Erineva astmega numbrid. Volituste lisamise reeglid

Artiklid loodusteadustest ja matemaatikast

Samade alustega jõudude omadused

Kraadidel on kolm omadust samadel alustel ja looduslikud näitajad. See

Ole ettevaatlik! Reeglid, mis puudutavad liitmine ja lahutamine kraadid samade alustega ei eksisteeri.

Kirjutame need omadused-reeglid valemite kujul:

Nüüd vaatame neid konkreetsed näited ja proovime seda tõestada.

5 2 × 5 3 = 5 5 - siin rakendasime reeglit; Nüüd kujutame ette, kuidas me selle näite lahendaksime, kui me reegleid ei tea:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 – viis ruudus on viis korda viis ja kuubik on kolme viie korrutis. Tulemuseks on viie viie korrutis, kuid see on midagi muud kui viis viienda astmeni: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Kirjutame jaotuse murdarvuna:

Seda saab lühendada:

Selle tulemusena saame:

Seega tõestasime, et kahe samade alustega astme jagamisel tuleb lahutada nende eksponendid.

Jagamisel on aga võimatu, et jagaja oleks võrdne nulliga(kuna nulliga jagada ei saa). Lisaks, kuna me arvestame asteid ainult naturaalastendajatega, ei saa me eksponentide lahutamise tulemusena saada arvu, mis on väiksemad kui 1. Seetõttu on valemile a m ÷ a n = a m–n kehtestatud piirangud: a ≠ 0 ja m > n.

Liigume edasi kolmanda vara juurde:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

Kirjutame selle laiendatud kujul:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Sellele järeldusele saate jõuda loogiliselt arutledes. Peate korrutama kaks ruutu neli korda. Kuid igas ruudus on kaks kahest, mis tähendab, et kokku tuleb kaheksa kahest.

teadusmaa.info

Kraadi omadused

Tuletame teile meelde, et see õppetund sorteerivad seda kraadide omadused loomulike näitajatega ja nulliga. Ratsionaalsete astendajatega astmeid ja nende omadusi käsitletakse 8. klassi tundides.

Naturaalse astendajaga astmel on mitmeid olulisi omadusi, mis võimaldavad astmetega näidetes arvutusi lihtsustada.

Kinnistu nr 1
Võimude toode

Kui korrutada astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ja liidetakse astmete eksponendid.

a m · a n = a m + n, kus "a" on suvaline arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

See astmete omadus kehtib ka kolme või enama astme korrutisele.

Pange tähele, et nimetatud atribuudis rääkisime ainult volituste korrutamisest samade alustega. See ei kehti nende lisamise kohta.

Te ei saa summat (3 3 + 3 2) asendada 3 5-ga. See on arusaadav, kui
arvuta (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kinnistu nr 2
Osalised kraadid

Jagades astmeid samade alustega, jääb alus muutumatuks ning jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist.

Arvutama.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Näide. Lahenda võrrand. Kasutame jagatisastmete omadust.
3 8: t = 3 4

Vastus: t = 3 4 = 81

Kasutades atribuute nr 1 ja nr 2, saate hõlpsasti avaldisi lihtsustada ja arvutusi teha.

Näide. Lihtsustage väljendit.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5

Näide. Leidke avaldise väärtus, kasutades eksponentide omadusi.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Pange tähele, et 2. vara puhul rääkisime ainult volituste jagamisest samadel alustel.

Te ei saa vahet (4 3 −4 2) asendada 4 1-ga. See on arusaadav, kui arvutate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ja 4 1 = 4

Kinnistu nr 3
Kraadi tõstmine võimuni

Kraadi tõstmisel astmeni jääb astme alus muutumatuks ja astendajad korrutatakse.

(a n) m = a n · m, kus "a" on mis tahes arv ja "m", "n" on mis tahes naturaalarvud.

Pange tähele, et omadust nr 4, nagu ka muid kraadiomadusi, rakendatakse ka vastupidises järjekorras.

(a n · b n)= (a · b) n

See tähendab, et astmete korrutamiseks samade astendajatega saate korrutada alused, kuid jätta eksponendi muutmata.

Rohkem keerulised näited Võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia erinevate aluste ja erinevate astendajatega astmetel. Sel juhul soovitame teil teha järgmist.

Näiteks 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Näide kümnendkoha astmeni tõstmisest.

4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Omadused 5
Jagatise võimsus (murd)

Jagatise tõstmiseks astmeni saate dividendi ja jagaja eraldi tõsta selle astmeni ning jagada esimese tulemuse teisega.

(a: b) n = a n: b n, kus "a", "b" on mis tahes ratsionaalarvud, b ≠ 0, n - mis tahes naturaalarv.

Tuletame meelde, et jagatist saab esitada murruna. Seetõttu peatume murru astmeks tõstmise teemal lähemalt järgmisel leheküljel.

Arvude korrutamine ja jagamine astmetega

Kui teil on vaja teatud arv astmeni tõsta, võite kasutada võimsustabelit naturaalarvud algebras 2 kuni 25. Nüüd vaatame lähemalt kraadide omadused.

Eksponentarvud avatud suurepäraseid võimalusi, võimaldavad need teisendada korrutamise liitmiseks ja liitmine on palju lihtsam kui korrutamine.

Näiteks peame korrutama 16 64-ga. Nende kahe arvu korrutis on 1024. Kuid 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. See tähendab, et 16 x 64 = 4x4x4x4x4, mis on samuti võrdne 1024-ga.

Arvu 16 saab esitada ka kui 2x2x2x2 ja 64 kui 2x2x2x2x2x2 ja kui me korrutame, saame jälle 1024.

Nüüd kasutame arvu astmeks tõstmise reeglit. 16 = 4 2 või 2 4, 64 = 4 3 või 2 6, samal ajal 1024 = 6 4 = 4 5 või 2 10.

Seetõttu saab meie ülesande kirjutada erinevalt: 4 2 x4 3 =4 5 või 2 4 x2 6 =2 10 ja iga kord saame 1024.

Me saame lahendada mitmeid sarnaseid näiteid ja näha, et arvude korrutamine astmetega taandub eksponentide lisamine, või eksponentsiaalne, muidugi eeldusel, et tegurite alused on võrdsed.

Seega võime korrutamist tegemata kohe öelda, et 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

See reegel kehtib ka arvude astmetega jagamisel, kuid sel juhul jagaja astendaja lahutatakse dividendi eksponendist. Seega 2 5:2 3 = 2 2, mis tavaarvudes võrdub 32:8 = 4, see tähendab 2 2. Teeme kokkuvõtte:

a m x a n =a m+n, a m: a n =a m-n, kus m ja n on täisarvud.

Esmapilgul võib tunduda, et see on nii arvude korrutamine ja jagamine astmetega pole eriti mugav, sest kõigepealt peate arvu esitama eksponentsiaalsel kujul. Sellel kujul pole keeruline kujutada numbreid 8 ja 16, see tähendab 2 3 ja 2 4, kuid kuidas seda teha numbritega 7 ja 17? Või mida teha juhtudel, kui arvu saab esitada eksponentsiaalsel kujul, kuid arvude eksponentsiaalsete avaldiste alused on väga erinevad. Näiteks 8x9 on 2 3 x 3 2, sel juhul ei saa me eksponente summeerida. Ei 2 5 ega 3 5 ei ole vastus, samuti ei peitu vastus nende kahe numbri vahelises intervallis.

Kas siis tasub selle meetodiga üldse vaeva näha? Kindlasti seda väärt. See pakub tohutuid eeliseid, eriti keeruliste ja aeganõudvate arvutuste puhul.

Siiani arvasime, et eksponent on identsete tegurite arv. Sel juhul on eksponendi minimaalne väärtus 2. Kui aga sooritame arvude jagamise või eksponentide lahutamise operatsiooni, saame ka arvu, mis on väiksem kui 2, mis tähendab, et vana definitsioon meile enam ei sobi. Loe lähemalt järgmisest artiklist.

Astmete liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine

Astmete liitmine ja lahutamine

On ilmne, et astmetega numbreid saab liita nagu teisigi suurusi , lisades need üksteise järel oma märkidega.

Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2.
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Koefitsiendid identsete muutujate võrdsed astmed saab liita või lahutada.

Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.

Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.

Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb koostada, lisades need koos nende märkidega.

Seega on 2 ja 3 summa 2 + 3 summa.

On ilmne, et ruut a ja kuup a ei võrdu mitte kahekordse a ruuduga, vaid kahekordse a kuubikuga.

