Funktsiooni graafiku tipuks on valem. Parabool - ruutfunktsiooni omadused ja graafik

Funktsioon vormist kus kutsutakse ruutfunktsioon.

Ruutfunktsiooni graafik – parabool.

Vaatleme juhtumeid:

I CASE, KLASSIKALINE PARABOOL

See on , ,

Ehitamiseks täitke tabel, asendades x väärtused valemiga:

Märgi punktid (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. koordinaattasandil (mida väiksema sammu võtame x väärtused (antud juhul samm 1) ja mida rohkem x väärtusi võtame, seda sujuvam on kõver), saame parabooli:

On lihtne näha, et kui võtta juhtum , , , ehk siis saame parabooli, mis on sümmeetriline telje (oh) suhtes. Seda on lihtne kontrollida, täites sarnase tabeli:

II JUHTUM, „a” ERINEB ÜHIKUST

Mis juhtub, kui võtame , , ? Kuidas muutub parabooli käitumine? Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Esimesel pildil (vt ülal) on selgelt näha, et parabooli (1;1), (-1;1) punktid tabelist muudeti punktideks (1;4), (1;-4), see tähendab, et samade väärtuste korral korrutatakse iga punkti ordinaat 4-ga. See juhtub kõigi algse tabeli võtmepunktidega. Sarnaselt arutleme ka piltide 2 ja 3 puhul.

Ja kui parabool "muutub laiemaks" kui parabool:

Teeme kokkuvõtte:

1)Koefitsiendi märk määrab okste suuna. Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluutne väärtus koefitsient (moodul) vastutab parabooli “paisumise” ja “kokkusurumise” eest. Mida suurem , seda kitsam on parabool; mida väiksem |a|, seda laiem on parabool.

III JUHTUM, ILMUB “C”.

Tutvustame nüüd mängu (st kaalume juhtumit, millal), vaatleme vormi paraboole. Pole raske arvata (alati võib viidata tabelile), et parabool nihkub mööda telge olenevalt märgist üles või alla:

IV JUHT, ILMUB “b”.

Millal parabool "eraldub" teljest ja lõpuks "kõnnib" mööda kogu koordinaattasandit? Millal see lakkab olemast võrdne?

Siin vajame parabooli konstrueerimiseks tipu arvutamise valem: , .

Nii et selles punktis (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) ehitame parabooli, mida saame juba teha. Kui käsitleme juhtumit, siis tipust paneme ühe ühikulise lõigu paremale, ühe üles, - saadud punkt on meie (samamoodi samm vasakule, samm üles on meie punkt); kui tegemist on näiteks, siis tipust paneme ühe ühikulise segmendi paremale, kaks - ülespoole jne.

Näiteks parabooli tipp:

Nüüd on peamine mõista, et selles tipus ehitame parabooli parabooli mustri järgi, sest meie puhul.

Parabooli konstrueerimisel pärast tipu koordinaatide leidmist vägaMugav on arvestada järgmiste punktidega:

1) parabool läheb kindlasti punktist läbi . Tõepoolest, asendades valemis x=0, saame, et . See tähendab, et parabooli ja telje (oy) lõikepunkti ordinaat on . Meie näites (ülal) lõikub parabool ordinaat punktis , kuna .

2) sümmeetriatelg paraboolid on sirgjoon, nii et kõik parabooli punktid on selle suhtes sümmeetrilised. Meie näites võtame kohe punkti (0; -2) ja ehitame selle sümmeetriliseks parabooli sümmeetriatelje suhtes, saame punkti (4; -2), mida parabool läbib.

3) Võrdsustades , saame teada parabooli ja telje (oh) lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandi. Olenevalt diskriminandist saame ühe (, ), kaks ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Eelmises näites ei ole meie diskriminandi juur täisarv, konstrueerimisel ei ole meil eriti mõtet juuri leida, kuid näeme selgelt, et meil on teljega (oh) kaks lõikepunkti. (alates title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Nii et teeme asja selgeks

Algoritm parabooli koostamiseks, kui see on antud kujul

1) määrake okste suund (a>0 – üles, a<0 – вниз)

2) leiame valemi , abil parabooli tipu koordinaadid.

3) leiame parabooli lõikepunkti teljega (oy) kasutades vaba liiget, konstrueerime selle punktiga sümmeetrilise punkti parabooli sümmeetriatelje suhtes (tuleb märkida, et juhtub, et märgistamine on kahjumlik näiteks see punkt, kuna väärtus on suur... jätame selle punkti vahele...)

