Funktsiooni puutuja punktis. Funktsiooni graafiku puutuja võrrand

Tangent on sirgjoon, mis läbib kõvera punkti ja kattub sellega selles punktis kuni esimese järguni (joonis 1).

Muu määratlus: see on sekandi piirasend punktis Δ x→0.

Selgitus: võtke sirge, mis lõikab kõverat kahes punktis: AGA ja b(vt pilti). See on sekant. Me keerame seda päripäeva, kuni sellel on ainult üks ühine punkt kõveraga. Nii et saame puutuja.

Tangensi range määratlus:

Funktsioonigraafiku puutuja f, punktis eristatav xumbes, on sirge, mis läbib punkti ( xumbes; f(xumbes)) ja millel on kalle f′( xumbes).

Kallakul on sirge joon y=kx +b. Koefitsient k ja on kaldetegur see sirgjoon.

Nurgakoefitsient on võrdne puutujaga teravnurk mille moodustab see sirgjoon abstsissteljega:

k = tgα

Siin on nurk α sirge vaheline nurk y=kx +b ja x-telje positiivne (st vastupäeva) suund. Seda nimetatakse kaldenurk sirge(Joonis 1 ja 2).

Kui kaldenurk on sirge y=kx +bäge, siis on kalle positiivne arv. Graafik suureneb (joonis 1).

Kui kaldenurk on sirge y=kx +b nüri, siis on kalle negatiivne arv. Graafik kahaneb (joonis 2).

Kui sirge on paralleelne x-teljega, siis on sirge kalle null. Sel juhul on ka sirge kalle null (kuna nulli puutuja on null). Sirgvõrrand näeb välja selline, nagu y = b (joonis 3).

Kui sirge kaldenurk on 90º (π/2), see tähendab, et see on risti x-teljega, siis sirge annab võrdus x=c, kus c- mõni reaalarv (joonis 4).

Funktsiooni graafiku puutuja võrrandy = f(x) punktis xumbes:

Näide: Leiame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 punktis abstsiss 2.

Lahendus.

Me järgime algoritmi.

1) Puutepunkt xumbes võrdub 2. Arvuta f(xumbes):

f(xumbes) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Leia f′( x). Selleks kasutame eelmises jaotises kirjeldatud eristusvalemeid. Nende valemite järgi X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. Tähendab:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Nüüd, kasutades saadud väärtust f′( x), arvutama f′( xumbes):

f′( xumbes) = f′ (2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Niisiis, meil on kõik vajalikud andmed: xumbes = 2, f(xumbes) = 1, f ′( xumbes) = 4. Asendame need arvud puutuja võrrandisse ja leiame lõpplahenduse:

y= f(xumbes) + f′( xumbes) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) \u003d 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.

Vastus: y \u003d 4x - 7.

Videoõpetus "Funktsiooni graafiku puutuja võrrand" demonstreerib õppematerjali teema valdamiseks. Videotunnis esitatakse antud punktis funktsiooni graafiku puutuja võrrandi kontseptsiooni moodustamiseks vajalik teoreetiline materjal, sellise puutuja leidmise algoritm, näiteid ülesannete lahendamisest, kasutades uuritud teoreetilist materjali kirjeldatakse.

Videoõpetuses kasutatakse meetodeid, mis parandavad materjali nähtavust. Vaade sisestatakse joonised, diagrammid, antakse olulisi häälkommentaare, rakendatakse animatsiooni, värvide esiletõstmist ja muid tööriistu.

Videotund algab tunni teema ja mõne funktsiooni y=f(x) graafiku puutuja kujutisega punktis M(a;f(a)). On teada, et antud punktis graafikule tõmmatud puutuja kalle on võrdne funktsiooni f΄(a) tuletisega antud punktis. Ka algebra käigust on teada sirge y=kx+m võrrand. Skemaatiliselt esitatakse punktis puutuja võrrandi leidmise ülesande lahendus, mis taandub kordajate k, m leidmiseks. Teades funktsiooni graafikule kuuluva punkti koordinaate, leiame m, kui asendame koordinaatide väärtuse võrrandiga puutuja f(a)=ka+m. Sellest leiame m=f(a)-ka. Seega, teades tuletise väärtust antud punktis ja punkti koordinaate, saame puutujavõrrandi esitada nii y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Järgnevalt on toodud näide puutuja võrrandi koostamisest skeemi järgi. Antud funktsioon y=x 2 , x=-2. Olles aktsepteerinud a=-2, leiame funktsiooni väärtuse selles punktis f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Määrame funktsiooni f΄(х)=2х tuletise. Siinkohal on tuletis võrdne f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Võrrandi koostamiseks leitakse kõik koefitsiendid a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, seega puutuja võrrand y=4+(-4)(x+2). Võrrandit lihtsustades saame y \u003d -4-4x.

Järgmises näites tehakse ettepanek sõnastada funktsiooni y=tgx graafiku lähtekoha puutuja võrrand. Selles punktis a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Seega näeb puutuja võrrand välja kujul y=x.

