Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid. Trigonomeetrilised võrrandid

Lahendus kõige lihtsamast trigonomeetrilised võrrandid.

Mis tahes keerukusega trigonomeetriliste võrrandite lahendamine taandub lõpuks kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisele. Ja selles parim abiline jällegi osutub trigonomeetriliseks ringiks.

Tuletage meelde koosinuse ja siinuse määratlusi.

Nurga koosinus on ühikringi punkti abstsiss (st koordinaat piki telge), mis vastab antud nurga võrra pööramisele.

Nurga siinus on ühikringi punkti ordinaat (st koordinaat piki telge), mis vastab antud nurga võrra pööramisele.

Positiivseks liikumise suunaks piki trigonomeetrilist ringi loetakse liikumist vastupäeva. Pööramine 0 kraadi (või 0 radiaani) vastab punktile koordinaatidega (1; 0)

Me kasutame neid määratlusi kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.

1. Lahenda võrrand

See võrrand on täidetud kõigi selliste pöördenurga väärtustega, mis vastavad ringi punktidele, mille ordinaat on võrdne .

Märgime y-teljel punkti ordinaatidega:

Joonistage x-teljega paralleelne horisontaaljoon, kuni see lõikub ringiga. Ringjoonel lamades ja ordinaatidega saame kaks punkti. Need punktid vastavad pöördenurkadele ja radiaanidele:

Kui me, olles lahkunud punktist, mis vastab pöördenurgale radiaani kohta, läheme ümber täisringi, siis jõuame punkti, mis vastab pöördenurgale radiaani kohta ja millel on sama ordinaat. See tähendab, et see pöördenurk rahuldab ka meie võrrandit. Saame teha nii palju "tühikäigulisi" pöördeid, kui tahame, naastes samasse punkti ja kõik need nurga väärtused rahuldavad meie võrrandit. "Tühikäigu" pöörete arv on tähistatud tähega (või). Kuna me saame neid pöördeid teha nii positiivses kui ka negatiivses suunas, võib (või ) võtta mis tahes täisarvu.

See tähendab, et algse võrrandi lahenduste esimene seeria on kujul:

, , - täisarvude hulk (1)

Sarnaselt on teisel lahenduste seeria vorm:

, kus , . (2)

Nagu arvasite, põhineb see lahendusseeria ringi punktil, mis vastab pöördenurgale .

Need kaks lahenduste seeriat saab ühendada üheks kirjeks:

Kui võtame selle sissekande (st paaris), siis saame esimese seeria lahendusi.

Kui võtame selle sissekande (st paaritu), saame teise seeria lahendusi.

2. Nüüd lahendame võrrandi

Kuna läbi nurga pööramisel saadud ühikringi punkti abstsiss on , siis märgime teljele punkti abstsissiga :

Joonistage teljega paralleelne vertikaaljoon, kuni see lõikub ringiga. Ringjoonel lamades ja abstsissil on kaks punkti. Need punktid vastavad pöördenurkadele ja radiaanidele. Tuletame meelde, et päripäeva liikudes saame negatiivse pöördenurga:

Kirjutame üles kaks lahenduste seeriat:

,

,

(Õige punkti jõuame peamisest täisringist möödudes, st.

Ühendame need kaks seeriat üheks postituseks:

3. Lahenda võrrand

Puutujate joon läbib OY-teljega paralleelset ühikuringi koordinaatidega (1,0) punkti

Märkige sellele punkt, mille ordinaat on võrdne 1-ga (otsime puutujat, mille nurgad on 1):

Ühendage see punkt sirgjoonega lähtepunktiga ja märkige sirge lõikepunktid ühikringiga. Sirge ja ringi lõikepunktid vastavad pöördenurkadele ja :

Kuna meie võrrandit rahuldavatele pöördenurkadele vastavad punktid asuvad üksteisest radiaanide kaugusel, saame lahenduse kirjutada järgmiselt:

4. Lahenda võrrand

Kootangentide joon läbib punkti, mille ühikringi koordinaadid on paralleelsed teljega.

