Kindel integraal võrgus.

Määratud integraal kui integraalsumma piir

saab eksisteerida (st omada teatud lõppväärtust) ainult siis, kui tingimused on täidetud

Kui vähemalt ühte neist tingimustest rikutakse, kaotab definitsioon oma tähenduse. Tõepoolest, näiteks lõpmatu segmendi puhul [ a; ) seda ei saa jagada P piiratud pikkusega osad
, mis pealegi kipuks segmentide arvu suurenedes nulli minema. Piiramatu puhul mingil hetkel Koos[a; b] rikutakse punkti meelevaldse valiku nõuet osalistel lõikudel – ei saa valida =Koos, kuna funktsiooni väärtus selles punktis on määratlemata. Kindla integraali mõistet saab aga ka nendel juhtudel üldistada, lisades piirile veel ühe lõigu. Nimetatakse integraale lõpmatu intervalliga ja katkendlikest (piiramata) funktsioonidest mitteoma.

Definitsioon.

Laske funktsioonil
määratletud intervallil [ a; ) ja on integreeritav mis tahes piiratud intervalliga [ a; b], st. on olemas
kellelegi b > a. vaatamise limiit
helistas vale integraal esimene liik (või ebaõige integraaliga lõpmatu intervalliga) ja tähistavad
.

Seega definitsiooni järgi
=
.

Kui paremal piir on olemas ja on lõplik, siis vale integraal
helistas koonduvad . Kui see piir on lõpmatu või seda pole üldse olemas, siis öeldakse, et vale integraal on lahkneb .

Samamoodi saame kasutusele võtta funktsiooni ebaõige integraali mõiste
intervalli järgi (–; b]:

=
.

Ja funktsiooni vale integraal
üle intervalli (–; +) määratletakse ülaltoodud integraalide summana:

=
+
,

kus a on suvaline punkt. See integraal koondub, kui mõlemad terminid koonduvad, ja lahkneb, kui vähemalt üks terminitest lahkneb.

Geomeetrilisest vaatepunktist integraal
,
, määrab ülalt funktsiooni graafikuga piiratud lõpmatu kõverjoonelise trapetsi pindala arvväärtuse
, vasak - sirge
, altpoolt - OX telg. Integraali konvergents tähendab sellise trapetsi lõpliku pindala olemasolu ja selle võrdsust liikuva parempoolse seinaga kõverjoonelise trapetsi pindala piiriga.
.

Lõpmatu piiriga integraali puhul võib ka üldistada Newtoni-Leibnizi valem:

=
=F( + ) – F( a),

kus F( + ) =
. Kui see piir on olemas, siis integraal läheneb, vastasel juhul see lahkneb.

Oleme käsitlenud kindla integraali kontseptsiooni üldistust lõpmatu intervalli korral.

Vaatleme nüüd üldistust piiramata funktsiooni puhul.

Definitsioon

Laske funktsioonil
määratletud intervallil [ a; b), on punkti mõnes piirkonnas piiramata b, ja on pidev mis tahes segmendis
, kus>0 (ja seetõttu on sellel lõigul integreeritav, st.
on olemas). vaatamise limiit
helistas teist tüüpi sobimatu integraal (või piiramata funktsiooni sobimatu integraaliga) ja seda tähistatakse
.

Seega piiritamata väär integraal punktis b funktsioonid on definitsiooni järgi

=
.

Kui paremal olev piir on olemas ja on lõplik, siis kutsutakse integraali koonduvad. Kui lõplikku piiri pole, kutsutakse välja vale integraal lahknev.

Samamoodi saab määratleda funktsiooni sobimatu integraali
millel on punktis lõpmatu katkestus a:

=
.

Kui funktsioon
on sisepunktis lõpmatu katkestus Koos
, siis defineeritakse vale integraal järgmiselt

=
+
=
+
.

See integraal koondub, kui mõlemad liikmed lähenevad, ja lahkneb, kui vähemalt üks liige lahkneb.

Geomeetrilisest vaatenurgast iseloomustab piirita funktsiooni ebaõige integraal ka piiramata kõverjoonelise trapetsi pindala:

Kuna ebaõige integraal tuletatakse kindla integraali piirile üleminekuga, siis saab kõik kindla integraali omadused (asjakohaste täpsustustega) üle kanda esimest ja teist tüüpi ebaõigetele integraalidele.

Paljude probleemide puhul, mis viivad valede integraalideni, ei ole vaja teada, millega see integraal võrdub, piisab, kui veenduda, et see koondub või lahkneb. Selle kasutuse jaoks lähenemise märke. Ebaõigete integraalide konvergentsi märgid:

1) Võrdlusmärk.

Las kõigile X

. Siis kui
koondub, siis koondub ja
, ja

. Kui a
lahkneb, siis lahkneb ja
.

2) Kui koondub
, siis koondub ja
(sel juhul nimetatakse viimast integraali absoluutselt konvergentne).

