Ristkülikukujuline trapets on ümbritsetud ringiga. Geomeetria materjal teemal "trapets ja selle omadused"

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikes huvides.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Tere õhtust! Oh, need piiritletud või sisse kirjutatud ringid, geomeetrilised kujundid. Nii raske on segadusse sattuda. mida ja millal.

Proovime selle kõigepealt sõnastusega välja mõelda. Meile antakse ring, mis on ümbritsetud umbes . Teisisõnu, see trapets on kirjutatud ringi.

Pidagem meeles, et me saame kirjeldada ainult ringi ümber. Ja võrdhaarne trapets on omakorda trapets, mille küljed on võrdsed.

Proovime probleemi lahendada. Me teame, et põhjus võrdhaarne trapets ADCB on 6 (DC) ja 4 (AB). Ja piiritletud ringi raadius on 4. Peate leidma trapetsi FK kõrguse.

FK on trapetsi kõrgus. me peame selle leidma, kuid enne seda pidage meeles, et punkt O on ringi keskpunkt. Ja OS, OD, OA, OB on teadaolevad raadiused.

OFC-s teame hüpotenuus, mis on ringi raadius, ja jalg FC = pool alusest DC = 3 cm (kuna DF = FC).

Nüüd leiame OF:

Ja sisse täisnurkne kolmnurk OKB teame ka hüpotenuusi, kuna see on ringi raadius. Ja KB on pool AB-st; KB = 2 cm. Ja Pythagorase teoreemi abil arvutame lõigu OK:

Selles artiklis püüame võimalikult täielikult kajastada trapetsi omadusi. Eelkõige räägime sellest ühiseid jooni ja trapetsi omadused, samuti trapetsi ja trapetsi sisse kirjutatud ringi omaduste kohta. Samuti puudutame võrdhaarsete omadusi ja ristkülikukujuline trapets.

Näide probleemi lahendamisest vaadeldavate omaduste abil aitab teil asjad oma peas korda ajada ja materjali paremini meelde jätta.

Trapets ja kõik-kõik-kõik

Alustuseks tuletagem lühidalt meelde, mis on trapets ja millised muud mõisted on sellega seotud.

Niisiis, trapets on nelinurkne kujund, mille kaks külge on üksteisega paralleelsed (need on alused). Ja kaks pole paralleelsed – need on küljed.

Trapetsis võib kõrguse ära jätta – risti alustega. Joonistatakse keskmine joon ja diagonaalid. Ja ka trapetsi mis tahes nurga alt on võimalik joonistada poolitaja.

Pro erinevaid omadusi mis on seotud kõigi nende elementide ja nende kombinatsioonidega, räägime nüüd.

Trapetsi diagonaalide omadused

Selguse huvides visandage lugemise ajal paberile ACME trapets ja joonistage sellesse diagonaalid.

1. Kui leiate iga diagonaali (nimetame neid punkte X ja T) keskpunktid ja ühendate need, saate lõigu. Üks trapetsi diagonaalide omadusi on see, et segment XT asub sellel keskmine joon. Ja selle pikkuse saab, jagades aluste erinevuse kahega: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Meie ees on sama ACME trapets. Diagonaalid lõikuvad punktis O. Vaatleme kolmnurki AOE ja IOC, mis on moodustatud diagonaalide lõikudest koos trapetsi alustega. Need kolmnurgad on sarnased. K kolmnurga sarnasuskordaja väljendatakse trapetsi aluste suhtena: k = AE/KM.
   Kolmnurkade AOE ja IOC pindalade suhet kirjeldab koefitsient k 2 .
3. Kõik samad trapetsid, samad diagonaalid, mis lõikuvad punktis O. Ainult seekord vaatleme kolmnurki, mille diagonaallõigud moodustasid koos trapetsi külgedega. Kolmnurkade AKO ja EMO pindalad on võrdsed – nende pindalad on samad.
4. Teine trapetsi omadus hõlmab diagonaalide ehitamist. Seega, kui jätkata AK ja ME külgi väiksema aluse suunas, siis varem või hiljem need mingisse punkti ristuvad. Järgmisena tõmmake sirgjoon läbi trapetsi aluste keskpunktide. See lõikub alustega punktides X ja T.
   Kui nüüd sirget XT pikendada, siis ühendab see trapetsi O diagonaalide lõikepunkti, punkti, kus ristuvad X ja T külgede pikendused ning aluste keskpunktid.
5. Läbi diagonaalide lõikepunkti joonistame segmendi, mis ühendab trapetsi alused (T asub KM väiksemal alusel, X - suuremal AE). Diagonaalide lõikepunkt jagab selle lõigu järgmises suhtes: TO/OH = KM/AE.
6. Ja nüüd joonistame läbi diagonaalide lõikepunkti trapetsi (a ja b) alustega paralleelse segmendi. Lõikepunkt jagab selle kaheks võrdseks osaks. Segmendi pikkuse leiate valemi abil 2ab/(a + b).