Üldistusena vormistatakse funktsioonigraafiku puutuja võrrandi koostamise protsess mingil hetkel neljast etapist koosneva algoritmina:

Puutepunkti abstsissile lisatakse tähis;
f(a) arvutatakse;
Määratakse F΄(х) ja arvutatakse f΄(a). Leitud väärtused a, f(a), f΄(a) asendatakse puutuja võrrandi y=f(a)+f΄(a)(x-a) valemiga.

Näites 1 käsitletakse funktsiooni y \u003d 1 / x graafiku puutuja võrrandi koostamist punktis x \u003d 1. Probleemi lahendamiseks kasutame algoritmi. Selle funktsiooni jaoks punktis a=1 on funktsiooni f(a) väärtus -1. Funktsiooni f΄(х)=1/х 2 tuletis. Punktis a=1 on tuletis f΄(a)= f΄(1)=1. Saadud andmete põhjal koostatakse võrrand puutujast y \u003d -1 + (x-1) või y \u003d x-2.

Näites 2 peate leidma funktsiooni y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 graafiku puutuja võrrandi. Peamine tingimus on puutuja ja sirge y \u003d -2x + 1 paralleelsus. Esiteks leiame puutuja kalde, mis on võrdne sirge y \u003d -2x + 1 kaldega. Kuna f΄(a) = -2 selle sirge jaoks, siis k = -2 soovitud puutuja jaoks. Leiame funktsiooni (x 3 + 3x 2 -2x-2) tuletise ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Teades, et f΄(a)=-2, leiame punkti koordinaadid 3а 2 +6а-2=-2. Võrrandi lahendamisel saame 1 \u003d 0 ja 2 \u003d -2. Leitud koordinaatide abil saate teada-tuntud algoritmi abil leida puutuja võrrandi. Funktsiooni väärtuse leiame punktidest f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Tuletise väärtus punktis f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Asendades leitud väärtused puutuja võrrandisse, saame esimese punkti jaoks a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2 ja teise punkti jaoks a 2 \u003d -2 puutuja võrrandi y \u003d -2x- 22.

Näide 3 kirjeldab puutuja võrrandi formuleerimist selle joonistamiseks funktsiooni y=√x graafiku punktis (0;3). Otsus tehakse teadaoleva algoritmi järgi. Puutepunktil on koordinaadid x=a, kus a>0. Funktsiooni väärtus punktis f(a)=√x. Funktsiooni f΄(х)=1/2√х tuletis seega antud punktis f΄(а)=1/2√а. Asendades kõik saadud väärtused puutuja võrrandisse, saame y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Võrrandit teisendades saame y=x/2√a+√a/2. Teades, et puutuja läbib punkti (0; 3), leiame a väärtuse. Leidke a alates 3=√a/2. Seega √a=6, a=36. Leiame puutuja y võrrandi \u003d x / 12 + 3. Joonisel on kujutatud vaadeldava funktsiooni graafik ja konstrueeritud soovitud puutuja.

Õpilastele tuletatakse meelde ligikaudsed võrrandid Δy=≈f΄(x)Δxja f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Võttes x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, saame f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), seega f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

Näites 4 on vaja leida avaldise 2,003 6 ligikaudne väärtus. Kuna on vaja leida funktsiooni f (x) \u003d x 6 väärtus punktis x \u003d 2,003, saame kasutada tuntud valemit, võttes f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x) = 6х 5 . Tuletis punktis f΄(2)=192. Seetõttu 2,003 6 ≈65-192 0,003. Pärast avaldise arvutamist saame 2,003 6 ≈64,576.

Videotundi "Funktsiooni graafiku puutuja võrrand" on soovitatav kasutada koolis traditsioonilises matemaatikatunnis. Kaugõppeõpetajal aitab videomaterjal teemat selgemalt lahti seletada. Vajadusel võib videot soovitada õpilastele enesemõtlemiseks ainest arusaamise süvendamiseks.

TEKSTI TÕLGENDAMINE:

Teame, et kui punkt M (a; f (a)) (em koordinaatidega a ja eff alates a) kuulub funktsiooni y \u003d f (x) graafikusse ja kui selles punktis saab tõmmata puutuja funktsiooni graafik, mis ei ole risti abstsissteljega, siis puutuja kalle on f "(a) (ef käik alates a).

Olgu antud funktsioon y = f(x) ja punkt M (a; f(a)), samuti on teada, et f´(a) on olemas. Koostame antud punktis antud funktsiooni graafiku puutuja võrrandi. See võrrand, nagu iga sirge võrrand, mis ei ole y-teljega paralleelne, on kujul y = kx + m (y võrdub ka x pluss em), seega on ülesandeks leida koefitsientide väärtused k ja m (ka ja em)

Kalle k \u003d f "(a). M väärtuse arvutamiseks kasutame seda, et soovitud sirge läbib punkti M (a; f (a)). See tähendab, et kui asendame punkti koordinaadid punkti M sirge võrrandis saame õige võrrandi : f(a) = ka+m, kust leiame, et m = f(a) - ka.