Märgime punkti abstsiss-1-ga kotangentide reale:

Ühendage see punkt sirge alguspunktiga ja jätkake seda, kuni see lõikub ringiga. See joon lõikab ringi punktides, mis vastavad pöördenurkadele ja radiaanidele:

Kuna need punktid on üksteisest eraldatud vahemaaga, mis on võrdne , saame selle võrrandi üldlahenduse kirjutada järgmiselt:

Toodud näidetes, illustreerides lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendust, kasutati tabeliväärtusi trigonomeetrilised funktsioonid.

Kui aga võrrandi paremal küljel on mittetabeliväärtus, siis asendame võrrandi üldlahendis väärtuse:

ERILAHENDUSED:

Märkige ringile punktid, mille ordinaat on 0:

Märgi ringil üks punkt, mille ordinaat on 1:

Märkige ringil üks punkt, mille ordinaat on võrdne -1:

Kuna tavaks on näidata nullile lähimad väärtused, kirjutame lahenduse järgmiselt:

Märgi punktid ringile, mille abstsiss on 0:

5.
Märgime ringile ühe punkti, mille abstsiss on võrdne 1-ga:

Märkige ringile üks punkt, mille abstsiss on võrdne -1:

Ja mõned keerulisemad näited:

1.

Siinus on üks, kui argument on

Meie siinuse argument on , seega saame:

Jagage võrrandi mõlemad pooled 3-ga:

Vastus:

2.

Koosinus null kui koosinusargument on

Meie koosinuse argument on , seega saame:

Väljendame , selleks liigume kõigepealt paremale vastupidise märgiga:

Lihtsustage paremat külge:

Jagage mõlemad osad -2-ga:

Pange tähele, et märk enne terminit ei muutu, kuna k võib võtta mis tahes täisarvu.

Vastus:

Ja lõpetuseks vaadake videoõpetust "Juurte valimine trigonomeetrilises võrrandis kasutades trigonomeetriline ring"

Sellega lõpeb vestlus kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üle. Järgmine kord räägime, kuidas lahendada.

Teadmiste kompleksse rakendamise tund.

Tunni eesmärgid.

1. Kaaluge erinevaid meetodeid trigonomeetriliste võrrandite lahendused.
2. Areng loovusõpilased võrrandeid lahendades.
3. Õpilaste julgustamine enesekontrollile, vastastikusele kontrollile, oma õppetegevuse eneseanalüüsile.

Varustus: ekraan, projektor, võrdlusmaterjal.

Tundide ajal

Sissejuhatav vestlus.

Peamine meetod trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on nende lihtsaim taandamine. Sel juhul kasutatakse tavalisi meetodeid, näiteks faktoriseerimist, aga ka tehnikaid, mida kasutatakse ainult trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks. Neid nippe on päris palju, näiteks erinevad trigonomeetrilised asendused, nurkteisendused, trigonomeetriliste funktsioonide teisendused. Mis tahes trigonomeetriliste teisenduste valimatu rakendamine ei lihtsusta võrrandit tavaliselt, vaid muudab selle katastroofiliselt keeruliseks. Sisse treenimiseks üldiselt võrrandi lahendamise plaan, visandage viis võrrandi taandamiseks lihtsaimaks, peate kõigepealt analüüsima nurki - võrrandis sisalduvate trigonomeetriliste funktsioonide argumente.

Täna räägime trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetoditest. Õigesti valitud meetod võimaldab sageli lahendust oluliselt lihtsustada, nii et kõik uuritud meetodid tuleks alati meie tähelepanu all hoida, et trigonomeetrilisi võrrandeid kõige sobivamal viisil lahendada.

II. (Projektori abil kordame võrrandite lahendamise meetodeid.)

1. Meetod trigonomeetrilise võrrandi taandamiseks algebraliseks.

Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on vaja väljendada ühe kaudu, sama argumendiga. Seda saab teha trigonomeetrilise põhiidentiteedi ja selle tagajärgede abil. Saame võrrandi ühe trigonomeetrilise funktsiooniga. Võttes seda kui uut tundmatut, saame algebralise võrrandi. Leiame selle juured ja pöördume tagasi vana tundmatu juurde, lahendades lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid.

2. Faktoriseerimise meetod.

Nurkade muutmiseks on sageli abiks argumentide redutseerimise, summa ja erinevuse valemid, samuti valemid trigonomeetriliste funktsioonide summa (erinevuse) korrutiseks teisendamiseks ja vastupidi.