Trapetsi keskjoone omadused

Tõmmake trapetsi keskjoon paralleelselt selle alustega.

1. Trapetsi keskjoone pikkuse saab arvutada, liites aluste pikkused ja jagades need pooleks: m = (a + b)/2.
2. Kui tõmbate mis tahes lõigu (näiteks kõrguse) läbi trapetsi mõlema aluse, jagab keskmine joon selle kaheks võrdseks osaks.

Trapetsi poolitaja omadus

Valige trapetsi suvaline nurk ja joonistage poolitaja. Võtke näiteks meie trapetsi ACME nurk KAE. Olles ise ehituse lõpetanud, näete hõlpsalt, et poolitaja lõikab alusest (või selle jätkust sirgjoonel väljaspool joonist ennast) ära küljega sama pikkuse segmendi.

Trapetsi nurga omadused

1. Ükskõik kumma kahest nurgapaarist, mis külgnevad teie valitud küljega, on paari nurkade summa alati 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0 .
2. Ühendage trapetsi aluste keskpunktid segmendiga TX. Nüüd vaatame trapetsi aluste nurki. Kui mõne neist nurkade summa on 90 0, on TX segmendi pikkust lihtne arvutada aluste pikkuste erinevuse põhjal, mis on jagatud pooleks: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Kui trapetsi nurga külgede kaudu tõmmatakse paralleelsed jooned, jagavad need nurga küljed proportsionaalseteks segmentideks.

Võrdhaarse (võrdhaarse) trapetsi omadused

1. Võrdhaarse trapetsi korral on nurgad mis tahes aluse juures võrdsed.
2. Nüüd ehitage uuesti trapets, et oleks lihtsam ette kujutada, millega tegu. Vaata hoolikalt AE alust – M-i vastasaluse tipp projitseeritakse AE-d sisaldava sirge teatud punkti. Vahemaa tipust A tipu M projektsioonipunktini ja võrdhaarse trapetsi keskjooneni on võrdsed.
3. Paar sõna võrdhaarse trapetsi diagonaalide omaduste kohta - nende pikkused on võrdsed. Ja ka nende diagonaalide kaldenurgad trapetsi aluse suhtes on samad.
4. Ringi saab kirjeldada ainult võrdhaarse trapetsi lähedal, kuna nelinurga vastasnurkade summa on 180 0 - nõutav tingimus selle jaoks.
5. Võrdhaarse trapetsi omadus tuleneb eelmisest lõigust – kui trapetsi läheduses saab kirjeldada ringjoont, on see võrdhaarne.
6. Võrdhaarse trapetsi tunnustest tuleneb trapetsi kõrguse omadus: kui selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, siis kõrguse pikkus võrdub poolega aluste summast: h = (a + b)/2.
7. Tõmmake joon TX uuesti läbi trapetsi aluste keskpunktide - võrdhaarses trapetsis on see alustega risti. Ja samal ajal on TX võrdhaarse trapetsi sümmeetriatelg.
8. Seekord madalamale suuremale alusele (nimetagem seda a) kõrgusele trapetsi vastastipust. Saate kaks lõiget. Ühe pikkuse saab, kui liita aluste pikkused ja jagada need pooleks: (a+b)/2. Teise saame, kui lahutame suuremast baasist väiksema ja jagame saadud erinevuse kahega: (a – b)/2.