A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6.

Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, välja arvatud see, et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.

Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 — 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Võimude korrutamine

Pädevustega numbreid saab korrutada, nagu ka teisi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.

Seega saadakse a 3 korrutamisel b 2-ga a 3 b 2 ehk aaabb.

Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a

Tulemus sisse viimane näide saab tellida identsete muutujate lisamisega.
Väljend on kujul: a 5 b 5 y 3.

Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.

Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Siin on 5 korrutamistulemuse aste, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summaga.

Niisiis, a n .a m = a m+n .

Kui a n , võetakse a tegurina sama mitu korda kui n võimsus;

Ja m võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;

Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada, liites astmete eksponendid.

Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on negatiivne.

1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on

Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus võrdne summaga või nende ruutude erinevus.

Kui korrutate kahe arvu summa ja vahe, mis on tõstetud ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadid.

Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Kraadide jaotus

Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades dividendist või paigutades need murdosa kujul.

Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga võrdne 3-ga.

5 jagatuna 3-ga kirjutamine näeb välja nagu $\frac $. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.

Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid..

Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. See tähendab, $\frac = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac = a^n$.

Või:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadide väärtused.
-5 jagamisel -3-ga saadakse -2.
Samuti $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Korrutamist ja võimsuste jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.

Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega

1. Vähenda eksponente $\frac $ võrra. Vastus: $\frac $.

2. Vähendage eksponente $\frac$ võrra. Vastus: $\frac$ või 2x.

3. Vähendage eksponendid a 2 /a 3 ja a -3 /a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine ​​lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 /5a 7 ja 5a 5 /5a 7 või 2a 3 /5a 2 ja 5/5a 2.

5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.

6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).

7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.

Kraad ja selle omadused. Keskmine tase.

Kas soovite oma jõudu proovile panna ja saada teada, kui valmis olete ühtseks riigieksamiks või ühtseks riigieksamiks?

Kraad nimetatakse vormi väljendiks: , kus:

Kraad täisarvu astendajaga

aste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

Võimsus ratsionaalse astendajaga

aste, mille eksponendiks on negatiivsed ja murdarvud.

Kraad irratsionaalse astendajaga

aste, mille astendaja on lõpmatu kümnendmurd või juur.

Kraadide omadused

Kraadide omadused.

Mis on arvu aste?

Astendamine on matemaatiline tehe nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.

Nüüd ma seletan kõike inimkeeli väga lihtsaid näiteid. Ole ettevaatlik. Näited on elementaarsed, aga selgitavad olulisi asju.

Alustame lisamisega.

Siin pole midagi seletada. Sa tead juba kõike: meid on kaheksa. Igaühel on kaks pudelit koolat. Kui palju koolat on? Täpselt nii – 16 pudelit.

Nüüd korrutamine.

Sama näite koolaga saab kirjutada erinevalt: . Matemaatikud on kavalad ja laisad inimesed. Esmalt märkavad nad mõnda mustrit ja siis leiavad, kuidas neid kiiremini "loendada". Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju koolapudeleid ja nad leidsid tehnika, mida nimetatakse korrutamiseks. Nõus, seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.

Seega, et loendada kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt meeles pidama korrutustabel. Muidugi saab kõike teha ka aeglasemalt, raskemini ja vigadega! Aga…

Siin on korrutustabel. Korda.

Ja veel üks ilusam:

Milliseid nutikaid loendamisnippe on laisad matemaatikud veel välja mõelnud? Õige - arvu tõstmine astmeni.

Arvu tõstmine astmeni.

Kui peate arvu endaga viis korda korrutama, siis matemaatikud ütlevad, et peate selle arvu viienda astmeni tõstma. Näiteks, . Matemaatikud mäletavad, et kaks kuni viies aste on... Ja nad lahendavad sellised probleemid peast – kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta.

Kõik, mida pead tegema, on pidage meeles, mis on numbrite astmete tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see muudab teie elu palju lihtsamaks.

Muide, miks seda nimetatakse teiseks astmeks? ruut numbrid ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil nii ruudud kui ka kuubikud.

Näide päriselust nr 1.

Alustame ruudust või arvu teisest astmest.

Kujutage ette ruudukujulist basseini, mille mõõtmed on üks meeter korda üks meeter. Bassein on teie suvilas. On palav ja ma tahan väga ujuda. Aga... basseinil pole põhja! Basseini põhi tuleb katta plaatidega. Mitu plaati vajate? Selle kindlaksmääramiseks peate teadma basseini põhjapinda.

Saate lihtsalt näpuga näidates arvutada, et basseini põhi koosneb meeterhaaval kuubikutest. Kui teil on plaate üks meeter korda üks meeter, vajate tükke. See on lihtne... Aga kus sa selliseid plaate näinud oled? Plaat on suure tõenäosusega cm kaupa. Ja siis piinatakse teid "näpuga loendamisega". Siis tuleb korrutada. Seega paigaldame basseini põhja ühele küljele plaadid (tükid) ja teisele ka plaadid. Korrutage ja saate plaadid ().

Kas märkasite, et basseini põhja pindala määramiseks korrutasime sama arvu iseendaga? Mida see tähendab? Kuna me korrutame sama arvu, saame kasutada astendamise tehnikat. (Muidugi, kui teil on ainult kaks arvu, peate need ikkagi korrutama või tõstma astmeni. Aga kui teil on neid palju, siis on nende tõstmine astmeni palju lihtsam ja arvutustes on ka vähem vigu Ühtse riigieksami jaoks on see väga oluline).
Niisiis, kolmkümmend kuni teine ​​aste on (). Või võime öelda, et kolmkümmend ruutu tuleb. Teisisõnu, arvu teist astet saab alati esitada ruuduna. Ja vastupidi, kui näete ruutu, on see ALATI mõne arvu teine ​​aste. Ruut on arvu teise astme kujutis.

Näide päriselust nr 2.

Siin on teile ülesanne: loendage arvu ruutu kasutades, mitu ruutu on malelaual. Ühel pool rakke ja teisel pool ka. Nende arvu arvutamiseks tuleb kaheksa korrutada kaheksaga või... kui märkad, et malelaud on küljega ruut, siis saad kaheksa ruutu. Sa saad rakke. () Nii et?

Näide päriselust nr 3.

Nüüd kuup ehk arvu kolmas aste. Sama bassein. Kuid nüüd peate välja selgitama, kui palju vett tuleb sellesse basseini valada. Peate helitugevuse arvutama. (Muide, mahtusid ja vedelikke mõõdetakse kuupmeetrit. Ootamatu, eks?) Joonistage bassein: meetri pikkune põhi ja meetri sügavus ning proovige kokku lugeda, mitu kuubikut mõõtudega meeter korda meeter teie basseini mahub.

Näita lihtsalt näpuga ja loe! Üks, kaks, kolm, neli... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm... Kui palju sa said? Pole kadunud? Kas sõrmega on raske lugeda? Nii et! Võtke eeskuju matemaatikutelt. Nad on laisad ja märkasid, et basseini mahu arvutamiseks peate selle pikkuse, laiuse ja kõrguse üksteisega korrutama. Meie puhul võrdub basseini maht kuubikutega... Lihtsam, eks?

Kujutage nüüd ette, kui laisad ja kavalad on matemaatikud, kui nad ka seda lihtsustaksid. Me taandasime kõik ühele tegevusele. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ning sama arv korrutatakse iseenesest... Mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi ära kasutada. Niisiis, see, mida sa kunagi oma sõrmega lugesid, teevad nad ühe toiminguga: kolm kuubikut on võrdne. See on kirjutatud nii: .

Alles jääb vaid mäleta kraaditabelit. Kui te pole muidugi sama laisk ja kaval nagu matemaatikud. Kui sulle meeldib kõvasti tööd teha ja vigu teha, võid jätkata näpuga loendamist.

Noh, et teid lõpuks veenda, et kraadid leiutasid loobujad ja kavalad inimesed oma eluprobleemide lahendamiseks, mitte teile probleemide tekitamiseks, on siin veel paar näidet elust.

Näide päriselust nr 4.

Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni kohta veel ühe miljoni. See tähendab, et iga sinu miljon kahekordistub iga aasta alguses. Kui palju teil aastate pärast raha on? Kui sa praegu istud ja “näpuga loendad”, siis oled väga töökas inimene ja... loll. Aga suure tõenäosusega annad vastuse paari sekundiga, sest oled tark! Nii et esimesel aastal - kaks korrutati kahega... teisel aastal - mis juhtus, veel kahega, kolmandal aastal... Stop! Märkasite, et arv korrutatakse iseendaga kordadega. Nii et kaks kuni viies aste on miljon! Kujutage nüüd ette, et teil on võistlus ja see, kes suudab kõige kiiremini lugeda, saab need miljonid ... Tasub meeles pidada arvude jõude, kas te ei arva?

