Kõrgus on geomeetriline keskmine. Kuidas leida arvude aritmeetilist ja geomeetrilist keskmist

Rakendatakse geomeetrilist keskmist juhtudel, kui individuaalsed väärtused karakteristikud on suhtelised dünaamika väärtused, mis on konstrueeritud ahelväärtuste kujul, suhtena dünaamikaseeria iga taseme eelmise tasemega, st iseloomustab keskmine koefitsient kasvu.

Väga sageli arvutatakse statistikaülesannetes moodust ja mediaani ning need täiendavad üldkogumi keskmisi tunnuseid ning neid kasutatakse matemaatilises statistikas jaotusridade tüübi analüüsimiseks, mis võib olla normaalne, asümmeetriline, sümmeetriline jne.

Nii nagu mediaan, arvutatakse ka tunnuse väärtused, mis jagab üldkogumi neljaks võrdseks osaks - kvartlid, viieks osaks - kvintlid, kümneks võrdseks osaks - aeglustub, sajaks võrdseks osaks - protsentilid. Vaadeldavate tunnuste jaotuse kasutamine statistikas variatsiooniridade analüüsimisel võimaldab meil uuritavat populatsiooni põhjalikumalt ja detailsemalt iseloomustada.

Erinevalt aritmeetilisest keskmisest võimaldab geomeetriline keskmine hinnata muutuja muutumise astet ajas. Geomeetriline keskmine on n väärtuse korrutise n-s juur (Excelis kasutatakse funktsiooni =SRGEOM):

G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Sarnane parameeter - kasumimäära geomeetriline keskmine väärtus - määratakse järgmise valemiga:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,

kus R i on kasumimäär i-s periood aega.

Oletagem näiteks, et esialgne investeering on 100 000 dollarit. Esimese aasta lõpuks langeb see 50 000 dollarile ja teise aasta lõpuks taastub algtasemele 100 000 dollarit. Selle investeeringu tootlus kahe aasta jooksul -aasta periood võrdub 0-ga, kuna vahendite alg- ja lõppsummad on omavahel võrdsed. Aasta tulumäärade aritmeetiline keskmine on aga = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ehk 25%, kuna esimese aasta tootlus R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 , ja teises R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Samal ajal on kahe aasta kasumimäära geomeetriline keskmine väärtus võrdne: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Seega peegeldab geomeetriline keskmine täpsemalt investeeringute mahu muutust (täpsemalt muutuste puudumist) kaheaastase perioodi jooksul kui aritmeetiline keskmine.

Huvitavaid fakte. Esiteks on geomeetriline keskmine alati väiksem kui samade arvude aritmeetiline keskmine. Välja arvatud juhul, kui kõik võetud numbrid on üksteisega võrdsed. Teiseks, võttes arvesse omadusi täisnurkne kolmnurk, saab aru, miks keskmist nimetatakse geomeetriliseks. Täisnurkse kolmnurga kõrgus, mis on langetatud hüpotenuusile, on keskmine proportsionaalne jalgade projektsioonide vahel hüpotenuusile ja iga jalg on keskmine proportsionaalne hüpotenuusi ja selle hüpotenuusile projektsiooni vahel. See annab geomeetrilise võimaluse kahe (pikkuse) segmendi geomeetrilise keskmise konstrueerimiseks: nende kahe segmendi summale tuleb konstrueerida ring läbimõõduna, seejärel taastatakse kõrgus nende ühenduspunktist ringiga ristumiskohani. annab soovitud väärtuse:

Riis. 4.

Arvandmete teine ​​oluline omadus on nende varieeruvus, mis iseloomustab andmete hajutatuse astet. Kaks erinevat valimit võivad erineda nii keskmiste kui ka dispersioonide poolest.

Andmete varieerumisel on viis hinnangut:

kvartiilne vahemik,

dispersioon,

standardhälve,

variatsioonikoefitsient.

Vahemik on erinevus valimi suurima ja väikseima elemendi vahel:

Vahemik = X Max - X Min

Valimi vahemik, mis sisaldab andmeid 15 investeerimisfondi keskmise aastatootluse kohta väga kõrge tase riski saab arvutada järjestatud massiivi abil: Vahemik = 18,5 - (-6,1) = 24,6. See tähendab, et väga kõrge riskiga fondide kõrgeima ja madalaima keskmise aastatootluse vahe on 24,6%.