4) Leitud punktis - parabooli tipus (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) konstrueerime parabooli. If title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Leiame parabooli lõikepunktid teljega (oy) (kui need pole veel “pinnale tulnud”) võrrandi lahendamisega

Näide 1

Näide 2

Märkus 1. Kui parabool on meile algselt antud kujul , kus on mõned arvud (näiteks ), siis on seda veelgi lihtsam konstrueerida, sest meile on juba antud tipu koordinaadid . Miks?

Võtame ruuttrinoomi ja isoleerime selles terve ruudu: Vaata, saime selle , . Sina ja mina nimetasime varem parabooli tipuks, see tähendab nüüd,.

Näiteks, . Märgime tasapinnale parabooli tipu, saame aru, et oksad on suunatud allapoole, parabool on laienenud (suhtes ). See tähendab, et viime läbi punktid 1; 3; 4; 5 parabooli konstrueerimise algoritmist (vt eespool).

Märkus 2. Kui parabool on antud sellele sarnasel kujul (st esitatakse kahe lineaarse teguri korrutisena), siis näeme kohe parabooli ja telje (härg) lõikepunkte. Sel juhul – (0;0) ja (4;0). Ülejäänud osas tegutseme vastavalt algoritmile, avades sulgud.

Sisu:

Parabooli tipp on selle kõrgeim või madalaim punkt. Parabooli tipu leidmiseks võite kasutada spetsiaalset valemit või liitmismeetodit täisruut. Allpool kirjeldatakse, kuidas seda teha.

Sammud

1 Valem tipu leidmiseks

1. 1 Leidke a, b ja c väärtused. Ruutvõrrandis on koefitsient juures x 2 = a, juures x= b, konstant (koefitsient ilma muutujata) = c. Näiteks võtke võrrand: y = x 2 + 9x + 18. Siin a = 1, b= 9 ja c = 18.
2. 2 Valemi abil arvutage tipu x-koordinaadi väärtus. Tipp on ka parabooli sümmeetriapunkt. Valem parabooli x-koordinaadi leidmiseks: x = -b/2a. Arvutamiseks asendage sellesse sobivad väärtused x.
   • x=-b/2a
   • x=-(9)/(2)(1)
   • x=-9/2
3. 3 Asendage leitud x väärtus algsesse võrrandisse, et arvutada y väärtus. Nüüd, kui teate x väärtust, ühendage see lihtsalt algsesse võrrandisse, et leida y. Seega saab parabooli tipu leidmise valemi kirjutada funktsioonina: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. See tähendab, et y leidmiseks peate esmalt leidma valemi abil x ja seejärel asendama x väärtuse algse võrrandiga. Seda tehakse järgmiselt.
   • y = x 2 + 9x + 18
   • y = (-9/2) 2 + 9 (-9/2) +18
   • y = 81/4 -81/2 + 18
   • y = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81–162 + 72)/4
   • y = -9/4
4. 4 Kirjutage x ja y väärtused koordinaatide paarina. Nüüd, kui teate, et x = -9/2 ja y = -9/4, kirjutage need koordinaatidena üles kujul: (-9/2, -9/4). Parabooli tipp asub koordinaatidel (-9/2, -9/4). Kui peate selle parabooli joonistama, siis asub selle tipp alumises punktis, kuna x 2 koefitsient on positiivne.

