Simulaator 10 pindala arvutamine. Sirgetega y=f(x), x=g(y) piiratud joonise pindala leidmine

Nüüd käsitleme integraalarvutuse rakendusi. Selles õppetükis analüüsime tüüpilist ja levinumat ülesannet. lameda kujundi pindala arvutamine kindla integraali abil. Lõpuks kõik need, kes otsivad tähendust kõrgemas matemaatikas – leidku see. Ei või iial teada. Peame elus lähemale jõudma maamajade piirkond elementaarfunktsioonid ja leida selle pindala kindla integraali abil.

Materjali edukaks valdamiseks peate:

1) Mõista määramatut integraali vähemalt kesktasemel. Seega peaksid mannekeenid esmalt õppetunni läbi lugema Mitte.

2) oskama rakendada Newtoni-Leibnizi valemit ja arvutada kindel integraal. Lehel teatud integraalidega saate luua soojad sõbralikud suhted Kindel integraal. Lahendusnäited. Ülesanne "arvuta pindala kindla integraali abil" hõlmab alati joonise koostamist, sellepärast aktuaalne teema on ka teie teadmised ja joonistamisoskused. Vähemalt peab suutma ehitada sirge, parabooli ja hüperbooli.

Alustame sellest kõverjooneline trapets. Kõverjooneline trapets on lame kujund, mis on piiratud mõne funktsiooni graafikuga y = f(x), telg HÄRG ja jooned x = a; x = b.

Kõverajoonelise trapetsi pindala on arvuliselt võrdne teatud integraaliga

Igal kindlal integraalil (mis eksisteerib) on väga hea geomeetriline tähendus. Õppetunnis Kindel integraal. Lahendusnäitedütlesime, et kindel integraal on arv. Ja nüüd on aeg välja tuua veel üks kasulik fakt. Geomeetria seisukohalt on kindel integraal PIIRKOND. See on, kindel integraal (kui see on olemas) vastab geomeetriliselt mõne kujundi pindalale. Vaatleme kindlat integraali

Integrand

määrab tasapinnal kõvera (soovi korral saab seda joonistada) ja kindel integraal ise on arvuliselt võrdne pindalaga vastav kõverjooneline trapets.

Näide 1

, , , .

See on tüüpiline ülesande avaldus. Otsuse kõige olulisem punkt on joonise konstrueerimine. Pealegi tuleb joonis ehitada ÕIGE.

Plaani koostamisel soovitan järgmist järjekorda: esiteks parem on konstrueerida kõik read (kui neid on) ja ainult pärast- paraboolid, hüperboolid, muude funktsioonide graafikud. Punkt-punkti ehitustehnika on leitav võrdlusmaterjalist Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Sealt leiate ka materjali, mis on meie tunniga seoses väga kasulik - kuidas kiiresti parabooli ehitada.

Selle probleemi puhul võib lahendus välja näha selline.

Teeme joonise (pange tähele, et võrrand y= 0 määrab telje HÄRG):

Me ei viiruta kõverjoonelist trapetsi, siin on ilmne, milline ala kõnealune. Lahendus jätkub järgmiselt:

Intervallil [-2; 1] funktsioonigraafik y = x 2 + 2 asuvad üle teljeHÄRG, sellepärast:

Vastus: .

Kellel on raskusi kindla integraali arvutamisega ja Newtoni-Leibnizi valemi rakendamisega

,

viidata loengule Kindel integraal. Lahendusnäited. Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus on tõeline. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, umbes 9 trükitakse, see näib olevat tõsi. On täiesti selge, et kui meil oleks, ütleme, vastus: 20 ruutühikut, siis ilmselgelt tehti kuskil viga - 20 lahtrit ei mahu ilmselgelt kõnealusele joonisele, kõige rohkem kümmekond. Kui vastus osutus eitavaks, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Näide 2

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala xy = 4, x = 2, x= 4 ja telg HÄRG.

See on tee-seda-ise näide. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Mida teha, kui kõverjooneline trapets asub telje allHÄRG?

Näide 3

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y = e-x, x= 1 ja koordinaatteljed.

Lahendus: teeme joonise:

Kui kõverjooneline trapets täiesti silla all HÄRG , siis selle pindala saab leida valemiga:

Sel juhul:

.

Tähelepanu! Kahte tüüpi ülesandeid ei tohiks segi ajada:

1) Kui teil palutakse lahendada ainult kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub just vaadeldavas valemis miinus.

Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil ja seetõttu liigume lihtsamate kooliülesannete juurest edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 4

Leidke joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala y = 2x – x 2 , y = -x.

Lahendus: Kõigepealt peate tegema joonise. Piirkonnaülesannetes joonise konstrueerimisel huvitavad meid enim sirgete lõikepunktid. Leidke parabooli lõikepunktid y = 2x – x 2 ja sirge y = -x. Seda saab teha kahel viisil. Esimene viis on analüütiline. Lahendame võrrandi:

Seega integratsiooni alumine piir a= 0, integreerimise ülempiir b= 3. Tihti on tulusam ja kiirem joonte konstrueerimine punkt-punkti haaval, samas kui lõimimise piirid selgitatakse välja justkui “iseenesest”. Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või keermestatud konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed). Pöördume tagasi oma ülesande juurde: ratsionaalsem on kõigepealt konstrueerida sirge ja alles seejärel parabool. Teeme joonise:

Kordame, et punktkonstruktsioonis selgitatakse integratsiooni piirid kõige sagedamini välja “automaatselt”.

Ja nüüd töövalem:

Kui segmendil [ a; b] mingi pidev funktsioon f(x) suurem või võrdne mingi pidev funktsioon g(x), siis saab vastava joonise pindala leida valemiga:

Siin pole enam vaja mõelda, kus kujund asub - telje kohal või telje all, vaid on oluline, milline diagramm on ÜLAL(teise graafiku suhtes), ja milline neist on ALL.

Vaadeldavas näites on ilmne, et lõigul asub parabool sirge kohal ja seetõttu alates 2. x – x 2 tuleb lahutada - x.

Lahenduse valmimine võib välja näha järgmine:

Soovitud figuuri piirab parabool y = 2x – x 2 ülemine ja sirge y = -x altpoolt.

Segmendis 2 x – x 2 ≥ -x. Vastavalt vastavale valemile:

Vastus: .

Tegelikult on alumise pooltasandi kõverjoonelise trapetsi pindala koolivalem (vt näide nr 3) erijuhtum valemid

.

Kuna telg HÄRG on antud võrrandiga y= 0 ja funktsiooni graafik g(x) asub telje all HÄRG, siis

.

Ja nüüd paar näidet iseseisva lahenduse jaoks

Näide 5

Näide 6

Leidke joontega piiratud kujundi pindala

Pindala arvutamise ülesannete lahendamise käigus teatud integraali abil juhtub mõnikord naljakas juhtum. Joonis tehti õigesti, arvutused olid õiged, kuid tähelepanematuse tõttu ... leidis vale kujundi ala.

Näide 7

Kõigepealt joonistame:

Joonis, mille ala peame leidma, on varjutatud sinisega.(vaadake hoolikalt seisukorda - kuidas figuur on piiratud!). Kuid praktikas otsustavad nad tähelepanematuse tõttu sageli, et peavad leidma varjutatud figuuri ala. rohelises!

See näide on kasulik ka selle poolest, et selles arvutatakse joonise pindala kahe kindla integraali abil. Tõesti:

1) Lõigul [-1; 1] telje kohal HÄRG graafik on sirge y = x+1;

2) Segmendil telje kohal HÄRG hüperbooli graafik asub y = (2/x).

On üsna ilmne, et piirkondi saab (ja tuleks) lisada, seega:

Vastus:

Näide 8

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala

Esitame võrrandid "kooli" kujul

ja joonistage joon:

Jooniselt on näha, et meie ülempiir on “hea”: b = 1.

Aga mis on alumine piir? On selge, et see pole täisarv, aga mis?

Võib olla, a=(-1/3)? Aga kus on garantii, et joonis on tehtud täiusliku täpsusega, see võib ka selguda a=(-1/4). Mis siis, kui me ei saanud graafikust üldse õiget?

Sellistel juhtudel tuleb kulutada lisaaega ja integreerimise piire analüütiliselt täpsustada.

Leia graafikute lõikepunktid

Selleks lahendame võrrandi:

.

Järelikult a=(-1/3).

Edasine lahendus on triviaalne. Peaasi, et vahetustes ja märkides segadusse ei läheks. Siin pole arvutused just kõige lihtsamad. Segmendil

, ,

vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Tunni kokkuvõttes käsitleme kaht ülesannet raskemaks.