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Täiendava nurga sisseviimise meetod.

4. Universaalse asendamise kasutamise meetod.

Võrrandid kujul F(sinx, cosx, tgx) = 0 taandatakse algebralisteks võrranditeks, kasutades universaalset trigonomeetrilist asendust

Siinuse, koosinuse ja puutuja väljendamine poolnurga puutuja kaudu. See trikk võib viia kõrgema järgu võrrandini. Mille otsustamine on raske.

Trigonomeetrilised võrrandid pole just kõige lihtsam teema. Valusalt on need erinevad.) Näiteks need:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Jne...

Kuid neil (ja kõigil teistel) trigonomeetrilistel koletistel on kaks ühist ja kohustuslikku tunnust. Esiteks – te ei usu seda – võrrandites on trigonomeetrilised funktsioonid.) Teiseks: kõik x-iga avaldised on samade funktsioonide raames. Ja ainult seal! Kui kuskil ilmub x väljas, näiteks, sin2x + 3x = 3, see on segatüüpi võrrand. Sellised võrrandid nõuavad individuaalset lähenemist. Siin me neid ei arvesta.

Ka selles tunnis ei lahenda me kurje võrrandeid.) Siin käsitlemegi lihtsaimad trigonomeetrilised võrrandid. Miks? Jah, sest otsus ükskõik milline trigonomeetrilised võrrandid koosnevad kahest etapist. Esimeses etapis taandatakse kurja võrrand erinevate teisenduste abil lihtsaks. Teisel - see lihtsaim võrrand on lahendatud. Ei muud moodi.

Seega, kui teil on probleeme teises etapis, pole esimesel etapil erilist mõtet.)

Kuidas näevad välja elementaartrigonomeetrilised võrrandid?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Siin a tähistab mis tahes numbrit. Ükskõik milline.

Muide, funktsiooni sees ei pruugi olla puhas x, vaid mingisugune avaldis, näiteks:

cos(3x+π /3) = 1/2

jne. See muudab elu keeruliseks, kuid ei mõjuta trigonomeetrilise võrrandi lahendamise meetodit.

Kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid?

Trigonomeetrilisi võrrandeid saab lahendada kahel viisil. Esimene viis: loogika ja trigonomeetrilise ringi kasutamine. Uurime seda teed siin. Teist võimalust - mälu ja valemite kasutamist - käsitletakse järgmises õppetükis.

Esimene viis on selge, usaldusväärne ja raskesti unustatav.) See on hea trigonomeetriliste võrrandite, võrratuste ja igasuguste keeruliste asjade lahendamiseks. mittestandardsed näited. Loogika on tugevam kui mälu!

Võrrandid lahendame trigonomeetrilise ringi abil.

Sisaldame elementaarset loogikat ja trigonomeetrilise ringi kasutamise oskust. Kas sa ei saa!? Siiski... Trigonomeetrias saab sul raske olema...) Aga see ei loe. Heitke pilk õppetundidele "Trigonomeetriline ring ...... Mis see on?" ja "Nurkide loendamine trigonomeetrilisel ringil". Seal on kõik lihtne. Erinevalt õpikutest...)

Ah, tead!? Ja isegi meisterdatud "Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga"!? Võtke õnnitlused vastu. See teema on teile lähedane ja arusaadav.) Eriti meeldiv on see, et trigonomeetrilisel ringil pole vahet, millise võrrandi te lahendate. Siinus, koosinus, puutuja, kotangent – ​​tema jaoks on kõik sama. Lahenduse põhimõte on sama.

Seega võtame mis tahes elementaarse trigonomeetrilise võrrandi. Vähemalt see:

cosx = 0,5

Ma pean leidma X. Inimkeeles rääkides on vaja leida nurk (x), mille koosinus on 0,5.

Kuidas me ringi varem kasutasime? Joonistasime sellele nurga. Kraadides või radiaanides. Ja kohe nähtud selle nurga trigonomeetrilised funktsioonid. Nüüd teeme vastupidi. Joonista ringile koosinus 0,5 ja kohe me näeme nurk. Jääb vaid vastus kirja panna.) Jah, jah!

