Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpindala. Erinevate püramiidide külgpindala

Püramiid- üks polüeedri variantidest, mis on moodustatud hulknurkadest ja kolmnurkadest, mis asuvad põhjas ja on selle tahud.

Veelgi enam, püramiidi tipus (st ühes punktis) on kõik näod ühendatud.

Püramiidi pindala arvutamiseks tasub kindlaks teha, et selle külgpind koosneb mitmest kolmnurgast. Ja me leiame nende alasid kasutades hõlpsalt üles

erinevaid valemeid. Sõltuvalt sellest, milliseid kolmnurkade andmeid me teame, otsime nende pindala.

Loetleme mõned valemid, mille abil saate kolmnurkade pindala leida:

1. S = (a*h)/2 . Sel juhul teame kolmnurga kõrgust h , mis on küljele langetatud a .
2. S = a*b*sinβ . Siin kolmnurga küljed a , b , ja nendevaheline nurk on β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Siin kolmnurga küljed a, b, c . Kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius on r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Kolmnurga ümber oleva piiritletud ringi raadius on R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Seda valemit tuleks rakendada ainult siis, kui kolmnurk on täisnurkne.
6. S = (a²*√3)/4 . Rakendame seda valemit võrdkülgse kolmnurga suhtes.

Alles pärast seda, kui oleme arvutanud kõigi meie püramiidi tahkudeks olevate kolmnurkade pindalad, saame arvutada selle külgpinna pindala. Selleks kasutame ülaltoodud valemeid.

Püramiidi külgpinna pindala arvutamiseks ei teki raskusi: peate välja selgitama kõigi kolmnurkade pindalade summa. Väljendame seda valemiga:

Sp = ΣSi

Siin Si on esimese kolmnurga pindala ja S P on püramiidi külgpinna pindala.

Vaatame näidet. Arvestades õiget püramiidi, siis selle külgmised näod moodustatud mitmest võrdkülgsest kolmnurgast,

« Geomeetria on kõige võimsam tööriist meie vaimsete võimete täiustamiseks.».

Galileo Galilei.

ja ruut on püramiidi alus. Pealegi on püramiidi serva pikkus 17 cm. Leiame selle püramiidi külgpinna pindala.

Me arutleme nii: me teame, et püramiidi tahud on kolmnurgad, need on võrdkülgsed. Samuti teame, mis on selle püramiidi serva pikkus. Sellest järeldub, et kõigil kolmnurkadel on võrdsed küljed, nende pikkus on 17 cm.

Iga sellise kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Kuna me teame, et ruut asub püramiidi põhjas, siis selgub, et meil on neli võrdkülgset kolmnurka. See tähendab, et püramiidi külgpinna pindala saab hõlpsasti arvutada järgmise valemi abil: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Meie vastus on järgmine: 500,548 cm² - see on selle püramiidi külgpinna pindala.

Lühidalt peamisest

Pindala (2019)

Prisma pindala

Kas on olemas üldine valem? Ei, üldiselt ei. Peate lihtsalt leidma külgmiste tahkude alad ja need kokku võtma.

Valemit saab kirjutada sirge prisma:

Kus on aluse ümbermõõt.

Kuid sellegipoolest on igal konkreetsel juhul palju lihtsam kõik alad kokku liita, kui täiendavaid valemeid pähe õppida. Näiteks kaalume täispind korrapärane kuusnurkne prisma.

Kõik külgpinnad on ristkülikud. Tähendab.

Seda on juba mahu arvutamisel arvesse võetud.

Seega saame:

Püramiidi pindala

Püramiidi puhul kehtib ka üldreegel:

Nüüd arvutame kõige populaarsemate püramiidide pindala.

Tavalise kolmnurkse püramiidi pindala

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv võrdne. Pean leidma ja.

Tuletage nüüd meelde

See on täisnurkse kolmnurga pindala.

Ja meenutagem, kuidas seda piirkonda leida. Kasutame pindala valemit:

Meil on "" - see ja "" - ka see, eh.

Nüüd leiame.

Kasutades pindala põhivalemit ja Pythagorase teoreemi, leiame

Tähelepanu: kui teil on tavaline tetraeeder (st), siis valem on järgmine:

Tavalise nelinurkse püramiidi pindala

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv võrdne.

Alusel on ruut ja seetõttu.

Jääb üle leida külgpinna ala

Tavalise kuusnurkse püramiidi pindala.

Olgu aluse külg võrdne ja külgserv.

Kuidas leida? Kuusnurk koosneb täpselt kuuest identsest korrapärasest kolmnurgast. Oleme juba otsinud täisnurkse kolmnurga pindala, kui arvutasime korrapärase pindala. kolmnurkne püramiid, siin kasutame leitud valemit.

