Trigonomeetriliste funktsioonide märgid. Trigonomeetriline ring

Tunni tüüp: teadmiste süstematiseerimine ja vahekontroll.

Varustus: trigonomeetriline ring, testid, ülesannete kaardid.

Tunni eesmärgid: süstematiseerima uuritud teoreetilist materjali nurga siinuse, koosinuse, puutuja definitsioonide järgi; kontrollida selleteemaliste teadmiste omandamise astet ja praktikas rakendamist.

Ülesanded:

• Üldistada ja kinnistada mõisteid siinus, koosinus ja nurga puutuja.
• Moodustage igakülgne arusaam trigonomeetrilistest funktsioonidest.
• Edendada õpilaste soovi ja vajadust õppida trigonomeetrilist materjali; kasvatada suhtluskultuuri, grupitöö oskust ja eneseharimise vajadust.

"Kes noorest peale teeb ja mõtleb,
Siis muutub see usaldusväärsemaks, tugevamaks, targemaks.

(V. Šukshin)

TUNNIDE AJAL

I. Organisatsioonimoment

Klass on esindatud kolme rühmaga. Igal rühmal on konsultant.
Õpetaja teatab tunni teema, eesmärgid ja ülesanded.

II. Teadmiste täiendamine (eesmine töö klassiga)

1) Töötage rühmades ülesannetega:

1. Sõnasta patunurga definitsioon.

– Millised märgid on sin α igas koordinaatkvadrandis?
– Millistel väärtustel on avaldisel sin α mõtet ja milliseid väärtusi see võib võtta?

2. Teine rühm on samad küsimused cos α jaoks.

3. Kolmas rühm koostab vastused samadele küsimustele tg α ja ctg α.

Sel ajal töötab tahvli juures iseseisvalt kolm õpilast kaartide abil (erinevate rühmade esindajad).

Kaart nr 1.

Praktiline töö.
Arvutage ühikuringi abil sin α, cos α ja tan α väärtused nurkade 50, 210 ja – 210 korral.

Kaart nr 2.

Määrake avaldise märk: tg 275; cos 370; patt 790; tg 4.1 ja sin 2.

Kaardi number 3.

1) Arvutage:
2) Võrdle: cos 60 ja cos 2 30 – sin 2 30

2) suuliselt:

a) Pakutakse välja arvude jada: 1; 1,2; 3; , 0, , – 1. Nende hulgas on üleliigseid. Millist sin α või cos α omadust võivad need arvud väljendada (Kas sin α või cos α saab neid väärtusi võtta).
b) Kas väljendil on mõtet: cos (–); patt 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Miks?
c) Kas on väikseim ja kõrgeim väärtus sin või cos, tg, ctg.
d) Kas see on tõsi?
1) α = 1000 on teise kvartali nurk;
2) α = – 330 on IV veerandi nurk.
e) Arvud vastavad ühikringi samale punktile.

3) Töö juhatuses

Nr 567 (2; 4) – Leia avaldise väärtus
Nr 583 (1-3) Määra avaldise märk

Kodutöö: tabel märkmikus. nr 567(1, 3) nr 578

III. Lisateadmiste omandamine. Trigonomeetria teie peopesal

Õpetaja: Selgub, et nurkade siinuste ja koosinuste väärtused "asuvad" teie peopesal. Sirutage oma käsi (kumbki käsi) välja ja sirutage sõrmed üksteisest nii kaugele kui võimalik (nagu plakatil). Kutsutud on üks õpilane. Mõõdame sõrmede vahelisi nurki.
Võtke kolmnurk, kus on nurk 30, 45 ja 60 90, ja rakendage nurga tipp peopesal oleva Kuu künka külge. Kuu mägi asub väikese sõrme pikenduste ristumiskohas ja pöial. Kombineerime ühe külje väikese sõrmega ja teise külje ühe teise sõrmega.
Selgub, et väikese sõrme ja pöidla vahel on nurk 90, väikese ja sõrmusesõrme vahel 30, väikese ja keskmise sõrme vahel 45 ning väikese ja nimetissõrme vahel 60. Ja see kehtib kõigi inimeste kohta. erandita.

väike sõrm nr 0 – vastab 0-le,
nimeta nr 1 – vastab 30-le,
keskmine nr 2 – vastab 45-le,
indeks number 3 – vastab 60-le,
suur nr 4 – vastab 90-le.