2 Täiendage täiuslikku ruutu

1. 1 Kirjutage võrrand üles. Täiusliku ruudu lõpetamine on veel üks viis parabooli tipu leidmiseks. Seda meetodit kasutades leiate x- ja y-koordinaadid kohe, ilma et peaksite x-i algsesse võrrandisse asendama. Näiteks võttes arvesse võrrandit: x 2 + 4x + 1 = 0.
2. 2 Jagage iga koefitsient koefitsiendiga x 2 . Meie puhul on x 2 koefitsient 1, seega võime selle sammu vahele jätta. 1-ga jagamine ei muuda midagi.
3. 3 Liigutage konstant võrrandi paremale poole. Konstant on koefitsient ilma muutujata. Siin on see "1". Liigutage 1 paremale, lahutades võrrandi mõlemalt küljelt 1. Seda saab teha järgmiselt.
   • x 2 + 4x + 1 = 0
   • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
   • x 2 + 4x = - 1
4. 4 Täitke võrrandi vasak pool, et muuta see täiuslikuks ruuduks. Selleks leidke lihtsalt (b/2) 2 ja lisage tulemus võrrandi mõlemale poolele. Asendage "4". b, kuna "4x" on meie võrrandi koefitsient b.
   • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Nüüd lisage võrrandi mõlemale poolele 4 ja saate:
     • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
     • x 2 + 4x + 4 = 3
5. 5 Lihtsustame võrrandi vasakut poolt. Näeme, et x 2 + 4x + 4 on täiuslik ruut. Selle saab kirjutada järgmiselt: (x + 2) 2 = 3
6. 6 Kasutage seda x- ja y-koordinaatide leidmiseks. Saate leida x, võrdsustades (x + 2) 2 lihtsalt 0-ga. Nüüd, kui (x + 2) 2 = 0, arvutame x: x = -2. Y-koordinaat on täiusliku ruudu paremal küljel olev konstant. Seega y = 3. Võrrandi parabooli tipp on x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)

• Tuvastage õigesti a, b ja c.
• Salvestage esialgsed arvutused. See ei aita mitte ainult tööprotsessi ajal, vaid võimaldab teil ka näha, kus tehti vigu.
• Ärge rikkuge arvutuste järjekorda.

Hoiatused

• Kontrolli oma vastust!
• Veenduge, et teate, kuidas määrata koefitsiente a, b ja c. Kui te ei tea, on vastus vale.
• Ei – selliste probleemide lahendamine nõuab harjutamist.

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, Berezniki linna MAOU “Lütseum nr 1” matemaatikaõpetaja.

Projekt algebra tund 9. klassis(humanitaarne profiil).

"Kõige sügavama jälje jätab see, mille inimene ise avastas." (D. Poya.)

Tunni teema:"Parabooli tipu koordinaatide arvutamise valemite tuletamine."

Tunni eesmärgid: hariv :

Oodatud Tulemus:

- probleemi teadvustamine, aktsepteerimine ja lahendamine õpilaste poolt;

Uute teadmiste hankimise viiside kujundamine faktide võrdlemise ja kõrvutamise kaudu, meetod konkreetsest üldiseni;

Õppige valemeid parabooli tipu ja sümmeetriatelje koordinaatide leidmiseks funktsioonidele kujul y = ax 2 +bx+c.

Tunni tüüp:õppeülesande püstitamise tund. Õppemeetodid– visuaalne ja illustreeriv, verbaalne, koostööpõhine õpe, probleemipõhine, tehnoloogia elemendid kriitiline mõtlemine.

Varustus: arvuti, multimeediaprojektor, näidisekraan, esitlusslaidid teemal: “Parabooli tipu koordinaatide leidmise valem”; A3 lehed; värvilised markerid.

Tehnoloogia- süsteem-aktiivsus lähenemine.

Õppetunni sammud:

Psühholoogiline meeleolu (motivatsioon).

Värskenda taustateadmine(eduolukorra loomine).

Probleemi sõnastamine.

Tunni teema ja eesmärgi sõnastamine.

Probleemi lahendus.

Probleemi lahendamise edenemise analüüs.

Probleemide lahendamise tulemuste rakendamine järgnevates tegevustes.

Tunni kokkuvõtte tegemine (kokkuvõte läbi õpilase “silmade”, kokkuvõte läbi õpetaja “silmade”).

Kodutöö.

Tundide ajal:

Psühholoogiline meeleolu.

Ülesanne: Õpib lahendama levinud probleemi ja töötama meeskonnas (töö 5-liikmelistes rühmades).

Poisid, viimase nelja õppetunni jooksul oleme uurinud ruutfunktsiooni, kuid meie teadmised pole veel täiesti täielikud, seega jätkame ruutfunktsiooni uurimist, et selle funktsiooni kohta midagi uut teada saada.

Õpilaste motiveerimine tunni teemat ja eesmärki iseseisvalt seadma.

Tabel täidetakse tunni edenedes.

Õpilaste põhiteadmiste ja -oskuste värskendamine.Soojendama. 1. Asetage kõrgeim koefitsient sulgudest välja: 5x 2 + 25x -5; ax 2 + bx + c. 2. Vali topelttoode: ab; kirves; b/a. 3. Ruut: b/2; c2/a; 2a/3b. 4.Esita algebralise summana: a – c; x – (- b/2a).