Vahemik mõõdab andmete üldist levikut. Kuigi valimivahemik on andmete üldise leviku väga lihtne hinnang, on selle nõrkus see, et see ei võta täpselt arvesse, kuidas andmed jaotuvad miinimum- ja maksimumelementide vahel. Skaala B näitab, et kui valim sisaldab vähemalt ühte äärmuslikku väärtust, on valimivahemik andmete leviku väga ebatäpne hinnang.

Keskmise arvutamisel läheb see kaduma.

Keskmine tähenduses arvude hulk võrdub arvude summaga S jagatud nende arvude arvuga. See tähendab, et selgub, et keskmine tähenduses võrdub: 19/4 = 4,75.

Märge

Kui teil on vaja leida vaid kahe arvu geomeetriline keskmine, siis pole teil vaja insenerikalkulaatorit: võtke teine ​​juur ( Ruutjuur) mis tahes numbrist saab teha kõige tavalisema kalkulaatoriga.

Abistavad nõuanded

Erinevalt aritmeetilisest keskmisest ei mõjuta uuritavate näitajate kogumi üksikute väärtuste suured kõrvalekalded ja kõikumised geomeetrilist keskmist nii tugevalt.

Allikad:

• Interneti-kalkulaator, mis arvutab geomeetrilise keskmise
• keskmine geomeetriline valem

Keskmine väärtus on üks arvude hulga tunnuseid. Esindab arvu, mis ei saa olla väljaspool suurima ja poolt määratud vahemikku madalaimad väärtused selles numbrikomplektis. Keskmine aritmeetiline väärtus on kõige sagedamini kasutatav keskmise tüüp.

Juhised

Liidage kokku kõik komplekti kuuluvad arvud ja jagage need liikmete arvuga, et saada aritmeetiline keskmine. Sõltuvalt konkreetsetest arvutustingimustest on mõnikord lihtsam jagada iga numbrit komplekti kuuluvate väärtuste arvuga ja summeerida tulemus.

Kasutage näiteks Windows OS-is sisalduvat, kui aritmeetilist keskmist pole võimalik peast välja arvutada. Saate selle avada programmi käivitamise dialoogi abil. Selleks vajutage kiirklahve WIN + R või klõpsake nuppu Start ja valige peamenüüst käsk Run. Seejärel tippige sisestusväljale calc ja vajutage sisestusklahvi või klõpsake nuppu OK. Sama saab teha peamenüü kaudu - avage see, minge jaotisse "Kõik programmid" ja jaotises "Standardne" ning valige rida "Kalkulaator".

Sisestage kõik komplektis olevad numbrid järjestikku, vajutades nende järel plussklahvi (v.a viimane) või klõpsates kalkulaatori liideses vastavat nuppu. Samuti saate numbreid sisestada kas klaviatuurilt või klõpsates vastavaid liidese nuppe.

Vajutage kaldkriipsu klahvi või klõpsake seda kalkulaatori liideses pärast viimase seatud väärtuse sisestamist ja tippige jadas olevate numbrite arv. Seejärel vajutage võrdusmärki ja kalkulaator arvutab ja kuvab aritmeetilise keskmise.

Samal eesmärgil saate kasutada tabeliredaktorit. Microsoft Excel. Sel juhul käivitage redaktor ja sisestage kõik numbrite jada väärtused külgnevatesse lahtritesse. Kui vajutate pärast iga numbri sisestamist sisestusklahvi või alla- või paremnooleklahvi, liigutab redaktor ise sisendi fookuse kõrvalasuvasse lahtrisse.

Kui te ei soovi ainult keskmist näha, klõpsake viimase sisestatud numbri kõrval olevat lahtrit. Laiendage vahekaardil Avaleht olevate Redigeerimiskäskude jaoks kreeka sigma (Σ) rippmenüüd. Valige rida " Keskmine" ja redaktor sisestab valitud lahtrisse soovitud valemi aritmeetilise keskmise arvutamiseks. Vajutage sisestusklahvi ja väärtus arvutatakse.

Aritmeetiline keskmine on üks keskse tendentsi mõõte, mida kasutatakse laialdaselt matemaatikas ja statistilistes arvutustes. Mitme väärtuse aritmeetilise keskmise leidmine on väga lihtne, kuid igal ülesandel on oma nüansid, mida on õigete arvutuste tegemiseks lihtsalt vaja teada.

Mis on aritmeetiline keskmine

Kuidas leida aritmeetiline keskmine

Negatiivsete arvudega töötamise omadused

1. Üldaritmeetilise keskmise leidmine standardmeetodil;
2. Negatiivsete arvude aritmeetilise keskmise leidmine.
3. Positiivsete arvude aritmeetilise keskmise arvutamine.

