Mis on logaritmiline funktsioon? Definitsioon, omadused, probleemide lahendamine. logaritmiline funktsioon

Funktsioonigraafik läbib koordinaatidega punkti (1;0)

Määramine rühmadesse. Tõesta, et eksponentsiaal- ja logaritmfunktsioonid on vastastikku pöördvõrdelised.

Samas koordinaatsüsteemis olevad õpilased kujutavad logaritmilise ja eksponentsiaalse funktsiooni graafikut

Mõelge korraga kahele funktsioonile: eksponentsiaalne y = a x ja logaritmiline y = log a x.

Joonisel 2 on skemaatiliselt kujutatud funktsioonide graafikud y = a x ja y = log a x juhuks kui a>1.

Joonisel 3 on skemaatiliselt kujutatud funktsioonide graafikud y = a x ja y = log a x juhuks kui 0 < a < 1.

Järgmised väited vastavad tõele.

• Funktsioonigraafik y = log a x sümmeetriline funktsiooni y \u003d ax graafiku suhtes sirgjoone suhtes y = x.
• Funktsiooni väärtuste komplekt y = a x on komplekt y>0, ja funktsiooni domeen y = log a x on komplekt x>0.
• Telg Oh on funktsiooni graafiku horisontaalne asümptoot y = a x ja telg OU on funktsiooni graafiku vertikaalne asümptoot y = log a x.
• Funktsioon y = a x suureneb koos a>1 ja funktsioon y = log a x suureneb ka koos a>1. Funktsioon y = a x väheneb kell 0<а<1 ja funktsioon y = log a x väheneb ka koos 0<а<1

Seetõttu soovituslik y = a x ja logaritmiline y = log a x funktsioonid on vastastikku pöördvõrdelised.

Funktsioonigraafik y = log a x nimetatakse logaritmiliseks kõveraks, kuigi tegelikult ei suudetud uut nime välja mõelda. Lõppude lõpuks on see sama eksponent, mis toimib eksponentsiaalfunktsiooni graafikuna, ainult koordinaattasandil erinevalt.

Peegelduse staadium. Esialgne kokkuvõte.

Tuleme tagasi tunni alguses käsitletud küsimuste juurde ja arutleme tulemuste üle.. Vaatame, võib-olla on meie arvamus pärast tööd muutunud.

Õpilased võrdlevad rühmades oma eeldusi õpikuga töötamise käigus saadud teabega, joonistavad funktsioonid ja nende omaduste kirjeldused, teevad tabelis muudatusi, jagavad klassiga mõtteid ja arutavad iga küsimuse vastuseid.

Kõne etapp.

Mida arvate, millistel juhtudel, milliste ülesannete täitmisel saab logaritmilise funktsiooni omadusi rakendada?

Õpilaste kavandatud vastused: logaritmivõrrandite, võrratuste lahendamine, logaritme sisaldavate arvavaldiste võrdlemine, keerukamate logaritmiliste funktsioonide konstrueerimine, teisendamine ja uurimine.

Sisu mõistmise etapp.

Töö logaritmiliste funktsioonide graafikute äratundmisest, definitsioonipiirkonna leidmisest, funktsioonide monotoonsuse määramisest. (Lisa nr 4)

Vastused.

Teadmiste laiendamiseks uuritava aine kohta pakutakse õpilastele teksti "Logaritmilise funktsiooni rakendamine looduses ja tehnoloogias". (Lisa nr 5) Me kasutame tehnoloogiline meetod "klaster" teema vastu huvi säilitamiseks.

"Kas see funktsioon leiab rakendust meid ümbritsevas maailmas?", vastame sellele küsimusele pärast logaritmilise spiraali tekstiga töötamist.

Klastri "Logaritmilise funktsiooni rakendamine" koostamine. Õpilased töötavad rühmades, moodustades klastreid. Seejärel kaitstakse ja arutatakse klastreid.

Klastri näide.