Ringjoone sisse kirjutatud trapetsi omadused

Kuna me räägime juba ringi sisse kirjutatud trapetsist, peatume sellel teemal üksikasjalikumalt. Täpsemalt, kus on ringi keskpunkt trapetsi suhtes. Ka siin on soovitatav mitte olla liiga laisk, et võtta kätte pliiats ja joonistada seda, millest allpool juttu tuleb. Nii saate kiiremini aru ja mäletate paremini.

1. Ringi keskpunkti asukoha määrab trapetsi diagonaali kaldenurk selle külje suhtes. Näiteks võib trapetsi tipust küljega täisnurga all välja tulla diagonaal. Sel juhul lõikub suurem alus piiritletud ringi keskpunktiga täpselt keskel (R = ½AE).
2. Diagonaal ja külg võivad all kokku puutuda teravnurk- siis on ringi keskpunkt trapetsi sees.
3. Piiratud ringi keskpunkt võib olla väljaspool trapetsi, selle suurest alusest kaugemal, kui trapetsi diagonaali ja külgmise külje vahel on nürinurk.
4. Trapetsi ACME diagonaali ja suure aluse (sissekirjutatud nurk) moodustatud nurk on pool sellele vastavast kesknurgast: MAE = ½ MY.
5. Lühidalt kahest võimalusest piiritletud ringi raadiuse leidmiseks. Esimene meetod: vaadake hoolikalt oma joonist – mida näete? Märkate kergesti, et diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks. Raadiuse saab leida kolmnurga külje ja vastasnurga siinuse suhte kaudu, mis on korrutatud kahega. Näiteks, R \u003d AE / 2 * sinAME. Samamoodi saab valemi kirjutada mõlema kolmnurga mis tahes külje jaoks.
6. Teine meetod: leiame piiritletud ringi raadiuse läbi trapetsi diagonaali, külje ja aluse moodustatud kolmnurga pindala: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Ümberringi ümbritsetud trapetsi omadused

Kui üks tingimus on täidetud, saate trapetsis ringi kirjutada. Sellest lähemalt allpool. Ja koos on sellel figuuride kombinatsioonil mitmeid huvitavaid omadusi.

1. Kui ringjoon on kantud trapetsi, saab selle keskjoone pikkuse hõlpsalt leida, liites külgede pikkused ja jagades saadud summa pooleks: m = (c + d)/2.
2. Ümberringi ümbritsetud trapetsi ACME puhul on aluste pikkuste summa võrdne külgede pikkuste summaga: AK + ME = KM + AE.
3. Sellest trapetsi aluste omadusest järeldub vastupidine väide: sellesse trapetsi saab kirjutada ringi, mille aluste summa on võrdne külgede summaga.
4. Trapetsi raadiusega r ringjoone puutujapunkt jagab külgkülje kaheks segmendiks, nimetame neid a-ks ja b-ks. Ringi raadiuse saab arvutada järgmise valemi abil: r = √ab.
5. Ja veel üks vara. Et mitte segadusse sattuda, joonistage see näide ise. Meil on vana hea ACME trapets, mis on ümbritsetud ringiga. Sellesse on joonistatud diagonaalid, mis ristuvad punktis O. Diagonaalide ja külgede lõikudest moodustatud kolmnurgad AOK ja EOM on ristkülikukujulised.
   Nende kolmnurkade kõrgused, mis on langetatud hüpotenuusideni (st trapetsi külgedeni), langevad kokku kirjutatud ringi raadiustega. Ja trapetsi kõrgus on sama, mis sisse kirjutatud ringi läbimõõt.

Ristkülikukujulise trapetsi omadused

Trapetsi nimetatakse ristkülikukujuliseks, mille üks nurk on õige. Ja selle omadused tulenevad sellest asjaolust.

1. Ristkülikukujulise trapetsi üks külgedest on alustega risti.
2. Trapetsi kõrgus ja külg, mis külgneb täisnurk, on võrdsed. See võimaldab teil arvutada ristkülikukujulise trapetsi pindala (üldvalem S = (a + b) * h/2) mitte ainult läbi kõrguse, vaid ka läbi õige nurgaga külgneva külje.
3. Ristkülikukujulise trapetsi puhul on olulised juba eespool kirjeldatud trapetsi diagonaalide üldised omadused.

