Ruutvõrratus moodullahendusega. Ebavõrdsused mooduliga
Moodulit sisaldavate võrratuste lahendamiseks on mitu võimalust. Vaatame mõnda neist.
1) Võrratuse lahendamine mooduli geomeetrilise omaduse abil.
Tuletan meelde, mis on mooduli geomeetriline omadus: arvu x moodul on kaugus lähtepunktist punktini koordinaadiga x.
Selle meetodi abil ebavõrdsuse lahendamisel võib tekkida kaks juhtumit:
1. |x| ≤ b,
Ja ebavõrdsus mooduliga taandub ilmselgelt kahe võrratuse süsteemiks. Siin võib märk olla range, sel juhul "torgatakse" pildil olevad täpid.
2. |x| ≥ b, siis näeb lahenduspilt välja selline:
Ja ebavõrdsus mooduliga taandub ilmselgelt kahe ebavõrdsuse kombinatsiooniks. Siin võib märk olla range, sel juhul "torgatakse" pildil olevad täpid.
Näide 1.
Lahendage võrratus |4 – |x|| ≥ 3.
Lahendus.
See ebavõrdsus on võrdne järgmise hulgaga:
U [-1;1] U
Näide 2.
Lahendage võrratus ||x+2| – 3| ≤ 2.
Lahendus.
See ebavõrdsus on samaväärne järgmise süsteemiga.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Lahendame eraldi süsteemi esimese ebavõrdsuse. See on samaväärne järgmise komplektiga:
U[-1; 3].
2) Võrratuste lahendamine mooduli definitsiooni abil.
Lubage mul kõigepealt teile meelde tuletada mooduli määratlus.
|a| = a kui a ≥ 0 ja |a| = -a kui a< 0.
Näiteks |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Näide 1.
Lahendage võrratus 3|x – 1| ≤ x+3.
Lahendus.
Mooduli definitsiooni kasutades saame kaks süsteemi:
(x – 1 ≥ 0
(3 (x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3 (x – 1) ≤ x + 3.
Lahendades esimese ja teise süsteemi eraldi, saame:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(x< 1
(x ≥ 0.
Algse ebavõrdsuse lahenduseks on kõik esimese süsteemi lahendused ja kõik teise süsteemi lahendused.
Vastus: x € .
3) Võrratuste lahendamine ruudustamisel.
Näide 1.
Lahendage võrratus |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Lahendus.
Tõstame ebavõrdsuse mõlemad pooled ruutu. Lubage mul märkida, et ebavõrdsuse mõlemad pooled on nelinurksed ainult siis, kui need on mõlemad positiivsed. Sel juhul on meil moodulid nii vasakul kui ka paremal, nii et saame seda teha.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Nüüd kasutame mooduli järgmist omadust: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1) (x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2) (2 x 2 – x)< 0,
x(x – 2) (2x – 1)< 0.
Lahendame intervallmeetodil.
Vastus: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Võrratuste lahendamine muutujate muutmise teel.
Näide.
Lahendage võrratus (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Lahendus.
Pange tähele, et (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Siis saame ebavõrdsuse
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Teeme muudatuse y = |2x + 3|.
Kirjutame oma ebavõrdsuse ümber, võttes arvesse asendust.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Faktoriseerime vasakpoolse ruuttrinoomi.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1–11) / 2,
(y – 6) (y + 5) ≤ 0.
Lahendame intervallmeetodi abil ja saame:
Läheme tagasi asendamise juurde:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
See kahekordne ebavõrdsus on samaväärne ebavõrdsuse süsteemiga:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Lahendame iga ebavõrdsuse eraldi.
Esimene on samaväärne süsteemiga
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Lahendame selle ära.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
Teine võrratus kehtib ilmselgelt kõigi x kohta, kuna moodul on definitsiooni järgi positiivne arv. Kuna süsteemi lahenduseks on kõik x, mis rahuldavad samaaegselt nii süsteemi esimest kui teist ebavõrdsust, siis on algse süsteemi lahendus selle esimese topeltvõrratuse lahendus (teine kehtib ju kõigi x kohta) .