Jääb üle asendada koefitsientide ki ja m leitud väärtused sirgjoone võrrandiga:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y on võrdne eff-ga pluss ef käigust, mis on korrutatud x-ga miinus a).

Oleme saanud funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrandi punktis x=a.

Kui ütleme, y \u003d x 2 ja x \u003d -2 (st a \u003d -2), siis f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, seega f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (siis eff a-st võrdub neljaga, eff algarvu x-ist on võrdne kahe x, mis tähendab ef lööki väärtusest miinus neli)

Asendades võrrandis leitud väärtused a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, saame: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , st y \u003d -4x -neli.

(y võrdub miinus neli x miinus neli)

Koostame funktsiooni y \u003d tgx (y võrdub puutujaga x) graafiku puutuja võrrandi algpunktis. Meil on: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , seega f"(0) = l. Asendades võrrandisse leitud väärtused a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, saame: y=x.

Üldistame oma sammud punktis x oleva funktsiooni graafiku puutuja võrrandi leidmiseks, kasutades algoritmi.

ALGORITM GRAAFIKU y \u003d f (x) puutuja FUNKTSIOONIVÕRDENDI KOOSTAMISEKS:

1) Tähistage puutepunkti abstsiss tähega a.

2) Arvutage f(a).

3) Leidke f´(x) ja arvutage f´(a).

4) Asenda leitud arvud a, f(a), f´(a) valemisse y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Näide 1. Kirjutage funktsiooni y \u003d - graafiku puutuja võrrand sisse

punkt x = 1.

Lahendus. Kasutame algoritmi, arvestades seda selles näites

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Asendage valemis kolm leitud arvu: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1. Saame: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Vastus: y = x-2.

Näide 2. Antud funktsioon y = x 3 +3x 2 -2x-2. Kirjutage funktsiooni y \u003d f (x) graafikule puutuja võrrand paralleelselt sirgega y \u003d -2x +1.

Kasutades tangensvõrrandi koostamise algoritmi, võtame arvesse, et selles näites f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, kuid puutepunkti abstsissi siin ei täpsustata.

Hakkame niimoodi rääkima. Soovitud puutuja peab olema paralleelne sirgjoonega y \u003d -2x + 1. Ja paralleelsetel joontel on võrdsed kalded. Seega on puutuja kalle võrdne antud sirge kaldega: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Seega leiame a väärtuse võrrandist f ´ (a) \u003d -2.

Leiame funktsiooni tuletise y=f(x):

f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

Võrrandist f "(a) \u003d -2, s.o. 3а 2 +6а-2\u003d -2 leiame 1 \u003d 0, 2 \u003d -2. See tähendab, et on kaks puutujat, mis vastavad ülesande tingimustele: üks punktis, mille abstsiss on 0, teine punktis, mille abstsiss on -2.

Nüüd saate tegutseda vastavalt algoritmile.

1) a 1 \u003d 0 ja 2 = -2.

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Asendades valemis väärtused a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2, saame:

y = -2-2(x-0), y = -2x-2.

Asendades valemis väärtused a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2, saame:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Vastus: y=-2x-2, y=-2x+2.

Näide 3. Joonistage punktist (0; 3) funktsiooni y \u003d graafikule puutuja. Lahendus. Kasutame tangensvõrrandi koostamise algoritmi, arvestades, et selles näites f(x) = . Pange tähele, et siin, nagu näites 2, ei ole puutepunkti abstsiss selgesõnaliselt näidatud. Sellegipoolest tegutseme vastavalt algoritmile.

1) Olgu x = a puutepunkti abstsiss; on selge, et a > 0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Väärtuste a, f(a) = , f "(a) = asendamine valemis

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), saame:

Tingimuse järgi läbib puutuja punkti (0; 3). Asendades võrrandisse väärtused x = 0, y = 3, saame: 3 = , ja siis =6, a =36.

Nagu näete, õnnestus selles näites alles algoritmi neljandas etapis leida puutepunkti abstsiss. Asendades võrrandisse väärtuse a =36, saame: y=+3

Joonisel fig. Joonisel 1 on esitatud vaadeldava näite geomeetriline illustratsioon: joonistatakse funktsiooni y \u003d graafik, joonistatakse sirge y \u003d +3.

Vastus: y = +3.

Teame, et funktsiooni y = f(x) puhul, millel on tuletis punktis x, kehtib ligikaudne võrdus: Δyf´(x)Δx

või täpsemalt f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef alates x pluss delta x miinus ef alates x on ligikaudu võrdne ef algarvuga x-st kuni delta x).

Edasise arutluskäigu hõlbustamiseks muudame tähistust:

x asemel kirjutame a,

x + Δx asemel kirjutame x

Δx asemel kirjutame x-a.