Piiramata funktsioonide sobimatute integraalide konvergentsi ja lahknemise kriteeriumid on sarnased ülalpool sõnastatud kriteeriumidega.

Näited probleemide lahendamisest.

Näide 1

a)
; b)
; sisse)

G)
; e)
.

Lahendus.

a) Definitsiooni järgi on meil:

.

b) Samamoodi

Seetõttu see integraal läheneb ja on võrdne .

c) Definitsiooni järgi
=
+
, enamgi veel, a on suvaline arv. Paneme oma juhtumisse
, siis saame:

See integraal läheneb.

Seega see integraal lahkneb.

e) Kaaluge
. Integrandi antituletise leidmiseks on vaja rakendada osade kaupa integreerimise meetodit. Siis saame:

Kuna mitte kumbagi
, ega
ei ole olemas, siis pole olemas ja

Seetõttu see integraal lahkneb.

Näide 2

Uurige integraali konvergentsi sõltuvalt P.

Lahendus.

Kell
meil on:

Kui a
, siis
ja. Seetõttu integraal lahkneb.

Kui a
, siis
, a
, siis

=,

Seetõttu integraal koondub.

Kui a
, siis

seega integraal lahkneb.

Sellel viisil,

Näide 3

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine:

a)
; b)
; sisse)
.

Lahendus.

a) Integraal
on teist tüüpi sobimatu integraal, sest integrand
ei ole mingil hetkel piiratud

. Siis definitsiooni järgi

.

Integraal läheneb ja on võrdne .

b) Kaaluge
. Ka siin ei ole integrand punktis piiratud
. Seetõttu on see integraal teist tüüpi sobimatu ja definitsiooni järgi

Seetõttu integraal lahkneb.

c) Kaaluge
. Integrand
kannatab kahes punktis lõpmatu katkestuse all:
ja
, millest esimene kuulub integreerimise intervalli
. Seetõttu on see integraal teist tüüpi sobimatu. Siis definitsiooni järgi

=

=

.

Seetõttu integraal läheneb ja on võrdne
.