Iga toimingu vastused on kirjutatud komadega eraldatuna.

Naturaalsed ja kümnendmurrud

Naturaalmurdudega töötamisel tuleks need taandada ühise nimetajani, mis korrutatakse massiivi arvude arvuga. Vastuse lugejaks saab algsete murdosaelementide etteantud lugejate summa.

Tehnikakalkulaator.

Juhised

Pidage meeles, et üldiselt keskmine geomeetrilised numbrid leitakse, korrutades need arvud ja võttes neist arvude arvule vastava astme juure. Näiteks kui teil on vaja leida viie arvu geomeetriline keskmine, peate korrutisest eraldama astme juure.

Kahe arvu geomeetrilise keskmise leidmiseks kasutage põhireeglit. Leidke nende korrutis ja võtke selle ruutjuur, kuna arv on kaks, mis vastab juure astmele. Näiteks arvude 16 ja 4 geomeetrilise keskmise leidmiseks leidke nende korrutis 16 4=64. Saadud arvust eraldage ruutjuur √64=8. See on soovitud väärtus. Pange tähele, et nende kahe arvu aritmeetiline keskmine on suurem ja võrdne 10-ga. Kui kogu juurt ei eraldata, ümardage tulemus soovitud järjekorras.

Rohkem kui kahe arvu geomeetrilise keskmise leidmiseks kasutage ka põhireeglit. Selleks leidke kõigi arvude korrutis, mille jaoks peate leidma geomeetrilise keskmise. Saadud korrutisest eraldage arvude arvuga võrdne astme juur. Näiteks arvude 2, 4 ja 64 geomeetrilise keskmise leidmiseks leidke nende korrutis. 2 4 64=512. Kuna peate leidma kolme arvu geomeetrilise keskmise tulemuse, võtke korrutisest kolmas juur. Seda on raske suuliselt teha, seega kasutage insenerikalkulaatorit. Selleks on sellel nupp "x^y". Valige number 512, vajutage nuppu "x^y", seejärel valige number 3 ja vajutage nuppu "1/x". 1/3 väärtuse leidmiseks vajutage nuppu "=". Saame tulemuse 512 tõstmisel 1/3 astmeni, mis vastab kolmandale juurele. Hankige 512^1/3=8. See on arvude 2,4 ja 64 geomeetriline keskmine.

Insenerikalkulaatori abil saate geomeetrilise keskmise leida muul viisil. Leidke oma klaviatuurilt loginupp. Pärast seda võtke iga arvu jaoks logaritm, leidke nende summa ja jagage see arvude arvuga. Võtke saadud arvust antilogaritm. See on arvude geomeetriline keskmine. Näiteks samade arvude 2, 4 ja 64 geomeetrilise keskmise leidmiseks tehke kalkulaatoris rida tehteid. Valige number 2, seejärel vajutage loginuppu, vajutage nuppu "+", valige number 4 ja vajutage uuesti logi ja "+", valige 64, vajutage logi ja "=". Tulemuseks on number võrdne summaga kümnendlogaritmid numbrid 2, 4 ja 64. Jagage saadud arv 3-ga, kuna see on arvude arv, mille geomeetrilist keskmist otsitakse. Tulemusest võtke antilogaritm, lülitades suurtähtede nuppu ja kasutage sama logiklahvi. Tulemuseks on number 8, see on soovitud geomeetriline keskmine.

Aritmeetilise keskmise ja geomeetrilise keskmise teema on matemaatika programmis 6.-7.klassile. Kuna lõigust on üsna lihtne mõista, saab see kiiresti ja lõpuks valmis õppeaastal koolilapsed unustavad ta. Kuid selleks on vaja teadmisi põhistatistikast ühtse riigieksami sooritamine, samuti rahvusvahelisteks SAT-eksamiteks. Jah ja selleks Igapäevane elu arenenud analüütiline mõtlemine ei tee kunagi haiget.

Kuidas arvutada arvude aritmeetilist ja geomeetrilist keskmist

Oletame, et on arvude jada: 11, 4 ja 3. Aritmeetiline keskmine on kõigi arvude summa jagatud antud arvude arvuga. See tähendab, et numbrite 11, 4, 3 puhul on vastuseks 6. Kuidas saada 6?

Lahendus: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Nimetaja peab sisaldama arvu, mis on võrdne arvude arvuga, mille keskmine on vaja leida. Summa jagub 3-ga, kuna liikmeid on kolm.

