei vaja matemaatiliselt täpset ajakava. Jah, ja kujutage ette, näiteks kui juured on 10 ja 1500, proovige sellise väärtusvahemikuga lahtris lehele koostada täpne graafik. Tekib küsimus! Noh, saime juured kätte, noh, märkisime need x-teljele ja visandasime parabooli enda asukoha - kas okstega üles või alla? Siin on kõik lihtne! Koefitsient x 2 juures ütleb teile:
- kui see on suurem kui null, siis on parabooli harud suunatud ülespoole.
- kui see on väiksem kui null, siis on parabooli harud suunatud allapoole.
Meie näites on see võrdne ühega, see tähendab, et see on positiivne.
*Märge! Kui võrratuses on mitterange märk, st ≤ või ≥, siis tuleks arvureal olevad juured varjutada, see näitab tinglikult, et intervalli enda piir sisaldub võrratuse lahendis. Sel juhul juured ei ole varjutatud (välja löödud), kuna meie ebavõrdsus on range (seal on märk “>”). Mida annab vastuseks, antud juhul panna ümmargused sulud, mitte nurksulud (piire lahenduses ei ole).
Palju kirjutatud, ilmselt on keegi segaduses. Kuid kui lahendate paraboolide abil vähemalt 5 võrratust, pole teie imetlusel piire. Kõik on lihtne!
Niisiis, lühidalt:
1. Paneme ebavõrdsuse kirja, toome selle standardseks.
2. Kirjutame ruutvõrrandi üles ja lahendame selle.
3. Joonistame x-telje, märgime saadud juured, joonistame skemaatiliselt parabooli, hargneme üles, kui koefitsient x 2 juures on positiivne, või hargneme alla, kui see on negatiivne.
4. Määrame visuaalselt positiivsed või negatiivsed alad ja kirjutame vastuse vastavalt algsele ebavõrdsusele.
Kaaluge näiteid.
NÄIDE 1: Otsustage x 2 –15 x+50 > 0
Esimene aste.
Lahendame ruutvõrrandi x 2 –15 x+50=0
D = b 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25
Juurte leidmine:
Teine faas.
Ehitame telje oh. Märgistame saadud juured. Kuna meie ebavõrdsus on range, siis me neid ei varjuta. Ehitame skemaatiliselt parabooli, see asub harudega ülespoole, kuna koefitsient x 2 juures on positiivne:
Kolmas etapp.
Defineerime visuaalselt positiivsed ja negatiivsed valdkonnad, märkisime need siia erinevad värvid selguse huvides ei saa te seda teha.
Kirjutame vastuse üles.
Vastus: x∊(–∞;5) U (10;∞).
*Märk U tähistab liitlahendust. Piltlikult öeldes on lahendus “see” JA “see” intervall.
NÄIDE 2: Lahenda – x 2 + x+20 ≤ 0
Esimene aste.
Lahendame ruutvõrrandi – x 2 + x+20=0
D = b 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81
Juurte leidmine:
Teine faas.
Ehitame telje oh. Märgistame saadud juured. Kuna meie ebavõrdsus ei ole range, varjutame juurte tähistust. Ehitame skemaatiliselt parabooli, see asub harudega allapoole, kuna koefitsient x 2 juures on negatiivne (see võrdub -1):
Kolmas etapp.
Määratleme visuaalselt positiivsed ja negatiivsed valdkonnad. Võrrelge algse võrratusega (meie märk ≤ 0). Ebavõrdsus kehtib x ≤ - 4 ja x ≥ 5 korral.
Kirjutame vastuse üles.
Vastus: x∊(–∞;–4] U ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) või x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Näide 3
Lahendage ruutvõrratus - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
Lahendus
Esmalt leiame ruudukujulise trinoomi juured ebavõrdsuse vasakult küljelt:
D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7
See on range ebavõrdsus, seega kasutame graafikul "tühja" punkti. Koordinaadiga 7 .
Nüüd peame määrama saadud intervallide (− ∞ , 7) ja (7 , + ∞) märgid. Kuna ruudukujulise trinoomi diskriminant null, ja juhtiv koefitsient on negatiivne, siis paneme üles märgid − , − :
Kuna me lahendame märgiga ebavõrdsust< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
Sel juhul on lahenditeks mõlemad intervallid (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
Vastus:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) või muus tähises x ≠ 7 .