Näide 9

Arvutage joontega piiratud kujundi pindala

Lahendus: joonistage see joonis joonisele.

Punkt-punkti joonistamiseks peate teadma välimus sinusoidid. Üldiselt on kasulik teada kõigi elementaarfunktsioonide graafikuid, aga ka mõningaid siinuse väärtusi. Need leiate väärtuste tabelist trigonomeetrilised funktsioonid . Mõnel juhul (näiteks antud juhul) on lubatud konstrueerida skemaatiline joonis, millel tuleb põhimõtteliselt õigesti kuvada graafikud ja integreerimispiirid.

Integratsioonipiirangutega siin probleeme pole, need tulenevad otse tingimusest:

- "x" muutub nullist "pi". Teeme järgmise otsuse:

Segmendil funktsiooni graafik y= patt 3 x asub telje kohal HÄRG, sellepärast:

(1) Näete, kuidas siinused ja koosinused on tunnis paarituteks astmeteks integreeritud Trigonomeetriliste funktsioonide integraalid. Näpistame ühe siinuse ära.

(2) Kasutame vormis trigonomeetrilist põhiidentiteeti

(3) Muudame muutujat t= cos x, siis: asub telje kohal, seega:

.

.

Märge: pane tähele, kuidas võetakse kuubis oleva puutuja integraal, siin peamise tagajärg trigonomeetriline identiteet

.

Hakkame kaaluma topeltintegraali arvutamise tegelikku protsessi ja tutvume selle geomeetrilise tähendusega.

Topeltintegraal on arvuliselt võrdne lameda kujundi pindalaga (integratsioonipiirkond). seda lihtsaim vorm topeltintegraal, kui kahe muutuja funktsioon on võrdne ühega: .

Mõelgem kõigepealt probleemile üldine vaade. Nüüd olete üllatunud, kui lihtne see tegelikult on! Arvutame tasase kujundi pindala, mis on piiratud joontega. Kindluse huvides eeldame, et intervallil . Selle joonise pindala on arvuliselt võrdne:

Kujutame ala joonisel:

Valime esimese võimaluse piirkonnast mööda hiilimiseks:

Sellel viisil:

Ja kohe oluline tehniline nipp: itereeritud integraale võib käsitleda eraldi. Kõigepealt sisemine integraal, seejärel välimine integraal. See meetod Teekannud teema algajatele väga soovitatav.

1) Arvutage sisemine integraal, samal ajal kui integreerimine toimub muutuja "y" kaudu:

Määramatu integraal on siin kõige lihtsam ja siis kasutatakse banaalset Newtoni-Leibnizi valemit, ainsa erinevusega, et integreerimise piirid ei ole numbrid, vaid funktsioonid. Esiteks asendasime ülemise piiri "y"-ga (antiderivatiivne funktsioon), seejärel alumine piir

2) Esimeses lõigus saadud tulemus tuleb asendada välisintegraaliga:

Kogu lahenduse kompaktsem märge näeb välja järgmine:

Saadud valem - see on täpselt töövalem lameda kujundi pindala arvutamiseks "tavalise" kindla integraali abil! Vaata õppetundi Pindala arvutamine kindla integraali abil, seal ta on igal sammul!

See on, pindala arvutamise probleem topeltintegraali abil vähe erinev ala leidmise probleemist kindla integraali abil! Tegelikult on nad üks ja seesama!

Seetõttu ei tohiks raskusi tekkida! Ma ei käsitle väga palju näiteid, kuna tegelikult olete selle probleemiga korduvalt kokku puutunud.

Näide 9

Lahendus: Kujutame ala joonisel:

Valime järgmise piirkonna läbimise järjekorra:

Siin ja allpool ei käsitle ma ala läbimist, sest esimene lõik oli väga üksikasjalik.

Sellel viisil:

Nagu ma juba märkisin, on algajatele parem itereeritud integraalid eraldi arvutada, järgin sama meetodit:

1) Esiteks, kasutades Newtoni-Leibnizi valemit, käsitleme sisemist integraali:

2) Esimeses etapis saadud tulemus asendatakse välimise integraaliga:

Punkt 2 on tegelikult lameda kujundi pindala leidmine kindla integraali abil.

Vastus:

Siin on nii rumal ja naiivne ülesanne.