Trapetsi mõningate omaduste tõendid

Võrdhaarse trapetsi aluse nurkade võrdsus:

• Tõenäoliselt arvasite juba, et siin on jälle vaja ACME trapetsi - joonistage võrdhaarne trapets. Tõmmake tipust M paralleelselt AK küljega sirge MT (MT || AK).

Saadud nelinurk AKMT on rööpkülik (AK || MT, KM || AT). Kuna ME = KA = MT, on ∆ MTE võrdhaarne ja MET = MTE.

AK || MT, seega MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kus AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nüüd, tuginedes võrdhaarse trapetsi omadusele (diagonaalide võrdsus), tõestame, et trapets ACME on võrdhaarne:

• Alustuseks tõmbame sirge МХ – МХ || KE. Saame rööpküliku KMHE (alus - MX || KE ja KM || EX).

∆AMH on võrdhaarne, kuna AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, seega MAE = MXE.

Selgus, et kolmnurgad AKE ja EMA on üksteisega võrdsed, kuna AM \u003d KE ja AE on kahe kolmnurga ühine külg. Ja ka MAE \u003d MXE. Võime järeldada, et AK = ME ja sellest järeldub, et trapets AKME on võrdhaarne.

Ülesanne kordamiseks

Trapetsi ACME alused on 9 cm ja 21 cm, KA külg, mis on võrdne 8 cm, moodustab väiksema põhjaga nurga 150 0. Peate leidma trapetsi pindala.

Lahendus: tipust K alandame kõrguse trapetsi suuremale alusele. Ja alustame trapetsi nurkade vaatamist.

Nurgad AEM ja KAN on ühepoolsed. Mis tähendab, et nende arv on 1800. Seetõttu KAN = 30 0 (trapetsi nurkade omaduse alusel).

Mõelge nüüd ristkülikukujulisele ∆ANK-ile (ma arvan, et see punkt on lugejatele ilmne ilma täiendava tõestuseta). Sellest leiame trapetsi kõrguse KH - kolmnurgas on see jalg, mis asub nurga 30 0 vastas. Seetõttu KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Trapetsi pindala leitakse valemiga: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Järelsõna

Kui uurisite seda artiklit hoolikalt ja läbimõeldult, polnud liiga laisk, et joonistada käes pliiatsiga kõigi ülaltoodud omaduste jaoks trapetsi ja neid praktikas analüüsida, oleksite pidanud materjali hästi valdama.

Loomulikult on siin palju teavet, mitmekülgset ja mõnikord isegi segadust: kirjeldatud trapetsi omadusi pole nii raske segi ajada sissekirjutatud omadustega. Aga sa ise nägid, et vahe on tohutu.

Nüüd on teil üksikasjalik kokkuvõte kõigest ühised omadused trapetsikujuline. Nagu ka võrdhaarsete ja ristkülikukujuliste trapetside spetsiifilised omadused ja tunnused. Seda on väga mugav kasutada katseteks ja eksamiteks valmistumiseks. Proovi ise ja jaga linki oma sõpradega!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Piiratud ring ja trapets. Tere! Teie jaoks on veel üks väljaanne, milles käsitleme trapetsidega seotud probleeme. Ülesanded on matemaatikaeksami osa. Siin on nad ühendatud rühmaks, millele ei anta ainult ühte trapetsi, vaid kehade kombinatsiooni - trapetsi ja ringi. Enamik neist probleemidest lahendatakse suuliselt. Kuid on mõned, mis vajavad erilist tähelepanu, näiteks probleem 27926.

Millist teooriat tuleks meeles pidada? See:

Vaadata saab ajaveebis leiduvaid ülesandeid trapetsidega siin.

27924. Trapetsi lähedal on ringjoon. Trapetsi ümbermõõt on 22, keskjoon on 5. Leia trapetsi külg.

Pange tähele, et ringi saab piirata ainult võrdhaarse trapetsi ümber. Meile antakse keskmine rida, nii et saame määrata aluste summa, see tähendab:

Seega võrdub külgede summa 22–10=12 (ümbermõõt miinus alus). Kuna võrdhaarse trapetsi küljed on võrdsed, võrdub üks külg kuuega.