Siis on ülaltoodud ligikaudne võrdsus järgmisel kujul:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef x-ist on ligikaudu võrdne eff-ga pluss ef-löögist a-st, korrutatuna x ja a vahega).

Näide 4. Leidke ligikaudne väärtus numbriline avaldis 2,003 6 .

Lahendus. See on umbes funktsiooni y \u003d x 6 väärtuse leidmise kohta punktis x \u003d 2,003. Kasutame valemit f(x)f(a)+f´(a)(x-a), arvestades, et selles näites f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x \u003d 2,003, f "(x) \u003d 6x 5 ja seega f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.

Selle tulemusena saame:

2,003 6 64+192 0,003, s.o. 2,003 6 = 64,576.

Kui kasutame kalkulaatorit, saame:

2,003 6 = 64,5781643...

Nagu näete, on ligikaudne täpsus üsna vastuvõetav.

Artiklis selgitatakse üksikasjalikult definitsioone, tuletise geomeetrilist tähendust koos graafilise märgistusega. Näidetega vaadeldakse puutuja võrrandit, leitakse 2. järku kõverate puutuja võrrandid.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon

Sirge y \u003d k x + b kaldenurka nimetatakse nurgaks α, mida mõõdetakse x-telje positiivsest suunast sirgjoonele y \u003d k x + b positiivses suunas.

Joonisel on härja suunda tähistatud rohelise noole ja rohelise kaarega ning kaldenurka punase kaarega. Sinine joon viitab sirgjoonele.

2. definitsioon

Sirge y \u003d k x + b kallet nimetatakse arvuliseks koefitsiendiks k.

Kalle on võrdne sirge kaldega ehk teisisõnu k = t g α .

Sirge kaldenurk on 0 ainult siis, kui o x on paralleelne ja kalle on null, sest nulli puutuja on 0. Seega on võrrandi vorm y = b.
Kui sirge kaldenurk y = k x + b on terav, siis tingimused 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение kalle k loetakse positiivseks arvuks, sest puutuja väärtus rahuldab tingimust t g α > 0 ja graafikul on kasv.
Kui α \u003d π 2, siis on sirge asukoht risti x-ga. Võrdsust määrab võrdus x = c, mille väärtus c on reaalarv.
Kui sirge kaldenurk y = k x + b on nüri, siis vastab see tingimustele π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

3. määratlus

Sekant on sirgjoon, mis läbib funktsiooni f (x) 2 punkti. Teisisõnu, sekant on sirgjoon, mis läbib antud funktsiooni graafiku mis tahes kahte punkti.

Joonisel on näha, et A B on sekant ja f (x) on must kõver, α on punane kaar, mis näitab sekanti kaldenurka.

Kui sirge kalle on võrdne kaldenurga puutujaga, on selge, et täisnurkse kolmnurga A B C puutuja võib leida külgneva jala suhtes.

4. definitsioon

Saame vormi sekandi leidmise valemi:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , kus punktide A ja B abstsissid on väärtused x A , x B ja f (x A) , f (x B) on väärtuste funktsioonid nendes punktides.

Ilmselt määratakse sekandi kalle, kasutades võrdsust k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A või k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B ja võrrand tuleb kirjutada kujul y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) või
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant jagab graafiku visuaalselt kolmeks osaks: punktist A vasakul, punktist A punkti B, punktist B paremal. Alloleval joonisel on näha, et on kolm sekanti, mida peetakse samadeks, st need on seadke sarnase võrrandi abil.

Definitsiooni järgi on selge, et joon ja selle sekant langevad sel juhul kokku.

Sekant võib ristuda antud funktsiooni graafikuga mitu korda. Kui sekandi jaoks on võrrand kujul y \u003d 0, siis on siinuse lõikepunktide arv lõpmatu.

Definitsioon 5

Funktsiooni f (x) graafiku puutuja punktis x 0 ; f (x 0) nimetatakse sirgeks, mis läbib antud punkti x 0; f (x 0) , kus on segment, millel on palju x väärtusi, mis on x 0 lähedal.

Näide 1

Vaatame allolevat näidet lähemalt. Siis on näha, et funktsiooni y = x + 1 poolt antud sirget peetakse punktis koordinaatidega (1 ; 2) puutujaks y = 2 x . Selguse huvides on vaja arvestada graafikutega, mille väärtused on lähedased (1; 2). Funktsioon y = 2 x on märgitud mustaga, sinine joon on puutuja, punane punkt on lõikepunkt.

Ilmselt ühineb y \u003d 2 x joonega y \u003d x + 1.

Puutuja määramiseks tuleks arvestada puutuja A B käitumisega, kui punkt B läheneb lõputult punktile A. Selguse huvides esitame joonise.

Sekant A B, mida tähistab sinine joon, kaldub puutuja enda asendisse ja sekandi kaldenurk α hakkab lähenema puutuja enda kaldenurgale α x.