Peegeldus

• Millest sul kuni tänase õppetunnini aimugi polnud ja mis on sulle nüüd selge?
• Mida olete logaritmilise funktsiooni ja selle rakenduste kohta õppinud?
• Milliseid raskusi te ülesannete täitmisel kokku puutusite?
• Tõstke esile küsimus, mis on teile vähem selge.
• Mis info teid huvitab?
• Koostage sünkrooni "logaritmiline funktsioon"
• Hinda oma rühma tööd (Lisa nr 6 "Rühmade töötulemuste hindamisleht")

Sincwine.

1. logaritmiline funktsioon
2. Piiramatu, üksluine
3. Uurige, võrrelge, lahendage ebavõrdsust
4. Omadused sõltuvad logaritmilise funktsiooni aluse väärtusest
5. Eksponent

Kodutöö:§ 4 lk 240-243, nr 69-75 (isegi)

Kirjandus:

1. Azevitš A.I. Kakskümmend harmoonia õppetundi: humanitaar- ja matemaatikakursus. - M.: Kool-Ajakirjandus, 1998.-160 lk.: ill. (Ajakirja "Matemaatika koolis" raamatukogu. 7. number.)
2. Zair-Bek S.I. Kriitilise mõtlemise arendamine klassiruumis: juhend üldhariduskoolide õpetajatele. institutsioonid. - M. Haridus, 2011. - 223 lk.
3. Kolyagin Yu.M. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja eritase. – M.: Valgustus, 2010.
4. Korchagin V.V. KASUTAMINE-2009. Matemaatika. Temaatilised koolitusülesanded. – M.: Eksmo, 2009.
5. KASUTAMINE-2008. Matemaatika. Temaatilised koolitusülesanded / Koreshkova T.A. ja teised. - M .: Eksmo, 2008.

Reaalne logaritm

Reaalarvu logi logaritm a b on mõistlik src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Kõige laialdasemalt kasutatavad on järgmised logaritmitüübid.

Kui arvestada muutujaks logaritmilist arvu, saame logaritmiline funktsioon, näiteks: . See funktsioon on määratletud numbrirea paremal küljel: x> 0 , on seal pidev ja diferentseeruv (vt joonis 1).

Omadused

naturaallogaritmid

Sest võrdsus

Eriti,

See jada koondub kiiremini ja lisaks saab valemi vasak pool nüüd väljendada mis tahes positiivse arvu logaritmi.

Seos kümnendlogaritmiga: .

Kümnendlogaritmid

Riis. 2. Palgi skaala

Logaritmid 10 aluseni (sümbol: lg a) enne kalkulaatorite leiutamist kasutati arvutuste tegemiseks laialdaselt. Kümnendlogaritmide ebaühtlast skaalat kasutatakse tavaliselt ka slaidireeglite puhul. Sarnast skaalat kasutatakse laialdaselt erinevates teadusvaldkondades, näiteks:

• Keemia - vesinikioonide aktiivsus ().
• Muusikateooria – muusikaline skaala seoses muusikahelide sagedustega.

Logaritmilist skaalat kasutatakse laialdaselt ka eksponendi tuvastamiseks eksponentsiaalsetes sõltuvustes ja koefitsiendi identifitseerimiseks eksponendis. Samal ajal on logaritmilisel skaalal piki ühte või kahte telge kujutatud graafik sirge kuju, mida on lihtsam uurida.

Keeruline logaritm

Mitme väärtusega funktsioon

Riemanni pind

Kompleksne logaritmiline funktsioon on Riemanni pinna näide; selle mõtteline osa (joonis 3) koosneb lõpmatust hulgast spiraalina keerdunud okstest. See pind on lihtsalt ühendatud; selle ainus null (esimest järku) saadakse z= 1 , eripunktid: z= 0 ja (lõpmatut järku hargnemispunktid).

Logaritmi Riemanni pind on komplekstasandi universaalne kate ilma punktita 0 .