Kindlad integraalid saidile, et koondada õpilaste ja kooliõpilaste käsitletav materjal. Ja harjutage oma praktilisi oskusi. Kindlate integraalide täielik lahendus Internetis teile hetkega aitab teil kindlaks teha protsessi kõik etapid. Online integraalid - online kindel integraal. Teatud veebipõhised integraalid saidil õpilaste ja kooliõpilaste käsitletava materjali täielikuks koondamiseks ja nende praktiliste oskuste koolitamiseks. Kindlate integraalide täielik lahendus Internetis teile hetkega aitab teil kindlaks teha protsessi kõik etapid. Online integraalid - online kindel integraal. Meie jaoks ei tundu kindla integraali võtmine võrgus midagi üliloomulikku, kuna oleme seda teemat uurinud väljapaistvate autorite raamatust. Suur tänu neile ja avaldame neile isikutele austust. See aitab kiiresti kindlaks määrata kindla integraalse võrguteenuse selliste probleemide arvutamiseks. Sisestage lihtsalt õiged andmed ja kõik läheb hästi! Iga kindel integraal probleemi lahendusena suurendab õpilaste kirjaoskust. See on iga laiskuse unistus ja me pole erand, tunnistame seda ausalt. Kui ikka õnnestub lahendusega internetis kindel integraal tasuta välja arvutada, siis palun kirjutage veebilehe aadress kõigile, kes soovivad seda kasutada. Nagu öeldakse, jagage kasulikku linki - ja teid tänatakse lahked inimesed kingituse eest. Väga huvitav on analüüsida ülesannet, mille puhul kalkulaator lahendab kindla integraali iseseisvalt, mitte teie väärtusliku aja raiskamise arvelt. Sellepärast on need masinad inimeste kallal kündmiseks. Kindlate integraalide lahendamine võrgus pole aga iga saidi jaoks karm ja seda on lihtne kontrollida, nimelt piisab, kui võtta keeruline näide ja proovige seda iga sellise teenusega lahendada. Te tunnete erinevust oma nahka. Sageli muutub kindla integraali leidmine Internetis ilma igasuguse pingutuseta üsna keeruliseks ja teie vastus tundub taustal naeruväärne üldpilt tulemuse esitlus. Parem oleks kõigepealt võtta noore võitleja kursus. Mis tahes valede integraalide lahendus võrgus taandatakse esmalt määramatu arvu arvutamisele ja seejärel piirangute teooria kaudu reeglina ühepoolsete piiride arvutamiseks saadud avaldistest asendatud piiridega A ja B. kindel integraal võrgus koos teie näidatud üksikasjaliku lahendusega, jõudsime järeldusele, et tegite vea viiendas etapis, nimelt Tšebõševi muutuja muutmise valemi kasutamisel. Olge oma järgmise otsuse tegemisel väga ettevaatlik. Kui teie kindel integraal Interneti-kalkulaator Esimesel korral ei saanud ma hakkama, siis tasub kõigepealt saidi kirjalikud andmed sobivates vormides üle kontrollida. Veenduge, et kõik oleks korras ja minge, Go-Go! Iga õpilase jaoks on takistuseks valede integraalide arvutamine veebis õpetaja enda ees, kuna see on kas eksam või kollokvium või lihtsalt test paaril.. Niipea kui antud sobimatu integraalkalkulaator on Teie käsutuses, siis sõitke kohe antud funktsiooni sisse, asendage antud integreerimislimiidid ja klikkige nupul Lahenda, misjärel on Teile saadaval täielik detailne vastus . Ja ometi on hea, kui sait on selline imeline sait, sest see on nii tasuta kui ka lihtsalt kasutatav, sisaldab ka palju jaotisi. mida õpilased kasutavad iga päev, üks neist on lihtsalt kindel integraal võrgus koos lahendusega. Samas jaotises saate arvutada vale integraali veebis koos üksikasjaliku lahendusega vastuse edasiseks rakendamiseks nii instituudis kui ka instituudis. inseneritööd. Näib, et kõigil pole raske võrgus kindlat integraali määrata, kui selline näide on eelnevalt lahendatud ilma ülemise ja alumise piirita, st mitte Leibnizi integraali, vaid määramatu integraalita. Kuid siin me pole teiega kategooriliselt nõus, kuna esmapilgul võib see nii tunduda, kuid on oluline erinevus, võtame kõik lahti. Lahendus annab sellise kindla integraali mitte eksplitsiitsel kujul, vaid avaldise muutmise tulemusena piirväärtuseks. Teisisõnu, kõigepealt tuleb lahendada integraal piiride sümboolsete väärtuste asendamisega ja seejärel arvutada piir kas lõpmatus või teatud punktis. Siit edasi ei tähenda kindla integraali arvutamine võrgus tasuta lahendusega midagi muud kui täpse lahenduse esitamist Newtoni-Leibnizi valemi abil. Kui arvestada meie kindlat integraali, aitab kalkulaator teil selle mõne sekundiga otse teie silme all välja arvutada. Sellist kiirustamist vajavad kõik, kes soovivad ülesandega võimalikult kiiresti hakkama saada ja vabaneda isiklikest asjadest. Te ei tohiks otsida Internetist saite, mis paluvad teil registreeruda, seejärel oma saldole raha täiendada ja seda kõike mõne nutika mehe huvides, kes valmistab ette väidetavalt võrgus teatud integraalide lahendust. Pidage meeles, et Math24 aadress on tasuta teenus paljude matemaatikaülesannete lahendamiseks, sealhulgas aitame teil Internetis kindla integraali leida ja selles veendumiseks kontrollige meie väidet konkreetsete näidetega. Sisestage integrand vastavale väljale, seejärel määrake kas lõpmatud piirväärtused (sel juhul arvutatakse ja saadakse võrgus valede integraalide lahendus) või määrake oma numbrilised või sümboolsed piirid ja kindel võrguintegraal koos üksikasjaliku lahendusega. kuvatakse lehel pärast nupu "Lahendus" klõpsamist. Kas pole tõsi - see on väga lihtne, ei nõua teilt lisatoiminguid, tasuta, mis on kõige olulisem ja samal ajal tõhus. Teenust saate ise kasutada, et kindel integreeritud veebikalkulaator tooks teile maksimaalset kasu ja saaksite mugava oleku ilma kõigi arvutusprotsesside keerukuse üle pingutamata, las teeme kõik teie eest ära ja demonstreerime arvutitehnoloogia täit võimsust kaasaegne maailm. Kui sukeldute loodusesse kõige keerulisemad valemid ja valede integraalide arvutamine Internetis iseseisvaks õppimiseks, siis on see kiiduväärt ja võite taotleda doktoritöö kirjutamise võimalust, kuid tuleme tagasi tudengielu tegelikkuse juurde. Ja kes on üliõpilane? Esiteks on tegu energilise ja rõõmsameelse noormehega, kes tahab aega puhata ja kodutöid teha! Seetõttu hoolitsesime õpilaste eest, kes püüavad tohutus ülemaailmses võrgus leida sobimatut integreeritud veebikalkulaatorit, ja siin on see teie tähelepanu - sait on noorte jaoks kõige kasulikum veebilahendus. Muide, kuigi meie teenust esitletakse üliõpilaste ja kooliõpilaste assistendina, sobib see igati igale insenerile, sest saame teha igasuguseid ülesandeid ja nende lahendus on professionaalses formaadis. Näiteks pakume veebis kindlat integraali koos lahendusega täiskujul etapiviisiliselt ehk igale loogilisele plokile (alaülesandele) määratakse eraldi kirje kõigi arvutustega üldise lahendusprotsessi käigus. See muidugi lihtsustab mitmeetapiliste järjestikuste paigutuste tajumist ja on seega saidiprojekti eeliseks sarnaste teenuste ees, et leida veebist sobimatu integraal koos üksikasjaliku lahendusega.