Definitsioon 6

Funktsiooni y \u003d f (x) graafiku puutuja punktis A on sekandi A B piirasend punktis B, mis kaldub punkti A, see tähendab B → A.

Nüüd käsitleme funktsiooni tuletise geomeetrilist tähendust punktis.

Liigume edasi funktsiooni f (x) sekandi A B käsitlemisele, kus A ja B koordinaatidega x 0, f (x 0) ja x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ja ∆ x on tähistatud argumendi juurdekasvuna. Nüüd saab funktsioon kuju ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Selguse huvides võtame näitena pildi.

Mõelge tulemusele täisnurkne kolmnurk A B C. Lahenduse jaoks kasutame puutuja definitsiooni, st saame suhte ∆ y ∆ x = t g α . Tangensi definitsioonist järeldub, et lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Punktis tuletise reegli kohaselt nimetatakse tuletist f (x) punktis x 0 funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, kus ∆ x → 0, siis tähistatakse kui f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Siit järeldub, et f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kus k x on tähistatud puutuja tõusuna.

See tähendab, et me saame, et f ' (x) võib eksisteerida punktis x 0 ja, nagu ka funktsiooni antud graafiku puutuja puutepunktis, mis on võrdne x 0 , f 0 (x 0) , kus puutuja kalde väärtus punktis on võrdne tuletisega punktis x 0 . Siis saame, et k x = f "(x 0) .

Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus punktis seisneb selles, et antud on graafiku puutuja olemasolu mõiste samas punktis.

Mis tahes sirgjoone võrrandi kirjutamiseks tasapinnal peab selle punktiga, mida see läbib, olema kalle. Selle tähistus on ristmikul x 0.

Funktsiooni y \u003d f (x) graafiku puutuja võrrand punktis x 0, f 0 (x 0) on kujul y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x) 0) .

See tähendab, et tuletise f "(x 0) lõppväärtus võib määrata puutuja asukoha, st vertikaalselt tingimusel lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ja lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ või puudub üldse tingimusel lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Puutuja asukoht sõltub selle kalde väärtusest k x \u003d f "(x 0). Kui see on paralleelne x-teljega, saame, et k k \u003d 0, kui see on paralleelne umbes y - k x \u003d ∞, ja puutuja võrrandi kuju x \u003d x 0 suureneb kui k x > 0, väheneb kui k x< 0 .

Näide 2

Koostage funktsiooni y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 graafiku puutuja võrrand koordinaatidega (1; 3) punktis nurga määratlusega kalle.

Lahendus

Eeldades, et funktsioon on defineeritud kõigi reaalarvude jaoks. Saame, et tingimusega (1 ; 3) määratud koordinaatidega punkt on kokkupuutepunkt, siis x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Tuletis on vaja leida punktist, mille väärtus on -1. Me saame sellest aru

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

F ’ (x) väärtus kokkupuutepunktis on puutuja kalle, mis on võrdne kalde puutujaga.

Siis k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Sellest järeldub, et α x = a r c t g 3 3 = π 6

Vastus: puutuja võrrand saab kuju

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Selguse huvides toome näite graafilisel illustratsioonil.

Algfunktsiooni joonisel kasutatakse musta värvi, Sinine värv- puutuja kujutis, punane täpp - kokkupuutepunkt. Parempoolne joonis näitab suurendatud vaadet.

Näide 3

Uuri välja antud funktsiooni graafiku puutuja olemasolu
y = 3 x - 1 5 + 1 punktis koordinaatidega (1 ; 1) . Kirjutage võrrand ja määrake kaldenurk.

Lahendus

Eeldusel on meil, et antud funktsiooni domeen on kõigi reaalarvude hulk.

Liigume edasi tuletise leidmise juurde

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Kui x 0 = 1, siis f ' (x) ei ole defineeritud, vaid piirid kirjutatakse lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ ja lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , mis tähendab vertikaal puutuja olemasolu punktis punkt (1 ; 1) .

Vastus: võrrand on kujul x \u003d 1, kus kaldenurk on võrdne π 2-ga.

Joonistame selle selguse huvides graafiku.

Näide 4

Leia funktsiooni graafiku punktid y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , kus

Puutujat ei eksisteeri;
Puutuja on paralleelne x-ga;
Puutuja on paralleelne sirgega y = 8 5 x + 4 .

Lahendus

Tähelepanu tuleb pöörata määratlusvaldkonnale. Eeldades, et funktsioon on defineeritud kõigi reaalarvude hulgal. Laiendage moodulit ja lahendage süsteem intervallidega x ∈ - ∞ ; 2 ja [-2; +∞) . Me saame sellest aru

y = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funktsioon tuleb eristada. Meil on see

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Kui x = - 2, siis tuletist ei eksisteeri, kuna ühepoolsed piirid ei ole selles punktis võrdsed:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = piir x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = piir x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Arvutame funktsiooni väärtuse punktis x \u003d - 2, kust me selle saame

y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, see tähendab puutuja punkti (- 2; - 2) ei eksisteeri.
Puutuja on paralleelne x-ga, kui kalle on null. Siis k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). See tähendab, et on vaja leida sellise x väärtused, kui funktsiooni tuletis muudab selle nulliks. See tähendab, et väärtused f ' (x) on puutepunktid, kus puutuja on paralleelne umbes x .