Vastus: x € [-4,5; 1.5].
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
ebavõrdsuse lahendus režiimis võrgus lahendus peaaegu iga antud ebavõrdsus võrgus. Matemaatiline ebavõrdsus võrgus matemaatika lahendamiseks. Leia kiiresti ebavõrdsuse lahendus režiimis võrgus. Veebisait www.site võimaldab leida lahendus peaaegu iga antud algebraline, trigonomeetriline või transtsendentaalne ebavõrdsus võrgus. Õppides peaaegu iga matemaatika haru erinevatel etappidel, peate otsustama ebavõrdsus võrgus. Kohe vastuse ja mis kõige tähtsam täpse vastuse saamiseks vajate ressurssi, mis seda võimaldab. Tänu saidile www.site lahendada ebavõrdsus võrgus võtab paar minutit. www.site peamine eelis matemaatika lahendamisel ebavõrdsus võrgus- see on antud vastuse kiirus ja täpsus. Sait suudab lahendada mis tahes algebraline ebavõrdsus võrgus, trigonomeetrilised ebavõrdsused võrgus, transtsendentaalne ebavõrdsus võrgus, ja ebavõrdsused tundmatute parameetritega režiimis võrgus. Ebavõrdsused toimib võimsa matemaatilise aparaadina lahendusi praktilisi probleeme. Abiga matemaatilised ebavõrdsused võimalik on väljendada fakte ja suhteid, mis võivad esmapilgul tunduda segased ja keerulised. Teadmata kogused ebavõrdsused leiate probleemi sõnastades matemaatilised keel kujul ebavõrdsused Ja otsustama vastu võetud ülesanne režiimis võrgus veebisaidil www.sait. Ükskõik milline algebraline ebavõrdsus, trigonomeetriline ebavõrdsus või ebavõrdsused sisaldavad transtsendentaalne funktsioone, mida saate hõlpsalt kasutada otsustama Internetis ja saate täpse vastuse. Loodusteadusi õppides tekib paratamatult vajadus lahendusi ebavõrdsusele. Sellisel juhul peab vastus olema täpne ja režiimis kohe kätte saadav võrgus. Seetõttu jaoks lahendada matemaatilisi ebavõrdsusi võrgus soovitame saiti www.site, millest saab teie jaoks asendamatu kalkulaator algebraliste võrratuste lahendamine võrgus, trigonomeetrilised ebavõrdsused võrgus, ja transtsendentaalne ebavõrdsus võrgus või ebavõrdsused tundmatute parameetritega. Praktilisteks probleemideks erinevatele veebilahenduste leidmisel matemaatilised ebavõrdsused ressurss www.. Lahendamine ebavõrdsus võrgus ise, on kasulik saadud vastust kontrollida kasutades online lahendus ebavõrdsused veebisaidil www.sait. Peate ebavõrdsuse õigesti kirjutama ja kohe kätte saama online lahendus, misjärel jääb üle vaid võrrelda vastust oma ebavõrdsuse lahendusega. Vastuse kontrollimine ei kesta rohkem kui minut, sellest piisab lahendada ebavõrdsus võrgus ja võrrelge vastuseid. See aitab teil vältida vigu otsus ja paranda vastus õigel ajal, kui ebavõrdsuse lahendamine võrgus kas algebraline, trigonomeetriline, transtsendentaalne või ebavõrdsus tundmatute parameetritega.
Moodulitega ebavõrdsuse paljastamise meetodid (reeglid) seisnevad moodulite järjestikuses avalikustamises, kasutades alammoodulfunktsioonide konstantse märgi intervalle. Lõplikus versioonis saadakse mitu võrratust, millest leitakse intervallid või intervallid, mis vastavad ülesande tingimustele.
Liigume edasi levinud näidete lahendamisele praktikas.