27925. Võrdhaarse trapetsi külgkülg on võrdne selle väiksema põhjaga, nurk aluse juures on 60 0, suurem alus on 12. Leidke selle trapetsi piiritletud ringi raadius.

Kui lahendasite ülesanded ringi ja sellesse kirjutatud kuusnurgaga, siis vastake kohe häälega - raadius on 6. Miks?

Vaata: võrdhaarne trapets, mille nurk põhjas on 60 0 ja võrdsed osapooled AD, DC ja CB on pool tavalisest kuusnurgast:

Sellises kuusnurgas läbib vastastippe ühendav segment ringi keskpunkti. *Kuusnurga kese ja ringi keskpunkt on samad, rohkemgi

See tähendab, et selle trapetsi suurem alus langeb kokku piiratud ringi läbimõõduga. Seega on raadius kuus.

*Muidugi võib kaaluda kolmnurkade ADO, DOC ja OCB võrdsust. Tõesta, et need on võrdkülgsed. Edasi järeldage, et nurk AOB on võrdne 180 0 ja punkt O on võrdsel kaugusel tippudest A, D, C ja B, mis tähendab, et AO=OB=12/2=6.

27926. Võrdhaarse trapetsi alused on 8 ja 6. Piiratud ringi raadius on 5. Leidke trapetsi kõrgus.

Pange tähele, et piiritletud ringi keskpunkt asub sümmeetriateljel ja kui koostate seda keskpunkti läbiva trapetsi kõrguse, jagab see alustega lõikuvates pooleks. Näitame seda visandil, ühendame ka keskpunkti tippudega:

Lõik EF on trapetsi kõrgus, me peame selle leidma.

Täisnurkses kolmnurgas OFC teame hüpotenuusi (see on ringi raadius), FC=3 (kuna DF=FC). Pythagorase teoreemi abil saame arvutada OF:

Täisnurkses kolmnurgas OEB teame hüpotenuusi (see on ringi raadius), EB=4 (kuna AE=EB). Pythagorase teoreemi abil saame arvutada OE:

Seega EF=FO+OE=4+3=7.

Nüüd oluline nüanss!

Selles ülesandes on joonisel selgelt näha, et alused asuvad ringi keskpunkti vastaskülgedel, seega on probleem sel viisil lahendatud.

Ja kui eskiis poleks antud seisukorras?

Siis oleks probleemil kaks vastust. Miks? Vaadake hoolikalt - suvalises ringis saate kirjutada kaks trapetsi etteantud alustega:

*See tähendab, et arvestades trapetsi aluseid ja ringi raadiust, on kaks trapetsi.

Ja lahendus on "teine ​​võimalus" on järgmine.

Pythagorase teoreemi abil arvutame OF:

Arvutame ka OE:

Seega EF=FO–OE=4–3=1.

Loomulikult ei saa USE lühikese vastusega ülesandes olla kahte vastust ja sarnast ülesannet ilma visandita ei anta. Seetõttu pöörake eskiisile erilist tähelepanu! Nimelt: kuidas paiknevad trapetsi alused. Kuid üksikasjaliku vastusega ülesannetes oli see eelmistel aastatel olemas (veidi keerulisema tingimusega). Need, kes kaalusid trapetsi asukohaks ainult ühte varianti, kaotasid selle ülesande täitmisel punkti.

27937. Trapets on ümbritsetud ringiga, mille ümbermõõt on 40. Leidke selle keskjoon.

Siin tuleks kohe meelde tuletada ringi ümber piiratud nelinurga omadust:

Summad vastasküljed mis tahes nelinurgast, mis on ümbritsetud ringi ümber, on võrdsed.