Kui x ∈ - ∞ ; - 2 , siis - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 ja x ∈ (- 2 ; + ∞) korral saame 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = -12 + 4 2 = -5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Arvutame funktsiooni vastavad väärtused

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Seega - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 loetakse funktsiooni graafiku soovitud punktideks.

Kaaluge lahenduse graafilist esitust.

Must joon on funktsiooni graafik, punased täpid on puutepunktid.

Kui jooned on paralleelsed, on kalded võrdsed. Seejärel tuleb otsida funktsiooni graafiku punkte, kus kalle on võrdne väärtusega 8 5 . Selleks peate lahendama võrrandi kujul y "(x) = 8 5. Siis, kui x ∈ - ∞; - 2, saame, et - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 ja kui x ∈ ( - 2 ; + ∞) , siis 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Esimesel võrrandil pole juuri, sest diskriminant vähem kui null. Paneme selle kirja

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Teisel võrrandil on siis kaks reaaljuurt

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Liigume edasi funktsiooni väärtuste leidmise juurde. Me saame sellest aru

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punktid väärtustega -1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 on punktid, kus puutujad on paralleelsed sirgega y = 8 5 x + 4 .

Vastus: must joon - funktsiooni graafik, punane joon - graafik y \u003d 8 5 x + 4, sinine joon - puutujad punktides - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Antud funktsioonide jaoks on võimalik lõpmatu arvu puutujate olemasolu.

Näide 5

Kirjutage üles funktsiooni y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 kõigi saadaolevate puutujate võrrandid, mis on risti sirgega y = - 2 x + 1 2.

Lahendus

Puutuja võrrandi koostamiseks on vaja leida puutepunkti koefitsient ja koordinaadid, lähtudes sirgete perpendikulaarsuse tingimusest. Definitsioon kõlab järgmiselt: sirgetega risti olevate nõlvade korrutis on võrdne -1, see tähendab, et see on kirjutatud kujul k x · k ⊥ = - 1. Tingimusest saame, et kalle on sirgjoonega risti ja võrdub k ⊥ = - 2, siis k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Nüüd peame leidma puutepunktide koordinaadid. Peate leidma x, mille järel selle väärtus antud funktsiooni jaoks. Pange tähele, et tuletise geomeetrilisest tähendusest punktis
x 0 saame, et k x \u003d y "(x 0) . Sellest võrdsusest leiame puutepunktide x väärtused.

Me saame sellest aru

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin - 3 π 2 4 = - 1 9

seda trigonomeetriline võrrand kasutatakse puutepunktide ordinaatide arvutamiseks.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk või 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk või 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk või x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z on täisarvude hulk.

Leiti x kokkupuutepunkti. Nüüd peate minema y väärtuste otsingusse:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 või y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 või y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 või y 0 = - 4 5 + 1 3

Siit saame, et 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 on puutepunktid.

Vastus: vajalikud võrrandid kirjutatakse kujul

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Visuaalse esituse jaoks võtke arvesse funktsiooni ja puutujat koordinaatjoonel.

Jooniselt on näha, et funktsiooni asukoht on intervallil [-10; 10 ] , kus must joon on funktsiooni graafik, sinised jooned on puutujad, mis on risti antud sirgega kujul y = - 2 x + 1 2 . Punased täpid on puutepunktid.

2. järku kõverate kanoonilised võrrandid ei ole üheväärtuslikud funktsioonid. Nende jaoks koostatakse puutujavõrrandid tuntud skeemide järgi.

Ringi puutuja

Ringjoone seadmiseks, mille keskpunkt on punkt x c e n t e r ; y c e n t e r ja raadius R, kasutatakse valemit x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Seda võrdsust saab kirjutada kahe funktsiooni liiduna:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Esimene funktsioon on ülaosas ja teine allosas, nagu on näidatud joonisel.

Koostada ringjoone võrrand punktis x 0 ; y 0, mis asub ülemises või alumises poolringis, peaksite leidma funktsioonigraafiku võrrandi kujul y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r või y \u003d - R 2 - x - x + c e y c e n t e r määratud punktis.

Kui punktides x c e n t e r ; y c e n t e r + R ja x c e n t e r; y c e n t e r - R puutujaid saab anda võrranditega y = y c e n t e r + R ja y = y c e n t e r - R ning punktides x c e n t e r + R ; y c e n t e r ja
x c e n t e r - R ; y c e n t e r on y suhtes paralleelne, siis saame võrrandid kujul x = x c e n t e r + R ja x = x c e n t e r - R .

Ellipsi puutuja

Kui ellipsi keskpunkt on x c e n t e r; y c e n t e r pooltelgedega a ja b , siis saab selle esitada võrrandi x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 abil.