Joonistame ringi ja märgime koosinuse väärtusega 0,5. Koosinusteljel muidugi. Nagu nii:

Nüüd joonistame nurga, mille see koosinus meile annab. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti tahvelarvutis) ja vaata see sama nurk X.

Millise nurga koosinus on 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Mõni uriseb skeptiliselt, jah... Ütlevad, kas tasus ringi tarastada, kui kõik on nagunii selge... Nuriseda võib muidugi...) Aga fakt on see, et see on ekslik vastama. Või õigemini, ebapiisav. Ringi asjatundjad saavad aru, et on veel terve hunnik nurki, mis annavad ka koosinuse 0,5-ga.

Kui keerate liikuva külje OA täispöördeks, punkt A naaseb algasendisse. Sama koosinusega 0,5. Need. nurk muutub 360° või 2π radiaani ja koosinus ei ole. uus nurk 60° + 360° = 420° on ka meie võrrandi lahendus, sest

Selliseid täispöördeid on lõpmatu arv... Ja kõik need uued nurgad on meie trigonomeetrilise võrrandi lahendused. Ja need kõik tuleb kuidagi kirja panna. Kõik. Vastasel juhul otsust ei arvestata, jah ...)

Matemaatika saab seda teha lihtsalt ja elegantselt. Ühes lühikeses vastuses kirjutage üles lõpmatu hulk lahendusi. Meie võrrandi puhul näeb see välja järgmine:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

ma dešifreerin. Kirjuta ikka tähendusrikkalt kenam kui rumalalt mingeid salapäraseid tähti joonistada, eks?)

π /3 on sama nurk, mis meie Saag ringil ja tuvastatud koosinuste tabeli järgi.

2π on üks täispööre radiaanides.

n - see on täielike, s.o. terve revolutsioonid. On selge, et n võib olla 0, ±1, ±2, ±3.... ja nii edasi. Nagu näitab lühike sissekanne:

n ∈ Z

n kuulub ( ∈ ) täisarvude hulka ( Z ). Muide, kirja asemel n saab kasutada tähti k, m, t jne.

See märge tähendab, et võite võtta mis tahes täisarvu n . Vähemalt -3, vähemalt 0, vähemalt +55. Mida sa tahad. Kui ühendate selle numbri oma vastusega, saate konkreetse nurga, mis on kindlasti meie karmi võrrandi lahendus.)

Või teisisõnu x \u003d π / 3 on lõpmatu hulga ainus juur. Kõigi teiste juurte saamiseks piisab, kui lisada π / 3-le suvaline arv täispöördeid ( n ) radiaanides. Need. 2πn radiaan.

Kõik? Ei. Venitan konkreetselt naudingut. Et paremini meeles pidada.) Saime vaid osa võrrandi vastustest. Kirjutan selle lahenduse esimese osa järgmiselt:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - mitte üks juur, see on terve rida juuri, mis on kirjutatud lühivormis.

Kuid on ka teisi nurki, mis annavad koosinuse 0,5-ga!

Tuleme tagasi oma pildi juurde, mille järgi vastuse kirja panime. Seal ta on:

Liigutage hiirt üle pildi ja vaata teine ​​nurk see annab ka koosinuse 0,5. Millega see teie arvates võrdub? Kolmnurgad on samad... Jah! Ta võrdne nurgaga X , joonistatud ainult negatiivses suunas. See on nurk -X. Aga me oleme x juba välja arvutanud. π /3 või 60°. Seetõttu võime julgelt kirjutada:

x 2 \u003d - π / 3

Ja loomulikult lisame kõik nurgad, mis saadakse täispöördega:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on nüüd kõik.) Trigonomeetrilises ringis me Saag(kes mõistab muidugi)) kõik nurgad, mis annavad koosinuse 0,5. Ja kirjutas need nurgad lühidalt üles matemaatiline vorm. Vastus on kaks lõpmatut juurte seeriat:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

See on õige vastus.

Loodan, trigonomeetriliste võrrandite lahendamise üldpõhimõte ringi abil on arusaadav. Märgime ringjoonele etteantud võrrandist koosinuse (siinus, puutuja, kotangens), joonistame vastavad nurgad ja kirjutame vastuse üles. Muidugi peate välja mõtlema, mis nurgad me oleme Saag ringi peal. Mõnikord pole see nii ilmne. Noh, nagu ma ütlesin, on siin vaja loogikat.)