Ajalooline ülevaade

Reaalne logaritm

Vajadus keeruliste arvutuste järele kasvas 16. sajandil kiiresti ning suur osa raskustest oli seotud mitmekohaliste arvude korrutamise ja jagamisega. Sajandi lõpus tulid mitmed matemaatikud peaaegu üheaegselt välja ideega: asendada aeganõudev korrutamine lihtsa liitmisega, võrrelda geomeetrilisi ja aritmeetilisi progressioone spetsiaalsete tabelite abil, kusjuures geomeetriline on algne. Siis asendub jagamine automaatselt mõõtmatult lihtsama ja usaldusväärsema lahutamisega. Ta oli esimene, kes selle idee oma raamatus avaldas Aritmeetika integra»Michael Stiefel, kes aga oma idee elluviimiseks tõsiselt ei pingutanud.

1620. aastatel leiutasid Edmund Wingate ja William Oughtred esimese slaidireegli, enne taskukalkulaatorite tulekut, mis oli inseneri jaoks asendamatu tööriist.

Kaasaegsele lähedane arusaam logaritmist – kui astendamisele vastupidisest operatsioonist – ilmus esmakordselt Wallis ja Johann Bernoullis ning lõpuks legaliseeris Euler 18. sajandil. Raamatus "Sissejuhatus lõpmatu analüüsisse" () andis Euler nii eksponentsiaalsete kui ka logaritmiliste funktsioonide kaasaegsed määratlused, laiendas need astmeridadeks ja märkis eriti naturaallogaritmi rolli.

Euleri eeliseks on ka logaritmilise funktsiooni laiendamine keerukale domeenile.

Keeruline logaritm

Esimesed katsed laiendada logaritme kompleksarvudele tegid 17.-18. sajandi vahetusel Leibniz ja Johann Bernoulli, kuid neil ei õnnestunud luua terviklikku teooriat – eeskätt põhjusel, et logaritmi enda mõiste polnud veel selge. määratletud. Arutelu sellel teemal toimus kõigepealt Leibnizi ja Bernoulli vahel ning XVIII sajandi keskel d'Alemberti ja Euleri vahel. Bernoulli ja d'Alembert uskusid, et see on vajalik määratleda log(-x) = log(x). Täieliku negatiivsete ja kompleksarvude logaritmide teooria avaldas Euler aastatel 1747–1751 ja see ei erine sisuliselt tänapäevasest.

Kuigi vaidlus jätkus (D'Alembert kaitses oma seisukohta ja argumenteeris seda üksikasjalikult oma Encyclopedia artiklis ja teistes teostes), saavutas Euleri seisukoht kiiresti üldise tunnustuse.

Logaritmitabelid

Logaritmitabelid

Logaritmi omadustest järeldub, et mitmekohaliste arvude aeganõudva korrutamise asemel piisab nende logaritmide leidmisest (tabelite järgi) ja liitmisest ning seejärel samade tabelite abil potentseerimisest, st. leida tulemuse väärtus selle logaritmi järgi. Jagamine erineb ainult selle poolest, et logaritmid lahutatakse. Laplace ütles, et logaritmide leiutamine "pikendas astronoomide eluiga", kiirendades oluliselt arvutusprotsessi.

Kui liigutate arvus koma kohta n numbrit, muudetakse selle arvu kümnendlogaritmi väärtust võrra n. Näiteks lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Sellest järeldub, et piisab kümnendlogaritmide tabeli koostamisest numbrite jaoks vahemikus 1 kuni 10.

Esimesed logaritmitabelid avaldas John Napier () ja need sisaldasid ainult trigonomeetriliste funktsioonide logaritme ja vigadega. Temast sõltumatult avaldas Kepleri sõber Jost Burgi oma tabelid (). Aastal 1617 avaldas Oxfordi matemaatikaprofessor Henry Briggs tabelid, mis sisaldasid juba arvude endi kümnendlogaritme 1 kuni 1000 8 (hiljem 14) numbriga. Kuid Briggsi tabelites oli ka vigu. Esimene Vega tabelitel () põhinev vigadeta väljaanne ilmus alles 1857. aastal Berliinis (Bremiveri tabelid).