Esimest tüüpi valed integraalid: kindla integraali mõiste laiendamine lõpmatu integraali ülemise või alumise piiriga integraalide juhtudele või on lõpmatud integraali mõlemad piirid.

Teist tüüpi valed integraalid: kindla integraali kontseptsiooni laiendamine piiramata funktsioonide integraalide juhtudele, integrand ei eksisteeri lõplikul arvul lõimimise intervalli punktidel, pöördudes lõpmatusse.

Võrdluseks. Kindla integraali mõiste tutvustamisel eeldati, et funktsioon f(x) on pidev intervallil [ a, b] ja integreerimise intervall on lõplik, see tähendab, et see on piiratud arvudega, mitte lõpmatusega. Mõned ülesanded toovad kaasa vajaduse nendest piirangutest loobuda. Nii ilmuvad sobimatud integraalid.

Vale integraali geomeetriline tähendus osutub üsna lihtsaks. Kui funktsiooni graafik y = f(x) on telje kohal Ox, väljendab kindel integraal kõveraga piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala y = f(x) , abstsiss ja ordinaadid x = a , x = b. Vale integraal väljendab omakorda joonte vahele jääva piiramata (lõpmatu) kõverjoonelise trapetsi pindala y = f(x) (allpool punane pilt) x = a ja abstsisstelg.

Valed integraalid defineeritakse sarnaselt muude lõpmatute intervallide jaoks:

Lõpmatu kõverjoonelise trapetsi pindala võib olla lõplik arv, sel juhul nimetatakse ebaõiget integraali koonduvaks. Pindala võib olla ka lõpmatus, sel juhul nimetatakse ebaõiget integraali lahknevaks.

Integraali piiri kasutamine ebaõige integraali enda asemel. Vale integraali arvutamiseks peate kasutama kindla integraali piirmäära. Kui see piir on olemas ja on lõplik (ei võrdu lõpmatusega), siis nimetatakse ebaõiget integraali koonduvaks, vastasel juhul on see divergentne. See, mida piirmärgi all olev muutuja kaldub, sõltub sellest, kas tegemist on esimest või teist tüüpi ebaõige integraaliga. Uurime seda nüüd.

Esimest tüüpi valed integraalid - lõpmatute piiridega ja nende lähenemisega

Valed integraalid lõpmatu ülempiiriga

Seega erineb ebaõige integraali kirje tavalisest kindlast integraalist selle poolest, et integreerimise ülempiir on lõpmatu.

Definitsioon. Vale integraal pideva funktsiooni lõpmatu integreerimise ülempiiriga f(x) vahel a enne ∞ nimetatakse selle funktsiooni integraali piiriks integreerimise ülemise piiriga b ja integratsiooni alumine piir a eeldusel, et lõimumise ülempiir kasvab lõputult, st.

.

Kui see piir on olemas ja on võrdne mõne arvuga, mitte lõpmatusega, siis vale integraali nimetatakse koonduvaks, ja selle väärtuseks võetakse limiidiga võrdne arv. Muidu ebaõiget integraali nimetatakse lahknevaks ja sellele ei omistata mingit väärtust.

Näide 1. Arvutage vale integraal(kui see läheneb).

Lahendus. Vale integraali definitsiooni põhjal leiame

Kuna piirang on olemas ja võrdub 1-ga, siis antud ebaõige integraal koondub ja on võrdne 1-ga.

Järgmises näites on integrand peaaegu sama, mis näites 1, ainult x-i aste ei ole kaks, vaid täht alfa ja ülesandeks on konvergentsi ebaõige integraali uurimine. See tähendab, et vastamata jääb küsimus: milliste alfa väärtuste juures see vale integraal läheneb ja millistel väärtustel see lahkneb?

Näide 2. Uurige ebaõige integraali konvergentsi(alumine integratsioonipiir on suurem kui null).

Lahendus. Oletame kõigepealt, et , siis

Saadud avaldises liigume piirini :

On lihtne näha, et paremal pool on piirang olemas ja null, millal , see on ja ei eksisteeri millal , see tähendab .

Esimesel juhul, kui . Kui siis ja seda ei eksisteeri.

Meie uuringu järeldus on järgmine: ebaõige integraal koondub juures ja lahkneb aadressil .

Rakendades uuritud vale integraali tüübile Newtoni-Leibnizi valemit , saame tuletada järgmise väga sarnase valemi:

.

See on üldistatud Newtoni-Leibnizi valem.

Näide 3. Arvutage vale integraal(kui see läheneb).

Selle integraali piirang on olemas:

Teine integraal, mis on algset integraali väljendav summa:

Selle integraali piirang on samuti olemas:

.

Leiame kahe integraali summa, mis on ka kahe lõpmatu piiriga algse ebaõige integraali väärtus:

Teist tüüpi valed integraalid - piiramata funktsioonidest ja nende lähenemisest

Laske funktsioonil f(x) seatud segmendile alates a enne b ja seda piiramatult. Oletame, et funktsioon läheb punktis lõpmatuseni b , samas kui lõigu kõigis teistes punktides on see pidev.