Huvitav näide iseseisva lahenduse kohta:

Näide 10

Arvutage topeltintegraali abil tasapinnalise kujundi pindala, mis on piiratud joontega , ,

Lõpplahenduse näide tunni lõpus.

Näidetes 9-10 on piirkonnast möödasõiduks palju tulusam kasutada esimest võimalust, uudishimulikud lugejad, muide, saavad ümbersõidu järjekorda muuta ja pindalasid arvutada teistmoodi. Kui te ei eksi, siis loomulikult saadakse samad pindala väärtused.

Kuid mõnel juhul on teine ​​võimalus piirkonnast mööda hiilida tõhusam ja noore nohiku kursuse lõpetuseks vaatame veel paar näidet sel teemal:

Näide 11

Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala.

Lahendus: ootame kahte tuulevaikselt parabooli, mis nende küljel lebavad. Pole vaja naeratada, sageli kohtab sarnaseid asju mitmes integraalis.

Kuidas on kõige lihtsam joonistada?

Esitame parabooli kahe funktsioonina:
- ülemine haru ja - alumine haru.

Samamoodi kujutage ette parabooli ülemise ja alumise osana oksad.

Järgmiseks graafikute punkt-punktis joonistamine, mille tulemuseks on selline veider joonis:

Joonise pindala arvutatakse topeltintegraali abil järgmise valemi järgi:

Mis juhtub, kui valime esimese võimaluse piirkonnast mööda minna? Esiteks tuleb see ala jagada kaheks osaks. Ja teiseks jälgime seda kurba pilti: . Integraalid pole muidugi ülikeerulise tasemega, aga ... kehtib vana matemaatiline ütlus: kes on juurtega sõbralik, see ei vaja tasaarveldust.

Seetõttu väljendame tingimuses antud arusaamatusest pöördfunktsioonid:

Selle näite pöördfunktsioonide eeliseks on see, et nad määravad kohe kogu parabooli ilma lehtede, tammetõrude, okste ja juurteta.

Teise meetodi kohaselt on ala läbimine järgmine:

Sellel viisil:

Nagu öeldakse, tunneta erinevust.

1) Tegeleme sisemise integraaliga:

Asendame tulemuse välimise integraaliga:

Integreerimine muutuja "y" kohal ei tohiks olla piinlik, kui seal oleks täht "zyu" - selle üle oleks suurepärane integreerida. Kuigi kes loeb tunni teist lõiku Kuidas arvutada pöördekeha ruumala, ta ei koge enam vähimatki piinlikkust integreerimisega "y" pärast.

Pöörake tähelepanu ka esimesele sammule: integrand on paaris ja integratsioonisegment on nulli suhtes sümmeetriline. Seetõttu saab segmenti poole võrra vähendada ja tulemust kahekordistada. Seda tehnikat kirjeldatakse tunnis üksikasjalikult. Tõhusad meetodid kindla integraali arvutamine.

Mida lisada…. Kõik!

Vastus:

Integreerimistehnika testimiseks võite proovida arvutada . Vastus peaks olema täpselt sama.

Näide 12

Arvutage topeltintegraali abil joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala

See on tee-seda-ise näide. Huvitav on märkida, et kui proovite kasutada esimest võimalust piirkonnast mööda minna, siis ei jagune kuju enam kaheks, vaid kolmeks osaks! Ja vastavalt saame kolm paari itereeritud integraale. Mõnikord juhtub.

Meistriklass on lõppenud ja on aeg liikuda edasi suurmeistri tasemele - Kuidas arvutada topeltintegraali? Lahendusnäited. Püüan teises artiklis mitte nii maniakaalne olla =)

Soovin teile edu!

Lahendused ja vastused:

Näide 2:Lahendus: Joonistage ala joonisel:

Valime järgmise piirkonna läbimise järjekorra:

Sellel viisil:
Liigume edasi pöördfunktsioonide juurde:


Sellel viisil:
Vastus:

Näide 4:Lahendus: Liigume edasi otseste funktsioonide juurde:


Teostame joonise:

Muudame ala läbimise järjekorda:

Vastus:

a)

Lahendus.

Otsuse esimene ja kõige olulisem hetk on joonise konstrueerimine.

Teeme joonise:

Võrrand y=0 määrab x-telje;

- x=-2 ja x=1 - sirge, paralleelne teljega OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabool, mille harud on suunatud ülespoole, tipuga (0;2).

