Siinuse, koosinuse ja puutuja valemid. Täisnurkne kolmnurk: siinus, koosinus, puutuja, nurga kootangens

Trigonomeetrilised identiteedid on võrdsused, mis loovad seose ühe nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi vahel, mis võimaldab teil leida mis tahes neist funktsioonidest, eeldusel, et mõni muu on teada.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

See identiteet ütleb, et ühe nurga siinuse ruudu ja ühe nurga koosinuse ruudu summa on võrdne ühega, mis praktikas võimaldab arvutada ühe nurga siinuse, kui selle koosinus on teada ja vastupidi .

Trigonomeetriliste avaldiste teisendamisel kasutatakse väga sageli seda identiteeti, mis võimaldab asendada ühe nurga koosinuse ja siinuse ruutude summa ühega ning sooritada ka asendusoperatsioon vastupidises järjekorras.

Puutuja ja kotangensi leidmine siinuse ja koosinuse kaudu

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Need identiteedid on moodustatud siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidest. Lõppude lõpuks, kui vaadata, siis definitsiooni järgi on y ordinaat siinus ja x abstsiss koosinus. Siis on puutuja võrdne suhtega \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ja suhe \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- on kotangent.

Lisame, et identiteedid toimuvad ainult selliste nurkade \alpha puhul, mille puhul on nendes sisalduvad trigonomeetrilised funktsioonid mõistlikud, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Näiteks: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) kehtib \alpha nurkade puhul, mis erinevad \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- nurga \alpha puhul peale \pi z on z täisarv.

Tangensi ja kotangensi seos

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

See identiteet kehtib ainult nurkade \alpha puhul, mis erinevad \frac(\pi)(2) z. Vastasel juhul ei määrata kotangenti ega puutujat.

Ülaltoodud punktide põhjal saame selle tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Sellest järeldub tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Seega on ühe nurga puutuja ja kotangens, mille juures neil on mõte, vastastikku vastastikused arvud.

Seosed puutuja ja koosinuse, kotangensi ja siinuse vahel

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- nurga \alpha ja 1 puutuja ruudu summa on võrdne selle nurga koosinuse pöördruuduga. See identiteet kehtib kõigi \alphade jaoks peale \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ja nurga \alpha kotangensi ruudu summa võrdub antud nurga siinuse pöördruuduga. See identiteet kehtib mis tahes \alpha jaoks peale \pi z .

Näited probleemide lahendustega trigonomeetriliste identiteetide abil

Näide 1

Leidke \sin \alpha ja tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 ja \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Näita lahendust

Lahendus

Funktsioonid \sin \alpha ja \cos \alpha on seotud valemiga \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Asendades selle valemiga \cos \alpha = -\frac12, saame:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Sellel võrrandil on 2 lahendust:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3) (2)

Tingimuste järgi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Teisel veerandajal on siinus plussis, nii et \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tg \alpha leidmiseks kasutame valemit tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Näide 2

Otsige üles \cos \alpha ja ctg \alpha, kui ja \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Näita lahendust

Lahendus

Valemisse asendamine \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 tingimuslik arv \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), saame \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Sellel võrrandil on kaks lahendit \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Tingimuste järgi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Teisel veerandil on koosinus negatiivne, seega \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Ctg \alpha leidmiseks kasutame valemit ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Teame vastavaid väärtusi.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Vastasjala ja hüpotenuusi suhet nimetatakse sinus teravnurk täisnurkne kolmnurk.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus

Lähima jala ja hüpotenuusi suhet nimetatakse teravnurga koosinus täisnurkne kolmnurk.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja

Nimetatakse vastasjala ja külgneva jala suhet teravnurga puutuja täisnurkne kolmnurk.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens

Kõrvaljala ja vastasjala suhet nimetatakse teravnurga kotangents täisnurkne kolmnurk.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Suvalise nurga siinus

Nimetatakse ühikringi punkti ordinaat, millele vastab nurk \alpha suvalise nurga siinus pöörlemine \alpha .

\sin \alpha=y

Suvalise nurga koosinus

Nimetatakse ühikringi punkti abstsiss, millele vastab nurk \alpha suvalise nurga koosinus pöörlemine \alpha .