Näide päriselust nr 5.

Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite iga teenitud miljoni eest kaks rohkem. Suurepärane, kas pole? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aasta pärast on? Loeme. Esimene aasta - korrutage teisega, siis tulemus teisega... See on juba igav, sest olete juba kõigest aru saanud: kolm korrutatakse iseendaga kordadega. Seega on see neljanda astme jaoks võrdne miljoniga. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.

Nüüd teate, et kui tõstate arvu astmeni, muudate oma elu palju lihtsamaks. Vaatame lähemalt, mida saate kraadidega teha ja mida peate nende kohta teadma.

Terminid ja mõisted.

Niisiis, kõigepealt määratleme mõisted. Mida sa arvad, mis on eksponent? See on väga lihtne – see on number, mis on numbri astme "ülaosas". Mitte teaduslik, kuid selge ja kergesti meeldejääv...

Noh, samal ajal, mida selline kraadi alus? Veelgi lihtsam - see on number, mis asub allpool, aluses.

Siin on hea mõõdupuu joonis.

Hästi sisse üldine vaade, et üldistada ja paremini meeles pidada... Astet alusega “ ” ja astendajaga “ ” loetakse “kraadini” ja kirjutatakse järgmiselt:

"Naturaalse astendajaga arvu võimsus"

Tõenäoliselt juba arvasite: kuna astendaja on naturaalarv. Jah, aga mis see on naturaalarv? Elementaarne! Naturaalarvud on need arvud, mida kasutatakse loendamisel objektide loetlemisel: üks, kaks, kolm... Objekte loendades ei ütle me: “miinus viis”, “miinus kuus”, “miinus seitse”. Samuti ei ütle me: "üks kolmandik" või "null koma viis". Need ei ole naturaalarvud. Mis need numbrid teie arvates on?

Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvud.Üldiselt hõlmavad täisarvud kõiki naturaalarve, naturaalarvudele vastandlikke arve (st miinusmärgiga võetud) ja arvu. Nulli on lihtne mõista – see on siis, kui midagi pole. Mida tähendavad negatiivsed ("miinus") numbrid? Kuid need leiutati peamiselt võlgade näitamiseks: kui teie telefonis on saldo rublades, tähendab see, et olete operaatorile rublades võlgu.

Kõik murrud on ratsionaalarvud. Kuidas need tekkisid, mis sa arvad? Väga lihtne. Mitu tuhat aastat tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puuduvad naturaalarvud pikkuse, kaalu, pindala jne mõõtmiseks. Ja nad mõtlesid välja ratsionaalsed arvud... Huvitav, kas pole?

On ka irratsionaalseid numbreid. Mis need numbrid on? Lühidalt öeldes on see lõpmatu kümnendmurd. Näiteks kui jagate ringi ümbermõõdu selle läbimõõduga, saate irratsionaalarvu.

Kraad loomuliku indikaatoriga

Defineerime astme mõiste, mille eksponendiks on naturaalarv (st täisarv ja positiivne).

1. Iga arv esimeses astmes võrdub iseendaga:
2. Arvu ruudu korrutamine tähendab selle korrutamist iseendaga:
3. Arvu kuubiks korrutamine tähendab selle endaga kolmekordset korrutamist:

Definitsioon. Arvu tõstmine loomuliku astmeni tähendab arvu korrutamist iseendaga:

On ilmne, et astmetega numbreid saab liita nagu teisigi suurusi , lisades need üksteise järel oma märkidega.

Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2.
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Koefitsiendid identsete muutujate võrdsed astmed saab liita või lahutada.

Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.

Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.

Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb koostada, lisades need koos nende märkidega.

Seega on 2 ja 3 summa 2 + 3 summa.

On ilmne, et ruut a ja kuup a ei võrdu mitte kahekordse a ruuduga, vaid kahekordse a kuubikuga.

A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6.

Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, välja arvatud see, et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.

Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Võimude korrutamine

Pädevustega numbreid saab korrutada, nagu ka teisi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.

Seega saadakse a 3 korrutamisel b 2-ga a 3 b 2 ehk aaabb.

Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a

Viimase näite tulemuse saab järjestada identsete muutujate lisamisega.
Väljend on kujul: a 5 b 5 y 3.

Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.

Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Siin on 5 korrutamise tulemuse võimsus, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summa.

Niisiis, a n .a m = a m+n .

Kui a n , võetakse a tegurina sama mitu korda kui n võimsus;

Ja m võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;

Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada, liites astmete eksponendid.

Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on negatiivne.

1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on

Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne nende ruutude summa või erinevusega.

Kui korrutate kahe arvu summa ja vahe, mis on tõstetud ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadid.

Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Kraadide jaotus

Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades dividendist või paigutades need murdosa kujul.

Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga võrdne 3-ga.

Või:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 jagatuna 3-ga kirjutades näeb välja selline $\frac(a^5)(a^3)$. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.

Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid..

Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. See tähendab, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Või:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadide väärtused.
-5 jagamisel -3-ga saadakse -2.
Samuti $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Korrutamist ja võimsuste jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.

Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega

1. Vähendage eksponente $\frac(5a^4)(3a^2)$ võrra. Vastus: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Vähendage eksponente $\frac(6x^6)(3x^5)$ võrra. Vastus: $\frac(2x)(1)$ või 2x.

3. Vähendage eksponendid a 2 /a 3 ja a -3 /a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine ​​lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 /5a 7 ja 5a 5 /5a 7 või 2a 3 /5a 2 ja 5/5a 2.

5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.

6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).

7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.

9. Jagage (h 3 – 1)/d 4 arvuga (d n + 1)/h.

Võimude jaotus sama alusega. Korrutamise omadustel põhineva astme põhiomaduse saab üldistada kolme ja korrutiseks rohkem kraadid samade aluste ja looduslike näitajatega.

3.a-3 on a0 = 1, teine ​​lugeja. Keerulisemate näidete puhul võib esineda juhtumeid, kus korrutamine ja jagamine tuleb läbi viia erinevate aluste ja erinevate astendajatega astmete üle. Nüüd vaatame neid konkreetsete näidete abil ja proovime neid tõestada.

Seega tõestasime, et kahe samade alustega astme jagamisel tuleb lahutada nende eksponendid. Pärast arvu astme määramist on loogiline rääkida astme omadustest.

Siin esitame kõigi kraadide omaduste tõendid ja näitame ka, kuidas neid omadusi näidete lahendamisel kasutatakse. Näiteks kasutatakse avaldiste lihtsustamisel sageli murdosa am·an=am+n põhiomadust kujul am+n=am·an. Toome näite, mis kinnitab kraadi põhiomadust. Enne selle omaduse tõestuse esitamist arutleme sõnastuses sisalduvate lisatingimuste tähenduse üle.

Kraadide omadused naturaalastendajatega

Tingimus m>n võetakse kasutusele selleks, et me ei läheks looduslikest eksponentidest kaugemale. Saadud võrrandist am−n·an=am ning korrutamise ja jagamise vahelisest seosest järeldub, et am−n on astmete am ja an jagatis. See tõestab identsete alustega jagatisastmete omadust. Selguse huvides näitame seda omadust näitega. Näiteks mis tahes naturaalarvude p, q, r ja s puhul on võrdsus tõene. Suurema selguse huvides toome näite konkreetsete arvudega: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Monoomiaalide liitmine ja lahutamine

See fakt ja korrutamise omadused viitavad sellele, et mis tahes arvu positiivsete arvude korrutamise tulemus on samuti positiivne arv. On üsna ilmne, et iga positiivse täisarvu n korral, mille a=0, on an aste null. Tõepoolest, 0n=0·0·…·0=0. Näiteks 03=0 ja 0762=0. Liigume edasi negatiivsete kraadialuste juurde. Alustame juhtumist, kui eksponendiks on paarisarv, tähistame seda 2·m, kus m on naturaalarv.

Jätkame selle omaduse tõestamisega. Tõestame, et m>n ja 0 korral Jääb tõestada omaduse teine ​​osa. Seetõttu am−an>0 ja am>an, mida oli vaja tõestada. Kõigi nende omaduste tõestamine pole keeruline, selleks piisab, kui kasutada kraadide määratlusi naturaal- ja täisarvude eksponenditega, aga ka reaalarvudega tehte omadusi.