Kommenteeri. Parabooli konstrueerimiseks piisab, kui leida selle lõikepunktid koordinaatide telgedega, s.t. panemine x=0 leidke ristmik teljega OU ja sobiva otsustamine ruutvõrrand, leidke ristmik teljega Oh .

Parabooli tipu saab leida valemite abil:

Saate joonistada jooni ja punkt-punkti haaval.

Intervallil [-2;1] funktsiooni graafik y = x 2 +2 asub üle telje Ox , sellepärast:

Vastus: S \u003d 9 ruutühikut

Pärast ülesande täitmist on alati kasulik vaadata joonist ja aru saada, kas vastus on tõeline. Sel juhul loendame "silma järgi" joonisel olevate lahtrite arvu - noh, umbes 9 kirjutatakse, see tundub olevat tõsi. On täiesti selge, et kui meil oleks näiteks vastus: 20 ruutühikut, siis ilmselgelt tehti kuskil viga - 20 lahtrit ei mahu ilmselgelt kõnealusele joonisele, kõige rohkem tosin. Kui vastus osutus eitavaks, siis oli ka ülesanne valesti lahendatud.

Mida teha, kui kõverjooneline trapets asub telje all Oh?

b) Arvutage joontega piiratud kujundi pindala y=-e x , x=1 ja koordinaatteljed.

Lahendus.

Teeme joonise.

Kui kõverjooneline trapets täiesti silla all Oh , siis selle pindala saab leida valemiga:

Vastus: S=(e-1) ruutühik" 1,72 ruutühik

Tähelepanu! Ärge ajage kahte tüüpi ülesandeid segamini:

1) Kui teil palutakse lahendada ainult kindel integraal ilma geomeetrilise tähenduseta, võib see olla negatiivne.

2) Kui teil palutakse leida figuuri pindala kindla integraali abil, siis on pindala alati positiivne! Seetõttu ilmub just vaadeldavas valemis miinus.

Praktikas paikneb joonis enamasti nii ülemisel kui alumisel pooltasandil.

koos) Leidke joontega piiratud tasapinnalise kujundi pindala y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Lahendus.

Kõigepealt peate tegema joonise. Üldiselt huvitab meid pindalaülesannetes joonise konstrueerimisel enim sirgete lõikepunktid. Leidke parabooli lõikepunktid ja otsene Seda saab teha kahel viisil. Esimene viis on analüütiline.

Lahendame võrrandi:

Seega integratsiooni alumine piir a=0 , integreerimise ülempiir b = 3 .

Joone on võimalik konstrueerida punkt-punkti haaval, samas kui lõimimise piirid selgitatakse välja justkui "iseenesest". Sellegipoolest tuleb piiride leidmise analüütilist meetodit mõnikord siiski kasutada, kui näiteks graafik on piisavalt suur või keermestatud konstruktsioon ei toonud esile integreerimise piire (need võivad olla murdosalised või irratsionaalsed).

Soovitud figuuri piirab ülevalt parabool ja altpoolt sirgjoon.

Segmendil , vastavalt vastavale valemile:

Vastus: S \u003d 4,5 ruutmeetrit

Ülesanne number 3. Tehke joonis ja arvutage joontega piiratud joonise pindala

Integraali rakendamine rakendusülesannete lahendamisel

Pindala arvutamine

Pideva mittenegatiivse funktsiooni f(x) kindel integraal on arvuliselt võrdne kõverjoonelise trapetsi pindala, mida piiravad kõver y \u003d f (x), O x telg ja sirged x \u003d a ja x \u003d b. Vastavalt sellele kirjutatakse pindala valem järgmiselt:

Vaatleme mõnda näidet tasapinnaliste kujundite pindalade arvutamise kohta.

Ülesanne number 1. Arvutage pindala, mis on piiratud joontega y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Lahendus. Koostame joonise, mille pindala peame arvutama.

y \u003d x 2 + 1 on parabool, mille oksad on suunatud ülespoole ja parabool on nihutatud O y-telje suhtes ühe ühiku võrra ülespoole (joonis 1).

Joonis 1. Funktsiooni y = x 2 + 1 graafik

Ülesanne number 2. Arvutage ala, mis on piiratud joontega y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 vahemikus 0 kuni 1.