\cos \alpha=x

Suvalise nurga puutuja

Nimetatakse suvalise pöördenurga \alpha siinuse suhet selle koosinusesse suvalise nurga puutuja pöörlemine \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Suvalise nurga kotangens

Nimetatakse suvalise pöördenurga \alpha koosinuse suhet selle siinusesse suvalise nurga kotangent pöörlemine \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Näide suvalise nurga leidmisest

Kui \alpha on mingi nurk AOM , kus M on punkt ringjoonel, siis

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Näiteks kui \angle AOM = -\frac(\pi)(4), siis: punkti M ordinaat on -\frac(\sqrt(2))(2), abstsiss on \frac(\sqrt(2))(2) ja sellepärast

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Kootangentide puutujate koosinuste väärtuste tabel

Peamiste sageli esinevate nurkade väärtused on toodud tabelis:

Algselt tekkisid siinus ja koosinus vajadusest arvutada suurusi täisnurksetes kolmnurkades. Täheldati, et kui täisnurkse kolmnurga nurkade astmemõõtu ei muudeta, jääb küljesuhe, olenemata sellest, kui palju nende külgede pikkus muutub, alati samaks.

Nii võeti kasutusele mõisted siinus ja koosinus. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe ning koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Koosinuste ja siinuste teoreemid

Kuid koosinusi ja siinusi saab kasutada mitte ainult täisnurksetes kolmnurkades. Nüri- või teravnurga, mis tahes kolmnurga külje väärtuse leidmiseks piisab koosinuse ja siinuse teoreemi rakendamisest.

Koosinusteoreem on üsna lihtne: "Kolmnurga külje ruut on võrdne summaga kahe ülejäänud külje ruudud, millest lahutatakse nende külgede kahekordne korrutis nendevahelise nurga koosinusega.

Siinuse teoreemil on kaks tõlgendust: väike ja laiendatud. Väikese järgi: "Kolmnurgas on nurgad võrdelised vastaskülgedega." Seda teoreemi laiendatakse sageli kolmnurga ümber piiritletud ringi omaduse tõttu: "Kolmnurgas on nurgad võrdelised vastaskülgedega ja nende suhe on võrdne piiratud ringi läbimõõduga."

Tuletised

Tuletis on matemaatiline tööriist, mis näitab, kui kiiresti funktsioon muutub selle argumendi muutumise suhtes. Tuletisi kasutatakse geomeetrias ja paljudes tehnilistes distsipliinides.

Ülesannete lahendamisel peate teadma trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste tabeliväärtusi: siinus ja koosinus. Siinuse tuletis on koosinus ja koosinuse tuletis on siinus, kuid miinusmärgiga.

Rakendus matemaatikas

Eriti sageli kasutatakse siinuseid ja koosinusi täisnurksete kolmnurkade ja nendega seotud ülesannete lahendamisel.

Siinuste ja koosinuste mugavus peegeldub ka tehnoloogias. Nurki ja külgi oli lihtne hinnata koosinus- ja siinusteoreemide abil, jagades keerulised kujundid ja objektid "lihtsateks" kolmnurkadeks. Insenerid, kes sageli tegelesid kuvasuhete ja kraadimõõtude arvutamisega, kulutasid palju aega ja vaeva mittetabelinurkade koosinuste ja siinuste arvutamisele.

Siis tulid appi Bradise tabelid, mis sisaldasid tuhandeid erinevate nurkade siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtusi. Nõukogude ajal sundisid mõned õpetajad oma hoolealuseid Bradise tabelite lehti pähe õppima.

Radiaan - kaare nurga väärtus piki pikkust, mis on võrdne raadiusega või 57,295779513 ° kraadi.

Kraad (geomeetrias) – 1/360 ringi osa või 1/90 osa täisnurk.

π = 3,141592653589793238462… (pi ligikaudne väärtus).

Koosinustabel nurkade jaoks: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Võrdlusandmed puutuja (tg x) ja kotangensi (ctg x) kohta. Geomeetriline definitsioon, omadused, graafikud, valemid. Puutujate ja kotangentide tabel, tuletised, integraalid, jada laiendused. Avaldised keeruliste muutujate kaudu. Seos hüperboolsete funktsioonidega.

Geomeetriline määratlus

|BD| - punktis A tsentreeritud ringikaare pikkus.
α on radiaanides väljendatud nurk.

Tangent ( tgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| külgneva jala pikkusele |AB| .

Kotangent ( ctgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| vastasjala pikkuseni |BC| .

Tangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on puutuja tähistatud järgmiselt:
.
;
;
.

Puutujafunktsiooni graafik, y = tg x

Kotangent

Kus n- terve.

Lääne kirjanduses on kootangens tähistatud järgmiselt:
.
Samuti on kasutusele võetud järgmine märge:
;
;
.