Noh, me oleme juba kaks korda otsinud külgpinna piirkonda

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Edukaks eksami sooritamine, instituuti eelarve eest vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes pole seda saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju. rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla eksamil teistest parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpetuse 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja juurdepääs kõigile ülesannetele ja kõigile peidetud tekstid neid saab kohe avada.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega, iga teema kohta, igale keerukusastmele." Kindlasti piisab sellest, kui suvalise teemaga probleemide lahendamisel kätt saada.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator – terve koolitusprogramm. Vajadusel saate seda kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

tüüpiline geomeetrilised probleemid tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis on erinevate kujundite pindalade määramise ülesanded. Selles artiklis esitame tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala valemi.

Mis on püramiid?

Anname püramiidi range geomeetrilise määratluse. Oletame, et on mõni hulknurk, millel on n külge ja n nurka. Valime suvalise ruumipunkti, mis ei asu määratud n-nurga tasapinnal, ja ühendame selle hulknurga iga tipuga. Saame mingi ruumalaga kujundi, mida nimetatakse n-nurkseks püramiidiks. Näiteks näitame alloleval joonisel, milline näeb välja viisnurkne püramiid.

Kaks oluline element iga püramiid on selle alus (n-nurk) ja tipp. Need elemendid on omavahel ühendatud n kolmnurgaga, mis üldiselt ei ole üksteisega võrdsed. Ülaosast alusele langetatud risti nimetatakse kujundi kõrguseks. Kui see lõikub alusega geomeetrilises keskpunktis (kattub hulknurga massikeskmega), siis nimetatakse sellist püramiidi sirgeks. Kui lisaks sellele tingimusele on aluseks korrapärane hulknurk, siis nimetatakse kogu püramiidi korrapäraseks. Alloleval joonisel on näha, kuidas näevad välja tavalised kolmnurkse, nelinurkse, viisnurkse ja kuusnurkse alusega püramiidid.

Püramiidi pind

Enne kui asuda küsimusele tavalise nelinurkse püramiidi külgpinna pindala kohta, tuleks üksikasjalikumalt peatuda pinna enda kontseptsioonil.

Nagu ülalpool mainitud ja joonistel näidatud, on mis tahes püramiid moodustatud tahkude või külgede komplektist. Üks külg on alus ja n külge kolmnurgad. Kogu joonise pind on selle iga külje pindalade summa.

Pinda on mugav uurida lahtivolditava figuuri näitel. Pühkige õigeks nelinurkne püramiid näidatud allolevatel joonistel.

Näeme, et selle pindala on võrdne nelja identse võrdhaarse kolmnurga pindala ja ruudu pindala summaga.

Kõikide joonise külgi moodustavate kolmnurkade kogupindala nimetatakse külgpinna pindalaks. Järgmisena näitame, kuidas seda tavalise nelinurkse püramiidi jaoks arvutada.

Ristkülikukujulise korrapärase püramiidi külgpindala

Määratud joonise külgpinna arvutamiseks pöördume uuesti ülaltoodud pühkimise poole. Oletame, et teame ruudu aluse külge. Tähistame seda sümboliga a. On näha, et kõigil neljal identsel kolmnurgal on alus pikkusega a. Nende kogupindala arvutamiseks peate teadma seda väärtust ühe kolmnurga kohta. Geomeetria käigus on teada, et kolmnurga pindala S t võrdub aluse ja kõrguse korrutisega, mis tuleks jagada pooleks. See on:

Kus h b on aluse a külge tõmmatud võrdhaarse kolmnurga kõrgus. Püramiidi jaoks on see kõrgus apoteem. Nüüd jääb üle saadud avaldis korrutada 4-ga, et saada kõnealuse püramiidi külgpinna pindala S b:

S b = 4 * S t = 2 * h b * a.

See valem sisaldab kahte parameetrit: apoteemi ja aluse külge. Kui viimane on enamiku ülesannete tingimustes teada, siis esimest tuleb arvutada teisi suurusi teades. Siin on valemid apoteema h b arvutamiseks kahel juhul:

• kui külgribi pikkus on teada;
• kui püramiidi kõrgus on teada.

Kui tähistame külgserva (võrdhaarse kolmnurga külje) pikkust sümboliga L, siis apoteema h b määratakse valemiga:

h b \u003d √ (L 2 - a 2/4).

See avaldis on Pythagorase teoreemi rakendamise tulemus külgpinna kolmnurga jaoks.

Kui on teada püramiidi kõrgus h, saab apoteemi h b arvutada järgmiselt:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Samuti ei ole selle avaldise saamine keeruline, kui arvestada püramiidi sisemust täisnurkne kolmnurk, mille moodustavad jalad h ja a/2 ning hüpotenuus h b .

Näitame, kuidas neid valemeid rakendada, lahendades kaks huvitavat ülesannet.

Probleem teadaoleva pinnaga

On teada, et nelinurkse külgpinna pindala on 108 cm 2 . Kui püramiidi kõrgus on 7 cm, on vaja arvutada selle apoteemi pikkuse väärtus h bi.