Ellipsi ja ringi saab tähistada kahe funktsiooni, nimelt ülemise ja alumise poolellipsi kombineerimisega. Siis me saame selle

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Kui puutujad asuvad ellipsi tippudes, on nad paralleelsed x või y suhtes. Selguse huvides vaadake allolevat joonist.

Näide 6

Kirjutage ellipsi puutuja võrrand x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 punktides, mille x väärtus on võrdne x = 2 .

Lahendus

Tuleb leida puutepunktid, mis vastavad väärtusele x = 2. Asendame olemasoleva ellipsi võrrandi ja saame selle

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Siis 2; 5 3 2 + 5 ja 2 ; - 5 3 2 + 5 on puutujapunktid, mis kuuluvad ülemisse ja alumisse poolellipsisse.

Liigume edasi y suhtes ellipsi võrrandi leidmise ja lahendamise juurde. Me saame sellest aru

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 a - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 a - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 a = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

On ilmne, et ülemise poolellipsi määramisel kasutatakse funktsiooni kujul y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ja alumine y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Funktsiooni graafiku puutuja võrrandi formuleerimiseks punktis rakendame standardset algoritmi. Kirjutame, et esimese puutuja võrrand punktis 2 ; 5 3 2 + 5 näeb välja selline

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Saame, et teise puutuja võrrand punktis oleva väärtusega
2; - 5 3 2 + 5 muutub

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graafiliselt on puutujad tähistatud järgmiselt:

Hüperbooli puutuja

Kui hüperbooli keskpunkt on punktis x c e n t e r ; y c e n t e r ja tipud x c e n t e r + α ; y c e n t e r ja x c e n t e r - α ; y c e n t e r, võrratus x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 on antud, kui tippudega x c e n t e r ; y c e n t e r + b ja x c e n t e r ; y c e n t e r - b on siis antud võrratusega x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hüperbooli saab esitada kahe vormi kombineeritud funktsioonina

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r või y = b a (x - x c e r e) n t + t a (x - x c e r) n ) 2 + a 2 + y c e n t e r

Esimesel juhul on puutujad paralleelsed y-ga ja teisel juhul paralleelsed x-ga.

Sellest järeldub, et hüperbooli puutuja võrrandi leidmiseks tuleb välja selgitada, millisele funktsioonile puutujapunkt kuulub. Selle kindlaksmääramiseks on vaja võrrandites teha asendus ja kontrollida nende identsust.

Näide 7

Kirjutage punktis 7 hüperbooli puutuja võrrand x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1; - 3 3 - 3 .

Lahendus

Hüperbooli leidmise lahenduse kirje on vaja teisendada kahe funktsiooni abil. Me saame sellest aru

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 või y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

On vaja kindlaks teha, milline funktsioon kuulub antud punkt koordinaatidega 7 ; - 3 3 - 3 .

Ilmselt on esimese funktsiooni kontrollimiseks vaja y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , siis punkt ei kuulu graafikusse, kuna võrdsus ei ole rahul.

Teise funktsiooni jaoks on meil y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , mis tähendab, et punkt kuulub antud graafikusse. Siit peaksite leidma kaldekoefitsiendi.

Me saame sellest aru

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Vastus: puutuja võrrandit saab esitada kui

y = – 3 x – 7 – 3 3 – 3 = – 3 x + 4 3 – 3

Seda visualiseeritakse järgmiselt:

Parabooli puutuja

Parabooli y \u003d a x 2 + b x + c puutuja võrrandi koostamiseks punktis x 0, y (x 0) peate kasutama standardset algoritmi, siis on võrrand kujul y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Selline puutuja tipus on paralleelne x-ga.

Parabool x = a y 2 + b y + c tuleks määratleda kahe funktsiooni ühendusena. Seetõttu peame lahendama y võrrandi. Me saame sellest aru

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Joonistame selle järgmiselt:

Et teada saada, kas punkt x 0 , y (x 0) kuulub funktsiooni, järgige ettevaatlikult standardset algoritmi. Selline puutuja on parabooli suhtes paralleelne y-ga.

Näide 8

Kirjutage graafiku puutuja võrrand x - 2 y 2 - 5 y + 3, kui puutuja kalle on 150 °.

Lahendus

Lahendust alustame esitades parabooli kahe funktsioonina. Me saame sellest aru

2 a 2 - 5 a + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x-4

Kalde väärtus on võrdne tuletise väärtusega selle funktsiooni punktis x 0 ja on võrdne kalde puutujaga.

Saame:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Siit määrame puutepunktide x väärtuse.

Esimene funktsioon kirjutatakse kujul

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Ilmselgelt pole tõelisi juuri, kuna saime negatiivse väärtuse. Me järeldame, et sellise funktsiooni jaoks pole puutujat, mille nurk on 150 °.