1. Trapetsi diagonaalide keskpunkte ühendav segment on võrdne poole aluste erinevusest
2. Trapetsi alustest ja diagonaalide lõikudest kuni nende lõikepunktini moodustatud kolmnurgad on sarnased
3. Trapetsi diagonaalide segmentidest moodustatud kolmnurgad, mille küljed asuvad trapetsi külgedel - võrdne pindala (sama pindalaga)
4. Kui pikendada trapetsi külgi väiksema aluse poole, siis need ristuvad ühes punktis aluste keskpunkte ühendava sirgjoonega
5. Trapetsi aluseid ühendav ja trapetsi diagonaalide lõikepunkti läbiv segment jagatakse selle punktiga proportsioonis, mis võrdub trapetsi aluste pikkuste suhtega
6. Trapetsi alustega paralleelne ja läbi diagonaalide lõikepunkti tõmmatud segment poolitatakse selle punktiga ja selle pikkus on võrdne 2ab / (a ​​+ b), kus a ja b on trapetsi alused

Trapetsi diagonaalide keskpunkte ühendava lõigu omadused

Ühendage trapetsi ABCD diagonaalide keskpunktid, mille tulemusena saame lõigu LM.
Lõik, mis ühendab trapetsi diagonaalide keskpunkte asub trapetsi keskjoonel.

See segment paralleelselt trapetsi alustega.

Trapetsi diagonaalide keskpunkte ühendava lõigu pikkus on võrdne selle aluste poolvahega.

LM = (AD – BC)/2
või
LM = (a-b)/2

Trapetsi diagonaalide poolt moodustatud kolmnurkade omadused

Kolmnurgad, mille moodustavad trapetsi alused ja trapetsi diagonaalide lõikepunkt - on sarnased.
Kolmnurgad BOC ja AOD on sarnased. Kuna nurgad BOC ja AOD on vertikaalsed, on need võrdsed.
Nurgad OCB ja OAD on sisemised risti asetsevad paralleelsetel joontel AD ja BC (trapetsi alused on üksteisega paralleelsed) ja lõikejoonel AC, seega on need võrdsed.
Nurgad OBC ja ODA on võrdsed samal põhjusel (sisemine ristvale).

Kuna ühe kolmnurga kõik kolm nurka on võrdsed teise kolmnurga vastavate nurkadega, on need kolmnurgad sarnased.

Mis sellest järeldub?

Geomeetria ülesannete lahendamiseks kasutatakse kolmnurkade sarnasust järgmisel viisil. Kui teame sarnaste kolmnurkade kahe vastava elemendi pikkused, siis leiame sarnasuskordaja (jagame üksteisega). Kust kõigi teiste elementide pikkused on omavahel seotud täpselt sama väärtusega.

Trapetsi külgküljel asuvate kolmnurkade ja diagonaalide omadused

Vaatleme kahte kolmnurka, mis asuvad trapetsi AB ja CD külgedel. Need on kolmnurgad AOB ja COD. Hoolimata asjaolust, et nende kolmnurkade üksikute külgede suurused võivad olla täiesti erinevad, kuid trapetsi külgede ja diagonaalide lõikepunkti poolt moodustatud kolmnurkade pindalad on st kolmnurgad on võrdsed.

Kui trapetsi küljed on sirutatud väiksema aluse poole, siis külgede lõikepunkt on langevad kokku sirgjoonega, mis läbib aluste keskpunkte.

Seega saab iga trapetsi pikendada kolmnurgaks. Kus:

• Pikendatud külgede lõikepunktis ühise tipuga trapetsi alustest moodustatud kolmnurgad on sarnased
• Trapetsi aluste keskpunkte ühendav sirgjoon on samal ajal konstrueeritud kolmnurga mediaan

Trapetsi aluseid ühendava lõigu omadused

Kui joonistate lõigu, mille otsad asuvad trapetsi diagonaalide lõikepunktis (KN) asuva trapetsi alustel, siis on selle moodustavate segmentide suhe aluse küljelt trapetsi lõikepunkti. diagonaalid (KO / ON) on võrdne trapetsi aluste suhtega(BC/AD).

KO/ON=BC/AD

See omadus tuleneb vastavate kolmnurkade sarnasusest (vt eespool).