Seega on meil käel 4 sõrme ja me mäletame valemit:

See on lihtsalt mnemooniline reegel. Üldiselt tuleb sin α või cos α väärtust peast teada, kuid mõnikord aitab see reegel rasketel aegadel.
Mõelge välja cos-i reegel (nurgad ei muutu, vaid neid loetakse pöidlast). Füüsiline paus, mis on seotud märkidega sin α või cos α.

IV. Oma teadmiste ja oskuste kontrollimine

Iseseisev töö tagasisidega

Iga õpilane saab testi (4 võimalust) ja vastusteleht on kõigile sama.

Test

valik 1

1) Millise pöördenurga all võtab raadius sama positsiooni kui 50-kraadise nurga all pöörates?
2) Leidke avaldise väärtus: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Milline number vähem kui null: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

2. võimalus

1) Millise pöördenurga all võtab raadius sama positsiooni kui 10 nurga võrra pöörates.
2) Leidke avaldise väärtus: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Milline arv on suurem kui null: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

3. võimalus

1) Leidke avaldise väärtus: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Milline arv on väiksem kui null: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Milline veerandnurk on nurk α, kui sin α > 0, cos α< 0.

4. võimalus

1) Leidke avaldise väärtus: tg 60 – 6ctg 90.
2) Milline arv on väiksem kui null: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Millise kvadrandi nurk on nurk α, kui ctg α< 0, cos α> 0.

(märksõna on trigonomeetria)

V. Teave trigonomeetria ajaloost

Õpetaja: Trigonomeetria on inimelu jaoks üsna oluline matemaatika haru. Moodne välimus trigonomeetria võttis kasutusele 18. sajandi suurim matemaatik Leonhard Euler – sünnilt šveitslane pikki aastaid töötas Venemaal ja oli Peterburi Teaduste Akadeemia liige. Ta tutvustas tuntud trigonomeetriliste funktsioonide definitsioone, sõnastas ja tõestas tuntud valemeid, neid õpime hiljem. Euleri elu on väga huvitav ja soovitan sellega tutvuda Yakovlevi raamatu “Leonard Euler” kaudu.

(Sõnum poistelt sellel teemal)

VI. Õppetunni kokkuvõte

Mäng "Tic Tac Toe"

Osalevad kaks kõige aktiivsemat õpilast. Neid toetavad rühmad. Ülesannete lahendused pannakse vihikusse kirja.

Ülesanded

1) Leidke viga

a) sin 225 = – 1,1 c) patt 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Väljendage nurka kraadides
3) Avaldage nurk 300 radiaanides
4) Mis on suurim ja väikseim väärtus võib olla avaldis: 1+ sin α;
5) Määrake avaldise märk: sin 260, cos 300.
6) Millises arvuringi veerandis punkt asub?
7) Määrake avaldise märgid: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Arvutage:
9) Võrdle: patt 2 ja patt 350

VII. Tunni refleksioon

Õpetaja: Kus me saame kohtuda trigonomeetriaga?
Millistes tundides 9. klassis ja isegi praegu kasutate mõisteid sin α, cos α; tg a; ctg α ja mis eesmärgil?

Nurkade loendamine trigonomeetrilisel ringil.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga..."

See on peaaegu sama, mis eelmises õppetükis. Seal on teljed, ring, nurk, kõik on korras. Lisatud veerandnumbrid (suure ruudu nurkades) - esimesest neljandani. Mis siis, kui keegi ei tea? Nagu näete, kvartalid (neid nimetatakse ka ilus sõna"kvadrandid") on nummerdatud vastupäeva. Lisatud nurkade väärtused telgedele. Kõik on selge, probleeme pole.

Ja lisatakse roheline nool. Plussiga. Mida see tähendab? Lubage mul teile meelde tuletada, et nurga fikseeritud külg Alati naelutatud positiivse pooltelje OX külge. Niisiis, kui me pöörame nurga liikuvat külge mööda noolt plussmärgiga, st. kvartalinumbrite kasvavas järjekorras, nurk loetakse positiivseks. Näiteks pildil on näha positiivne nurk+60°.