Lahendus. Selle funktsiooni graafik on haru parabool, mis on suunatud ülespoole ja parabool nihutatakse O y telje suhtes ühe ühiku võrra allapoole (joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni y \u003d x 2 - 1 graafik

Ülesanne number 3. Tehke joonis ja arvutage joontega piiratud joonise pindala

y = 8 + 2x - x 2 ja y = 2x - 4.

Lahendus. Esimene neist kahest sirgest on parabool, mille harud on suunatud allapoole, kuna koefitsient punktis x 2 on negatiivne, ja teine ​​sirge on mõlemat koordinaattelge ristuv sirge.

Parabooli konstrueerimiseks leiame selle tipu koordinaadid: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – tipp-abstsiss; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on selle ordinaat, N(1;9) on selle tipp.

Nüüd leiame võrrandisüsteemi lahendades parabooli ja sirge lõikepunktid:

Võrrandi paremate külgede võrdsustamine, mille vasak küljed on võrdsed.

Me saame 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 või x 2 - 12 \u003d 0, kust .

Seega on punktid parabooli ja sirge lõikepunktid (joonis 1).

Joonis 3 Funktsioonide y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4 graafikud

Ehitame sirge y = 2x - 4. See läbib koordinaattelgedel olevaid punkte (0;-4), (2; 0).

Parabooli koostamiseks võib olla ka selle lõikepunktid 0x teljega, st võrrandi 8 + 2x - x 2 = 0 või x 2 - 2x - 8 = 0 juured. Vieta teoreemi järgi on see selle juuri on lihtne leida: x 1 = 2, x 2 = neli.

Joonisel 3 on kujutatud joonis (paraboolne segment M 1 N M 2), mis on piiratud nende joontega.

Probleemi teine ​​osa on selle joonise ala leidmine. Selle pindala saab leida kindla integraali abil valemi abil .

Rakendatud see tingimus, saame integraali:

2 Pöördekeha ruumala arvutamine

Kõvera y \u003d f (x) pöörlemisel ümber O x telje saadud keha maht arvutatakse järgmise valemi abil:

Ümber O y telje pööramisel näeb valem välja järgmine:

Ülesanne number 4. Määrake keha maht, mis saadakse kõverjoonelise trapetsi pöörlemisel, mis on piiratud sirgjoontega x \u003d 0 x \u003d 3 ja kõveraga y \u003d ümber O x telje.

Lahendus. Ehitame joonise (joonis 4).

Joonis 4. Funktsiooni y = graafik

Soovitud helitugevus on võrdne

Ülesanne number 5. Arvutage keha ruumala, mis saadakse kõverjoonelise trapetsi pöörlemisel, mis on piiratud kõveraga y = x 2 ja sirgetega y = 0 ja y = 4 ümber telje O y .

Lahendus. Meil on:

Ülevaate küsimused

Eelmises osas, mis oli pühendatud kindla integraali geomeetrilise tähenduse analüüsile, saime hulga valemeid kõverjoonelise trapetsi pindala arvutamiseks:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pideva ja mittenegatiivse funktsiooni y = f (x) korral lõigul [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pideva ja mittepositiivse funktsiooni y = f (x) korral lõigul [ a ; b] .

Neid valemeid saab kasutada suhte lahendamiseks lihtsaid ülesandeid. Tegelikult peame sageli töötama keerukamate kujunditega. Sellega seoses pühendame selle jaotise jooniste pindala arvutamise algoritmide analüüsile, mis on piiratud funktsioonidega selgesõnaliselt, st. nagu y = f(x) või x = g(y) .

Olgu funktsioonid y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) defineeritud ja pidevad lõigul [ a ; b ] ja f 1 (x) ≤ f 2 (x) mis tahes väärtuse x korral alates [ a ; b] . Siis näeb joontega x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) ja y \u003d f 2 (x) piiratud joonise G pindala arvutamise valem välja nagu S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Sarnast valemit saab kasutada joonise ala puhul, mis on piiratud joontega y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) ja x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Tõestus

Analüüsime kolme juhtumit, mille puhul valem kehtib.

Esimesel juhul, võttes arvesse pindala liiteomadust, on algse joonise G ja kõverjoonelise trapetsi G 1 pindalade summa võrdne joonise G 2 pindalaga. See tähendab et

Seetõttu S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Viimase ülemineku saame teostada kindla integraali kolmanda omaduse abil.