Trapetsi alustega paralleelse lõigu omadused

Kui joonistate lõigu, mis on paralleelne trapetsi alustega ja läbib trapetsi diagonaalide lõikepunkti, on sellel järgmised omadused:

• Eelseadistatud vahemaa (KM) poolitab trapetsi diagonaalide lõikepunkti
• Lõika pikkus, mis läbib trapetsi diagonaalide lõikepunkti ja on alustega paralleelne, on võrdne KM = 2ab/(a + b)

Valemid trapetsi diagonaalide leidmiseks

a, b- trapetsi alused

c, d- trapetsi küljed

d1 d2- trapetsi diagonaalid

α β - nurgad, mille trapetsi alus on suurem

Valemid trapetsi diagonaalide leidmiseks läbi aluste, külgede ja nurkade põhjas

Esimene valemite rühm (1-3) peegeldab trapetsi diagonaalide üht peamist omadust:

1. Trapetsi diagonaalide ruutude summa võrdub külgede ruutude summaga pluss selle aluste kahekordne korrutis. Seda trapetsi diagonaalide omadust saab tõestada eraldi teoreemina

2 . See valem saadakse eelmise valemi teisendamisel. Teise diagonaali ruut visatakse üle võrdusmärgi, mille järel eraldatakse ruutjuur avaldise vasakust ja paremast küljest.

3 . See trapetsi diagonaali pikkuse leidmise valem on sarnane eelmisega, selle erinevusega, et avaldise vasakule küljele on jäetud teine ​​diagonaal

Järgmine valemite rühm (4-5) on tähenduselt sarnane ja väljendab sarnast seost.

Valemite rühm (6-7) võimaldab leida trapetsi diagonaali, kui on teada trapetsi suurem alus, üks külg ja nurk aluses.

Valemid trapetsi diagonaalide leidmiseks kõrguse järgi

Ülesanne.
Trapetsi ABCD (AD | | BC) diagonaalid lõikuvad punktis O. Leia trapetsi aluse BC pikkus, kui alus AD = 24 cm, pikkus AO = 9 cm, pikkus OS = 6 cm.

Lahendus.
Selle ülesande lahendus on ideoloogiliselt absoluutselt identne eelmiste ülesannetega.

Kolmnurgad AOD ja BOC on kolme nurga poolest sarnased - AOD ja BOC on vertikaalsed ning ülejäänud nurgad on paarikaupa võrdsed, kuna need moodustuvad ühe sirge ja kahe paralleelse sirge ristumiskohas.

Kuna kolmnurgad on sarnased, siis on kõik nende geomeetrilised mõõtmed omavahel seotud, kuna ülesande tingimuse järgi meile teadaolevad segmentide AO ja OC geomeetrilised mõõtmed. See on

AO/OC=AD/BC
9/6 = 24/B.C.
eKr = 24 * 6/9 = 16

Vastus: 16 cm

Ülesanne .
Trapetsi ABCD puhul on teada, et AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Leidke trapetsi pindala.

Lahendus.
Trapetsi kõrguse leidmiseks väiksema aluse B ja C tippudest langetame kaks kõrgust suuremale alusele. Kuna trapets on ebavõrdne, siis tähistame pikkust AM = a, pikkust KD = b ( mitte segi ajada valemis olevate sümbolitega trapetsi pindala leidmine). Kuna trapetsi alused on paralleelsed ja oleme jätnud välja kaks suurema aluse suhtes risti asetsevat kõrgust, siis on MBCK ristkülik.

Tähendab
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Kolmnurgad DBM ja ACK on täisnurksed, seega moodustavad nende täisnurgad trapetsi kõrgused. Tähistame trapetsi kõrgust h-ga. Siis Pythagorase teoreemi järgi

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
ja
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Mõtle, et a \u003d 16 - b, siis esimeses võrrandis
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Asendage kõrguse ruudu väärtus teise võrrandiga, mis on saadud Pythagorase teoreemiga. Saame:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Seega KD = 12
Kus
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Leidke trapetsi pindala, kasutades selle kõrgust ja poolt aluste summast
, kus a b - trapetsi alused, h - trapetsi kõrgus
S \u003d (24 + 8) * 5/2 \u003d 80 cm 2

Vastus: trapetsi pindala on 80 cm2.