Kirjutame läbi kõrguse külgpinna pindala S b valemi. Meil on:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Siin oleme lihtsalt asendanud vastava apoteema valemi S b avaldisesse. Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

A väärtuse leidmiseks muudame muutujaid:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.

Asendage kohe teadaolevad väärtused ja otsustada ruutvõrrand:

t 2 + 196 * t - 11664 = 0.

Oleme kirjutanud ainult selle võrrandi positiivse juure. Siis on püramiidi aluse küljed võrdsed:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Apoteema pikkuse saamiseks kasutage lihtsalt valemit:

h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4) \u003d √ (7 2 + 6,916 2 / 4) ≈ 7,808 cm.

Cheopsi püramiidi külgpind

Määrame suurima külgpinna väärtuse Egiptuse püramiid. Teadaolevalt asub selle aluses ruut, mille külje pikkus on 230,363 meetrit. Ehitise kõrgus oli algselt 146,5 meetrit. Asendage need arvud S b vastavasse valemisse, saame:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a = 2 * √ (146,5 2 + 230,363 2 / 4) * 230,363 ≈ 85860 m 2.

Leitud väärtus on veidi suurem kui 17 jalgpalliväljaku pindala.

Püramiidi pindala. Selles artiklis käsitleme teiega tavaliste püramiididega seotud probleeme. Tuletan meelde, et tavaline püramiid on püramiid, mille alus on korrapärane hulknurk, püramiidi tipp projitseeritakse selle hulknurga keskmesse.

Sellise püramiidi külgkülg on võrdhaarne kolmnurk.Selle tavalise püramiidi tipust tõmmatud kolmnurga kõrgust nimetatakse apoteemiks, SF on apoteem:

Allpool kirjeldatud probleemide puhul on vaja leida kogu püramiidi pindala või selle külgpinna pindala. Blogis on juba käsitletud mitmeid tavapüramiididega seotud probleeme, kus tõstatati küsimus elementide leidmise kohta (kõrgus, aluse serv, külgserv), .

AT KASUTADA ülesandeid, reeglina peetakse silmas korrapäraseid kolmnurkseid, nelinurkseid ja kuusnurkseid püramiide. Ma pole tavaliste viis- ja seitsenurksete püramiididega probleeme näinud.

Kogu pinna pindala valem on lihtne - peate leidma püramiidi aluse pindala ja selle külgpinna pindala summa:

Kaaluge ülesandeid:

Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 72, külgmised ribid on 164. Leidke selle püramiidi pindala.

Püramiidi pindala on võrdne külgpinna ja aluse pindalade summaga:

*Külgpind koosneb neljast võrdse pindalaga kolmnurgast. Püramiidi alus on ruut.

Püramiidi külje pindala saab arvutada, kasutades:

Seega on püramiidi pindala:

Vastus: 28224

Aluse küljed on õiged kuusnurkne püramiid on 22, külgservad on 61. Leidke selle püramiidi külgpinna pindala.

Korrapärase kuusnurkse püramiidi alus on korrapärane kuusnurk.

Selle püramiidi külgpind koosneb kuuest võrdsest kolmnurgast, mille küljed on 61,61 ja 22:

Leidke kolmnurga pindala Heroni valemi abil:

Seega on külgpindala:

Vastus: 3240

* Ülaltoodud ülesannete puhul võib külgpinna pindala leida erineva kolmnurga valemiga, kuid selleks peate arvutama apoteemi.

27155. Leia korrapärase nelinurkse püramiidi pindala, mille aluse küljed on 6 ja kõrgus 4.

Püramiidi pindala leidmiseks peame teadma aluse pindala ja külgpinna pindala:

Aluse pindala on 36, kuna see on ruut, mille külg on 6.

Külgpind koosneb neljast näost, mis on võrdsed kolmnurgad. Sellise kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma selle alust ja kõrgust (apoteem):

* Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja selle aluse kõrguse korrutisest.

Alus on teada, see võrdub kuuega. Leiame kõrguse. Mõelge täisnurksele kolmnurgale (kollasega esile tõstetud):

Üks jalg on 4, kuna see on püramiidi kõrgus, teine ​​​​on 3, kuna see võrdub poole aluse servaga. Hüpotenuusi leiame Pythagorase teoreemi abil:

Seega on püramiidi külgpinna pindala:

Seega on kogu püramiidi pindala:

Vastus: 96

27069. Tavalise nelinurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad 13. Leia selle püramiidi pindala.

27070. Korrapärase kuusnurkse püramiidi aluse küljed on 10, külgservad 13. Leia selle püramiidi külgpinna pindala.

Samuti on olemas valemid tavalise püramiidi külgpinna jaoks. AT parempoolne püramiid alus on külgpinna ortogonaalne projektsioon, seega:

P- aluse ümbermõõt, l- püramiidi apoteem

*See valem põhineb kolmnurga pindala valemil.

Kui soovite nende valemite tuletamise kohta rohkem teada saada, ärge jätke seda mööda, jälgige artiklite avaldamist.See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.