Nüüd peame välja mõtlema geomeetrilise keskmise. Oletame, et on arvude jada: 4, 2 ja 8.

Arvude geomeetriline keskmine on kõigi antud arvude korrutis, mis asub juure all astmega, mis on võrdne antud arvude arvuga.See tähendab, et arvude 4, 2 ja 8 puhul on vastus 4. selgus:

Lahendus: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Mõlema variandi puhul saime terved vastused, kuna näitena võeti spetsiaalsed numbrid. Seda ei juhtu alati. Enamikul juhtudel tuleb vastus ümardada või jätta juure. Näiteks arvude 11, 7 ja 20 aritmeetiline keskmine on ≈ 12,67 ja geomeetriline keskmine on ∛1540. Ja numbrite 6 ja 5 puhul on vastused vastavalt 5,5 ja √30.

Kas võib juhtuda, et aritmeetiline keskmine saab võrdseks geomeetrilise keskmisega?

Muidugi saab. Kuid ainult kahel juhul. Kui on arvude jada, mis koosneb ainult ühtedest või nullidest. Tähelepanuväärne on ka see, et vastus ei sõltu nende arvust.

Tõestus ühikutega: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmeetiline keskmine).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geomeetriline keskmine).

Tõestus nullidega: (0 + 0) / 2=0 (aritmeetiline keskmine).

√(0 × 0) = 0 (geomeetriline keskmine).

Muud võimalust ei ole ega saagi olla.

Statistikas on keskmistel väärtustel oluline roll, sest... need võimaldavad meil saada analüüsitava nähtuse üldise iseloomustuse. Kõige tavalisem keskmine on loomulikult . See tekib siis, kui elementide summat kasutades moodustatakse agregeeriv näitaja. Näiteks mitme õuna mass, iga müügipäeva kogutulu jne. Kuid see ei juhtu alati. Mõnikord moodustub koondnäitaja mitte summeerimise, vaid muude matemaatiliste toimingute tulemusena.

Mõelge järgmisele näitele. Kuu inflatsioon on ühe kuu hinnataseme muutus võrreldes eelmise kuuga. Kui iga kuu inflatsioonimäärad on teada, siis kuidas saada aastane väärtus? Statistilisest seisukohast on tegemist ahelindeksiga, seega on õige vastus: igakuiste inflatsioonimäärade korrutamisega. See tähendab, et üldine inflatsioonimäär ei ole summa, vaid toode. Kuidas nüüd teada saada kuu keskmine inflatsioon, kui on aastane väärtus? Ei, ärge jagage 12-ga, vaid võtke 12. juur (aste sõltub tegurite arvust). Üldiselt arvutatakse geomeetriline keskmine järgmise valemi abil:

See tähendab, et see on algandmete korrutise juur, kus astme määrab tegurite arv. Näiteks kahe arvu geomeetriline keskmine on nende korrutise ruutjuur

kolmest numbrist - toote kuupjuur

jne.

Kui iga algne arv asendada nende geomeetrilise keskmisega, annab korrutis sama tulemuse.

Et paremini mõista, mis on geomeetriline keskmine ja kuidas see erineb aritmeetilisest keskmisest, vaadake järgmist joonist. Ringi on kirjutatud täisnurkne kolmnurk.

Alates täisnurk mediaan välja jäetud a(hüpotenuusi keskpaigani). Ka õige nurga alt on kõrgust langetatud b, mis on punktis P jagab hüpotenuusi kaheks osaks m Ja n. Sest Hüpotenuus on piiritletud ringi läbimõõt ja mediaan on raadius, siis on ilmne, et mediaani pikkus a on aritmeetiline keskmine m Ja n.

Arvutame välja, mis on kõrgus b. Kolmnurkade sarnasuse tõttu ABP Ja BCP võrdsus on tõsi

See tähendab, et täisnurkse kolmnurga kõrgus on nende segmentide geomeetriline keskmine, milleks see hüpotenuusi jagab. Selline selge vahe.

M.S. Exceli keskmine geomeetrilise saab leida funktsiooni SRGEOM abil.

Kõik on väga lihtne: helistage funktsioonile, määrake vahemik ja oletegi valmis.

Praktikas ei kasutata seda näitajat nii sageli kui aritmeetilist keskmist, kuid see siiski esineb. Näiteks on see olemas inimarengu indeks, mida kasutatakse elatustaseme võrdlemiseks erinevad riigid. See arvutatakse mitme indeksi geomeetrilise keskmisena.

On ka teisi keskmisi. Nendest teine ​​kord.