Kui paneme nurgad kõrvale vastupidises suunas, päripäeva, nurka loetakse negatiivseks. Hõljutage kursorit pildi kohal (või puudutage pilti oma tahvelarvutis), näete sinist miinusmärgiga noolt. See on negatiivse nurga lugemise suund. Näiteks kuvatakse negatiivne nurk (- 60°). Ja näete ka, kuidas telgede numbrid on muutunud... Teisendasin need ka negatiivseteks nurkadeks. Kvadrantide numeratsioon ei muutu.

Siit algavad tavaliselt esimesed arusaamatused. Kuidas nii!? Mis siis, kui ringjoone negatiivne nurk langeb kokku positiivsega!? Ja üleüldse selgub, et sama liikuva külje (või punkti numbriringil) asendit võib nimetada nii negatiivseks nurgaks kui ka positiivseks!?

Jah. Täpselt nii. Oletame, et 90-kraadine positiivne nurk võtab ringi täpselt sama positsiooni negatiivse nurgana miinus 270 kraadi. Positiivne nurk on näiteks +110° kraadi täpselt sama positsioon negatiivse nurgana -250°.

Pole probleemi. Kõik on õige.) Positiivse või negatiivse nurga arvutamise valik sõltub ülesande tingimustest. Kui tingimus ei ütle midagi selges tekstis nurga märgi kohta (näiteks "määrake väikseim positiivne nurk" jne), siis töötame väärtustega, mis on meile mugavad.

Erandiks (kuidas me saaksime ilma nendeta elada?!) on trigonomeetrilised ebavõrdsused, kuid seal saame selle triki selgeks.

Ja nüüd küsimus teile. Kust ma teadsin, et 110° nurga asend on sama, mis -250° nurga asend?
Lubage mul vihjata, et see on seotud täieliku revolutsiooniga. 360°... Kas pole selge? Seejärel joonistame ringi. Joonistame selle ise, paberile. Nurga märgistamine umbes 110°. JA me arvame, kui palju aega on jäänud täispöördeni. Ainult 250° jääb alles...

Sain aru? Ja nüüd - tähelepanu! Kui nurgad 110° ja -250° hõivavad ringi sama olukord, mis siis? Jah, nurgad on 110° ja -250° täpselt sama siinus, koosinus, puutuja ja kotangens!
Need. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) ja nii edasi. Nüüd on see tõesti oluline! Ja iseenesest on palju ülesandeid, mille puhul on vaja avaldisi lihtsustada ning mille aluseks on edaspidine redutseerimisvalemite ja muude trigonomeetria keerukuse valdamine.

Muidugi võtsin 110° ja -250° suvaliselt, puhtalt näitena. Kõik need võrdsused töötavad kõigi nurkade puhul, mis asuvad ringil sama positsiooniga. 60° ja -300°, -75° ja 285° jne. Lubage mul kohe märkida, et nende paaride nurgad on erinev. Kuid neil on trigonomeetrilised funktsioonid - sama.

Ma arvan, et saate aru, mis on negatiivsed nurgad. See on üsna lihtne. Vastupäeva - positiivne loendamine. Teel – negatiivne. Kaaluge nurka positiivseks või negatiivseks oleneb meist endist. Meie soovist. No ja muidugi ka ülesandest... Loodan, et saate aru, kuidas trigonomeetrilistes funktsioonides liikuda negatiivsetest nurkadest positiivsetele ja tagasi. Joonistage ring, ligikaudne nurk ja vaadake, kui palju on puudu täispöörde sooritamiseks, s.t. kuni 360°.

Nurgad üle 360°.

Käsitleme nurki, mis on suuremad kui 360°. Kas selliseid asju on? Neid on muidugi. Kuidas neid ringile joonistada? Pole probleemi! Oletame, et peame aru saama, millisesse veerandisse 1000° nurk langeb? Lihtsalt! Teeme ühe täispöörde vastupäeva (meile antud nurk on positiivne!). Kerisime 360° tagasi. Noh, lähme edasi! Veel üks pööre – see on juba 720°. Kui palju jääb? 280°. Täispöördeks ei piisa... Aga nurk on üle 270° – ja see on piir kolmanda ja neljanda veerandi vahel. Seetõttu langeb meie 1000° nurk neljandasse kvartalisse. Kõik.