Selgitage, kuidas, teades funktsiooni graafiku tüüpiy =ƒ( x ) , koostage funktsioonide graafikud:

A ) y =ƒ(x - a) , - paralleeltõlke kasutamine ühiku võrra piki telge paremale X;

b) y =ƒ(x) + b, - paralleeltõlke b ühikute kasutamine piki telge üles y;

V) y =ƒ(x- a) +b, ↔ sees Aühikut, ↕ poolt bühikud;

d) Funktsiooni graafiku koostamine y = (x - 2) 2 + 3 ? Mis on tema ajakava?

Nimetage parabooli tipp.
Graafik on parabool y = x 2 tipuga punktis (2; 3 ).

Andke parabooli tipu koordinaadid: y=x - 4x + 5 ( probleem). Miks on võimatu funktsiooni tüübi järgi määrata parabooli tipu koordinaate?(ruutfunktsioonil on erinev vorm).

Õpilaste tegevused:

Ehitage kõnestruktuure, kasutades funktsionaalset terminoloogiat.

Vastuste arutelu. Nad võrdlevad, võrdlevad varem uuritud funktsioonidega, valivad ja kirjutavad tahvlile teadmised ja oskused, mida neil võib vaja minna veerus “MA TEAN” oleva probleemi lahendamiseks:

2.

3.

4.

Veerus "Ma tahan teada": tipp, parabooli sümmeetriatelg
.

Õpilased saavad kirjutada funktsioone veergudesse "MA TEAN" ja "TAHAN TEADA" nagu üldine vaade ja erijuhtudel. Haridusülesande väide: leidke parabooli tipu koordinaadid, kui ruutfunktsioon on antud üldkujul y = kirves + bx + c. Õpilased sõnastavad ja panevad vihikusse kirja tunni teema ja eesmärgi.(Parabooli tipu koordinaatide arvutamise valemid. Õppige leidma parabooli tipu koordinaate uudsel viisil - valemite abil).

Probleemi lahendus.

Õpilaste tegevused: Võrreldes "vanu" teadmisi uute teadmistega, palutakse õpilastel esile tuua terviklik ruut. Peal konkreetsed näited
;
ja saada vastavalt
;
. Leia tipu koordinaadid ja sümmeetriatelje võrrand Nad saavad aru, et on ülesandega hakkama saanud, sest tõi uue funktsiooni tuttavale kujule.

Õpilased määravad funktsiooni jaoks välja terve ruudu.
; , võrrelge saadud tulemust, tehke selle funktsiooni põhjal järeldus. Leia tipu ja sümmeetriatelje koordinaadid.

Kas oskate nimetada parabooli tippu ja telge, kui funktsioon on antud üldkujul
tervet ruutu esile tõstmata? Kuidas te sel juhul käitute? Ja kuidas rakendada oma varasemat kogemust parabooli tipu ja telje leidmisel?

Õpilaste tegevused:

Olemasolevatele teadmistele ja kogemustele tuginedes hakkavad õpilased mõistma, et neil on vaja minna kaugemale, konkreetselt üldisele, ja teostada tõestusi üldises vormis.

Ilmuvad uued raskused. Lahendus ilmub rühmadesse: . Probleemi lahendamise edenemise analüüs. Igast rühmast kuulatakse ära üks esindaja.

Võrrelge ja analüüsige kirjeid
Ja
, pannakse vihikusse üles püstitatud ülesande üks üldine lahendus - valemid parabooli tipu koordinaatide jaoks
.

Õpilased järeldavad: funktsiooni parabooli tipu ja telje koordinaadid
võib leida ratsionaalsel viisil.

Probleemi lahendamise tulemuste rakendamine järgnevates tegevustes.

Õpilaste tegevused:

Ülesannete lahendamine õpikust nr 121; 123. Leia parabooli tipu koordinaadid uuel ratsionaalsel viisil. Kirjutage üles sirge võrrand, mis on parabooli sümmeetriatelg.

Kokkuvõte (peegeldus) haridustegevus tunnis).

Pöördume tagasi tabeli juurde ja täitke veerg “ÕPITUD”.

Tunni kokkuvõte õpilaste pilgu läbi:

Tulemus “õpetaja pilgu läbi”:

Tunni eesmärk on täidetud.