Teisel juhul on võrdsus tõene: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Graafiline illustratsioon näeb välja selline:

Kui mõlemad funktsioonid on mittepositiivsed, saame: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Graafiline illustratsioon näeb välja selline:

Liigume edasi üldjuhtumi käsitlemisele, kui y = f 1 (x) ja y = f 2 (x) lõikuvad teljega O x .

Lõikepunkte tähistame kui x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Need punktid katkestavad lõigu [ a ; b ] n osaks x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , kus α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Järelikult

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Viimase ülemineku saame teha kindla integraali viienda omaduse abil.

Illustreerime üldist juhtumit graafikul.

Valemit S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x võib lugeda tõestatuks.

Ja nüüd liigume edasi joontega y \u003d f (x) ja x \u003d g (y) piiratud kujundite pindala arvutamise näidete analüüsi juurde.

Võttes arvesse mõnda näidet, alustame graafiku koostamisega. Kujutis võimaldab meil kujutada keerulisi kujundeid rohkemate ühendustena lihtsad kujundid. Kui nendele graafikute ja kujundite joonistamine on teile keeruline, saate funktsiooni uurimise käigus uurida peamisi elementaarfunktsioone, funktsioonide graafikute geomeetrilist teisendust ja joonistamist.

Näide 1

On vaja määrata joonise pindala, mis on piiratud parabooliga y \u003d - x 2 + 6 x - 5 ja sirgjoontega y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Lahendus

Joonistame jooned graafikule Descartes'i koordinaatsüsteemis.

Intervallil [ 1 ; 4] parabooli y = - x 2 + 6 x - 5 graafik asub sirge y = - 1 3 x - 1 2 kohal. Sellega seoses kasutame vastuse saamiseks varem saadud valemit, samuti kindla integraali arvutamise meetodit Newtoni-Leibnizi valemi abil:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Vastus: S (G) = 13

Vaatame keerukamat näidet.

Näide 2

On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud joontega y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Lahendus

Sel juhul on meil ainult üks sirge, mis on paralleelne x-teljega. See on x = 7. See eeldab, et peame ise leidma teise integratsioonipiiri.

Koostame graafiku ja paneme sellele ülesande tingimuses antud jooned.

Kui graafik on meie silme ees, saame hõlpsalt kindlaks teha, et integreerimise alumine piir on graafiku lõikepunkti abstsiss sirgjoonega y \u003d x ja poolparabooliga y \u003d x + 2. Abstsissi leidmiseks kasutame võrdusi:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Selgub, et lõikepunkti abstsiss on x = 2.

Juhime teie tähelepanu asjaolule, et in üldine näide joonisel ristuvad sirged y = x + 2, y = x punktis (2 ; 2) , mistõttu võivad sellised üksikasjalikud arvutused tunduda üleliigsed. Oleme siin andnud nii üksikasjaliku lahenduse ainult seetõttu, et rohkem rasked juhtumid lahendus ei pruugi olla nii ilmne. See tähendab, et sirgete lõikepunktide koordinaadid on parem alati analüütiliselt arvutada.

Intervallil [ 2 ; 7 ] funktsiooni y = x graafik asub funktsiooni y = x + 2 graafiku kohal. Pindala arvutamiseks kasutage valemit:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Vastus: S (G) = 59 6

Näide 3

On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud funktsioonide y \u003d 1 x ja y \u003d - x 2 + 4 x - 2 graafikutega.

Lahendus

Joonistame graafikule jooned.

Määratleme integratsiooni piirid. Selleks määrame sirgete lõikepunktide koordinaadid, võrdsustades avaldised 1 x ja - x 2 + 4 x - 2 . Eeldusel, et x ei ole võrdne nulliga, muutub võrdsus 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 võrdseks täisarvu koefitsientidega kolmanda astme võrrandiga - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 . Selliste võrrandite lahendamise algoritmi mälu saate värskendada, viidates jaotisele "Kuupvõrrandite lahendamine".

Selle võrrandi juur on x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Jagades avaldise - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binoomarvuga x - 1, saame: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Ülejäänud juured leiame võrrandist x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Leidsime intervalli x ∈ 1; 3 + 13 2 , kus G on suletud sinise joone kohal ja punase joone all. See aitab meil määrata joonise pindala:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Vastus: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Näide 4

On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud kõverate y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 ja x-teljega.