Kui p=0, siis on meil (a0)q=1q=1 ja a0·q=a0=1, kust (a0)q=a0·q. Samal põhimõttel saate tõestada kõik muud astme omadused täisarvulise astendajaga, mis on kirjutatud võrduste kujul. Tingimused p 0 on sel juhul samaväärsed tingimustega m 0.

Sel juhul vastab tingimus p>q tingimusele m1>m2, mis tuleneb samade nimetajatega harilike murdude võrdlemise reeglist. Need ebavõrdsused juurte omadustes saab vastavalt ümber kirjutada kui ja. Ja astme määratlus ratsionaalse astendajaga võimaldab liikuda edasi ebavõrdsuse juurde ja vastavalt.

Logaritmide põhiomadused

Astme väärtuse arvutamist nimetatakse astendamise tegevuseks. See tähendab, et sulgudeta avaldise väärtuse arvutamisel sooritage esmalt kolmanda etapi toiming, seejärel teise (korrutamine ja jagamine) ja lõpuks esimene (liitmine ja lahutamine). Operatsioonid juurtega.

Kraadi mõiste laiendamine. Siiani oleme arvestanud astmeid ainult naturaalastendajatega, kuid tehted astmete ja juurtega võivad viia ka negatiivsete, null- ja murdastendajateni. Kõik need kraadinäitajad nõuavad täiendav määratlus. Kui tahame, et valem a m: a n=a m - n kehtiks m = n korral, vajame nullkraadi definitsiooni.

Arvude astmete korrutamine samade astendajatega. Järgmisena sõnastame teoreemi võimude jaotuse kohta identsetel alustel, lahendame seletusülesandeid ja tõestame teoreemi üldjuhul. Liigume nüüd edasi negatiivsete jõudude määratluse juurde. Saate seda hõlpsalt kontrollida, asendades definitsiooni valemi ülejäänud omadustega. Selle probleemi lahendamiseks pidage meeles, et 49 = 7^2 ja 147 = 7^2 * 3^1. Kui nüüd hoolikalt kasutada astmete omadusi (astme tõstmisel astmeks, eksponendid...

See tähendab, et eksponendid lahutatakse, kuid kuna astendajal on nimetajas negatiivne astendaja, siis miinuse miinusest lahutamisel annab see plussi ja astendajad liidetakse. Tuletagem meelde, mida nimetatakse monomiaaliks ja milliseid toiminguid saab teha monomialidega. Tuletage meelde, et vähendada monoomi standardvaade Kõigepealt peate saama arvulise koefitsiendi, korrutades kõik arvulised tegurid, ja seejärel korrutama vastavad astmed.

Üleminek uuele vundamendile

See tähendab, et me peame õppima eristama sarnaseid ja mittesarnaseid monomiaale. Teeme järelduse: sarnastel monomiaalidel on sama täheosa ning selliseid monomiale saab liita ja lahutada.

Aitäh tagasiside eest. Kui teile meie projekt meeldis ja olete valmis selles kaasa aitama või selles osalema, edastage info projekti kohta oma sõpradele ja kolleegidele. Eelmises videos öeldi, et monomiaalidega näidetes saab olla ainult korrutamine: “Leiame nende avaldiste erinevuse eelmistest.

Monoomi kui matemaatilise ühiku kontseptsioon eeldab ainult arvude ja muutujate korrutamist; kui on muid tehteid, ei ole avaldis enam monoom. Aga samas saab monomiide ​​omavahel liita, lahutada, jagada... Logaritme, nagu igat arvu, saab igal võimalikul viisil liita, lahutada ja teisendada. Kuid kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, on neil omad reeglid, mida nimetatakse põhiomadusteks.

Märge: võtmehetk siin on samad põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta! Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

See tähendab, et k teguri korrutise naturaalastme n omadus on kirjutatud kujul (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Samade alustega astmete liitmise ja lahutamise kohta reegleid pole. Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. 4. Vähendage 2a4/5a3 ja 2/a4 eksponente ja viige need ühise nimetajani.

Tund teemal: "Samade ja erinevate astendajatega võimude korrutamise ja jagamise reeglid. Näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 7. klassile
Käsiraamat õpiku Yu.N. Makarycheva käsiraamat õpiku jaoks, autor A.G. Mordkovitš

Tunni eesmärk: õppida sooritama tehteid arvude astmetega.

Kõigepealt meenutagem mõistet "arvu võimsus". Avaldist kujul $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ saab esitada kui $a^n$.

Tõsi on ka vastupidine: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Seda võrdsust nimetatakse "kraadi registreerimiseks tootena". See aitab meil otsustada, kuidas võimeid korrutada ja jagada.
Pidage meeles:
a– kraadi alus.
n– eksponent.
Kui n = 1, mis tähendab numbrit A võttis üks kord ja vastavalt: $a^n= 1$.
Kui n = 0, siis $a^0= 1$.

Miks see nii juhtub, saame teada, kui tutvume võimude korrutamise ja jagamise reeglitega.

Korrutamise reeglid

Näide.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Seda omadust on mugav kasutada töö lihtsustamiseks, kui tõstate arvu suuremale astmele.
Näide.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kui korrutatakse erinevate alustega, kuid sama astendajaga kraadid.
$a^n * b^n$ saamiseks kirjutame astmed korrutisena: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Kui vahetame tegurid ja loendame saadud paarid, saame: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Seega $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Näide.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Jagamise reeglid

Niisiis, me vajame $\frac(a^n)(a^m)$, Kus n>m.

Kirjutame kraadid murdarvuna:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Nüüd vähendame murdosa.

Selgub: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Tähendab, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

See omadus aitab selgitada olukorda numbri tõstmisel nullastmeni. Oletame, et n=m, siis $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Näited.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Kraadi alused on erinevad, näitajad samad.
Oletame, et $\frac(a^n)(b^n)$ on vajalik. Kirjutame arvude astmed murdudena:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Näide.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Artiklid loodusteadustest ja matemaatikast

Samade alustega jõudude omadused

Kraadidel on kolm samade aluste ja naturaalsete eksponentide omadust. See

• Töö summa
• Privaatne kaks samade alustega astet on võrdne avaldisega, kus alus on sama ja astendaja erinevus algsete tegurite näitajad.
• Arvu tõstmine astmeni on võrdne avaldisega, mille alus on sama arv ja astendaja on tööd kaks kraadi.

Ole ettevaatlik! Reeglid, mis puudutavad liitmine ja lahutamine kraadid samade alustega ei eksisteeri.

Kirjutame need omadused-reeglid valemite kujul:

• olen ? a n = a m+n
• olen ? a n = a m–n
• (a m) n = a mn

Nüüd vaatame neid konkreetsete näidete abil ja proovime neid tõestada.

5 2? 5 3 = 5 5 - siin rakendasime reeglit; Nüüd kujutame ette, kuidas me selle näite lahendaksime, kui me reegleid ei tea:

5 2? 5 3 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 5 5 - viis ruutu on viis korda viis ja kuubik on kolme viie korrutis. Tulemuseks on viie viie korrutis, kuid see on midagi muud kui viis viienda astmeni: 5 5 .

3 9? 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Kirjutame jaotuse murdarvuna:

Seda saab lühendada:

Selle tulemusena saame:

Seega tõestasime, et kahe samade alustega astme jagamisel tuleb lahutada nende eksponendid.

Jagamisel ei saa aga jagaja olla võrdne nulliga (kuna nulliga jagada ei saa). Lisaks, kuna me arvestame asteid ainult naturaalastendajatega, ei saa me eksponentide lahutamise tulemusel saada arvu, mis on väiksemad kui 1. Seetõttu on valemi a m? a n = a m–n piiranguid: a ? 0 ja m > n.

Liigume edasi kolmanda vara juurde:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

Kirjutame selle laiendatud kujul:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Sellele järeldusele saate jõuda loogiliselt arutledes. Peate korrutama kaks ruutu neli korda. Kuid igas ruudus on kaks kahest, mis tähendab, et kokku tuleb kaheksa kahest.

teadusmaa.info

Liitmise ja lahutamise reeglid.

1. Tingimuste kohtade muutmine ei muuda summat (liitmise kommutatiivne omadus)

13+25=38, võib kirjutada järgmiselt: 25+13=38

2. Liitmise tulemus ei muutu, kui külgnevad terminid asendatakse nende summaga (liitmise assotsiatiivne omadus).

10+13+3+5=31 saab kirjutada järgmiselt: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31 jne.