Lineaarsed võrratused moodulitega
Lineaarse all peame silmas võrrandeid, milles muutuja siseneb võrrandisse lineaarselt.
Näide 1. Leia lahendus ebavõrdsusele
Lahendus:
Ülesande tingimustest järeldub, et moodulid pöörduvad nulli, kui x=-1 ja x=-2. Need punktid jagavad arvujoone intervallideks
Igas neist intervallidest lahendame antud võrratuse. Selleks koostame kõigepealt graafilised joonised submodulaarsete funktsioonide konstantse märgi aladest. Neid on kujutatud aladena, millel on märgid iga funktsiooni kohta
või intervallid kõigi funktsioonide märkidega.
Esimesel intervallil laiendame mooduleid
Korrutame mõlemad pooled miinus ühega ja ebavõrdsuse märk muutub vastupidiseks. Kui teil on selle reegliga raske harjuda, võite miinusest vabanemiseks liigutada kõik osad märgi taha. Lõpuks saate
Hulga x>-3 lõikepunktiks alaga, millel võrrandid lahendati, on intervall (-3;-2). Kellel on lihtsam lahendusi leida, saab graafiliselt joonistada nende alade ristumiskoha
Lahenduseks saab alade ühine ristumiskoht. Kui see on rangelt ebaühtlane, siis servi ei arvestata. Kui see pole range, kontrollige asendamise teel.
Teisel intervallil saame
Ristlõige on intervall (-2;-5/3). Graafiliselt näeb lahendus välja selline
Kolmandal intervallil saame
See tingimus ei paku lahendusi soovitud domeenis.
Kuna kaks leitud lahendust (-3;-2) ja (-2;-5/3) piirnevad punktiga x=-2, siis kontrollime ka seda.
Seega on lahenduseks punkt x=-2. Üldlahendus seda arvesse võttes näeb välja selline (-3;5/3).
Näide 2. Leidke ebavõrdsusele lahendus
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
Lahendus:
Submodulaarsete funktsioonide nullpunktid on punktid x=2, x=3, x=4. Nendest punktidest väiksemate argumentide väärtuste korral on submodulaarsed funktsioonid negatiivsed ja suuremate väärtuste korral positiivsed.
Punktid jagavad reaaltelje neljaks intervalliks. Laiendame mooduleid konstantmärgi intervallide järgi ja lahendame võrratused.
1) Esimeses intervallis on kõik submodulaarsed funktsioonid negatiivsed, seega moodulite laiendamisel muudame märgi vastupidiseks.
Leitud x väärtuste ristumiskoht vaadeldava intervalliga on punktide komplekt
2) Punktide x=2 ja x=3 vahelisel intervallil on esimene alammoodulfunktsioon positiivne, teine ja kolmas negatiivne. Laiendades mooduleid, saame
ebavõrdsus, mis lõikutuna intervalliga, millel me lahendame, annab ühe lahendi – x=3.
3) Punktide x=3 ja x=4 vahelisel intervallil on esimene ja teine alammoodulfunktsioon positiivsed ja kolmas negatiivne. Selle põhjal saame
See tingimus näitab, et kogu intervall rahuldab moodulitega ebavõrdsust.
4) Väärtuste x>4 korral on kõigil funktsioonidel positiivsed märgid. Moodulite laiendamisel me nende märki ei muuda.
Leitud tingimus ristumiskohas intervalliga annab järgmise lahenduste komplekti
Kuna ebavõrdsus on lahendatud kõigi intervallidega, jääb üle leida kõigi leitud x väärtuste ühine väärtus. Lahenduseks on kaks intervalli
Sellega on näide lõpetatud.
Näide 3. Leia lahendus ebavõrdsusele
||x-1|-5|>3-2x
Lahendus:
Meil on moodulist moodulist ebavõrdsus. Sellised ebavõrdsused ilmnevad moodulite pesastamisel, alustades neist, mis asuvad sügavamal.