Venemaal avaldati L. F. Magnitski osalusel esimesed logaritmitabelid 1703. aastal. NSV Liidus ilmus mitu logaritmitabelite kogu.

• Bradis V.M. Neljakohalised matemaatilised tabelid. 44. trükk, M., 1973.

Tšuvaši Vabariigi haridus- ja noorsoopoliitika ministeerium

Osariigi autonoomne professionaal

Tšuvaši Vabariigi õppeasutus

"Tšeboksary transpordi- ja ehitustehnoloogia kolledž"

(GAPOU "Cheboksary Technical School TransStroyTekh"

Tšuvašia haridusministeerium)

Metoodiline arendus

ODP. 01 Matemaatika

"Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik»

Cheboksary - 2016

Selgitav märkus………………………………………………………………………………………………. ......……………… ………………………….….…3

Teoreetiline põhjendus ja metoodiline teostus…………………................................4-10

Järeldus …………………………………………………………… .............................................................. üksteist

Taotlused………………………………………………………………………………………………….. ........... ......................................13

Selgitav märkus

Tunnimooduli metoodiline arendus erialal "Matemaatika" teemal "Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik” rubriigist „Juured, kraadid ja logaritmid” on koostatud matemaatika tööprogrammi ja kalender-teemaplaani alusel. Tunni teemad on omavahel seotud sisu, põhisätetega.

Selle teema uurimise eesmärk on õppida tundma logaritmilise funktsiooni mõistet, uurida selle põhiomadusi, õppida logaritmilist funktsiooni joonistama ja nägema logaritmilist spiraali meid ümbritsevas maailmas.

Selle tunni programmimaterjal põhineb matemaatikateadmistel. Tunnimooduli metoodiline arendus koostati teoreetiliste tundide läbiviimiseks teemal: „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik” -1 tund. Praktilises tunnis kinnistavad õpilased oma teadmisi: funktsioonide definitsioonid, nende omadused ja graafikud, graafiteisendused, pidevad ja perioodilised funktsioonid, pöördfunktsioonid ja nende graafikud, logaritmilised funktsioonid.

Metoodilise arenduse eesmärk on anda õpilastele metoodilist abi tunnimooduli õppimisel teemal „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik. Õppekavavälise iseseisva tööna saavad õpilased lisaallikaid kasutades koostada sõnumi teemal “Logaritmid ja nende rakendamine looduses ja tehnikas”, ristsõnu ja rebussid. Teema "Logaritmfunktsioonid, nende omadused ja graafikud" õppimisel saadud haridusteadmisi ja erialaseid pädevusi rakendatakse järgmiste osade õppes: "Võrrandid ja võrratused" ning "Matemaatilise analüüsi algus".

Didaktilise tunni struktuur:

Teema:« Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik »

Tunni tüüp: kombineeritud.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik- teadmiste kujunemine logaritmilise funktsiooni mõiste, logaritmilise funktsiooni omaduste assimilatsioonil; kasutada probleemide lahendamiseks graafikuid.

Hariduslik- vaimsete operatsioonide arendamine läbi konkretiseerimise, visuaalse mälu arendamine, eneseharimise vajadus, kognitiivsete protsesside arengu soodustamine.

Hariduslik- tunnetusliku tegevuse, vastutustunde, üksteise austamise, üksteisemõistmise, enesekindluse kasvatamine; suhtluskultuuri edendamine; teadliku suhtumise ja õpihuvi edendamine.

Haridusvahendid:

Teema metoodiline arendus;

Personaalarvuti;

Õpik Sh.A Alimov "Algebra ja analüüsi algus" klass 10-11. Kirjastus "Valgustus".