Definitsioon. Funktsiooni vale integraal f(x) lõigul alates a enne b nimetatakse selle funktsiooni integraali piiriks integreerimise ülemise piiriga c , kui püüdes c juurde b funktsioon suureneb lõputult ja punktis x = b funktsioon pole määratletud, st.

.

Kui see piir on olemas, nimetatakse teist tüüpi ebaõiget integraali koonduvaks, muidu lahknevaks.

Kasutades Newtoni-Leibnizi valemit, tuletame.

Kindel integraal

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

konstrueeriti eeldusel, et arvud $a,\,b$ on lõplikud ja $f(x)$ on pidev funktsioon. Kui ühte neist eeldustest rikutakse, räägitakse valedest integraalidest.

10.1 1. tüüpi valed integraalid

Esimest tüüpi ebaõige integraal tekib siis, kui vähemalt üks arvudest $a,\,b$ on lõpmatu.

10.1.1 Definitsioon ja põhiomadused

Vaatleme esmalt olukorda, kus integreerimise alumine piir on lõplik ja ülempiir on võrdne $+\infty$, teistest võimalustest tuleb juttu hiljem. Kui $f(x)$ on pidev kõigi meid huvitavate $x$ jaoks, arvestage integraaliga

\begin(võrrand) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(võrrand)

Kõigepealt on vaja välja selgitada selle väljendi tähendus. Selleks tutvustame funktsiooni

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

ja pidada selle käitumist $N\rightarrow +\infty$.

Definitsioon. Las olla piir

\[ A=\lim_(N \paremnool +\infty)I(N)=\lim_(N \paremnool +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Siis öeldakse, et esimest tüüpi ebaõige integraal (19) läheneb ja sellele omistatakse väärtus $A$, funktsiooni ennast nimetatakse integreeritavaks intervallil $\left[ a, \, +\infty \right)$ . Kui näidatud limiiti ei eksisteeri või see on võrdne $\pm \infty$, siis öeldakse, et integraal (19) lahkneb.

Esimest tüüpi koonduvatel ebaõigetel integraalidel on kõik tavaliste kindlate integraalide standardomadused.

1. Kui $f(x)$, $g(x)$ on integreeritavad intervalliga $\left[ a, \, +\infty \right)$, siis nende summa $f(x)+g(x) $ is on samuti selle intervalliga integreeritav ja \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Kui $f(x)$ on integreeritav intervalliga $\left[ a, \, +\infty \right)$, siis mis tahes konstandi $C$ korral on funktsioon $C\cdot f(x)$ on samuti sellel intervallil integreeritav ja \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Kui $f(x)$ on integreeritav sellel intervallil $\left[ a, \, +\infty \right)$ ja $f(x)>0$, siis \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Kui $f(x)$ on integreeritav intervalliga $\left[ a, \, +\infty \right)$, siis mis tahes $b>a$ puhul integraal \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] koondub ja \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f( x)dx \] (integraali liitmine intervalliga).

Kehtivad ka muutuja muutmise, osade kaupa integreerimise jms valemid. (looduslike reservaatidega).

Vaatleme nüüd juhtumit, kui integreerimise alumine piir on võrdne $-\infty$ ja ülemine on lõplik, s.t. arvesta integraalidega

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

Seda varianti saab aga taandada eelmisele, kui teeme muutujate $x=-s$ muudatuse ja seejärel vahetame integreerimise piirid, nii et

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Vaatleme nüüd juhtumit, kui on kaks lõpmatut piiri, s.t. lahutamatu

\begin(võrrand) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(võrrand)

kus $f(x)$ on pidev kõigi $x \in \mathbb(R)$ jaoks. Jagame intervalli kaheks osaks: võtame $c \in \mathbb(R)$ ja vaatleme kahte integraali,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Definitsioon. Kui mõlemad integraalid $I_1$, $I_2$ koonduvad, siis integraali (21) nimetatakse koonduvaks, talle omistatakse väärtus $I=I_1+I_2$ (vastavalt intervalli liitlikkusele). Kui vähemalt üks integraalidest $I_1$, $I_2$ lahkneb, nimetatakse integraali (21) lahknevaks.

Saab tõestada, et integraali (21) konvergents ei sõltu punkti $c$ valikust.

1. tüüpi ebaõigetel integraalidel integreerimisvahemikega $\left(-\infty, \, c \right]$ või $(-\infty, \, +\infty)$ on samuti kõik kindlate integraalide standardsed omadused (koos vastav ümbersõnastus, mis võtab arvesse valiku integreerimise intervalli).