Näide 4
Kas ruutvõrratus x 2 + x + 7< 0 решения?
Lahendus
Leiame ruudukujulise trinoomi juured võrratuse vasakult küljelt. Selleks leiame diskriminandi: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Diskriminant on väiksem kui null, seega pole tõelisi juuri.
Graafiline pilt näeb välja nagu arvurida, millele pole märgitud punkte.
Määrame ruudu kolmiku väärtuste märgi. D juures< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
Sel juhul võiksime lünkade kohale viirutada märgiga “-”. Aga meil selliseid lünki ei ole. Nii et joonistus näeb välja selline:
Arvutuste tulemusena saime tühja komplekti. See tähendab, et sellel ruutvõrral pole lahendusi.
Vastus: Ei.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Matemaatilise ebavõrdsuse mõiste tekkis iidsetel aegadel. See juhtus siis, kui primitiivsel inimesel tekkis vajadus võrrelda oma arvu ja suurust loendamisel ning tegevusi erinevate objektidega. Juba iidsetest aegadest on ebavõrdsust oma arutlustes kasutanud Archimedes, Euclid ja teised kuulsad teadlased: matemaatikud, astronoomid, disainerid ja filosoofid.
Kuid reeglina kasutasid nad oma töödes verbaalset terminoloogiat. Esimest korda leiutati ja rakendati Inglismaal tänapäevased märgid mõistete "rohkem" ja "vähem" tähistamiseks sellisel kujul, mida iga koolilaps tänapäeval tunneb. Matemaatik Thomas Harriot osutas järeltulijatele sellist teenust. Ja see juhtus umbes neli sajandit tagasi.
Ebavõrdsust on mitut tüüpi. Nende hulgas on lihtsad, mis sisaldavad ühte, kahte või enamat muutujat, ruut-, murd-, komplekssuhteid ja isegi avaldiste süsteemiga. Ja ebavõrdsuse lahendamise mõistmiseks on kõige parem kasutada erinevaid näiteid.
Ärge jätke rongi maha
Alustuseks kujutage ette, et maapiirkonna elanik kiirustab raudteejaama, mis asub tema külast 20 km kaugusel. Et kell 11 väljuvast rongist mitte maha jääda, peab ta õigel ajal majast lahkuma. Mis ajal peaks seda tegema, kui tema liikumiskiirus on 5 km/h? Selle praktilise ülesande lahendus on taandatud avaldise tingimuste täitmisele: 5 (11 - X) ≥ 20, kus X on väljumisaeg.
See on arusaadav, sest vahemaa, mille külaelanik peab jaamani läbima, võrdub liikumiskiiruse korrutisega teel oldud tundide arvuga. Inimene võib varem kohale tulla, kuid ta ei saa hiljaks jääda. Teades, kuidas ebavõrdsust lahendada, ja rakendades oma oskusi praktikas, saame lõpuks X ≤ 7, mis on vastus. See tähendab, et külamees peaks minema hommikul kell seitse või veidi varem raudteejaama.
Numbrivahed koordinaatide sirgel
Nüüd uurime, kuidas kaardistada kirjeldatud seoseid ülaltoodud ebavõrdsusega, mis ei ole range. See tähendab, et muutuja väärtus võib olla väiksem kui 7 ja võib olla võrdne selle arvuga. Toome teisi näiteid. Selleks kaaluge hoolikalt allolevat nelja joonist.
Esimesel neist näete intervalli graafilist esitust [-7; 7]. See koosneb numbrite komplektist, mis asuvad koordinaatjoonel ja asuvad vahemikus -7 kuni 7, sealhulgas piirid. Sel juhul kuvatakse graafiku punktid täidetud ringidena ja intervall salvestatakse kasutades
Teine joonis on range ebavõrdsuse graafiline kujutis. Sel juhul ei kuulu määratud komplekti piirinumbrid -7 ja 7, mis on näidatud läbitorkatud (täitmata) punktidega. Ja intervall ise märgitakse sulgudesse järgmiselt: (-7; 7).
See tähendab, et olles välja mõelnud, kuidas seda tüüpi ebavõrdsust lahendada ja saanud sarnase vastuse, võime järeldada, et see koosneb arvudest, mis jäävad vaadeldavate piiride vahele, välja arvatud -7 ja 7. Järgmised kaks juhtumit tuleb hinnata sarnasel viisil. Kolmas joonis näitab tühikute kujutisi (-∞; -7] U )