Kootangensfunktsiooni graafik, y = ctg x

Tangensi ja kotangensi omadused

Perioodilisus

Funktsioonid y= tg x ja y= ctg x on perioodilised perioodiga π.

Pariteet

Funktsioonid puutuja ja kotangent on paaritud.

Määratlusvaldkonnad ja väärtused, tõusev, kahanev

Funktsioonid tangens ja kotangent on oma definitsioonipiirkonnas pidevad (vt pidevuse tõestust). Puutuja ja kotangensi peamised omadused on toodud tabelis ( n- täisarv).

Valemid

Avaldised siinuse ja koosinuse mõistes

; ;
; ;
;

Summa ja vahe puutuja ja kotangensi valemid

Ülejäänud valemeid on näiteks lihtne hankida

Puutujate korrutis

Puutujate summa ja erinevuse valem

See tabel näitab mõne argumendi väärtuse puutujate ja kotangentide väärtusi.

Avaldised kompleksarvude kujul

Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi

;
;

Tuletised

; .

.
Funktsiooni muutuja x n-ndat järku tuletis:
.
Tangensi > > > valemite tuletamine ; kotangensi jaoks >>>

Integraalid

Laiendused seeriateks

Puutuja laienduse saamiseks x astmetes tuleb funktsioonide astmereas võtta mitu laienduse liiget sin x ja cos x ja jagage need polünoomid üksteiseks , . Selle tulemuseks on järgmised valemid.

Kell .

aadressil .
kus B n- Bernoulli numbrid. Need määratakse kas kordumise seose põhjal:
;
;
kus .
Või vastavalt Laplace'i valemile:

Pöördfunktsioonid

Tangensi ja kotangensi pöördfunktsioonid on vastavalt arktangens ja arkotangens.

Arktangent, arctg

, kus n- terve.

Kaare puutuja, arcctg

, kus n- terve.

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
G. Korn, Matemaatika käsiraamat teadlastele ja inseneridele, 2012.

Selles artiklis näitame, kuidas nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused trigonomeetrias. Siin räägime noodikirjast, toome kirjete näiteid, toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.

Leheküljel navigeerimine.

Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon

Jälgime, kuidas kujuneb kooli matemaatikakursusel mõiste siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Geomeetria tundides antakse täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon. Ja hiljem uuritakse trigonomeetriat, mis viitab pöördenurga ja arvu siinusele, koosinusele, puutujale ja kotangensile. Anname kõik need määratlused, toome näiteid ja anname vajalikud kommentaarid.

Täisnurkse kolmnurga teravnurk

Geomeetria käigust on teada täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Tutvustame nende koostisi.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastasjala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastasjala ja külgneva jala suhe.

Definitsioon.

Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens on külgneva jala ja vastasjala suhe.

Seal võetakse kasutusele ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistus - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.

Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastasjala BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.

Need määratlused võimaldavad arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal, samuti teadaolevad väärtused siinus, koosinus, puutuja, kotangens ja ühe külje pikkus, et leida teiste külgede pikkusi. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC 3 ja hüpotenuus AB on 7 , siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Pöörlemisnurk

Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurka, erinevalt teravnurgast, ei piira raamid vahemikus 0 kuni 90 kraadi, pöördenurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.

Selles valguses ei ole siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid enam teravnurk, vaid suvalise suurusega nurk – pöördenurk. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, millesse läheb nn algpunkt A(1, 0) pärast selle pöörlemist läbi nurga α ümber punkti O - ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.

Definitsioon.

Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y .

Definitsioon.

pöördenurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x .

Definitsioon.

Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tgα=y/x .

Definitsioon.

Pöörlemisnurga kotangensα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y .

Siinus ja koosinus on defineeritud mis tahes nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel läbi nurga α . Ja puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta selliste nurkade α puhul, mille juures algpunkt läheb null-abstsisspunkti (0, 1) või (0, −1) , ja see toimub nurkade 90°+180° k , k∈Z korral. (π /2+π k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis seda ei ole defineeritud selliste nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaat (1, 0) või (−1, 0) punkti, ja see kehtib nurkade 180° k puhul, k ∈Z (π k rad).

Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) ja kotangens on kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Meile juba tuntud tähised esinevad definitsioonides sin, cos, tg ja ctg, nendega tähistatakse ka pöördenurga siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti (mõnikord võib leida tangensile ja kotangendile vastava tähise tan ja cot). kotangent). Seega võib 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletame meelde, et nurga radiaanimõõtu kirjutades jäetakse sageli välja märge "rad". Näiteks kolme pi rad pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3 π .

Selle lõigu kokkuvõtteks väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas "pöördenurk" või sõna "pööramine". See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt fraasi "alfa nurga siinus" või veelgi lühemat - "alfa siinus". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.

Oletame ka, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0–90 pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. kraadid. Me põhjendame seda.

Numbrid

Definitsioon.

Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis võrdub vastavalt pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga t radiaanides.

Näiteks 8 π koosinus on definitsiooni järgi arv, mis võrdub nurga 8 π rad koosinusega. Ja nurga koosinus 8 π rad on võrdne ühega, seetõttu on arvu 8 π koosinus võrdne 1-ga.

Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi defineerimisel on veel üks lähenemine. See seisneb selles, et iga reaalarv t on seotud ühikringi punktiga, mille keskpunkt on alguses ristkülikukujuline süsteem koordinaadid ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on määratletud selle punkti koordinaatidena. Peatume sellel üksikasjalikumalt.

Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:

• arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0) ;
• positiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume ümber ringi alguspunktist vastupäeva ja läbime tee pikkusega t;
• negatiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume ümber ringi alguspunktist päripäeva ja läbime tee pikkusega |t| .

Liigume nüüd edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab ringi punktile A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1) ).

Definitsioon.

Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringipunkti ordinaat, st sint=y .

Definitsioon.

Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks ehk kulu=x .

Definitsioon.

Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringkonna punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, see tähendab tgt=sint/kulu .

Definitsioon.

Arvu kotangents t on abstsissi ja arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe : ctgt=kulu/sint .

Siinkohal märgime, et just antud definitsioonid ühtivad selle alajao alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel läbi t radiaani nurga.

Samuti tasub seda punkti selgitada. Oletame, et meil on sin3 kirje. Kuidas aru saada, kas kõne all on arvu 3 siinus või 3 radiaani pöördenurga siinus? Tavaliselt selgub see kontekstist, muidu pole sellel ilmselt tähtsust.

Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid

Eelmises lõigus antud definitsioonide kohaselt vastab iga pöördenurk α täielikult teatud väärtus sinα , samuti cosα väärtus. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) väärtustele tgα ja peale 180° k , k∈Z (π k rad ) on ctgα väärtused. Seetõttu on sinα, cosα, tgα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.

Samamoodi saame rääkida arvulise argumendi funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab täpselt määratletud sinti väärtusele ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k , k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k , k∈Z väärtustele ctgt .

Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.

Tavaliselt on kontekstist selgelt näha, et tegemist on nurkargumendi või arvargumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime pidada sõltumatut muutujat nii nurga mõõduks (nurga argument) kui ka arvuliseks argumendiks.

Põhiliselt uuritakse koolis aga arvfunktsioone ehk funktsioone, mille argumendid ja ka neile vastavad funktsiooniväärtused on arvud. Seega, kui me räägime funktsioonide osas on mõistlik kaaluda trigonomeetrilised funktsioonid numbriliste argumentide funktsioonid.

Definitsioonide ühendamine geomeetriast ja trigonomeetriast

Kui arvestada pöördenurka α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooni andmed trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse määratlustega. , täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja ja kotangens, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.

Joonistage ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy ühikring. Pange tähele alguspunkti A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y) . Kukkume risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.

On lihtne näha, et täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 OH võrdne nurgaga pööre α , selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdub punkti A 1 abstsissiga, see tähendab |OH|=x , nurga A 1 H vastas oleva jala pikkus võrdub ordinaadiga punktist A 1, st |A 1 H|=y , ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga A 1 OH teravnurga α siinus võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse definitsioon on samaväärne pöördenurga α siinuse määratlusega α 0 kuni 90 kraadi korral.

Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.

Bibliograafia.

1. Geomeetria. 7-9 klassid: õpingud. üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jt]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geomeetria: Proc. 7-9 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Valgustus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra ja elementaarfunktsioonid: Õpik keskkooli 9. klassi õpilastele / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. Moskva: Haridus, 1969.
4. Algebra: Proc. 9 raku jaoks. keskm. kool / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski.- M.: Valgustus, 1990.- 272 lk.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jt; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. tr.- M.: Valgustus, 2004.- 384 lk.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. Kell 14 1. peatükk: õpetus õppeasutused(profiilitase) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I .: Haridus, 2010. - 368 lk.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 raku jaoks. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.