Näiteks analüüsime teist trigonomeetrilist võrrandit:

Pange tähele, et arv 0,5 ei ole võrrandites ainus võimalik arv!) Minu jaoks on lihtsalt mugavam kirjutada see kui juured ja murded.

Töötame üldpõhimõtte järgi. Joonistame ringi, märgime (siinusteljel loomulikult!) 0,5. Joonistame korraga kõik sellele siinusele vastavad nurgad. Saame selle pildi:

Kõigepealt tegeleme nurgaga. X esimesel kvartalil. Tuletame meelde siinuste tabeli ja määrame selle nurga väärtuse. Asi on lihtne:

x \u003d π / 6

Tuletame meelde täispöördeid ja paneme puhta südametunnistusega kirja esimesed vastuste seeriad:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pool tööd on tehtud. Nüüd peame määratlema teine ​​nurk... See on keerulisem kui koosinused, jah... Aga loogika päästab meid! Kuidas määrata teist nurka läbi x? Jah Lihtne! Pildil olevad kolmnurgad on samad ja punane nurk X võrdne nurgaga X . Ainult seda loetakse nurgast π negatiivses suunas. Sellepärast on see punane.) Ja vastuseks vajame positiivsest poolteljelt OX õigesti mõõdetud nurka, s.t. 0 kraadise nurga alt.

Hõljutage kursorit pildi kohal ja näete kõike. Esimese nurga eemaldasin, et pilti mitte keeruliseks ajada. Meie jaoks huvipakkuv nurk (joonistatud rohelisega) on võrdne:

π - x

x me teame seda π /6 . Nii et teine ​​nurk on järgmine:

π - π /6 = 5π /6

Jällegi tuletame meelde täispöörete lisamist ja paneme kirja teise seeria vastused:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

See on kõik. Täielik vastus koosneb kahest juurte seeriast:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangensi ja kotangensiga võrrandeid saab hõlpsasti lahendada, kasutades trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel sama üldpõhimõtet. Kui te muidugi ei tea, kuidas joonistada trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti.

Ülaltoodud näidetes kasutasin siinuse ja koosinuse tabeliväärtust: 0,5. Need. üks neist tähendustest, mida õpilane teab peab. Nüüd laiendame oma võimalusi kõik muud väärtused. Otsustage, nii et otsustage!)

Oletame, et peame lahendama järgmise trigonomeetrilise võrrandi:

Lühikestes tabelites sellist koosinuse väärtust pole. Me ignoreerime seda kohutavat tõsiasja jahedalt. Joonistame ringi, märgime koosinusteljele 2/3 ja joonistame vastavad nurgad. Me saame selle pildi.

Alustuseks saame aru esimese veerandi nurgaga. Et teada saada, millega x on võrdne, kirjutaksid nad vastuse kohe kirja! Me ei tea... Ebaõnnestumine!? Rahune! Matemaatika ei jäta oma hätta! Ta leiutas selle juhtumi jaoks kaarekoosinused. Ei tea? Asjatult. Uurige välja. See on palju lihtsam, kui arvate. Selle lingi järgi pole ühtegi keerulist loitsu "trigonomeetriliste pöördfunktsioonide" kohta ... See on siin teemas üleliigne.

Kui olete kursis, öelge endale: "X on nurk, mille koosinus on 2/3." Ja kohe, puhtalt arkosiini määratluse järgi, võime kirjutada:

Meenutame täiendavaid pöördeid ja kirjutame rahulikult üles meie trigonomeetrilise võrrandi esimesed juured:

x 1 = kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ka teine ​​juurte seeria kirjutatakse peaaegu automaatselt, teise nurga jaoks. Kõik on sama, ainult x (arccos 2/3) on miinusega:

x 2 = - kaared 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Ja kõik asjad! See on õige vastus. Isegi lihtsam kui tabeliväärtustega. Te ei pea midagi meeles pidama.) Muide, kõige tähelepanelikumad märkavad, et see pilt lahendusega läbi kaarekoosinuse ei erine sisuliselt pildil olevast võrrandi cosx = 0,5 korral.