Sisemised ühendused: eksponentsiaalfunktsioon ja logaritmiline funktsioon.

Interdistsiplinaarsed sidemed: algebra ja matemaatiline analüüs.

Üliõpilanepeab teadma:

logaritmilise funktsiooni määratlus;

logaritmilise funktsiooni omadused;

logaritmilise funktsiooni graafik.

Üliõpilanepeaks suutma:

sooritada logaritme sisaldavate avaldiste teisendusi;

leida arvu logaritm, rakendada logaritmi võtmisel logaritmide omadusi;

määrata punkti asukoht graafikul selle koordinaatide järgi ja vastupidi;

rakendada graafikute koostamisel logaritmifunktsiooni omadusi;

Tehke diagrammi teisendusi.

Tunniplaan

1. Organisatsioonimoment (1 min).

2. Tunni eesmärgi ja eesmärkide seadmine. Õpilaste õppetegevuse motiveerimine (1 min).

3. Algteadmiste ja -oskuste täiendamise etapp (3 min).

4. Kodutööde kontrollimine (2 min).

5. Uute teadmiste omastamise etapp (10 min).

6. Uute teadmiste kinnistamise etapp (15 min).

7. Tunnis õpitava materjali kontroll (10 min).

8. Kokkuvõtete tegemine (2 min).

9. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp (1 min).

Tundide ajal:

1. Organisatsioonimoment.

Sisaldab klassijuhataja tervitamist, ruumi ettevalmistamist tunniks, puudujate kontrollimist.

2. Tunni eesmärkide ja eesmärkide püstitamine.

Täna räägime logaritmilise funktsiooni mõistest, joonistame funktsiooni graafiku ja uurime selle omadusi.

3. Põhiteadmiste ja oskuste uuendamise etapp.

See viiakse läbi klassiga frontaalse töö vormis.

Mis oli viimane funktsioon, mida uurisime? Visandage see tahvlile.

Määratlege eksponentsiaalne funktsioon.

Mis on eksponentsiaalvõrrandi juur?

Mis on logaritmi määratlus?

Millised on logaritmide omadused?

Mis on logaritmiline põhiidentiteet?

4. Kodutööde kontrollimine.

Õpilased avavad vihikuid ja näitavad lahendatud ülesandeid. Esitage küsimusi, mis kodutöö tegemisel ette tulevad.

5. Uute teadmiste assimilatsiooni etapp.

Õpetaja: Avage vihikud, kirjutage üles tänane kuupäev ja tunni teema "Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik".

Definitsioon: Logaritmiline funktsioon on vormi funktsioon

Kus on antud arv, .

Vaatleme selle funktsiooni graafiku koostamist konkreetse näite abil.

Koostame funktsioonide ja graafikud.

Märkus 1: Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus, kus . Seetõttu on nende graafikud I ja III koordinaatnurga poolitaja suhtes sümmeetrilised (joonis 1).

Tuginedes logaritmi määratlusele ja graafikute tüübile, paljastame logaritmilise funktsiooni omadused:

1) Määratluspiirkond: , kuna logaritmi definitsiooni järgi x>0.

2) Funktsiooni väärtuste vahemik: .

3) Ühiku logaritm võrdub nulliga, aluse logaritm on võrdne ühega: , .

4) Funktsioon , suureneb intervallis (joonis 1).

5) Funktsioon , intervalli vähenemine (joonis 1).

6) Märgi püsivuse intervallid:

Kui , siis kell ; kell ;

Kui , siis kell ;

Märkus 2. Iga logaritmilise funktsiooni graafik läbib alati punkti (1; 0).

Teoreem: Kui a , kus , siis .

6. Uute teadmiste kinnistamise etapp.

Õpetaja: Lahendame ülesandeid nr 318 - nr 322 (paaritu) (§18Alimov Sh.A. “Algebra ja analüüsi algus”, klass 10-11).