Õpilased said probleemist aru, aktsepteerisid ja lahendasid.

Haridusprobleemi lahendamise käigus omandasid õpilased mitte ainult uusi teadmisi: ruuttrinoomi kordajate ja parabooli tipu koordinaatide sõltuvust, sümmeetriatelje võrrandit, vaid ka kõige olulisemat. õppetund on üldistatud viiside kujundamine uute teadmiste omandamiseks, probleemi iseseisvaks analüüsiks ja tundmatu leidmiseks.

Kodutöö: punkt 7 nr 122;127(b);128.

P.S. Esitletud tund toimus 15. oktoobril 2014 matemaatikaõpetajate linnaseminari raames teemal “UDL-i kujunemine matemaatikatundides”.

Etapil “Tulemuste rakendamine...” õpikust ülesandeid lahendades hakkasid mõned õpilased mõistma oma “avastuse” väärtust: more lihtne viis tipu koordinaatide ja sümmeetriatelje võrrandi leidmine, samas kui teised ei varjanud oma rõõmu, sest polnud vaja “kannatada” tervikliku ruudu eraldamisega. Aga kõige tähtsam on see, et me tegime kõik ise!

Parabool on üks teist järku kõveratest; selle punktid on koostatud ruutvõrrandi järgi. Peamine asi selle kõvera koostamisel on leida üleval paraboolid. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhised

Tipu koordinaatide leidmiseks paraboolid, kasutage järgmist valemit: x=-b/2a, kus a on x-i koefitsient ja b on x-i koefitsient. Ühendage oma väärtused ja arvutage selle väärtus. Seejärel asendage saadud väärtus võrrandiga x ja arvutage tipu ordinaat. Näiteks kui teile antakse võrrand y=2x^2-4x+5, siis leidke abstsiss järgmisel viisil: x=-(-4)/2*2=1. Asendades võrrandis x=1, arvutage tipu y-väärtus paraboolid: y=2*1^2-4*1+5=3. Nii et tipp paraboolid on koordinaadid (1-3).

Ordinaadi väärtus paraboolid võib leida ilma abstsissteljet eelnevalt arvutamata. Selleks kasutage valemit y=-b^2/4ac+c.

Kui olete tuletise mõistega tuttav, leidke üleval paraboolid kasutades tuletisi, kasutades ära mis tahes funktsiooni järgmist omadust: funktsiooni esimene tuletis, mis on võrdne nulliga, näitab äärmuspunkte. Alates tipust paraboolid, olenemata sellest, kas selle harud on suunatud üles või alla, on äärmuspunkt, arvutage oma funktsiooni tuletis. Üldiselt näeb see välja f(x)=2ax+b. Võrdsusta see nulliga ja saad tipu koordinaadid paraboolid, mis vastab teie funktsioonile.

Proovige leida üleval paraboolid, kasutades ära selle omadusi, näiteks sümmeetriat. Selleks leidke ristumispunktid paraboolid x-teljega, võrdsustades funktsiooni nulliga (asendades y = 0). Olles otsustanud ruutvõrrand, leiad x1 ja x2. Kuna parabool on läbiva otsejoone suhtes sümmeetriline üleval, on need punktid tipu abstsissist võrdsel kaugusel. Selle leidmiseks jagage punktide vaheline kaugus pooleks: x=(Ix1-x2I)/2.

Kui mõni koefitsientidest võrdne nulliga(välja arvatud a), arvuta tipu koordinaadid paraboolid kasutades lihtsustatud valemeid. Näiteks kui b=0, st võrrandi kuju on y=ax^2+c, siis asub tipp oy-teljel ja selle koordinaadid on võrdsed (0-c). Kui mitte ainult koefitsient b=0, vaid ka c=0, siis tipp paraboolid asub lähtepunktis (0-0).

Ruutfunktsiooni graafikut nimetatakse parabooliks. Sellel liinil on märkimisväärne füüsiline tähtsus. Mõned liiguvad mööda paraboole taevakehad. Paraboolikujuline antenn fokusseerib parabooli sümmeetriateljega paralleelselt kulgevad kiired. Nurga all üles paiskunud kehad jõuavad ülemisse punkti ja kukuvad alla, kirjeldades ka parabooli. Ilmselt on alati kasulik teada selle liikumise tipu koordinaate.