Nagu näete, on see üsna lihtne. Tuletan teile veel kord meelde, et nurk 1000° ja nurk 280°, mille saime "lisa" täispöörete kõrvalejätmisega, on rangelt võttes erinev nurgad. Kuid nende nurkade trigonomeetrilised funktsioonid täpselt sama! Need. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° jne. Kui ma oleksin siinus, siis ma ei märkaks nende kahe nurga erinevust...

Miks seda kõike vaja on? Miks me peame nurgad ühelt teisele teisendama? Jah, kõik sama asja nimel.) Väljendite lihtsustamiseks. Avaldiste lihtsustamine on tegelikult koolimatemaatika põhiülesanne. Noh, ja tee peal on pea treenitud.)

Noh, harjutame?)

Vastame küsimustele. Esmalt lihtsad.

1. Millisesse veerandisse langeb -325° nurk?

2. Millisesse veerandisse langeb 3000° nurk?

3. Millisesse veerandisse langeb nurk -3000°?

Kas on probleem? Või ebakindlus? Minge jaotisse 555, Trigonomeetrilise ringi harjutamine. Seal, selle väga esimeses õppetunnis Praktiline töö..." kõik üksikasjalikult... Sisse selline ebakindluse küsimused ei peaks!

4. Mis märk on sin555°?

5. Mis märk on tg555°-l?

Kas olete otsustanud? Suurepärane! Kas teil on kahtlusi? Peate minema jaotisse 555... Muide, seal õpite joonistama trigonomeetrilisele ringile puutujat ja kotangenti. Väga kasulik asi.

Ja nüüd on küsimused keerukamad.

6. Taanda avaldis sin777° väikseima positiivse nurga siinuseni.

7. Taanda avaldis cos777° suurima negatiivse nurga koosinuseni.

8. Vähendage avaldis cos(-777°) väikseima positiivse nurga koosinuseni.

9. Taanda avaldis sin777° suurima negatiivse nurga siinuseni.

Mis, küsimused 6-9 tekitasid teile hämmingut? Harjuge sellega, ühtsel riigieksamil te selliseid sõnastusi ei leia... Olgu nii, ma tõlgin selle. Ainult sinu jaoks!

Sõnad "too väljenduse..." tähendavad väljendi teisendamist nii, et selle tähendus muutuks pole muutunud A välimus muudetud vastavalt ülesandele. Seega peame ülesannetes 6 ja 9 saama siinuse, mille sees on väikseim positiivne nurk. Kõik muu ei oma tähtsust.

Vastused annan välja järjekorras (rikkudes meie reegleid). Aga mis teha, on ainult kaks märki ja on ainult neli neljandikku... Te ei ole valikuga ära hellitatud.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Eeldan, et vastused küsimustele 6-9 ajasid mõne inimese segadusse. Eriti -sin (-57°), kas tõesti?) Tõepoolest, nurkade arvutamise elementaarreeglites on ruumi vigadele... Sellepärast pidin tegema õppetunni: "Kuidas määrata funktsioonide märke ja anda nurki trigonomeetrilisel ringil?" Jaotises 555. Seal käsitletakse ülesandeid 4–9. Hästi sorteeritud, koos kõigi lõksudega. Ja nad on siin.)

Järgmises tunnis käsitleme salapäraseid radiaane ja arvu "Pi". Õpime, kuidas lihtsalt ja õigesti teisendada kraadid radiaanideks ja vastupidi. Ja me oleme üllatunud, kui avastame, et see põhiteave saidil aitab juba mõne kohandatud trigonomeetriaprobleemi lahendamiseks!

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Trigonomeetrilise funktsiooni märk sõltub ainult koordinaatkvadrandist, milles arvuline argument asub. IN viimane kordõppisime argumendid teisendama radiaanimõõdust kraadimõõtudeks (vt õppetundi „Radiaan ja nurga aste”) ja seejärel määrama just selle koordinaatveerandi. Nüüd määrame tegelikult siinuse, koosinuse ja puutuja märgi.