10.1.2 1. tüüpi sobimatute integraalide lähenemise kriteeriumid

Teoreem (esimene võrdlusmärk). Olgu $f(x)$, $g(x)$ pidevad $x>a$ jaoks ja $0 a$. Siis

1. Kui integraal \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] koondub, siis koondub ka integraal \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 2. Kui integraal \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] lahkneb, siis lahkneb ka integraal \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx. \]

Teoreem (teine ​​võrdlusmärk). Olgu $f(x)$, $g(x)$ pidevad ja positiivsed $x>a$ jaoks ning olgu olemas lõplik piir

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Siis integraalid

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

koonduvad või lahknevad samal ajal.

Kas sa oled praegu siin? =) Ei, ma ei üritanud kedagi hirmutada, lihtsalt ebaõigete integraalide teema illustreerib väga hästi, kui oluline on mitte juhtida kõrgemat matemaatikat ja muud täppisteadused. Saidil oleva õppetunni valdamiseks on kõik olemas - üksikasjalikult ja üksikasjalikult juurdepääsetav vorm, oleks soov....

Niisiis, alustame. Piltlikult öeldes on ebaõige integraal “arenenud” kindel integraal ja tegelikult pole nendega nii palju raskusi, pealegi on ebaõige integraal väga hea geomeetrilise tähendusega.

Mida tähendab vale integraali arvutamine?

Arvutage vale integraal - see tähendab NUMBER leidmist(täpselt sama, mis kindlas integraalis), või tõestada, et see lahkneb(st lõpetage arvu asemel lõpmatusega).

Ebaõigeid integraale on kahte tüüpi.

Vale integraal lõpmatu(te) integratsioonipiirangu(te)ga

Mõnikord nimetatakse sellist ebaõiget integraali esimest tüüpi sobimatu integraal. AT üldine vaade Lõpmatu piiriga vale integraal näeb enamasti välja järgmine: . Mille poolest see erineb kindlast integraalist? Ülemises piiris. See on lõputu:

Vähem levinud on integraalid, millel on lõpmatu alampiir või kaks lõpmatut piiri: , ja me käsitleme neid hiljem - kui maitse saab :)

Noh, nüüd analüüsime kõige populaarsemat juhtumit. Enamikus näidetes toimib integrandi funktsioon pidev vahepeal ja see üks oluline fakt, mida kõigepealt kontrollida! Sest kui on lünki, siis on täiendavaid nüansse. Kindluse mõttes eeldame, et ka siis tüüpiline kõverjooneline trapets näeb välja selline:

Pange tähele, et see on lõpmatu (pole paremalt piiratud) ja vale integraal arvuliselt võrdne selle pindalaga. Sel juhul on võimalikud järgmised valikud:

1) Esimene mõte, mis pähe tuleb, on: “kuna kujund on lõpmatu, siis ”, ehk teisisõnu, ala on samuti lõpmatu. Nii võib ka olla. Sel juhul ütleme, et vale integraal lahkneb.

2) Aga. Nii paradoksaalselt kui see ka ei kõla, võib lõpmatu kujundi pindala olla võrdne ... lõpliku arvuga! Näiteks: . See võiks olla? Lihtne. Teisel juhul vale integraal koondub.

3) Kolmanda variandi kohta veidi hiljem.

Millal ebaõige integraal lahkneb ja millal koondub? See sõltub integrandist ja konkreetseid näiteid vaatame varsti üle.

Aga mis juhtub, kui lõpmatu kõverjooneline trapets asub telje all? Sel juhul vale integraal (lahkub) või on võrdne lõpliku negatiivse arvuga.

Sellel viisil, vale integraal võib olla negatiivne.

Tähtis! Kui teile pakutakse lahendamiseks MIS TAHES sobimatut integraali, siis üldiselt ühestki alast pole juttugi ja joonist pole vaja ehitada. Ma ütlesin vale integraali geomeetrilise tähenduse ainult selleks, et materjalist oleks lihtsam aru saada.

Kuna vale integraal on väga sarnane kindla integraaliga, tuletame meelde Newtoni-Leibnizi valemit: . Tegelikult on valem rakendatav ka valede integraalide puhul, ainult et seda tuleb veidi muuta. Mis vahe on? Integratsiooni lõpmatus ülemises piiris: . Tõenäoliselt on paljud arvanud, et see meenutab juba piiride teooria rakendamist ja valem kirjutatakse järgmiselt: .

Mille poolest see erineb kindlast integraalist? Jah, ei midagi erilist! Nagu kindla integraali puhul, peate suutma leida antiderivatiivse funktsiooni (määramatu integraal), suutma rakendada Newtoni-Leibnizi valemit. Ainus, mis on lisatud, on limiidi arvutamine. Kellel nendega halb on, võtke õppust Funktsioonide piirangud. Lahendusnäited sest parem hilja kui sõjaväes.

Vaatleme kahte klassikalist näidet:

Näide 1

Selguse huvides koostan joonise, kuigi rõhutan veel kord, praktikal selles ülesandes ei ole vaja jooniseid ehitada.

Integrand on pidev poolintervallil, mis tähendab, et kõik on korras ja vale integraali saab arvutada “tavalise” meetodiga.