Juhised

1. Ruutfunktsioonüldkujul kirjutatakse see võrrandiga: y = ax? + bx + c. Selle võrrandi graafik on parabool, mille harud on suunatud üles (kui a > 0) või alla (a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Inimesed, kes tunnevad tuletisesitlust, saavad hõlpsasti märgata parabooli tipu. Olenemata parabooli okste asukohast on selle tipp äärmuspunkt (minimaalne, kui oksad on suunatud üles, või maksimaalne, kui oksad on suunatud alla). Mis tahes funktsiooni oletatavate ekstreemumipunktide leidmiseks peate arvutama selle esimese tuletise ja võrdsustama selle nulliga. Üldjuhul on ruutfunktsiooni tuletis võrdne f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Võrdledes nulliga, saate 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. Parabool on sümmeetriline joon. Sümmeetriatelg läbib parabooli tippu. Teades parabooli lõikepunkte X-koordinaatide teljega, saate hõlpsalt leida tipu x0 abstsissi. Olgu x1 ja x2 parabooli juured (nn parabooli lõikepunktid abstsissteljega, sest need väärtused muudavad ruutvõrrandi ax? + bx + c nulliks). Samal ajal olgu |x2| > |x1|, siis asub parabooli tipp nende vahel keskel ja on leitav edasisest avaldisest: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Parabool on ruutfunktsiooni graafik, üldiselt kirjutatakse parabooli võrrand y=aх^2+bх+с, kus a?0. See on universaalne teist järku kõver, mis kirjeldab paljusid nähtusi elus, näiteks visatud ja seejärel langeva keha liikumist, vikerkaare kuju ja seega ka teadmisi selle tuvastamiseks. parabool See võib päriselus kasuks tulla.

Sa vajad

• – ruutvõrrandi valem;
• – koordinaatide ruudustikuga paberileht;
• - pliiats, kustutuskumm;
• – arvuti ja Exceli programm.

Juhised

1. Kõigepealt leidke parabooli tipp. Selle punkti abstsissi leidmiseks võtke astendaja enne x, jagage see kahekordse astendajaga enne x^2 ja korrutage -1-ga (valem x=-b/2a). Leidke ordinaat, asendades saadud väärtuse võrrandis või kasutades valemit y=(b^2-4ac)/4a. Olete saanud parabooli tipupunkti koordinaadid.

2. Parabooli tipu saab tuvastada ka mõne muu meetodi abil. Kuna tipp on funktsiooni ekstreemum, siis selle arvutamiseks arvutage esimene tuletis ja võrdsustage see nulliga. Üldkujul saate valemi f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Ja võrdsustades selle nulliga, jõuate samale valemile - x = -b/2a.

3. Uurige, kas parabooli oksad on suunatud üles või alla. Selleks vaadake indikaatorit x^2 ees, see tähendab a. Kui a>0, siis on oksad suunatud ülespoole, kui a

4. Koostage parabooli sümmeetriatelg, mis lõikub parabooli tipuga ja on paralleelne y-teljega. Kõik parabooli punktid on sellest võrdsel kaugusel, seetõttu on võimalik konstrueerida ainult üks osa ja seejärel kuvada seda sümmeetriliselt parabooli telje suhtes.

5. Joonistage parabooli joon. Selleks leidke asendades mitu punkti erinevaid tähendusi x võrranditesse ja võrduse lahendamine. Mugav on tuvastada telgedega ristumiskohta, selleks asenda x=0 ja y=0 võrdusesse. Pärast ühe külje tõstmist peegeldage seda sümmeetriliselt telje ümber.

6. Lubatud ehitada parabool kasutades Excelit. Selleks ava uus dokument ja vali selles kaks veergu, x ja y=f(x). Esimeses veerus kirjutage valitud segmendi x väärtused ja teises veerus kirjutage üles valem, näiteks =2B3*B3-4B3+1 või =2B3^2-4B3+1. Et seda valemit iga kord mitte kirjutada, “venitage” see iga veeru külge, klõpsates paremas alanurgas väikesel ristil ja lohistades seda alla.

7. Kui tabel on käes, klõpsake menüüd "Sisesta" - "Chart". Valige hajuvusdiagramm, klõpsake nuppu Edasi. Ilmuvas aknas lisage rida, klõpsates nuppu "Lisa". Vajalike lahtrite valimiseks klõpsake ükshaaval allpool punase ovaalse ringiga nuppudel, seejärel valige väärtustega veerud. Klõpsates nuppu "Valmis", hinda tulemust – valmis parabool .