Nurga α siinus on trigonomeetrilise ringi punkti ordinaat (y-koordinaat), mis tekib raadiuse pööramisel nurga α võrra.

Nurga α koosinus on trigonomeetrilise ringi punkti abstsiss (x koordinaat), mis tekib raadiuse pööramisel nurga α võrra.

Nurga α puutuja on siinuse ja koosinuse suhe. Või, mis on sama asi, y-koordinaadi ja x-koordinaadi suhe.

Tähistus: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Kõik need määratlused on teile tuttavad keskkooli algebrast. Meid ei huvita aga definitsioonid ise, vaid tagajärjed, mis trigonomeetrilisel ringil tekivad. Vaata:

Sinine värv näitab OY-telje positiivset suunda (ordinaattelg), punane tähistab OX-telje positiivset suunda (abstsisstellje). Sellel "radaril" ilmnevad trigonomeetriliste funktsioonide märgid. Eriti:

1. sin α > 0, kui nurk α asub I või II koordinaatkvadrandis. Seda seetõttu, et definitsiooni järgi on siinus ordinaat (y-koordinaat). Ja y-koordinaat on positiivne täpselt I ja II koordinaatveerandis;
2. cos α > 0, kui nurk α asub 1. või 4. koordinaatkvadrandis. Sest ainult seal on x-koordinaat (aka abstsiss) suurem kui null;
3. tan α > 0, kui nurk α asub I või III koordinaatkvadrandis. See tuleneb definitsioonist: tan α = y : x, seega on see positiivne ainult siis, kui x ja y märgid langevad kokku. See juhtub esimeses koordinaatide veerandis (siin x > 0, y > 0) ja kolmandas koordinaatide veerandis (x< 0, y < 0).

Selguse huvides märgime iga trigonomeetrilise funktsiooni märgid - siinus, koosinus ja puutuja - eraldi "radaritel". Saame järgmise pildi:

Pange tähele: ma ei rääkinud oma aruteludes kordagi neljandast trigonomeetrilisest funktsioonist - kotangendist. Fakt on see, et kotangensmärgid langevad kokku puutujamärkidega - seal pole erireegleid.

Nüüd teen ettepaneku kaaluda näiteid, mis on sarnased ülesannetega B11 matemaatika ühtsest riigieksami testist, mis toimus 27. septembril 2011. Lõppude lõpuks, Parim viis teooria mõistmine on praktika. Soovitav on palju harjutada. Muidugi muudeti veidi ülesannete tingimusi.

Ülesanne. Määrake trigonomeetriliste funktsioonide ja avaldiste märgid (funktsioonide endi väärtusi pole vaja arvutada):

1. sin(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Tegevusplaan on järgmine: esmalt teisendame kõik nurgad radiaanmõõtudest kraadideks (π → 180°) ja seejärel vaatame, millises koordinaatveerandis saadud arv asub. Kvartaleid teades leiame sildid hõlpsasti üles – just kirjeldatud reeglite järgi. Meil on:

1. sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Kuna 135° ∈ , on see nurk II koordinaatkvadrandist. Kuid teise veerandi siinus on positiivne, seega sin (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Sest 210° ∈ , see on nurk kolmandast koordinaatkvadrandist, milles kõik koosinused on negatiivsed. Seega cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Alates 300° ∈ oleme IV kvartalis, kus puutuja võtab negatiivsed väärtused. Seetõttu pruunikaspruun (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Tegeleme siinusega: kuna 135° ∈ , see on teine ​​veerand, kus siinused on positiivsed, s.o. sin (3π/4) > 0. Nüüd töötame koosinusega: 150° ∈ - jälle teine ​​veerand, sealsed koosinused on negatiivsed. Seega cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Vaatame koosinust: 120° ∈ on II koordinaadi veerand, seega cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Jälle saime toote, milles tegurid on erinevate tunnustega. Kuna "miinus plussiga annab miinuse", on meil: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Töötame siinusega: alates 150° ∈ , me räägime umbes II koordinaatveerandi kohta, kus siinused on positiivsed. Seetõttu sin (5π/6) > 0. Samamoodi on 315° ∈ IV koordinaatveerand, sealsed koosinused on positiivsed. Seetõttu cos (7π/4) > 0. Saime kahe positiivse arvu korrutise – selline avaldis on alati positiivne. Järeldame: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Kuid nurk 135° ∈ on teine ​​veerand, s.o. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Kuna "miinus plussiga annab miinusmärgi", on meil: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Vaatleme kotangensi argumenti: 240° ∈ on III koordinaatveerand, seega ctg (4π/3) > 0. Samamoodi puutuja puhul, mis meil on: 30° ∈ on I koordinaadiveerand, s.o. kõige lihtsam nurk. Seetõttu tan (π/6) > 0. Jällegi on meil kaks positiivset väljendit – ka nende korrutis on positiivne. Seetõttu võrevoodi (4π/3) tg (π/6) > 0.