1) sest funktsioon suureneb.

3), kuna funktsioon väheneb.

1), sest ja .

3), sest ja .

1) , kuna , , siis .

3) , sest 10> 1, , siis .

1) väheneb

3) suureneb.

7. Kokkuvõtete tegemine.

- Täna tegime tunnis head tööd! Mida uut sa täna tunnis õppisid?

(Uut tüüpi funktsioon – logaritmiline funktsioon)

Sõnasta logaritmilise funktsiooni definitsioon.

(Funktsiooni y = logax, (a > 0, a ≠ 1) nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks)

Hästi tehtud! Õige! Nimeta logaritmilise funktsiooni omadused.

(funktsiooni domeen, funktsiooni väärtuste kogum, monotoonsus, püsivus)

8. Tunnis õpitava materjali kontroll.

Õpetaja: Uurime, kui hästi olete õppinud teemat „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik. Selleks kirjutame kontrolltöö (lisa 1). Töö koosneb neljast ülesandest, mis tuleb lahendada logaritmilise funktsiooni omadusi kasutades. Täitmiseks kontrollimistööd teile antakse 10 minutit.

9. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp.

Tahvlile ja päevikutesse kirjutamine: Alimov Sh.A. "Algebra ja analüüsi algus" 10-11 klass. §18 #318 - #322 (isegi)

Järeldus

Metoodilise arenduse kasutamise käigus oleme saavutanud kõik püstitatud eesmärgid ja eesmärgid. Selles metoodilises arenduses võeti arvesse kõiki logaritmifunktsiooni omadusi, tänu millele õppisid õpilased sooritama logaritme sisaldavate avaldiste teisendusi ja koostama logaritmiliste funktsioonide graafikuid. Praktiliste ülesannete elluviimine aitab kinnistada õpitud materjali ning teadmiste ja oskuste testimise kontroll aitab õpetajatel ja õpilastel teada saada, kui tulemuslik oli nende töö tunnis. Metoodiline arendus võimaldab õpilastel saada teema kohta huvitavat ja informatiivset teavet, üldistada ja süstematiseerida teadmisi, rakendada logaritmide omadusi ja logaritmilist funktsiooni erinevate lahenduste lahendamisel. logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused.

Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V., Fedorova N.E., Shabunin M.I. - M. Haridus, 2011.

Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. jt Algebra ja matemaatilise analüüsi algus (põhi- ja profiilitasemed). 10 rakku - M., 2006.

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. ja teised, toim. Žižtšenko A.B. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus (põhi- ja profiilitase). 10 rakku - M., 2005.

Lisichkin V. T. Matemaatika lahendustega ülesannetes: õpik / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - 3. väljaanne, kustutatud. - Peterburi. [ja teised] : Lan, 2011 (Arhangelsk). - 464 lk.

Interneti-ressursid:

http://school- collection.edu.ru - Elektrooniline õpik "Matemaatika in

kool, 21. sajand.

http://fcior.edu.ru - teabe-, koolitus- ja kontrollimaterjalid.

www.school-collection.edu.ru – digitaalsete haridusressursside ühtne kogu.

Rakendused

Valik 1.

2. variant.

Hindamiskriteeriumid:

Märgistus "3" (rahuldav) pannakse iga kahe õigesti täidetud näite puhul.

Märgistus "4" (hea) antakse, kui mõni 3 näidet on õigesti sooritatud.

Märgistus "5" (suurepärane) pannakse kõigile 4 õigesti täidetud näitele.

Logaritmilise funktsiooni mõiste

Kõigepealt tuletagem meelde, mis on logaritm.

Definitsioon 1

Arvu $b\in R$ logaritm baasiga $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) on arv $c$, milleni tuleb arvu saamiseks tõsta arv $a$ $b$.