Täpselt nii! Üldine põhimõte sellepärast on see tavaline! Konkreetselt joonistasin kaks peaaegu identset pilti. Ring näitab meile nurka X koosinuse järgi. See on tabelikoosinus või mitte - ring ei tea. Mis nurk see on, π / 3 või milline kaarekoosinus on meie otsustada.

Siinusega sama laul. Näiteks:

Jällegi joonistame ringi, märgime siinuse, mis on võrdne 1/3-ga, joonistame nurgad. Selgub see pilt:

Ja jällegi on pilt peaaegu sama, mis võrrandi puhul sinx = 0,5. Taas alustame esimesel veerandajal nurgast. Millega võrdub x, kui selle siinus on 1/3? Pole probleemi!

Nii et esimene juurtepakk on valmis:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Heidame pilgu teise nurga alla. Näites tabeli väärtusega 0,5 oli see võrdne:

π - x

Nii et siin on see täpselt sama! Ainult x on erinev, arcsin 1/3. Mis siis!? Teise juurpaki võite julgelt kirjutada:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

See on täiesti õige vastus. Kuigi see ei tundu väga tuttav. Aga see on arusaadav, ma loodan.)

Nii lahendatakse ringi abil trigonomeetrilisi võrrandeid. See tee on selge ja arusaadav. Just tema salvestab trigonomeetrilistes võrrandites juurte valikuga antud intervallil, trigonomeetrilistes võrratustes - need lahendatakse üldiselt peaaegu alati ringis. Ühesõnaga kõigis tavapärastest pisut keerulisemates ülesannetes.

Kas teadmisi praktikas rakendada?

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine:

Alguses on see lihtsam, otse selle õppetüki kohta.

Nüüd on see keerulisem.

Vihje: siin tuleb mõelda ringi peale. Isiklikult.)

Ja nüüd väliselt tagasihoidlikud ... Neid nimetatakse ka erijuhtudeks.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Vihje: siin peate ringis välja mõtlema, kus on kaks vastuste seeriat ja kus üks ... Ja kuidas kahe vastuseseeria asemel üks üles kirjutada. Jah, nii et ükski juur lõpmatust arvust ei läheks kaotsi!)

Noh, üsna lihtne):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Vihje: siin peate teadma, mis on arcsiinus, arkosiinus? Mis on kaartangens, kaartangens? Enamik lihtsad määratlused. Kuid te ei pea meeles pidama ühtegi tabeliväärtust!)

Vastused on loomulikult segased):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Kas kõik ei õnnestu? Tuleb ette. Lugege õppetund uuesti läbi. Ainult mõtlikult(selline on olemas vananenud sõna...) Ja järgige linke. Peamised lingid on seotud ringiga. Ilma selleta trigonomeetrias - kuidas ületada teed kinniseotud silmadega. Mõnikord see töötab.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Nõuab teadmisi trigonomeetria põhivalemitest - siinuse ja koosinuse ruutude summast, siinuse ja koosinuse kaudu puutuja väljendamisest jm. Neile, kes on neid unustanud või ei tea, soovitame lugeda artiklit "".
Niisiis, me teame põhilisi trigonomeetrilisi valemeid, on aeg neid praktikas rakendada. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine juures õige lähenemine- piisav põnev tegevus nagu Rubiku kuubiku lahendamine.

Nime enda põhjal on selge, et trigonomeetriline võrrand on võrrand, milles tundmatu on trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.
On olemas nn lihtsad trigonomeetrilised võrrandid. Need näevad välja sellised: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Mõtle, kuidas selliseid trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada, selguse huvides kasutame juba tuttavat trigonomeetrilist ringi.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

võrevoodi x = a

Iga trigonomeetriline võrrand lahendatakse kahes etapis: viime võrrandi lihtsaimale kujule ja seejärel lahendame selle lihtsaima trigonomeetrilise võrrandina.
Trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on 7 peamist meetodit.

1. Muutuja asendamine ja asendusmeetod

Lahendage võrrand 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Redutseerimisvalemeid kasutades saame:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Asendame lihtsuse huvides cos(x + /6) y-ga ja saame tavalise ruutvõrrandi:

2 a 2 – 3 a + 1 + 0

Mille juured y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nüüd läheme tagasi

Asendame y leitud väärtused ja saame kaks vastust:

2. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine faktoriseerimise teel

Kuidas lahendada võrrandit sin x + cos x = 1 ?