Meie valemi rakendamine ja lahendus näeb välja selline:

See tähendab, et vale integraal lahkneb ja varjutatud kõverjoonelise trapetsi pindala on võrdne lõpmatusega.

Vaadeldavas näites on meil kõige lihtsam tabelintegraal ja sama tehnika Newtoni-Leibnizi valemi rakendamiseks nagu kindla integraali puhul. Kuid seda valemit rakendatakse piiri märgi all. "Dünaamilise" muutuja tavalise tähe asemel ilmub täht "olla". See ei tohiks segadusse ajada ega segadusse ajada, sest ükski täht pole halvem kui standard "X".

Kui te ei saa aru, miks kell , siis on see väga halb, te kas ei saa aru kõige lihtsamatest piiridest (ja ei saa üldse aru, mis piir on) või te ei tea, kuidas graafik välja näeb logaritmiline funktsioon. Teisel juhul külastage õppetundi Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused.

Ebaõigete integraalide lahendamisel on väga oluline teada, kuidas näevad välja põhiliste elementaarfunktsioonide graafikud!

Puhas töökujundus peaks välja nägema umbes selline:

“

! Näite kujundamisel katkestame alati lahenduse ja näitame, mis integrandiga juhtub – kas see on pidev integratsiooni intervallil või mitte. Selle abil tuvastame sobimatu integraali tüübi ja põhjendame edasisi toiminguid.

Näide 2

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine.

Teeme joonise:

Esiteks märkame järgmist: integrand on poolintervallil pidev. Hea. Valemiga lahendamine :

(1) Võtame võimsusfunktsiooni lihtsaima integraali (see erijuhtum leidub paljudes tabelites). Parem on miinus kohe piirmärgist kaugemale viia, et see edasistes arvutustes jalge alla ei jääks.

(2) Asendame ülemise ja alumise piiri vastavalt Newtoni-Leibnizi valemile.

(3) Näitame, et millal (Härrased, sellest on juba ammu aru saadud) ja lihtsustame vastust.

Siin on lõpmatu kõverjoonelise trapetsi pindala võrdne lõpliku arvuga! Uskumatu, aga see on fakt.

Näite puhas kujundus peaks välja nägema umbes selline:

“

Integrand töötab pidevalt

“

Mida teha, kui puutute kokku integraaliga nagu - koos murdepunkt integratsiooni intervalli kohta? See tähendab, et näites on kirjaviga (Kõige tõenäolisemalt) või kõrgharidus. Viimasel juhul tingitud liiteomadused, tuleks arvestada intervallide kahe vale integraaliga ja seejärel käsitleda summat.

Mõnikord võib see kirjavea või sobimatu integraali kavatsuse tõttu ei eksisteeri üldse, nii näiteks kui paneme sisse ülaltoodud integraali nimetaja Ruutjuur alates "x", siis osa integreerimisintervallist ei sisene üldse integrandi definitsiooni domeeni.

Pealegi ei pruugi sobimatut integraali eksisteerida isegi kogu "nähtava heaolu korral". Klassikaline näide: . Vaatamata koosinuse määratusele ja järjepidevusele pole sellist ebaõiget integraali olemas! Miks? See on väga lihtne, sest:
- ei eksisteeri vastav piirmäär.

Ja selliseid näiteid, kuigi harva, leidub praktikas! Seega on lisaks konvergentsile ja lahknemisele ka kolmas täieliku vastusega lahendustulemus: "ei ole vale integraali".

Tähele tuleb panna ka seda, et ebakohase integraali range definitsioon on antud just läbi piiri ning soovijad saavad sellega tutvuda õppekirjanduses. Noh, jätkame praktilist tundi ja liigume edasi sisukamate ülesannete juurde:

Näide 3

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine.

Kõigepealt proovime leida antiderivatiivfunktsiooni (määramatu integraal). Kui me seda ei tee, siis loomulikult ei lahenda me ka ebaõiget integraali.

Millise tabeliintegraaliga integrand välja näeb? See tuletab mulle meelde kaartangensi: . Nendest kaalutlustest lähtuvalt viitab mõte, et oleks tore saada nimetajasse ruut. Seda tehakse asendamise teel.

Asendame:

Määramatu integraal on leitud, konstanti pole sel juhul mõtet lisada.

Mustandil on alati kasulik teha kontroll, st tulemust eristada:

Saadi algne integrand, mis tähendab, et määramatu integraal leiti õigesti.

Nüüd leiame vale integraali:

(1) Lahenduse kirjutame valemi järgi . Parem on viivitamatult viia konstant üle piirmärgi, et see ei segaks edasisi arvutusi.

(2) Asendame ülemise ja alumise piiri vastavalt Newtoni-Leibnizi valemile. Miks juures ? Vaata kaartangensi graafikut juba korduvalt soovitatud artiklist.

(3) Saame lõpliku vastuse. Asjaolu, et seda on kasulik peast teada.