Lahendus

Paneme kõik jooned graafikule. Funktsiooni y = - log 2 x + 1 graafiku saame graafikult y = log 2 x, kui asetame selle sümmeetriliselt ümber x-telje ja nihutame seda ühe ühiku võrra ülespoole. X-telje võrrand y \u003d 0.

Tähistame sirgete lõikepunktid.

Nagu jooniselt näha, ristuvad funktsioonide y \u003d x 3 ja y \u003d 0 graafikud punktis (0; 0) . Selle põhjuseks on asjaolu, et x \u003d 0 on võrrandi x 3 \u003d 0 ainus tegelik juur.

x = 2 on võrrandi - log 2 x + 1 = 0 ainus juur, seega funktsioonide y = - log 2 x + 1 ja y = 0 graafikud ristuvad punktis (2 ; 0) .

x = 1 on võrrandi x 3 = - log 2 x + 1 ainus juur. Sellega seoses ristuvad funktsioonide y \u003d x 3 ja y \u003d - log 2 x + 1 graafikud punktis (1; 1) . Viimane väide ei pruugi olla ilmne, kuid võrrandil x 3 \u003d - log 2 x + 1 ei saa olla rohkem kui üks juur, kuna funktsioon y \u003d x 3 kasvab rangelt ja funktsioon y \u003d - log 2 x + 1 väheneb rangelt.

Järgmine samm hõlmab mitut võimalust.

Valik number 1

Joonist G saame kujutada kahe abstsisstelje kohal paikneva kõverjoonelise trapetsi summana, millest esimene asub allpool keskmine joon lõigul x ∈ 0 ; 1 ja teine ​​on punase joone all lõigul x ∈ 1 ; 2. See tähendab, et pindala on võrdne S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Valik number 2

Joonist G saab kujutada kahe kujundi erinevusena, millest esimene asub x-telje kohal ja sinise joone all lõigul x ∈ 0; 2 ja teine ​​on punase ja sinise joone vahel lõigul x ∈ 1 ; 2. See võimaldab meil piirkonna üles leida järgmisel viisil:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Sel juhul peate piirkonna leidmiseks kasutama valemit kujul S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Tegelikult saab kujundit piiravaid jooni esitada y argumendi funktsioonidena.

Lahendame võrrandid y = x 3 ja - log 2 x + 1 x suhtes:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Saame vajaliku ala:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Vastus: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Näide 5

On vaja arvutada joonise pindala, mis on piiratud joontega y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Lahendus

Joonistage diagrammile joon punase joonega, mis on antud funktsiooniga y = x . Joonistage joon y = - 1 2 x + 4 sinisega ja joon y = 2 3 x - 3 mustaga.

Pange tähele ristumispunkte.

Leidke funktsioonide y = x ja y = - 1 2 x + 4 graafikute lõikepunktid:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i on võrrandi x 2 = 4 = 2 lahend, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 on võrrandi lahend ⇒ (4 ; 2) lõikepunkt i y = x ja y = - 1 2 x + 4

Leidke funktsioonide y = x ja y = 2 3 x - 3 graafikute lõikepunkt:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2-4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrollige: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 on võrrandi ⇒ (9; 3) lahendus punkt ja lõikepunkt y = x ja y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ei ole võrrandi lahendus

Leidke sirgete y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3 lõikepunkt:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) lõikepunkt y = - 1 2 x + 4 ja y = 2 3 x - 3

Meetod number 1

Esitame soovitud kujundi pindala üksikute kujundite pindalade summana.

Siis on joonise pindala:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Meetod number 2

Algse joonise pindala võib esitada kahe ülejäänud joonise summana.

Seejärel lahendame joone võrrandi x jaoks ja alles pärast seda rakendame joonise pindala arvutamise valemit.

y = x ⇒ x = y 2 punane joon y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 must joon y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Seega on ala:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 a + 9 2 - - 2 a + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 a + 9 2 - y 2 p y = = ∫ 1 2 7 2 a - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 a + 9 2 - y 2 p y = = 7 4 a 2 - 7 4 a 1 2 + - y 3 3 + 3 a 2 4 + 9 2 a 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Nagu näete, kattuvad väärtused.

Vastus: S (G) = 11 3

Tulemused

Et leida joonise pindala, mis on piiratud etteantud joontega, peame joonistama tasapinnale jooned, leidma nende lõikepunktid ja rakendama ala leidmise valemit. AT see jaotis Vaatasime üle kõige levinumad ülesannete valikud.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter