Suurim ühiskordne ja vähim ühisjagaja. Jagatavuskriteeriumid ja rühmitamise meetodid (2019)

Selles artiklis sisalduv teave vormib üldine idee umbes täisarvud. Esiteks antakse täisarvude definitsioon ja tuuakse näiteid. Järgmisena vaadeldakse arvureal olevaid täisarve, millest selgub, milliseid arve nimetatakse positiivseteks ja milliseid negatiivseteks täisarvudeks. Pärast seda näidatakse, kuidas kirjeldatakse koguste muutusi täisarvude abil ja negatiivseid täisarve vaadeldakse võla tähenduses.

Leheküljel navigeerimine.

Täisarvud – määratlus ja näited

Definitsioon.

Täisarvud on naturaalarvud, arv null, samuti naturaalarvudele vastupidised arvud.

Täisarvude definitsioon ütleb, et kõik arvud 1, 2, 3, …, arv 0 ja ka kõik arvud −1, −2, −3, … on täisarv. Nüüd saame lihtsalt tuua täisarvu näited. Näiteks arv 38 on täisarv, arv 70040 on samuti täisarv, null on täisarv (tuletage meelde, et null EI OLE naturaalarv, null on täisarv), arvud −999 , −1 , −8 934 832 on ka näited täisarvudest.

Kõik täisarvud on mugav esitada täisarvude jadana, millel on järgmine kuju: 0, ±1, ±2, ±3, … Täisarvude jada saab kirjutada ka järgmiselt: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Täisarvude definitsioonist järeldub, et hulk naturaalarvud on täisarvude hulga alamhulk. Seetõttu on iga naturaalarv täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.

Täisarvud koordinaatjoonel

Definitsioon.

Positiivsed täisarvud on täisarvud, mis on suuremad kui null.

Definitsioon.

Negatiivsed täisarvud on täisarvud, mis vähem kui null.

Täisarvu positiivseid ja negatiivseid arve saab määrata ka nende asukoha järgi koordinaatjoonel. Horisontaalsel koordinaatjoonel asuvad punktid, mille koordinaadid on positiivsed täisarvud, lähtepunktist paremal. Negatiivsete täisarvuliste koordinaatidega punktid asuvad omakorda punktist O vasakul.

On selge, et kõigi positiivsete täisarvude hulk on naturaalarvude hulk. Kõikide negatiivsete täisarvude hulk on omakorda kõigi naturaalarvudele vastandlike arvude hulk.

Eraldi juhime teie tähelepanu tõsiasjale, et me võime julgelt nimetada mis tahes naturaalarvu täisarvuks ja me EI saa nimetada ühtegi täisarvu naturaalarvuks. Looduslikuks saame nimetada ainult mis tahes positiivset täisarvu, kuna negatiivsed täisarvud ja null ei ole loomulikud.

Mittepositiivsed täisarvud ja mittenegatiivsed täisarvud

Anname mittepositiivsete ja mittenegatiivsete täisarvude definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse kõik positiivsed täisarvud koos nulliga täisarv mittenegatiivsed arvud.

Definitsioon.

Mittepositiivsed täisarvud on kõik negatiivsed täisarvud koos arvuga 0 .

Teisisõnu, mittenegatiivne täisarv on täisarv, mis on nullist suurem või sellega võrdne, ja mittepositiivne täisarv, mis on nullist väiksem või sellega võrdne.

Mittepositiivsete täisarvude näideteks on arvud -511, -10 030, 0, -2 ja mittenegatiivsete täisarvude näidetena tuuakse numbrid 45, 506, 0, 900 321.

Kõige sagedamini kasutatakse lühiduse huvides termineid "mittepositiivsed täisarvud" ja "mitte-negatiivsed täisarvud". Näiteks fraasi "arv a on täisarv ja a on suurem kui null või võrdne nulliga" asemel võite öelda "a on mittenegatiivne täisarv".

Väärtuste muutmise kirjeldus täisarvude abil

On aeg rääkida sellest, milleks on täisarvud.

Täisarvude peamine eesmärk on see, et nende abil on mugav kirjeldada mis tahes üksuste arvu muutust. Käsitleme seda näidete abil.

Oletame, et laos on teatud hulk osi. Kui lattu tuuakse näiteks 400 detaili juurde, siis osade arv laos suureneb ja number 400 väljendab seda koguse muutust positiivne pool(tõusu suunas). Kui laost võetakse näiteks 100 osa, siis osade arv laos väheneb ja number 100 väljendab koguse muutust negatiivne pool(kahanemise suunas). Osasid lattu ei tooda ja osi laost ära ei viida, siis saab rääkida osade arvu muutumatusest (ehk siis saab rääkida koguse nullmuutusest).

Toodud näidetes saab osade arvu muutust kirjeldada täisarvude 400 , −100 ja 0 abil. Positiivne täisarv 400 näitab koguse positiivset muutust (kasvu). Negatiivne täisarv −100 väljendab koguse negatiivset muutust (vähenemist). Täisarv 0 näitab, et kogus ei ole muutunud.

Täisarvude kasutamise mugavus võrreldes naturaalarvude kasutamisega seisneb selles, et pole vaja selgesõnaliselt näidata, kas kogus kasvab või väheneb – täisarv määrab muutuse kvantitatiivselt ja täisarvu märk näitab muutuse suunda.

Täisarvud võivad väljendada ka mitte ainult koguse muutust, vaid ka mõne väärtuse muutust. Käsitleme seda temperatuurimuutuse näitel.

Temperatuuri tõusu näiteks 4 kraadi võrra väljendatakse positiivse täisarvuna 4 . Temperatuuri langust näiteks 12 kraadi võrra saab kirjeldada negatiivse täisarvuga −12. Ja temperatuuri invariantsus on selle muutus, mis on määratud täisarvuga 0.

Eraldi tuleb öelda negatiivsete täisarvude tõlgendamise kohta võlasummana. Näiteks kui meil on 3 õuna, siis positiivne täisarv 3 tähistab meile kuuluvate õunte arvu. Teisest küljest, kui me peame kellelegi andma 5 õuna, kuid meil pole neid käepärast, saab seda olukorda kirjeldada negatiivse täisarvuga −5. Sel juhul "omame" −5 õuna, miinusmärk näitab võlga ja number 5 väljendab võlga.

Negatiivse täisarvu mõistmine võlana võimaldab näiteks põhjendada negatiivsete täisarvude liitmise reeglit. Võtame näite. Kui keegi võlgneb ühele inimesele 2 õuna ja teisele ühe õuna, siis on võlg kokku 2+1=3 õuna, seega −2+(−1)=−3 .

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya. jne Matemaatika. 6. klass: õpik õppeasutustele.

Artikli sisu

Arvu mõiste matemaatikas võib viidata erineva iseloomuga objektidele: loendamisel kasutatavatele naturaalarvudele (positiivsed täisarvud 1, 2, 3 jne), arvudele, mis on (idealiseeritud) mõõtmiste võimalikud tulemused (need on arvud nagu näiteks 2/ 3, - neid nimetatakse reaalarvudeks, negatiivseteks arvudeks, imaginaararvudeks (ütleme, k) ja muudeks abstraktsemateks arvuklassideks, mida kasutatakse matemaatika kõrgemates osades (näiteks hüperkompleks- ja piiriülesed arvud). Numbrit tuleb eristada selle sümbolist või seda tähistavast tähistusest. Vaatleme erinevate arvuklasside vahelisi loogilisi seoseid.

Selliseid mõistatusi on lihtne lahendada, kui arvestada, et erinevatel numbriklassidel on üsna erinev tähendus; kuigi neil on piisavalt ühist, et neid kõiki saab numbriteks nimetada, ei tohiks arvata, et nad kõik vastavad samadele reeglitele.

positiivsed täisarvud.

Kuigi me kõik õpime positiivseid täisarve (1, 2, 3 jne) varases lapsepõlves, kui definitsioonidele mõelda ei pea, saab selliseid numbreid defineerida kõigi formaalse loogika reeglitega. Arvu 1 range määratlus võtaks rohkem kui tosin lehekülge ja selline valem nagu 1 + 1 = 2, kui see oleks kirjutatud üksikasjalikult ilma lühenditeta, ulatuks mitme kilomeetri pikkuseks. Iga matemaatiline teooria on aga sunnitud alustama mingite määratlemata mõistete ja nende kohta käivate aksioomide või postulaatidega. Kuna positiivsed täisarvud on hästi teada ja neid on raske millegi lihtsama abil defineerida, võtame need algsete määratlemata mõistetena ja eeldame, et nende arvude põhiomadused on teada.

Negatiivsed täisarvud ja null.

Negatiivsed arvud on tänapäeval tavalised: neid kasutatakse näiteks alla nulli temperatuuride tähistamiseks. Seetõttu tundub üllatav, et mõni sajand tagasi puudus negatiivsete arvude konkreetne tõlgendus ning arvutuste käigus ilmnenud negatiivseid numbreid nimetati "imaginaarseteks". Kuigi negatiivsete arvude intuitiivne tõlgendamine on iseenesest kasulik, peame selliste "reeglite" mõistmisel nagu (-4)ґ(-3) = +12 defineerima negatiivsed arvud positiivsete arvudena. Selleks peame koostama selliste matemaatiliste objektide komplekti, mis käituvad aritmeetikas ja algebras täpselt nii, nagu võiks eeldada negatiivsete arvude puhul. Üks viis sellise hulga koostamiseks on arvestada positiivsete arvude järjestatud paaridega ( a,b). "Tellitud" tähendab, et näiteks paar (2,3) erineb paarist (3,2). Selliseid järjestatud paare võib pidada uus klass numbrid. Nüüd peame ütlema, millal on kaks sellist uut arvu võrdsed ja mida nende liitmine ja korrutamine tähendab. Meie definitsioonide valikul on soov, et paar ( a,b) toimis erinevusena ( a – b), mis on seni määratletud ainult siis, kui a rohkem b. Kuna algebras ( a-b) + (c-d) = (a+c) – (b+d), jõuame vajaduseni määratleda uute numbrite lisamine kui ( a,b) + (c,d) = (a+c, b+d); sest ( a – b)ґ(c – d) = ac + bd – (bc + reklaam), defineerime korrutamise võrdsusega ( a,b)ґ(c,d) = (ac+bd, bc + reklaam); ja kuna ( a-b) = (c-d), kui a + d = b + c, defineerime uute arvude võrdsuse seosega ( a,b) = (c,d), kui a + d = b + c. Sellel viisil,

Kasutades paaride võrdsuse definitsioone, saame kirjutada paaride summa ja korrutise lihtsamal kujul:

Kõik paarid ( a,a) on võrdsed (paaride võrdsuse definitsiooni järgi) ja toimivad nii, nagu eeldame nulli toimimist. Näiteks (2,3) + (1,1) = (3,4) = (2,3); (2.3)ґ(1.1) = (2 + 3, 2 + 3) = (5.5) = (1.1). Paarid ( a,a) saame sümboliseerida 0 (mida pole veel kasutatud).

Paarid ( a,b), kus b rohkem a, käituvad nii nagu negatiivsed arvud peaksid ja me saame tähistada paari ( a,b) sümbol – ( b – a). Näiteks -4 on (1,5) ja -3 on (1,4); (–4)ґ(–3) = (21,9) või (13,1). Tahaksime tähistada viimast numbrit 12-na, kuid see ei ole ilmselgelt sama, mis positiivne täisarv 12, kuna see tähistab positiivsete täisarvude paari, mitte ühtegi positiivset täisarvu. Tuleb rõhutada, et kuna paarid ( a,b), kus b vähem a, toimivad positiivsete täisarvudena ( a – b), kirjutame numbreid nagu ( a – b). Samal ajal peame unustama positiivsed täisarvud, millega alustasime, ja edaspidi kasutama ainult meie uusi numbreid, mida me nimetame täisarvud. Asjaolu, et kavatseme mõne uue numbri puhul kasutada vanu nimesid, ei tohiks olla eksitav, et uued numbrid on tegelikult teist tüüpi objektid.

Murrud.

Intuitiivselt mõtleme murdosa 2/3 tulemusele, kui jagame 1 kolmeks võrdseks osaks ja võtame neist kaks. Matemaatik püüab aga võimalikult vähe toetuda intuitsioonile ja defineerida ratsionaalseid arve lihtsamate objektide – täisarvude – kaudu. Seda saab teha, käsitledes 2/3 järjestatud (2,3) täisarvude paarina. Definitsiooni täiendamiseks on vaja sõnastada murdude võrdsuse, samuti liitmise ja korrutamise reeglid. Loomulikult peavad need reeglid olema samaväärsed aritmeetikareeglitega ja loomulikult erinevad nende järjestatud paaride reeglitest, mille oleme määratlenud täisarvudena. Siin on reeglid:

On lihtne näha, et paarid ( a,1) toimivad täisarvudena a; Jätkates mõtlemist samamoodi nagu negatiivsete arvude puhul, tähistame 2-ga murdosa (2.1) või (4.2) või mis tahes muud murdosa, mis võrdub (2.1). Unustagem nüüd täisarvud ja hoidkem neid ainult teatud murdude kirjutamise vahendina.

Ratsionaal- ja irratsionaalarvud.

Murdu nimetatakse ka ratsionaalarvudeks, kuna neid saab esitada kujul suhted(alates lat. suhe kahe täisarvu suhe). Aga kui meil on vaja arvu, mille ruut on 2, siis ei saa me ratsionaalarvudega hakkama, sest pole olemas ratsionaalarvu, mille ruut oleks võrdne 2-ga. Sama selgub, kui küsida ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhet väljendava arvu kohta. Seega, kui tahame saada ruutjuured kõigist positiivsetest arvudest, siis peame ratsionaalarvude klassi laiendama. Uusi arve, mida nimetatakse irratsionaalseteks (st mitte ratsionaalseteks), saab defineerida erinevatel viisidel. Tellitud paarid pole selleks head; üks lihtsamaid viise on määratleda irratsionaalarvud lõpmatute mittekorduvate kümnendkohtadena.

Reaalarvud.

Ratsionaal- ja irratsionaalarve koos nimetatakse reaal- või reaalarvudeks. Geomeetriliselt saab neid kujutada punktidena sirgjoonel, kus täisarvude vahel on murrud ja murdude vahel irratsionaalarvud, nagu on näidatud joonisel fig. 1. Võib näidata, et reaalarvude süsteemil on omadus, mida tuntakse kui "täielikkust", mis tähendab, et joone iga punkt vastab mõnele reaalarvule.

Keerulised numbrid.

Kuna positiivsete ja negatiivsete reaalarvude ruudud on positiivsed, siis pole reaalarvude real ühtegi punkti, mis vastaks arvule, mille ruut on -1. Aga kui me prooviksime otsustada ruutvõrrandid tüüp x 2 + 1 = 0, siis oleks vaja käituda nii, nagu oleks mingi arv i, mille ruut oleks -1. Kuid kuna sellist arvu pole, ei jää meil muud üle, kui kasutada "imaginaarset" või "imaginaarset" numbrit. Seega "number" i ja selle kombinatsioonid tavaliste numbritega (nt 2 + 3 i) sai tuntuks kui kujuteldav. Kaasaegsed matemaatikud eelistavad nimetada selliseid numbreid "keerulisteks", sest nagu näeme, on need täpselt sama "päris" kui need, mida oleme varem kohanud. Matemaatikud kasutasid pikka aega vabalt imaginaarseid arve ja said kasulikke tulemusi, kuigi nad ei saanud täielikult aru, mida nad teevad. Kuni 19. sajandi alguseni kellelgi ei tulnud pähegi kujuteldavaid arve nende selgesõnalise definitsiooni abil "elustada". Selleks tuleb ehitada mingi komplekt matemaatilisi objekte, mis algebra seisukohalt käituksid nagu avaldised a+bi, kui me sellega nõustume i 2 = -1. Selliseid objekte saab määratleda järgmiselt. Vaatleme uuteks arvudeks järjestatud reaalarvude paare, mille liitmine ja korrutamine määratakse valemitega:

Selliseid järjestatud paare nimetame kompleksnumbriteks. Eravormi paarid ( a,0) teise liikmega, null, käituvad nagu reaalarvud, seega nõustume neid tähistama samal viisil: näiteks 2 tähendab (2,0). Teisest küljest on kompleksarv (0, b) omab korrutamise definitsiooni järgi omadust (0, b)ґ(0,b) = (0 – b 2 , 0 + 0) = (–b 2 ,0) = –b 2. Näiteks (0.1)ґ(0.1) puhul leiame korrutise (-1.0); seega (0,1) 2 = (–1,0). Oleme juba kokku leppinud, et kirjutame kompleksarvu (-1.0) kui -1, nii et kui arv (0.1) on tähistatud sümboliga i, siis saame kompleksarvu i, selline, et i 2 = -1. Lisaks saab kompleksarvu (2,3) nüüd kirjutada kujul 2 + 3 i.

Selle kompleksarvude lähenemise oluline erinevus traditsioonilisest on see, et antud juhul on arv i ei sisalda midagi salapärast ega väljamõeldud: see on midagi, mis on juba varem eksisteerinud numbrite abil hästi määratletud, kuigi loomulikult ei lange see ühegi neist kokku. Samamoodi ei ole reaalarv 2 keeruline, kuigi kasutame kompleksarvu tähistamiseks sümbolit 2. Kuna imaginaarsetes numbrites pole tegelikult midagi “imaginaarset”, pole üllatav, et neid kasutatakse laialdaselt reaalsetes olukordades, näiteks elektrotehnikas (kus tähe asemel i kasutatakse tavaliselt tähte j, nagu elektrotehnikas i- voolu praeguse väärtuse sümbol).

Kompleksarvude algebra sarnaneb paljuski reaalarvude algebraga, kuigi on olulisi erinevusi. Näiteks kompleksarvude reegel ei kehti: , seega , while .

Kompleksarvude liitmine võimaldab lihtsat geomeetrilist tõlgendamist. Näiteks arvude 2 + 3 summa i ja 3 - i seal on number 5 + 2 i, mis vastab rööpküliku neljandale tipule kolme tipuga punktides 0, 2 + 3 i ja 3 - i.

Tasapinna punkti saab määrata mitte ainult ristkülikukujuliste koordinaatide abil ( x,y), aga ka polaarkoordinaatide järgi ( r,q), mis määrab kauguse punktist lähtepunktini ja nurga. Seega kompleksarv x+iy saab kirjutada ka polaarkoordinaatides (joon. 2, b). Raadiusvektori pikkus r võrdne kaugusega alguspunktist kompleksarvule vastava punktini; suurusjärk r nimetatakse kompleksarvu mooduliks ja määratakse valemiga . Sageli kirjutatakse moodul kujul . Nurk q nimetatakse kompleksarvu "nurgaks", "argumendiks" või "faasiks". Sellisel arvul on lõpmatult palju nurki, mis erinevad 360° korda; näiteks, i nurk on 90°, 450°, -270°, ј Kuna sama punkti Descartes'i ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud x = r cos q, y = r patt q, võrdsus x + iy = r(cos q + i patt q).

Kui a z = x + iy, siis number x-iy nimetatakse komplekskonjugaadiks z ja tähistatakse n z = re iq . Kompleksarvu logaritm re iq, on definitsiooni järgi võrdne ln-ga r + iq, kus ln tähendab baaslogaritmi e, a q võtab kõik vastu võimalikud väärtused mõõdetuna radiaanides. Seega on kompleksarvul lõpmatult palju logaritme. Näiteks ln (–2) = ln 2 + ip+ 2 mis tahes täisarv lk. AT üldine vaade kraadi saab nüüd määrata seose abil a b = e b ln a. Näiteks, i –2i = e-2ln i. Alates arvu argumendi väärtustest i võrdne lk/2 (90° radiaanides) pluss täisarvu kordne, seejärel arv i –2i asja ep, e 3 lk, e -lk jne, mis kõik kehtivad.

hüperkompleksarvud.

Kompleksarvud leiutati selleks, et oleks võimalik lahendada kõiki ruutvõrrandeid reaalkoefitsientidega. Võib näidata, et tegelikult kompleksarvud võimaldavad teha palju enamat: nende kasutuselevõtuga muutuvad mis tahes astme algebralised võrrandid lahendatavateks isegi keerukate koefitsientide korral. Seega, kui meid huvitaks vaid lahendused algebralised võrrandid, siis kaoks vajadus uusi numbreid kasutusele võtta. Kuid muudel eesmärkidel on vaja numbreid, mis on paigutatud mõnevõrra sarnaselt keerukatele, kuid rohkemate komponentidega. Mõnikord nimetatakse selliseid numbreid hüperkompleksiks. Näiteks kvaternioonid ja maatriksid.

Pealkirjades Araabia numbrid iga number kuulub oma kategooriasse ja iga kolm numbrit moodustavad klassi. Seega näitab numbri viimane number selles olevate ühikute arvu ja seda nimetatakse vastavalt ühikute kohaks. Järgmine, lõpust teine, number tähistab kümneid (kümnete arv) ja kolmas number lõpust näitab sadade arvu numbris - sadade number. Edasi korduvad numbrid igas klassis samamoodi kordamööda, tähistades ühikuid, kümneid ja sadu tuhandete, miljonite jne klassides. Kui arv on väike ja ei sisalda kümne- või sajakohalist numbrit, on tavaks võtta need nulliks. Klassid rühmitavad numbreid kolmekaupa, sageli arvutusseadmetes või kirjetes asetatakse klasside vahele punkt või tühik, et neid visuaalselt eraldada. Seda tehakse lugemise hõlbustamiseks. suured numbrid. Igal klassil on oma nimi: kolm esimest numbrit on ühikute klass, millele järgneb tuhandete klass, seejärel miljonite, miljardite (või miljardite) klass ja nii edasi.

Kuna kasutame kümnendsüsteemi, on suuruse põhiühikuks kümme ehk 10 1 . Vastavalt sellele suureneb numbri numbrite arvu suurenemisega ka kümnendite arv 10 2, 10 3, 10 4 jne. Teades kümnete arvu, saate hõlpsasti määrata arvu klassi ja kategooria, näiteks 10 16 on kümned kvadriljonid ja 3 × 10 16 on kolmkümmend kvadriljonit. Toimub arvude lagunemine kümnendkomponentideks järgmisel viisil- iga number kuvatakse eraldi liidetuna, korrutatuna nõutava koefitsiendiga 10 n, kus n on numbri asukoht loendus vasakult paremale.
Näiteks: 253 981 = 2 × 10 6 + 5 × 10 5 + 3 × 10 4 + 9 × 10 3 + 8 × 10 2 + 1 × 10 1

Samuti kasutatakse kümnendkohtade kirjutamisel ka 10 astet: 10 (-1) on 0,1 ehk üks kümnendik. Sarnaselt eelmise lõiguga saab ka kümnendarvu dekomponeerida, sel juhul näitab n komast paremalt vasakule järgneva numbri asukohta, näiteks: 0,347629 = 3x10 (-1) +4x10 (-2) +7x10 (-3) +6x10 (-4) +2x10 (-5) +9x10 (-6)

Kümnendarvude nimed. Kümnendarvud loetakse kümnendkohajärgsete numbrite viimase numbri järgi, näiteks 0,325 - kolmsada kakskümmend viis tuhandikku, kus tuhandik on number viimane number 5 .

Suurte arvude, numbrite ja klasside nimede tabel

Naturaalarvude sees saab suuremast lahutada ainult väiksema arvu ja kommutatsiooniseadus lahutamist ei sisalda - näiteks avaldis 3 + 4 - 5 (\displaystyle 3+4-5) kehtiv ja permuteeritud operandiga avaldis 3–5 + 4 (\displaystyle 3–5+4) vastuvõetamatu...

Naturaalarvudele negatiivsete arvude ja nulli lisamine võimaldab lahutada mis tahes naturaalarvude paari. Sellise laienduse tulemusena saadakse “täisarvude” hulk (rõngas). Arvude komplekti edasisel laiendamisel ratsionaal-, reaal-, kompleks- ja muude arvude abil saadakse nende jaoks vastavad negatiivsed väärtused samal viisil.

Kõik negatiivsed arvud ja ainult need on väiksemad kui null. Arvureal asuvad negatiivsed arvud nullist vasakul. Nende jaoks, nagu ka positiivsete arvude jaoks, on defineeritud seos järjestus, mis võimaldab võrrelda üht täisarvu teisega.

Iga naturaalarvu jaoks n on üks ja ainult üks negatiivne arv, mida tähistatakse -n, mis täiendab n nulli:

Mõlemat arvu nimetatakse üksteise vastanditeks. Täisarvu lahutamine a teisest täisarvust b on võrdne lisamisega b koos vastupidise jaoks a:

Näide: 25 − 75 = − 50. (\displaystyle 25-75 = -50.)

Entsüklopeediline YouTube

1 / 3

Matemaatika 6. klass. POSITIIVSED JA NEGATIIVSED NUMBRID. KOORDINAADID SIRGEL.

Matemaatika 6. klass. Positiivsed ja negatiivsed numbrid

Negatiivsed arvud. Vastandnumbrid (Slupko M.V.). Matemaatika videotund 6. klass

Subtiitrid

Negatiivsete arvude omadused

Negatiivsed arvud järgivad peaaegu samu algebralisi reegleid nagu naturaalarvud, kuid neil on mõned iseärasused.

1. Kui mis tahes positiivsete arvude hulk on allpool piiratud, siis iga negatiivsete arvude hulk on ülalt piiratud.
2. Täisarvude korrutamisel märgi reegel: arvude korrutis erinevad märgid negatiivne, samaga - positiivne.
3. Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada negatiivse arvuga, muutub ebavõrdsuse märk vastupidiseks. Näiteks ebavõrdsuse 3 korrutamine< 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.

Jäägiga jagamisel võib jagatis olla mis tahes märgiga, kuid jääk on kokkuleppeliselt alati mittenegatiivne (muidu pole see üheselt määratud). Näiteks jagame −24 5-ga jäägiga:

Variatsioonid ja üldistused

Positiivsete ja negatiivsete arvude mõisteid saab määratleda mis tahes järjestatud ringis. Enamasti viitavad need mõisted ühele järgmistest numbrisüsteemidest:

Ülaltoodud omadused 1-3 kehtivad ka üldjuhul. Mõisted "positiivne" ja "negatiivne" ei ole kompleksarvude puhul rakendatavad.

Ajalooline ülevaade

Vana-Egiptus, Babüloonia ja Vana-Kreeka ei kasutanud negatiivseid numbreid ja kui võrrandite negatiivsed juured saadi (lahutades), lükati need tagasi kui võimatu. Erandiks oli Diophantos, kes teadis juba 3. sajandil märgi reegel ja teadis, kuidas korrutada negatiivseid arve. Kuid ta pidas neid vaid vaheetapiks, kasulikuks lõpliku positiivse tulemuse arvutamisel.

Esmakordselt legaliseeriti negatiivsed arvud osaliselt Hiinas ja seejärel (umbes 7. sajandist) Indias, kus neid tõlgendati võlgadena (puudusena) või tunnistati neid nagu Diophantos kui ajutisi väärtusi. Negatiivsete arvude korrutamine ja jagamine ei olnud veel määratletud. Negatiivsete arvude kasulikkus ja seaduslikkus tehti kindlaks järk-järgult. Juba India matemaatik Brahmagupta (7. sajand) pidas neid positiivsetega võrdseks.

Euroopas tuli tunnustus tuhat aastat hiljem ja isegi siis pikka aega negatiivseid numbreid nimetati "valeks", "imaginaarseks" või "absurdseks". Nende esimene kirjeldus Euroopa kirjanduses ilmus Pisa Leonardi (1202) "Tubaka raamatus", kes tõlgendas negatiivseid numbreid võlgadena. Bombelli ja Girard pidasid oma kirjutistes negatiivseid numbreid üsna vastuvõetavateks ja kasulikeks, eriti millegi puudumise näitamiseks. Isegi 17. sajandil uskus Pascal seda 0–4 = 0 (\displaystyle 0-4=0) sest "miski ei saa olla vähem kui mitte midagi". Nende aegade kaja on asjaolu, et tänapäeva aritmeetikas tähistatakse lahutamise ja negatiivsete arvude märki sama sümboliga (miinus), kuigi algebraliselt on need täiesti erinevad mõisted.

17. sajandil, analüütilise geomeetria tulekuga, said negatiivsed arvud visuaalse geomeetrilise esituse

Arve on mitut tüüpi, üks neist on täisarvud. Täisarvud ilmusid selleks, et hõlbustada loendamist mitte ainult positiivses, vaid ka negatiivses suunas.

Kaaluge näidet:
Päeval oli väljas 3 kraadi sooja. Õhtuks langes temperatuur 3 kraadi võrra.
3-3=0
Väljas oli 0 kraadi. Ja öösel langes temperatuur 4 kraadi võrra ja hakkas termomeetril näitama -4 kraadi.
0-4=-4

Täisarvude jada.

Sellist ülesannet ei saa kirjeldada naturaalarvudega, me käsitleme seda ülesannet koordinaatide sirgel.

Meil on rida numbreid:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Seda numbrite jada nimetatakse täisarvude kõrval.

Positiivsed täisarvud. Terved negatiivsed arvud.

Täisarvude jada koosneb positiivsetest ja negatiivsetest arvudest. Nullist paremal on naturaalarvud või neid nimetatakse ka terved positiivsed numbrid. Ja nullist vasakule minna terved negatiivsed arvud.

Null ei ole positiivne ega negatiivne. See on piir positiivsete ja negatiivsete arvude vahel.

on arvude hulk, mis koosneb naturaalarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja nullist.

Täisarvude jada positiivses ja negatiivses suunas on lõputu hulk.

Kui võtame suvalised kaks täisarvu, nimetatakse nende täisarvude vahelisi numbreid lõpukomplekt.

Näiteks:
Võtame täisarvud vahemikus -2 kuni 4. Kõik nende arvude vahel olevad arvud on kaasatud lõplikku hulka. Meie piiratud arvude komplekt näeb välja selline:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Naturaalnumbreid tähistatakse ladina tähega N.
Täisarvud on tähistatud ladina tähega Z. Kogu naturaalarvude ja täisarvude komplekti saab kujutada joonisel.


Mittepositiivsed täisarvud teisisõnu, need on negatiivsed täisarvud.
Mittenegatiivsed täisarvud on positiivsed täisarvud.