Submodulaarne funktsioon x-1 teisendatakse nulliks, kui x=1 . Väiksemate väärtuste puhul, mis on suuremad kui 1, on see negatiivne ja positiivne, kui x>1. Selle põhjal laiendame sisemist moodulit ja arvestame iga intervalli ebavõrdsust.
Esiteks kaaluge intervalli miinus lõpmatusest üheni
Submodulaarne funktsioon on null, kui x=-4 . Väiksemate väärtuste korral on see positiivne, suuremate väärtuste korral negatiivne. Laiendame moodulit x jaoks<-4:
Vaadeldava piirkonna ristumiskohas saame lahenduste komplekti
Järgmine samm on mooduli laiendamine intervallil (-4;1)
Võttes arvesse mooduli laiendusala, saame lahendusintervalli
PIDage meeles: kui selliste moodulite ebakorrapärasuste korral saate kaks intervalli, mis piirnevad ühise punktiga, siis reeglina on see ka lahendus.
Selleks peate lihtsalt kontrollima.
Sel juhul asendame punkti x=-4.
Nii et x=-4 on lahendus.
Laiendame sisemist moodulit x>1 jaoks
Submodulaarne funktsioon x jaoks negatiivne<6.
Saadud mooduli laiendamine
See tingimus lõigus intervalliga (1;6) annab tühja lahenduste hulga.
Kui x>6 saame ebavõrdsuse
Ka lahendades saime tühja komplekti.
Kõike eelnevat arvesse võttes on moodulitega ebavõrdsuse ainsaks lahenduseks järgmine intervall.
Võrratused ruutvõrrandeid sisaldavate moodulitega
Näide 4. Leidke ebavõrdsusele lahendus
|x^2+3x|>=2-x^2
Lahendus:
Submodulaarne funktsioon kaob punktides x=0, x=-3. Miinus ühe lihtne asendamine
me tuvastame, et ta vähem kui null intervallil (-3;0) ja positiivne pärast seda.
Laiendame moodulit piirkondades, kus submodulaarne funktsioon on positiivne
Jääb kindlaks määrata piirkonnad, kus ruutfunktsioon on positiivne. Selleks määratleme juured ruutvõrrand
Mugavuse huvides asendame punkti x=0, mis kuulub intervalli (-2;1/2). Funktsioon on selles intervallis negatiivne, mis tähendab, et lahenduseks on järgmised hulgad x
Lahendustega alade servad on siin näidatud sulgudes, seda tehti teadlikult, võttes arvesse järgmist reeglit.
MEELES: Kui moodulitega võrratus või lihtne võrratus on range, siis leitud alade servad ei ole lahendid, aga kui võrratused ei ole ranged (), siis on servad lahendid (tähistatakse nurksulgudega).
Seda reeglit kasutavad paljud õpetajad: kui on antud range ebavõrdsus ja arvutuste käigus kirjutad lahendusse nurksulu ([,]), peavad nad seda automaatselt valeks vastuseks. Samuti, kui testimisel on antud mitterange ebavõrdsus moodulitega, siis otsi lahenduste hulgast nurksulgudega alad.
Intervallil (-3;0) moodulit laiendades muudame funktsiooni märgi vastupidiseks
Võttes arvesse ebavõrdsuse avalikustamise valdkonda, on lahendusel vorm
Koos eelmise alaga annab see kaks poolintervalli
Näide 5. Leidke ebavõrdsusele lahendus
9x^2-|x-3|>=9x-2
Lahendus:
Antud on mitterange võrratus, mille alammoodulfunktsioon on punktis x=3 võrdne nulliga. Väiksemate väärtuste puhul on see negatiivne, suuremate väärtuste puhul positiivne. Laiendage moodulit intervallil x<3.
Võrrandi diskriminandi leidmine
ja juured
Asendades punkti null, saame teada, et intervallil [-1/9;1] on ruutfunktsioon negatiivne, seega on intervall lahendus. Järgmisena laiendame moodulit x>3