Liigutame kõik vasakule, nii et 0 jääks paremale:

sin x + cos x - 1 = 0

Võrrandi lihtsustamiseks kasutame ülaltoodud identiteete:

sin x – 2 sin 2 (x/2) = 0

Teeme faktoriseerimise:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Saame kaks võrrandit

3. Taandamine homogeenseks võrrandiks

Võrrand on siinuse ja koosinuse suhtes homogeenne, kui kõik selle liikmed siinuse ja koosinuse suhtes on sama nurga all. Homogeense võrrandi lahendamiseks toimige järgmiselt.

a) viivad kõik oma liikmed vasakule küljele;

b) jäta kõik levinud tegurid sulgudest välja;

c) võrdsusta kõik tegurid ja sulud 0-ga;

d) saadud sulgudes homogeenne võrrand väiksem aste, jaguneb see omakorda kõrgemal määral siinus- või koosinusteks;

e) lahendage saadud võrrand tg jaoks.

Lahendage võrrand 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Kasutame valemit sin 2 x + cos 2 x = 1 ja vabaneme paremalt avatud kahest:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Jagage cosx-iga:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Asendame tg x y-ga ja saame ruutvõrrandi:

y 2 + 4y +3 = 0 mille juured on y 1 =1, y 2 = 3

Siit leiame algsele võrrandile kaks lahendust:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Võrrandite lahendamine poolnurgale ülemineku kaudu

Lahendage võrrand 3sin x - 5cos x = 7

Liigume edasi x/2 juurde:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Kõike vasakule nihutades:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos (x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Jagage cos-iga (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Abinurga sissejuhatus

Vaatlemiseks võtame järgmise vormi võrrandi: a sin x + b cos x \u003d c,

kus a, b, c on mingid suvalised koefitsiendid ja x on tundmatu.

Jagage võrrandi mõlemad pooled järgmisega:



Nüüd võrrandi koefitsiendid vastavalt trigonomeetrilised valemid neil on sin ja cos omadused, nimelt: nende moodul ei ole suurem kui 1 ja ruutude summa = 1. Tähistame neid vastavalt kui cos ja sin, kus on nn abinurk. Siis saab võrrand järgmise kuju:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

või sin(x + ) = C

Selle lihtsa trigonomeetrilise võrrandi lahendus on

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kus



Tuleb märkida, et nimetused cos ja sin on omavahel asendatavad.

Lahendage võrrand sin 3x - cos 3x = 1

Selles võrrandis on koefitsiendid:

a \u003d, b \u003d -1, seega jagame mõlemad osad \u003d 2-ga

Tund ja ettekanne teemal: "Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks
Tarkvarakeskkond "1C: Mathematical constructor 6.1"

Mida me uurime:
1. Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

3. Kaks peamist trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodit.
4. Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.
5. Näited.

Mis on trigonomeetrilised võrrandid?

Poisid, me oleme juba uurinud arcsiini, arkosiini, arctangenti ja arkotangensi. Vaatame nüüd trigonomeetrilisi võrrandeid üldiselt.

Trigonomeetrilised võrrandid - võrrandid, milles muutuja sisaldub trigonomeetrilise funktsiooni märgi all.

Kordame lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise vormi:

1) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil cos(x) = a lahendus:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Kui |а|≤ 1, siis on võrrandil sin(x) = a lahendus:

3) Kui |a| > 1, siis võrrandil sin(x) = a ja cos(x) = a pole lahendusi 4) Võrrandil tg(x)=a on lahendus: x=arctg(a)+ πk

5) Võrrandil ctg(x)=a on lahendus: x=arcctg(a)+ πk

Kõigi valemite puhul on k täisarv

Lihtsamad trigonomeetrilised võrrandid on kujul: Т(kx+m)=a, T- mis tahes trigonomeetriline funktsioon.

Lahenda võrrandid: a) sin(3x)= √3/2

Lahendus:

A) Tähistame 3x=t, siis kirjutame oma võrrandi ümber kujul:

Selle võrrandi lahendus on: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

Väärtuste tabelist saame: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Läheme tagasi meie muutuja juurde: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Siis x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Vastus: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kus n on täisarv. (-1)^n – miinus üks astmeni n.