Kokkuvõtteks vaatame veel mõnda keerulised ülesanded. Lisaks trigonomeetrilise funktsiooni märgi väljaselgitamisele peate siin veidi matemaatikat tegema – täpselt nii, nagu seda tehakse reaalsetes ülesannetes B11. Põhimõtteliselt on need peaaegu reaalsed probleemid, mis tegelikult ilmnevad matemaatika ühtsel riigieksamil.

Ülesanne. Leia sin α, kui sin 2 α = 0,64 ja α ∈ [π/2; π].

Kuna sin 2 α = 0,64, on meil: sin α = ±0,8. Jääb üle vaid otsustada: pluss või miinus? Tingimuse järgi nurk α ∈ [π/2; π] on II koordinaatveerand, kus kõik siinused on positiivsed. Seetõttu sin α = 0,8 - määramatus märkidega on välistatud.

Ülesanne. Leia cos α, kui cos 2 α = 0,04 ja α ∈ [π; 3π/2].

Me käitume sarnaselt, st. väljavõte Ruutjuur: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Tingimuse järgi nurk α ∈ [π; 3π/2], st. Jutt käib kolmandast koordinaatide kvartalist. Kõik koosinused on negatiivsed, seega cos α = −0,2.

Ülesanne. Leidke sin α, kui sin 2 α = 0,25 ja α ∈ .

Meil on: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Vaatame uuesti nurka: α ∈ on IV koordinaatveerand, milles, nagu me teame, on siinus negatiivne. Seega järeldame: sin α = −0,5.

Ülesanne. Leidke tan α, kui tan 2 α = 9 ja α ∈ .

Kõik on sama, ainult puutuja jaoks. Eraldage ruutjuur: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Kuid tingimuse järgi on nurk α ∈ I koordinaatveerand. Kõik trigonomeetrilised funktsioonid, sh. puutuja, on positiivseid, seega tan α = 3. See on kõik!

Sinus numbrid A nimetatakse seda arvu numbriringil tähistava punkti ordinaadiks. Nurga siinus sisse A radiaani nimetatakse arvu siinuseks A.

Sinus- numbrifunktsioon x. Tema domeeni

Siinusvahemik- segment alates -1 enne 1 , kuna selle lõigu mis tahes arv ordinaatteljel on ringjoone mis tahes punkti projektsioon, kuid ükski punkt väljaspool seda lõiku ei ole nende punktide projektsioon.

Siinuse periood

Siinusmärk:

1. siinus võrdne nulliga kus n- mis tahes täisarv;

2. siinus on positiivne , kus n- mis tahes täisarv;

3. siinus on negatiivne, kui

Kus n- mis tahes täisarv.

Sinus- funktsioon kummaline x Ja -x, siis osutuvad ka nende ordinaadid – siinused – vastandlikeks. See on kellelegi x.

1. Siinus suureneb segmentidel , Kus n- mis tahes täisarv.

2. Siinus väheneb segmendil , Kus n- mis tahes täisarv.

Kell ;

juures .

Koosinus

Koosinus numbrid A Nimetatakse selle punkti abstsiss, mis tähistab seda arvu arvuringil. Nurga koosinus sisse A radiaani nimetatakse arvu koosinusteks A.