Edasijõudnud õpilased ei pruugi määramatut integraali eraldi leida ega kasutada asendusmeetodit, vaid kasutavad diferentsiaalmärgi all oleva funktsiooni summeerimise meetodit ja lahendavad ebaõige integraali "kohe". Sel juhul peaks lahendus välja nägema umbes selline:

“

Integrand on pidev sisselülitatud .

“

Näide 4

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine.

! See on tüüpiline näide ja sarnased integraalid on väga levinud. Töötage see hästi välja! Antiderivatiivne funktsioon leitakse siit selektsioonimeetodi abil täisruut, leiate meetodi kohta rohkem üksikasju õppetunnist Mõnede murdude integreerimine.

Näide 5

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine.

Seda integraali saab lahendada üksikasjalikult, st kõigepealt leida muutujat muutes määramatu integraal. Ja saate selle "kohe" lahendada - diferentsiaali märgi all oleva funktsiooni summeerimisel. Kellel on mingi matemaatiline taust.

Täielikud lahendused ja vastused tunni lõpus.

Lõpmatu integratsiooni alampiiriga ebaõigete integraalide lahendite näiteid leiate lehelt Tõhusad meetodid sobimatute integraalide lahendamiseks. Seal käsitletakse ka juhtumit, kus mõlemad integratsioonipiirid on lõpmatud.

Piiramata funktsioonide valed integraalid

Või teist tüüpi sobimatud integraalid. Teist tüüpi ebaõiged integraalid on kavalalt "šifreeritud" tavalise kindla integraali alla ja näevad välja täpselt samasugused: Kuid erinevalt kindlast integraalist on integrandil lõpmatu katkestus (ei ole olemas): 1) punktis, 2) või punktis, 3) või mõlemas punktis korraga, 4) või isegi integreerimise intervallil. Vaatleme kahte esimest juhtumit, juhtumite 3-4 jaoks on artikli lõpus link täiendavale õppetunnile.

Lihtsalt näide, et asi oleks selge:. Tundub, et see on kindel integraal. Kuid tegelikult on see teist tüüpi sobimatu integraal, kui integrandiga asendada alampiiri väärtus, siis nimetaja kaob, see tähendab, et integrandi lihtsalt pole selles punktis olemas!

Üldiselt vale integraali analüüsimisel alati on vaja integrandiga asendada mõlemad integreerimispiirid. Sellega seoses kontrollime ka ülempiiri: . Siin on kõik hästi.

Vale integraali vaadeldava variandi kõverjooneline trapets näeb põhimõtteliselt välja järgmine:

Siin on peaaegu kõik sama, mis esimest tüüpi integraalis.

Meie integraal on numbriline võrdne pindalaga viirutatud kõverjooneline trapets, mis ei ole ülalt piiratud. Sel juhul võib olla kaks võimalust *: vale integraal lahkneb (pindala on lõpmatu) või vale integraal on võrdne lõpliku arvuga (st lõpmatu kujundi pindala on lõplik!).

* vaikimisi eeldame, et vale integraal on olemas

Jääb vaid muuta Newtoni-Leibnizi valemit. Seda muudetakse ka piiri abil, kuid piir ei kipu enam lõpmatusse, vaid paremal olevale väärtusele. Mööda joonist on lihtne jälgida: piki telge peame lähenema murdepunktile lõpmatult lähedale paremal.

Vaatame, kuidas seda praktikas rakendatakse.

Näide 6

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine.

Integrand saab mingis punktis lõpmatu katkestuse (ärge unustage verbaalselt või mustandilt kontrollida, kas ülempiiriga on kõik korras!)

Esiteks arvutame määramata integraali:

Asendamine:

Neile, kellel on asendamisega raskusi, vaadake õppetundi Asendusmeetod määramata integraalis.

Arvutame vale integraali:

(1) Mis siin uut on? Tehnika osas praktiliselt mitte midagi. Ainus, mis on muutunud, on piiranguikooni all olev kirje: . Lisamine tähendab, et me sihime väärtust paremal (mis on loogiline – vaata graafikut). Sellist piiri piiride teoorias nimetatakse ühepoolne piir. Sel juhul on meil parema käe piir.

(2) Asendame ülemise ja alumise piiri vastavalt Newtoni-Leibnizi valemile.

(3) Tegelemine aadressil . Kuidas määrata, kuhu avaldis suunatakse? Jämedalt öeldes peate lihtsalt selle väärtuse asendama, asendama kolm neljandikku ja märkima, et . Vastuse kammimine.

Sel juhul on vale integraal võrdne negatiivse arvuga. Selles pole kuritegevust, lihtsalt vastav kõverjooneline trapets asub telje all.

Ja nüüd kaks näidet iseseisvaks otsuseks.

Näide 7

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine.

Näide 8

Arvutage vale integraal või määrake selle lahknemine.

Kui integrandi punktis ei eksisteeri

Sellise ebaõige integraali lõpmatu kõverjooneline trapets näeb põhimõtteliselt välja selline.