3. Ühikud annavad kokku ühed, kümned kümned jne.

34+11=45 (3 kümnendikku pluss 1 kümme; 4 ühikut pluss 1 ühik).

4. Ühikud lahutatakse ühtedest, kümned kümnetest jne.

53-12 = 41 (3 ühikut miinus 2 ühikut; 5 kümneid miinus 1 kümme)

märkus: 10 ühte teeb ühest kümneks. Seda tuleb lahutamisel meeles pidada, sest kui alamjaotuse ühikute arv on suurem kui minuendi oma, siis saame minuendist “laenata” ühe kümne.

41-12 = 29 (Selleks et 2-st 1 lahutada, tuleb esmalt “laenata” kümnetest üks, saame 11-2 = 9; pidage meeles, et vähendataval on 1 kümnest vähem, seega jääb alles 3 kümnest ja alates sellest lahutatakse 1 kümme. Vastus 29).

5. Kui lahutate kahe liikme summast ühe neist, saate teise liikme.

See tähendab, et liitmist saab kontrollida lahutamise abil.

Kontrollimiseks lahutage summast üks terminitest: 49-7=42 või 49-42=7

Kui te ei saanud lahutamise tulemusena üht tingimust, siis tehti teie liitmisel viga.

6. Kui lisate erinevusele alamosa, saate minuendi.

See tähendab, et lahutamist saab kontrollida liitmise teel.

Kontrollimiseks lisa erinevusele alamlahend: 19+50=69.

Kui ülalkirjeldatud protseduuri tulemusena ei saanud te lahutamist, siis tehti teie lahutamisel viga.

Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine

Selles õppetükis käsitletakse ratsionaalarvude liitmist ja lahutamist. Teema on klassifitseeritud keeruliseks. Siin on vaja kasutada kogu varem omandatud teadmiste arsenali.

Täisarvude liitmise ja lahutamise reeglid kehtivad ka ratsionaalarvude puhul. Tuletame meelde, et ratsionaalarvud on arvud, mida saab esitada murdena, kus a – see on murdosa lugeja, b on murdosa nimetaja. enamgi veel b ei tohiks olla null.

Selles õppetükis kutsume üha sagedamini murde ja seganumbreid ühe levinud fraasiga - ratsionaalsed arvud.

Tunnis navigeerimine:

Näide 1. Leidke avaldise väärtus

Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud pluss on tehtemärk ja ei kehti murdosa kohta. Sellel murdel on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

See on ratsionaalarvude liitmine erinevad märgid. Erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem ja saadud vastuse ette lisada märk, mille moodul on suurem. Ja selleks, et mõista, milline moodul on suurem ja milline väiksem, peate enne nende murdude arvutamist suutma võrrelda nende murdude mooduleid:

Ratsionaalarvu moodul on suurem kui ratsionaalarvu moodul. Seetõttu lahutasime . Saime vastuse. Seejärel, vähendades seda murdosa 2 võrra, saime lõpliku vastuse.

Soovi korral võib mõned primitiivsed toimingud, näiteks numbrite sulgudesse lisamine ja moodulite lisamine vahele jätta. Selle näite võib lühidalt kirjutada:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud miinus on tehte märk ja ei kehti murdosa kohta.

Murd on sel juhul positiivne ratsionaalarv, mille plussmärk on nähtamatu. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

Asendame lahutamise liitmisega. Tuletame meelde, et selleks peate alamjaotuse minuendile lisama vastupidise arvu:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Negatiivsete ratsionaalarvude lisamiseks peate lisama nende moodulid ja panema saadud vastuse ette miinuse:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

Selles avaldises on murdudel erinevad nimetajad. Ülesande lihtsustamiseks taandame need murrud samale (ühisele) nimetajale. Me ei peatu sellel üksikasjalikult. Kui teil on raskusi, minge kindlasti tagasi murdudega opereerimise õppetüki juurde ja korrake seda.

Pärast murdude taandamist ühise nimetajani on avaldis järgmine:

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Lahutame väiksema mooduli suuremast moodulist ja paneme saadud vastuse ette märgi, mille moodul on suurem:

Näide 4. Leidke avaldise väärtus

Saime kolme termini summa. Esmalt leiame avaldise väärtuse, seejärel lisame saadud vastusele

Esimene tegevus:

Teine toiming:

Seega on avaldise väärtus võrdne.

Selle näite lahenduse saab kirjutada lühidalt

Näide 5. Leidke avaldise väärtus

Lisame iga numbri koos selle märkidega sulgudesse. Selleks laiendame ajutiselt seganumbrit

Arvutame täisarvulised osad:

Põhiväljendis asemel Kirjutame saadud ühiku üles:

Ahendame saadud avaldise. Selleks jätke sulud välja ning kirjutage ühik ja murd kokku

Selle näite lahenduse võib lühidalt kirjutada:

Näide 6. Leidke avaldise väärtus

Teisendame segaarvu valeks murruks. Kirjutame ülejäänu ümber nii, nagu on:

Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse:

Asendame lahutamise liitmisega:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Liidame nende arvude moodulid kokku ja paneme saadud vastuse ette miinuse:

Seega on avaldise väärtus .

Selle näite lahenduse võib lühidalt kirjutada:

Näide 7. Leidke avaldise väärtus

Kirjutame segaarvu laiendatud kujul. Kirjutame ülejäänu ümber nii, nagu see on:

Sulgudesse paneme iga ratsionaalarvu koos selle märkidega

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

Arvutame täisarvulised osad:

Põhiavaldises selle asemel, et kirjutada saadud arv?7

Väljend on segaarvu kirjutamise laiendatud vorm. Vastuse saab kohe kirja panna, kirjutades numbrid?7 ja murdosa kokku (selle murru miinuse peitmine)

Seega on avaldise väärtus

Selle näite lahenduse saab kirjutada palju lühemalt. Kui jätame mõned üksikasjad vahele, võib selle kirjutada järgmiselt:

Näide 8. Leidke avaldise väärtus

Seda avaldist saab arvutada kahel viisil. Vaatame igaüht neist.

Esimene viis. Avaldise täis- ja murdosa hinnatakse eraldi.

Esmalt kirjutame seganumbrid laiendatud kujul:

Lisame iga numbri koos selle märkidega sulgudesse:

Võimalusel asendame lahutamise liitmisega:

Saime mitme termini summa. Kombinatoorse liitmise seaduse kohaselt, kui avaldis sisaldab mitut liiget, siis summa ei sõltu tegevuste järjekorrast. See võimaldab meil rühmitada täis- ja murdosa eraldi:

Arvutame täisarvulised osad:

Põhiavaldises selle asemel, et kirjutada saadud arv?3

Arvutame murdosad:

Põhiavaldises, selle asemel, et kirjutada saadud segaarv

Saadud avaldise hindamiseks peate segaarvu ajutiselt laiendama, seejärel panema iga arvu ümber sulud ja asendama lahutamise liitmisega. Seda tuleb teha väga ettevaatlikult, et terminite märke mitte segamini ajada.

Pärast avaldise teisendamist saime uue avaldise, mida on lihtne arvutada. Sarnane avaldis oli näites 7. Tuletame meelde, et lisasime täisarvulised osad eraldi ja murdosa jätsime selliseks, nagu see on:

Seega on avaldise väärtus

Selle näite lahenduse saab kirjutada lühidalt

Lühilahendus jätab vahele numbrite sulgudesse panemise, lahutamise asendamise liitmisega ja moodulite lisamise. Kui õpid koolis või muus haridusasutus, siis peate aja ja ruumi säästmiseks need primitiivsed sammud vahele jätma. Ülaltoodud lühilahenduse saab kirjutada veelgi lühemalt. See näeb välja selline:

Seetõttu olge koolis või mõnes teises õppeasutuses viibides valmis selleks, et mõned toimingud tuleb teie meelest teha.

Teine viis. Segaarvu avaldised teisendatakse valedeks murdudeks ja arvutatakse nagu tavalised murrud.

Pangem iga ratsionaalne arv koos selle märkidega sulgudesse

Asendame lahutamise liitmisega:

Teisendame nüüd segaarvud valedeks murdudeks:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Liidame nende moodulid kokku ja paneme saadud vastuse ette miinuse:

Saime sama vastuse, mis eelmisel korral.

Teise meetodi üksikasjalik lahendus on järgmine:

Näide 9. Otsi väljendeid

Esimene viis. Lisame terve ja murdosa eraldi.

Seekord proovime vahele jätta mõned primitiivsed toimingud, nagu avaldise kirjutamine laiendatud kujul, numbrite lisamine sulgudesse, lahutamise asendamine liitmisega ja moodulite lisamine:

Pange tähele, et murdosad on taandatud ühiseks nimetajaks.

Teine viis. Teisendame segaarvud ebaõigeteks murdudeks ja arvutame need välja nagu tavalised murrud.

Näide 10. Leidke avaldise väärtus

Asendame lahutamise liitmisega:

Saadud avaldis ei sisalda negatiivseid numbreid, mis on vigade peamine põhjus. Ja kuna negatiivseid numbreid ei ole, saame eemaldada alamosa ees oleva plussi ja eemaldada ka sulud. Siis saame lihtsaima avaldise, mida on lihtne arvutada:

Selles näites arvutati täis- ja murdosa eraldi.

Näide 11. Leidke avaldise väärtus

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Lahutame suuremast moodulist väiksema ja paneme saadud arvu ette märgi, mille moodul on suurem:

Näide 12. Leidke avaldise väärtus

Avaldis koosneb mitmest parameetrist. Vastavalt toimingute järjestusele peate esmalt sooritama sulgudes olevad toimingud.

Esiteks arvutame avaldise, seejärel lisame saadud vastused.

Esimene tegevus:

Teine toiming:

Kolmas toiming:

Vastus: väljendi väärtus võrdub

Näide 13. Leidke avaldise väärtus

Asendame lahutamise liitmisega:

Saadakse erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmisel. Lahutame suuremast moodulist väiksema ja paneme vastuse ette märgi, mille moodul on suurem. Kuid meil on tegemist seganumbritega. Et mõista, milline moodul on suurem ja milline väiksem, tuleb võrrelda nende segaarvude mooduleid. Ja segaarvude moodulite võrdlemiseks peate need teisendama valedeks murdudeks ja võrdlema neid nagu tavalisi murde.

Järgmisel joonisel on kujutatud kõik segaarvude moodulite võrdlemise etapid

Olles välja selgitanud, milline moodul on suurem ja milline väiksem, saame jätkata oma näite arvutamist:

Seega väljendi tähendus võrdub

Vaatame kümnendmurdude liitmist ja lahutamist, mis samuti kuuluvad ratsionaalarvude hulka ja mis võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed.

Näide 14. Leia avaldise väärtus?3,2 + 4,3

Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud pluss on tehtemärk ja ei kehti kümnendmurru kohta 4.3. Sellel kümnendmurul on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem ja saadud vastuse ette lisada märk, mille moodul on suurem. Ja selleks, et mõista, milline moodul on suurem ja milline väiksem, peate suutma nende kümnendmurdude mooduleid enne nende arvutamist võrrelda:

Arvu 4,3 moodul on suurem kui arvu moodul ?3,2, seega lahutasime 4,3-st 3,2. Saime vastuseks 1.1. Vastus on positiivne, kuna vastus peab sisaldama suurema mooduli märki ehk moodulit |+4,3|.

Seega on avaldise?3,2 + (+4,3) väärtus 1,1

Näide 15. Leidke avaldise väärtus 3,5 + (?8,3)

See on erinevate märkidega ratsionaalsete arvude liitmine. Nagu eelmises näites, lahutage suuremast moodulist väiksem ja pange vastuse ette märk, mille moodul on suurem

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Seega on avaldise 3,5 + (?8,3) väärtus võrdne?4,8

Selle näite võib lühidalt kirjutada:

Näide 16. Leidke avaldise väärtus?7,2 + (?3,11)

See on negatiivsete ratsionaalarvude liitmine. Negatiivsete ratsionaalarvude lisamiseks tuleb lisada nende moodulid ja panna saadud vastuse ette miinus. Moodulitega saate sisestamise vahele jätta, et väljendit mitte segada:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Seega on avaldise?7,2 + (?3,11) väärtus võrdne?10,31

Selle näite võib lühidalt kirjutada:

Näide 17. Leidke avaldise väärtus?0,48 + (?2,7)

See on negatiivsete ratsionaalarvude liitmine. Liidame nende moodulid kokku ja paneme saadud vastuse ette miinusmärgi. Moodulitega saate sisestamise vahele jätta, et väljendit mitte segada:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

Näide 18. Leia avaldise väärtus?4,9 ? 5.9

Lisame iga ratsionaalarvu koos märkidega sulgudesse. Arvestame, et avaldises antud miinus on tehte märk ja ei kehti kümnendmurru 5.9 kohta. Sellel kümnendmurul on oma plussmärk, mis on nähtamatu, kuna seda ei kirjutata üles. Kuid me kirjutame selle selguse huvides üles:

Asendame lahutamise liitmisega:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Liitke nende moodulid ja tehke saadud vastuse ette miinus. Moodulitega saate sisestamise vahele jätta, et väljendit mitte segada:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Seega on avaldise väärtus ?4,9 ? 5,9 võrdub?10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Näide 19. Leia avaldise 7 väärtus? 9.3

Paneme iga numbri koos märkidega sulgudesse

Asendame lahutamise liitmisega

Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame suuremast moodulist väiksema ja paneme vastuse ette märgi, mille moodul on suurem. Moodulitega saate sisestamise vahele jätta, et väljendit mitte segada:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Seega on avaldise 7 väärtus ? 9,3 võrdub?2,3

Selle näite üksikasjalik lahendus on kirjutatud järgmiselt:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

Lühilahendus näeks välja selline:

Näide 20. Leia avaldise väärtus?0,25 ? (?1,2)

Asendame lahutamise liitmisega:

Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja paneme vastuse ette märgi, mille moodul on suurem:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Selle näite üksikasjalik lahendus on kirjutatud järgmiselt:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Lühilahendus näeks välja selline:

Näide 21. Leidke avaldise väärtus?3,5 + (4,1 ? 7,1)

Kõigepealt sooritame sulgudes olevad toimingud, seejärel lisame saadud vastuse numbriga?3.5. Jätame moodulitega sissekande vahele, et väljendeid mitte segamini ajada.

Esimene tegevus:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Teine toiming:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Vastus: avaldise väärtus?3,5 + (4,1 ? 7,1) on võrdne?6,5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

Näide 22. Leia avaldise väärtus (3,5 ? 2,9)? (3,7 ? 9,1)

Teeme sulgudes olevad toimingud, seejärel lahutame esimeste sulgude täitmise tulemusel saadud arvust arvu, mis saadi teise sulgude täitmise tulemusel. Jätame moodulitega sissekande vahele, et väljendeid mitte segamini ajada.

Esimene tegevus:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Teine toiming:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Kolmas vaatus

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Vastus: avaldise väärtus (3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) võrdub 6-ga.

Selle näite lühilahenduse saab kirjutada järgmiselt:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

Näide 23. Leia avaldise väärtus?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6.15

Pangem iga ratsionaalne arv koos selle märkidega sulgudesse

Võimaluse korral asendage lahutamine liitmisega

Väljend koosneb mitmest terminist. Kombinatoorse liitmise seaduse kohaselt, kui avaldis koosneb mitmest liikmest, siis summa tegevuste järjekorrast ei sõltu. See tähendab, et tingimusi saab lisada mis tahes järjekorras.

Ärgem leiutagem ratast uuesti, vaid liidame kõik terminid vasakult paremale nende ilmumise järjekorras:

Esimene tegevus:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Teine toiming:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Kolmas toiming:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Vastus: avaldise väärtus?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6,15 võrdub 1.

Selle näite lühilahenduse saab kirjutada järgmiselt:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Lühilahendused loovad vähem probleeme ja segadus, seega on soovitav nendega harjuda.

Näide 24. Leidke avaldise väärtus

Teisendame kümnendmurru?1,8 segaarvuks. Ülejäänu kirjutame ümber nii, nagu see on. Kui teil on raskusi kümnendmurru teisendamiseks segaarvuks, korrake õppetundi kindlasti kümnendkohad.

Näide 25. Leidke avaldise väärtus

Asendame lahutamise liitmisega. Samal ajal teisendame kümnendmurru (?4,4) valeks murruks

Saadud avaldises pole negatiivseid numbreid. Ja kuna negatiivseid numbreid pole, saame teise numbri eest plussi eemaldada ja sulud ära jätta. Seejärel saame liitmiseks lihtsa avaldise, mida on lihtne lahendada

Näide 26. Leidke avaldise väärtus

Teisendame segaarvu valeks murruks ja kümnendmurru?0,85 harilikuks murruks. Saame järgmise väljendi:

Saime negatiivsete ratsionaalarvude liitmise. Liidame nende moodulid kokku ja paneme saadud vastuse ette miinusmärgi. Moodulitega saate sisestamise vahele jätta, et väljendit mitte segada:

Näide 27. Leidke avaldise väärtus

Teisendame mõlemad murrud ebaõigeteks murdudeks. Kümnendarvu 2,05 teisendamiseks valeks murruks saate teisendada selle esmalt segaarvuks ja seejärel valeks murdarvuks:

Pärast mõlema murdude teisendamist valedeks murdudeks saame järgmise avaldise:

Saime erinevate märkidega ratsionaalarvude liitmise. Lahutame väiksema mooduli suuremast moodulist ja paneme saadud vastuse ette märgi, mille moodul on suurem:

Näide 28. Leidke avaldise väärtus

Asendame lahutamise liitmisega. Samal ajal teisendame kümnendmurru harilikuks murruks

Näide 29. Leidke avaldise väärtus

Teisendame kümnendmurrud?0,25 ja?1,25 kümnendmurrudeks harilikud murded, jätame ülejäänud nii nagu on. Saame järgmise väljendi:

Võimaluse korral saate esmalt lahutamise asendada liitmisega ja lisada ratsionaalarvud üksteise järel. On ka teine ​​võimalus: esmalt lisage ratsionaalarvud ja ning seejärel lahutage saadud arvust ratsionaalarv. Me kasutame seda võimalust.

Esimene tegevus:

Teine toiming:

Vastus: väljendi väärtus võrdne?2.

Näide 30. Leidke avaldise väärtus

Teisendame kümnendmurrud tavalisteks murdudeks. Ülejäänu jätame nii nagu on

Saime mitme termini summa. Kui summa koosneb mitmest liikmest, saab avaldist hinnata suvalises järjekorras. See tuleneb liitmise assotsiatiivsest seadusest.

Seetõttu saame korraldada meie jaoks kõige mugavama variandi. Kõigepealt saate lisada esimese ja viimase termini, nimelt ratsionaalarvud ja . Nendel numbritel on samad nimetajad, mis tähendab, et see vabastab meid vajadusest neid sellele taandada.

Esimene tegevus:

Saadud arvu saab lisada teisele liikmele, nimelt ratsionaalarvule. Ratsionaalarvude murdosades on identsed nimetajad, mis on meie jaoks jällegi eelis

Teine toiming:

Noh, lisame saadud arvu?7 viimase liikmega, nimelt ratsionaalarvuga. Mugavalt kaovad selle avaldise arvutamisel seitsmed, see tähendab, et nende summa võrdub nulliga, kuna vastandarvude summa on null

Kolmas toiming:

Vastus: avaldise väärtus on

Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue VKontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta märguandeid saama

Täisarvude liitmine ja lahutamine

Selles õppetükis õpime täisarvude liitmine ja lahutamine, samuti nende liitmise ja lahutamise reeglid.

Tuletage meelde, et täisarvud on kõik positiivsed ja negatiivsed arvud, samuti arv 0. Näiteks järgmised arvud on täisarvud:

Positiivseid numbreid on lihtne liita ja lahutada, korrutada ja jagada. Kahjuks ei saa seda öelda negatiivsete arvude kohta, mis ajavad paljud algajad segadusse oma miinustega iga numbri ees. Nagu praktika näitab, valmistavad õpilastele kõige rohkem meelehärmi negatiivsete numbrite tõttu tehtud vead.

Täisarvude liitmise ja lahutamise näited

Esimene asi, mida peaksite õppima, on täisarvude liitmine ja lahutamine koordinaatjoone abil. Koordinaatjoont pole üldse vaja tõmmata. Piisab, kui kujutad seda oma mõtetes ette ja vaatad, kus paiknevad negatiivsed arvud ja kus positiivsed.

Vaatleme kõige lihtsamat avaldist: 1 + 3. Selle avaldise väärtus on 4:

Seda näidet saab mõista koordinaatjoone abil. Selleks peate numbri 1 asukohast liikuma kolm sammu paremale. Selle tulemusena leiame end punktist, kus asub number 4. Jooniselt näete, kuidas see juhtub:

Plussmärk avaldises 1 + 3 ütleb meile, et peaksime liikuma paremale arvude suurenemise suunas.

Näide 2. Leiame avaldise 1 väärtuse? 3.

Selle avaldise väärtus on?2

Seda näidet saab jällegi mõista koordinaatjoone abil. Selleks peate numbri 1 asukohast liikuma kolm sammu vasakule. Selle tulemusena leiame end punktist, kus asub negatiivne arv?2. Pildil näete, kuidas see juhtub:

Miinusmärk avaldises 1? 3 ütleb meile, et peaksime liikuma arvude kahanemise suunas vasakule.

Üldiselt peate meeles pidama, et kui lisamine viiakse läbi, peate liikuma suurendamise suunas paremale. Kui lahutamine toimub, peate liikuma kahanemise suunas vasakule.

Näide 3. Leidke avaldise väärtus?2 + 4

Selle avaldise väärtus on 2

Seda näidet saab jällegi mõista koordinaatjoone abil. Selleks tuleb negatiivse arvu?2 asukohast liikuda neli sammu paremale. Selle tulemusena leiame end punktist, kus asub positiivne arv 2.

On näha, et oleme liikunud kohast, kus asub negatiivne arv?2, nelja sammu võrra paremale poole ja jõudnud punkti, kus asub positiivne arv 2.

Plussmärk avaldises ?2 + 4 ütleb meile, et peaksime arvude suurenemise suunas liikuma paremale.

Näide 4. Leia avaldise väärtus?1 ? 3

Selle avaldise väärtus on?4

Seda näidet saab taas lahendada koordinaatjoone abil. Selleks tuleb negatiivse numbri?1 asukohast liikuda vasakule kolm sammu. Selle tulemusena leiame end punktist, kus asub negatiivne arv?4

Näha on, et oleme liikunud kohast, kus asub negatiivne arv?1, kolme sammu võrra vasakule ja jõudnud punkti, kus asub negatiivne arv?4.

Miinusmärk avaldises?1 ? 3 ütleb meile, et peaksime liikuma arvude kahanemise suunas vasakule.

Näide 5. Leidke avaldise väärtus?2 + 2

Selle avaldise väärtus on 0

Selle näite saab lahendada koordinaatjoone abil. Selleks tuleb negatiivse numbri?2 asukohast liikuda paremale kahele sammule. Selle tulemusena leiame end punktist, kus asub number 0

On näha, et oleme liikunud punktist, kus asub negatiivne arv?2, kahe sammu võrra paremale poole ja jõudnud punkti, kus asub arv 0.

Plussmärk avaldises ?2 + 2 ütleb meile, et peaksime arvude suurenemise suunas liikuma paremale.

Täisarvude liitmise ja lahutamise reeglid

Selle või selle avaldise arvutamiseks pole vaja iga kord koordinaatjoont ette kujutada, veel vähem seda joonistada. Mugavam on kasutada valmis reegleid.

Reeglite rakendamisel tuleb tähelepanu pöörata tehte märgile ja arvude märkidele, mida tuleb liita või lahutada. See määrab, millist reeglit rakendada.

Näide 1. Leidke avaldise väärtus?2 + 5

Siin lisatakse positiivne arv negatiivsele arvule. Ehk siis liidetakse erinevate märkidega numbrid. ?2 on negatiivne arv ja 5 on positiivne arv. Sellistel juhtudel on ette nähtud järgmine reegel:

Niisiis, vaatame, milline moodul on suurem:

Arvu 5 moodul on suurem kui arvu?2 moodul. Reegel nõuab suuremast moodulist väiksema lahutamist. Seetõttu peame 5-st lahutama 2 ja enne saadud vastust panema märgi, mille moodul on suurem.

Arv 5 on suurema mooduliga, nii et selle numbri märk jääb vastusesse. See tähendab, et vastus on positiivne:

Tavaliselt kirjutatakse lühemalt? 2 + 5 = 3

Näide 2. Leidke avaldise 3 + (?2) väärtus

Siin, nagu eelmises näites, lisatakse erinevate märkidega numbrid. 3 on positiivne arv ja ?2 on negatiivne. Pange tähele, et arv?2 on sulgudes, et muuta väljend selgemaks ja ilusamaks. Seda väljendit on palju lihtsam mõista kui väljendit 3+?2.