Vaatleme eksponentsiaalfunktsiooni $f\left(x\right)=a^x$, kus $a >1$. See funktsioon on kasvav, pidev ja kaardistab reaaltelje intervalliga $(0,+\infty)$. Siis on pideva pöördfunktsiooni olemasolu teoreemi kohaselt hulgas $Y=(0,+\infty)$ tal pöördfunktsioon $x=f^(-1)(y)$, mis on samuti pidev ja suureneb väärtuses $Y $ ning kaardistab intervalli $(0,+\infty)$ kogu reaalteljele. Seda pöördfunktsiooni nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks baasis $a\ (a >1)$ ja tähistatakse $y=((log)_a x\ )$.

Nüüd kaaluge eksponentsiaalfunktsiooni $f\left(x\right)=a^x$, kus $0

Seega oleme defineerinud kõigi jaoks logaritmilise funktsiooni võimalikud väärtused alused $a$. Vaatleme neid kahte juhtumit eraldi.

1%24"> Funktsioon $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

Kaaluge omadused seda funktsiooni.

$Oy$ teljega ristmikke pole.

Funktsioon on positiivne $x\in (1,+\infty)$ ja negatiivne $x\in (0,1)$ jaoks

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Miinimum- ja maksimumpunktid:

Funktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses;

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

\[-\frac(1)(x^2lna)Funktsioon on kogu definitsioonipiirkonnas kumer;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;

Funktsioonigraafik (joonis 1).

Joonis 1. Funktsiooni $y=((log)_a x\ ),\ a >1$ graafik

Funktsioon $y=((log)_a x\ ), \ 0

Mõelge selle funktsiooni omadustele.

Definitsiooni domeeniks on intervall $(0,+\infty)$;

Väärtuste vahemik on kõik reaalarvud;

Funktsioon pole paaris ega paaritu.

Ristumispunktid koordinaattelgedega:

$Oy$ teljega ristmikke pole.

$y=0$ puhul $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ Ristumine $Ox$ teljega: (1,0).

Funktsioon on positiivne $x\in (0,1)$ ja negatiivne $x\in (1,+\infty)$ jaoks

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Miinimum- ja maksimumpunktid:

\[\frac(1)(xlna)=0-juured\ ei\]

Maksimaalseid ega miinimumpunkte pole.

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

Kumeruse ja nõgususe intervallid:

\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]

Funktsioonigraafik (joonis 2).

Logaritmfunktsioonide uurimise ja konstrueerimise näiteid

Näide 1

Uurige funktsiooni $y=2-((log)_2 x\ )$ ja koostage selle graafik

Definitsiooni domeeniks on intervall $(0,+\infty)$;

Väärtuste vahemik on kõik reaalarvud;

Funktsioon pole paaris ega paaritu.

Ristumispunktid koordinaattelgedega:

$Oy$ teljega ristmikke pole.

$y=0$ puhul $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ Ristumine $Ox$ teljega: (4,0).

Funktsioon on positiivne $x\in (0,4)$ ja negatiivne $x\in (4,+\infty)$ jaoks

$y"=-\frac(1)(xln2)$;

Miinimum- ja maksimumpunktid:

\[-\frac(1)(xln2)=0-juured\ ei\]

Maksimaalseid ega miinimumpunkte pole.

Funktsioon väheneb kogu määratluspiirkonna ulatuses;

$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;

Kumeruse ja nõgususe intervallid:

\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]

Funktsioon on kogu määratluspiirkonna ulatuses nõgus;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;

Joonis 3

Logaritmiline funktsioon põhineb logaritmi mõistel ja eksponentsiaalfunktsiooni omadusel, kus (astme a alus on suurem kui null ja ei võrdu ühega).

Definitsioon:

Arvu b logaritm aluse a suhtes on eksponent, milleni tuleb arvu b saamiseks alus a tõsta.