Teine funktsioon kirjutatakse kujul

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Meil on, et puutepunktid - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Vastus: puutuja võrrand saab kuju

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Joonistame selle graafiku järgmiselt:

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Selles artiklis analüüsime leidmiseks igat tüüpi probleeme

Jätame meelde tuletise geomeetriline tähendus: kui funktsiooni graafikule tõmmatakse punktis puutuja, siis puutuja kalle (võrdne puutuja ja telje positiivse suuna vahelise nurga puutujaga) on võrdne funktsiooni tuletisega punktis. punkt.

Võtke puutujal suvaline punkt koordinaatidega:

Ja kaaluge täisnurkset kolmnurka:

Selles kolmnurgas

Siit

See on punktis funktsiooni graafikule joonistatud puutuja võrrand.

Puutuja võrrandi kirjutamiseks peame teadma ainult funktsiooni võrrandit ja puutuja joonestamise punkti. Siis leiame ja .

Tangensvõrrandi probleeme on kolme peamist tüüpi.

1. Antud kontaktpunkt

2. Antud puutuja kalde koefitsient ehk funktsiooni tuletise väärtus punktis.

3. Antud punkti koordinaadid, mille kaudu puutuja tõmmatakse, kuid mis ei ole puutujapunkt.

Vaatame igat tüüpi probleeme.

üks . Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand punktis .

b) Leia tuletise väärtus punktis . Kõigepealt leiame funktsiooni tuletise

Asendage leitud väärtused puutuja võrrandisse:

Avame võrrandi paremal küljel olevad sulud. Saame:

Vastus: .

2. Leidke nende punktide abstsissid, kus funktsioonid puutuvad graafikuga paralleelselt x-teljega.

Kui puutuja on paralleelne x-teljega, siis puutuja ja telje positiivse suuna vaheline nurk on null, seega puutuja kalde puutuja on null. Seega funktsiooni tuletise väärtus kokkupuutepunktides on null.

a) Leia funktsiooni tuletis .

b) Võrdsusta tuletis nulliga ja leia väärtused, mille puutuja on paralleelne teljega:

Võrdsustame iga teguri nulliga, saame:

Vastus: 0;3;5

3 . Kirjutage funktsiooni graafikule puutujate võrrandid , paralleelselt otse .

Puutuja on joonega paralleelne. Selle sirge kalle on -1. Kuna puutuja on selle sirgega paralleelne, on ka puutuja kalle -1. See on me teame puutuja kalle, ja seega tuletise väärtus kokkupuutepunktis.

See on teist tüüpi probleem puutuja võrrandi leidmiseks.

Niisiis, meile antakse funktsioon ja tuletise väärtus kokkupuutepunktis.

a) Leia punktid, kus funktsiooni tuletis võrdub -1-ga.

Esiteks leiame tuletisvõrrandi.

Võrdlustame tuletise arvuga -1.

Leia funktsiooni väärtus punktis .

(tingimuse järgi)

b) Leidke funktsiooni graafiku puutuja võrrand punktis .

Leia funktsiooni väärtus punktis .

(tingimuse järgi).

Asendage need väärtused puutuja võrrandisse:

Vastus:

neli . Kirjutage kõvera puutuja võrrand , punkti läbimine

Esiteks kontrollige, kas punkt pole puutepunkt. Kui punkt on puutujapunkt, siis kuulub see funktsiooni graafikusse ja selle koordinaadid peavad vastama funktsiooni võrrandile. Asendage funktsiooni võrrandis oleva punkti koordinaadid.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ei ole kokkupuutepunkt.

See on viimast tüüpi probleem puutuja võrrandi leidmiseks. Esimene asi peame leidma kokkupuutepunkti abstsissi.

Leiame väärtuse.

Olgu see kokkupuutepunkt. Punkt kuulub funktsiooni graafiku puutuja juurde. Kui asendame puutuja võrrandiga selle punkti koordinaadid, saame õige võrrandi:

Funktsiooni väärtus punktis on .

Leia funktsiooni tuletise väärtus punktis .

Leiame esmalt funktsiooni tuletise. See .

Punkti tuletis on .

Asendame avaldised puutuja võrrandiga ja võrrandisse. Saame võrrandi:

Lahendame selle võrrandi.

Vähendage murdosa lugejat ja nimetajat 2 võrra:

Toome võrrandi parema poole ühise nimetaja juurde. Saame:

Lihtsustage murdosa lugejat ja korrutage mõlemad osad - see avaldis on rangelt suurem kui null.

Saame võrrandi

Lahendame selle ära. Selleks paneme mõlemad osad ruudukujuliseks ja läheme süsteemi.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(maatriks(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lahendame esimese võrrandi.

Meie otsustame ruutvõrrand, saame

Teine juur ei vasta tingimusele title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Kirjutame kõvera puutuja võrrandi punktis . Selleks asendame võrrandis oleva väärtuse Oleme selle juba salvestanud.

Vastus:
.

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja sõnumite saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või riigiasutuste taotluste alusel - avaldada oma isikuandmeid. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.