Niisiis, rakendame erinevate märkidega numbrite lisamise reeglit. Nagu eelmises näites, lahutame suuremast moodulist väiksema mooduli ja enne vastust paneme märgi, mille moodul on suurem:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

Arvu 3 moodul on suurem kui arvu?2 moodul, seega lahutasime 3-st 2 ja enne saadud vastust panime mooduli märgi, mis on suurem. Arv 3 on suurema mooduliga, mistõttu on vastuses selle arvu märk. See tähendab, et vastus on positiivne.

Tavaliselt kirjutatakse lühemalt 3 + (?2) = 1

Näide 3. Leia avaldise 3 väärtus? 7

Selles avaldises lahutatakse suurem arv väiksemast arvust. Sellisel juhul on ette nähtud järgmine reegel:

Suurema arvu lahutamiseks väiksemast arvust tuleb suuremast arvust lahutada väiksem arv ja tulemuseks oleva vastuse ette panna miinus.

Sellel väljendil on väike konks. Pidagem meeles, et võrdusmärk (=) asetatakse suuruste ja avaldiste vahele, kui need on üksteisega võrdsed.

Avaldise 3 väärtus? 7 kuidas saime teada, et see on võrdne?4. See tähendab, et kõik selles avaldises tehtavad teisendused peavad olema võrdsed?4

Kuid me näeme, et teises etapis on avaldis 7? 3, mis ei ole võrdne?4.

Selle olukorra parandamiseks kasutatakse avaldist 7 ? 3 tuleb panna sulgudesse ja selle sulgu ette miinusmärk:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

Sel juhul järgitakse võrdsust igal etapil:

Pärast avaldise hindamist saab sulud eemaldada, mida me ka tegime.

Et olla täpsem, peaks lahendus välja nägema järgmine:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Selle reegli saab kirjutada muutujate abil. See näeb välja selline:

a? b = ? (b? a)

Suur hulk sulgusid ja tehtemärke võib näiliselt lihtsa ülesande lahendamise keeruliseks muuta, mistõttu on soovitav õppida selliseid näiteid lühidalt kirjutama, näiteks 3 ? 7 = ? 4.

Tegelikult taandub täisarvude liitmine ja lahutamine ainult liitmisele. Mida see tähendab? See tähendab, et kui teil on vaja arve lahutada, saab selle toimingu asendada liitmisega.

Nii et tutvume uue reegliga:

Ühe arvu teisest lahutamine tähendab lahutatavale arvule vastupidise arvu lisamist.

Näiteks kaaluge kõige lihtsamat avaldist 5? 3. Sees esialgsed etapid matemaatikat õppides panime lihtsalt võrdusmärgi ja kirjutasime vastuse üles:

Kuid nüüd oleme oma uuringus edenenud, seega peame uute reeglitega kohanema. Uus reegel ütleb, et ühe arvu teisest lahutamine tähendab lahutatavale vastandliku arvu lisamist minuendile.

Proovime seda reeglit mõista avaldise 5?3 näitel. Selle avaldise minuend on 5 ja alaosa on 3. Reegel ütleb, et 5-st 3 lahutamiseks tuleb 5-le lisada arv, mis on 3 vastand. 3 vastand on arv?3 . Kirjutame uue väljendi:

Ja me juba teame, kuidas sellistele väljenditele tähendusi leida. See on erinevate märkidega numbrite lisamine, millest me eespool rääkisime. Erinevate märkidega numbrite lisamiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem ja enne saadud vastust panna märk, mille moodul on suurem:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Arvu 5 moodul on suurem kui arvu?3 moodul. Seetõttu lahutasime 5-st 3 ja saime 2. Arv 5 on suurema mooduliga, seega panime vastusesse selle arvu märgi. See tähendab, et vastus on positiivne.

Alguses ei suuda kõik lahutamist kiiresti liitmisega asendada. See on tingitud asjaolust, et positiivsed arvud kirjutatakse ilma nende plussmärgita.

Näiteks avaldises 3? Lahutamist tähistav 1 miinusmärk on tehtemärk ja ei viita sellele. Sel juhul on ühik positiivne arv ja sellel on oma plussmärk, kuid me ei näe seda, kuna tavaliselt ei kirjutata plussi positiivsete arvude ette.

Seetõttu võib selguse huvides selle väljendi kirjutada järgmiselt:

Mugavuse huvides asetatakse sulgudesse numbrid, millel on oma märgid. Sel juhul on lahutamise asendamine liitmisega palju lihtsam. Lahutatud arv on sel juhul arv (+1) ja vastupidine arv on (?1). Asendame lahutamistehte liitmisega ja kirjutame alamosa (+1) asemele vastupidise arvu (?1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

Esmapilgul võib tunduda, et nendel lisaliigutustel pole mõtet, kui paned vana hea meetodiga võrdusmärgi ja kirjutad kohe vastuse 2. Tegelikult aitab see reegel meid rohkem kui korra.

Lahendame eelmise näite 3? 7, kasutades lahutamise reeglit. Esiteks viime avaldise normaalkuju, määrates igale numbrile oma märgid. Kolmel on plussmärk, sest see on positiivne arv. Lahutamist tähistav miinusmärk seitsmele ei kehti. Seitsmel on plussmärk, sest see on ka positiivne arv:

Asendame lahutamise liitmisega:

Edasine arvutamine pole keeruline:

Näide 7. Leia avaldise väärtus?4 ? 5

Jällegi on meil lahutamistehte. See toiming tuleb asendada lisamisega. Minuendile (?4) lisame alamosale vastandarvu (+5). Alamjaotuse (+5) vastandarv on arv (?5).

Oleme jõudnud olukorda, kus tuleb lisada negatiivsed arvud. Sellistel juhtudel on ette nähtud järgmine reegel:

Negatiivsete arvude lisamiseks tuleb lisada nende moodulid ja panna saadud vastuse ette miinus.

Niisiis, liidame arvude moodulid kokku, nagu reegel nõuab, ja paneme saadud vastuse ette miinuse:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

Moodulitega kirje peab olema sulgudes ja nende sulgude ette tuleb panna miinusmärk. Nii anname miinuse, mis peaks ilmuma enne vastust:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

Selle näite lahenduse võib lühidalt kirjutada:

Näide 8. Leia avaldise väärtus?3 ? 5 ? 7? 9

Toome väljendi selgesse vormi. Siin on kõik arvud, välja arvatud number?3, positiivsed, seega on neil plussmärgid:

Asendame lahutamistehted liitmistehtega. Kõik miinused (välja arvatud miinus, mis on kolme ees) muutuvad plussideks ja kõik positiivsed numbrid muutuvad vastupidiseks:

Nüüd rakendame negatiivsete arvude lisamise reeglit. Negatiivsete arvude lisamiseks peate lisama nende moodulid ja panema saadud vastuse ette miinuse:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

Selle näite lahenduse võib lühidalt kirjutada:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

Näide 9. Leia avaldise väärtus?10 + 6? 15 + 11? 7

Toome väljendi selgesse vormi:

Siin on kaks operatsiooni: liitmine ja lahutamine. Jätame liitmise nii, nagu see on, ja asendame lahutamise liitmisega:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

Toimingute järjekorda järgides sooritame iga toimingu kordamööda, lähtudes eelnevalt õpitud reeglitest. Moodulitega kirjeid saab vahele jätta:

Esimene tegevus:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Teine toiming:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Kolmas toiming:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Neljas tegevus:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Seega on avaldise väärtus?10 + 6? 15 + 11? 7 võrdub?15

Märge. Avaldist pole üldse vaja arusaadavale vormile tuua, lisades numbrid sulgudesse. Negatiivsete arvudega harjumisel võib selle sammu vahele jätta, kuna see on aeganõudev ja võib tekitada segadust.

Seega peate täisarvude liitmiseks ja lahutamiseks meeles pidama järgmisi reegleid:

Erinevate märkidega numbrite liitmiseks tuleb suuremast moodulist lahutada väiksem moodul ja enne saadud vastust panna märk, mille moodul on suurem.

Suurema arvu lahutamiseks väiksemast arvust peate lahutama väiksema arvu suuremast arvust ja panema saadud vastuse ette miinusmärgi.

Ühe arvu lahutamine teisest tähendab vähendatavale arvule lahutatavale vastupidise arvu lisamist.

Negatiivsete arvude lisamiseks tuleb lisada nende moodulid ja panna saadud vastuse ette miinusmärk.