Koosinus- numbri funktsioon. Tema domeeni- kõigi arvude hulk, kuna mis tahes arvu korral saate leida seda esindava punkti ordinaadi.

Koosinusvahemik- segment alates -1 enne 1 , kuna selle lõigu mis tahes arv x-teljel on ringjoone mis tahes punkti projektsioon, kuid ükski punkt väljaspool seda lõiku ei ole nende punktide projektsioon.

Koosinusperiood võrdne . Kordub ju iga kord täpselt numbrit tähistava punkti asukohta.

Koosinusmärk:

1. koosinus on võrdne nulliga kohas , kus n- mis tahes täisarv;

2. koosinus on positiivne, kui , Kus n- mis tahes täisarv;

3. koosinus on negatiivne, kui , Kus n- mis tahes täisarv.

Koosinus- funktsioon isegi. Esiteks on selle funktsiooni määratluspiirkond kõigi arvude hulk ja seetõttu sümmeetriline lähtekoha suhtes. Ja teiseks, kui jätame algusest peale kõrvale kaks vastandlikku numbrit: x Ja -x, siis on nende abstsissid – koosinused – võrdsed. See on

kellelegi x.

1. Koosinus suureneb segmentidel , Kus n- mis tahes täisarv.

2. Koosinus väheneb segmentidel , Kus n- mis tahes täisarv.

kell ;

juures .

Tangent

Tangent arvu siinuse ja selle arvu koosinuse suhteks: .

Tangent nurk sisse A radiaan on arvu puutuja A.

Tangent- numbri funktsioon. Tema domeeni- kõigi arvude hulk, mille koosinus ei ole võrdne nulliga, kuna puutuja määramisel pole muid piiranguid. Ja kuna koosinus on võrdne nulliga juures , Siis , Kus.

Puutujate vahemik

Tangentsi periood x(mitte võrdsed), mis erinevad üksteisest võrra ja tõmmake nende kaudu sirge, siis see sirge läbib koordinaatide alguspunkti ja lõikub puutujate joonega mingis punktis t. Nii selgub, et , see tähendab, et arv on puutuja periood.

Puutuja märk: puutuja on siinuse ja koosinuse suhe. Nii et ta

1. on võrdne nulliga, kui siinus on null, st millal , kus n- mis tahes täisarv.

2. positiivne, kui siinusel ja koosinusel on samad märgid. See juhtub ainult esimesel ja kolmandal kvartalil, see tähendab siis, kui , Kus A- mis tahes täisarv.

3. negatiivne, kui siinusel ja koosinusel on erinevad märgid. See juhtub ainult teises ja neljandas kvartalis, see tähendab siis, kui , Kus A- mis tahes täisarv.

Tangent- funktsioon kummaline. Esiteks on selle funktsiooni määratluspiirkond päritolu suhtes sümmeetriline. Ja teiseks, . Siinuse paarituse ja koosinuse ühtluse tõttu on saadud murru lugeja võrdne ja nimetaja on võrdne , mis tähendab, et see murd ise on võrdne .

Nii selgus, et.

Tähendab, puutuja suureneb oma määratlusvaldkonna igas osas, see tähendab vormi kõikidel intervallidel , Kus A- mis tahes täisarv.

Kotangent

Kotangent arvu koosinuse ja selle arvu siinuse suhteks: . Kotangent nurk sisse A radiaani nimetatakse arvu kotangensiks A. Kotangent- numbri funktsioon. Tema domeeni- kõigi arvude hulk, mille siinus ei ole võrdne nulliga, kuna kotangensi definitsioonis pole muid piiranguid. Ja kuna siinus on võrdne nulliga kohas , siis kus

Kotangentsi vahemik- kõigi reaalarvude hulk.

Kotangensi periood võrdne . Lõppude lõpuks, kui võtate suvalised kaks kehtivad väärtused x(mitte võrdne), mis erinevad üksteisest võrra ja tõmmake nende kaudu sirge, siis see sirge läbib koordinaatide alguspunkti ja lõikub mingis punktis kotangentide sirgega t. Nii selgub, et , see tähendab, et arv on kotangensi periood.