Video teemal

Kui otsite ruutfunktsiooni, mille graafik on parabool, peate ühest punktist leidma koordinaadid tipud paraboolid. Kuidas seda analüütiliselt teha, kasutades parabooli jaoks antud võrrandit?

Juhised

1. Ruutfunktsioon on funktsioon kujul y=ax^2+bx+c, kus a on juhtiv astendaja (peab rangelt olema nullist erinev), b on madalaim astendaja, c on vaba liige. See funktsioon annab oma graafikule parabooli, mille harud on suunatud kas üles (kui a>0) või alla (kui a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Leiame koordinaadi x0 tipud paraboolid. See leitakse valemiga 0=-b/a.

3. y0=y(x0).Koordinaadi y0 tuvastamiseks tipud paraboolid, peate funktsiooni x asemel asendama tuvastatud väärtuse x0. Arvutage, millega y0 on võrdne.

4. Koordinaadid tipud paraboolid on avastatud. Kirjutage need üles ühe punkti koordinaatidena (x0,y0).

5. Parabooli konstrueerimisel pidage meeles, et see on sümmeetriline parabooli sümmeetriatelje suhtes, mis läbib vertikaalselt parabooli tippu, sest ruutfunktsioon on paaris. Järelikult piisab, kui konstrueerida punktidest ainult üks parabooli haru ja täita teine ​​sümmeetriliselt.

Video teemal

Funktsioonide (õigemini nende graafikute) puhul kasutatakse suurima väärtuse esitust, sealhulgas kohalikku maksimumi. "Tipu" idee on tõenäolisemalt seotud geomeetriliste kujunditega. Siledate funktsioonide maksimumpunkte (millel on tuletis) on lihtne määrata esimese tuletise nullide abil.

Juhised

1. Punktides, kus funktsioon ei ole diferentseeruv, vaid konstantne, võib intervalli suurim väärtus olla tipu kujul (näiteks y=-|x|). Sellistes graafiku punktides funktsioonid on võimalik joonestada nii palju puutujaid kui soovitakse ja tuletist ei ole selle jaoks lihtsalt olemas. saami funktsioonid seda tüüpi on tavaliselt segmentidel täpsustatud. Punktid, kus tuletis funktsioonid võrdne nulliga või seda pole olemas, nimetatakse skeptiliseks.

2. Selgub, et maksimaalsete punktide leidmiseks funktsioonid y=f(x) on vaja: - tuvastada skeptilised punktid; - maksimaalse punkti eelistamiseks on vaja tuvastada tuletise märk skeptilise punkti läheduses. Kui punktist möödumisel vaheldub märk “+”-st “-”, siis tekib maksimum.

3. Näide. Leia suurimad väärtused funktsioonid(vt joonis 1).y=x+3 x?-1 ja y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1 puhul.

4. Rheaning. y=x+3 x?-1 ja y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1 puhul. Funktsioon määratakse segmentidele meelega, sest sel juhul on eesmärk kuvada kõike ühes näites. On lihtne kontrollida, et x=-1 korral jääb funktsioon konstantseks. y'=1 x?-1 ja y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) x>-1 korral. y'=0, kui x=8/27. y' ei eksisteeri x=-1 ja x= korral 0. Sel juhul y'>0, kui x

Video teemal

Parabool on üks teist järku kõveratest, selle punktid tõstetakse ruutvõrrandi järgi. Selle kaldu ehitamisel on peamine asi tuvastada üleval paraboolid. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhised

1. Et leida tipu koordinaadid paraboolid, kasutage järgmist valemit: x = -b/2a, kus a on näitaja enne x ruudus ja b on näitaja enne x. Ühendage oma väärtused ja arvutage selle väärtus. Pärast seda asendage saadud väärtus võrrandis x-ga ja arvutage tipu ordinaat. Oletame, et kui teile on antud võrrand y=2x^2-4x+5, siis leidke abstsiss järgmiselt: x=-(-4)/2*2=1. Asendades võrrandis x=1, arvutage tipu y-väärtus paraboolid: y=2*1^2-4*1+5=3. Nii et tipp paraboolid on koordinaadid (1;3).