Näited:

Tagasikutsumine põhireegel: logaritmi all oleva arvu saamiseks peate tõstma logaritmi baasi astmeni - logaritmi väärtuseni:

Tagasikutsumine olulised omadused ja eksponentsiaalfunktsiooni omadused.

Mõelge esimesele juhtumile, kui kraadi baas on suurem kui üks:

Riis. 1. Eksponentfunktsiooni graafik, astme alus on suurem kui üks

Selline funktsioon kasvab monotoonselt kogu oma määratlusvaldkonnas.

Mõelge teisele juhtumile, kui kraadi alus on väiksem kui üks:

Riis. 2. Eksponentfunktsiooni graafik, astme alus on väiksem kui üks

Selline funktsioon väheneb monotoonselt kogu oma määratluspiirkonna ulatuses.

Igal juhul on eksponentsiaalne funktsioon monotoonne, võtab kõik positiivsed väärtused ja oma monotoonsuse tõttu jõuab iga positiivse väärtuseni argumendi ühe väärtusega. See tähendab, et iga konkreetne väärtus, milleni funktsioon jõuab argumendi ühe väärtusega, on võrrandi juur logaritm:

Tegelikult saime pöördfunktsiooni. Otsene funktsioon on siis, kui meil on sõltumatu muutuja x (argument), sõltuv muutuja y (funktsioon), siis määrame argumendi väärtuse ja kasutame seda funktsiooni väärtuse saamiseks. Pöördfunktsioon: olgu y sõltumatu muutuja, kuna oleme juba ette näinud, et iga y positiivne väärtus vastab ühele x väärtusele, järgitakse funktsiooni definitsiooni. Siis saab x sõltuvaks muutujaks.

Monotoonse otsefunktsiooni jaoks on pöördfunktsioon. Funktsionaalse sõltuvuse olemus ei muutu, kui võtame kasutusele ümbernimetamise:

Saame:

Kuid me oleme rohkem harjunud tähistama sõltumatut muutujat kui x ja sõltuvat muutujat kui y:

Seega oleme saanud logaritmilise funktsiooni.

Me kasutame üldreegel pöördfunktsiooni saamine konkreetse eksponentsiaalfunktsiooni jaoks.

Antud funktsioon on monotoonselt kasvav (vastavalt eksponentsiaalfunktsiooni omadustele), mis tähendab, et sellele on pöördfunktsioon. Tuletame meelde, et selle saamiseks peate tegema kaks sammu:

Väljendage x y-ga:

Vahetage x ja y:

Seega saime funktsiooni antud funktsiooniga pöördvõrdeliselt: . Nagu teate, on otse- ja pöördfunktsioonide graafikud sirge y \u003d x suhtes sümmeetrilised. illustreerime:

Riis. 3. Funktsioonide graafikud ja

See probleem lahendatakse sarnasel viisil ja see kehtib mis tahes kraadi aluse kohta.

Lahendame probleemi koos

Antud funktsioon on monotoonselt kahanev, mis tähendab, et sellel on pöördfunktsioon. Saame aru:

Väljendage x y-ga:

Vahetage x ja y:

Niisiis, saime funktsiooni antud funktsiooniga pöördvõrdeliseks: . Nagu teate, on otse- ja pöördfunktsioonide graafikud sirge y \u003d x suhtes sümmeetrilised. illustreerime:

Riis. 4. Funktsioonide graafikud ja

Pange tähele, et oleme saanud logaritmilised funktsioonid eksponentsiaali pöördväärtusena.

Otsestel ja pöördfunktsioonidel on palju ühist, kuid on ka erinevusi. Vaatleme seda üksikasjalikumalt, kasutades funktsioonide ja näidet.

Riis. 5. Funktsioonide graafikud (vasakul) ja (paremal)

Otsese (eksponentsiaalse) funktsiooni omadused:

Domeen: ;

Väärtuste vahemik: ;

Funktsioon suureneb;

Alla kõverdunud.

Pöördfunktsiooni (logaritmiline) omadused:

Domeen: ;