Veel näiteid trigonomeetrilistest võrranditest.

Lahendus:

A) Seekord läheme kohe otse võrrandi juurte arvutamise juurde:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Siis x/5= πk => x=5πk

Vastus: x=5πk, kus k on täisarv.

B) Kirjutame kujul: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Teame, et arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Vastus: x=2π/9 + πk/3, kus k on täisarv.

Lahendage võrrandid: cos(4x)= √2/2. Ja leidke segmendi kõik juured.

Lahendus:

Otsustame sisse üldine vaade meie võrrand: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X = ± π/16+ πk/2;

Nüüd vaatame, millised juured langevad meie segmendile. Kui k Kui k=0, x= π/16, oleme antud segmendis .
Kui k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, tabavad nad uuesti.
Kui k=2, x= π/16+ π=17π/16, aga siin me ei tabanud, mis tähendab, et me ei taba ka suure k puhul.

Vastus: x= π/16, x= 9π/16

Kaks peamist lahendusmeetodit.

Lahendame võrrandi:

Lahendus:
Võrrandi lahendamiseks kasutame uue muutuja sisseviimise meetodit, mida tähistatakse: t=tg(x).

Asenduse tulemusena saame: t 2 + 2t -1 = 0

Leiame juured ruutvõrrand t = -1 ja t = 1/3

Siis tg(x)=-1 ja tg(x)=1/3, saime lihtsaima trigonomeetrilise võrrandi, leiame selle juured.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vastus: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Näide võrrandi lahendamisest

Lahendage võrrandid: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Lahendus:

Kasutame identiteeti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Meie võrrand on järgmine: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Tutvustame asendust t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=2 ja t=-1/2

Siis cos(x)=2 ja cos(x)=-1/2.

Sest koosinus ei saa võtta ühest suuremaid väärtusi, siis cos(x)=2-l pole juuri.

Kui cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Vastus: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Vormi võrrandid

teise astme homogeensed trigonomeetrilised võrrandid.

Esimese astme homogeense trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks jagame selle cos(x)-ga: Koosinusega on võimatu jagada, kui see on võrdne nulliga, veenduge, et see nii poleks:
Olgu cos(x)=0, siis asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aga siinus ja koosinus ei võrdu korraga nulliga, saime vastuolu, seega võib julgelt jagada nulliga.

Lahenda võrrand:
Näide: cos 2 (x) + sin(x) cos (x) = 0

Lahendus:

Võtke välja ühine tegur: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Seejärel peame lahendama kaks võrrandit:

cos(x)=0 ja cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kui x= π/2 + πk;

Vaatleme võrrandit cos(x)+sin(x)=0 Jagage võrrand cos(x)-ga:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Vastus: x= π/2 + πk ja x= -π/4+πk

Kuidas lahendada teise astme homogeenseid trigonomeetrilisi võrrandeid?
Poisid, pidage alati kinni nendest reeglitest!

1. Vaadake, millega võrdub koefitsient a, kui a \u003d 0, siis on meie võrrand kujul cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), mille lahendi näide on eelmisel libisema

2. Kui a≠0, siis tuleb mõlemad võrrandi osad jagada ruudukoosinusega, saame:

Muudame muutujat t=tg(x), saame võrrandi:

Lahendage näide #:3

Jagage võrrandi mõlemad pooled koosinusruuduga:

Muudame muutujat t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Leia ruutvõrrandi juured: t=-3 ja t=1

Siis: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Vastus: x=-arctg(3) + πk ja x= π/4+ πk

Lahendage näide #:4

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Saame lahendada sellised võrrandid: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Vastus: x= - π/4 + 2πk ja x=5π/4 + 2πk

Lahendage näide #:5

Lahendus:
Muudame oma väljendit:

Tutvustame asendust tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Meie ruutvõrrandi lahenduseks on juured: t=-2 ja t=1/2

Siis saame: tg(2x)=-2 ja tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Vastus: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ja x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lahenda võrrandid: sin(3x)= √3/2. Ja leida kõik juured lõigul [π/2; π].

3) Lahendage võrrand: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Lahendage võrrand: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lahendage võrrand: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lahendage võrrand: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)