2. Ordinaadi väärtus paraboolid saab tuvastada ilma abstsissi eelnevalt arvutamata. Selleks kasutage valemit y=-b^2/4ac+c.

3. Kui olete tuletisesitlusega tuttav, avastage üleval paraboolid kasutades tuletisi, kasutades ära iga funktsiooni edasist omadust: funktsiooni esimene tuletis, mis on võrdne nulliga, näitab äärmuspunkte. Sest tipp paraboolid, olenemata sellest, kas selle harud on suunatud üles või alla, on äärmuspunkt, arvutage oma funktsiooni tuletis. Üldjuhul näeb see välja f(x)=2ax+b. Võrdsusta see nulliga ja saad tipu koordinaadid paraboolid, mis vastab teie funktsioonile.

4. Proovige avastada üleval paraboolid, kasutades ära selle omadusi, näiteks sümmeetriat. Selleks leidke ristumispunktid paraboolid x-teljega, võrdsustades funktsiooni nulliga (asendades y = 0). Kui lahendate ruutvõrrandi, leiate x1 ja x2. Kuna parabool on sümmeetriline läbiva otsejoone suhtes üleval, on need punktid tipu abstsissist võrdsel kaugusel. Selle tuvastamiseks jagame punktide vahelise kauguse pooleks: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Kui mõni eksponent on null (peale a), arvutage tipu koordinaadid paraboolid kasutades lihtsustatud valemeid. Oletame, et kui b = 0, see tähendab, et võrrand on kujul y = ax^2 + c, siis asub tipp oy-teljel ja selle koordinaadid on võrdsed (0; c). Kui mitte ainult astendaja b=0, vaid ka c=0, siis tipp paraboolid asub lähtepunktis (0;0).

Video teemal

Alates ühest punktist moodustavad sirged nurga, kus nende ühiseks punktiks on tipp. Teoreetilise algebra osas on sageli probleeme, kui on vaja leida selle koordinaadid tipud, et seejärel määrata tippu läbiva sirge võrrand.

Juhised

1. Enne koordinaatide leidmise protsessi alustamist tipud, otsustage algandmete üle. Nõustu, et soovitud tipp kuulub kolmnurgale ABC, milles on teada ülejäänud 2 tipu koordinaadid, samuti arvväärtusi nurgad, võrdne "e" ja "k" küljel AB.

2. Kombineeri uus süsteem koordinaadid kolmnurga AB ühel küljel selliselt, et koordinaatide süsteemi eessõna langeb kokku punktiga A, mille koordinaadid on teile teada. Teine tipp B asub OX-teljel ja ka selle koordinaadid on teile teada. Määrake koordinaatide järgi külje AB pikkus piki OX-telge ja võtke see võrdseks "m".

3. Langetage risti võõrast tipud C vastavalt OX-teljele ja kolmnurga AB küljele. Saadud kõrgus "y" määrab ühe koordinaadi väärtuse tipud C mööda OY telge. Oletame, et kõrgus "y" jagab külje AB kaheks segmendiks, mis on võrdsed "x" ja "m - x".

4. Sest sa tead kõige tähendust nurgad kolmnurk, mis tähendab, et ka nende puutujate väärtused on teada. Võtke puutuja väärtused nurgad, mis külgneb kolmnurga AB küljega, võrdub tan(e) ja tan(k).

5. Sisestage võrrandid kahele sirgele, mis kulgevad vastavalt mööda külgi AC ja BC: y = tan(e) * x ja y = tan(k) * (m – x). Seejärel leidke nende sirgete lõikepunkt, rakendades teisendatud sirge võrrandeid: tan(e) = y/x ja tan(k) = y/(m – x).

6. Kui eeldate, et tan(e)/tan(k) võrdub (y/x) /(y/ (m – x)) või lühendate hiljem „y” – (m – x) / x, saate tulemuseks soovitud väärtuste koordinaadid, mis on võrdsed x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​ja y = x * tan(e).

7. Asendusväärtused nurgad(e) ja (k), samuti külje AB = m tuvastatud väärtus võrranditesse x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​ja y = x * tan(e) ).

8. Teisendage uus koordinaatsüsteem esialgseks koordinaatsüsteemiks, kuna nende vahel on loodud üks-ühele vastavus, ja saate soovitud koordinaadid tipud kolmnurk ABC.

Video teemal

Video teemal